Permettere z= F(M) è una funzione definita in un intorno del punto M(y; x);l={ Cos; Cos} – vettore unitario (in Fig. 33 1= , 2= ); lè una retta passante per un punto M; M1(x1; y1), dove x1=x+x e y1=y+y- un punto su una linea l; l- la dimensione del segmento MM1; z= F(x+x, y+y)-F(X, Y) – incremento della funzione F(M) al punto M(x;y).
Definizione. Si chiama il limite della relazione, se esiste Funzione derivata z = F ( M ) al punto M ( X ; Y ) nella direzione del vettore l .
Designazione.
|
|
Se la funzione F(M) differenziabile in un punto M(x;y), quindi al punto M(x;y) c'è una derivata in ogni direzione l proveniente da M; si calcola secondo la seguente formula:
(8)
Dove Cos E Cos- coseni di direzione del vettore l.
Esempio 46. Calcolare la derivata di una funzione z= X2 + Y2 X al punto M(1; 2) nella direzione del vettore MM1, dove M1- punto con coordinate (3; 0).
. Troviamo il vettore unitario l, aventi questa direzione:
Dove Cos= ; Cos=- .
Calcoliamo le derivate parziali della funzione nel punto M(1; 2):
Dalla formula (8) otteniamo 
Esempio 47. Trova la derivata di una funzione U = xy2 z3 al punto M(3; 2; 1) In direzione vettoriale MN, dove N(5; 4; 2) .
. Troviamo il vettore e i suoi coseni di direzione:
Calcola i valori delle derivate parziali nel punto M:
Di conseguenza, 
Definizione. Pendenza Funzioniz= F(M) nel punto M(x; y) è un vettore le cui coordinate sono uguali alle corrispondenti derivate parziali u prese nel punto M(x; y).
Designazione. 
Esempio 48. Trova il gradiente di una funzione z= X2 +2 Y2 -5 al punto M(2; -1).
Soluzione. Troviamo le derivate parziali: 
e i loro valori al punto M(2; -1):
Esempio 49.
Trova l'intensità e la direzione del gradiente di una funzione in un punto 
Soluzione. Troviamo le derivate parziali e calcoliamo i loro valori nel punto M:
Di conseguenza,
La derivata direzionale per una funzione di tre variabili è definita in modo simile U= F(X, Y, z) , le formule sono derivate
Viene introdotto il concetto di gradiente 
Lo sottolineiamo Proprietà fondamentali della funzione gradiente più importante per l'analisi dell'ottimizzazione economica: nella direzione del gradiente, la funzione aumenta. Nei problemi economici vengono utilizzate le seguenti proprietà del gradiente:
1) Sia data una funzione z= F(X, Y) , che ha derivate parziali nel dominio della definizione. Considera un punto M0(x0, y0) dal dominio della definizione. Sia il valore della funzione a questo punto F(X0 , Y0 ) . Considera il grafico della funzione. Attraverso il punto (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) spazio tridimensionale disegnare un piano tangente alla superficie del grafico della funzione. Poi il gradiente della funzione calcolata nel punto (x0,y0), considerato geometricamente come un vettore attaccato a un punto (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , sarà perpendicolare al piano tangente. L'illustrazione geometrica è mostrata in fig. 34.
2) Funzione gradiente F(X, Y) al punto M0(x0, y0) indica la direzione dell'incremento più rapido della funzione nel punto M0. Inoltre, qualsiasi direzione che forma un angolo acuto con il gradiente è la direzione di crescita della funzione nel punto M0. In altre parole, un piccolo movimento da un punto (x0,y0) nella direzione del gradiente della funzione a questo punto porta ad un aumento della funzione, e nella massima misura.
Considera un vettore opposto al gradiente. È chiamato antigradiente . Le coordinate di questo vettore sono:
Funzione antigradiente F(X, Y) al punto M0(x0, y0) indica la direzione della diminuzione più veloce della funzione nel punto M0. Qualsiasi direzione che forma un angolo acuto con l'antigradiente è la direzione in cui la funzione sta decrescendo in quel punto.
3) Quando si studia una funzione, diventa spesso necessario trovare tali coppie (x, y) dall'ambito della funzione, per la quale la funzione assume gli stessi valori. Considera l'insieme dei punti (X, Y) fuori dall'ambito della funzione F(X, Y) , tale che F(X, Y)= Cost, dov'è la voce “ Cost” significa che il valore della funzione è fisso e uguale a un numero dall'intervallo della funzione.
Definizione. Linea a livello di funzione U = F ( X , Y ) chiamato la lineaF(X, Y)=С sull'aereoXOy, nei punti in cui la funzione rimane costanteU= C.
Le linee di livello sono rappresentate geometricamente sul piano di cambiamento delle variabili indipendenti sotto forma di linee curve. L'ottenimento di linee di livello può essere immaginato come segue. Considera l'insieme DA, che consiste di punti nello spazio tridimensionale con coordinate (X, Y, F(X, Y)= Cost), che, da un lato, appartengono al grafico della funzione z= F(X, Y), d'altra parte, giacciono su un piano parallelo a piano coordinato COME, e separato da esso da un valore uguale a una data costante. Quindi, per costruire una linea di livello, è sufficiente intersecare la superficie del grafico della funzione con un piano z= Cost e proiettare la linea di intersezione su un piano COME. Il ragionamento di cui sopra è la giustificazione della possibilità di costruire direttamente linee di livello su un piano COME.
Definizione. Viene chiamato l'insieme delle linee di livello Mappa della linea di livello.
Esempi ben noti di linee di livello sono livelli di uguale altezza mappa topografica e linee della stessa pressione barometrica sulla carta meteorologica.
Definizione.
Si chiama la direzione lungo la quale il tasso di incremento della funzione è massimo direzione "preferita"., o Direzione della crescita più veloce.
La direzione "preferita" è data dal vettore gradiente della funzione. Sulla fig. 35 mostra il massimo, il minimo e il punto di sella nel problema dell'ottimizzazione di una funzione di due variabili in assenza di restrizioni. La parte inferiore della figura mostra le linee di livello e le direzioni della crescita più veloce.
Esempio 50. Trova linee a livello di funzionalità U= X2 + Y2 .
Soluzione. L'equazione della famiglia delle linee di livello ha la forma X2 + Y2 = C (C>0) . Dando DA diversi valori reali, si ottengono cerchi concentrici centrati nell'origine.
Costruzione di linee di livello. La loro analisi è ampiamente utilizzata nei problemi economici dei livelli micro e macro, la teoria dell'equilibrio e soluzioni efficaci. Isocosti, isoquanti, curve di indifferenza: sono tutte linee di livello costruite per diverse funzioni economiche.
Esempio 51. Si consideri la seguente situazione economica. Si descriva la produzione dei prodotti Funzione di Cobb-Douglas F(X, Y)=10x1/3y2/3, dove X- quantità di lavoro In- importo del capitale. 30 USD sono stati stanziati per l'acquisizione di risorse. unità, il prezzo del lavoro è di 5 c.u. quote, capitale - 10 c.u. unità Poniamoci la domanda: qual è il massimo output che si può ottenere in queste condizioni? Qui, "date condizioni" si riferisce a determinate tecnologie, prezzi delle risorse e tipo di funzione di produzione. Come già notato, la funzione Cobb-Douglasè monotonicamente crescente in ogni variabile, cioè, un aumento in ogni tipo di risorsa porta ad un aumento della produzione. In queste condizioni, è chiaro che è possibile aumentare l'acquisizione di risorse fintanto che ci sono abbastanza soldi. Pacchetti di risorse che costano 30 c.u. unità, soddisfano la condizione:
5x + 10y = 30,
Cioè, definiscono la linea a livello di funzione:
G(X, Y) = 5x + 10a.
D'altra parte, con l'aiuto di linee di livello Funzioni di Cobb-Douglas (Fig. 36) è possibile mostrare l'incremento della funzione: in ogni punto della linea di livello la direzione del gradiente è quella di maggior incremento, e per costruire un gradiente in un punto basta tracciare una tangente alla linea di livello in questo punto, tracciare una perpendicolare alla tangente e indicare la direzione del gradiente. Dalla fig. 36 si vede che il movimento della linea di livello della funzione di Cobb-Douglas lungo il gradiente va effettuato fino a diventare tangente alla linea di livello 5x + 10y = 30. Pertanto, utilizzando i concetti di linea di livello, gradiente, proprietà del gradiente, è possibile sviluppare approcci per il miglior utilizzo delle risorse in termini di aumento del volume della produzione.
Definizione. Superficie a livello di funzione U = F ( X , Y , z ) chiamato superficieF(X, Y, z)=С, nei punti in cui la funzione rimane costanteU= C.
Esempio 52. Trova superfici a livello di funzionalità U= X2 + z2 - Y2 .
Soluzione. L'equazione della famiglia delle superfici piane ha la forma X2 + z2 - Y2 =C. Se una C=0, quindi otteniamo X2 + z2 - Y2 =0 - cono; Se C<0 , poi X2 + z2 - Y2 =C- Una famiglia di iperboloidi a due fogli.
1 0 Il gradiente è diretto lungo la normale alla superficie piana (o alla linea di livello se il campo è piatto).
2 0 Il gradiente è diretto nella direzione dell'aumento della funzione di campo.
3 0 Il modulo del gradiente è uguale alla massima derivata nella direzione in un dato punto del campo:
Queste proprietà danno una caratteristica invariante del gradiente. Dicono che il vettore gradU indichi la direzione e l'ampiezza del massimo cambiamento nel campo scalare in un dato punto.
Osservazione 2.1. Se la funzione U(x,y) è una funzione di due variabili, allora il vettore
(2.3)
giace nel piano ossi.
Siano U=U(x,y,z) e V=V(x,y,z) funzioni differenziabili nel punto Ì 0 (x,y,z). Allora valgono le seguenti uguaglianze:
a) grado()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(UV)=gradU gradV; d) d) grad = 
, V ;
e) gradU( = gradU, dove , U=U() ha una derivata rispetto a .
Esempio 2.1. La funzione U=x 2 +y 2 +z 2 è data. Determinare il gradiente della funzione nel punto M(-2;3;4).
Soluzione. Secondo la formula (2.2), abbiamo
.
Le superfici piane di questo campo scalare sono la famiglia delle sfere x 2 +y 2 +z 2 , il vettore gradU=(-4;6;8) è il vettore normale dei piani.
Esempio 2.2. Trova il gradiente del campo scalare U=x-2y+3z.
Soluzione. Secondo la formula (2.2), abbiamo
Le superfici piane di un dato campo scalare sono i piani
x-2y+3z=C; il vettore gradU=(1;-2;3) è il vettore normale dei piani di questa famiglia.
Esempio 2.3. Trovare la pendenza più ripida della superficie U=x y nel punto M(2;2;4).
Soluzione. Abbiamo: 
Esempio 2.4. Trova il vettore normale unitario alla superficie piana del campo scalare U=x 2 +y 2 +z 2 .
Soluzione. Superfici piane di un campo-sfera scalare dato x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
Il gradiente è diretto lungo la normale alla superficie piana, in modo che
Definisce il vettore normale alla superficie piana nel punto M(x,y,z). Per un vettore normale unitario, otteniamo l'espressione
, dove 
.
Esempio 2.5. Trova il gradiente di campo U= 
, dove e sono vettori costanti, r è il raggio vettore del punto.
Soluzione. Permettere
Quindi: 
. Dalla regola di differenziazione del determinante, otteniamo
Di conseguenza,
Esempio 2.6. Trova il gradiente di distanza , dove P(x,y,z) è il punto del campo in esame, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) è un punto fisso.
Soluzione. Abbiamo - vettore di direzione unitario .
Esempio 2.7. Trova l'angolo tra i gradienti delle funzioni nel punto M 0 (1,1).
Soluzione. Troviamo i gradienti di queste funzioni nel punto M 0 (1,1), abbiamo
; L'angolo tra gradU e gradV nel punto M 0 è determinato dall'uguaglianza
Quindi =0.
Esempio 2.8. Trova la derivata rispetto alla direzione, il raggio vettore è uguale a
(2.4)
Soluzione. Trovare il gradiente di questa funzione:
Sostituendo (2.5) in (2.4), otteniamo
Esempio 2.9. Trova nel punto M 0 (1;1;1) la direzione del massimo cambiamento nel campo scalare U=xy+yz+xz e l'entità di questo massimo cambiamento in questo punto.
Soluzione. La direzione della massima variazione nel campo è indicata dal vettore grad U(M). Lo troviamo:
E quindi, . Questo vettore determina la direzione del massimo incremento di questo campo nel punto M 0 (1;1;1). Il valore della variazione maggiore nel campo a questo punto è uguale a
.
Esempio 3.1. Trova le linee vettoriali del campo vettoriale 
dove è un vettore costante.
Soluzione. Abbiamo così
(3.3)
Moltiplica il numeratore e il denominatore della prima frazione per x, la seconda per y, la terza per z e aggiungi termine per termine. Usando la proprietà della proporzione, otteniamo
Quindi xdx+ydy+zdz=0, che significa
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -cost>0. Moltiplicando ora numeratore e denominatore della prima frazione (3.3) per c 1, la seconda per c 2, la terza per c 3 e sommandola termine per termine, otteniamo
Da dove c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
E, quindi, con 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 cost.
Equazioni richieste di linee vettoriali
Queste equazioni mostrano che le linee vettoriali sono ottenute come risultato dell'intersezione di sfere aventi un centro comune nell'origine con piani perpendicolari al vettore 
. Ne consegue che le rette vettoriali sono circonferenze i cui centri sono su una retta passante per l'origine nella direzione del vettore c. I piani dei cerchi sono perpendicolari alla linea specificata.
Esempio 3.2. Trova la linea di campo vettoriale 
passante per il punto (1,0,0).
Soluzione. Equazioni differenziali linee vettoriali
quindi abbiamo 
. Risolvere la prima equazione. O se introduciamo il parametro t, allora avremo In questo caso, l'equazione 
prende la forma 
oppure dz=bdt, da cui z=bt+c 2 .
Se in ogni punto dello spazio o parte dello spazio è definito il valore di una certa quantità, allora si dice che il campo di questa quantità è dato. Il campo si dice scalare se il valore considerato è scalare, cioè ben caratterizzato dal suo valore numerico. Ad esempio, il campo di temperatura. Il campo scalare è dato dalla funzione scalare del punto u = /(M). Se nello spazio viene introdotto un sistema di coordinate cartesiane, allora esiste una funzione di tre variabili x, yt z - le coordinate del punto M: Definizione. La superficie piana di un campo scalare è l'insieme dei punti in cui la funzione f(M) assume lo stesso valore. Equazione della superficie di livello Esempio 1. Trova le superfici di livello di un campo scalare ANALISI VETTORIALE Superfici di livello del campo scalare e linee di livello Direzionale Derivata Derivata Gradiente di un campo scalare Proprietà di base del gradiente Definizione invariante di un gradiente Regole per il calcolo di un gradiente -4 Per definizione, un livello sarà l'equazione della superficie. Questa è l'equazione di una sfera (con Ф 0) centrata nell'origine. Un campo scalare si dice piatto se il campo è lo stesso in tutti i piani paralleli a un piano. Se il piano specificato è preso come piano xOy, allora la funzione di campo non dipenderà dalla coordinata z, cioè sarà una funzione solo degli argomenti x e y e anche del significato. Equazione della linea di livello - Esempio 2. Trova le linee di livello di un campo scalare Le linee di livello sono date dalle equazioni A c = 0 otteniamo una coppia di linee, otteniamo una famiglia di iperboli (Fig. 1). 1.1. Derivata direzionale Sia un campo scalare definito da una funzione scalare u = /(Af). Prendiamo il punto Afo e scegliamo la direzione determinata dal vettore I. Prendiamo un altro punto M in modo che il vettore M0M sia parallelo al vettore 1 (Fig. 2). Indichiamo la lunghezza del vettore MoM con A/, e l'incremento della funzione /(Af) - /(Afo), corrispondente allo spostamento D1, con Di. L'atteggiamento determina velocità media variazione del campo scalare per unità di lunghezza nella direzione data Let ora tende a zero in modo che il vettore М0М rimanga sempre parallelo al vettore I. Definizione. Se per D/O esiste un limite finito della relazione (5), allora essa si chiama derivata della funzione in un dato punto Afo alla data direzione I e si indica con il simbolo zr!^. Quindi, per definizione, questa definizione non è correlata alla scelta del sistema di coordinate, cioè ha un carattere **variante. Troviamo un'espressione per la derivata rispetto alla direzione nel sistema di coordinate cartesiane. Sia la funzione / differenziabile in un punto. Considera il valore /(Af) in un punto. Allora l'incremento totale della funzione può essere scritto nella seguente forma: dove e i simboli indicano che le derivate parziali sono calcolate nel punto Afo. Quindi Qui le quantità jfi, ^ sono i coseni di direzione del vettore. Poiché i vettori MoM e I sono co-diretti, i loro coseni di direzione sono gli stessi: derivate, sono derivate della funzione e lungo le direzioni degli assi delle coordinate con l'nno esterno- Esempio 3. Trova la derivata della funzione verso il punto Il vettore ha una lunghezza. La sua direzione coseni: Con la formula (9) avremo Il fatto che, significa che il campo scalare in un punto in una data direzione dell'età- Per un campo piatto, la derivata nella direzione I in un punto è calcolata dalla formula dove a è l'angolo formato dal vettore I con l'asse Oh. Zmmchmm 2. La formula (9) per il calcolo della derivata lungo la direzione I in un dato punto Afo rimane valida anche quando il punto M tende al punto Mo lungo una curva per la quale il vettore I è tangente nel punto PrISchr 4. Calcolare la derivata del campo scalare nel punto Afo(l, 1). appartenente a una parabola nella direzione di questa curva (nella direzione dell'ascissa crescente). La direzione ] di una parabola in un punto è la direzione della tangente alla parabola in questo punto (Fig. 3). Lascia che la tangente alla parabola nel punto Afo formi un angolo o con l'asse Ox. Quindi da dove dirigere i coseni di una tangente Calcoliamo i valori e in un punto. Abbiamo Ora con la formula (10) otteniamo. Trova la derivata del campo scalare in un punto nella direzione del cerchio L'equazione vettoriale del cerchio ha la forma. Troviamo il vettore unitario m della tangente al cerchio.Il punto corrisponde al valore del parametro. Gradiente di campo scalare Lascia che un campo scalare sia definito da una funzione scalare che si presume sia differenziabile. Definizione. Il gradiente di un campo scalare » in un dato punto M è un vettore indicato dal simbolo grad e definito dall'uguaglianza. È chiaro che questo vettore dipende sia dalla funzione / che dal punto M in cui si calcola la sua derivata. Sia 1 un vettore unitario nella direzione Allora la formula per la derivata direzionale può essere scritta come segue: . quindi, la derivata della funzione e nella direzione 1 è uguale a prodotto scalare del gradiente della funzione u(M) per vettore unitario 1° della direzione I. 2.1. Proprietà fondamentali del gradiente Teorema 1. Il gradiente di campo scalare è perpendicolare alla superficie piana (o alla linea di livello se il campo è piano). (2) Disegniamo una superficie piana u = const passante per un punto M arbitrario e scegliamo una curva liscia L su questa superficie passante per il punto M (Fig. 4). Sia I un vettore tangente alla curva L nel punto M. Poiché sulla superficie piana u(M) = u(M|) per ogni punto Mj ∈ L, allora D'altra parte = (gradu, 1°) . Ecco perchè. Ciò significa che i vettori grad e e 1° sono ortogonali, quindi il vettore grad e è ortogonale a qualsiasi tangente alla superficie piana nel punto M. Quindi è ortogonale alla superficie piana stessa nel punto M. Teorema 2 Il gradiente è diretto nella direzione della funzione di campo crescente. In precedenza abbiamo dimostrato che il gradiente del campo scalare è diretto lungo la normale alla superficie piana, che può essere orientata o verso l'aumento della funzione u(M) o verso la sua diminuzione. Indichiamo con n la normale della superficie piana orientata nella direzione della funzione crescente ti(M), e troviamo la derivata della funzione u nella direzione di questa normale (Fig. 5). Si ha Since secondo la condizione di Fig. 5 e quindi ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici e linee di livello Derivata direzionale Derivativa Gradiente di campo scalare Proprietà fondamentali del gradiente Definizione invariante del gradiente Regole per il calcolo del gradiente Ne consegue che grad ed è diretto in nella stessa direzione di quella che abbiamo scelto la normale n, cioè nella direzione della funzione crescente u(M). Teorema 3. La lunghezza del gradiente è uguale alla più grande derivata rispetto alla direzione in un dato punto del campo, (qui, max $ è preso in tutte le possibili direzioni in un dato punto M al punto). Abbiamo dove è l'angolo tra i vettori 1 e grad n, poiché il valore più grande è Esempio 1. Trova la direzione dell'imonione più grande del campo scalare nel punto e anche l'ampiezza di questo cambiamento più grande nel punto specificato. La direzione della massima variazione nel campo scalare è indicata da un vettore. Abbiamo così Questo vettore determina la direzione del massimo aumento del campo fino a un punto. Il valore del più grande cambiamento nel campo a questo punto è 2.2. Definizione invariante del gradiente Le grandezze che caratterizzano le proprietà dell'oggetto in studio e non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate sono dette invarianti dell'oggetto dato. Ad esempio, la lunghezza di una curva è un'invariante di questa curva, ma l'angolo della tangente alla curva con l'asse x non è un invariante. Sulla base delle tre proprietà precedenti del gradiente di campo scalare, possiamo dare la seguente definizione invariante del gradiente. Definizione. Il gradiente di campo scalare è un vettore diretto lungo la normale alla superficie piana nella direzione della funzione di campo crescente e avente una lunghezza pari alla più grande derivata direzionale (in un dato punto). Sia un vettore normale unitario diretto nella direzione del campo crescente. Quindi Esempio 2. Trova il gradiente di distanza - un punto fisso e M(x,y,z) - quello corrente. 4 Abbiamo dove è il vettore di direzione dell'unità. Regole per il calcolo del gradiente dove c è un numero costante. Le formule di cui sopra sono ottenute direttamente dalla definizione del gradiente e dalle proprietà delle derivate. Per la regola di derivazione del prodotto La dimostrazione è simile alla dimostrazione della proprietà Sia F(u) una funzione scalare differenziabile. Quindi 4 Per la definizione del gradiente, abbiamo Applica a tutti i termini sul lato destro la regola di differenziazione funzione complessa. In particolare, la formula (6) segue dal piano della formula a due punti fissi di questo piano. Si consideri un'ellisse arbitraria con fuochi Fj e F] e si dimostri che ogni raggio di luce che emerge da un fuoco dell'ellisse, dopo essere stato riflesso dall'ellisse, entra nell'altro suo fuoco. Le linee di livello della funzione (7) sono ANALISI VETTORIALE Campo scalare Superfici e linee di livello Derivata direzionale Derivativa Gradiente di campo scalare Proprietà fondamentali del gradiente Definizione invariante del gradiente Regole di calcolo del gradiente Le equazioni (8) descrivono una famiglia di ellissi con fuochi nei punti F) e Fj. Secondo il risultato dell'Esempio 2, abbiamo e raggio vettori. disegnato al punto P(x, y) dai fuochi F| e Fj, e quindi si trova sulla bisettrice dell'angolo tra questi raggi vettori (Fig. 6). Secondo Tooromo 1, il gradiente PQ è perpendicolare all'ellisse (8) nel punto. Pertanto, Fig.6. la normale all'ellisse (8) in qualsiasi punto esimo biseca l'angolo tra i vettori del raggio tracciati in questo punto. Da qui e dal fatto che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, si ottiene: un raggio di luce uscente da un fuoco dell'ellisse, riflesso da esso, cadrà certamente nell'altro fuoco di questa ellisse.
È noto da un corso di matematica scolastico che un vettore su un piano è un segmento orientato. Il suo inizio e la sua fine hanno due coordinate. Le coordinate del vettore vengono calcolate sottraendo le coordinate iniziali dalle coordinate finali.
Il concetto di vettore può essere esteso anche ad uno spazio n-dimensionale (invece di due coordinate ci saranno n coordinate).
Pendenza funzione gradz z=f(x 1 , x 2 , ... x n) è il vettore delle derivate parziali della funzione in un punto, cioè vettore con coordinate.
Si può dimostrare che il gradiente di una funzione caratterizza la direzione della crescita più rapida del livello della funzione in un punto.
Ad esempio, per la funzione z \u003d 2x 1 + x 2 (vedi Figura 5.8), il gradiente in qualsiasi punto avrà coordinate (2; 1). Può essere costruito su un piano in vari modi, prendendo qualsiasi punto come inizio del vettore. Ad esempio, è possibile collegare il punto (0; 0) al punto (2; 1) o il punto (1; 0) al punto (3; 1) o il punto (0; 3) al punto (2; 4), o t.P. (vedi figura 5.8). Tutti i vettori costruiti in questo modo avranno coordinate (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).
La Figura 5.8 mostra chiaramente che il livello della funzione cresce nella direzione del gradiente, poiché le linee di livello costruite corrispondono ai valori di livello 4 > 3 > 2.
Figura 5.8 - Gradiente della funzione z \u003d 2x 1 + x 2
Considera un altro esempio: la funzione z= 1/(x 1 x 2). Il gradiente di questa funzione non sarà più sempre lo stesso in punti diversi, poiché le sue coordinate sono determinate dalle formule (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
La Figura 5.9 mostra le linee di livello della funzione z= 1/(x 1 x 2) per i livelli 2 e 10 (la linea 1/(x 1 x 2) = 2 è indicata da una linea tratteggiata, e la linea 1/( x 1 x 2) = 10 è una linea continua).
Figura 5.9 - Gradienti della funzione z \u003d 1 / (x 1 x 2) in vari punti
Prendi, ad esempio, il punto (0,5; 1) e calcola il gradiente in questo punto: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Nota che il punto (0.5; 1) si trova sulla linea di livello 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, perché z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. Per disegnare il vettore (-4; -2) nella Figura 5.9, collegare il punto (0.5; 1) con il punto (-3.5; -1), perché (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).
Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ad esempio il punto (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Calcolare il gradiente a questo punto (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Per rappresentarlo nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (1; 0.5) con il punto (-1; -3.5), perché (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - quattro).
Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ma solo ora in un quarto di coordinate non positivo. Ad esempio, punto (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Il gradiente a questo punto sarà (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/(((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Descriviamolo nella Figura 5.9 collegando il punto (-0.5; -1) con il punto (3.5; 1), perché (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Si noti che in tutti e tre i casi considerati il gradiente mostra la direzione di crescita del livello della funzione (verso la linea di livello 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Si può dimostrare che il gradiente è sempre perpendicolare alla linea di livello (superficie piana) passante per il punto dato.
Definiamo il concetto estremo per una funzione di molte variabili.
La funzione a più variabili f(X) ha nel punto X (0) massimo (minimo), se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti i punti X da questo intorno valgono le disuguaglianze f(X)f(X (0)) ().
Se queste disuguaglianze sono soddisfatte come rigorose, viene chiamato l'estremo forte, e se no, allora debole.
Si noti che l'estremo definito in questo modo è Locale carattere, poiché queste disuguaglianze valgono solo per qualche intorno del punto estremo.
Una condizione necessaria per un estremo locale di una funzione differenziabile z=f(x 1, . . ., x n) in un punto è l'uguaglianza a zero di tutte le derivate parziali del primo ordine in questo punto: 
.
I punti in cui valgono queste uguaglianze sono chiamati stazionario.
In altro modo, la condizione necessaria per un estremo può essere formulata come segue: nel punto estremo il gradiente è uguale a zero. È anche possibile dimostrare un'affermazione più generale: nel punto estremo, le derivate della funzione in tutte le direzioni svaniscono.
I punti stazionari dovrebbero essere sottoposti a ulteriori studi - se sono soddisfatte condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo locale. Per fare ciò, determinare il segno del differenziale di secondo ordine. Se per qualsiasi che non è contemporaneamente uguale a zero, è sempre negativo (positivo), allora la funzione ha un massimo (minimo). Se può svanire non solo a incrementi pari a zero, allora la questione dell'estremo rimane aperta. Se può assumere valori sia positivi che negativi, allora non c'è estremo nel punto stazionario.
Nel caso generale, determinare il segno del differenziale è un problema piuttosto complicato, che non considereremo qui. Per una funzione di due variabili, si può dimostrare che se in un punto stazionario 
, allora c'è un estremo. In questo caso il segno del secondo differenziale coincide con il segno 
, cioè. Se 
, allora questo è il massimo, e se 
, allora questo è il minimo. Se una 
, allora non c'è estremo a questo punto, e se 
, allora la questione dell'estremo rimane aperta.
Esempio 1. Trova gli estremi di una funzione 
.
Troviamo le derivate parziali con il metodo della differenziazione logaritmica.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Allo stesso modo 
.
Troviamo punti stazionari dal sistema di equazioni:
Pertanto, si trovano quattro punti stazionari (1; 1), (1; -1), (-1; 1) e (-1; -1).
Troviamo le derivate parziali del secondo ordine:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Allo stesso modo 
;
.
Perché 
, segno di espressione 
dipende solo da 
. Nota che in entrambe queste derivate il denominatore è sempre positivo, quindi puoi considerare solo il segno del numeratore, o anche il segno delle espressioni x (x 2 - 3) e y (y 2 - 3). Determiniamolo in ogni punto critico e verifichiamo il soddisfacimento della condizione di estremo sufficiente.
Per il punto (1; 1) otteniamo 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0 e 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Per il punto (1; -1) otteniamo 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Perché il prodotto di questi numeri 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Per il punto (-1; -1) otteniamo (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. prodotto di due numeri positivi 
> 0 e 
> 0, nel punto (-1; -1) puoi trovare un minimo. È uguale a 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Trova globale il massimo o il minimo (il valore più grande o più piccolo della funzione) è in qualche modo più complicato dell'estremo locale, poiché questi valori possono essere raggiunti non solo in punti stazionari, ma anche al confine del dominio di definizione. Non è sempre facile studiare il comportamento di una funzione al confine di questa regione.
