Formule per le radici di un'equazione quadratica. Vengono considerati i casi di radici reali, multiple e complesse. Fattorizzazione di un trinomio quadrato. Interpretazione geometrica. Esempi di determinazione delle radici e fattorizzazione.
Considera l'equazione quadratica:
(1)
.
Le radici di un'equazione quadratica(1) sono determinate dalle formule:
;
.
Queste formule possono essere combinate in questo modo:
.
Quando le radici dell'equazione quadratica sono note, il polinomio di secondo grado può essere rappresentato come un prodotto di fattori (fattorizzato):
.
Inoltre, consideriamo che - numeri reali.
Ritenere discriminante di un'equazione quadratica:
.
Se il discriminante è positivo, allora l'equazione quadratica (1) ha due diverse radici reali:
;
.
Allora la fattorizzazione del trinomio quadrato ha la forma:
.
Se il discriminante è zero, allora l'equazione quadratica (1) ha due radici reali multiple (uguali):
.
Fattorizzazione:
.
Se il discriminante è negativo, l'equazione quadratica (1) ha due radici coniugate complesse:
;
.
Ecco l'unità immaginaria, ;
e sono le parti reali e immaginarie delle radici:
;
.
Quindi
.
Se costruire grafico delle funzioni
,
che è una parabola, allora i punti di intersezione del grafico con l'asse saranno le radici dell'equazione
.
Quando , il grafico interseca l'asse delle ascisse (asse) in due punti.
Quando , il grafico tocca l'asse x in un punto.
Quando , il grafico non attraversa l'asse x.
Di seguito sono riportati esempi di tali grafici.
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Eseguiamo trasformazioni e applichiamo le formule (f.1) e (f.3):
,
dove
;
.
Quindi, abbiamo ottenuto la formula per il polinomio di secondo grado nella forma:
.
Da ciò si può vedere che l'equazione
eseguita a
e .
Cioè, e sono le radici dell'equazione quadratica
.
(1.1)
.
.
Confrontando con la nostra equazione (1.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Poiché il discriminante è positivo, l'equazione ha due radici reali:
;
;
.
Da qui otteniamo la scomposizione del trinomio quadrato in fattori:
.
Grafico della funzione y = 2 x 2 + 7 x + 3 attraversa l'asse x in due punti.
Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Attraversa l'asse x (asse) in due punti:
e .
Questi punti sono le radici dell'equazione originale (1.1).
;
;
.
Trova le radici di un'equazione quadratica:
(2.1)
.
Scriviamo l'equazione quadratica in vista generale:
.
Confrontando con l'equazione originale (2.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Poiché il discriminante è zero, l'equazione ha due radici multiple (uguali):
;
.
Allora la fattorizzazione del trinomio ha la forma:
.
Grafico della funzione y = x 2-4x + 4 tocca l'asse x in un punto.
Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Tocca l'asse x (asse) in un punto:
.
Questo punto è la radice dell'equazione originale (2.1). Poiché questa radice è fattorizzata due volte:
,
allora tale radice si chiama multiplo. Cioè, considerano che ci sono due radici uguali:
.
;
.
Trova le radici di un'equazione quadratica:
(3.1)
.
Scriviamo l'equazione quadratica in forma generale:
(1)
.
Riscriviamo l'equazione originale (3.1):
.
Confrontando con (1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Il discriminante è negativo, . Pertanto, non ci sono radici reali.
Puoi trovare radici complesse:
;
;
.
Quindi
.
Il grafico della funzione non attraversa l'asse x. Non ci sono radici reali.
Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Non attraversa l'ascissa (asse). Pertanto, non ci sono radici reali.
Non ci sono radici reali. Radici complesse:
;
;
.
Lavoriamo con equazioni quadratiche. Queste sono equazioni molto popolari! Nella sua forma più generale, l'equazione quadratica si presenta così:
Per esempio:
Qui un =1; b = 3; c = -4
Qui un =2; b = -0,5; c = 2,2
Qui un =-3; b = 6; c = -18
Beh, hai capito...
Come risolvere le equazioni di secondo grado? Se hai un'equazione quadratica in questa forma, allora tutto è semplice. Noi ricordiamo parola magica discriminante . Un raro studente delle superiori non ha sentito questa parola! La frase "decidi attraverso il discriminante" è rassicurante e rassicurante. Perché non c'è bisogno di aspettare trucchi dal discriminante! È semplice e senza problemi da usare. Quindi, la formula per trovare le radici di un'equazione quadratica è la seguente:
L'espressione sotto il segno della radice è la stessa discriminante. Come puoi vedere, per trovare x, usiamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti dall'equazione quadratica. Basta sostituire con attenzione i valori a, b e c in questa formula e considerare. Sostituto con i tuoi segni! Ad esempio, per la prima equazione un =1; b = 3; c= -4. Qui scriviamo:
Esempio quasi risolto:
È tutto.
Quali casi sono possibili quando si utilizza questa formula? Ci sono solo tre casi.
1. Il discriminante è positivo. Ciò significa che puoi estrarre la radice da esso. Se la radice viene estratta bene o male è un'altra questione. È importante ciò che viene estratto in linea di principio. Quindi la tua equazione quadratica ha due radici. Due diverse soluzioni.
2. Il discriminante è zero. Allora hai una soluzione. A rigor di termini, questa non è una singola radice, ma due identici. Ma questo gioca un ruolo nelle disuguaglianze, dove studieremo la questione in modo più dettagliato.
3. Il discriminante è negativo. Da un numero negativo Radice quadrata non viene estratto. Allora ok. Questo significa che non ci sono soluzioni.
Tutto è molto semplice. E cosa ne pensi, non puoi sbagliare? Beh, sì, come...
Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e c. O meglio, non con i loro segni (dove c'è da confondere?), Ma con la sostituzione di valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui viene salvata una registrazione dettagliata della formula con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, allora fallo!
Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:
Qui un = -6; b = -5; c=-1
Diciamo che sai che raramente ottieni risposte la prima volta.
Beh, non essere pigro. Ci vorranno 30 secondi per scrivere una riga in più e il numero di errori scenderà bruscamente. Quindi scriviamo in dettaglio, con tutte le parentesi e i segni:
Sembra incredibilmente difficile dipingere con tanta cura. Ma sembra solo. Provalo. Bene, o scegli. Quale è meglio, veloce o giusto? Inoltre, ti renderò felice. Dopo un po', non sarà più necessario dipingere tutto con tanta cura. Andrà a finire bene. Soprattutto se applichi tecniche pratiche, che sono descritte di seguito. Questo esempio malvagio con una serie di svantaggi sarà risolto facilmente e senza errori!
Così, come risolvere equazioni di secondo grado attraverso il discriminante che abbiamo ricordato. O imparato, il che è anche un bene. Puoi identificare correttamente a, b e c. Sai come con attenzione sostituirli nella formula radice e con attenzione contare il risultato. L'hai capito parola chiave qui - con attenzione?
Tuttavia, le equazioni quadratiche spesso hanno un aspetto leggermente diverso. Ad esempio, in questo modo:
esso equazioni quadratiche incomplete . Possono anche essere risolti attraverso il discriminante. Hai solo bisogno di capire correttamente cosa è uguale qui a, b e c.
Realizzato? Nel primo esempio un = 1; b = -4; un c? Non esiste affatto! Beh, sì, è vero. In matematica, questo significa che c = 0 ! È tutto. Sostituisci zero nella formula invece di c, e tutto funzionerà per noi. Allo stesso modo con il secondo esempio. Solo zero non abbiamo qui Insieme a, un b !
Ma le equazioni quadratiche incomplete possono essere risolte molto più facilmente. Senza alcuna discriminazione. Considera la prima equazione incompleta. Cosa si può fare sul lato sinistro? Puoi togliere la X dalle parentesi! Tiriamolo fuori.
E che ne dici? E il fatto che il prodotto è uguale a zero se, e solo se uno qualsiasi dei fattori è uguale a zero! Non credi? Bene, allora trova due numeri diversi da zero che, una volta moltiplicati, daranno zero!
Non funziona? Qualche cosa...
Possiamo quindi tranquillamente scrivere: x = 0, o x = 4
Tutto quanto. Queste saranno le radici della nostra equazione. Entrambi in forma. Quando si sostituisce uno di essi nell'equazione originale, otteniamo l'identità corretta 0 = 0. Come puoi vedere, la soluzione è molto più semplice che attraverso il discriminante.
Anche la seconda equazione può essere facilmente risolta. Trasferimento da 9 a lato destro. Noi abbiamo:
Resta da estrarre la radice da 9, e basta. Ottenere:
anche due radici . x = +3 e x = -3.
Ecco come vengono risolte tutte le equazioni quadratiche incomplete. O togliendo X dalle parentesi, o semplicemente trasferendo il numero a destra, seguito dall'estrazione della radice.
È estremamente difficile confondere questi metodi. Semplicemente perché nel primo caso dovrai estrarre la radice da X, cosa in qualche modo incomprensibile, e nel secondo caso non c'è niente da togliere tra parentesi...
Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori. Proprio quelli dovuti alla disattenzione ... Per cui poi è doloroso e offensivo ...
Prima accoglienza. Non essere pigro prima di risolvere un'equazione quadratica per portarla a una forma standard. Cosa significa questo?
Supponiamo che, dopo ogni trasformazione, si ottenga la seguente equazione:
Non abbiate fretta di scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente mescolerai le probabilità a, b e c. Costruisci correttamente l'esempio. Prima x al quadrato, poi senza quadrato, quindi un membro libero. Come questo:
E ancora, non abbiate fretta! Il meno prima della x al quadrato può sconvolgerti molto. Dimenticarlo è facile... Sbarazzati del meno. Come? Sì, come insegnato nell'argomento precedente! Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:
E ora puoi tranquillamente scrivere la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio. Decidi tu stesso. Dovresti finire con le radici 2 e -1.
Seconda accoglienza. Controlla le tue radici! Secondo il teorema di Vieta. Non preoccuparti, ti spiegherò tutto! Controllo ultima cosa l'equazione. Quelli. quello con cui abbiamo scritto la formula delle radici. Se (come in questo esempio) il coefficiente un = 1, controlla facilmente le radici. È sufficiente moltiplicarli. Dovresti ottenere un termine gratuito, ad es. nel nostro caso -2. Fai attenzione, non 2, ma -2! membro libero con il tuo segno
. Se non ha funzionato, significa che hanno già fatto un casino da qualche parte. Cerca un errore. Se ha funzionato, devi piegare le radici. Ultimo e ultimo controllo. Dovrebbe essere un rapporto b Insieme a di fronte
cartello. Nel nostro caso -1+2 = +1. Un coefficiente b, che è prima della x, è uguale a -1. Quindi, è tutto a posto!
È un peccato che sia così semplice solo per esempi in cui x al quadrato è puro, con un coefficiente un = 1. Ma almeno controlla queste equazioni! Ci saranno meno errori.
Ricezione terza. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, sbarazzati delle frazioni! Moltiplica l'equazione per il denominatore comune come descritto nella sezione precedente. Quando si lavora con le frazioni, gli errori, per qualche motivo, si arrampicano ...
A proposito, ho promesso un esempio malvagio con una serie di svantaggi per semplificare. Per favore! Eccolo.
Per non confonderci negli svantaggi, moltiplichiamo l'equazione per -1. Noi abbiamo:
È tutto! Decidere è divertente!
Quindi ricapitoliamo l'argomento.
1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, la costruiamo Giusto.
2. Se c'è un coefficiente negativo davanti alla x nel quadrato, lo eliminiamo moltiplicando l'intera equazione per -1.
3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il fattore corrispondente.
4. Se x al quadrato è puro, il coefficiente per esso è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata dal teorema di Vieta. Fallo!
Equazioni frazionarie. ODZ.
Continuiamo a padroneggiare le equazioni. Sappiamo già come lavorare con equazioni lineari e quadratiche. Rimane l'ultima vista equazioni frazionarie. Oppure sono anche chiamati molto più solidi - equazioni razionali frazionarie. Questo è lo stesso.
Equazioni frazionarie.
Come suggerisce il nome, queste equazioni contengono necessariamente frazioni. Ma non solo frazioni, ma frazioni che hanno sconosciuto al denominatore. Almeno in uno. Per esempio:
Lascia che te lo ricordi, se solo nei denominatori numeri, queste sono equazioni lineari.
Come decidere equazioni frazionarie? Prima di tutto, sbarazzati delle frazioni! Successivamente, l'equazione, molto spesso, si trasforma in lineare o quadratica. E poi sappiamo cosa fare... In alcuni casi può trasformarsi in un'identità, come 5=5 o in un'espressione errata, come 7=2. Ma questo accade raramente. Di seguito lo menzionerò.
Ma come sbarazzarsi delle frazioni!? Molto semplice. Applicando tutte le stesse identiche trasformazioni.
Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per la stessa espressione. In modo che tutti i denominatori diminuiscano! Tutto diventerà immediatamente più facile. Spiego con un esempio. Diciamo che dobbiamo risolvere l'equazione:
Come venivano insegnate alle elementari? Trasferiamo tutto in una direzione, lo riduciamo a un comune denominatore, ecc. Dimentica come incubo! Questo è ciò che devi fare quando aggiungi o sottrai espressioni frazionarie. O lavorare con le disuguaglianze. E nelle equazioni, moltiplichiamo immediatamente entrambe le parti per un'espressione che ci darà l'opportunità di ridurre tutti i denominatori (cioè, in sostanza, per un comune denominatore). E qual è questa espressione?
Sul lato sinistro, per ridurre il denominatore, devi moltiplicare per x+2. E a destra, è richiesta la moltiplicazione per 2. Quindi, l'equazione deve essere moltiplicata per 2(x+2). Moltiplichiamo:
Questa è la solita moltiplicazione di frazioni, ma scriverò in dettaglio:
Si prega di notare che non sto ancora aprendo la parentesi. (x + 2)! Quindi, nella sua interezza, lo scrivo:
Sul lato sinistro, è ridotto interamente (x+2), ea destra 2. Come richiesto! Dopo la riduzione otteniamo lineare l'equazione:
Chiunque può risolvere questa equazione! x = 2.
Risolviamo un altro esempio, un po' più complicato:
Se ricordiamo che 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1 si può scrivere:
E ancora una volta ci liberiamo di ciò che non ci piace davvero: dalle frazioni.
Vediamo che per ridurre il denominatore con x, è necessario moltiplicare la frazione per (x - 2). E le unità non sono un ostacolo per noi. Bene, moltiplichiamo. Tutto lato sinistro e tutto lato destro:
Di nuovo parentesi graffe (x - 2) non rivelo. Lavoro con la staffa nel suo insieme, come se fosse un numero! Questo deve essere sempre fatto, altrimenti non verrà ridotto nulla.
Con una sensazione di profonda soddisfazione, tagliamo (x - 2) e otteniamo l'equazione senza frazioni, in un righello!
E ora apriamo le parentesi:
Diamo quelli simili, trasferiamo tutto sul lato sinistro e otteniamo:
Equazione quadratica classica. Ma il meno davanti non va bene. Puoi sempre sbarazzartene moltiplicando o dividendo per -1. Ma se osservi attentamente l'esempio, noterai che è meglio dividere questa equazione per -2! In un colpo solo, il meno scomparirà ei coefficienti diventeranno più belli! Dividiamo per -2. Sul lato sinistro - termine per termine, e sulla destra - basta dividere zero per -2, zero e ottenere:
Risolviamo attraverso il discriminante e controlliamo secondo il teorema di Vieta. Noi abbiamo x=1 e x=3. Due radici.
Come puoi vedere, nel primo caso l'equazione dopo la trasformazione è diventata lineare, e qui è quadratica. Succede che dopo aver eliminato le frazioni, tutte le x vengono ridotte. È rimasto qualcosa, come 5=5. Significa che x può essere qualsiasi cosa. Qualunque cosa sia, sarà comunque ridotta. E ottieni la pura verità, 5=5. Ma, dopo aver eliminato le frazioni, potrebbe rivelarsi completamente falso, come 2=7. E questo significa che nessuna soluzione! Con qualsiasi x, risulta falso.
Realizzato via principale soluzioni equazioni frazionarie? È semplice e logico. Modifichiamo l'espressione originale in modo che tutto ciò che non ci piace scompaia. O interferire. A questo caso queste sono frazioni. Faremo lo stesso con tutti i tipi di esempi complessi con logaritmi, seni e altri orrori. Noi sempre ci libereremo di tutto questo.
Tuttavia, dobbiamo cambiare l'espressione originale nella direzione di cui abbiamo bisogno secondo le regole, sì ... Il cui sviluppo è la preparazione per l'esame di matematica. Qui stiamo imparando.
Ora impareremo come bypassare uno dei le principali imboscate all'esame! Ma prima, vediamo se ci caschi dentro o no?
Facciamo un semplice esempio:
La questione è già familiare, moltiplichiamo entrambe le parti per (x - 2), noi abbiamo:
Ricorda, con parentesi (x - 2) lavoriamo come con un'unica espressione integrale!
Qui non ho più scritto quello nei denominatori, poco dignitoso ... E non ho disegnato parentesi nei denominatori, tranne x - 2 non c'è niente, non puoi disegnare. Accorciamo:
Apriamo le parentesi, spostiamo tutto a sinistra, ne diamo di simili:
Risolviamo, controlliamo, otteniamo due radici. x = 2 e x = 3. Eccellente.
Supponiamo che l'attività dica di annotare la radice, o la loro somma, se ci sono più radici. Cosa scriveremo?
Se decidi che la risposta è 5, tu furono tese un'imboscata. E l'attività non verrà conteggiata per te. Hanno lavorato invano ... La risposta corretta è 3.
Qual è il problema?! E tu provi a controllare. Sostituisci i valori dell'ignoto in iniziale esempio. E se a x = 3 tutto cresce meravigliosamente insieme, otteniamo 9 = 9, quindi con x = 2 dividi per zero! Cosa che non si può assolutamente fare. Significa x = 2 non è una soluzione e non viene preso in considerazione nella risposta. Questa è la cosiddetta radice estranea o extra. Lo scartiamo e basta. C'è solo una radice finale. x = 3.
Come mai?! Sento esclamazioni indignate. Ci è stato insegnato che un'equazione può essere moltiplicata per un'espressione! Questa è la stessa trasformazione!
Sì, identico. In piccola condizione- l'espressione per la quale moltiplichiamo (dividiamo) - diverso da zero. MA x - 2 a x = 2 uguale a zero! Quindi è tutto giusto.
E adesso cosa posso fare?! Non moltiplicare per espressione? Controlli ogni volta? Di nuovo poco chiaro!
Con calma! Niente panico!
In questa difficile situazione, tre lettere magiche ci salveranno. So cosa stavi pensando. Correttamente! esso ODZ . Area di valori validi.
Equazione quadratica - facile da risolvere! *Più avanti nel testo "KU". Amici, sembrerebbe che in matematica possa essere più facile che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi ha detto che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni Yandex fornisce per richiesta al mese. Ecco cosa è successo, dai un'occhiata:
Cosa significa? Questo significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, cosa c'entra quest'estate e quali saranno tra anno scolastico- le richieste saranno il doppio. Ciò non sorprende, perché quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati da tempo e si stanno preparando per l'esame cercano queste informazioni, e anche gli scolari stanno cercando di rinfrescarsi la memoria.
Nonostante ci siano molti siti che raccontano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, voglio che i visitatori vengano sul mio sito su questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando uscirà il discorso "KU", fornirò un collegamento a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto solitamente affermato su altri siti. Iniziamo! Il contenuto dell'articolo:
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:
dove i coefficienti a,be con numeri arbitrari, con a≠0.
A corso scolastico il materiale è fornito nella seguente forma: la divisione delle equazioni in tre classi è fatta in modo condizionale:
1. Avere due radici.
2. * Hanno una sola radice.
3. Non avere radici. Vale la pena notare qui che non hanno radici reali
Come si calcolano le radici? Solo!
Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola "terribile" si trova una formula molto semplice:
Le formule radice sono le seguenti:
*Queste formule devono essere conosciute a memoria.
Puoi immediatamente scrivere e risolvere:
Esempio:
1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.
2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.
3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Diamo un'occhiata all'equazione:
In questa occasione, quando il discriminante è zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è uguale a nove. Esatto, lo è, ma...
Questa rappresentazione è alquanto errata. In effetti, ci sono due radici. Sì, sì, non essere sorpreso, risultano due radici uguali e, per essere matematicamente accurati, nella risposta dovrebbero essere scritte due radici:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ma è così - piccola digressione. A scuola puoi scrivere e dire che c'è solo una radice.
Ora il seguente esempio:
Come sappiamo, la radice di un numero negativo non viene estratta, quindi non c'è soluzione in questo caso.
Questo è l'intero processo decisionale.
Funzione quadratica.
Ecco come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli, analizzeremo in dettaglio la soluzione di una disuguaglianza quadratica).
Questa è una funzione della forma:
dove x e y sono variabili
a, b, c sono dati numeri, dove a ≠ 0
Il grafico è una parabola:
Cioè, risulta che risolvendo un'equazione quadratica con "y" uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) o nessuno (il discriminante è negativo). Dettagli su funzione quadratica Puoi visualizzare articolo di Inna Feldman.
Considera esempi:
Esempio 1: decidere 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Risposta: x 1 = 8 x 2 = -12
* Potresti dividere immediatamente i lati sinistro e destro dell'equazione per 2, cioè semplificarla. I calcoli saranno più facili.
Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
RE = si 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Abbiamo ottenuto x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11
Nella risposta è lecito scrivere x = 11.
Risposta: x = 11
Esempio 3: Decidere x2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
RE = si 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Il discriminante è negativo, non c'è soluzione nei numeri reali.
Risposta: nessuna soluzione
Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!
Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Sai qualcosa di numeri complessi? Non entrerò nei dettagli qui sul perché e dove sono sorti e qual è il loro ruolo specifico e la loro necessità in matematica, questo è un argomento per un ampio articolo separato.
Il concetto di numero complesso.
Un po' di teoria.
Un numero complesso z è un numero della forma
z = a + bi
dove a e b sono numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.
a+bi è un SOLO NUMERO, non un'addizione.
L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:
Consideriamo ora l'equazione:
Ottieni due radici coniugate.
Equazione quadratica incompleta.
Considera casi speciali, questo è quando il coefficiente "b" o "c" è uguale a zero (o entrambi sono uguali a zero). Sono risolti facilmente senza alcuna discriminante.
Caso 1. Coefficiente b = 0.
L'equazione assume la forma:
Trasformiamo:
Esempio:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Caso 2. Coefficiente c = 0.
L'equazione assume la forma:
Trasforma, fattorizza:
*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.
Esempio:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.
Qui è chiaro che la soluzione dell'equazione sarà sempre x = 0.
Proprietà utili e modelli di coefficienti.
Esistono proprietà che consentono di risolvere equazioni con coefficienti elevati.
unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza
un + b+ c = 0, poi
— se per i coefficienti dell'equazione unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza
un+ con =b, poi
Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.
Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
La somma dei coefficienti è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, quindi
Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Uguaglianza un+ con =b, significa
Regolarità dei coefficienti.
1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c \u003d 0 il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Se nell'equazione ax 2 - bx + c \u003d 0, il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", quindi le sue radici sono
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Se nell'equazione ax 2 + bx - c = 0 coefficiente "b" uguale a (un 2 – 1), e il coefficiente “c” numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono uguali
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Se nell'equazione ax 2 - bx - c \u003d 0, il coefficiente "b" è uguale a (a 2 - 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente "a", quindi le sue radici sono
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Esempio. Considera l'equazione 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
Il teorema di Vieta.
Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese Francois Vieta. Usando il teorema di Vieta, si può esprimere la somma e il prodotto delle radici di una KU arbitraria in termini dei suoi coefficienti.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Insomma, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono le radici. Con una certa abilità, usando il teorema presentato, puoi risolvere molte equazioni quadratiche immediatamente oralmente.
Il teorema di Vieta, inoltre. conveniente perché dopo aver risolto l'equazione quadratica nel solito modo(attraverso il discriminante) si possono controllare le radici ottenute. Consiglio di farlo sempre.
MODALITÀ DI TRASFERIMENTO
Con questo metodo, il coefficiente "a" viene moltiplicato per il termine libero, come se "trasferito" ad esso, motivo per cui viene chiamato metodo di trasferimento. Questo metodo viene utilizzato quando è facile trovare le radici di un'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.
Se una un± b+c≠ 0, viene utilizzata la tecnica di trasferimento, ad esempio:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Secondo il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinarlo x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
Le radici ottenute dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché i due sono stati "lanciati" da x 2), otteniamo
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.
Qual è la motivazione? Guarda cosa sta succedendo.
I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono:
Se guardi le radici delle equazioni, si ottengono solo denominatori diversi e il risultato dipende proprio dal coefficiente in x 2:
Le seconde radici (modificate) sono 2 volte più grandi.
Pertanto, dividiamo il risultato per 2.
*Se tiriamo un tris, dividiamo il risultato per 3 e così via.
Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5
mq. ur-ie e l'esame.
Dirò brevemente della sua importanza: DEVI ESSERE IN GRADO DI DECIDERE velocemente e senza pensare, devi conoscere a memoria le formule delle radici e del discriminante. Molte delle attività che fanno parte delle attività USE si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (comprese quelle geometriche).
Cosa vale la pena notare!
1. La forma dell'equazione può essere "implicita". Ad esempio, è possibile la seguente voce:
15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.
Devi portarlo a un modulo standard (in modo da non confonderti durante la risoluzione).
2. Ricorda che x è un valore sconosciuto e può essere indicato da qualsiasi altra lettera: t, q, p, h e altre.
La trasformazione di un'equazione quadratica completa in una incompleta si presenta così (per il caso \(b=0\)):
Per i casi in cui \(c=0\) o quando entrambi i coefficienti sono uguali a zero, tutto è simile.
Si noti che \(a\) non è uguale a zero, non può essere uguale a zero, poiché in questo caso diventa:
Prima di tutto, devi capire che l'equazione quadratica incompleta è ancora, quindi può essere risolta allo stesso modo della solita quadratica (attraverso). Per fare ciò, aggiungiamo semplicemente il componente mancante dell'equazione con un coefficiente zero.
Esempio
: Trova le radici dell'equazione \(3x^2-27=0\)
Soluzione
:
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Abbiamo un'equazione quadratica incompleta con il coefficiente \(b=0\). Cioè, possiamo scrivere l'equazione nella seguente forma: |
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\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
In effetti, ecco la stessa equazione dell'inizio, ma ora può essere risolta come un quadrato ordinario. Per prima cosa annotiamo i coefficienti. |
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\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
Calcola il discriminante usando la formula \(D=b^2-4ac\) |
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\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
Troviamo le radici dell'equazione usando le formule |
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\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\) |
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Scrivi la risposta |
Risposta : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
Esempio
: Trova le radici dell'equazione \(-x^2+x=0\)
Soluzione
:
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Di nuovo, un'equazione quadratica incompleta, ma ora il coefficiente \(c\) è uguale a zero. Scriviamo l'equazione come completa. |
||
Scuola secondaria rurale di Kopyevskaya
10 modi per risolvere equazioni quadratiche
Responsabile: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
insegnante di matematica
s. Kopyevo, 2007
1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche
1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia
1.2 Come Diofanto compilò e risolse equazioni di secondo grado
1.3 Equazioni quadratiche in India
1.4 Equazioni quadratiche in al-Khwarizmi
1.5 Equazioni quadratiche in Europa XIII - XVII secolo
1.6 Sul teorema di Vieta
2. Metodi per risolvere equazioni di secondo grado
Conclusione
Letteratura
1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche
1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia
La necessità di risolvere equazioni non solo di primo, ma anche di secondo grado nell'antichità era causata dalla necessità di risolvere problemi legati alla ricerca di aree di terra e lavori di sterro di natura militare, nonché allo sviluppo dell'astronomia e matematica stessa. Le equazioni quadratiche furono in grado di risolvere circa 2000 aC. e. Babilonesi.
Applicazione moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
La regola per risolvere queste equazioni, dichiarata nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano giunti a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi finora trovati danno solo problemi con soluzioni dichiarate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione di come siano state trovate.
Nonostante alto livello sviluppo dell'algebra in Babilonia, nei testi cuneiformi non esiste il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere equazioni quadratiche.
1.2 Come Diofanto compilò e risolse equazioni di secondo grado.
L'aritmetica di Diofanto non contiene un'esposizione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti elaborando equazioni di vario grado.
Quando compila le equazioni, Diofanto sceglie abilmente le incognite per semplificare la soluzione.
Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.
Compito 11."Trova due numeri sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96"
Diofanto argomenta come segue: dalla condizione del problema risulta che i numeri desiderati non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto non sarebbe 96, ma 100. Quindi, uno di loro sarà più della metà del loro somma, cioè . 10+x, l'altro è più piccolo, cioè 10. La differenza tra loro 2x .
Da qui l'equazione:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Da qui x = 2. Uno dei numeri desiderati è 12 , Altro 8 . Soluzione x = -2 perché Diofanto non esiste, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.
Se risolviamo questo problema scegliendo uno dei numeri desiderati come sconosciuto, arriveremo alla soluzione dell'equazione
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
È chiaro che Diofanto semplifica la soluzione scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri desiderati; riesce a ridurre il problema alla soluzione di un'equazione quadratica incompleta (1).
1.3 Equazioni quadratiche in India
I problemi per le equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico "Aryabhattam", compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro studioso indiano, Brahmagupta (VII secolo), spiegò regola generale soluzioni di equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
Nell'equazione (1), i coefficienti, ad eccezione di un, può anche essere negativo. Il governo di Brahmagupta coincide essenzialmente con il nostro.
A antica india i concorsi pubblici erano comuni nella risoluzione compiti difficili. In uno dei vecchi libri indiani, si dice quanto segue su tali competizioni: "Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così uomo scienziato eclissare la gloria altrui nelle adunanze pubbliche, proponendo e risolvendo problemi algebrici. I compiti erano spesso vestiti in forma poetica.
Ecco uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskara.
Compito 13.
"Un vivace stormo di scimmie e dodici in viti ...
Avendo mangiato potere, si è divertito. Cominciarono a saltare, appesi ...
Parte otto di loro in una piazza Quante scimmie c'erano,
Divertirsi nel prato. Mi dici, in questo gregge?
La soluzione di Bhaskara indica che conosceva la doppia valenza delle radici delle equazioni quadratiche (Fig. 3).
L'equazione corrispondente al problema 13 è:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara scrive con il pretesto di:
x2 - 64x = -768
e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, aggiunge a entrambi i lati 32 2 , ottenendo quindi:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Equazioni quadratiche in al-Khorezmi
Il trattato algebrico di Al-Khorezmi fornisce una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore elenca 6 tipi di equazioni, esprimendole come segue:
1) "I quadrati sono uguali alle radici", cioè ax 2 + c = b X.
2) "I quadrati sono uguali al numero", cioè ascia 2 = s.
3) "Le radici sono uguali al numero", cioè ah = S.
4) "Quadrati e numeri sono uguali a radici", cioè ax 2 + c = b X.
5) "Quadrati e radici sono uguali al numero", cioè ah 2+ bx = S.
6) "Radici e numeri sono uguali ai quadrati", cioè bx + c \u003d ascia 2.
Per al-Khwarizmi, che ha evitato l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi, non sottrazioni. In questo caso ovviamente non vengono prese in considerazione le equazioni per le quali non esistono n decisioni positive. L'autore delinea i metodi per risolvere queste equazioni, utilizzando i metodi di al-jabr e al-muqabala. Le sue decisioni, ovviamente, non coincidono del tutto con le nostre. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando si risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo
al-Khorezmi, come tutti i matematici prima del XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero, probabilmente perché non ha importanza in specifici problemi pratici. Quando si risolvono equazioni quadratiche complete, al-Khorezmi stabilisce le regole per la risoluzione, e quindi le dimostrazioni geometriche, utilizzando particolari esempi numerici.
Compito 14.“Il quadrato e il numero 21 sono uguali a 10 radici. Trova la radice" (assumendo la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).
La soluzione dell'autore è più o meno questa: dividi il numero di radici a metà, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, rimane 4. Prendi la radice di 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5, tu ottieni 3, questa sarà la radice desiderata. Oppure aggiungi da 2 a 5, che darà 7, anche questa è una radice.
Il trattato al - Khorezmi è il primo libro che ci è pervenuto, in cui viene sistematicamente affermata la classificazione delle equazioni quadratiche e vengono fornite le formule per la loro soluzione.
1.5 Equazioni quadratiche in Europa XIII - XVII secoli
Le formule per risolvere equazioni quadratiche sul modello di al - Khorezmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'Abaco", scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo voluminoso lavoro, che riflette l'influenza della matematica, sia dei paesi dell'Islam che Grecia antica, differisce sia per completezza che per chiarezza di presentazione. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici problem solving ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro ha contribuito alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti compiti del "Libro dell'Abaco" passarono in quasi tutti i libri di testo europei del XVI-XVII secolo. e in parte XVIII.
La regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica:
x2+ bx = con,
per tutte le possibili combinazioni di segni dei coefficienti b , Insieme a fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.
Vieta ha una derivazione generale della formula per risolvere un'equazione quadratica, ma Vieta ha riconosciuto solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Prendi in considerazione, oltre alle radici positive e negative. Solo nel XVII secolo. Grazie al lavoro di Girard, Descartes, Newton e altri modo degli scienziati risolvere equazioni di secondo grado assume una forma moderna.
1.6 Sul teorema di Vieta
Il teorema che esprime la relazione tra i coefficienti di un'equazione quadratica e le sue radici, che porta il nome di Vieta, fu da lui formulato per la prima volta nel 1591 come segue: “Se B + D moltiplicato per UN - UN 2 , è uguale a BD, poi UNè uguale a A e uguale D ».
Per capire Vieta, bisogna ricordarlo MA, come ogni vocale, significava per lui l'ignoto (nostro X), le vocali A, D- coefficienti per l'ignoto. Nel linguaggio dell'algebra moderna, la formulazione di Vieta sopra significa: se
(un + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = un, x 2 = b .
Esprimendo la relazione tra le radici ei coefficienti delle equazioni mediante formule generali scritte utilizzando simboli, Viet ha stabilito l'uniformità nei metodi di risoluzione delle equazioni. Tuttavia, il simbolismo di Vieta è ancora lontano aspetto moderno. Non riconosceva i numeri negativi e quindi, quando risolveva le equazioni, considerava solo i casi in cui tutte le radici sono positive.
2. Metodi per risolvere equazioni di secondo grado
Le equazioni quadratiche sono le fondamenta su cui poggia il maestoso edificio dell'algebra. Le equazioni quadratiche sono ampiamente utilizzate per risolvere equazioni e disuguaglianze trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, irrazionali e trascendenti. Sappiamo tutti come risolvere equazioni quadratiche dalla scuola (classe 8) fino alla laurea.
