Quando si studia la geometria, sorgono molte domande sul tema dei vettori. Lo studente incontra particolari difficoltà quando è necessario trovare gli angoli tra i vettori.
Prima di considerare gli angoli tra vettori, è necessario familiarizzare con la definizione di vettore e il concetto di angolo tra vettori.
Un vettore è un segmento che ha una direzione, cioè un segmento per il quale sono definiti l'inizio e la fine.
L'angolo tra due vettori su un piano che hanno un'origine comune è il più piccolo degli angoli, di cui è necessario spostare uno dei vettori attorno a punto comune, finché le loro direzioni coincidono.
Una volta capito cos'è un vettore e come viene determinato il suo angolo, puoi calcolare l'angolo tra i vettori. La formula della soluzione per questo è abbastanza semplice e il risultato della sua applicazione sarà il valore del coseno dell'angolo. Per definizione, è uguale al quoziente del prodotto scalare dei vettori e del prodotto delle loro lunghezze.
Il prodotto scalare dei vettori è considerato come la somma delle coordinate corrispondenti dei vettori moltiplicatori moltiplicati l'uno per l'altro. La lunghezza di un vettore, o il suo modulo, è calcolata come radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.
Dopo aver ricevuto il valore del coseno dell'angolo, puoi calcolare il valore dell'angolo stesso utilizzando una calcolatrice o utilizzando una tabella trigonometrica.
Dopo aver capito come calcolare l'angolo tra i vettori, la soluzione al problema corrispondente diventa semplice e diretta. Ad esempio, consideriamo il semplice problema di trovare l'ampiezza di un angolo.
Innanzitutto sarà più conveniente calcolare i valori delle lunghezze dei vettori e il loro prodotto scalare necessari alla risoluzione. Usando la descrizione sopra, otteniamo:
Sostituendo i valori ottenuti nella formula, calcoliamo il valore del coseno dell'angolo desiderato:
Questo numero non è uno dei cinque valori comuni del coseno, quindi per ottenere il valore dell'angolo dovrai usare una calcolatrice o la tavola trigonometrica di Bradis. Ma prima di ottenere l'angolo tra i vettori, la formula può essere semplificata per eliminare il segno negativo extra:
La risposta finale può essere lasciata in questa forma per mantenere la precisione, oppure puoi calcolare il valore dell'angolo in gradi. Secondo la tabella Bradis, il suo valore sarà di circa 116 gradi e 70 minuti e la calcolatrice mostrerà un valore di 116,57 gradi.
Quando si considerano due vettori nello spazio tridimensionale, è molto più difficile capire di quale angolo stiamo parlando se non giacciono sullo stesso piano. Per semplificare la percezione, puoi disegnare due segmenti intersecanti che formano l'angolo più piccolo tra loro, e sarà quello desiderato. Nonostante la presenza di una terza coordinata nel vettore, il processo di calcolo degli angoli tra i vettori non cambierà. Calcola il prodotto scalare ei moduli dei vettori, l'arcocoseno del loro quoziente e sarà la risposta a questo problema.
In geometria, si incontrano spesso problemi con gli spazi che hanno più di tre misurazioni. Ma per loro, l'algoritmo per trovare la risposta sembra simile.
Uno degli errori comuni quando si scrive una risposta a un problema progettato per calcolare l'angolo tra i vettori è la decisione di scrivere che i vettori sono paralleli, cioè l'angolo desiderato risulta essere 0 o 180 gradi. Questa risposta non è corretta.
Avendo ricevuto un valore dell'angolo di 0 gradi come risultato della soluzione, la risposta corretta sarebbe designare i vettori come co-direzionali, cioè i vettori avranno la stessa direzione. Nel caso di ottenere 180 gradi, i vettori avranno la natura di direzioni opposte.
Trovando gli angoli tra i vettori, si può trovare uno dei tipi speciali, oltre a quelli co-diretti e opposti descritti sopra.
Il prodotto scalare dei vettori (di seguito nel testo della joint venture). Cari amici! L'esame di matematica comprende un gruppo di problemi per la risoluzione di vettori. Abbiamo già considerato alcuni problemi. Puoi vederli nella categoria "Vettore". In generale, la teoria dei vettori è semplice, l'importante è studiarla in modo coerente. Calcoli e operazioni con vettori in corso scolastico La matematica è semplice, le formule non sono complesse. Guardare dentro . In questo articolo analizzeremo i compiti sulla joint venture di vettori (inclusi nell'esame). Ora "immersione" nella teoria:
H Per trovare le coordinate di un vettore, devi sottrarre dalle coordinate della sua estremitàcoordinate corrispondenti del suo inizio
E inoltre:
*La lunghezza del vettore (modulo) è definita come segue:
Queste formule vanno memorizzate!!!
Mostriamo l'angolo tra i vettori:
È chiaro che può variare da 0 a 180 0(o in radianti da 0 a Pi).
Possiamo trarre alcune conclusioni sul segno del prodotto scalare. Le lunghezze dei vettori sono positive, ovviamente. Quindi il segno del prodotto scalare dipende dal valore del coseno dell'angolo tra i vettori.
Possibili casi:
1. Se l'angolo tra i vettori è acuto (da 0 0 a 90 0), il coseno dell'angolo avrà un valore positivo.
2. Se l'angolo tra i vettori è ottuso (da 90 0 a 180 0), allora il coseno dell'angolo avrà un valore negativo.
*A zero gradi, cioè quando i vettori hanno la stessa direzione, il coseno è uguale a uno e, di conseguenza, il risultato sarà positivo.
A 180°, cioè quando i vettori hanno direzioni opposte, il coseno è uguale a meno uno,e il risultato sarà negativo.
Ora il PUNTO IMPORTANTE!
A 90°, cioè quando i vettori sono perpendicolari tra loro, il coseno è zero, e quindi la joint venture è zero. Questo fatto (conseguenza, conclusione) viene utilizzato per risolvere molti problemi di cui stiamo parlando posizione relativa vettori, anche nei compiti inclusi nella banca aperta di compiti in matematica.
Formuliamo l'affermazione: il prodotto scalare è uguale a zero se e solo se i vettori dati giacciono su rette perpendicolari.
Quindi, le formule per i vettori SP sono:
Se sono note le coordinate dei vettori o le coordinate dei punti dei loro inizi e delle loro estremità, allora possiamo sempre trovare l'angolo tra i vettori:
Considera i compiti:
27724 Trova il prodotto scalare dei vettori a e b .
Possiamo trovare il prodotto scalare dei vettori utilizzando una delle due formule:
L'angolo tra i vettori è sconosciuto, ma possiamo facilmente trovare le coordinate dei vettori e quindi utilizzare la prima formula. Poiché gli inizi di entrambi i vettori coincidono con l'origine, le coordinate di questi vettori sono uguali alle coordinate delle loro estremità, cioè
Come trovare le coordinate di un vettore è descritto in.
Calcoliamo:
Risposta: 40
Trova le coordinate dei vettori e usa la formula:
Per trovare le coordinate di un vettore, è necessario sottrarre le corrispondenti coordinate del suo inizio dalle coordinate della fine del vettore, il che significa
Calcoliamo il prodotto scalare:
Risposta: 40
Trova l'angolo tra i vettori a e b . Dai la tua risposta in gradi.
Lascia che le coordinate dei vettori abbiano la forma:
Per trovare l'angolo tra i vettori, usiamo la formula per il prodotto scalare dei vettori:
Coseno dell'angolo tra i vettori:
Di conseguenza:
Le coordinate di questi vettori sono:
Inseriamoli nella formula:
L'angolo tra i vettori è di 45 gradi.
Risposta: 45
Continuiamo a trattare con i vettori. Alla prima lezione Vettori per manichini abbiamo considerato il concetto di vettore, le azioni con i vettori, le coordinate vettoriali ei problemi più semplici con i vettori. Se sei arrivato su questa pagina per la prima volta da un motore di ricerca, ti consiglio vivamente di leggere l'articolo introduttivo di cui sopra, perché per assimilare il materiale devi essere guidato nei termini e nella notazione che uso, avere una conoscenza di base dei vettori ed essere in grado di risolvere problemi elementari. Questa lezione è continuazione logica argomenti, e su di esso analizzerò in dettaglio attività tipiche che utilizzano il prodotto scalare di vettori. Questo è un lavoro MOLTO IMPORTANTE.. Cerca di non saltare gli esempi, sono dotati di un utile bonus: la pratica ti aiuterà a consolidare il materiale coperto e "mettere le mani" sulla risoluzione di problemi comuni di geometria analitica.
Somma di vettori, moltiplicazione di un vettore per un numero…. Sarebbe ingenuo pensare che i matematici non abbiano escogitato qualcos'altro. Oltre alle azioni già considerate, ci sono una serie di altre operazioni con i vettori, vale a dire: prodotto scalare di vettori, prodotto vettoriale di vettori e prodotto misto di vettori. Il prodotto scalare dei vettori ci è familiare dalla scuola, gli altri due prodotti sono tradizionalmente legati al corso matematica superiore. Gli argomenti sono semplici, l'algoritmo per risolvere molti problemi è stereotipato e comprensibile. L'unica cosa. C'è una discreta quantità di informazioni, quindi non è auspicabile provare a padroneggiare e risolvere TUTTO E IN UNA VOLTA. Questo è particolarmente vero per i manichini, credetemi, l'autore non vuole assolutamente sentirsi come Chikatilo dalla matematica. Beh, nemmeno dalla matematica, ovviamente =) Gli studenti più preparati possono usare i materiali in modo selettivo, in in un certo senso, "prendi" la conoscenza mancante, per te sarò l'innocuo Conte Dracula =)
Infine, apriamo un po' la porta e diamo un'occhiata a cosa succede quando due vettori si incontrano….
Prima di tutto angolo tra i vettori. Penso che tutti capiscano intuitivamente qual è l'angolo tra i vettori, ma per ogni evenienza, un po' di più. Considera vettori liberi diversi da zero e . Se rimandiamo questi vettori da un punto arbitrario, otteniamo un'immagine che molti hanno già presentato mentalmente: 
Confesso, qui ho descritto la situazione solo a livello di comprensione. Se hai bisogno di una definizione rigorosa dell'angolo tra i vettori, fai riferimento al libro di testo, ma per compiti pratici, in linea di principio, non ne abbiamo bisogno. Anche QUI E OLTRE, a volte ignorerò i vettori zero a causa del loro scarso significato pratico. Ho effettuato una prenotazione appositamente per i visitatori avanzati del sito, che possono rimproverarmi l'incompletezza teorica di alcune delle seguenti affermazioni.
può assumere valori da 0 a 180 gradi (da 0 a radianti) inclusi. Analiticamente dato di fatto si scrive come doppia disuguaglianza:
o 
(in radianti). In letteratura, l'icona dell'angolo è spesso omessa e scritta semplicemente.
Definizione: Il prodotto scalare di due vettori è un NUMERO uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e il coseno dell'angolo tra di loro: 
Questa è una definizione piuttosto rigorosa.
Ci concentriamo sulle informazioni essenziali:
Designazione: il prodotto scalare è denotato da o semplicemente .
Il risultato dell'operazione è un NUMERO: Moltiplica un vettore per un vettore per ottenere un numero. Infatti, se le lunghezze dei vettori sono numeri, il coseno dell'angolo è un numero, quindi il loro prodotto 
sarà anche un numero.
Solo un paio di esempi di riscaldamento:
Esempio 1
Soluzione: Usiamo la formula 
. A questo caso:
Risposta:
I valori del coseno possono essere trovati in tavola trigonometrica. Consiglio di stamparlo: sarà richiesto in quasi tutte le sezioni della torre e sarà richiesto molte volte.
Da un punto di vista puramente matematico, il prodotto scalare è adimensionale, cioè il risultato, in questo caso, è solo un numero e basta. Dal punto di vista dei problemi di fisica, il prodotto scalare ha sempre un certo significato fisico, ovvero, dopo il risultato, deve essere indicata l'una o l'altra unità fisica. L'esempio canonico di calcolo del lavoro di una forza può essere trovato in qualsiasi libro di testo (la formula è esattamente un prodotto scalare). Il lavoro di una forza è misurato in Joule, quindi la risposta sarà scritta in modo abbastanza specifico, ad esempio.
Esempio 2
Trova se 
, e l'angolo tra i vettori è .
Questo è un esempio di auto-decisione, la risposta è alla fine della lezione.
Nell'Esempio 1, il prodotto scalare è risultato essere positivo, e nell'Esempio 2, è risultato essere negativo. Scopriamo da cosa dipende il segno del prodotto scalare. Diamo un'occhiata alla nostra formula: 
. Le lunghezze dei vettori diversi da zero sono sempre positive: , quindi il segno può dipendere solo dal valore del coseno.
Nota: Per una migliore comprensione delle informazioni seguenti, è meglio studiare il grafico del coseno nel manuale Grafici e proprietà delle funzioni. Guarda come si comporta il coseno sul segmento.
Come già notato, l'angolo tra i vettori può variare all'interno 
, e sono possibili i seguenti casi:
1) Se angolo tra vettori speziato: 
(da 0 a 90 gradi), quindi 
, e il prodotto scalare sarà positivo co-diretto, quindi l'angolo tra loro è considerato zero e anche il prodotto scalare sarà positivo. Poiché , allora la formula è semplificata: .
2) Se angolo tra vettori stupido: 
(da 90 a 180 gradi), quindi 
, e corrispondentemente, prodotto scalare è negativo: . Un caso speciale: se vettori diretto in senso opposto, quindi viene considerato l'angolo tra di loro schierato: (180 gradi). Anche il prodotto scalare è negativo, poiché
Sono vere anche le affermazioni inverse:
1) Se , allora l'angolo tra questi vettori è acuto. In alternativa, i vettori sono codirezionali.
2) Se , allora l'angolo tra questi vettori è ottuso. In alternativa, i vettori sono diretti in modo opposto.
Ma il terzo caso è di particolare interesse:
3) Se angolo tra vettori dritto: (90 gradi) poi e prodotto scalare è zero: . È vero anche il contrario: se , allora . La dichiarazione compatta è formulata come segue: Il prodotto scalare di due vettori è zero se e solo se i vettori dati sono ortogonali. Notazione matematica breve: 
! Nota
: ripetere fondamenti della logica matematica: l'icona di conseguenza logica a doppia faccia viene solitamente letta "se e solo allora", "se e solo se". Come puoi vedere, le frecce sono dirette in entrambe le direzioni - "da questo segue questo, e viceversa - da questo segue questo". Qual è, a proposito, la differenza rispetto all'icona di un percorso di sola andata? Reclami dell'icona solo quello che "da questo segue questo", e non il fatto che sia vero il contrario. Ad esempio: , ma non tutti gli animali sono pantere, quindi l'icona non può essere utilizzata in questo caso. Allo stesso tempo, invece dell'icona Potere usa l'icona unilaterale. Ad esempio, risolvendo il problema, abbiamo scoperto di aver concluso che i vettori sono ortogonali: 
- un tale record sarà corretto e persino più appropriato di 
.
Il terzo caso ha un grande significato pratico , poiché consente di verificare se i vettori sono ortogonali o meno. Risolveremo questo problema nella seconda sezione della lezione.
Torniamo alla situazione in cui due vettori co-diretto. In questo caso, l'angolo tra loro è zero, , e la formula del prodotto scalare assume la forma: .
Cosa succede se un vettore viene moltiplicato per se stesso? È chiaro che il vettore è co-diretto con se stesso, quindi usiamo la formula semplificata di cui sopra:
Il numero è chiamato quadrato scalare vettore e sono indicati come .
In questo modo, quadrato scalare vettoriale è uguale al quadrato la lunghezza del vettore dato:
Da questa uguaglianza, puoi ottenere una formula per calcolare la lunghezza di un vettore:
Anche se sembra oscuro, ma i compiti della lezione metteranno tutto al suo posto. Per risolvere i problemi, abbiamo anche bisogno proprietà del prodotto scalare.
Per vettori arbitrari e qualsiasi numero, valgono le seguenti proprietà:
1) - spostabile o commutativo legge del prodotto scalare.
2) 
- distribuzione o distributivo legge del prodotto scalare. In poche parole, puoi aprire le parentesi.
3) 
- combinazione o associativo legge del prodotto scalare. La costante può essere estratta dal prodotto scalare.
Spesso tutti i tipi di proprietà (che devono anche essere dimostrati!) Sono percepiti dagli studenti come spazzatura inutile, che deve solo essere memorizzata e dimenticata in modo sicuro subito dopo l'esame. Sembrerebbe che ciò che è importante qui, tutti sappiano già dalla prima elementare che il prodotto non cambia da una permutazione dei fattori:. Devo avvertirti, in matematica superiore con un tale approccio è facile incasinare le cose. Quindi, ad esempio, la proprietà commutativa non è valida per matrici algebriche. Non è vero per prodotto vettoriale di vettori. Pertanto, è almeno meglio approfondire le proprietà che incontrerai nel corso della matematica superiore per capire cosa si può e cosa non si può fare.
Esempio 3
.
Soluzione: Innanzitutto, chiariamo la situazione con il vettore. Cos'è tutto questo? La somma dei vettori e è un vettore ben definito, indicato con . L'interpretazione geometrica delle azioni con i vettori può essere trovata nell'articolo Vettori per manichini. Lo stesso prezzemolo con un vettore è la somma dei vettori e .
Quindi, secondo la condizione, è necessario trovare il prodotto scalare. In teoria, è necessario applicare la formula di lavoro 
, ma il guaio è che non conosciamo le lunghezze dei vettori e l'angolo tra di essi. Ma nella condizione, vengono forniti parametri simili per i vettori, quindi andremo dall'altra parte:
(1) Sostituiamo le espressioni dei vettori .
(2) Apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi, nell'articolo si trova un volgare scioglilingua Numeri complessi o Integrazione di una funzione frazionaria-razionale. Non mi ripeterò =) A proposito, la proprietà distributiva del prodotto scalare ci permette di aprire le parentesi. Abbiamo il diritto.
(3) Nel primo e nell'ultimo termine, scriviamo in modo compatto i quadrati scalari dei vettori: 
. Nel secondo termine, usiamo la commutabilità del prodotto scalare: .
(4) Ecco termini simili: .
(5) Nel primo termine usiamo la formula del quadrato scalare, che è stata menzionata non molto tempo fa. Nell'ultimo termine, rispettivamente, funziona la stessa cosa: . Il secondo termine viene espanso secondo la formula standard 
.
(6) Sostituire queste condizioni 
, ed eseguire ATTENTAMENTE i calcoli finali.
Risposta:
Il valore negativo del prodotto scalare indica il fatto che l'angolo tra i vettori è ottuso.
Il compito è tipico, ecco un esempio per una soluzione indipendente:
Esempio 4
Trova il prodotto scalare dei vettori e , se lo sai 
.
Ora un'altra attività comune, solo per la nuova formula di lunghezza del vettore. Le designazioni qui si sovrapporranno un po', quindi per chiarezza, le riscriverò con una lettera diversa:
Esempio 5
Trova la lunghezza del vettore se 
.
Soluzione sarà il seguente:
(1) Forniamo l'espressione vettoriale .
(2) Usiamo la formula della lunghezza: , mentre abbiamo un'espressione intera come vettore "ve".
(3) Usiamo la formula della scuola per il quadrato della somma. Presta attenzione a come funziona curiosamente qui: - infatti, questo è il quadrato della differenza, e, infatti, è così. Chi lo desidera può riorganizzare i vettori in alcuni punti: - è risultata la stessa cosa fino a un riarrangiamento dei termini.
(4) Quanto segue è già noto dai due problemi precedenti.
Risposta: 
Dato che stiamo parlando di lunghezza, non dimenticare di indicare la dimensione - "unità".
Esempio 6
Trova la lunghezza del vettore se 
.
Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Continuiamo a spremere cose utili dal prodotto scalare. Diamo un'occhiata di nuovo alla nostra formula 
. Con la regola della proporzione, reimpostiamo le lunghezze dei vettori al denominatore del lato sinistro: 
Scambiamo le parti: 
Qual è il significato di questa formula? Se sono note le lunghezze di due vettori e il loro prodotto scalare, è possibile calcolare il coseno dell'angolo tra questi vettori e, di conseguenza, l'angolo stesso.
Il prodotto scalare è un numero? Numero. Le lunghezze dei vettori sono numeri? Numeri. Quindi anche una frazione è un numero. E se il coseno dell'angolo è noto: 
, quindi utilizzando funzione inversaè facile trovare l'angolo stesso: 
.
Esempio 7
Trova l'angolo tra i vettori e , se è noto che .
Soluzione: Usiamo la formula:
Nella fase finale dei calcoli è stata utilizzata una tecnica: l'eliminazione dell'irrazionalità nel denominatore. Per eliminare l'irrazionalità, ho moltiplicato il numeratore e il denominatore per .
Quindi se 
, poi: 
Valori inversi funzioni trigonometriche può essere trovato da tavola trigonometrica. Anche se questo accade raramente. Nei problemi di geometria analitica, qualche goffo orso compare molto più spesso, e il valore dell'angolo va trovato approssimativamente usando una calcolatrice. In effetti, vedremo questa immagine ancora e ancora.
Risposta: 
Ancora una volta, non dimenticare di specificare la dimensione: radianti e gradi. Personalmente, per “rimuovere deliberatamente tutte le domande”, preferisco indicare entrambe (a meno che, ovviamente, a condizione, non sia richiesto di presentare la risposta solo in radianti o solo in gradi).
Ora sarai in grado di affrontare da solo un compito più difficile:
Esempio 7*
Sono date le lunghezze dei vettori e l'angolo tra di loro. Trova l'angolo tra i vettori , .
Il compito non è tanto difficile quanto a più vie.
Analizziamo l'algoritmo di soluzione:
1) In base alla condizione, è necessario trovare l'angolo tra i vettori e , quindi è necessario utilizzare la formula 
.
2) Troviamo il prodotto scalare (vedi Esempi n. 3, 4).
3) Trova la lunghezza del vettore e la lunghezza del vettore (vedi esempi n. 5, 6).
4) La fine della soluzione coincide con l'esempio n. 7 - conosciamo il numero , il che significa che è facile trovare l'angolo stesso: 
Soluzione breve e risposta alla fine della lezione.
La seconda sezione della lezione è dedicata allo stesso prodotto scalare. Coordinate. Sarà ancora più facile che nella prima parte.
Risposta:
Inutile dire che avere a che fare con le coordinate è molto più piacevole.
Esempio 14
Trova il prodotto scalare di vettori e if
Questo è un esempio fai da te. Qui puoi usare l'associatività dell'operazione, cioè non contare, ma prendere immediatamente il triplo dal prodotto scalare e moltiplicarlo per ultimo. Soluzione e risposta alla fine della lezione.
Alla fine del paragrafo, un esempio provocatorio di calcolo della lunghezza di un vettore:
Esempio 15
Trova le lunghezze dei vettori 
, Se
Soluzione: di nuovo il metodo della sezione precedente suggerisce se stesso: ma c'è un altro modo:
Troviamo il vettore:
E la sua lunghezza secondo la formula banale 
:
Il prodotto scalare non è affatto rilevante qui!
Quanto è fuori mercato quando si calcola la lunghezza di un vettore:
Fermare. Perché non sfruttare l'ovvia proprietà di lunghezza di un vettore? Cosa si può dire della lunghezza di un vettore? Questo vettore è 5 volte più lungo del vettore. La direzione è opposta, ma non importa, perché stiamo parlando di lunghezza. Ovviamente, la lunghezza del vettore è uguale al prodotto modulo numeri per lunghezza del vettore:
- il segno del modulo "mangia" l'eventuale meno del numero.
In questo modo:
Risposta:
ora abbiamo informazioni complete, in modo che la formula precedentemente derivata per il coseno dell'angolo tra vettori 
esprimere in termini di coordinate vettoriali:
Coseno dell'angolo tra vettori piani e , dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:
.
Coseno dell'angolo tra vettori spaziali, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula: 
Esempio 16
Sono dati tre vertici di un triangolo. Trova (angolo al vertice ).
Soluzione: A condizione, il disegno non è richiesto, ma comunque: 
L'angolo richiesto è contrassegnato da un arco verde. Richiama immediatamente la designazione scolastica dell'angolo: - Attenzione speciale sul mezzo lettera: questo è il vertice dell'angolo di cui abbiamo bisogno. Per brevità, potrebbe anche essere scritto semplicemente.
Dal disegno è abbastanza evidente che l'angolo del triangolo coincide con l'angolo tra i vettori e , in altre parole: 
.
È desiderabile imparare come eseguire l'analisi eseguita mentalmente.
Troviamo i vettori: 
Calcoliamo il prodotto scalare:
E le lunghezze dei vettori: 
Coseno di un angolo:
È questo l'ordine del compito che raccomando ai manichini. I lettori più avanzati possono scrivere i calcoli "in una riga": 
Ecco un esempio di un valore del coseno "cattivo". Il valore risultante non è definitivo, quindi non ha molto senso eliminare l'irrazionalità nel denominatore.
Troviamo l'angolo:
Se guardi il disegno, il risultato è abbastanza plausibile. Per controllare l'angolo può anche essere misurato con un goniometro. Non danneggiare il rivestimento del monitor =)
Risposta: 
Nella risposta, non dimenticarlo chiesto circa l'angolo del triangolo(e non sull'angolo tra i vettori), non dimenticare di indicare la risposta esatta: e il valore approssimativo dell'angolo: 
trovato con una calcolatrice.
Coloro che hanno apprezzato il processo possono calcolare gli angoli e assicurarsi che l'uguaglianza canonica sia vera
Esempio 17
Un triangolo è dato nello spazio dalle coordinate dei suoi vertici. Trova l'angolo tra i lati e
Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione
Una piccola sezione finale sarà dedicata alle proiezioni, in cui anche il prodotto scalare è "coinvolto":
Considera i vettori e: 
Proiettiamo il vettore sul vettore , per questo omettiamo dall'inizio e dalla fine del vettore perpendicolari per vettore (linee tratteggiate verdi). Immagina che i raggi di luce cadano perpendicolarmente su un vettore. Quindi il segmento (linea rossa) sarà "l'ombra" del vettore. In questo caso, la proiezione di un vettore su un vettore è la LUNGHEZZA del segmento. Cioè, LA PROIEZIONE È UN NUMERO.
Questo NUMERO è indicato come segue: , "grande vettore" denota un vettore QUALE IL project, "small subscript vector" denota il vettore SUL che è proiettato.
La voce stessa recita così: “la proiezione del vettore “a” sul vettore “be””.
Cosa succede se il vettore "be" è "troppo corto"? Disegniamo una linea retta contenente il vettore "be". E il vettore "a" sarà già proiettato alla direzione del vettore "essere", semplicemente - su una linea retta contenente il vettore "be". La stessa cosa accadrà se il vettore "a" viene messo da parte nel trentesimo regno - sarà comunque facilmente proiettato sulla linea contenente il vettore "essere".
Se l'angolo tra vettori speziato(come nella foto), quindi
Se i vettori ortogonale, quindi (la proiezione è un punto le cui dimensioni sono assunte pari a zero).
Se l'angolo tra vettori stupido(nella figura, riorganizza mentalmente la freccia del vettore), quindi (la stessa lunghezza, ma presa con un segno meno).
Metti da parte questi vettori da un punto: 
Ovviamente, quando si sposta un vettore, la sua proiezione non cambia
Angolo tra due vettori , :
Se l'angolo tra due vettori è acuto, allora il loro prodotto scalare è positivo; se l'angolo tra i vettori è ottuso, allora il prodotto scalare di questi vettori è negativo. Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è zero se e solo se questi vettori sono ortogonali.
Esercizio. Trova l'angolo tra i vettori e
Soluzione. Coseno dell'angolo desiderato
16. Calcolo dell'angolo tra rette, rette e piani
Angolo tra retta e piano che interseca questa linea e non perpendicolare ad essa è l'angolo tra la linea e la sua proiezione su questo piano.
Determinare l'angolo tra una linea e un piano ci permette di concludere che l'angolo tra una linea e un piano è l'angolo tra due linee che si intersecano: la linea stessa e la sua proiezione sul piano. Pertanto, l'angolo tra una linea e un piano è un angolo acuto.
L'angolo tra una linea perpendicolare e un piano è considerato uguale e l'angolo tra una linea parallela e un piano non è affatto determinato o è considerato uguale a .
§ 69. Calcolo dell'angolo tra rette.
Il problema del calcolo dell'angolo tra due rette nello spazio è risolto allo stesso modo del piano (§ 32). Indichiamo con φ l'angolo tra le linee l 1 e l 2 , e attraverso ψ - l'angolo tra i vettori di direzione un e b queste linee rette.
Allora se
ψ 90° (Fig. 206.6), quindi φ = 180° - ψ. È ovvio che in entrambi i casi vale l'uguaglianza cos φ = |cos ψ|. Per formula (1) § 20 abbiamo
Di conseguenza, 
Siano date le rette dalle loro equazioni canoniche
Quindi l'angolo φ tra le linee viene determinato utilizzando la formula
Se una delle linee (o entrambe) è data da equazioni non canoniche, per calcolare l'angolo è necessario trovare le coordinate dei vettori di direzione di queste linee, quindi utilizzare la formula (1).
17. Rette parallele, Teoremi sulle rette parallele
Definizione. Si chiamano due rette in un piano parallelo se non hanno punti in comune.
Due linee rette spazio tridimensionale chiamato parallelo se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.
Dalla definizione del prodotto scalare:
.
Condizione di ortogonalità di due vettori:
Condizione di collinearità per due vettori:
.
Segue dalla definizione 5 - . In effetti, dalla definizione del prodotto di un vettore per un numero, segue. Pertanto, in base alla regola di uguaglianza dei vettori, scriviamo , , , che implica 
. Ma il vettore risultante dalla moltiplicazione di un vettore per un numero è collineare al vettore .
Proiezione da vettore a vettore:
.
Esempio 4. Dati i punti , , , .
Trova il prodotto scalare.
Soluzione. troviamo dalla formula del prodotto scalare dei vettori data dalle loro coordinate. Perché il
, 
,
Esempio 5 Dati i punti , , , .
Trova la proiezione.
Soluzione. Perché il
, ,
Sulla base della formula di proiezione, abbiamo
.
Esempio 6 Dati i punti , , , .
Trova l'angolo tra i vettori e .
Soluzione. Si noti che i vettori
, ,
non sono collineari, poiché le loro coordinate non sono proporzionali:
.
Anche questi vettori non sono perpendicolari, poiché il loro prodotto scalare è .
Cerchiamo,
Angolo 
trova dalla formula:
.
Esempio 7 Determina per quali vettori e 
collineare.
Soluzione. Nel caso di collinearità, le corrispondenti coordinate dei vettori 
e deve essere proporzionale, cioè:
.
Da qui e.
Esempio 8. Determina a quale valore del vettore 
e 
sono perpendicolari.
Soluzione. Vettore 
e sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è zero. Da questa condizione si ottiene: . Questo è, .
Esempio 9. Trova 
, Se , , .
Soluzione. Per le proprietà del prodotto scalare si ha:
Esempio 10. Trova l'angolo tra i vettori e , dove e - vettori unitari e l'angolo tra i vettori e è uguale a 120o.
Soluzione. Abbiamo: 
, ,
Infine abbiamo: 
.
5 B. prodotto vettoriale.
Definizione 21.arte vettoriale da vettore a vettore è chiamato vettore , o , definito dalle seguenti tre condizioni:
1) Il modulo del vettore è , dove è l'angolo tra i vettori e , cioè 
.
Ne consegue che il modulo di un prodotto vettoriale è numericamente uguale all'area di un parallelogramma costruito sui vettori e come sui lati.
2) Il vettore è perpendicolare a ciascuno dei vettori e ( ; ), cioè perpendicolare al piano del parallelogramma costruito sui vettori e .
3) Il vettore è orientato in modo tale che, se visto dalla sua estremità, la rotazione più breve da vettore a vettore sarebbe in senso antiorario (i vettori , , formano una terna destra).
Quando si studia la geometria, sorgono molte domande sul tema dei vettori. Lo studente incontra particolari difficoltà quando è necessario trovare gli angoli tra i vettori.
Prima di considerare gli angoli tra vettori, è necessario familiarizzare con la definizione di vettore e il concetto di angolo tra vettori.
Un vettore è un segmento che ha una direzione, cioè un segmento per il quale sono definiti l'inizio e la fine.
L'angolo tra due vettori su un piano che hanno un'origine comune è il più piccolo degli angoli, di cui è necessario spostare uno dei vettori attorno a un punto comune, in una posizione in cui le loro direzioni coincidono.
Una volta capito cos'è un vettore e come viene determinato il suo angolo, puoi calcolare l'angolo tra i vettori. La formula della soluzione per questo è abbastanza semplice e il risultato della sua applicazione sarà il valore del coseno dell'angolo. Per definizione, è uguale al quoziente del prodotto scalare dei vettori e del prodotto delle loro lunghezze.
Il prodotto scalare dei vettori è considerato come la somma delle coordinate corrispondenti dei vettori moltiplicatori moltiplicati l'uno per l'altro. La lunghezza di un vettore, o il suo modulo, è calcolata come Radice quadrata dalla somma dei quadrati delle sue coordinate.
Dopo aver ricevuto il valore del coseno dell'angolo, puoi calcolare il valore dell'angolo stesso utilizzando una calcolatrice o utilizzando una tabella trigonometrica.
Dopo aver capito come calcolare l'angolo tra i vettori, la soluzione al problema corrispondente diventa semplice e diretta. Ad esempio, consideriamo il semplice problema di trovare l'ampiezza di un angolo.
Innanzitutto sarà più conveniente calcolare i valori delle lunghezze dei vettori e il loro prodotto scalare necessari alla risoluzione. Usando la descrizione sopra, otteniamo:
Sostituendo i valori ottenuti nella formula, calcoliamo il valore del coseno dell'angolo desiderato:
Questo numero non è uno dei cinque valori comuni del coseno, quindi per ottenere il valore dell'angolo dovrai usare una calcolatrice o la tavola trigonometrica di Bradis. Ma prima di ottenere l'angolo tra i vettori, la formula può essere semplificata per eliminare il segno negativo extra:
La risposta finale può essere lasciata in questa forma per mantenere la precisione, oppure puoi calcolare il valore dell'angolo in gradi. Secondo la tabella Bradis, il suo valore sarà di circa 116 gradi e 70 minuti e la calcolatrice mostrerà un valore di 116,57 gradi.
Quando si considerano due vettori nello spazio tridimensionale, è molto più difficile capire di quale angolo stiamo parlando se non giacciono sullo stesso piano. Per semplificare la percezione, puoi disegnare due segmenti intersecanti che formano l'angolo più piccolo tra loro, e sarà quello desiderato. Nonostante la presenza di una terza coordinata nel vettore, il processo di calcolo degli angoli tra i vettori non cambierà. Calcola il prodotto scalare ei moduli dei vettori, l'arcocoseno del loro quoziente e sarà la risposta a questo problema.
In geometria, spesso si verificano problemi con spazi che hanno più di tre dimensioni. Ma per loro, l'algoritmo per trovare la risposta sembra simile.
Uno degli errori comuni quando si scrive una risposta a un problema progettato per calcolare l'angolo tra i vettori è la decisione di scrivere che i vettori sono paralleli, cioè l'angolo desiderato risulta essere 0 o 180 gradi. Questa risposta non è corretta.
Avendo ricevuto un valore dell'angolo di 0 gradi come risultato della soluzione, la risposta corretta sarebbe designare i vettori come co-direzionali, cioè i vettori avranno la stessa direzione. Nel caso di ottenere 180 gradi, i vettori avranno la natura di direzioni opposte.
Trovando gli angoli tra i vettori, si può trovare uno dei tipi speciali, oltre a quelli co-diretti e opposti descritti sopra.
aiutami per favore! Conosco la formula ma non riesco a capirla
vettore a (8; 10; 4) vettore b (5; -20; -10)
Alessandro Titov
L'angolo tra i vettori dato dalle loro coordinate viene trovato secondo l'algoritmo standard. Per prima cosa devi trovare il prodotto scalare dei vettori a e b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Sostituiamo qui le coordinate di questi vettori e consideriamo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Successivamente, determiniamo le lunghezze di ciascuno dei vettori. La lunghezza o modulo di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate:
|un| = radice di (x1^2 + y1^2 + z1^2) = radice di (8^2 + 10^2 + 4^2) = radice di (64 + 100 + 16) = radice di 180 = 6 radici di 5
|b| = radice quadrata di (x2^2 + y2^2 + z2^2) = radice quadrata di (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = radice quadrata di (25 + 400 + 100 ) = radice quadrata su 525 = 5 radici su 21.
Moltiplichiamo queste lunghezze. Otteniamo 30 radici su 105.
Infine, dividiamo il prodotto scalare dei vettori per il prodotto delle lunghezze di questi vettori. Otteniamo -200 / (30 radici su 105) o
- (4 radici di 105) / 63. Questo è il coseno dell'angolo tra i vettori. E l'angolo stesso è uguale all'arcocoseno di questo numero
f \u003d arccos (-4 radici di 105) / 63.
Se ho contato correttamente.
Michail Tkachev
Moltiplichiamo questi vettori. Il loro prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e il coseno dell'angolo tra di loro.
L'angolo ci è sconosciuto, ma le coordinate sono note.
Scriviamolo matematicamente così.
Siano, dati i vettori a(x1;y1) e b(x2;y2)
Quindi
A*b=|a|*|b|*cosA
CosA=a*b/|a|*|b|
Discutiamo.
a*b-prodotto scalare di vettori è uguale alla somma dei prodotti delle corrispondenti coordinate delle coordinate di questi vettori, cioè uguale a x1*x2+y1*y2
|a|*|b|-prodotto delle lunghezze dei vettori è uguale a √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).
Quindi il coseno dell'angolo tra i vettori è:
CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)
Conoscendo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno. Parliamo di come farlo:
Se il coseno di un angolo è positivo, allora questo angolo si trova in 1 o 4 quarti, quindi il suo seno è positivo o negativo. Ma poiché l'angolo tra i vettori è minore o uguale a 180 gradi, allora il suo seno è positivo. Discutiamo allo stesso modo se il coseno è negativo.
SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)
Ecco fatto)))) buona fortuna per capirlo)))
Dmitry Levishchev
Il fatto che sia impossibile sinorare direttamente non è vero.
Oltre alla formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
C'è anche questo:
||=|a|*|b|*sin A
Cioè, invece del prodotto scalare, puoi prendere il modulo del prodotto vettoriale.
Istruzione
Siano dati due vettori diversi da zero sul piano, tracciati da un punto: vettore A con coordinate (x1, y1) B con coordinate (x2, y2). Angolo tra di loro è indicato come θ. Per trovare la misura in gradi dell'angolo θ, è necessario utilizzare la definizione del prodotto scalare.
Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è un numero uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e il coseno dell'angolo tra di loro, ovvero (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Ora devi esprimere il coseno dell'angolo da questo: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).
Il prodotto scalare può essere trovato anche utilizzando la formula (A,B)=x1*x2+y1*y2, poiché il prodotto di due vettori diversi da zero è uguale alla somma dei prodotti dei vettori corrispondenti. Se il prodotto scalare di vettori diversi da zero è uguale a zero, allora i vettori sono perpendicolari (l'angolo tra loro è di 90 gradi) e ulteriori calcoli possono essere omessi. Se il prodotto scalare di due vettori è positivo, allora l'angolo tra questi vettori acuto e, se negativo, l'angolo è ottuso.
Ora calcola le lunghezze dei vettori A e B utilizzando le formule: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). La lunghezza di un vettore è calcolata come radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.
Sostituisci i valori trovati del prodotto scalare e le lunghezze dei vettori nella formula per l'angolo ottenuto nel passaggio 2, ovvero cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Ora, conoscendo il valore di , per trovare la misura in gradi dell'angolo tra vettori devi usare la tabella Bradis o prendere da questo: θ=arccos(cos(θ)).
Se i vettori A e B sono dati nello spazio tridimensionale e hanno coordinate (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), rispettivamente, viene aggiunta un'altra coordinata quando si trova il coseno dell'angolo. In questo caso coseno: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).
Se due vettori non vengono tracciati da un punto, quindi per trovare l'angolo tra loro mediante traslazione parallela, è necessario combinare gli inizi di questi vettori.
L'angolo tra due vettori non può essere maggiore di 180 gradi.
Fonti:
Per risolvere molti problemi, sia applicati che teorici, di fisica e algebra lineare, è necessario calcolare l'angolo tra i vettori. Questo compito apparentemente semplice può causare molte difficoltà se non si comprende chiaramente l'essenza del prodotto scalare e quale valore appare come risultato di questo prodotto.
Istruzione
L'angolo tra i vettori in uno spazio vettoriale lineare è l'angolo minimo in , al quale si ottiene la codirezione dei vettori. Uno dei vettori viene portato attorno al suo punto di partenza. Dalla definizione risulta evidente che il valore dell'angolo non può superare i 180 gradi (vedi passo).
In questo caso, si presume giustamente che in uno spazio lineare, quando i vettori vengono trasferiti in parallelo, l'angolo tra loro non cambia. Pertanto, per il calcolo analitico dell'angolo, l'orientamento spaziale dei vettori non ha importanza.
Il risultato del prodotto scalare è un numero, altrimenti uno scalare. Ricorda (questo è importante da sapere) per evitare errori in ulteriori calcoli. La formula per il prodotto scalare, situato su un piano o nello spazio dei vettori, ha la forma (vedi la figura per il passaggio).
Se i vettori si trovano nello spazio, esegui il calcolo in modo simile. L'unica cosa sarà l'aspetto del termine nel dividendo: questo è il termine per l'applicata, ad es. la terza componente del vettore. Di conseguenza, nel calcolo del modulo dei vettori, deve essere presa in considerazione anche la componente z, quindi per i vettori situati nello spazio, l'ultima espressione viene trasformata come segue (vedi Figura 6 al passaggio).
Un vettore è un segmento di linea con una data direzione. L'angolo tra i vettori ha un significato fisico, ad esempio, quando si trova la lunghezza della proiezione di un vettore su un asse.
Istruzione
Angolo tra due vettori diversi da zero utilizzando il calcolo del prodotto scalare. Per definizione, il prodotto è uguale al prodotto delle lunghezze e dell'angolo tra di esse. Si calcola invece il prodotto scalare per due vettori a di coordinate (x1; y1) e b di coordinate (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Di questi due modi, il prodotto scalare è facile da angolare tra i vettori.
Trova le lunghezze o i moduli dei vettori. Per i nostri vettori a e b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.
Trova il prodotto scalare dei vettori moltiplicando le loro coordinate a coppie: ab = x1x2 + y1y2. Dalla definizione del prodotto scalare ab = |a|*|b|*cos α, dove α è l'angolo tra i vettori. Allora otteniamo che x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Allora cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.
Trova l'angolo α usando le tavole di Bradys.
Video collegati
Nota
Il prodotto scalare è una caratteristica scalare delle lunghezze dei vettori e dell'angolo tra di essi.
Il piano è uno dei concetti fondamentali della geometria. Un piano è una superficie per la quale l'affermazione è vera: qualsiasi linea retta che collega due dei suoi punti appartiene interamente a questa superficie. I piani sono generalmente indicati con le lettere greche α, β, γ, ecc. Due piani si intersecano sempre in una retta che appartiene a entrambi i piani.
Istruzione
Consideriamo i semipiani α e β formati all'intersezione di . Angolo formato da una retta a e due semipiani α e β da un angolo diedro. In questo caso, i semipiani che formano un angolo diedro per facce, la linea a lungo la quale i piani si intersecano è chiamata bordo dell'angolo diedro.
Angolo diedro, come un angolo piano, in gradi. Per fare un angolo diedro, è necessario scegliere un punto arbitrario O sulla sua faccia.In entrambi, due raggi a sono disegnati attraverso il punto O. L'angolo risultante AOB è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro a.
Quindi, siano dati il vettore V = (a, b, c) e il piano A x + B y + C z = 0, dove A, B e C sono le coordinate della normale N. Allora il coseno dell'angolo α tra i vettori V e N è: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Per calcolare il valore dell'angolo in gradi o radianti, è necessario calcolare la funzione inversa al coseno dall'espressione risultante, ad es. arcoseno: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Esempio: trovare angolo fra vettore(5, -3, 8) e aereo, dato equazione generale 2 x - 5 y + 3 z = 0. Soluzione: annotare le coordinate del vettore normale del piano N = (2, -5, 3). Sostituisci tutti i valori noti nella formula precedente: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
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Scrivi un'equazione e isola il coseno da essa. Secondo una formula, il prodotto scalare dei vettori è uguale alle loro lunghezze moltiplicate l'una per l'altra e per il coseno angolo, e dall'altro - la somma dei prodotti delle coordinate lungo ciascuno degli assi. Uguagliando entrambe le formule, possiamo concludere che il coseno angolo deve essere uguale al rapporto tra la somma dei prodotti delle coordinate e il prodotto delle lunghezze dei vettori.
Annota l'equazione risultante. Per fare ciò, dobbiamo designare entrambi i vettori. Diciamo che sono dati in un sistema cartesiano 3D e i loro punti di partenza sono in una griglia. La direzione e la grandezza del primo vettore saranno date dal punto (X₁,Y₁,Z₁), il secondo - (X₂,Y₂,Z₂) e l'angolo sarà indicato dalla lettera γ. Quindi le lunghezze di ciascuno dei vettori possono essere, ad esempio, secondo il teorema di Pitagora for formato dalle loro proiezioni su ciascuno degli assi delle coordinate: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) e √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Sostituendo queste espressioni nella formula formulata nel passaggio precedente si ottiene l'uguaglianza: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).
Usa il fatto che la somma dei quadrati seno e co seno da angolo un valore dà sempre uno. Quindi, elevando quanto ottenuto al passo precedente per co seno al quadrato e sottraendo dall'unità, e poi la radice quadrata, risolvi il problema. Scrivi la formula desiderata vista generale: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²))).
