O discriminante, assim como as equações quadráticas, começam a ser estudados no curso de álgebra na 8ª série. Você pode resolver uma equação quadrática através do discriminante e usando o teorema de Vieta. Metodologia de estudo equações quadráticas, assim como as fórmulas discriminantes, são incutidas sem sucesso em crianças em idade escolar, como muitas coisas na educação real. Portanto passe anos escolares, o treinamento nas séries 9-11 substitui " ensino superior"e todo mundo está olhando de novo - "Como resolver uma equação quadrática?", "Como encontrar as raízes de uma equação?", "Como encontrar o discriminante?" e...
O discriminante D da equação quadrática a*x^2+bx+c=0 é D=b^2–4*a*c.
As raízes (soluções) da equação quadrática dependem do sinal do discriminante (D):
D>0 - a equação tem 2 raízes reais diferentes;
D=0 - a equação tem 1 raiz (2 raízes coincidentes):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
A fórmula para calcular o discriminante é bastante simples, por isso muitos sites oferecem uma calculadora discriminante online. Ainda não descobrimos esse tipo de script, então quem sabe como implementar isso, escreva para o e-mail Este endereço de e-mail está protegido contra spambots. Você deve ter o JavaScript habilitado para visualizar. .
As raízes da equação são encontradas pela fórmula Se o coeficiente da variável no quadrado estiver emparelhado, é aconselhável calcular não o discriminante, mas sua quarta parte
Nesses casos, as raízes da equação são encontradas pela fórmula 
O teorema é formulado não apenas para equações quadráticas, mas também para polinômios. Você pode ler isso na Wikipedia ou em outros recursos eletrônicos. No entanto, para simplificar, considere aquela parte dela que diz respeito às equações quadráticas reduzidas, ou seja, equações da forma (a=1)
A essência das fórmulas Vieta é que a soma das raízes da equação é igual ao coeficiente da variável, tomado de sinal oposto. O produto das raízes da equação é igual ao termo livre. As fórmulas do teorema de Vieta têm uma notação.
A derivação da fórmula Vieta é bastante simples. Vamos escrever a equação quadrática em termos de fatores primos 
Como você pode ver, tudo engenhoso é simples ao mesmo tempo. É eficaz usar a fórmula de Vieta quando a diferença no módulo das raízes ou a diferença no módulo das raízes é 1, 2. Por exemplo, as seguintes equações, de acordo com o teorema de Vieta, têm raízes
A análise de até 4 equações deve ficar assim. O produto das raízes da equação é 6, então as raízes podem ser os valores (1, 6) e (2, 3) ou pares com o sinal oposto. A soma das raízes é 7 (o coeficiente da variável com o sinal oposto). Daqui concluímos que as soluções da equação quadrática são iguais a x=2; x=3.
É mais fácil selecionar as raízes da equação entre os divisores do termo livre, corrigindo seu sinal para cumprir as fórmulas de Vieta. No início, isso parece difícil de fazer, mas com a prática em várias equações quadráticas, essa técnica será mais eficiente do que calcular o discriminante e encontrar as raízes da equação quadrática da maneira clássica.
Como você pode ver, a teoria escolar de estudar o discriminante e as maneiras de encontrar soluções para a equação é desprovida de significado prático - "Por que as crianças em idade escolar precisam de uma equação quadrática?", "Qual é o significado físico do discriminante?".
No curso de álgebra, eles estudam funções, esquemas para estudar funções e funções de plotagem. De todas as funções, um lugar importante é ocupado por uma parábola, cuja equação pode ser escrita na forma 
Então o significado físico da equação quadrática são os zeros da parábola, ou seja, os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo de abcissas Ox
Peço-lhe que se lembre das propriedades das parábolas descritas abaixo. Chegará a hora de fazer exames, testes ou exames de admissão e você ficará grato pelo material de referência. O sinal da variável no quadrado corresponde ao fato de os ramos da parábola no gráfico subirem (a>0),
ou uma parábola com ramos para baixo (a<0)
.
O vértice da parábola fica a meio caminho entre as raízes
Se o discriminante for maior que zero (D>0), a parábola tem dois pontos de interseção com o eixo Ox. 
Se o discriminante for igual a zero (D=0), então a parábola no topo toca o eixo x. 
E o último caso, quando o discriminante é menor que zero (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
Equação quadrática - fácil de resolver! *Ainda no texto "KU". Amigos, parece que em matemática pode ser mais fácil do que resolver tal equação. Mas algo me disse que muitas pessoas têm problemas com ele. Decidi ver quantas impressões o Yandex dá por solicitação por mês. Veja o que aconteceu, veja:
O que isto significa? Isso significa que cerca de 70.000 pessoas por mês estão procurando essa informação, e este é o verão, e o que acontecerá durante o ano letivo - haverá o dobro de solicitações. Isso não é surpreendente, porque aqueles meninos e meninas que se formaram na escola há muito tempo e estão se preparando para o exame estão procurando essas informações, e os alunos também estão tentando refrescar a memória.
Apesar de existirem muitos sites que contam como resolver essa equação, resolvi contribuir também e publicar o material. Em primeiro lugar, quero que os visitantes acessem meu site com essa solicitação; em segundo lugar, em outros artigos, quando surgir o discurso “KU”, darei um link para este artigo; em terceiro lugar, vou falar um pouco mais sobre sua solução do que geralmente é afirmado em outros sites. Vamos começar! O conteúdo do artigo:
Uma equação quadrática é uma equação da forma:
onde os coeficientes a,be com números arbitrários, com a≠0.
No curso escolar, o material é fornecido da seguinte forma - a divisão das equações em três classes é feita condicionalmente:
1. Tenha duas raízes.
2. * Tenha apenas uma raiz.
3. Não tenha raízes. Vale a pena notar aqui que eles não têm raízes reais
Como as raízes são calculadas? Apenas!
Calculamos o discriminante. Sob esta palavra "terrível" encontra-se uma fórmula muito simples:
As fórmulas das raízes são as seguintes:
*Estas fórmulas devem ser conhecidas de cor.
Você pode escrever imediatamente e decidir:
Exemplo:
1. Se D > 0, então a equação tem duas raízes.
2. Se D = 0, então a equação tem uma raiz.
3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Vejamos a equação:
Nesta ocasião, quando o discriminante é zero, o curso escolar diz que se obteve uma raiz, aqui é igual a nove. Isso mesmo, é, mas...
Esta representação é um pouco incorreta. Na verdade, existem duas raízes. Sim, sim, não se surpreenda, verifica-se duas raízes iguais e, para ser matematicamente preciso, duas raízes devem ser escritas na resposta:
x 1 = 3 x 2 = 3
Mas é assim - pequena digressão. Na escola, você pode escrever e dizer que há apenas uma raiz.
Agora o seguinte exemplo:
Como sabemos, a raiz de um número negativo não é extraída, então as soluções em este caso não.
Esse é todo o processo de decisão.
Função quadrática.
Aqui está como a solução parece geometricamente. Isso é extremamente importante de entender (no futuro, em um dos artigos, analisaremos detalhadamente a solução de uma desigualdade quadrática).
Esta é uma função da forma:
onde x e y são variáveis
a, b, c são dados números, onde a ≠ 0
O gráfico é uma parábola:
Ou seja, ao resolver uma equação quadrática com "y" igual a zero, encontramos os pontos de interseção da parábola com o eixo x. Pode haver dois desses pontos (o discriminante é positivo), um (o discriminante é zero) ou nenhum (o discriminante é negativo). Detalhes sobre função quadrática Você pode visualizar artigo de Inna Feldman.
Considere exemplos:
Exemplo 1: decidir 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Resposta: x 1 = 8 x 2 = -12
* Você pode sair imediatamente e lado direito divida a equação por 2, ou seja, simplifique-a. Os cálculos serão mais fáceis.
Exemplo 2: Decidir x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Temos x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11
Na resposta, é permitido escrever x = 11.
Resposta: x = 11
Exemplo 3: Decidir x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
O discriminante é negativo, não há solução em números reais.
Resposta: sem solução
O discriminante é negativo. Existe uma solução!
Aqui falaremos sobre como resolver a equação no caso em que um discriminante negativo é obtido. Você sabe alguma coisa sobre números complexos? Não entrarei em detalhes aqui sobre por que e onde eles surgiram e qual é seu papel e necessidade específicos na matemática, este é um tópico para um grande artigo separado.
O conceito de um número complexo.
Um pouco de teoria.
Um número complexo z é um número da forma
z = a + bi
onde a e b são numeros reais, i é a chamada unidade imaginária.
a+bi é um NÚMERO ÚNICO, não uma adição.
A unidade imaginária é igual à raiz de menos um:
Agora considere a equação:
Obtenha duas raízes conjugadas.
Equação quadrática incompleta.
Considere casos especiais, isto é, quando o coeficiente "b" ou "c" é igual a zero (ou ambos são iguais a zero). Eles são resolvidos facilmente sem discriminantes.
Caso 1. Coeficiente b = 0.
A equação assume a forma:
Vamos transformar:
Exemplo:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Caso 2. Coeficiente c = 0.
A equação assume a forma:
Transforme, fatorize:
*O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Exemplo:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Caso 3. Coeficientes b = 0 ec = 0.
Aqui fica claro que a solução da equação será sempre x = 0.
Propriedades úteis e padrões de coeficientes.
Existem propriedades que permitem resolver equações com grandes coeficientes.
umax 2 + bx+ c=0 igualdade
uma + b+ c = 0, então
— se para os coeficientes da equação umax 2 + bx+ c=0 igualdade
uma+ com =b, então
Essas propriedades ajudam a resolver um certo tipo de equação.
Exemplo 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
A soma dos coeficientes é 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, então
Exemplo 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Igualdade uma+ com =b, significa
Regularidades de coeficientes.
1. Se na equação ax 2 + bx + c \u003d 0 o coeficiente "b" for (a 2 +1) e o coeficiente "c" for numericamente igual ao coeficiente "a", suas raízes serão
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Exemplo. Considere a equação 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Se na equação ax 2 - bx + c \u003d 0, o coeficiente "b" for (a 2 +1) e o coeficiente "c" for numericamente igual ao coeficiente "a", suas raízes serão
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Exemplo. Considere a equação 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Se na equação ax 2 + bx - c = 0 coeficiente "b" igual (um 2 – 1), e o coeficiente “c” numericamente igual ao coeficiente "a", então suas raízes são iguais
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Exemplo. Considere a equação 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Se na equação ax 2 - bx - c \u003d 0, o coeficiente "b" for igual a (a 2 - 1) e o coeficiente c for numericamente igual ao coeficiente "a", suas raízes serão
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Exemplo. Considere a equação 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
Teorema de Vieta.
O teorema de Vieta recebeu o nome do famoso matemático francês François Vieta. Usando o teorema de Vieta, pode-se expressar a soma e o produto das raízes de um KU arbitrário em termos de seus coeficientes.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Em suma, o número 14 dá apenas 5 e 9. Estas são as raízes. Com uma certa habilidade, usando o teorema apresentado, você pode resolver muitas equações quadráticas imediatamente oralmente.
Além disso, o teorema de Vieta. conveniente porque depois de resolver a equação quadrática da maneira usual(através do discriminante) as raízes obtidas podem ser verificadas. Eu recomendo fazer isso o tempo todo.
MÉTODO DE TRANSFERÊNCIA
Com este método, o coeficiente "a" é multiplicado pelo termo livre, como se "transferido" para ele, razão pela qual é chamado método de transferência. Este método é usado quando é fácil encontrar as raízes de uma equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.
Se um uma± b+c≠ 0, então a técnica de transferência é usada, por exemplo:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
De acordo com o teorema de Vieta na equação (2), é fácil determinar que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
As raízes obtidas da equação devem ser divididas por 2 (já que os dois foram “lançados” de x 2), obtemos
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.
Qual é a razão? Veja o que está acontecendo.
Os discriminantes das equações (1) e (2) são:
Se você observar as raízes das equações, apenas denominadores diferentes são obtidos e o resultado depende precisamente do coeficiente em x 2:
As segundas raízes (modificadas) são 2 vezes maiores.
Portanto, dividimos o resultado por 2.
*Se rolarmos uma trinca, dividimos o resultado por 3 e assim por diante.
Resposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5
quadrado ur-ie e o exame.
Vou falar brevemente sobre sua importância - VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE DECIDIR rapidamente e sem pensar, você precisa saber as fórmulas das raízes e do discriminante de cor. Muitas das tarefas que fazem parte das tarefas USE se resumem a resolver uma equação quadrática (incluindo as geométricas).
O que vale a pena notar!
1. A forma da equação pode ser "implícita". Por exemplo, a seguinte entrada é possível:
15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.
Você precisa trazê-lo para um formulário padrão (para não ficar confuso ao resolver).
2. Lembre-se que x é um valor desconhecido e pode ser denotado por qualquer outra letra - t, q, p, h e outras.
Este tópico pode parecer difícil no início devido às muitas fórmulas simples. Não apenas as próprias equações quadráticas têm entradas longas, mas as raízes também são encontradas através do discriminante. Existem três novas fórmulas no total. Não é muito fácil de lembrar. Isso só é possível após a solução frequente de tais equações. Então todas as fórmulas serão lembradas por si mesmas.
Aqui sua notação explícita é proposta, quando o maior grau é escrito primeiro e depois - em ordem decrescente. Muitas vezes, há situações em que os termos se destacam. Então é melhor reescrever a equação em ordem decrescente do grau da variável.
Vamos introduzir a notação. Eles são apresentados na tabela abaixo.
Se aceitarmos essas notações, todas as equações quadráticas são reduzidas à seguinte notação.
Além disso, o coeficiente a ≠ 0. Seja esta fórmula denotada pelo número um.
Quando a equação é dada, não está claro quantas raízes estarão na resposta. Porque uma das três opções é sempre possível:
E enquanto a decisão não chega ao fim, é difícil entender qual das opções cairá em um caso particular.
As tarefas podem ter entradas diferentes. Eles nem sempre se parecerão com a fórmula geral de uma equação quadrática. Às vezes, faltam alguns termos. O que foi escrito acima é a equação completa. Se você remover o segundo ou terceiro termo, obterá algo diferente. Esses registros também são chamados de equações quadráticas, apenas incompletas.
Além disso, apenas os termos para os quais os coeficientes "b" e "c" podem desaparecer. O número "a" não pode ser igual a zero em nenhuma circunstância. Porque neste caso a fórmula se transforma em uma equação linear. As fórmulas para a forma incompleta das equações serão as seguintes:
Portanto, existem apenas dois tipos, além dos completos, também existem equações quadráticas incompletas. Seja a primeira fórmula o número dois e a segunda o número três.
Este número deve ser conhecido para calcular as raízes da equação. Sempre pode ser calculado, não importa qual seja a fórmula da equação quadrática. Para calcular o discriminante, você precisa usar a igualdade escrita abaixo, que terá o número quatro.
Depois de substituir os valores dos coeficientes nesta fórmula, você pode obter números com sinais diferentes. Se a resposta for sim, então a resposta para a equação será duas raízes diferentes. Com um número negativo, as raízes da equação quadrática estarão ausentes. Se for igual a zero, a resposta será um.
Na verdade, a consideração desta questão já começou. Porque primeiro você precisa encontrar o discriminante. Depois de esclarecer que existem raízes da equação quadrática e seu número é conhecido, você precisa usar as fórmulas para as variáveis. Se houver duas raízes, você precisará aplicar essa fórmula.
Como contém o sinal “±”, haverá dois valores. A expressão sob o sinal da raiz quadrada é o discriminante. Portanto, a fórmula pode ser reescrita de uma maneira diferente.
Fórmula cinco. A partir do mesmo registro, pode-se ver que, se o discriminante for zero, ambas as raízes terão os mesmos valores.
Se a solução das equações quadráticas ainda não foi elaborada, é melhor anotar os valores de todos os coeficientes antes de aplicar as fórmulas discriminantes e variáveis. Mais tarde este momento não causará dificuldades. Mas no início há confusão.
Tudo é muito mais simples aqui. Mesmo não há necessidade de fórmulas adicionais. E você não precisará daqueles que já foram escritos para o discriminante e o desconhecido.
Primeiro considere equação incompleta no número dois. Nesta igualdade, deve-se retirar o valor desconhecido dos colchetes e resolver a equação linear, que permanecerá entre colchetes. A resposta terá duas raízes. O primeiro é necessariamente igual a zero, pois existe um fator que consiste na própria variável. A segunda é obtida resolvendo uma equação linear.
A equação incompleta no número três é resolvida transferindo o número do lado esquerdo da equação para o direito. Então você precisa dividir pelo coeficiente na frente da incógnita. Resta apenas extrair a raiz quadrada e não se esqueça de anotá-la duas vezes com sinais opostos.
A seguir estão algumas ações que ajudam você a aprender como resolver todos os tipos de igualdades que se transformam em equações quadráticas. Eles ajudarão o aluno a evitar erros devido à desatenção. Essas deficiências são a causa das notas baixas ao estudar o extenso tópico "Equações Quádricas (Grau 8)". Posteriormente, essas ações não precisarão ser executadas constantemente. Porque haverá um hábito estável.
É necessário resolver as seguintes equações quadráticas:
x 2 - 7x \u003d 0;
15 - 2x - x 2 \u003d 0;
x2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
A primeira equação: x 2 - 7x \u003d 0. Está incompleta, portanto, é resolvida conforme descrito para a fórmula número dois.
Após o bracketing, verifica-se: x (x - 7) \u003d 0.
A primeira raiz assume o valor: x 1 = 0. A segunda será encontrada a partir de equação linear: x - 7 = 0. É fácil ver que x 2 = 7.
Segunda equação: 5x2 + 30 = 0. Novamente incompleta. Só é resolvido como descrito para a terceira fórmula.
Depois de transferir 30 para o lado direito da equação: 5x 2 = 30. Agora você precisa dividir por 5. Acontece: x 2 = 6. As respostas serão números: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Terceira equação: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Aqui e abaixo, a solução das equações quadráticas começará reescrevendo-as em uma forma padrão: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Agora é hora de usar a segunda Conselho útil e multiplique tudo por menos um. Acontece x 2 + 2x - 15 \u003d 0. De acordo com a quarta fórmula, você precisa calcular o discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. É um número positivo. Do que foi dito acima, verifica-se que a equação tem duas raízes. Eles precisam ser calculados de acordo com a quinta fórmula. De acordo com ele, verifica-se que x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Então x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.
A quarta equação x 2 + 8 + 3x \u003d 0 é convertida para isso: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Seu discriminante é igual a este valor: -23. Como esse número é negativo, a resposta para essa tarefa será a seguinte entrada: "Não há raízes".
A quinta equação 12x + x 2 + 36 = 0 deve ser reescrita da seguinte forma: x 2 + 12x + 36 = 0. Após aplicar a fórmula do discriminante, obtém-se o número zero. Isso significa que ele terá uma raiz, a saber: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.
A sexta equação (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) requer transformações, que consistem no fato de que você precisa trazer termos semelhantes, antes de abrir os colchetes. No lugar do primeiro haverá uma expressão: x 2 + 2x + 1. Após a igualdade, esta entrada aparecerá: x 2 + 3x + 2. Após a contagem de termos semelhantes, a equação terá a forma: x 2 - x \u003d 0. Ficou incompleto . Semelhante a ele já foi considerado um pouco maior. As raízes disso serão os números 0 e 1.
Problemas na equação quadrática também são estudados em currículo escolar e nas universidades. Eles são entendidos como equações da forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, onde x- variável, a,b,c – constantes; uma<>0. O problema é encontrar as raízes da equação.
O gráfico de uma função representada por uma equação quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são os pontos de interseção da parábola com o eixo x. Segue-se que existem três casos possíveis:
1) a parábola não tem pontos de interseção com o eixo x. Isso significa que está no plano superior com galhos para cima ou no plano inferior com galhos para baixo. Nesses casos, a equação quadrática não tem raízes reais (tem duas raízes complexas).
2) a parábola tem um ponto de interseção com o eixo Ox. Tal ponto é chamado de vértice da parábola, e a equação quadrática nele adquire seu valor mínimo ou máximo. Neste caso, a equação quadrática tem uma raiz real (ou duas raízes idênticas).
3) O último caso é mais interessante na prática - existem dois pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas. Isso significa que existem duas raízes reais da equação.
Com base na análise dos coeficientes nas potências das variáveis, podem-se tirar conclusões interessantes sobre a colocação da parábola.
1) Se o coeficiente a for maior que zero, então a parábola é direcionada para cima, se negativa, os ramos da parábola são direcionados para baixo.
2) Se o coeficiente b for maior que zero, então o vértice da parábola está no semiplano esquerdo, se for negativo, então no direito.
Vamos transferir a constante da equação quadrática 
para o sinal de igual, obtemos a expressão
Multiplique os dois lados por 4a 
Para obter um quadrado completo à esquerda, adicione b ^ 2 em ambas as partes e execute a transformação
A partir daqui encontramos
O discriminante é o valor da expressão radical. Se for positivo, então a equação tem duas raízes reais, calculadas pela fórmula 
Quando o discriminante é zero, a equação quadrática tem uma solução (duas raízes coincidentes), que são fáceis de obter a partir da fórmula acima para D = 0. Quando o discriminante é negativo, não há raízes reais da equação. No entanto, para estudar as soluções da equação quadrática no plano complexo, e seu valor é calculado pela fórmula 
Considere duas raízes de uma equação quadrática e construa uma equação quadrática com base nelas. Da notação, o próprio teorema de Vieta segue facilmente: se tivermos uma equação quadrática da forma 
então a soma de suas raízes é igual ao coeficiente p, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes da equação é igual ao termo livre q. A fórmula para o acima será semelhante a Se a constante a na equação clássica for diferente de zero, você precisará dividir a equação inteira por ela e aplicar o teorema de Vieta.
Que a tarefa seja definida: decompor a equação quadrática em fatores. Para realizá-lo, primeiro resolvemos a equação (encontramos as raízes). Em seguida, substituímos as raízes encontradas na fórmula para expandir a equação quadrática.Este problema será resolvido.
Tarefa 1. Encontrar as raízes de uma equação quadrática
x^2-26x+120=0 .
Solução: Escreva os coeficientes e substitua na fórmula discriminante
raiz de dado valor igual a 14, é fácil encontrá-lo com uma calculadora, ou lembrá-lo com uso frequente, no entanto, por conveniência, no final do artigo, darei uma lista de quadrados de números que muitas vezes podem ser encontrados em tais tarefas .
O valor encontrado é substituído na fórmula raiz 
e nós conseguimos 
Tarefa 2. resolva a equação
2x2+x-3=0.
Solução: Temos uma equação quadrática completa, escrevemos os coeficientes e encontramos o discriminante 
Usando fórmulas bem conhecidas, encontramos as raízes da equação quadrática 
Tarefa 3. resolva a equação
9x2 -12x+4=0.
Solução: Temos uma equação quadrática completa. Determine o discriminante
Temos o caso em que as raízes coincidem. Encontramos os valores das raízes pela fórmula 
Tarefa 4. resolva a equação
x^2+x-6=0 .
Solução: Nos casos em que existem coeficientes pequenos para x, é aconselhável aplicar o teorema de Vieta. Pela sua condição, obtemos duas equações
Da segunda condição, obtemos que o produto deve ser igual a -6. Isso significa que uma das raízes é negativa. Temos o seguinte par de soluções possíveis (-3;2), (3;-2) . Levando em conta a primeira condição, rejeitamos o segundo par de soluções.
As raízes da equação são
Tarefa 5. Encontre os comprimentos dos lados de um retângulo se seu perímetro for 18 cm e a área for 77 cm 2.
Solução: Metade do perímetro de um retângulo é igual à soma dos lados adjacentes. Vamos denotar x - o lado maior, então 18-x é o lado menor. A área de um retângulo é igual ao produto desses comprimentos:
x(18x)=77;
ou
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Encontre o discriminante da equação
Calculamos as raízes da equação 
Se um x=11, então 18x=7 , vice-versa também é verdade (se x=7, então 21-x=9).
Problema 6. Fatorize a equação quadrática 10x 2 -11x+3=0.
Solução: Calcule as raízes da equação, para isso encontramos o discriminante 
Substituímos o valor encontrado na fórmula das raízes e calculamos 
Aplicamos a fórmula para expandir a equação quadrática em termos de raízes 
Expandindo os colchetes, obtemos a identidade.
Exemplo 1. Para quais valores do parâmetro uma , a equação (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 tem uma raiz?
Solução: Por substituição direta do valor a=3, vemos que não tem solução. Além disso, usaremos o fato de que com um discriminante zero, a equação tem uma raiz de multiplicidade 2. Vamos escrever o discriminante 
simplifique e iguale a zero
Obtivemos uma equação quadrática em relação ao parâmetro a, cuja solução é fácil de obter usando o teorema de Vieta. A soma das raízes é 7 e seu produto é 12. Por simples enumeração, estabelecemos que os números 3.4 serão as raízes da equação. Como já rejeitamos a solução a=3 no início dos cálculos, a única correta será - a=4. Assim, para a = 4, a equação tem uma raiz.
Exemplo 2. Para quais valores do parâmetro uma , a equação a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 tem mais de uma raiz?
Solução: Considere primeiro os pontos singulares, eles serão os valores a=0 e a=-3. Quando a=0, a equação será simplificada para a forma 6x-9=0; x=3/2 e haverá uma raiz. Para a= -3 obtemos a identidade 0=0 .
Calcule o discriminante 
e encontre os valores de a para os quais é positivo 
Da primeira condição obtemos a>3. Para a segunda, encontramos o discriminante e as raízes da equação 
Vamos definir os intervalos em que a função assume valores positivos. Substituindo o ponto a=0 obtemos 3>0
.
Assim, fora do intervalo (-3; 1/3) a função é negativa. Não se esqueça do ponto a=0 que deve ser excluído, uma vez que a equação original tem uma raiz nela.
Como resultado, obtemos dois intervalos que satisfazem a condição do problema 
Haverá muitas tarefas semelhantes na prática, tente lidar com as tarefas você mesmo e não se esqueça de levar em consideração as condições que são mutuamente exclusivas. Estude bem as fórmulas para resolver equações quadráticas, elas são muitas vezes necessárias em cálculos em vários problemas e ciências.
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")
O que é uma equação quadrática? Com o que se parece? No termo Equação quadrática palavra-chave é "quadrado". Isso significa que na equação necessariamente deve haver um x ao quadrado. Além disso, na equação pode haver (ou não!) Apenas x (até o primeiro grau) e apenas um número (Membro grátis). E não deve haver x's em um grau maior que dois.
Em termos matemáticos, uma equação quadrática é uma equação da forma:
Aqui a, b e c- alguns números. b e c- absolutamente qualquer, mas uma- tudo menos zero. Por exemplo:
Aqui uma =1; b = 3; c = -4
Aqui uma =2; b = -0,5; c = 2,2
Aqui uma =-3; b = 6; c = -18
Bom, você entendeu a ideia...
Nestas equações quadráticas, à esquerda, há conjunto completo membros. x ao quadrado com coeficiente uma, x elevado à primeira potência com coeficiente b e membro livre de
Essas equações quadráticas são chamadas completo.
E se b= 0, o que obteremos? Nós temos X desaparecerá no primeiro grau. Isso acontece multiplicando por zero.) Acontece, por exemplo:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x2 +4x=0
etc. E se ambos os coeficientes b e c são iguais a zero, então é ainda mais simples:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Tais equações, onde algo está faltando, são chamadas equações quadráticas incompletas. O que é bastante lógico.) Observe que x ao quadrado está presente em todas as equações.
Aliás porque uma não pode ser zero? E você substitui em vez disso uma zero.) O X no quadrado desaparecerá! A equação se tornará linear. E é feito diferente...
Esses são os principais tipos de equações quadráticas. Completo e incompleto.
Equações quadráticas são fáceis de resolver. De acordo com fórmulas e regras simples e claras. Na primeira fase, você precisa dada equação trazer para o formulário padrão, ou seja, para a vista:
Se a equação já for fornecida a você neste formulário, você não precisará fazer o primeiro estágio.) O principal é determinar corretamente todos os coeficientes, uma, b e c.
A fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática é assim:
A expressão sob o sinal da raiz é chamada discriminante. Mas mais sobre ele abaixo. Como você pode ver, para encontrar x, usamos apenas a, b e c. Aqueles. coeficientes da equação quadrática. Apenas substitua cuidadosamente os valores a, b e c nesta fórmula e conte. Substituto com seus signos! Por exemplo, na equação:
uma =1; b = 3; c= -4. Aqui escrevemos:
Exemplo quase resolvido:
Esta é a resposta.
Tudo é muito simples. E o que você acha, não tem como errar? Bem, sim, como...
Os erros mais comuns são a confusão com os sinais de valores a, b e c. Ou melhor, não com seus sinais (onde há de confundir?), mas com a substituição de valores negativosna fórmula de cálculo das raízes. Aqui, um registro detalhado da fórmula com números específicos é salvo. Se houver problemas com cálculos, então faça!
Suponha que precisamos resolver o seguinte exemplo:
Aqui uma = -6; b = -5; c = -1
Digamos que você saiba que raramente obtém respostas na primeira vez.
Bem, não seja preguiçoso. Levará 30 segundos para escrever uma linha extra. E o número de erros vai cair drasticamente. Então escrevemos em detalhes, com todos os colchetes e sinais:
Parece incrivelmente difícil pintar com tanto cuidado. Mas só parece. Tente. Bem, ou escolha. O que é melhor, rápido ou certo? Além disso, eu vou te fazer feliz. Depois de um tempo, não haverá necessidade de pintar tudo com tanto cuidado. Só vai dar certo. Especialmente se você aplicar técnicas práticas, que são descritas abaixo. Este exemplo maligno com um monte de desvantagens será resolvido facilmente e sem erros!
Mas, muitas vezes, as equações quadráticas parecem um pouco diferentes. Por exemplo, assim:
Você sabia?) Sim! isto equações quadráticas incompletas.
Eles também podem ser resolvidos pela fórmula geral. Você só precisa descobrir corretamente o que é igual aqui a, b e c.
Percebi? No primeiro exemplo a = 1; b = -4; uma c? Não existe de jeito nenhum! Bem, sim, isso mesmo. Em matemática, isso significa que c = 0 ! Isso é tudo. Substitua zero na fórmula em vez de c, e tudo vai dar certo para nós. Da mesma forma com o segundo exemplo. Só zero não temos aqui Com, uma b !
Mas equações quadráticas incompletas podem ser resolvidas muito mais facilmente. Sem nenhuma fórmula. Considere a primeira equação incompleta. O que pode ser feito no lado esquerdo? Você pode tirar o X dos colchetes! Vamos tirá-lo.
E daí? E o fato do produto ser igual a zero se, e somente se algum dos fatores for igual a zero! Não acredito? Bem, então venha com dois números diferentes de zero que, quando multiplicados, darão zero!
Não funciona? Algo...
Portanto, podemos escrever com segurança: x 1 = 0, x 2 = 4.
Tudo. Estas serão as raízes da nossa equação. Ambos se encaixam. Ao substituir qualquer um deles na equação original, obtemos a identidade correta 0 = 0. Como você pode ver, a solução é muito mais simples que a fórmula geral. Observo, a propósito, qual X será o primeiro e qual será o segundo - é absolutamente indiferente. Fácil de escrever em ordem x 1- o que for menor x 2- o que é mais.
A segunda equação também pode ser facilmente resolvida. Movemos 9 para o lado direito. Nós temos:
Resta extrair a raiz de 9, e é isso. Pegue:
também duas raízes . x 1 = -3, x 2 = 3.
É assim que todas as equações quadráticas incompletas são resolvidas. Ou tirando X dos colchetes, ou simplesmente transferindo o número para a direita, seguido pela extração da raiz.
É extremamente difícil confundir esses métodos. Simplesmente porque no primeiro caso você terá que extrair a raiz de X, o que é de alguma forma incompreensível, e no segundo caso não há nada para tirar dos colchetes...
mundo magico discriminante ! Um raro estudante do ensino médio não ouviu essa palavra! A frase “decida através do discriminante” é reconfortante e reconfortante. Porque não há necessidade de esperar truques do discriminante! É simples e sem problemas de usar.) Lembro-lhe a fórmula mais geral para resolver algum equações quadráticas:
A expressão sob o sinal da raiz é chamada de discriminante. O discriminante é geralmente denotado pela letra D. Fórmula discriminante:
D = b 2 - 4ac
E o que há de tão especial nessa expressão? Por que merece um nome especial? o que significado do discriminante? Afinal -b, ou 2a nesta fórmula eles não nomeiam especificamente... Letras e letras.
O ponto é este. Ao resolver uma equação quadrática usando esta fórmula, é possível apenas três casos.
1. O discriminante é positivo. Isso significa que você pode extrair a raiz dele. Se a raiz é extraída bem ou mal é outra questão. É importante o que é extraído em princípio. Então sua equação quadrática tem duas raízes. Duas soluções diferentes.
2. O discriminante é zero. Então você tem uma solução. Já que adicionar ou subtrair zero no numerador não muda nada. Estritamente falando, esta não é uma única raiz, mas dois idênticos. Mas, numa versão simplificada, costuma-se falar em uma solução.
3. O discriminante é negativo. Um número negativo não leva a raiz quadrada. Bem, tudo bem. Isso significa que não há soluções.
Para ser honesto, ao solução simples equações quadráticas, o conceito de discriminante não é particularmente necessário. Substituímos os valores dos coeficientes na fórmula e consideramos. Lá tudo acaba por si mesmo, e duas raízes, e uma, e não uma única. No entanto, ao resolver tarefas mais complexas, sem conhecimento significado e fórmula discriminante insuficiente. Especialmente - em equações com parâmetros. Tais equações são acrobacias para o GIA e o Unified State Examination!)
Então, como resolver equações do segundo grau através do discriminante que você lembrou. Ou aprendido, o que também não é ruim.) Você sabe identificar corretamente a, b e c. Você sabe como com cuidado substitua-os na fórmula da raiz e com cuidado contar o resultado. Você entendeu isso palavra-chave aqui - com cuidado?
Agora tome nota das técnicas práticas que reduzem drasticamente o número de erros. Os mesmos que são devidos à desatenção... Para os quais é então doloroso e insultante...
Primeira recepção
. Não seja preguiçoso antes de resolver uma equação quadrática para trazê-la para uma forma padrão. O que isto significa?
Suponha que, após quaisquer transformações, você obtenha a seguinte equação:
Não se apresse em escrever a fórmula das raízes! Você quase certamente vai misturar as probabilidades a, b e c. Construa o exemplo corretamente. Primeiro, x ao quadrado, depois sem quadrado, depois um membro livre. Assim:
E novamente, não se apresse! O menos antes do x ao quadrado pode incomodá-lo muito. Esquecer é fácil... Livre-se do menos. Como? Sim, conforme ensinado no tópico anterior! Precisamos multiplicar toda a equação por -1. Nós temos:
E agora você pode escrever com segurança a fórmula para as raízes, calcular o discriminante e completar o exemplo. Decida por conta própria. Você deve terminar com raízes 2 e -1.
Segunda recepção. Verifique suas raízes! De acordo com o teorema de Vieta. Não se preocupe, eu explico tudo! Verificando última coisa a equação. Aqueles. aquela pela qual escrevemos a fórmula das raízes. Se (como neste exemplo) o coeficiente a = 1, verifique as raízes facilmente. Basta multiplicá-los. Você deve obter um termo gratuito, ou seja, no nosso caso -2. Preste atenção, não 2, mas -2! Membro grátis com seu signo . Se não deu certo, significa que eles já erraram em algum lugar. Procure um erro.
Se deu certo, você precisa dobrar as raízes. Última e última verificação. Deve ser uma proporção b Com oposto
sinal. No nosso caso -1+2 = +1. Um coeficiente b, que está antes do x, é igual a -1. Então, está tudo certo!
É uma pena que seja tão simples apenas para exemplos em que x ao quadrado é puro, com um coeficiente a = 1. Mas pelo menos verifique essas equações! Haverá menos erros.
Terceiro de recepção . Se sua equação tem coeficientes fracionários, livre-se das frações! Multiplique a equação pelo denominador comum conforme descrito na lição "Como resolver equações? Transformações de identidade". Ao trabalhar com frações, erros, por algum motivo, suba ...
A propósito, prometi um exemplo maligno com várias desvantagens para simplificar. Por favor! Aqui está ele.
Para não ficar confuso nos menos, multiplicamos a equação por -1. Nós temos:
Isso é tudo! Decidir é divertido!
Então vamos recapitular o tópico.
1. Antes de resolver, trazemos a equação quadrática para a forma padrão, construímos certo.
2. Se houver um coeficiente negativo na frente do x no quadrado, nós o eliminamos multiplicando toda a equação por -1.
3. Se os coeficientes são fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação pelo fator correspondente.
4. Se x ao quadrado é puro, o coeficiente para ele é igual a um, a solução pode ser facilmente verificada pelo teorema de Vieta. Faça isso!
Agora você pode decidir.)
Resolva as equações:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3 x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Respostas (em desordem):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5
x - qualquer número
x 1 = -3
x 2 = 3
sem soluções
x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5
Tudo se encaixa? Excelente! Equações quadráticas não são suas dor de cabeça. Os três primeiros acabaram, mas o resto não? Então o problema não está em equações quadráticas. O problema está em transformações idênticas de equações. Dê uma olhada no link, é útil.
Não funciona muito? Ou não funciona de jeito nenhum? Então a Seção 555 irá ajudá-lo. Lá, todos esses exemplos são classificados por ossos. Mostrando a Principal erros na solução. Claro, a aplicação de transformações idênticas na resolução de várias equações também é descrita. Ajuda muito!
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
