Tal como acontece com o problema de encontrar a área, você precisa de habilidades de desenho confiantes - isso é quase a coisa mais importante (já que as próprias integrais geralmente são fáceis). Você pode dominar uma técnica gráfica competente e rápida usando Materiais de ensino e Transformações de Gráficos Geométricos. Mas, na verdade, tenho falado repetidamente sobre a importância dos desenhos na aula.
Em geral, existem muitas aplicações interessantes em cálculo integral, com a ajuda de integral definida você pode calcular a área de uma figura, o volume de um corpo de revolução, o comprimento de um arco, a área de superfície de uma revolução e muito mais. Então vai ser divertido, por favor, seja otimista!
Imagine alguma figura de avião em plano de coordenadas. Representado? ... Gostaria de saber quem apresentou o quê ... =))) Já encontramos a sua área. Mas além disso, esta figura Você também pode girar e girar de duas maneiras:
- em torno do eixo das abcissas;
- em torno do eixo y.
Neste artigo, ambos os casos serão discutidos. O segundo método de rotação é especialmente interessante, causa as maiores dificuldades, mas na verdade a solução é quase a mesma que na rotação mais comum em torno do eixo x. Como bônus, voltarei a o problema de encontrar a área de uma figura, e dizer-lhe como encontrar a área da segunda maneira - ao longo do eixo. Nem tanto um bônus, pois o material se encaixa bem no tema.
Vamos começar com o tipo mais popular de rotação.
Exemplo 1
Calcule o volume do corpo obtido pela rotação da figura, delimitado por linhas, em torno do eixo .
Solução: Como no problema da área, a solução começa com o desenho de uma figura plana. Ou seja, no plano é necessário construir uma figura delimitada por linhas , , sem esquecer que a equação define o eixo . Como fazer um desenho de forma mais racional e rápida pode ser encontrado nas páginas Gráficos e Propriedades de Funções Elementares e Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Este é um lembrete chinês, e em este momento Eu não paro mais.
O desenho aqui é bem simples:
A figura plana desejada está sombreada em azul, e é essa figura que gira em torno do eixo.Como resultado da rotação, obtém-se um disco voador ligeiramente em forma de ovo, que é simétrico em relação ao eixo. Na verdade, o corpo tem um nome matemático, mas dá preguiça de especificar algo no livro de referência, então vamos em frente.
O volume de um corpo de revolução pode ser calculado pela fórmula:
Na fórmula, deve haver um número antes da integral. Aconteceu - tudo o que gira na vida está conectado a essa constante.
Como definir os limites da integração "a" e "ser", eu acho, é fácil adivinhar a partir do desenho completo.
Função... o que é essa função? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico de parábola de cima. Esta é a função que está implícita na fórmula.
Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode ser localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - o integrando na fórmula é elevado ao quadrado: , assim integral é sempre não negativa, o que é bastante lógico.
Calcule o volume do corpo de revolução usando esta fórmula: 
Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.
Responda: 
Na resposta, é necessário indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 "cubos". Por que exatamente cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode ser centímetros cúbicos, pode ser Metros cúbicos, talvez quilômetros cúbicos, etc., é quantos homenzinhos verdes sua imaginação pode caber em um disco voador.
Exemplo 2
Encontre o volume do corpo formado por rotação em torno do eixo da figura delimitada pelas linhas , ,
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
Vamos considerar dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.
Exemplo 3
Calcule o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo de abcissas da figura limitada pelas linhas , , e
Solução: Desenhe uma figura plana no desenho, delimitada pelas linhas , , , , sem esquecer que a equação define o eixo:
A figura desejada está sombreada em azul. Quando gira em torno do eixo, é obtido um donut tão surreal com quatro cantos.
O volume do corpo de revolução é calculado como diferença de volume corporal.
Primeiro, vamos olhar para a figura que está circulada em vermelho. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um cone truncado. Vamos denotar o volume deste cone truncado como .
Considere a figura que está circulada em verde. Se você girar essa figura em torno do eixo, também obterá um cone truncado, apenas um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .
E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.
Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução: 
1) A figura circulada em vermelho é delimitada de cima por uma linha reta, portanto:
2) A figura circulada em verde é delimitada de cima por uma linha reta, portanto:
3) O volume do corpo de revolução desejado: 
Responda: 
É curioso que em este caso a solução pode ser verificada usando a fórmula escolar para calcular o volume de um cone truncado.
A decisão em si costuma ser mais curta, algo assim: 
Agora vamos fazer uma pausa e falar sobre ilusões geométricas.
As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, que Perelman (outro) notou no livro Geometria interessante. Olhe para a figura plana no problema resolvido - parece ser pequena em área, e o volume do corpo de revolução é pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. A propósito, a pessoa média em toda a sua vida bebe um líquido com o volume de uma sala com área de 18 metros quadrados, que, pelo contrário, parece ser muito pequeno.
Em geral, o sistema educacional da URSS era realmente o melhor. O mesmo livro de Perelman, publicado em 1950, desenvolve muito bem, como disse o humorista, o raciocínio e ensina a buscar soluções originais e não padronizadas para os problemas. Recentemente reli alguns capítulos com grande interesse, recomendo, é acessível até para humanitários. Não, você não precisa sorrir que eu sugeri um passatempo bespontovy, erudição e uma visão ampla na comunicação é uma grande coisa.
Depois de uma digressão lírica, é justo decidir tarefa criativa:
Exemplo 4
Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana limitada pelas linhas , , onde .
Este é um exemplo de faça você mesmo. Observe que todas as coisas acontecem na banda , ou seja, limites de integração prontos são realmente dados. Obtenha os gráficos certos funções trigonométricas, lembre-se do material da lição sobre transformações geométricas de gráficos: se o argumento for divisível por dois: , os gráficos serão esticados ao longo do eixo duas vezes. É desejável encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com as tabelas trigonométricas para completar o desenho com mais precisão. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida racionalmente e não muito racionalmente.
O segundo parágrafo será ainda mais interessante que o primeiro. A tarefa de calcular o volume de um corpo de revolução em torno do eixo y também é um convidado bastante frequente em trabalho de controle. De passagem será considerado problema de encontrar a área de uma figura a segunda maneira - integração ao longo do eixo, isso permitirá não apenas melhorar suas habilidades, mas também ensiná-lo a encontrar a solução mais lucrativa. Também tem uma prática significado da vida! Como minha professora de métodos de ensino de matemática recordou com um sorriso, muitos graduados agradeceram a ela com as palavras: “Sua matéria nos ajudou muito, agora nós gerentes eficazes e gerenciar a equipe de forma otimizada. Aproveitando esta oportunidade, expresso também a ela a minha grande gratidão, sobretudo porque utilizo os conhecimentos adquiridos para o fim a que se destina =).
Eu recomendo para todos lerem, mesmo para manequins completos. Além disso, o material assimilado do segundo parágrafo será de inestimável ajuda no cálculo de integrais duplas.
Exemplo 5
Dada uma figura plana limitada por linhas , , .
1) Encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas.
2) Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana limitada por essas linhas em torno do eixo.
Atenção! Mesmo que você queira apenas ler o segundo parágrafo, primeiro necessariamente leia o primeiro!
Solução: A tarefa consiste em duas partes. Vamos começar com o quadrado.
1) Vamos executar o desenho:
É fácil ver que a função define o ramo superior da parábola e a função define o ramo inferior da parábola. Diante de nós está uma parábola trivial, que "está de lado".
A figura desejada, cuja área deve ser encontrada, está sombreada em azul.
Como encontrar a área de uma figura? Pode ser encontrado da maneira "usual", que foi considerada na lição. Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Além disso, a área da figura é encontrada como a soma das áreas:
- no segmento 
;
- no segmento.
É por isso:
O que há de errado com a solução usual neste caso? Primeiro, existem duas integrais. Em segundo lugar, raízes sob integrais e raízes em integrais não são um presente, além disso, pode-se confundir ao substituir os limites de integração. Na verdade, as integrais, claro, não são mortais, mas na prática tudo é muito mais triste, apenas peguei funções “melhores” para a tarefa.
Há uma solução mais racional: consiste na transição para funções inversas e integração ao longo do eixo.
Como passar para funções inversas? Grosso modo, você precisa expressar "x" através de "y". Primeiro, vamos lidar com a parábola:
Isso é suficiente, mas vamos garantir que a mesma função possa ser derivada do ramo inferior:
Com uma linha reta, tudo fica mais fácil:
Agora olhe para o eixo: por favor, incline periodicamente sua cabeça para a direita 90 graus conforme você explica (isso não é uma piada!). A figura que precisamos está no segmento, que é indicado pela linha pontilhada vermelha. Além disso, no segmento, a linha reta está localizada acima da parábola, o que significa que a área da figura deve ser encontrada usando a fórmula que você já conhece: 
. O que mudou na fórmula? Apenas uma carta e nada mais.
! Observação: Os limites de integração ao longo do eixo devem ser definidos estritamente de baixo para cima!
Encontrando a área:
No segmento , portanto: 
Preste atenção em como fiz a integração, esta é a forma mais racional, e no próximo parágrafo do trabalho ficará claro o porquê.
Para os leitores que duvidam da exatidão da integração, encontrarei derivadas: 
O integrando original é obtido, o que significa que a integração é realizada corretamente.
Responda:
2) Calcule o volume do corpo formado pela rotação desta figura em torno do eixo.
Vou redesenhar o desenho em um design um pouco diferente:
Assim, a figura sombreada em azul gira em torno do eixo. O resultado é uma "borboleta pairando" que gira em torno de seu eixo.
Para encontrar o volume do corpo de revolução, vamos integrar ao longo do eixo. Primeiro precisamos passar para funções inversas. Isso já foi feito e descrito em detalhes no parágrafo anterior.
Agora inclinamos nossa cabeça para a direita novamente e estudamos nossa figura. Obviamente, o volume do corpo de revolução deve ser encontrado como a diferença entre os volumes.
Giramos a figura circulada em vermelho ao redor do eixo, resultando em um cone truncado. Vamos denotar este volume por .
Giramos a figura, circulada em verde, em torno do eixo e a denotamos através do volume do corpo de revolução resultante.
O volume da nossa borboleta é igual à diferença de volumes.
Usamos a fórmula para encontrar o volume de um corpo de revolução: 
Qual é a diferença da fórmula do parágrafo anterior? Somente em letras.
E aqui está a vantagem da integração que eu estava falando há pouco, é muito mais fácil encontrar 
do que elevar o integrando à 4ª potência.
Responda: 
No entanto, uma borboleta doentia.
Observe que, se a mesma figura plana for girada em torno do eixo, resultará um corpo de revolução completamente diferente, de um volume diferente, naturalmente.
Exemplo 6
Dada uma figura plana limitada por linhas e um eixo.
1) Vá para funções inversas e encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas integrando sobre a variável .
2) Calcule o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana limitada por essas linhas em torno do eixo.
Este é um exemplo de faça você mesmo. Quem desejar também pode encontrar a área da figura da maneira "habitual", completando assim o teste do ponto 1). Mas se, repito, você gira uma figura plana em torno do eixo, obtém um corpo de rotação completamente diferente com um volume diferente, a propósito, a resposta correta (também para quem gosta de resolver).
A solução completa dos dois itens propostos da tarefa no final da lição.
Ah, e não esqueça de inclinar a cabeça para a direita para entender os corpos de rotação e dentro da integração!
O volume de um corpo de revolução pode ser calculado pela fórmula:
Na fórmula, deve haver um número antes da integral. Aconteceu - tudo o que gira na vida está conectado a essa constante.
Como definir os limites da integração "a" e "ser", eu acho, é fácil adivinhar a partir do desenho completo.
Função... o que é essa função? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico de parábola de cima. Esta é a função que está implícita na fórmula.
Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode ser localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - a função na fórmula é elevada ao quadrado: , assim o volume de um corpo de revolução é sempre não negativo, o que é bastante lógico.
Calcule o volume do corpo de revolução usando esta fórmula: 
Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.
Responda: 
Na resposta, é necessário indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 "cubos". Por que exatamente cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode haver centímetros cúbicos, pode haver metros cúbicos, pode haver quilômetros cúbicos, etc., é quantos homenzinhos verdes sua imaginação pode caber em um disco voador.
Exemplo 2
Encontre o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura limitada pelas linhas , ,
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
Vamos considerar dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.
Exemplo 3
Calcule o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo de abcissas da figura limitada pelas linhas , , e
Solução: Vamos representar no desenho uma figura plana delimitada pelas linhas , , , , sem esquecer que a equação define o eixo:
A figura desejada está sombreada em azul. Quando gira em torno do eixo, é obtido um donut tão surreal com quatro cantos.
O volume do corpo de revolução é calculado como diferença de volume corporal.
Primeiro, vamos olhar para a figura que está circulada em vermelho. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um cone truncado. Vamos denotar o volume deste cone truncado como .
Considere a figura que está circulada em verde. Se você girar essa figura em torno do eixo, também obterá um cone truncado, apenas um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .
E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.
Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução:
1) A figura circulada em vermelho é delimitada de cima por uma linha reta, portanto:
2) A figura circulada em verde é delimitada de cima por uma linha reta, portanto:
3) O volume do corpo de revolução desejado: 
Responda: 
É curioso que neste caso a solução possa ser verificada usando a fórmula escolar para calcular o volume de um cone truncado.
A decisão em si costuma ser mais curta, algo assim: 
Agora vamos fazer uma pausa e falar sobre ilusões geométricas.
As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, que Perelman (não o mesmo) notou no livro Geometria interessante. Olhe para a figura plana no problema resolvido - parece ser pequena em área, e o volume do corpo de revolução é pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. A propósito, a pessoa média em toda a sua vida bebe um líquido com o volume de uma sala de 18 metros quadrados, que, pelo contrário, parece ser um volume muito pequeno.
Em geral, o sistema educacional da URSS era realmente o melhor. O mesmo livro de Perelman, escrito por ele em 1950, desenvolve muito bem, como disse o humorista, raciocínio e ensina a buscar soluções originais e não padronizadas para os problemas. Recentemente reli alguns capítulos com grande interesse, recomendo, é acessível até para humanitários. Não, você não precisa sorrir que eu sugeri um passatempo bespontovy, erudição e uma visão ampla na comunicação é uma grande coisa.
Depois de uma digressão lírica, cabe apenas resolver uma tarefa criativa:
Exemplo 4
Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana limitada pelas linhas , , onde .
Este é um exemplo de faça você mesmo. Observe que todas as coisas acontecem na banda, ou seja, limites de integração quase prontos são dados. Tente também desenhar corretamente os gráficos das funções trigonométricas, se o argumento for dividido por dois: , os gráficos serão esticados ao longo do eixo duas vezes. Tente encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com as tabelas trigonométricas e tornar o desenho mais preciso. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida racionalmente e não muito racionalmente.
Cálculo do volume de um corpo formado por rotação
figura plana em torno de um eixo
O segundo parágrafo será ainda mais interessante que o primeiro. A tarefa de calcular o volume de um corpo de revolução em torno do eixo y também é um visitante bastante frequente nos testes. De passagem será considerado problema de encontrar a área de uma figura a segunda maneira - integração ao longo do eixo, isso permitirá não apenas melhorar suas habilidades, mas também ensiná-lo a encontrar a solução mais lucrativa. Também tem um significado prático! Como minha professora de métodos de ensino de matemática lembrou com um sorriso, muitos graduados agradeceram a ela com as palavras: “Sua disciplina nos ajudou muito, agora somos gerentes eficazes e gerenciamos nossa equipe de maneira ideal”. Aproveitando esta oportunidade, expresso também a ela a minha grande gratidão, sobretudo porque utilizo os conhecimentos adquiridos para o fim a que se destina =).
Exemplo 5
Dada uma figura plana limitada por linhas , , .
1) Encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas.
2) Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana limitada por essas linhas em torno do eixo.
Atenção! Mesmo que você queira apenas ler o segundo parágrafo, primeiro necessariamente leia o primeiro!
Solução: A tarefa consiste em duas partes. Vamos começar com o quadrado.
1) Vamos executar o desenho:
É fácil ver que a função define o ramo superior da parábola e a função define o ramo inferior da parábola. Diante de nós está uma parábola trivial, que "está de lado".
A figura desejada, cuja área deve ser encontrada, está sombreada em azul.
Como encontrar a área de uma figura? Pode ser encontrado da maneira "usual", que foi considerada na lição. Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Além disso, a área da figura é encontrada como a soma das áreas:
- no segmento 
;
- no segmento.
É por isso:
O que há de errado com a solução usual neste caso? Primeiro, existem duas integrais. Em segundo lugar, raízes sob integrais e raízes em integrais não são um presente, além disso, pode-se confundir ao substituir os limites de integração. Na verdade, as integrais, claro, não são mortais, mas na prática tudo é muito mais triste, apenas peguei funções “melhores” para a tarefa.
Existe uma solução mais racional: consiste na transição para funções inversas e integração ao longo do eixo.
Como passar para funções inversas? Grosso modo, você precisa expressar "x" através de "y". Primeiro, vamos lidar com a parábola:
Isso é suficiente, mas vamos garantir que a mesma função possa ser derivada do ramo inferior:
Com uma linha reta, tudo fica mais fácil:
Agora olhe para o eixo: por favor, incline periodicamente sua cabeça para a direita 90 graus conforme você explica (isso não é uma piada!). A figura que precisamos está no segmento, que é indicado pela linha pontilhada vermelha. Além disso, no segmento, a linha reta está localizada acima da parábola, o que significa que a área da figura deve ser encontrada usando a fórmula que você já conhece: 
. O que mudou na fórmula? Apenas uma carta e nada mais.
! Nota: Os limites de integração ao longo do eixo devem ser definidos estritamente de baixo para cima!
Encontrando a área:
No segmento , portanto: 
Preste atenção em como fiz a integração, esta é a forma mais racional, e no próximo parágrafo do trabalho ficará claro o porquê.
Para os leitores que duvidam da exatidão da integração, encontrarei derivadas: 
O integrando original é obtido, o que significa que a integração é realizada corretamente.
Responda:
2) Calcule o volume do corpo formado pela rotação desta figura em torno do eixo.
Vou redesenhar o desenho em um design um pouco diferente:
Assim, a figura sombreada em azul gira em torno do eixo. O resultado é uma "borboleta pairando" que gira em torno de seu eixo.
Para encontrar o volume do corpo de revolução, vamos integrar ao longo do eixo. Primeiro precisamos passar para funções inversas. Isso já foi feito e descrito em detalhes no parágrafo anterior.
Agora inclinamos nossa cabeça para a direita novamente e estudamos nossa figura. Obviamente, o volume do corpo de revolução deve ser encontrado como a diferença entre os volumes.
Giramos a figura circulada em vermelho ao redor do eixo, resultando em um cone truncado. Vamos denotar este volume por .
Giramos a figura, circulada em verde, em torno do eixo e a denotamos através do volume do corpo de revolução resultante.
O volume da nossa borboleta é igual à diferença de volumes.
Usamos a fórmula para encontrar o volume de um corpo de revolução: 
Qual é a diferença da fórmula do parágrafo anterior? Somente em letras.
E aqui está a vantagem da integração que eu estava falando há pouco, é muito mais fácil encontrar 
do que elevar preliminarmente o integrando à 4ª potência.
Responda: 
No entanto, uma borboleta doentia.
Observe que, se a mesma figura plana for girada em torno do eixo, resultará um corpo de revolução completamente diferente, de um volume diferente, naturalmente.
Exemplo 6
Dada uma figura plana limitada por linhas e um eixo.
1) Vá para funções inversas e encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas integrando sobre a variável .
2) Calcule o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana limitada por essas linhas em torno do eixo.
Definição 3. Um corpo de revolução é um corpo obtido pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo que não intercepta a figura e está no mesmo plano com ela.
O eixo de rotação também pode cruzar a figura se for o eixo de simetria da figura.
Teorema 2.
, eixo 
e segmentos de reta 
e 
gira em torno de um eixo 
. Então o volume do corpo de revolução resultante pode ser calculado pela fórmula
(2)
Prova.
Para tal corpo, a seção com a abcissa 
é um círculo de raio 
, significa 
e a fórmula (1) dá o resultado desejado.
Se a figura é limitada pelos gráficos de duas funções contínuas 
e 
, e segmentos de linha 
e 
, além disso 
e 
, então ao girar em torno do eixo das abcissas, obtemos um corpo cujo volume
Exemplo 3
Calcule o volume de um toro obtido pela rotação de um círculo limitado por um círculo 
em torno do eixo x.
R 
solução.
O círculo especificado é limitado por baixo pelo gráfico da função 
, e acima - 
. A diferença dos quadrados dessas funções:
Volume desejado
(o gráfico do integrando é o semicírculo superior, então a integral escrita acima é a área do semicírculo).
Exemplo 4
Segmento parabólico com base 
, e altura 
, gira em torno da base. Calcule o volume do corpo resultante ("limão" de Cavalieri).
R 
solução.
Coloque a parábola como mostra a figura. Então sua equação 
, e 
. Vamos encontrar o valor do parâmetro 
:
. Então, o volume desejado:
Teorema 3.
Seja um trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico de uma função contínua não negativa 
, eixo 
e segmentos de reta 
e 
, além disso 
, gira em torno de um eixo 
. Então o volume do corpo de revolução resultante pode ser encontrado pela fórmula
(3)
ideia de prova.
Dividindo o segmento 
pontos 
, em partes e desenhe linhas retas 
. Todo o trapézio se decomporá em tiras, que podem ser consideradas aproximadamente retângulos com base 
e altura 
.
O cilindro resultante da rotação de tal retângulo é cortado ao longo da geratriz e desdobrado. Obtemos um “quase” paralelepípedo com dimensões: 
,
e 
. Seu volume 
. Assim, para o volume de um corpo de revolução teremos uma igualdade aproximada
Para obter a igualdade exata, devemos passar ao limite em 
. A soma escrita acima é a soma integral para a função 
, portanto, no limite obtemos a integral da fórmula (3). O teorema foi provado.
Observação 1.
Nos Teoremas 2 e 3, a condição 
pode ser omitida: a fórmula (2) é geralmente insensível ao sinal 
, e na fórmula (3) é suficiente 
substituído por 
.
Exemplo 5
Segmento parabólico (base 
, altura 
) gira em torno da altura. Encontre o volume do corpo resultante.
Solução.
Organize a parábola como mostra a figura. E embora o eixo de rotação cruze a figura, ele - o eixo - é o eixo de simetria. Portanto, apenas a metade direita do segmento deve ser considerada. Equação da parábola 
, e 
, significa 
. Temos para o volume:
Observação 2.
Se o limite curvilíneo de um trapézio curvilíneo é dado pelas equações paramétricas 
,
,
e 
,
então as fórmulas (2) e (3) podem ser usadas com a substituição 
no 
e 
no 
quando isso mudar t a partir de 
antes da 
.
Exemplo 6
A figura é limitada pelo primeiro arco da ciclóide 
,
,
, e o eixo das abcissas. Encontre o volume do corpo obtido girando esta figura em torno de: 1) o eixo 
; 2) eixos 
.
Solução.
1) Fórmula geral 
No nosso caso:
2) Fórmula geral 
Para nossa figura:
Incentivamos os alunos a fazer todos os cálculos sozinhos.
Observação 3.
Seja um setor curvilíneo delimitado por uma linha contínua 
e raios 
,
, gira em torno do eixo polar. O volume do corpo resultante pode ser calculado pela fórmula.
Exemplo 7
Parte de uma figura limitada por um cardióide 
, fora do círculo 
, gira em torno do eixo polar. Encontre o volume do corpo resultante.
Solução.
Ambas as linhas e, portanto, a figura que elas limitam, são simétricas em relação ao eixo polar. Portanto, é necessário considerar apenas a parte para a qual 
. As curvas se cruzam em 
e
no 
. Além disso, a figura pode ser considerada como a diferença de dois setores e, portanto, o volume pode ser calculado como a diferença de duas integrais. Nós temos:
Tarefas para uma solução independente.
1. Um segmento circular cuja base 
, altura 
, gira em torno da base. Encontre o volume do corpo de revolução.
2. Encontre o volume de um parabolóide de revolução cuja base 
, e a altura é 
.
3. Figura delimitada por um astroide 
,
gira em torno do eixo x. Encontre o volume do corpo, que é obtido neste caso.
4. Figura delimitada por linhas 
e 
gira em torno do eixo x. Encontre o volume do corpo de revolução.
Tipo de aula: combinado.
O objetivo da lição: aprenda a calcular os volumes de corpos de revolução usando integrais.
Tarefas:
Durante as aulas
I. Momento organizacional.
Saudação do grupo. Comunicação aos alunos dos objetivos da aula.
Reflexão. Melodia calma.
Gostaria de começar a lição de hoje com uma parábola. “Havia um homem sábio que sabia tudo. Uma pessoa queria provar que o sábio não sabe tudo. Agarrando a borboleta em suas mãos, ele perguntou: “Diga-me, sábio, qual borboleta está em minhas mãos: morta ou viva?” E ele mesmo pensa: “Se o vivo disser, eu a mato, se o morto disser, eu a deixo sair”. O sábio, pensando, respondeu: "Tudo em suas mãos". (Apresentação.Deslizar)
- Portanto, vamos trabalhar frutíferamente hoje, adquirir um novo estoque de conhecimento e aplicar as habilidades e habilidades adquiridas em vida mais tarde e na prática. "Tudo em suas mãos".
II. Repetição de material previamente aprendido.
Vamos rever os principais pontos do material estudado anteriormente. Para fazer isso, vamos fazer a tarefa "Remova a palavra redundante."(Deslizar.)
(O aluno vai ao ID com a ajuda de uma borracha remove a palavra extra.)
- Corretamente "Diferencial". Tente nomear as palavras restantes em uma palavra comum. (Cálculo integral.)
- Vamos relembrar as principais etapas e conceitos relacionados ao cálculo integral..
"Grupo matemático".
Exercício. Restaurar passes. (O aluno sai e escreve as palavras necessárias com uma caneta.)
- Ouviremos um relatório sobre a aplicação de integrais mais tarde.
Trabalho em cadernos.
– A fórmula de Newton-Leibniz foi desenvolvida pelo físico inglês Isaac Newton (1643–1727) e pelo filósofo alemão Gottfried Leibniz (1646–1716). E isso não é surpreendente, porque a matemática é a linguagem que a própria natureza fala.
– Considere como esta fórmula é usada na resolução de tarefas práticas.
Exemplo 1: Calcular a área de uma figura delimitada por linhas
Solução: Vamos construir gráficos de funções no plano coordenado . Selecione a área da figura a ser encontrada.
III. Aprendendo novos materiais.
- Preste atenção na tela. O que é mostrado na primeira foto? (Deslizar) (A figura mostra uma figura plana.)
O que é mostrado na segunda foto? Essa figura é plana? (Deslizar) (A figura mostra uma figura tridimensional.)
no espaço, na terra e em Vida cotidiana encontramos não apenas figuras planas, mas também tridimensionais, mas como calcular o volume de tais corpos? Por exemplo, o volume de um planeta, um cometa, um meteorito, etc.
– Pense no volume e na construção de casas, e despeje água de um vaso para outro. Regras e métodos para calcular volumes deveriam ter surgido, outra coisa é quão precisos e justificados eles eram.
Mensagem do aluno. (Turina Vera.)
O ano de 1612 foi muito frutífero para os habitantes da cidade austríaca de Linz, onde vivia o então famoso astrônomo Johannes Kepler, especialmente para as uvas. As pessoas estavam preparando barris de vinho e queriam saber como determinar praticamente seus volumes. (Slide 2)
- Assim, as obras consideradas de Kepler marcaram o início de toda uma corrente de pesquisa, que culminou no último quartel do século XVII. design nas obras de I. Newton e G.V. Cálculo diferencial e integral de Leibniz. Desde aquela época, a matemática das variáveis de magnitude assumiu um lugar de liderança no sistema de conhecimento matemático.
- Então hoje estaremos engajados em tais atividades práticas, portanto,
O tópico de nossa lição: "Cálculo dos volumes de corpos de revolução usando uma integral definida." (Deslizar)
- Você aprenderá a definição de um corpo de revolução completando a seguinte tarefa.
"Labirinto".
Labirinto (palavra grega) significa passagem para o calabouço. Um labirinto é uma intrincada rede de caminhos, passagens, salas que se comunicam entre si.
Mas a definição “caiu”, havia dicas em forma de flechas.
Exercício. Encontre uma saída para a situação confusa e anote a definição.
Deslizar. “Cartão de instruções” Cálculo de volumes.
Usando uma integral definida, você pode calcular o volume de um corpo, em particular, um corpo de revolução.
Um corpo de revolução é um corpo obtido pela rotação de um trapézio curvilíneo em torno de sua base (Fig. 1, 2)
O volume de um corpo de revolução é calculado por uma das fórmulas:
1.
em torno do eixo x.
2. 
, se a rotação do trapézio curvilíneo em torno do eixo y.
Cada aluno recebe um cartão de instruções. O professor destaca os pontos principais.
O professor explica a solução dos exemplos no quadro-negro.
Considere um trecho de famoso conto de fadas A. S. Pushkin “O Conto do Czar Saltan, de seu glorioso filho e herói poderoso Príncipe Gvidon Saltanovich e a linda princesa Lebeda” (Slide 4):
…..
E trouxe um mensageiro bêbado
No mesmo dia, o pedido é:
“O czar ordena a seus boiardos,
Sem perder tempo,
E a rainha e a prole
Lançado secretamente no abismo das águas.”
Não há nada a fazer: os boiardos,
Tendo lamentado sobre o soberano
E a jovem rainha
Uma multidão veio ao seu quarto.
Declarou o testamento real -
Ela e seu filho têm um destino maligno,
Leia o decreto em voz alta
E a rainha ao mesmo tempo
Eles me colocaram em um barril com meu filho,
Rezado, enrolado
E eles me deixaram entrar no okian -
Assim ordenou o czar Saltan.
Qual deve ser o volume do barril para que a rainha e seu filho possam caber nele?
– Considere as seguintes tarefas
1. Encontre o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo y de um trapézio curvilíneo limitado por linhas: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Resposta: 1163 cm 3 .
Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de um trapézio parabólico em torno da abcissa y = , x = 4, y = 0.
4. Fixação de novo material
Exemplo 2. Calcule o volume do corpo formado pela rotação da pétala em torno do eixo x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.
Vamos traçar os gráficos da função. y=x2, y2=x. Cronograma y 2 = x transformar para a forma y= .
Nós temos V \u003d V 1 - V 2 Vamos calcular o volume de cada função
- Agora, vamos olhar para a torre de uma estação de rádio em Moscou em Shabolovka, construída de acordo com o projeto de um maravilhoso engenheiro russo, acadêmico honorário V. G. Shukhov. Consiste em partes - hiperbolóides de revolução. Além disso, cada um deles é feito de hastes metálicas retilíneas que conectam círculos adjacentes (Fig. 8, 9).
- Considere o problema.
Encontre o volume do corpo obtido pela rotação dos arcos da hipérbole 
em torno de seu eixo imaginário, como mostra a Fig. 8, onde
cubo unidades
Atribuições do grupo. Os alunos sorteiam as tarefas, os desenhos são feitos em papel whatman, um dos representantes do grupo defende o trabalho.
1º grupo.
Acertar! Acertar! Outro golpe!
Uma bola voa para o portão - BOLA!
E esta é uma bola de melancia
Verde, redondo, delicioso.
Olhe melhor - que bola!
É formado por círculos.
Corte em círculos de melancia
E saboreá-los.
Encontre o volume de um corpo obtido pela rotação em torno do eixo OX de uma função limitada por
Erro! O marcador não está definido.
- Diga-me, por favor, onde nos encontramos com essa figura?
Casa. tarefa para o grupo 1. CILINDRO (deslizar) .
"Cilindro - o que é isso?" Perguntei ao meu pai.
O pai riu: A cartola é um chapéu.
Para ter uma ideia correta,
O cilindro, digamos, é uma lata.
O tubo do navio a vapor é um cilindro,
O tubo em nosso telhado, também,
Todos os tubos são semelhantes a um cilindro.
E eu dei um exemplo como este -
Caleidoscópio Meu amor,
Você não pode tirar os olhos dele.
Também se parece com um cilindro.
- Exercício. Trabalho de casa para traçar uma função e calcular o volume.
2º grupo. CONE (deslizar).
Mamãe disse: E agora
Sobre o cone será a minha história.
Stargazer em uma tampa alta
Conta as estrelas durante todo o ano.
CONE - chapéu de observador de estrelas.
Isso é o que ele é. Entendido? É isso.
Mamãe estava na mesa
Ela derramou óleo em garrafas.
- Onde está o funil? Sem funil.
Olhar. Não fique à margem.
- Mãe, não vou sair do lugar,
Conte-me mais sobre o cone.
- O funil tem a forma de um cone de regador.
Vamos, encontre-me rapidamente.
não consegui encontrar o funil
Mas a mãe fez uma bolsa,
Enrole papelão em torno de seu dedo
E habilmente preso com um clipe de papel.
O óleo está derramando, a mãe está feliz
O cone saiu certinho.
Exercício. Calcule o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo x
Casa. tarefa para o 2º grupo. PIRÂMIDE(deslizar).
Eu vi a foto. Nesta foto
Há uma PIRÂMIDE no deserto arenoso.
Tudo na pirâmide é extraordinário,
Há algum mistério e mistério nisso.
A Torre Spasskaya na Praça Vermelha
Tanto as crianças quanto os adultos são bem conhecidos.
Olhe para a torre - de aparência comum,
O que está em cima dela? Pirâmide!
Exercício. Trabalho de casa plotar uma função e calcular o volume da pirâmide
- Calculamos os volumes de vários corpos com base na fórmula básica para os volumes dos corpos usando a integral.
Esta é outra confirmação de que a integral definida é algum fundamento para o estudo da matemática.
"Agora vamos descansar um pouco."
Encontre um casal.
A melodia matemática do dominó joga.
“A estrada que ele mesmo procurava jamais será esquecida...”
Trabalho de pesquisa. Aplicação da integral em economia e tecnologia.
Testes para alunos fortes e futebol de matemática.
Simulador de matemática.
2. O conjunto de todas as primitivas de uma dada função é chamado
a) integral indefinida
B) função,
B) diferenciação.
7. Encontre o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo das abcissas de um trapézio curvilíneo limitado por linhas:
D/Z. Calcule os volumes dos corpos de revolução.
Reflexão.
Aceitação da reflexão na forma cinquan(cinco linhas).
1ª linha - o nome do tópico (um substantivo).
2ª linha - uma descrição do tema em poucas palavras, dois adjetivos.
3ª linha - uma descrição da ação dentro deste tópico em três palavras.
4ª linha - uma frase de quatro palavras, mostra a atitude em relação ao tópico (uma frase inteira).
A 5ª linha é um sinônimo que repete a essência do tema.
Conclusão (deslizar).
Classificação. (Com comentário.)
O grande Omar Khayyam é matemático, poeta e filósofo. Ele chama para ser mestre de seu destino. Ouça um trecho de seu trabalho:
Você diz que esta vida é apenas um momento.
Aprecie-o, inspire-se nele.
À medida que você gasta, assim vai passar.
Não se esqueça: ela é sua criação.
O volume de um corpo de revolução pode ser calculado pela fórmula:
Na fórmula, deve haver um número antes da integral. Aconteceu - tudo o que gira na vida está conectado a essa constante.
Como definir os limites da integração "a" e "ser", eu acho, é fácil adivinhar a partir do desenho completo.
Função... o que é essa função? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico parabólico na parte superior. Esta é a função que está implícita na fórmula.
Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode ser localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - o integrando na fórmula é ao quadrado:, assim integral é sempre não negativa , o que é bastante lógico.
Calcule o volume do corpo de revolução usando esta fórmula: 
Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.
Responda: 
Na resposta, é necessário indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 "cubos". Por que exatamente cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode haver centímetros cúbicos, pode haver metros cúbicos, pode haver quilômetros cúbicos, etc., é quantos homenzinhos verdes sua imaginação pode caber em um disco voador.
Exemplo 2
Encontre o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura limitada por linhas,,
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
Vamos considerar dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.
Exemplo 3
Calcule o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo das abcissas da figura limitada pelas linhas ,, e
Solução: Vamos desenhar uma figura plana no desenho, delimitada por linhas ,,,, sem esquecer que a equação define o eixo:
A figura desejada está sombreada em azul. Quando gira em torno do eixo, é obtido um donut tão surreal com quatro cantos.
O volume do corpo de revolução é calculado como diferença de volume corporal.
Primeiro, vamos olhar para a figura que está circulada em vermelho. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um cone truncado. Denote o volume desse cone truncado por.
Considere a figura que está circulada em verde. Se você girar essa figura em torno do eixo, também obterá um cone truncado, apenas um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .
E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.
Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução:
1) A figura circulada em vermelho é delimitada de cima por uma linha reta, portanto:
2) A figura circulada em verde é delimitada de cima por uma linha reta, portanto:
3) O volume do corpo de revolução desejado:
Responda:
É curioso que neste caso a solução possa ser verificada usando a fórmula escolar para calcular o volume de um cone truncado.
A decisão em si costuma ser mais curta, algo assim:
Agora vamos fazer uma pausa e falar sobre ilusões geométricas.
As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, que Perelman (outro) notou no livro Geometria interessante. Olhe para a figura plana no problema resolvido - parece ser pequena em área, e o volume do corpo de revolução é pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. A propósito, a pessoa média em toda a sua vida bebe um líquido com o volume de uma sala de 18 metros quadrados, que, pelo contrário, parece ser um volume muito pequeno.
Em geral, o sistema educacional da URSS era realmente o melhor. O mesmo livro de Perelman, publicado em 1950, desenvolve muito bem, como disse o humorista, o raciocínio e ensina a buscar soluções originais e não padronizadas para os problemas. Recentemente reli alguns capítulos com grande interesse, recomendo, é acessível até para humanitários. Não, você não precisa sorrir que eu sugeri um passatempo bespontovy, erudição e uma visão ampla na comunicação é uma grande coisa.
Depois de uma digressão lírica, cabe apenas resolver uma tarefa criativa:
Exemplo 4
Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana limitada pelas linhas, onde.
Este é um exemplo de faça você mesmo. Observe que todas as coisas acontecem na banda , ou seja, limites de integração prontos são realmente dados. Desenhe corretamente gráficos de funções trigonométricas, vou lembrá-lo do material da lição sobre transformações geométricas de gráficos : se o argumento for divisível por dois: , os gráficos serão esticados ao longo do eixo duas vezes. É desejável encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com as tabelas trigonométricas para completar o desenho com mais precisão. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida racionalmente e não muito racionalmente.
