Deixar Z= F(M) é uma função definida em alguma vizinhança do ponto M(y; x);eu={ Cos; Cos} – vetor unitário (na Fig. 33 1= , 2= ); eué uma reta que passa por um ponto M; M1(x1; y1), onde x1=x+x e y1=y+y- um ponto em uma linha eu; eu- o tamanho do segmento MM1; Z= F(x+x, y+y)-F(x, Y) – incremento de função F(M) no ponto M(x;y).
Definição. O limite da relação, se existir, é chamado função derivada Z = F ( M ) no ponto M ( x ; Y ) na direção do vetor eu .
Designação.
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|
Se a função F(M) diferenciável em um ponto M(x;y), então no ponto M(x;y) existe uma derivada em qualquer direção eu vindo de M; é calculado de acordo com a seguinte fórmula:
(8)
Onde Cos E Cos- cossenos de direção do vetor eu.
Exemplo 46. Calcular a derivada de uma função Z= x2 + Y2 x no ponto M(1; 2) na direção do vetor MM1, Onde M1- ponto com coordenadas (3; 0).
. Vamos encontrar o vetor unitário eu, tendo esta direção:
Onde Cos= ; Cos=- .
Calculamos as derivadas parciais da função no ponto M(1; 2):
Pela fórmula (8) obtemos 
Exemplo 47. Encontrar a derivada de uma função você = xy2 Z3 no ponto M(3; 2; 1) Na direção do vetor MN, Onde N(5; 4; 2) .
. Vamos encontrar o vetor e seus cossenos diretores:
Calcule os valores das derivadas parciais no ponto M:
Consequentemente, 
Definição. Gradiente FunçõesZ= F(M) no ponto M(x; y) é um vetor cujas coordenadas são iguais às correspondentes derivadas parciais u tomadas no ponto M(x; y).
Designação. 
Exemplo 48. Encontrar o gradiente de uma função Z= x2 +2 Y2 -5 no ponto M(2; -1).
Solução. Encontramos derivadas parciais: 
e seus valores no ponto M(2; -1):
Exemplo 49.
Encontre a magnitude e a direção do gradiente de uma função em um ponto 
Solução. Vamos encontrar as derivadas parciais e calcular seus valores no ponto M:
Consequentemente,
A derivada direcional para uma função de três variáveis é definida de forma semelhante você= F(x, Y, Z) , as fórmulas são derivadas
O conceito de gradiente é introduzido 
Enfatizamos que Propriedades básicas da função gradiente mais importante para a análise de otimização econômica: na direção do gradiente, a função aumenta. Em problemas econômicos, as seguintes propriedades do gradiente são usadas:
1) Seja dada uma função Z= F(x, Y) , que tem derivadas parciais no domínio de definição. Considere algum ponto M0(x0, y0) do domínio da definição. Seja o valor da função neste ponto F(x0 , Y0 ) . Considere o gráfico da função. Através do ponto (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) espaço tridimensional desenhe um plano tangente à superfície do gráfico da função. Então o gradiente da função calculado no ponto (x0, y0), considerado geometricamente como um vetor ligado a um ponto (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) , será perpendicular ao plano tangente. A ilustração geométrica é mostrada na fig. 34.
2) Função de gradiente F(x, Y) no ponto M0(x0, y0) indica a direção do aumento mais rápido da função no ponto М0. Além disso, qualquer direção que faz um ângulo agudo com o gradiente é a direção de crescimento da função no ponto М0. Em outras palavras, um pequeno movimento de um ponto (x0, y0) na direção do gradiente da função neste ponto leva a um aumento na função e na maior extensão.
Considere um vetor oposto ao gradiente. é chamado anti-gradiente . As coordenadas deste vetor são:
Função anti-gradiente F(x, Y) no ponto M0(x0, y0) indica a direção do decréscimo mais rápido da função no ponto М0. Qualquer direção que forme um ângulo agudo com o antigradiente é a direção na qual a função está diminuindo naquele ponto.
3) Ao estudar uma função, muitas vezes torna-se necessário encontrar tais pares (x,y) do escopo da função, para a qual a função assume os mesmos valores. Considere o conjunto de pontos (x, Y) fora do escopo da função F(x, Y) , de tal modo que F(x, Y)= Const, onde está a entrada “ Const” significa que o valor da função é fixo e igual a algum número do intervalo da função.
Definição. Linha de nível de função você = F ( x , Y ) chamou a linhaF(x, Y)=С no aviãoXOy, nos pontos em que a função permanece constantevocê= C.
As linhas de nível são representadas geometricamente no plano de mudança de variáveis independentes na forma de linhas curvas. A obtenção de linhas de nível pode ser imaginada da seguinte forma. Considere o conjunto A PARTIR DE, que consiste em pontos no espaço tridimensional com coordenadas (x, Y, F(x, Y)= Const), que, por um lado, pertencem ao gráfico da função Z= F(x, Y), por outro lado, estão em um plano paralelo a plano coordenado COMO AS, e separado dele por um valor igual a uma determinada constante. Então, para construir uma linha de nível, basta cruzar a superfície do gráfico da função com um plano Z= Const e projete a linha de interseção em um plano COMO AS. O raciocínio acima é a justificativa para a possibilidade de construir linhas de nível diretamente em um plano COMO AS.
Definição. O conjunto de linhas de nível é chamado Mapa de linha de nível.
Exemplos bem conhecidos de linhas de nível são níveis de alturas iguais em mapa topográfico e linhas da mesma pressão barométrica no mapa meteorológico.
Definição.
A direção ao longo da qual a taxa de crescimento da função é máxima é chamada direção "preferida", ou Direção do crescimento mais rápido.
A direção "preferida" é dada pelo vetor gradiente da função. Na fig. 35 mostra o máximo, mínimo e ponto de sela no problema de otimização de uma função de duas variáveis na ausência de restrições. A parte inferior da figura mostra as linhas de nível e as direções de crescimento mais rápido.
Exemplo 50. Encontrar linhas de nível de recurso você= x2 + Y2 .
Solução. A equação da família das retas de nível tem a forma x2 + Y2 = C (C>0) . Dando A PARTIR DE valores reais diferentes, obtemos círculos concêntricos centrados na origem.
Construção de linhas de nível. Sua análise é amplamente utilizada em problemas econômicos dos níveis micro e macro, a teoria do equilíbrio e soluções eficazes. Isocustos, isoquantas, curvas de indiferença - todas essas são linhas de nível construídas para diferentes funções econômicas.
Exemplo 51. Considere a seguinte situação econômica. Deixe a produção de produtos ser descrita Função Cobb-Douglas F(x, Y)=10x1/3y2/3, Onde x- quantidade de mão de obra No- quantidade de capital. Foram alocados 30 USD para a aquisição de recursos. unidades, o preço da mão de obra é de 5 u.m. unidades, capital - 10 u.c. unidades Façamos a nós mesmos a pergunta: qual é a maior produção que pode ser obtida nessas condições? Aqui, “condições dadas” referem-se a tecnologias dadas, preços de recursos e o tipo de função de produção. Como já notado, a função Cobb-Douglasé monotonicamente crescente em cada variável, ou seja, um aumento em cada tipo de recurso leva a um aumento na produção. Nessas condições, fica claro que é possível aumentar a captação de recursos desde que haja dinheiro suficiente. Pacotes de recursos que custam 30 u.u. unidades, satisfaça a condição:
5x + 10y = 30,
Ou seja, eles definem a linha de nível de função:
G(x, Y) = 5x + 10y.
Por outro lado, com a ajuda de linhas de nível Funções de Cobb-Douglas (Fig. 36) é possível mostrar o aumento da função: em qualquer ponto da linha de nível, a direção do gradiente é a direção do maior aumento, e para construir um gradiente em um ponto, basta desenhe uma tangente à linha de nível neste ponto, desenhe uma perpendicular à tangente e indique a direção do gradiente. Da fig. 36 pode-se ver que o movimento da linha de nível da função Cobb-Douglas ao longo do gradiente deve ser realizado até que fique tangente à linha de nível 5x + 10 anos = 30. Assim, usando os conceitos de linha de nível, gradiente, propriedades de gradiente, é possível desenvolver abordagens para o melhor uso de recursos em termos de aumento do volume de produção.
Definição. Superfície de nível de função você = F ( x , Y , Z ) chamado de superfícieF(x, Y, Z)=С, nos pontos em que a função permanece constantevocê= C.
Exemplo 52. Encontrar superfícies de nível de recurso você= x2 + Z2 - Y2 .
Solução. A equação da família de superfícies planas tem a forma x2 + Z2 - Y2 =C. Se um C=0, então obtemos x2 + Z2 - Y2 =0 - cone; E se C<0 , então x2 + Z2 - Y2 =C- Uma família de hiperbolóides de duas folhas.
1 0 O gradiente é direcionado ao longo da normal para a superfície nivelada (ou para a linha nivelada se o campo for plano).
2 0 O gradiente é direcionado na direção da função de campo crescente.
3 0 O módulo gradiente é igual à maior derivada na direção em um determinado ponto do campo:
Essas propriedades fornecem uma característica invariante do gradiente. Eles dizem que o vetor gradU indica a direção e a magnitude da maior mudança no campo escalar em um determinado ponto.
Observação 2.1. Se a função U(x,y) for uma função de duas variáveis, então o vetor
(2.3)
encontra-se no plano oxi.
Sejam funções U=U(x,y,z) e V=V(x,y,z) diferenciáveis no ponto М 0 (x,y,z). Então valem as seguintes igualdades:
a) graduação()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grau = 
, V ;
e) gradU( = gradU, onde , U=U() tem uma derivada em relação a .
Exemplo 2.1. A função U=x 2 +y 2 +z 2 é dada. Determine o gradiente da função no ponto M(-2;3;4).
Solução. Pela fórmula (2.2), temos
.
As superfícies planas deste campo escalar são a família das esferas x 2 +y 2 +z 2 , o vetor gradU=(-4;6;8) é o vetor normal dos planos.
Exemplo 2.2. Encontre o gradiente do campo escalar U=x-2y+3z.
Solução. Pela fórmula (2.2), temos
As superfícies planas de um dado campo escalar são os planos
x-2y+3z=C; o vetor gradU=(1;-2;3) é o vetor normal de planos desta família.
Exemplo 2.3. Encontre a maior inclinação da superfície U=x y no ponto M(2;2;4).
Solução. Nós temos: 
Exemplo 2.4. Encontre o vetor normal unitário à superfície nivelada do campo escalar U=x 2 +y 2 +z 2 .
Solução. Superfícies de nível de um dado Campo-esfera escalar x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
O gradiente é direcionado ao longo da normal à superfície plana, de modo que
Define o vetor normal à superfície nivelada no ponto M(x,y,z). Para um vetor normal unitário, obtemos a expressão
, Onde 
.
Exemplo 2.5. Encontre o gradiente de campo U= 
, onde e são vetores constantes, r é o raio vetor do ponto.
Solução. Deixar
Então: 
. Pela regra de diferenciação do determinante, obtemos
Consequentemente,
Exemplo 2.6. Encontre o gradiente de distância , onde P(x,y,z) é o ponto do campo em estudo, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) é algum ponto fixo.
Solução. Temos - vetor de direção unitária.
Exemplo 2.7. Encontre o ângulo entre os gradientes das funções no ponto M 0 (1,1).
Solução. Encontramos os gradientes dessas funções no ponto M 0 (1,1), temos
; O ângulo entre gradU e gradV no ponto M 0 é determinado pela igualdade
Portanto =0.
Exemplo 2.8. Encontre a derivada em relação à direção, o vetor raio é igual a
(2.4)
Solução. Encontrando o gradiente desta função:
Substituindo (2.5) em (2.4), obtemos
Exemplo 2.9. Encontre no ponto M 0 (1;1;1) a direção da maior variação no campo escalar U=xy+yz+xz e a magnitude desta maior variação neste ponto.
Solução. A direção da maior mudança no campo é indicada pelo vetor grad U(M). Nós encontramos:
E, portanto, . Este vetor determina a direção do maior aumento deste campo no ponto M 0 (1;1;1). O valor da maior mudança no campo neste ponto é igual a
.
Exemplo 3.1. Encontrar linhas vetoriais de campo vetorial 
onde é um vetor constante.
Solução. nós temos assim
(3.3)
Multiplique o numerador e o denominador da primeira fração por x, a segunda por y, a terceira por z e some termo a termo. Usando a propriedade da proporção, obtemos
Daí xdx+ydy+zdz=0, o que significa
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Agora, multiplicando o numerador e o denominador da primeira fração (3,3) por c 1, a segunda por c 2, a terceira por c 3 e somando termo a termo, obtemos
De onde c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
E, portanto, com 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-const.
Equações necessárias de linhas vetoriais
Essas equações mostram que as linhas vetoriais são obtidas como resultado da interseção de esferas com um centro comum na origem com planos perpendiculares ao vetor 
. Segue-se que as linhas vetoriais são círculos cujos centros estão em uma linha reta que passa pela origem na direção do vetor c. Os planos dos círculos são perpendiculares à linha especificada.
Exemplo 3.2. Encontrar linha de campo vetorial 
passando pelo ponto (1,0,0).
Solução. Equações diferenciais linhas vetoriais
daí nós temos 
. Resolvendo a primeira equação. Ou se introduzirmos o parâmetro t, então teremos Neste caso, a equação 
assume a forma 
ou dz=bdt, donde z=bt+c 2 .
Se em cada ponto do espaço ou parte do espaço é definido o valor de uma certa quantidade, diz-se que o campo dessa quantidade é dado. O campo é denominado escalar se o valor considerado for escalar, ou seja, bem caracterizada pelo seu valor numérico. Por exemplo, o campo de temperatura. O campo escalar é dado pela função escalar do ponto u = /(M). Se um sistema de coordenadas cartesianas é introduzido no espaço, então há uma função de três variáveis x, yt z - as coordenadas do ponto M: Definição. A superfície nivelada de um campo escalar é o conjunto de pontos nos quais a função f(M) assume o mesmo valor. Exemplo de equação de superfície de nível 1. Encontrar superfícies de nível de um campo escalar ANÁLISE DE VETOR Campo escalar Superfícies de nível e linhas de nível Derivada direcional Derivada Gradiente de um campo escalar Propriedades básicas do gradiente Definição invariante de um gradiente Regras para calcular um gradiente -4 Por definição, um nível será a equação da superfície. Esta é a equação de uma esfera (com Ф 0) centrada na origem. Um campo escalar é chamado plano se o campo é o mesmo em todos os planos paralelos a algum plano. Se o plano especificado for tomado como o plano xOy, então a função de campo não dependerá da coordenada z, ou seja, será uma função apenas dos argumentos x e y, e também do significado. Equação de linha de nível - Exemplo 2. Encontrar linhas de nível de um campo escalar As linhas de nível são dadas por equações Em c = 0 obtemos um par de linhas, obtemos uma família de hipérboles (Fig. 1). 1.1. Derivada direcional Seja um campo escalar definido por uma função escalar u = /(Af). Vamos pegar o ponto Afo e escolher a direção determinada pelo vetor I. Vamos pegar outro ponto M de forma que o vetor M0M seja paralelo ao vetor 1 (Fig. 2). Denotemos o comprimento do vetor MoM por A/, e o incremento da função /(Af) - /(Afo), correspondente ao deslocamento D1, por Di. A atitude determina velocidade média mudança do campo escalar por unidade de comprimento para a direção dada Let agora tende a zero de modo que o vetor М0М permaneça paralelo ao vetor I. Definição. Se para D/O existe um limite finito da relação (5), então ela é chamada de derivada da função em um dado ponto Afo para a direção dada I e é denotada pelo símbolo zr!^. Então, por definição, Esta definição não está relacionada com a escolha do sistema de coordenadas, ou seja, tem um caráter **variante. Vamos encontrar uma expressão para a derivada em relação à direção no sistema de coordenadas cartesianas. Seja a função / diferenciável em um ponto. Considere o valor /(Af) em um ponto. Então o incremento total da função pode ser escrito da seguinte forma: onde e os símbolos significam que as derivadas parciais são calculadas no ponto Afo. Portanto Aqui as quantidades jfi, ^ são os cossenos diretores do vetor. Como os vetores MoM e I são codirecionados, seus cossenos de direção são os mesmos: derivadas, são derivadas da função e ao longo das direções dos eixos coordenados com o externo nno- Exemplo 3. Encontre a derivada da função em direção ao ponto O vetor tem um comprimento. Seus cossenos de direção: Pela fórmula (9) teremos O fato de que, significa que o campo escalar em um ponto em uma determinada direção de idade- Para um campo plano, a derivada na direção I em um ponto é calculada pela fórmula onde a é o ângulo formado pelo vetor I com o eixo Oh. Zmmchmm 2. A fórmula (9) para calcular a derivada ao longo da direção I em um determinado ponto Afo permanece em vigor mesmo quando o ponto M tende ao ponto Mo ao longo de uma curva para a qual o vetor I é tangente no ponto PrISchr 4. Calcular a derivada do campo escalar no ponto Afo(l, 1). pertencente a uma parábola na direção desta curva (na direção da abcissa crescente). A direção ] de uma parábola em um ponto é a direção da tangente à parábola neste ponto (Fig. 3). Deixe a tangente à parábola no ponto Afo formar um ângulo o com o eixo Ox. Então, de onde direcionando cossenos de uma tangente, vamos calcular valores e em um ponto. Temos Agora pela fórmula (10) obtemos. Encontre a derivada do campo escalar em um ponto na direção do círculo A equação vetorial do círculo tem a forma. Encontramos o vetor unitário m da tangente ao círculo.O ponto corresponde ao valor do parâmetro. Gradiente de campo escalar Seja um campo escalar definido por uma função escalar que se supõe ser diferenciável. Definição. O gradiente de um campo escalar » em um dado ponto M é um vetor denotado pelo símbolo grad e definido pela igualdade É claro que este vetor depende tanto da função / quanto do ponto M no qual sua derivada é calculada. Seja 1 um vetor unitário na direção Então a fórmula da derivada direcional pode ser escrita da seguinte forma: . assim, a derivada da função e na direção 1 é igual a produto escalar do gradiente da função u(M) por vetor unitário 1° da direção I. 2.1. Propriedades básicas do gradiente Teorema 1. O gradiente do campo escalar é perpendicular à superfície do nível (ou à linha do nível se o campo for plano). (2) Tracemos uma superfície nivelada u = const através de um ponto arbitrário M e escolhamos uma curva suave L nesta superfície passando pelo ponto M (Fig. 4). Seja I um vetor tangente à curva L no ponto M. Como na superfície plana u(M) = u(M|) para qualquer ponto Mj ∈ L, então Por outro lado, = (gradu, 1°) . É por isso. Isso significa que os vetores grad e e 1° são ortogonais. Assim, o vetor grad e é ortogonal a qualquer tangente à superfície plana no ponto M. Portanto, é ortogonal à própria superfície plana no ponto M. Teorema 2 .O gradiente é direcionado na direção da função de campo crescente. Anteriormente, provamos que o gradiente do campo escalar é direcionado ao longo da normal à superfície plana, que pode ser orientada tanto para o aumento da função u(M) quanto para sua diminuição. Denote por n a normal da superfície nivelada orientada na direção da função crescente ti(M), e encontre a derivada da função u na direção desta normal (Fig. 5). Temos Desde de acordo com a condição da Fig. 5 e, portanto, ANÁLISE VETORIAL Campo escalar Superfícies e linhas de nível Derivada direcional Derivada Campo escalar gradiente Propriedades básicas do gradiente Definição invariante do gradiente Regras para calcular o gradiente Segue-se que grad e é direcionado em na mesma direção que escolhemos a normal n, ou seja, na direção da função crescente u(M). Teorema 3. O comprimento do gradiente é igual à maior derivada em relação à direção em um determinado ponto do campo, (aqui, max $ é obtido em todas as direções possíveis em um determinado ponto M até o ponto). Temos onde é o ângulo entre os vetores 1 e grad n. Como o maior valor é Exemplo 1. Encontre a direção do maior íon do campo escalar no ponto e também a magnitude dessa maior mudança no ponto especificado. A direção da maior mudança no campo escalar é indicada por um vetor. Temos então Este vetor determina a direção do maior aumento no campo para um ponto. O valor da maior mudança no campo neste ponto é 2,2. Definição invariante do gradiente As quantidades que caracterizam as propriedades do objeto em estudo e não dependem da escolha do sistema de coordenadas são chamadas de invariantes do objeto dado. Por exemplo, o comprimento de uma curva é uma invariante dessa curva, mas o ângulo da tangente à curva com o eixo x não é uma invariante. Com base nas três propriedades acima do gradiente do campo escalar, podemos dar a seguinte definição invariante do gradiente. Definição. O gradiente do campo escalar é um vetor direcionado ao longo da normal à superfície nivelada na direção da função de campo crescente e com comprimento igual à maior derivada direcional (em um determinado ponto). Seja um vetor normal unitário direcionado na direção do campo crescente. Em seguida, Exemplo 2. Encontre o gradiente de distância - algum ponto fixo e M(x,y,z) - o atual. 4 Temos onde é o vetor de direção unitária. Regras para calcular o gradiente onde c é um número constante. As fórmulas acima são obtidas diretamente da definição do gradiente e das propriedades das derivadas. Pela regra da diferenciação do produto A prova é análoga à prova da propriedade Seja F(u) uma função escalar diferenciável. Então 4 Pela definição do gradiente, temos Aplicar a todos os termos do lado direito a regra de diferenciação função complexa. Em particular, a Fórmula (6) segue do plano da fórmula para dois pontos fixos deste plano. Considere uma elipse arbitrária com focos Fj e F] e prove que qualquer raio de luz que emerge de um foco da elipse, após reflexão da elipse, entra em seu outro foco. As linhas de nível da função (7) são ANÁLISE VETORIAL Campo escalar Superfícies e linhas de nível Derivada direcional Derivada Campo escalar gradiente Propriedades básicas do gradiente Definição invariante do gradiente Regras de cálculo do gradiente As equações (8) descrevem uma família de elipses com focos em pontos F) e Fj. De acordo com o resultado do Exemplo 2, temos e vetores de raio. desenhada para o ponto P(x, y) a partir dos focos F| e Fj e, portanto, está na bissetriz do ângulo entre esses vetores de raio (Fig. 6). De acordo com Tooromo 1, o gradiente PQ é perpendicular à elipse (8) no ponto. Portanto, a Fig.6. a normal à elipse (8) em qualquer ponto bissecta o ângulo entre os vetores de raio desenhados para este ponto. Daqui e do fato do ângulo de incidência ser igual ao ângulo de reflexão, obtemos: um raio de luz saindo de um foco da elipse, refletido por ele, certamente cairá no outro foco desta elipse.
Sabe-se de um curso de matemática escolar que um vetor em um plano é um segmento direcionado. Seu início e fim têm duas coordenadas. As coordenadas vetoriais são calculadas subtraindo as coordenadas iniciais das coordenadas finais.
O conceito de vetor também pode ser estendido para um espaço n-dimensional (em vez de duas coordenadas haverá n coordenadas).
Gradiente função gratz z=f(x 1 , x 2 , ... x n) é o vetor de derivadas parciais da função em um ponto, ou seja, vetor com coordenadas.
Pode-se provar que o gradiente de uma função caracteriza a direção do crescimento mais rápido do nível da função em um ponto.
Por exemplo, para a função z \u003d 2x 1 + x 2 (veja a Figura 5.8), o gradiente em qualquer ponto terá coordenadas (2; 1). Ele pode ser construído em um plano de várias maneiras, tomando qualquer ponto como o início do vetor. Por exemplo, você pode conectar ponto (0; 0) ao ponto (2; 1), ou ponto (1; 0) ao ponto (3; 1), ou ponto (0; 3) ao ponto (2; 4), ou t .P. (ver figura 5.8). Todos os vetores construídos desta forma terão coordenadas (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).
A Figura 5.8 mostra claramente que o nível da função cresce na direção do gradiente, pois as linhas de nível construídas correspondem aos valores de nível 4 > 3 > 2.
Figura 5.8 - Gradiente da função z \u003d 2x 1 + x 2
Considere outro exemplo - a função z= 1/(x 1 x 2). O gradiente dessa função não será mais sempre o mesmo em pontos diferentes, pois suas coordenadas são determinadas pelas fórmulas (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
A Figura 5.9 mostra as linhas de nível da função z= 1/(x 1 x 2) para os níveis 2 e 10 (a linha 1/(x 1 x 2) = 2 é indicada por uma linha pontilhada e a linha 1/( x 1 x 2) = 10 é linha sólida).
Figura 5.9 - Gradientes da função z \u003d 1 / (x 1 x 2) em vários pontos
Tome, por exemplo, o ponto (0,5; 1) e calcule o gradiente neste ponto: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Observe que o ponto (0,5; 1) está na linha de nível 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, porque z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Para desenhe o vetor (-4; -2) na Figura 5.9, conecte o ponto (0,5; 1) com o ponto (-3,5; -1), porque (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Tomemos outro ponto na mesma linha de nível, por exemplo, ponto (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calcule o gradiente neste ponto (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Para representá-lo na Figura 5.9, conectamos o ponto (1; 0,5) com o ponto (-1; -3,5), porque (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - quatro).
Vamos pegar mais um ponto na mesma linha de nível, mas só agora em um quarto de coordenada não positiva. Por exemplo, ponto (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). O gradiente neste ponto será (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Vamos representá-lo na Figura 5.9 conectando o ponto (-0,5; -1) com o ponto (3,5; 1), porque (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Deve-se notar que em todos os três casos considerados, o gradiente mostra a direção de crescimento do nível da função (em direção à linha de nível 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Pode-se provar que o gradiente é sempre perpendicular à linha de nível (superfície nivelada) que passa pelo ponto dado.
Vamos definir o conceito extremo para uma função de muitas variáveis.
A função de muitas variáveis f(X) tem no ponto X (0) máximo mínimo), se existe tal vizinhança deste ponto que para todos os pontos X desta vizinhança as desigualdades f(X)f(X (0)) () são válidas.
Se essas desigualdades forem satisfeitas como estritas, então o extremo é chamado Forte, e se não, então fraco.
Observe que o extremo definido dessa maneira é local caráter, uma vez que essas desigualdades valem apenas para alguma vizinhança do ponto extremo.
Uma condição necessária para um extremo local de uma função diferenciável z=f(x 1, . . ., x n) em um ponto é a igualdade a zero de todas as derivadas parciais de primeira ordem neste ponto: 
.
Os pontos em que essas igualdades ocorrem são chamados estacionário.
De outra forma, a condição necessária para um extremo pode ser formulada da seguinte forma: no ponto extremo, o gradiente é igual a zero. Também é possível provar uma afirmação mais geral - no ponto extremo, as derivadas da função em todas as direções desaparecem.
Pontos estacionários devem ser submetidos a estudos adicionais - se condições suficientes para a existência de um extremo local são satisfeitas. Para fazer isso, determine o sinal do diferencial de segunda ordem. Se para qualquer um que não seja simultaneamente igual a zero, é sempre negativo (positivo), então a função tem um máximo (mínimo). Se pode desaparecer não apenas em incrementos de zero, então a questão do extremo permanece em aberto. Se pode assumir valores positivos e negativos, não há extremo no ponto estacionário.
No caso geral, a determinação do sinal da diferencial é um problema bastante complicado, que não abordaremos aqui. Para uma função de duas variáveis, pode-se provar que se em um ponto estacionário 
, então existe um extremo. Neste caso, o sinal da segunda diferencial coincide com o sinal 
, ou seja E se 
, então este é o máximo, e se 
, então este é o mínimo. Se um 
, então não há extremo neste ponto, e se 
, então a questão do extremo permanece em aberto.
Exemplo 1. Encontrar extremos de uma função 
.
Vamos encontrar derivadas parciais pelo método de diferenciação logarítmica.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
De forma similar 
.
Vamos encontrar pontos estacionários do sistema de equações:
Assim, quatro pontos estacionários (1; 1), (1; -1), (-1; 1) e (-1; -1) são encontrados.
Vamos encontrar derivadas parciais de segunda ordem:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
De forma similar 
;
.
Porque 
, sinal de expressão 
depende apenas de 
. Observe que em ambas as derivadas o denominador é sempre positivo, então você pode considerar apenas o sinal do numerador, ou mesmo o sinal das expressões x (x 2 - 3) e y (y 2 - 3). Vamos determiná-lo em cada ponto crítico e verificar o cumprimento da condição extrema suficiente.
Para o ponto (1; 1) obtemos 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0, e 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Para o ponto (1; -1) obtemos 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Porque o produto desses números 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Para o ponto (-1; -1) obtemos (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. produto de dois números positivos 
> 0, e 
> 0, no ponto (-1; -1) você pode encontrar um mínimo. É igual a 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2)) = -8/4 = = -2.
Achar global o máximo ou mínimo (o maior ou menor valor da função) é um pouco mais complicado que o extremo local, pois esses valores podem ser alcançados não apenas em pontos estacionários, mas também no limite do domínio de definição. Nem sempre é fácil estudar o comportamento de uma função na fronteira desta região.
