Fórmulas para as raízes de uma equação quadrática. São considerados os casos de raízes reais, múltiplas e complexas. Fatoração de um trinômio quadrado. Interpretação geométrica. Exemplos de determinação de raízes e fatoração.
Considere a equação quadrática:
(1)
.
As raízes de uma equação quadrática(1) são determinados pelas fórmulas:
;
.
Essas fórmulas podem ser combinadas assim:
.
Quando as raízes da equação quadrática são conhecidas, então o polinômio de segundo grau pode ser representado como um produto de fatores (fatorado):
.
Além disso, consideramos que - numeros reais.
Considerar discriminante de uma equação quadrática:
.
Se o discriminante é positivo, então a equação quadrática (1) tem duas raízes reais diferentes:
;
.
Então a fatoração do trinômio quadrado tem a forma:
.
Se o discriminante é zero, então a equação quadrática (1) tem duas raízes reais múltiplas (iguais):
.
Fatoração:
.
Se o discriminante for negativo, então a equação quadrática (1) tem duas raízes conjugadas complexas:
;
.
Aqui está a unidade imaginária, ;
e são as partes real e imaginária das raízes:
;
.
Então
.
Se construir gráfico de função
,
que é uma parábola, então os pontos de interseção do gráfico com o eixo serão as raízes da equação
.
Quando , o gráfico intercepta o eixo das abcissas (eixo) em dois pontos.
Quando , o gráfico toca o eixo x em um ponto.
Quando , o gráfico não cruza o eixo x.
Abaixo estão exemplos de tais gráficos.
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Realizamos transformações e aplicamos as fórmulas (f.1) e (f.3):
,
Onde
;
.
Então, temos a fórmula para o polinômio do segundo grau na forma:
.
A partir disso, pode-se ver que a equação
realizado em
e .
Ou seja, e são as raízes da equação quadrática
.
(1.1)
.
.
Comparando com nossa equação (1.1), encontramos os valores dos coeficientes:
.
Encontrando o discriminante:
.
Como o discriminante é positivo, a equação tem duas raízes reais:
;
;
.
A partir daqui, obtemos a decomposição do trinômio quadrado em fatores:
.
Gráfico da função y = 2 x 2 + 7 x + 3 cruza o eixo x em dois pontos.
Vamos plotar a função
.
O gráfico desta função é uma parábola. Ele cruza o eixo x (eixo) em dois pontos:
e .
Esses pontos são as raízes da equação original (1.1).
;
;
.
Encontre as raízes de uma equação quadrática:
(2.1)
.
Escrevemos a equação quadrática em visão geral:
.
Comparando com a equação original (2.1), encontramos os valores dos coeficientes:
.
Encontrando o discriminante:
.
Como o discriminante é zero, a equação tem duas raízes múltiplas (iguais):
;
.
Então a fatoração do trinômio tem a forma:
.
Gráfico da função y = x 2 - 4x + 4 toca o eixo x em um ponto.
Vamos plotar a função
.
O gráfico desta função é uma parábola. Ele toca o eixo x (eixo) em um ponto:
.
Este ponto é a raiz da equação original (2.1). Como essa raiz é fatorada duas vezes:
,
então essa raiz é chamada de múltiplo. Ou seja, eles consideram que existem duas raízes iguais:
.
;
.
Encontre as raízes de uma equação quadrática:
(3.1)
.
Escrevemos a equação quadrática na forma geral:
(1)
.
Vamos reescrever a equação original (3.1):
.
Comparando com (1), encontramos os valores dos coeficientes:
.
Encontrando o discriminante:
.
O discriminante é negativo, . Portanto, não há raízes reais.
Você pode encontrar raízes complexas:
;
;
.
Então
.
O gráfico da função não cruza o eixo x. Não há raízes reais.
Vamos plotar a função
.
O gráfico desta função é uma parábola. Não cruza a abcissa (eixo). Portanto, não há raízes reais.
Não há raízes reais. Raízes complexas:
;
;
.
Vamos trabalhar com equações quadráticas. Estas são equações muito populares! Em sua forma mais geral, a equação quadrática se parece com isso:
Por exemplo:
Aqui uma =1; b = 3; c = -4
Aqui uma =2; b = -0,5; c = 2,2
Aqui uma =-3; b = 6; c = -18
Bom, você entendeu a ideia...
Como resolver equações do segundo grau? Se você tem uma equação quadrática nesta forma, então tudo é simples. Nós lembramos mundo magico discriminante . Um raro estudante do ensino médio não ouviu essa palavra! A frase “decida através do discriminante” é reconfortante e reconfortante. Porque não há necessidade de esperar truques do discriminante! É simples e sem problemas de usar. Então, a fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática é assim:
A expressão sob o sinal da raiz é a mesma discriminante. Como você pode ver, para encontrar x, usamos apenas a, b e c. Aqueles. coeficientes da equação quadrática. Apenas substitua cuidadosamente os valores a, b e c nesta fórmula e considere. Substituto com seus signos! Por exemplo, para a primeira equação uma =1; b = 3; c= -4. Aqui escrevemos:
Exemplo quase resolvido:
Isso é tudo.
Que casos são possíveis ao usar esta fórmula? Existem apenas três casos.
1. O discriminante é positivo. Isso significa que você pode extrair a raiz dele. Se a raiz é extraída bem ou mal é outra questão. É importante o que é extraído em princípio. Então sua equação quadrática tem duas raízes. Duas soluções diferentes.
2. O discriminante é zero. Então você tem uma solução. Estritamente falando, esta não é uma única raiz, mas dois idênticos. Mas isso desempenha um papel nas desigualdades, onde estudaremos a questão com mais detalhes.
3. O discriminante é negativo. De um número negativo Raiz quadrada não é extraído. Bem, tudo bem. Isso significa que não há soluções.
Tudo é muito simples. E o que você acha, não tem como errar? Bem, sim, como...
Os erros mais comuns são a confusão com os sinais de valores a, b e c. Ou melhor, não com seus sinais (onde há de confundir?), mas com a substituição de valores negativosna fórmula de cálculo das raízes. Aqui, um registro detalhado da fórmula com números específicos é salvo. Se houver problemas com cálculos, então faça!
Suponha que precisamos resolver o seguinte exemplo:
Aqui a = -6; b = -5; c=-1
Digamos que você saiba que raramente obtém respostas na primeira vez.
Bem, não seja preguiçoso. Levará 30 segundos para escrever uma linha extra. E o número de erros vai cair drasticamente. Então escrevemos em detalhes, com todos os colchetes e sinais:
Parece incrivelmente difícil pintar com tanto cuidado. Mas só parece. Tente. Bem, ou escolha. O que é melhor, rápido ou certo? Além disso, eu vou te fazer feliz. Depois de um tempo, não haverá necessidade de pintar tudo com tanto cuidado. Só vai dar certo. Especialmente se você aplicar técnicas práticas, que são descritas abaixo. Este exemplo maligno com um monte de desvantagens será resolvido facilmente e sem erros!
Então, como resolver equações do segundo grau através do discriminante que lembramos. Ou aprendida, o que também é bom. Você consegue identificar corretamente a, b e c. Você sabe como com cuidado substitua-os na fórmula da raiz e com cuidado contar o resultado. Você entendeu isso palavra-chave aqui - com cuidado?
No entanto, as equações quadráticas geralmente parecem um pouco diferentes. Por exemplo, assim:
isto equações quadráticas incompletas . Eles também podem ser resolvidos através do discriminante. Você só precisa descobrir corretamente o que é igual aqui a, b e c.
Percebi? No primeiro exemplo a = 1; b = -4; uma c? Não existe de jeito nenhum! Bem, sim, isso mesmo. Em matemática, isso significa que c = 0 ! Isso é tudo. Substitua zero na fórmula em vez de c, e tudo vai dar certo para nós. Da mesma forma com o segundo exemplo. Só zero não temos aqui Com, uma b !
Mas equações quadráticas incompletas podem ser resolvidas muito mais facilmente. Sem qualquer discriminação. Considere a primeira equação incompleta. O que pode ser feito no lado esquerdo? Você pode tirar o X dos colchetes! Vamos tirá-lo.
E daí? E o fato do produto ser igual a zero se, e somente se algum dos fatores for igual a zero! Não acredito? Bem, então venha com dois números diferentes de zero que, quando multiplicados, darão zero!
Não funciona? Algo...
Portanto, podemos escrever com segurança: x = 0, ou x = 4
Tudo. Estas serão as raízes da nossa equação. Ambos se encaixam. Ao substituir qualquer um deles na equação original, obtemos a identidade correta 0 = 0. Como você pode ver, a solução é muito mais simples do que através do discriminante.
A segunda equação também pode ser facilmente resolvida. Transferindo 9 para lado direito. Nós temos:
Resta extrair a raiz de 9, e é isso. Pegue:
também duas raízes . x = +3 e x = -3.
É assim que todas as equações quadráticas incompletas são resolvidas. Ou tirando X dos colchetes, ou simplesmente transferindo o número para a direita, seguido pela extração da raiz.
É extremamente difícil confundir esses métodos. Simplesmente porque no primeiro caso você terá que extrair a raiz de X, o que é de alguma forma incompreensível, e no segundo caso não há nada para tirar dos colchetes...
Agora tome nota das técnicas práticas que reduzem drasticamente o número de erros. Os mesmos que são devidos à desatenção... Para os quais é então doloroso e insultante...
Primeira recepção. Não seja preguiçoso antes de resolver uma equação quadrática para trazê-la para uma forma padrão. O que isto significa?
Suponha que, após quaisquer transformações, você obtenha a seguinte equação:
Não se apresse em escrever a fórmula das raízes! Você quase certamente vai misturar as probabilidades a, b e c. Construa o exemplo corretamente. Primeiro, x ao quadrado, depois sem quadrado, depois um membro livre. Assim:
E novamente, não se apresse! O menos antes do x ao quadrado pode incomodá-lo muito. Esquecer é fácil... Livre-se do menos. Como? Sim, conforme ensinado no tópico anterior! Precisamos multiplicar toda a equação por -1. Nós temos:
E agora você pode escrever com segurança a fórmula para as raízes, calcular o discriminante e completar o exemplo. Decida por conta própria. Você deve terminar com raízes 2 e -1.
Segunda recepção. Verifique suas raízes! De acordo com o teorema de Vieta. Não se preocupe, eu explico tudo! Verificando última coisa a equação. Aqueles. aquela pela qual escrevemos a fórmula das raízes. Se (como neste exemplo) o coeficiente a = 1, verifique as raízes facilmente. Basta multiplicá-los. Você deve obter um termo gratuito, ou seja, no nosso caso -2. Preste atenção, não 2, mas -2! Membro grátis com seu signo
. Se não deu certo, significa que eles já erraram em algum lugar. Procure um erro. Se deu certo, você precisa dobrar as raízes. Última e última verificação. Deve ser uma proporção b Com oposto
sinal. No nosso caso -1+2 = +1. Um coeficiente b, que está antes do x, é igual a -1. Então, está tudo certo!
É uma pena que seja tão simples apenas para exemplos em que x ao quadrado é puro, com um coeficiente a = 1. Mas pelo menos verifique essas equações! Haverá menos erros.
Terceiro de recepção. Se sua equação tem coeficientes fracionários, livre-se das frações! Multiplique a equação pelo denominador comum conforme descrito na seção anterior. Ao trabalhar com frações, erros, por algum motivo, suba ...
A propósito, prometi um exemplo maligno com várias desvantagens para simplificar. Por favor! Aqui está ele.
Para não ficar confuso nos menos, multiplicamos a equação por -1. Nós temos:
Isso é tudo! Decidir é divertido!
Então vamos recapitular o tópico.
1. Antes de resolver, trazemos a equação quadrática para a forma padrão, construímos certo.
2. Se houver um coeficiente negativo na frente do x no quadrado, nós o eliminamos multiplicando toda a equação por -1.
3. Se os coeficientes são fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação pelo fator correspondente.
4. Se x ao quadrado é puro, o coeficiente para ele é igual a um, a solução pode ser facilmente verificada pelo teorema de Vieta. Faça isso!
Equações fracionárias. ODZ.
Continuamos a dominar as equações. Já sabemos trabalhar com equações lineares e quadráticas. A última visão permanece equações fracionárias. Ou eles também são chamados de muito mais sólidos - equações racionais fracionárias. Esse é o mesmo.
Equações fracionárias.
Como o nome indica, essas equações necessariamente contêm frações. Mas não apenas frações, mas frações que têm desconhecido no denominador. Pelo menos em um. Por exemplo:
Deixe-me lembrá-lo, se apenas nos denominadores números, estas são equações lineares.
Como decidir equações fracionárias? Em primeiro lugar, livre-se das frações! Depois disso, a equação, na maioria das vezes, se transforma em linear ou quadrática. E então sabemos o que fazer... Em alguns casos, pode se transformar em uma identidade, como 5=5 ou em uma expressão incorreta, como 7=2. Mas isso raramente acontece. Abaixo vou mencioná-lo.
Mas como se livrar das frações!? Muito simples. Aplicando todas as mesmas transformações idênticas.
Precisamos multiplicar toda a equação pela mesma expressão. Para que todos os denominadores diminuam! Tudo ficará imediatamente mais fácil. Eu explico com um exemplo. Digamos que precisamos resolver a equação:
Como eles foram ensinados na escola primária? Transferimos tudo em uma direção, reduzimos a um denominador comum, etc. Esqueça como pesadelo! Isso é o que você precisa fazer ao adicionar ou subtrair expressões fracionárias. Ou trabalhar com desigualdades. E nas equações, imediatamente multiplicamos ambas as partes por uma expressão que nos dará a oportunidade de reduzir todos os denominadores (ou seja, em essência, por um denominador comum). E qual é essa expressão?
No lado esquerdo, para reduzir o denominador, você precisa multiplicar por x+2. E à direita, é necessário multiplicar por 2. Então, a equação deve ser multiplicada por 2(x+2). Multiplicamos:
Esta é a multiplicação usual de frações, mas vou escrever em detalhes:
Observe que ainda não estou abrindo o parêntese. (x + 2)! Assim, na íntegra, escrevo:
No lado esquerdo, é totalmente reduzido (x+2), e à direita 2. Conforme necessário! Após a redução obtemos linear a equação:
Qualquer um pode resolver esta equação! x = 2.
Vamos resolver outro exemplo, um pouco mais complicado:
Se lembrarmos que 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1 pode ser escrito:
E novamente nos livramos do que realmente não gostamos - das frações.
Vemos que para reduzir o denominador com x, é necessário multiplicar a fração por (x - 2). E as unidades não são um obstáculo para nós. Bem, vamos multiplicar. Tudo lado esquerdo e tudo lado direito:
Parênteses novamente (x - 2) Eu não revelo. Trabalho com o colchete como um todo, como se fosse um número! Isso deve ser feito sempre, caso contrário nada será reduzido.
Com um sentimento de profunda satisfação, cortamos (x - 2) e obtemos a equação sem frações, em uma régua!
E agora abrimos os colchetes:
Damos semelhantes, transferimos tudo para o lado esquerdo e obtemos:
Equação quadrática clássica. Mas o menos à frente não é bom. Você sempre pode se livrar dele multiplicando ou dividindo por -1. Mas se você observar atentamente o exemplo, notará que é melhor dividir essa equação por -2! De uma só vez, o menos desaparecerá e os coeficientes ficarão mais bonitos! Dividimos por -2. No lado esquerdo - termo por termo, e no lado direito - basta dividir zero por -2, zero e obter:
Resolvemos através do discriminante e verificamos de acordo com o teorema de Vieta. Nós temos x=1 e x=3. Duas raízes.
Como você pode ver, no primeiro caso, a equação após a transformação tornou-se linear, e aqui é quadrática. Acontece que depois de se livrar das frações, todos os x são reduzidos. Há algo deixado, como 5 = 5. Significa que x pode ser qualquer coisa. Seja o que for, ainda será reduzido. E obtenha a pura verdade, 5=5. Mas, depois de se livrar das frações, pode ser completamente falso, como 2 = 7. E isso significa que sem soluções! Com qualquer x, acaba sendo falso.
Percebi Maneira principal soluções equações fracionárias? É simples e lógico. Mudamos a expressão original para que tudo o que não gostamos desapareça. Ou interferir. NO este caso são frações. Faremos o mesmo com todo tipo de exemplos complexos com logaritmos, senos e outros horrores. Nós sempre vamos nos livrar de tudo isso.
No entanto, precisamos mudar a expressão original na direção que precisamos de acordo com as regras, sim ... O desenvolvimento do qual é a preparação para o exame de matemática. Aqui estamos aprendendo.
Agora vamos aprender como contornar um dos as principais emboscadas no exame! Mas antes, vamos ver se você cai nessa ou não?
Vamos a um exemplo simples:
O assunto já é familiar, multiplicamos ambas as partes por (x - 2), Nós temos:
Lembre-se, com colchetes (x - 2) trabalhamos como com uma expressão integral!
Aqui já não escrevi o dos denominadores, indigno... E não desenhei colchetes nos denominadores, exceto para x - 2 não há nada, você não pode desenhar. Nós encurtamos:
Abrimos os colchetes, movemos tudo para a esquerda, damos semelhantes:
Resolvemos, verificamos, obtemos duas raízes. x = 2 e x = 3. Excelente.
Suponha que a tarefa diga para escrever a raiz, ou sua soma, se houver mais de uma raiz. O que vamos escrever?
Se você decidir que a resposta é 5, você foram emboscados. E a tarefa não será contada para você. Eles trabalharam em vão... A resposta correta é 3.
Qual é o problema?! E você tenta verificar. Substitua os valores do desconhecido em original exemplo. E se em x = 3 tudo cresce maravilhosamente junto, obtemos 9 = 9, então com x = 2 divida por zero! O que absolutamente não pode ser feito. Significa x = 2 não é uma solução e não é levado em consideração na resposta. Esta é a chamada raiz estranha ou extra. Apenas o descartamos. Há apenas uma raiz final. x = 3.
Como assim?! Ouço exclamações indignadas. Fomos ensinados que uma equação pode ser multiplicada por uma expressão! Esta é a mesma transformação!
Sim, idêntico. No condição pequena- a expressão pela qual multiplicamos (dividimos) - diferente de zero. MAS x - 2 no x = 2 igual a zero! Então é tudo justo.
E agora o que posso fazer?! Não multiplique por expressão? Você verifica todas as vezes? Novamente incerto!
Calmamente! Nada de pânico!
Nesta situação difícil, três letras mágicas nos salvarão. Eu sei o que você estava pensando. Corretamente! isto ODZ . Área de Valores Válidos.
Equação quadrática - fácil de resolver! *Ainda no texto "KU". Amigos, parece que em matemática pode ser mais fácil do que resolver tal equação. Mas algo me disse que muitas pessoas têm problemas com ele. Decidi ver quantas impressões o Yandex dá por solicitação por mês. Veja o que aconteceu, veja:
O que isto significa? Isso significa que cerca de 70.000 pessoas por mês estão procurando essa informação, o que este verão tem a ver com isso e o que estará entre ano escolar- os pedidos serão duas vezes maiores. Isso não é surpreendente, porque aqueles meninos e meninas que se formaram na escola há muito tempo e estão se preparando para o exame estão procurando essas informações, e os alunos também estão tentando refrescar a memória.
Apesar de existirem muitos sites que contam como resolver essa equação, resolvi contribuir também e publicar o material. Em primeiro lugar, quero que os visitantes acessem meu site com essa solicitação; em segundo lugar, em outros artigos, quando surgir o discurso “KU”, darei um link para este artigo; em terceiro lugar, vou falar um pouco mais sobre sua solução do que geralmente é afirmado em outros sites. Vamos começar! O conteúdo do artigo:
Uma equação quadrática é uma equação da forma:
onde os coeficientes a,be com números arbitrários, com a≠0.
NO curso escolar o material é dado da seguinte forma - a divisão de equações em três classes é condicionalmente feita:
1. Tenha duas raízes.
2. * Tenha apenas uma raiz.
3. Não tenha raízes. Vale a pena notar aqui que eles não têm raízes reais
Como as raízes são calculadas? Apenas!
Calculamos o discriminante. Sob esta palavra "terrível" encontra-se uma fórmula muito simples:
As fórmulas das raízes são as seguintes:
*Estas fórmulas devem ser conhecidas de cor.
Você pode escrever imediatamente e decidir:
Exemplo:
1. Se D > 0, então a equação tem duas raízes.
2. Se D = 0, então a equação tem uma raiz.
3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Vejamos a equação:
Nesta ocasião, quando o discriminante é zero, o curso escolar diz que se obteve uma raiz, aqui é igual a nove. Isso mesmo, é, mas...
Esta representação é um pouco incorreta. Na verdade, existem duas raízes. Sim, sim, não se surpreenda, verifica-se duas raízes iguais e, para ser matematicamente preciso, duas raízes devem ser escritas na resposta:
x 1 = 3 x 2 = 3
Mas é assim - pequena digressão. Na escola, você pode escrever e dizer que há apenas uma raiz.
Agora o seguinte exemplo:
Como sabemos, a raiz de um número negativo não é extraída, portanto, não há solução neste caso.
Esse é todo o processo de decisão.
Função quadrática.
Aqui está como a solução parece geometricamente. Isso é extremamente importante de entender (no futuro, em um dos artigos, analisaremos detalhadamente a solução de uma desigualdade quadrática).
Esta é uma função da forma:
onde x e y são variáveis
a, b, c são dados números, onde a ≠ 0
O gráfico é uma parábola:
Ou seja, ao resolver uma equação quadrática com "y" igual a zero, encontramos os pontos de interseção da parábola com o eixo x. Pode haver dois desses pontos (o discriminante é positivo), um (o discriminante é zero) ou nenhum (o discriminante é negativo). Detalhes sobre função quadrática Você pode visualizar artigo de Inna Feldman.
Considere exemplos:
Exemplo 1: decidir 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Resposta: x 1 = 8 x 2 = -12
* Você poderia dividir imediatamente os lados esquerdo e direito da equação por 2, ou seja, simplificá-la. Os cálculos serão mais fáceis.
Exemplo 2: Decidir x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Temos x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11
Na resposta, é permitido escrever x = 11.
Resposta: x = 11
Exemplo 3: Decidir x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
O discriminante é negativo, não há solução em números reais.
Resposta: sem solução
O discriminante é negativo. Existe uma solução!
Aqui falaremos sobre como resolver a equação no caso em que um discriminante negativo é obtido. Você sabe alguma coisa sobre números complexos? Não entrarei em detalhes aqui sobre por que e onde eles surgiram e qual é seu papel e necessidade específicos na matemática, este é um tópico para um grande artigo separado.
O conceito de um número complexo.
Um pouco de teoria.
Um número complexo z é um número da forma
z = a + bi
onde a e b são números reais, i é a chamada unidade imaginária.
a+bi é um NÚMERO ÚNICO, não uma adição.
A unidade imaginária é igual à raiz de menos um:
Agora considere a equação:
Obtenha duas raízes conjugadas.
Equação quadrática incompleta.
Considere casos especiais, isto é, quando o coeficiente "b" ou "c" é igual a zero (ou ambos são iguais a zero). Eles são resolvidos facilmente sem discriminantes.
Caso 1. Coeficiente b = 0.
A equação assume a forma:
Vamos transformar:
Exemplo:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Caso 2. Coeficiente c = 0.
A equação assume a forma:
Transforme, fatorize:
*O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Exemplo:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Caso 3. Coeficientes b = 0 ec = 0.
Aqui fica claro que a solução da equação será sempre x = 0.
Propriedades úteis e padrões de coeficientes.
Existem propriedades que permitem resolver equações com grandes coeficientes.
umax 2 + bx+ c=0 igualdade
uma + b+ c = 0, então
— se para os coeficientes da equação umax 2 + bx+ c=0 igualdade
uma+ com =b, então
Essas propriedades ajudam a resolver um certo tipo de equação.
Exemplo 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
A soma dos coeficientes é 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, então
Exemplo 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Igualdade uma+ com =b, significa
Regularidades de coeficientes.
1. Se na equação ax 2 + bx + c \u003d 0 o coeficiente "b" for (a 2 +1) e o coeficiente "c" for numericamente igual ao coeficiente "a", suas raízes serão
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Exemplo. Considere a equação 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Se na equação ax 2 - bx + c \u003d 0, o coeficiente "b" for (a 2 +1) e o coeficiente "c" for numericamente igual ao coeficiente "a", suas raízes serão
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Exemplo. Considere a equação 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Se na equação ax 2 + bx - c = 0 coeficiente "b" igual (um 2 – 1), e o coeficiente “c” numericamente igual ao coeficiente "a", então suas raízes são iguais
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Exemplo. Considere a equação 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Se na equação ax 2 - bx - c \u003d 0, o coeficiente "b" for igual a (a 2 - 1) e o coeficiente c for numericamente igual ao coeficiente "a", suas raízes serão
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Exemplo. Considere a equação 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
Teorema de Vieta.
O teorema de Vieta recebeu o nome do famoso matemático francês François Vieta. Usando o teorema de Vieta, pode-se expressar a soma e o produto das raízes de um KU arbitrário em termos de seus coeficientes.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Em suma, o número 14 dá apenas 5 e 9. Estas são as raízes. Com uma certa habilidade, usando o teorema apresentado, você pode resolver muitas equações quadráticas imediatamente oralmente.
Além disso, o teorema de Vieta. conveniente porque depois de resolver a equação quadrática da maneira usual(através do discriminante) as raízes obtidas podem ser verificadas. Eu recomendo fazer isso o tempo todo.
MÉTODO DE TRANSFERÊNCIA
Com este método, o coeficiente "a" é multiplicado pelo termo livre, como se "transferido" para ele, razão pela qual é chamado método de transferência. Este método é usado quando é fácil encontrar as raízes de uma equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.
Se um uma± b+c≠ 0, então a técnica de transferência é usada, por exemplo:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
De acordo com o teorema de Vieta na equação (2), é fácil determinar que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
As raízes obtidas da equação devem ser divididas por 2 (já que os dois foram “lançados” de x 2), obtemos
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.
Qual é a razão? Veja o que está acontecendo.
Os discriminantes das equações (1) e (2) são:
Se você observar as raízes das equações, apenas denominadores diferentes são obtidos e o resultado depende precisamente do coeficiente em x 2:
As segundas raízes (modificadas) são 2 vezes maiores.
Portanto, dividimos o resultado por 2.
*Se rolarmos uma trinca, dividimos o resultado por 3 e assim por diante.
Resposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5
quadrado ur-ie e o exame.
Vou falar brevemente sobre sua importância - VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE DECIDIR rapidamente e sem pensar, você precisa saber as fórmulas das raízes e do discriminante de cor. Muitas das tarefas que fazem parte das tarefas USE se resumem a resolver uma equação quadrática (incluindo as geométricas).
O que vale a pena notar!
1. A forma da equação pode ser "implícita". Por exemplo, a seguinte entrada é possível:
15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.
Você precisa trazê-lo para um formulário padrão (para não ficar confuso ao resolver).
2. Lembre-se que x é um valor desconhecido e pode ser denotado por qualquer outra letra - t, q, p, h e outras.
A transformação de uma equação quadrática completa em uma incompleta se parece com isso (para o caso \(b=0\)):
Para os casos em que \(c=0\) ou quando ambos os coeficientes são iguais a zero, tudo é semelhante.
Observe que \(a\) não é igual a zero, não pode ser igual a zero, pois neste caso se transforma em:
Antes de tudo, você precisa entender que a equação quadrática incompleta ainda é, portanto, pode ser resolvida da mesma maneira que a quadrática usual (através). Para fazer isso, simplesmente adicionamos o componente ausente da equação com um coeficiente zero.
Exemplo
: Encontre as raízes da equação \(3x^2-27=0\)
Solução
:
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Temos uma equação quadrática incompleta com o coeficiente \(b=0\). Ou seja, podemos escrever a equação da seguinte forma: |
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\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
Na verdade, aqui está a mesma equação do início, mas agora pode ser resolvida como um quadrado comum. Primeiro anotamos os coeficientes. |
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\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
Calcule o discriminante usando a fórmula \(D=b^2-4ac\) |
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\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
Vamos encontrar as raízes da equação usando as fórmulas |
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\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\) |
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Anote a resposta |
Responda : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
Exemplo
: Encontre as raízes da equação \(-x^2+x=0\)
Solução
:
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Novamente, uma equação quadrática incompleta, mas agora o coeficiente \(c\) é igual a zero. Escrevemos a equação como completa. |
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Escola secundária rural Kopyevskaya
10 maneiras de resolver equações quadráticas
Chefe: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
professor de matemática
s. Kopyevo, 2007
1. História do desenvolvimento de equações quadráticas
1.1 equações quadráticas na antiga Babilônia
1.2 Como Diofanto compilou e resolveu equações quadráticas
1.3 Equações quadráticas na Índia
1.4 equações quadráticas em al-Khwarizmi
1.5 Equações quadráticas na Europa séculos XIII - XVII
1.6 Sobre o teorema de Vieta
2. Métodos para resolver equações do segundo grau
Conclusão
Literatura
1. História do desenvolvimento de equações quadráticas
1.1 equações quadráticas na antiga Babilônia
A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau na antiguidade foi provocada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas de terra e terraplenagem de natureza militar, bem como o desenvolvimento da astronomia e matemática em si. Equações quadráticas foram capazes de resolver cerca de 2000 aC. e. babilônios.
Aplicando moderno notação algébrica, podemos dizer que em seus textos cuneiformes existem, além de incompletos, como, por exemplo, equações quadráticas completas:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
A regra para resolver essas equações, enunciada nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a essa regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora dão apenas problemas com soluções enunciadas na forma de receitas, sem indicação de como foram encontradas.
Apesar de alto nível desenvolvimento da álgebra na Babilônia, em textos cuneiformes não há conceito de número negativo e métodos gerais para resolver equações quadráticas.
1.2 Como Diofanto compilou e resolveu equações quadráticas.
A Aritmética de Diofanto não contém uma exposição sistemática de álgebra, mas contém uma série sistemática de problemas, acompanhados de explicações e resolvidos pela elaboração de equações de vários graus.
Ao compilar equações, Diofanto habilmente escolhe incógnitas para simplificar a solução.
Aqui, por exemplo, está uma de suas tarefas.
Tarefa 11."Encontre dois números sabendo que sua soma é 20 e seu produto é 96"
Diofanto argumenta o seguinte: segue-se da condição do problema que os números desejados não são iguais, pois se fossem iguais, seu produto não seria 96, mas 100. Assim, um deles será mais da metade de sua soma, ou seja. 10+x, o outro é menor, ou seja. 10's. A diferença entre eles 2x .
Daí a equação:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Daqui x = 2. Um dos números desejados é 12 , outro 8 . Solução x = -2 pois Diofanto não existe, pois a matemática grega conhecia apenas números positivos.
Se resolvermos este problema escolhendo um dos números desejados como incógnita, chegaremos à solução da equação
y(20 - y) = 96,
e 2 - 20 anos + 96 = 0. (2)
É claro que Diofanto simplifica a solução escolhendo a meia-diferença dos números desejados como incógnitas; ele consegue reduzir o problema a resolver uma equação quadrática incompleta (1).
1.3 Equações quadráticas na Índia
Problemas para equações quadráticas já são encontrados no tratado astronômico "Aryabhattam", compilado em 499 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhatta. Outro erudito indiano, Brahmagupta (século VII), expôs regra geral soluções de equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
Na equação (1), os coeficientes, exceto para uma, também pode ser negativo. O governo de Brahmagupta coincide essencialmente com o nosso.
NO Índia antiga concursos públicos eram comuns na resolução de tarefas difíceis. Em um dos antigos livros indianos, o seguinte é dito sobre tais competições: “Assim como o sol supera as estrelas com seu brilho, assim homem cientista eclipsar a glória de outro em reuniões públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos. As tarefas eram muitas vezes vestidas de forma poética.
Aqui está um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII. Bhaskara.
Tarefa 13.
“Um bando brincalhão de macacos E doze em vinhas...
Tendo comido poder, se divertiu. Eles começaram a pular, pendurados ...
Parte oito deles em um quadrado Quantos macacos havia,
Se divertindo no prado. Você me diz, neste rebanho?
A solução de Bhaskara indica que ele sabia sobre os dois valores das raízes das equações quadráticas (Fig. 3).
A equação correspondente ao problema 13 é:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara escreve sob o pretexto de:
x 2 - 64x = -768
e, para completar o lado esquerdo desta equação a um quadrado, ele adiciona a ambos os lados 32 2 , ficando então:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Equações quadráticas em al-Khorezmi
O tratado algébrico de Al-Khorezmi dá uma classificação de equações lineares e quadráticas. O autor lista 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:
1) "Quadrados são iguais a raízes", ou seja ax 2 + c = b X.
2) "Os quadrados são iguais ao número", ou seja, eixo 2 = s.
3) "As raízes são iguais ao número", ou seja, ah = s.
4) "Quadrados e números são iguais a raízes", ou seja, ax 2 + c = b X.
5) "Quadrados e raízes são iguais ao número", ou seja, ah 2+ bx = S.
6) "Raízes e números são iguais a quadrados", ou seja, bx + c \u003d eixo 2.
Para al-Khwarizmi, que evitou o uso de números negativos, os termos de cada uma dessas equações são adendos, não subtrações. Neste caso, obviamente não são levadas em conta as equações para as quais não há decisões positivas. O autor descreve os métodos para resolver essas equações, usando os métodos de al-jabr e al-muqabala. Suas decisões, é claro, não coincidem completamente com as nossas. Para não mencionar o fato de ser puramente retórica, deve-se notar, por exemplo, que ao resolver uma equação quadrática incompleta do primeiro tipo
al-Khorezmi, como todos os matemáticos antes do século XVII, não leva em conta a solução zero, provavelmente porque não importa em problemas práticos específicos. Ao resolver equações quadráticas completas, al-Khorezmi estabelece as regras para a resolução e, em seguida, as provas geométricas, usando exemplos numéricos particulares.
Tarefa 14.“O quadrado e o número 21 são iguais a 10 raízes. Encontre a raiz" (assumindo a raiz da equação x 2 + 21 = 10x).
A solução do autor é mais ou menos assim: divida o número de raízes pela metade, você obtém 5, multiplique 5 por ele mesmo, subtraia 21 do produto, resta 4. Tire a raiz de 4, você obtém 2. Subtraia 2 de 5, você obter 3, esta será a raiz desejada. Ou adicione 2 a 5, que dará 7, isso também é uma raiz.
O Tratado al - Khorezmi é o primeiro livro que chegou até nós, no qual a classificação das equações do segundo grau é sistematicamente declarada e as fórmulas para sua solução são dadas.
1.5 Equações quadráticas na Europa XIII - XVII séculos
Fórmulas para resolver equações quadráticas no modelo de al - Khorezmi na Europa foram estabelecidas pela primeira vez no "Livro do Ábaco", escrito em 1202 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta volumosa obra, que reflete a influência da matemática, tanto dos países do Islã quanto Grécia antiga, difere em completude e clareza de apresentação. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos. Seu livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não apenas na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitas tarefas do "Livro do Ábaco" passaram para quase todos os livros didáticos europeus dos séculos XVI e XVII. e parcialmente XVIII.
A regra geral para resolver equações quadráticas reduzida a uma única forma canônica:
x 2+ bx = com,
para todas as combinações possíveis de sinais dos coeficientes b , Com foi formulado na Europa apenas em 1544 por M. Stiefel.
Vieta tem uma derivação geral da fórmula para resolver uma equação quadrática, mas Vieta reconheceu apenas raízes positivas. Os matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estiveram entre os primeiros no século XVI. Leve em conta, além de raízes positivas e negativas. Somente no século XVII. Graças ao trabalho de Girard, Descartes, Newton e outros maneira dos cientistas resolver equações do segundo grau assume uma forma moderna.
1.6 Sobre o teorema de Vieta
O teorema que expressa a relação entre os coeficientes de uma equação quadrática e suas raízes, que leva o nome de Vieta, foi formulado por ele pela primeira vez em 1591 da seguinte forma: “Se B + D multiplicado por UMA - UMA 2 , é igual a BD, então UMAé igual a NO e igual D ».
Para entender Vieta, é preciso lembrar que MAS, como qualquer vogal, significava para ele o desconhecido (nosso X), as vogais NO, D- coeficientes para a incógnita. Na linguagem da álgebra moderna, a formulação de Vieta acima significa: se
(um + b ) x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b ) x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Expressando a relação entre as raízes e os coeficientes das equações por fórmulas gerais escritas usando símbolos, Viet estabeleceu uniformidade nos métodos de resolução de equações. No entanto, o simbolismo de Vieta ainda está longe de ser aparência moderna. Ele não reconheceu números negativos e, portanto, ao resolver equações, considerou apenas os casos em que todas as raízes são positivas.
2. Métodos para resolver equações do segundo grau
As equações quadráticas são a base sobre a qual repousa o majestoso edifício da álgebra. As equações quadráticas são amplamente utilizadas na resolução de equações e desigualdades trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, irracionais e transcendentais. Todos nós sabemos como resolver equações de segundo grau desde a escola (8ª série) até a formatura.
