Le equazioni discriminanti, così come quadratiche, iniziano a essere studiate nel corso di algebra in grado 8. Puoi risolvere un'equazione quadratica attraverso il discriminante e usando il teorema di Vieta. Metodologia di studio equazioni quadratiche, così come le formule discriminanti, vengono instillate piuttosto senza successo negli scolari, come molte cose nella vera educazione. Perciò passa anni scolastici, la formazione nelle classi 9-11 sostituisce " istruzione superiore"e tutti guardano di nuovo - "Come risolvere un'equazione quadratica?", "Come trovare le radici di un'equazione?", "Come trovare il discriminante?" e...
Il discriminante D dell'equazione quadratica a*x^2+bx+c=0 è D=b^2–4*a*c.
Le radici (soluzioni) dell'equazione quadratica dipendono dal segno del discriminante (D):
D>0 - l'equazione ha 2 diverse radici reali;
D=0 - l'equazione ha 1 radice (2 radici coincidenti):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
La formula per calcolare il discriminante è abbastanza semplice, quindi molti siti offrono un calcolatore discriminante online. Non abbiamo ancora capito questo tipo di script, quindi chi sa come implementarlo, per favore scrivi alla posta Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. Devi avere JavaScript abilitato per visualizzare. .
Le radici dell'equazione si trovano dalla formula Se il coefficiente della variabile nel quadrato è accoppiato, è consigliabile calcolare non il discriminante, ma la sua quarta parte
In tali casi, le radici dell'equazione si trovano dalla formula 
Il teorema è formulato non solo per le equazioni quadratiche, ma anche per i polinomi. Puoi leggerlo su Wikipedia o altre risorse elettroniche. Tuttavia, per semplificare, si consideri quella parte che riguarda le equazioni di secondo grado ridotte, cioè equazioni della forma (a=1)
L'essenza delle formule Vieta è che la somma delle radici dell'equazione è uguale al coefficiente della variabile, preso da segno opposto. Il prodotto delle radici dell'equazione è uguale al termine libero. Le formule del teorema di Vieta hanno una notazione.
La derivazione della formula Vieta è abbastanza semplice. Scriviamo l'equazione quadratica in termini di fattori primi 
Come puoi vedere, tutto ciò che è geniale è semplice allo stesso tempo. È efficace utilizzare la formula di Vieta quando la differenza nel modulo delle radici o la differenza nel modulo delle radici è 1, 2. Ad esempio, le seguenti equazioni, secondo il teorema di Vieta, hanno radici
L'analisi di un massimo di 4 equazioni dovrebbe apparire così. Il prodotto delle radici dell'equazione è 6, quindi le radici possono essere i valori (1, 6) e (2, 3) o coppie con il segno opposto. La somma delle radici è 7 (il coefficiente della variabile con il segno opposto). Da qui concludiamo che le soluzioni dell'equazione quadratica sono uguali a x=2; x=3.
È più facile selezionare le radici dell'equazione tra i divisori del termine libero, correggendone il segno per soddisfare le formule di Vieta. All'inizio, questo sembra difficile da fare, ma con la pratica su un certo numero di equazioni quadratiche, questa tecnica sarà più efficiente del calcolo del discriminante e della ricerca delle radici dell'equazione quadratica nel modo classico.
Come puoi vedere, la teoria scolastica dello studio del discriminante e dei modi per trovare soluzioni all'equazione è priva di significato pratico - "Perché gli scolari hanno bisogno di un'equazione quadratica?", "Qual è il significato fisico del discriminante?".
Nel corso dell'algebra studiano funzioni, schemi per studiare funzioni e tracciare funzioni. Di tutte le funzioni, un posto importante è occupato da una parabola, la cui equazione può essere scritta nella forma 
Quindi il significato fisico dell'equazione quadratica sono gli zeri della parabola, cioè i punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse delle ascisse Ox
Ti chiedo di ricordare le proprietà delle parabole descritte di seguito. Verrà il momento di sostenere esami, test o esami di ammissione e sarai grato per il materiale di riferimento. Il segno della variabile nel quadrato corrisponde al fatto che i rami della parabola sul grafico saliranno (a>0),
o una parabola con rami verso il basso (a<0)
.
Il vertice della parabola si trova a metà strada tra le radici
Se il discriminante è maggiore di zero (D>0), la parabola ha due punti di intersezione con l'asse Ox. 
Se il discriminante è uguale a zero (D=0), allora la parabola in alto tocca l'asse x. 
E l'ultimo caso, quando il discriminante è minore di zero (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
Equazione quadratica - facile da risolvere! *Più avanti nel testo "KU". Amici, sembrerebbe che in matematica possa essere più facile che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi ha detto che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni Yandex fornisce per richiesta al mese. Ecco cosa è successo, dai un'occhiata:
Cosa significa? Ciò significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, e questa è l'estate, e cosa accadrà durante l'anno scolastico, ci saranno il doppio delle richieste. Ciò non sorprende, perché quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati da tempo e si stanno preparando per l'esame cercano queste informazioni, e anche gli scolari stanno cercando di rinfrescarsi la memoria.
Nonostante ci siano molti siti che raccontano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, voglio che i visitatori vengano sul mio sito su questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando uscirà il discorso "KU", fornirò un collegamento a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto solitamente affermato su altri siti. Iniziamo! Il contenuto dell'articolo:
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:
dove i coefficienti a,be con numeri arbitrari, con a≠0.
Nel corso scolastico, il materiale viene fornito nella seguente forma: la divisione delle equazioni in tre classi viene eseguita in modo condizionale:
1. Avere due radici.
2. * Hanno una sola radice.
3. Non avere radici. Vale la pena notare qui che non hanno radici reali
Come si calcolano le radici? Solo!
Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola "terribile" si trova una formula molto semplice:
Le formule radice sono le seguenti:
*Queste formule devono essere conosciute a memoria.
Puoi immediatamente scrivere e risolvere:
Esempio:
1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.
2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.
3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Diamo un'occhiata all'equazione:
In questa occasione, quando il discriminante è zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è uguale a nove. Esatto, lo è, ma...
Questa rappresentazione è alquanto errata. In effetti, ci sono due radici. Sì, sì, non essere sorpreso, risultano due radici uguali e, per essere matematicamente accurati, nella risposta dovrebbero essere scritte due radici:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ma è così - piccola digressione. A scuola puoi scrivere e dire che c'è solo una radice.
Ora il seguente esempio:
Come sappiamo, la radice di un numero negativo non viene estratta, quindi le soluzioni in questo caso no.
Questo è l'intero processo decisionale.
Funzione quadratica.
Ecco come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli, analizzeremo in dettaglio la soluzione di una disuguaglianza quadratica).
Questa è una funzione della forma:
dove x e y sono variabili
a, b, c sono dati numeri, dove a ≠ 0
Il grafico è una parabola:
Cioè, risulta che risolvendo un'equazione quadratica con "y" uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) o nessuno (il discriminante è negativo). Dettagli su funzione quadratica Puoi visualizzare articolo di Inna Feldman.
Considera esempi:
Esempio 1: decidere 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Risposta: x 1 = 8 x 2 = -12
* Potresti andartene immediatamente e lato destro dividere l'equazione per 2, cioè semplificarla. I calcoli saranno più facili.
Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
RE = si 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Abbiamo ottenuto x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11
Nella risposta è lecito scrivere x = 11.
Risposta: x = 11
Esempio 3: Decidere x2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
RE = si 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Il discriminante è negativo, non c'è soluzione nei numeri reali.
Risposta: nessuna soluzione
Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!
Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Sai qualcosa di numeri complessi? Non entrerò nei dettagli qui sul perché e dove sono sorti e qual è il loro ruolo specifico e la loro necessità in matematica, questo è un argomento per un ampio articolo separato.
Il concetto di numero complesso.
Un po' di teoria.
Un numero complesso z è un numero della forma
z = a + bi
dove a e b sono numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.
a+bi è un SOLO NUMERO, non un'addizione.
L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:
Consideriamo ora l'equazione:
Ottieni due radici coniugate.
Equazione quadratica incompleta.
Considera casi speciali, questo è quando il coefficiente "b" o "c" è uguale a zero (o entrambi sono uguali a zero). Sono risolti facilmente senza alcuna discriminante.
Caso 1. Coefficiente b = 0.
L'equazione assume la forma:
Trasformiamo:
Esempio:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Caso 2. Coefficiente c = 0.
L'equazione assume la forma:
Trasforma, fattorizza:
*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.
Esempio:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.
Qui è chiaro che la soluzione dell'equazione sarà sempre x = 0.
Proprietà utili e modelli di coefficienti.
Esistono proprietà che consentono di risolvere equazioni con coefficienti elevati.
unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza
un + b+ c = 0, poi
— se per i coefficienti dell'equazione unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza
un+ con =b, poi
Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.
Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
La somma dei coefficienti è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, quindi
Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Uguaglianza un+ con =b, significa
Regolarità dei coefficienti.
1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c \u003d 0 il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Se nell'equazione ax 2 - bx + c \u003d 0, il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", quindi le sue radici sono
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Se nell'equazione ax 2 + bx - c = 0 coefficiente "b" uguale a (un 2 – 1), e il coefficiente “c” numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono uguali
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Se nell'equazione ax 2 - bx - c \u003d 0, il coefficiente "b" è uguale a (a 2 - 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente "a", quindi le sue radici sono
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
Il teorema di Vieta.
Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese Francois Vieta. Usando il teorema di Vieta, si può esprimere la somma e il prodotto delle radici di una KU arbitraria in termini dei suoi coefficienti.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Insomma, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono le radici. Con una certa abilità, usando il teorema presentato, puoi risolvere molte equazioni quadratiche immediatamente oralmente.
Il teorema di Vieta, inoltre. conveniente perché dopo aver risolto l'equazione quadratica nel solito modo(attraverso il discriminante) si possono controllare le radici ottenute. Consiglio di farlo sempre.
MODALITÀ DI TRASFERIMENTO
Con questo metodo, il coefficiente "a" viene moltiplicato per il termine libero, come se "trasferito" ad esso, motivo per cui viene chiamato metodo di trasferimento. Questo metodo viene utilizzato quando è facile trovare le radici di un'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.
Se una un± b+c≠ 0, viene utilizzata la tecnica di trasferimento, ad esempio:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Secondo il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinarlo x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
Le radici ottenute dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché i due sono stati "lanciati" da x 2), otteniamo
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.
Qual è la motivazione? Guarda cosa sta succedendo.
I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono:
Se guardi le radici delle equazioni, si ottengono solo denominatori diversi e il risultato dipende proprio dal coefficiente in x 2:
Le seconde radici (modificate) sono 2 volte più grandi.
Pertanto, dividiamo il risultato per 2.
*Se tiriamo un tris, dividiamo il risultato per 3 e così via.
Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5
mq ur-ie e l'esame.
Dirò brevemente della sua importanza: DEVI ESSERE IN GRADO DI DECIDERE velocemente e senza pensare, devi conoscere a memoria le formule delle radici e del discriminante. Molte delle attività che fanno parte delle attività USE si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (comprese quelle geometriche).
Cosa vale la pena notare!
1. La forma dell'equazione può essere "implicita". Ad esempio, è possibile la seguente voce:
15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.
Devi portarlo a un modulo standard (in modo da non confonderti durante la risoluzione).
2. Ricorda che x è un valore sconosciuto e può essere indicato da qualsiasi altra lettera: t, q, p, h e altre.
Questo argomento può sembrare difficile all'inizio a causa dei molti formule semplici. Non solo le stesse equazioni quadratiche hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule saranno ricordate da sole.
Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande, e poi - in ordine decrescente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Quindi è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente del grado della variabile.
Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella sottostante.
Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche sono ridotte alla seguente notazione.
Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia indicata con il numero uno.
Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici saranno nella risposta. Perché una delle tre opzioni è sempre possibile:
E mentre la decisione non viene portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.
Le attività possono avere voci diverse. Non sembreranno sempre la formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancheranno alcuni termini. Quanto scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcosa di diverso. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.
Inoltre, possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può in nessun caso essere uguale a zero. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:
Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia il numero due e la seconda il numero tre.
Questo numero deve essere noto per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante, devi usare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.
Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, la risposta all'equazione sarà due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.
In effetti, la considerazione di questo problema è già iniziata. Perché prima devi trovare il discriminante. Dopo aver chiarito che ci sono radici dell'equazione quadratica e il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, allora devi applicare una tale formula.
Poiché contiene il segno "±", ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto, la formula può essere riscritta in modo diverso.
Formula cinque. Dallo stesso record si può vedere che se il discriminante è zero, allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.
Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma all'inizio c'è confusione.
Tutto è molto più semplice qui. Anche non c'è bisogno di formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.
Prima considera equazione incompleta al numero due. In questa uguaglianza, si suppone che estragga il valore sconosciuto dalla parentesi e risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché c'è un fattore costituito dalla variabile stessa. Il secondo si ottiene risolvendo un'equazione lineare.
L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a destra. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'ignoto. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di scriverla due volte con segni opposti.
Di seguito sono riportate alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti alla disattenzione. Queste carenze sono la causa di voti bassi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché ci sarà un'abitudine stabile.
È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:
x 2 - 7x \u003d 0;
15 - 2x - x 2 \u003d 0;
x2 + 8 + 3x = 0;
12x + x2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi è risolta come descritto per la formula numero due.
Dopo il bracketing, risulta: x (x - 7) \u003d 0.
La prima radice assume il valore: x 1 = 0. La seconda verrà trovata da equazione lineare: x - 7 = 0. È facile vedere che x 2 = 7.
Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Di nuovo incompleta. Solo è risolto come descritto per la terza formula.
Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in una forma standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ora è il momento di usare la seconda consiglio utile e moltiplica tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.
La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questo compito sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".
La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 dovrebbe essere riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula per il discriminante, si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, ovvero: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.
La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede delle trasformazioni, che consistono nel fatto che bisogna portare i termini uguali, prima di aprire le parentesi. Al posto del primo ci sarà una tale espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 - x \u003d 0. È diventato incompleto . Simile ad esso è già stato considerato un po 'più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.
Si studiano anche problemi sull'equazione quadratica curriculum scolastico e nelle università. Sono intesi come equazioni della forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, dove X- variabile, a,b,c – costanti; un<>0 . Il problema è trovare le radici dell'equazione.
Il grafico di una funzione rappresentata da un'equazione quadratica è una parabola. Le soluzioni (radici) di un'equazione quadratica sono i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Ne consegue che i casi possibili sono tre:
1) la parabola non ha punti di intersezione con l'asse x. Ciò significa che si trova nel piano superiore con i rami in alto o in quello inferiore con i rami in basso. In tali casi, l'equazione quadratica non ha radici reali (ha due radici complesse).
2) la parabola ha un punto di intersezione con l'asse Ox. Tale punto è chiamato il vertice della parabola e l'equazione quadratica in esso acquisisce il suo valore minimo o massimo. In questo caso, l'equazione quadratica ha una radice reale (o due radici identiche).
3) L'ultimo caso è più interessante in pratica: ci sono due punti di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse. Ciò significa che ci sono due radici reali dell'equazione.
Sulla base dell'analisi dei coefficienti alle potenze delle variabili, si possono trarre conclusioni interessanti sul posizionamento della parabola.
1) Se il coefficiente a è maggiore di zero, allora la parabola è diretta verso l'alto, se negativo, i rami della parabola sono diretti verso il basso.
2) Se il coefficiente b è maggiore di zero, allora il vertice della parabola giace nel semipiano sinistro, se assume un valore negativo, allora a destra.
Trasferiamo la costante dall'equazione quadratica 
per il segno uguale, otteniamo l'espressione
Moltiplica entrambi i membri per 4a 
Per ottenere un quadrato intero a sinistra, aggiungi b ^ 2 in entrambe le parti ed esegui la trasformazione
Da qui troviamo
Il discriminante è il valore dell'espressione radicale.Se è positivo, l'equazione ha due radici reali, calcolate dalla formula 
Quando il discriminante è zero, l'equazione quadratica ha una soluzione (due radici coincidenti), che sono facili da ottenere dalla formula precedente per D = 0. Quando il discriminante è negativo, non ci sono radici reali dell'equazione. Tuttavia, per studiare le soluzioni dell'equazione quadratica nel piano complesso, e il loro valore è calcolato dalla formula 
Considera due radici di un'equazione quadratica e costruisci un'equazione quadratica sulla loro base Dalla notazione, lo stesso teorema di Vieta segue facilmente: se abbiamo un'equazione quadratica della forma 
allora la somma delle sue radici è uguale al coefficiente p, preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici dell'equazione è uguale al termine libero q. La formula per quanto sopra sarà simile a Se la costante a nell'equazione classica è diversa da zero, allora devi dividere l'intera equazione per essa, quindi applicare il teorema di Vieta.
Lascia che il compito sia impostato: scomporre l'equazione quadratica in fattori. Per eseguirlo, prima risolviamo l'equazione (trova le radici). Successivamente, sostituiamo le radici trovate nella formula per espandere l'equazione quadratica.Questo problema sarà risolto.
Compito 1. Trova le radici di un'equazione quadratica
x^2-26x+120=0 .
Soluzione: annotare i coefficienti e sostituirli nella formula discriminante
radice di dato valore uguale a 14, è facile trovarlo con una calcolatrice, o ricordarlo con un uso frequente, tuttavia, per comodità, a fine articolo ti darò un elenco di quadrati di numeri che spesso si trovano in tali compiti .
Il valore trovato viene sostituito nella formula radice 
e otteniamo 
Compito 2. risolvere l'equazione
2x2+x-3=0.
Soluzione: abbiamo un'equazione quadratica completa, scriviamo i coefficienti e troviamo il discriminante 
Usando formule ben note, troviamo le radici dell'equazione quadratica 
Compito 3. risolvere l'equazione
9x2-12x+4=0.
Soluzione: Abbiamo un'equazione quadratica completa. Determina il discriminante
Abbiamo il caso in cui le radici coincidono. Troviamo i valori delle radici con la formula 
Compito 4. risolvere l'equazione
x^2+x-6=0 .
Soluzione: Nei casi in cui ci sono piccoli coefficienti per x, è consigliabile applicare il teorema di Vieta. Dalla sua condizione, otteniamo due equazioni
Dalla seconda condizione otteniamo che il prodotto deve essere uguale a -6. Ciò significa che una delle radici è negativa. Abbiamo la seguente possibile coppia di soluzioni (-3;2), (3;-2) . Tenendo conto della prima condizione, rifiutiamo la seconda coppia di soluzioni.
Le radici dell'equazione sono
Attività 5. Trova le lunghezze dei lati di un rettangolo se il suo perimetro è 18 cm e l'area è 77 cm 2.
Soluzione: metà del perimetro di un rettangolo è uguale alla somma dei lati adiacenti. Denotiamo x - il lato più grande, quindi 18-x è il suo lato più piccolo. L'area di un rettangolo è uguale al prodotto di queste lunghezze:
x(18x)=77;
o
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Trova il discriminante dell'equazione
Calcoliamo le radici dell'equazione 
Se una x=11, poi 18x=7 ,è vero anche il viceversa (se x=7, allora 21-x=9).
Problema 6. Fattorizzare l'equazione quadratica 10x 2 -11x+3=0.
Soluzione: calcola le radici dell'equazione, per questo troviamo il discriminante 
Sostituiamo il valore trovato nella formula delle radici e calcoliamo 
Applichiamo la formula per espandere l'equazione quadratica in termini di radici 
Espandendo le parentesi, otteniamo l'identità.
Esempio 1. Per quali valori del parametro un , l'equazione (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ha una radice?
Soluzione: per sostituzione diretta del valore a=3, vediamo che non ha soluzione. Inoltre, useremo il fatto che con un discriminante zero, l'equazione ha una radice di molteplicità 2. Scriviamo il discriminante 
semplificare ed equivalere a zero
Abbiamo ottenuto un'equazione quadratica rispetto al parametro a, la cui soluzione è facilmente ottenibile utilizzando il teorema di Vieta. La somma delle radici è 7 e il loro prodotto è 12. Per semplice enumerazione, stabiliamo che i numeri 3.4 saranno le radici dell'equazione. Poiché abbiamo già scartato la soluzione a=3 all'inizio dei calcoli, l'unica corretta sarà - un=4. Quindi, per a = 4, l'equazione ha una radice.
Esempio 2. Per quali valori del parametro un , l'equazione a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ha più di una radice?
Soluzione: Consideriamo prima i punti singolari, saranno i valori a=0 e a=-3. Quando a=0, l'equazione sarà semplificata nella forma 6x-9=0; x=3/2 e ci sarà una radice. Per a= -3 otteniamo l'identità 0=0 .
Calcola il discriminante 
e trova i valori di a per i quali è positivo 
Dalla prima condizione otteniamo a>3. Per la seconda troviamo il discriminante e le radici dell'equazione 
Definiamo gli intervalli in cui la funzione assume valori positivi. Sostituendo il punto a=0 otteniamo 3>0
.
Quindi, al di fuori dell'intervallo (-3; 1/3) la funzione è negativa. Non dimenticare il punto a=0 che dovrebbe essere escluso, poiché l'equazione originale ha una radice in essa.
Di conseguenza, otteniamo due intervalli che soddisfano la condizione del problema 
Nella pratica ci saranno molti compiti simili, cerca di occuparti tu stesso dei compiti e non dimenticare di tenere conto delle condizioni che si escludono a vicenda. Studia bene le formule per risolvere le equazioni quadratiche, sono abbastanza spesso necessarie nei calcoli in vari problemi e scienze.
Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")
Cos'è un'equazione quadratica? Che cosa sembra? In termini equazione quadrata parola chiave è "quadrato". Significa che nell'equazione necessariamente ci deve essere una x al quadrato. Oltre a ciò, nell'equazione potrebbe esserci (o potrebbe non esserci!) Solo x (al primo grado) e solo un numero (membro gratuito). E non dovrebbero esserci x in un grado maggiore di due.
In termini matematici, un'equazione quadratica è un'equazione della forma:
Qui a, b e c- alcuni numeri. b e c- assolutamente qualsiasi, ma un- tutt'altro che zero. Per esempio:
Qui un =1; b = 3; c = -4
Qui un =2; b = -0,5; c = 2,2
Qui un =-3; b = 6; c = -18
Beh, hai capito...
In queste equazioni quadratiche, a sinistra, c'è set completo membri. x al quadrato con coefficiente un, x elevato alla prima potenza con coefficiente b e membro libero di
Tali equazioni quadratiche sono chiamate completare.
Cosa succede se b= 0, cosa otterremo? abbiamo X scomparirà in primo grado. Questo accade moltiplicando per zero.) Risulta, ad esempio:
5x 2 -25 = 0,
2x2 -6x=0,
-x2+4x=0
Eccetera. E se entrambi i coefficienti b e c sono uguali a zero, allora è ancora più semplice:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Tali equazioni, dove manca qualcosa, sono chiamate equazioni quadratiche incomplete. Il che è abbastanza logico.) Nota che x^2 è presente in tutte le equazioni.
A proposito perché un non può essere zero? E invece sostituisci un zero.) La X nel quadrato scomparirà! L'equazione diventerà lineare. Ed è fatto diversamente...
Questi sono tutti i principali tipi di equazioni quadratiche. Completo e incompleto.
Le equazioni quadratiche sono facili da risolvere. Secondo formule e regole semplici e chiare. Nella prima fase, hai bisogno data equazione portare alla forma standard, ad es. alla vista:
Se l'equazione ti è già stata data in questo modulo, non è necessario eseguire la prima fase.) L'importante è determinare correttamente tutti i coefficienti, un, b e c.
La formula per trovare le radici di un'equazione quadratica è la seguente:
Viene chiamata l'espressione sotto il segno della radice discriminante. Ma di più su di lui di seguito. Come puoi vedere, per trovare x, usiamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti dall'equazione quadratica. Basta sostituire con attenzione i valori a, b e c in questa formula e contare. Sostituto con i tuoi segni! Ad esempio, nell'equazione:
un =1; b = 3; c= -4. Qui scriviamo:
Esempio quasi risolto:
Questa è la risposta.
Tutto è molto semplice. E cosa ne pensi, non puoi sbagliare? Beh, sì, come...
Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e c. O meglio, non con i loro segni (dove c'è da confondere?), Ma con la sostituzione di valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui viene salvata una registrazione dettagliata della formula con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, allora fallo!
Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:
Qui un = -6; b = -5; c = -1
Diciamo che sai che raramente ottieni risposte la prima volta.
Beh, non essere pigro. Ci vorranno 30 secondi per scrivere una riga in più e il numero di errori scenderà bruscamente. Quindi scriviamo in dettaglio, con tutte le parentesi e i segni:
Sembra incredibilmente difficile dipingere con tanta cura. Ma sembra solo. Provalo. Bene, o scegli. Quale è meglio, veloce o giusto? Inoltre, ti renderò felice. Dopo un po', non sarà più necessario dipingere tutto con tanta cura. Andrà a finire bene. Soprattutto se applichi tecniche pratiche, che sono descritte di seguito. Questo esempio malvagio con una serie di svantaggi sarà risolto facilmente e senza errori!
Ma, spesso, le equazioni quadratiche hanno un aspetto leggermente diverso. Ad esempio, in questo modo:
Lo sapevi?) Sì! esso equazioni quadratiche incomplete.
Possono anche essere risolti con la formula generale. Hai solo bisogno di capire correttamente cosa è uguale qui a, b e c.
Realizzato? Nel primo esempio un = 1; b = -4; un c? Non esiste affatto! Beh, sì, è vero. In matematica, questo significa che c = 0 ! È tutto. Sostituisci zero nella formula invece di c, e tutto funzionerà per noi. Allo stesso modo con il secondo esempio. Solo zero non abbiamo qui Insieme a, un b !
Ma le equazioni quadratiche incomplete possono essere risolte molto più facilmente. Senza alcuna formula. Considera la prima equazione incompleta. Cosa si può fare sul lato sinistro? Puoi togliere la X dalle parentesi! Tiriamolo fuori.
E che ne dici? E il fatto che il prodotto è uguale a zero se, e solo se uno qualsiasi dei fattori è uguale a zero! Non credi? Bene, allora trova due numeri diversi da zero che, una volta moltiplicati, daranno zero!
Non funziona? Qualche cosa...
Possiamo quindi tranquillamente scrivere: x 1 = 0, x 2 = 4.
Tutto quanto. Queste saranno le radici della nostra equazione. Entrambi in forma. Quando si sostituisce uno di essi nell'equazione originale, si ottiene l'identità corretta 0 = 0. Come puoi vedere, la soluzione è molto più semplice della formula generale. Noto, a proposito, quale X sarà il primo e quale il secondo - è assolutamente indifferente. Facile da scrivere in ordine x 1- qualunque sia inferiore x 2- quello che è di più.
Anche la seconda equazione può essere facilmente risolta. Spostiamo 9 sul lato destro. Noi abbiamo:
Resta da estrarre la radice da 9, e basta. Ottenere:
anche due radici . x 1 = -3, x 2 = 3.
Ecco come vengono risolte tutte le equazioni quadratiche incomplete. O togliendo X dalle parentesi, o semplicemente trasferendo il numero a destra, seguito dall'estrazione della radice.
È estremamente difficile confondere questi metodi. Semplicemente perché nel primo caso dovrai estrarre la radice da X, cosa in qualche modo incomprensibile, e nel secondo caso non c'è niente da togliere dalle parentesi ...
parola magica discriminante ! Un raro studente delle superiori non ha sentito questa parola! La frase "decidi attraverso il discriminante" è rassicurante e rassicurante. Perché non c'è bisogno di aspettare trucchi dal discriminante! È semplice e senza problemi da usare.) Ti ricordo la formula più generale per risolvere qualunque equazioni quadratiche:
L'espressione sotto il segno della radice si chiama discriminante. Il discriminante è solitamente indicato dalla lettera D. Formula discriminante:
RE = b 2 - 4ac
E cosa c'è di così speciale in questa espressione? Perché merita un nome speciale? Che cosa significato del discriminante? Dopotutto -b, o 2a in questa formula non nominano specificamente ... Lettere e lettere.
Il punto è questo. Quando si risolve un'equazione quadratica usando questa formula, è possibile solo tre casi.
1. Il discriminante è positivo. Ciò significa che puoi estrarre la radice da esso. Se la radice viene estratta bene o male è un'altra questione. È importante ciò che viene estratto in linea di principio. Quindi la tua equazione quadratica ha due radici. Due diverse soluzioni.
2. Il discriminante è zero. Allora hai una soluzione. Poiché l'aggiunta o la sottrazione di zero al numeratore non cambia nulla. A rigor di termini, questa non è una singola radice, ma due identici. Ma, in una versione semplificata, è consuetudine parlarne una soluzione.
3. Il discriminante è negativo. Un numero negativo non prende la radice quadrata. Allora ok. Questo significa che non ci sono soluzioni.
Ad essere onesti, a soluzione semplice equazioni quadratiche, il concetto di discriminante non è particolarmente richiesto. Sostituiamo i valori dei coefficienti nella formula e consideriamo. Là tutto risulta da solo, e due radici, e una, e non una sola. Tuttavia, quando si risolvono compiti più complessi, senza conoscenza significato e formula discriminante non abbastanza. Soprattutto - nelle equazioni con parametri. Tali equazioni sono acrobazie aeree per il GIA e l'Unified State Examination!)
Così, come risolvere equazioni di secondo grado attraverso il discriminante che ricordavi. O imparato, il che non è male.) Sai come identificare correttamente a, b e c. Sai come con attenzione sostituirli nella formula radice e con attenzione contare il risultato. L'hai capito parola chiave qui - con attenzione?
Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori. Proprio quelli dovuti alla disattenzione ... Per cui poi è doloroso e offensivo ...
Prima accoglienza
. Non essere pigro prima di risolvere un'equazione quadratica per portarla a una forma standard. Cosa significa questo?
Supponiamo che, dopo ogni trasformazione, si ottenga la seguente equazione:
Non abbiate fretta di scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente mescolerai le probabilità a, b e c. Costruisci correttamente l'esempio. Prima x al quadrato, poi senza quadrato, quindi un membro libero. Come questo:
E ancora, non abbiate fretta! Il meno prima della x al quadrato può sconvolgerti molto. Dimenticarlo è facile... Sbarazzati del meno. Come? Sì, come insegnato nell'argomento precedente! Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:
E ora puoi tranquillamente scrivere la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio. Decidi tu stesso. Dovresti finire con le radici 2 e -1.
Seconda accoglienza. Controlla le tue radici! Secondo il teorema di Vieta. Non preoccuparti, ti spiegherò tutto! Controllo ultima cosa l'equazione. Quelli. quello con cui abbiamo scritto la formula delle radici. Se (come in questo esempio) il coefficiente un = 1, controlla facilmente le radici. È sufficiente moltiplicarli. Dovresti ottenere un termine gratuito, ad es. nel nostro caso -2. Fai attenzione, non 2, ma -2! membro libero con il tuo segno . Se non ha funzionato, significa che hanno già fatto un casino da qualche parte. Cerca un errore.
Se ha funzionato, devi piegare le radici. Ultimo e ultimo controllo. Dovrebbe essere un rapporto b Insieme a di fronte
cartello. Nel nostro caso -1+2 = +1. Un coefficiente b, che è prima della x, è uguale a -1. Quindi, è tutto a posto!
È un peccato che sia così semplice solo per esempi in cui x al quadrato è puro, con un coefficiente un = 1. Ma almeno controlla queste equazioni! Ci saranno meno errori.
Ricezione terza . Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, sbarazzati delle frazioni! Moltiplica l'equazione per il denominatore comune come descritto nella lezione "Come risolvere le equazioni? Trasformazioni di identità". Quando si lavora con le frazioni, gli errori, per qualche motivo, si arrampicano ...
A proposito, ho promesso un esempio malvagio con una serie di svantaggi per semplificare. Per favore! Eccolo.
Per non confonderci negli svantaggi, moltiplichiamo l'equazione per -1. Noi abbiamo:
È tutto! Decidere è divertente!
Quindi ricapitoliamo l'argomento.
1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, la costruiamo Giusto.
2. Se c'è un coefficiente negativo davanti alla x nel quadrato, lo eliminiamo moltiplicando l'intera equazione per -1.
3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il fattore corrispondente.
4. Se x al quadrato è puro, il coefficiente per esso è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata dal teorema di Vieta. Fallo!
Ora puoi decidere.)
Risolvi equazioni:
8x2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3 x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Risposte (in disordine):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5
x - qualsiasi numero
x 1 = -3
x 2 = 3
nessuna soluzione
x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5
Va tutto bene? Eccellente! Le equazioni quadratiche non sono tue male alla testa. I primi tre si sono rivelati, ma il resto no? Quindi il problema non è nelle equazioni quadratiche. Il problema è nelle trasformazioni identiche di equazioni. Dai un'occhiata al link, è utile.
Non funziona del tutto? O non funziona affatto? Allora ti aiuterà la sezione 555. Lì, tutti questi esempi sono ordinati per ossa. Mostrando principale errori nella soluzione. Naturalmente, viene anche descritta l'applicazione di trasformazioni identiche nella risoluzione di varie equazioni. Aiuta molto!
A proposito, ho un paio di siti più interessanti per te.)
Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)
puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
