São dadas as principais propriedades do logaritmo, o gráfico do logaritmo, o domínio de definição, o conjunto de valores, as fórmulas básicas, o aumento e a diminuição. Encontrar a derivada do logaritmo é considerado. E também a integral, expansão em série de potência e representação por meio de números complexos.
Logaritmo com base aé a função y (x) = log x, inversa à função exponencial com base a: x (y) = ay.
Logaritmo decimalé o logaritmo da base do número 10 : log x ≡ log 10 x.
Logaritmo naturalé o logaritmo na base de e: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
O gráfico do logaritmo é obtido a partir do gráfico da função exponencial por reflexão no espelho sobre a reta y \u003d x. À esquerda estão os gráficos da função y (x) = log x para quatro valores bases do logaritmo:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
e um = 1/8
. O gráfico mostra que para a > 1
o logaritmo é monotonicamente crescente. À medida que x aumenta, o crescimento diminui significativamente. No 0
< a < 1
o logaritmo é monotonicamente decrescente.
O logaritmo é uma função monotônica, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo são apresentadas na tabela.
| Domínio | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Faixa de valores | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monótono | aumenta monotonicamente | diminui monotonicamente |
| Zeros, y = 0 | x= 1 | x= 1 |
| Pontos de interseção com o eixo y, x = 0 | Não | Não |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal e está marcado assim:
logaritmo base e chamado Logaritmo natural:
Propriedades do logaritmo seguindo a definição da função inversa:
Logaritmoé a operação matemática de tomar o logaritmo. Ao tomar um logaritmo, os produtos dos fatores são convertidos em somas de termos.
Potenciaçãoé a operação matemática inversa ao logaritmo. Ao potencializar, a base dada é elevada à potência da expressão na qual a potencialização é realizada. Nesse caso, as somas dos termos são convertidas em produtos dos fatores.
As fórmulas relacionadas aos logaritmos decorrem das fórmulas para funções exponenciais e da definição de uma função inversa.
Considere a propriedade da função exponencial
.
Então
.
Aplique a propriedade da função exponencial
:
.
Vamos provar a fórmula de mudança de base.
;
.
Definindo c = b , temos:
O recíproco da base um logaritmo é a função exponencial com expoente a.
Se então
Se então
Derivada do logaritmo módulo x :
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >
Para encontrar a derivada de um logaritmo, ela deve ser reduzida à base e.
;
.
A integral do logaritmo é calculada integrando por partes: .
Então,
Considere a função de número complexo z:
.
Expressar número complexo z via módulo r e argumento φ
:
.
Então, usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou
No entanto, o argumento φ
não claramente definido. Se colocarmos
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.
Portanto, o logaritmo, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.
Para , a expansão ocorre:
Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.
log a r b r = log a b ou registrar um b= log a r b r
O valor do logaritmo não muda se a base do logaritmo e o número sob o sinal do logaritmo forem elevados à mesma potência.
Somente números positivos podem estar sob o sinal do logaritmo, e a base do logaritmo não é igual a um.
Exemplos.
1) Compare log 3 9 e log 9 81.
log 3 9=2 porque 3 2 =9;
log 9 81=2 porque 9 2 =81.
Então log 3 9=log 9 81.
Observe que a base do segundo logaritmo é igual ao quadrado da base do primeiro logaritmo: 9=3 2 , e o número sob o sinal do segundo logaritmo é igual ao quadrado do número sob o sinal do primeiro logaritmo: 81=9 2 . Acontece que tanto o número quanto a base do primeiro logaritmo log 3 9 foram elevados à segunda potência, e o valor do logaritmo não mudou disso:
Além disso, uma vez que a extração da raiz n grau de entre umaé a construção de um número uma até certo ponto ( 1/n), então log 3 9 pode ser obtido de log 9 81 extraindo raiz quadrada do número e da base do logaritmo:
2) Verifique a igualdade: log 4 25=log 0,5 0,2.
Considere o primeiro logaritmo. Tire a raiz quadrada da base 4 e de entre 25 ; obtemos: log 4 25=log 2 5.
Considere o segundo logaritmo. Base do logaritmo: 0,5= 1/2. O número sob o sinal deste logaritmo: 0,2= 1/5. Vamos elevar cada um desses números à primeira potência de menos:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Então log 0,5 0,2=log 2 5. Conclusão: esta igualdade é verdadeira.
Resolva a equação:
log 4 x 4 + log 16 81=log 2 (5x+2). Nós trazemos os logaritmos da esquerda para a base 2 .
log 2 x 2 + log 2 3=log 2 (5x+2). Tiramos a raiz quadrada do número e da base do primeiro logaritmo. Tiramos a quarta raiz do número e a base do segundo logaritmo.
log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Converta a soma dos logaritmos no logaritmo do produto.
3x2=5x+2. Recebido após potenciação.
3x2-5x-2=0. Nós decidimos Equação quadrática pela fórmula geral para a equação quadrática completa:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 raízes reais.
Exame.
x=2.
log 4 2 4 + log 16 81=log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 + log 2 3=log 2 12;
log 2 (4∙3)=log 2 12;
log 2 12=log 2 12;
log a n b=(1/
n)∙
registrar um b
Logaritmo de um número b Por razão um igual ao produto de uma fração 1/ n ao logaritmo de um número b Por razão uma.
Achar:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 se é sabido que log 2 3=b,log 5 2=c.
Solução.
Resolver equações:
1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.
Solução.
Trazemos esses logaritmos para a base 2. Aplique a fórmula: log a n b=(1/ n)∙ registrar um b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Aqui estão termos semelhantes:
(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;
1,75 log 2 x=5,25 |:1,75
log 2x=3. Por definição de logaritmo:
2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.
Solução. Pegue o logaritmo de base 16 para a base 4.
0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5
log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Converta a soma dos logaritmos no logaritmo do produto.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;
log 4 (x 2 -5x+6) = 0,5. Por definição de logaritmo:
x 2 -5x+4=0. De acordo com o teorema de Vieta:
x 1 =1; x2=4. O primeiro valor de x não funcionará, pois para x \u003d 1 os logaritmos dessa igualdade não existem, porque apenas números positivos podem estar sob o sinal do logaritmo.
Vamos verificar esta equação para x=4.
Exame.
0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b = log c b/log c a
Logaritmo de um número b Por razão umaé igual ao logaritmo do número b em uma nova base Com dividido pelo logaritmo da base antiga uma em uma nova base Com.
Exemplos:
1) log 2 3=log3/log2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Calcular:
1) registro 5 7 se é sabido que lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
c b / registro c uma.
log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
Responda: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) registro 5 7 se é sabido que ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Solução. Aplique a fórmula: log a b = log c b / registro c uma.
log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
Responda: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .
Encontrar x:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Usamos a fórmula: log c b / registro c um = registrar um b . Nós temos:
log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x=log 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Usamos a fórmula: log c b / registro c um = registrar um b. Nós temos:
log 7x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x=log143-log(11∙13);
log 7x=lg143-lg143;
x=1.
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Os logaritmos, como qualquer número, podem ser adicionados, subtraídos e convertidos de todas as maneiras possíveis. Mas como os logaritmos não são números comuns, existem regras aqui, chamadas propriedades básicas.
Essas regras devem ser conhecidas - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, são muito poucos - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.
Considere dois logaritmos com a mesma base: log uma x e logar uma y. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:
Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Observação: momento chave aqui - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!
Essas fórmulas o ajudarão a calcular a expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (consulte a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:
log 6 4 + log 6 9.
Como as bases dos logaritmos são iguais, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.
As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.
Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Como você pode ver, as expressões originais são compostas por logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois que as transformações resultam números bastante normais. Com base nesse fato, muitos papéis de teste. Sim, controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidas no exame.
Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:
É fácil ver que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.
Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: uma > 0, uma ≠ 1, x> 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isso é o que é mais frequentemente necessário.
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .
Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:
[Legenda da figura]
Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nós temos:
[Legenda da figura] Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo parado ali na forma de graus e retiraram os indicadores - obtiveram uma fração de “três andares”.
Agora vamos ver a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.
Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que eles só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?
As fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:
Deixe o logaritmo logar uma x. Então para qualquer número c de tal modo que c> 0 e c≠ 1, a igualdade é verdadeira:
[Legenda da figura]
Em particular, se colocarmos c = x, Nós temos:
[Legenda da figura]
Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.
Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar o quanto são convenientes apenas na hora de decidir equações logarítmicas e desigualdades.
No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.
Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos retirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Agora vamos inverter o segundo logaritmo:
[Legenda da figura]Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois e depois calculamos os logaritmos.
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.
A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar e nos livrar dos indicadores:
[Legenda da figura]Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal movendo para uma nova base:
[Legenda da figura]Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:
No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. Número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.
A segunda fórmula é, na verdade, uma definição parafraseada. É chamada de identidade logarítmica básica.
De fato, o que acontecerá se o número b eleve a potência para que b nesta medida dá um número uma? Isso mesmo: este é o mesmo número uma. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas "penduram" nele.
Como as novas fórmulas de conversão de base, a identidade logarítmica básica às vezes é a única solução possível.
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:
[Legenda da figura]
Observe que log 25 64 = log 5 8 - apenas retirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências com a mesma base, obtemos:
[Legenda da figura]Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do exame :)
Concluindo, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos "avançados".
Essas são todas as propriedades. Não deixe de praticar colocando-os em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.
Muitos alunos ficam presos em equações desse tipo. Ao mesmo tempo, as próprias tarefas não são de forma alguma complexas - basta apenas realizar uma substituição de variável competente, para a qual você deve aprender a isolar expressões estáveis.
Além desta lição, você encontrará um trabalho independente bastante volumoso, composto por duas opções com 6 tarefas cada.
Hoje vamos analisar duas equações logarítmicas, uma das quais não pode ser resolvida "totalmente" e requer transformações especiais, e a segunda ... porém, não vou contar tudo de uma vez. Assista ao vídeo, baixe trabalhos independentes - e aprenda a resolver problemas complexos.
Então, agrupando e tirando os fatores comuns do colchete. Além disso, contarei a você quais armadilhas o domínio da definição dos logaritmos carrega e como pequenas observações no domínio das definições podem alterar significativamente as raízes e toda a solução.
Vamos começar com o agrupamento. Precisamos resolver a seguinte equação logarítmica:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )
Em primeiro lugar, notamos que x 2 − 3x pode ser fatorado:
log 2 x (x − 3)
Então nos lembramos da fórmula maravilhosa:
log a fg = log a f + log a g
Imediatamente uma pequena observação: esta fórmula funciona bem quando a, f e g são números comuns. Mas quando há funções em seu lugar, essas expressões deixam de ser iguais em direitos. Imagine esta situação hipotética:
f< 0; g < 0
Nesse caso, o produto fg será positivo, portanto, log a ( fg ) existirá, mas log a f e log a g não existirão separadamente, e não podemos realizar tal transformação.
ignorando este fato levará a um estreitamento do domínio de definição e, como resultado, à perda de raízes. Portanto, antes de realizar tal transformação, é necessário ter certeza de que as funções f e g são positivas.
No nosso caso, tudo é simples. Como existe uma função log 2 x na equação original, então x > 0 (afinal, a variável x está no argumento). Há também log 2 (x − 3), então x − 3 > 0.
Portanto, na função log 2 x (x − 3) cada fator será maior que zero. Portanto, podemos decompor com segurança o produto na soma:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0
À primeira vista, pode parecer que não ficou mais fácil. Pelo contrário: o número de termos só aumentou! Para entender como prosseguir, introduzimos novas variáveis:
log 2 x = a
log 2 (x − 3) = b
a b + 1 − a − b = 0
E agora agrupamos o terceiro termo com o primeiro:
(a b - a) + (1 - b) = 0
a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0
Observe que tanto o primeiro quanto o segundo colchetes contêm b − 1 (no segundo caso, você terá que retirar o “menos” do colchete). Vamos fatorar nossa construção:
a (1 b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1)(a 1 − 1) = 0
E agora lembramos da nossa maravilhosa regra: o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
Vamos lembrar o que são b e a. Obtemos duas equações logarítmicas simples nas quais tudo o que resta é eliminar os sinais de log e igualar os argumentos:
log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;
log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5
Temos duas raízes, mas esta não é uma solução para a equação logarítmica original, mas apenas candidatos para a resposta. Agora vamos verificar o domínio. Para o primeiro argumento:
x > 0
Ambas as raízes satisfazem o primeiro requisito. Passemos ao segundo argumento:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
Mas aqui já x = 2 não nos satisfaz, mas x = 5 nos convém muito bem. Portanto, a única resposta é x = 5.
Passamos para a segunda equação logarítmica. À primeira vista, é muito mais simples. No entanto, no processo de resolvê-lo, consideraremos pontos sutis relacionados ao domínio da definição, cujo desconhecimento complica significativamente a vida dos alunos iniciantes.
log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)
Diante de nós está a forma canônica da equação logarítmica. Você não precisa converter nada - até as bases são as mesmas. Portanto, simplesmente igualamos os argumentos:
x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x
x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0
x 2 - 4x - 5 = 0
Diante de nós está a equação quadrática dada, ela é facilmente resolvida usando as fórmulas de Vieta:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
Mas essas raízes ainda não são respostas definitivas. É necessário encontrar o domínio de definição, pois existem dois logaritmos na equação original, ou seja, é estritamente necessário levar em conta o domínio da definição.
Então, vamos escrever o domínio de definição. Por um lado, o argumento do primeiro logaritmo deve ser maior que zero:
x 2 − 6x + 2 > 0
Por outro lado, o segundo argumento também deve ser maior que zero:
7 − 2x > 0
Esses requisitos devem ser atendidos ao mesmo tempo. E aqui começa o mais interessante. Claro, podemos resolver cada uma dessas desigualdades, depois interseccioná-las e encontrar o domínio de toda a equação. Mas por que tornar a vida tão difícil para si mesmo?
Vamos notar uma sutileza. Livrando-nos dos sinais de log, igualamos os argumentos. Isso implica que os requisitos x 2 − 6x + 2 > 0 e 7 − 2x > 0 são equivalentes. Como consequência, qualquer uma das duas desigualdades pode ser riscada. Vamos riscar o mais difícil e deixar a desigualdade linear usual para nós:
-2x > -7
x< 3,5
Como estávamos dividindo os dois lados por um número negativo, o sinal da desigualdade mudou.
Então encontramos o ODZ sem nenhum desigualdades quadradas, discriminantes e interseções. Agora resta apenas escolher as raízes que estão nesse intervalo. Obviamente, apenas x = −1 nos servirá, porque x = 5 > 3,5.
Você pode escrever a resposta: x = 1 é a única solução equação logarítmica original.
As conclusões desta equação logarítmica são as seguintes:
Isso, aliás, é tudo o que eu queria contar sobre o agrupamento. :)
Hoje vamos analisar duas equações logarítmicas típicas nas quais muitos estudantes tropeçam. No exemplo dessas equações, veremos quais erros são cometidos com mais frequência no processo de resolução e transformação das expressões originais.
Deve-se notar desde já que se trata de um tipo de equação bastante insidioso, em que nem sempre uma fração com logaritmo em algum lugar do denominador está imediatamente presente. No entanto, no processo de transformações, tal fração necessariamente surgirá.
Ao mesmo tempo, tenha cuidado: no processo de transformações, o domínio inicial de definição dos logaritmos pode mudar significativamente!
Voltamo-nos para equações logarítmicas ainda mais rígidas contendo frações e bases variáveis. Para fazer mais em uma lição curta, não contarei uma teoria elementar. Vamos direto às tarefas:
4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1
Olhando para esta equação, alguém perguntará: “O que a equação racional fracionária tem a ver com isso? Onde está a fração nesta equação? Não vamos nos apressar e dar uma olhada em cada termo.
Primeiro termo: 4 log 25 (x − 1). A base do logaritmo é um número, mas o argumento é uma função de x . Não podemos fazer nada sobre isso ainda. Ir em frente.
O próximo termo é log 3 27. Lembre-se de que 27 = 3 3 . Portanto, podemos reescrever todo o logaritmo da seguinte maneira:
log 3 27 = 3 3 = 3
Portanto, o segundo termo é apenas um três. O terceiro termo: 2 log x − 1 5. Nem tudo é simples aqui também: a base é uma função, o argumento é um número comum. Proponho inverter todo o logaritmo de acordo com a seguinte fórmula:
log a b = 1/log b a
Tal transformação só pode ser realizada se b ≠ 1. Caso contrário, o logaritmo que será obtido no denominador da segunda fração simplesmente não existirá. No nosso caso, b = 5, então está tudo bem:
2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)
Vamos reescrever a equação original levando em consideração as transformações obtidas:
4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1
Temos log 5 (x − 1) no denominador da fração e log 25 (x − 1) no primeiro termo. Mas 25 \u003d 5 2, então tiramos o quadrado da base do logaritmo de acordo com a regra:
Em outras palavras, o expoente na base do logaritmo torna-se a fração na frente. E a expressão será reescrita assim:
4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0
Acabamos com uma longa equação com um monte de logaritmos idênticos. Vamos introduzir uma nova variável:
log 5 (x − 1) = t;
2t − 4 + 2/t = 0;
Mas esta já é uma equação fracionária-racional, que é resolvida por meio da álgebra das séries 8-9. Primeiro, vamos dividi-lo em dois:
t − 2 + 1/t = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0
O quadrado exato está entre parênteses. Vamos enrolar:
(t − 1) 2 /t = 0
Uma fração é zero quando seu numerador é zero e seu denominador é diferente de zero. Nunca se esqueça deste fato:
(t − 1) 2 = 0
t=1
t ≠ 0
Vamos lembrar o que é t:
log 5 (x − 1) = 1
log 5 (x − 1) = log 5 5
Nós nos livramos dos sinais de log, igualamos seus argumentos e obtemos:
x − 1 = 5 ⇒ x = 6
Tudo. Problema resolvido. Mas vamos voltar à equação original e lembrar que havia dois logaritmos com a variável x ao mesmo tempo. Portanto, você precisa escrever o domínio de definição. Como x − 1 está no argumento do logaritmo, essa expressão deve ser maior que zero:
x − 1 > 0
Por outro lado, o mesmo x − 1 também está presente na base, portanto deve diferir de um:
x − 1 ≠ 1
Daí concluímos:
x > 1; x ≠ 2
Esses requisitos devem ser atendidos ao mesmo tempo. O valor x = 6 satisfaz ambos os requisitos, então x = 6 é a solução final para a equação logarítmica.
Vamos para a segunda tarefa:
Novamente, não vamos nos apressar e olhar para cada termo:
log 4 (x + 1) - há um quatro na base. O número usual, e você não pode tocá-lo. Mas da última vez tropeçamos em um quadrado exato na base, que teve que ser retirado sob o sinal do logaritmo. Vamos fazer o mesmo agora:
log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)
O truque é que já temos um logaritmo com a variável x , ainda que na base - é o inverso do logaritmo que acabamos de encontrar:
8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)
O próximo termo é log 2 8. Isso é uma constante, pois tanto o argumento quanto a base são números comuns. Vamos achar o valor:
log 2 8 = log 2 2 3 = 3
Podemos fazer o mesmo com o último logaritmo:
Agora vamos reescrever a equação original:
1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0
Vamos trazer tudo para um denominador comum:
Diante de nós está novamente uma equação fracionária-racional. Vamos introduzir uma nova variável:
t = log 2 (x + 1)
Vamos reescrever a equação levando em consideração a nova variável:
Cuidado: nesta etapa, troquei os termos. O numerador da fração é o quadrado da diferença:
Como da última vez, uma fração é zero quando seu numerador é zero e seu denominador é diferente de zero:
(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Temos uma raiz que satisfaz todos os requisitos, então voltamos para a variável x:
log 2 (x + 1) = 4;
log 2 (x + 1) = log 2 2 4;
x + 1 = 16;
x=15
É isso, resolvemos a equação. Mas como havia vários logaritmos na equação original, é necessário escrever o domínio de definição.
Portanto, a expressão x + 1 está no argumento do logaritmo. Portanto, x + 1 > 0. Por outro lado, x + 1 também está presente na base, ou seja, x + 1 ≠ 1. Total:
0 ≠ x > −1
A raiz encontrada atende a esses requisitos? Sem dúvida. Portanto, x = 15 é a solução da equação logarítmica original.
Por fim, gostaria de dizer o seguinte: se você olhar para a equação e entender que precisa resolver algo complexo e fora do padrão, tente destacar estruturas estáveis, que posteriormente serão denotadas por outra variável. Se alguns termos não contiverem a variável x, eles podem ser simplesmente calculados.
Era só isso que eu queria falar hoje. Espero que esta lição o ajude a resolver equações logarítmicas complexas. Assista a outros tutoriais em vídeo, baixe e resolva trabalho independente e até o próximo vídeo!
Instrução
Escreva a expressão logarítmica dada. Se a expressão usar o logaritmo de 10, sua notação será reduzida e ficará assim: lg b é logaritmo decimal. Se o logaritmo tiver como base o número e, então a expressão é escrita: ln b é o logaritmo natural. Entende-se que o resultado de qualquer é a potência à qual o número base deve ser elevado para obter o número b.
Ao encontrar a soma de duas funções, basta diferenciá-las uma a uma e somar os resultados: (u+v)" = u"+v";
Ao encontrar a derivada do produto de duas funções, é necessário multiplicar a derivada da primeira função pela segunda e somar a derivada da segunda função, multiplicada pela primeira função: (u*v)" = u"* v+v"*u;
Para encontrar a derivada do quociente de duas funções, é necessário, do produto da derivada do dividendo multiplicado pela função divisor, subtrair o produto da derivada do divisor multiplicado pela função divisor e dividir tudo isso pela função divisor ao quadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Se dado função complexa, então é necessário multiplicar a derivada da função interna e a derivada da externa. Seja y=u(v(x)), então y"(x)=y"(u)*v"(x).
Usando o obtido acima, você pode diferenciar quase qualquer função. Vejamos então alguns exemplos:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Também existem tarefas para calcular a derivada em um ponto. Seja dada a função y=e^(x^2+6x+5), você precisa encontrar o valor da função no ponto x=1.
1) Encontre a derivada da função: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Calcule o valor da função no ponto dado y"(1)=8*e^0=8
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Fontes:
Então, qual é a diferença entre uma equação irracional e uma racional? Se a variável desconhecida estiver sob o sinal da raiz quadrada, a equação é considerada irracional.
Instrução
O principal método para resolver tais equações é o método de elevar ambas as partes equações em um quadrado. No entanto. isso é natural, o primeiro passo é se livrar do sinal. Tecnicamente, esse método não é difícil, mas às vezes pode causar problemas. Por exemplo, a equação v(2x-5)=v(4x-7). Ao elevar ao quadrado ambos os lados, você obtém 2x-5=4x-7. Tal equação não é difícil de resolver; x=1. Mas o número 1 não será dado equações. Por quê? Substitua a unidade na equação em vez do valor de X. E os lados direito e esquerdo conterão expressões que não fazem sentido. Tal valor não é válido para uma raiz quadrada. Portanto, 1 é uma raiz estranha e, portanto, esta equação não tem raízes.
Assim, a equação irracional é resolvida usando o método do quadrado de ambas as partes. E tendo resolvido a equação, é necessário cortar raízes estranhas. Para fazer isso, substitua as raízes encontradas na equação original.
Considere outro.
2x+vx-3=0
Obviamente, essa equação pode ser resolvida usando a mesma equação da anterior. Compostos de Transferência equações, que não têm raiz quadrada, lado direito e, em seguida, use o método dos quadrados. resolva a equação racional resultante e as raízes. Mas outro, mais elegante. Insira uma nova variável; vx=y. Assim, você obterá uma equação como 2y2+y-3=0. Essa é a equação quadrática usual. Encontre suas raízes; y1=1 e y2=-3/2. Em seguida, resolva dois equações vx=1; vx \u003d -3/2. A segunda equação não tem raízes, da primeira descobrimos que x=1. Não se esqueça da necessidade de verificar as raízes.
Resolver identidades é bastante fácil. Isso requer fazer transformações idênticas até que o objetivo seja alcançado. Assim, com a ajuda das operações aritméticas mais simples, a tarefa será resolvida.
você vai precisar
Instrução
As transformações mais simples são as multiplicações algébricas abreviadas (como o quadrado da soma (diferença), a diferença dos quadrados, a soma (diferença), o cubo da soma (diferença)). Além disso, existem muitos fórmulas trigonométricas, que são essencialmente as mesmas identidades.
Com efeito, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais o dobro do produto do primeiro e do segundo mais o quadrado do segundo, ou seja, (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.
Simplifique ambos
