\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
Vamos explicar mais fácil. Por exemplo, \(\log_(2)(8)\) é igual à potência \(2\) que deve ser elevada para obter \(8\). A partir disso, fica claro que \(\log_(2)(8)=3\).
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Exemplos: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
Porque \(5^(2)=25\) |
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\(\log_(3)(81)=4\) |
Porque \(3^(4)=81\) |
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\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
Porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Qualquer logaritmo tem a seguinte "anatomia":
O argumento do logaritmo geralmente é escrito em seu nível e a base é escrita em subscrito mais próximo do sinal do logaritmo. E esta entrada é lida assim: "o logaritmo de vinte e cinco na base de cinco".
Por exemplo, calcule o logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) A que potência \(4\) deve ser elevada para obter \(16\)? Obviamente o segundo. É por isso:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) A que potência \(\sqrt(5)\) deve ser elevada para obter \(1\)? E que grau torna qualquer número uma unidade? Zero, claro!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) A que potência \(\sqrt(7)\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(7)\)? No primeiro - qualquer número no primeiro grau é igual a si mesmo.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) A que potência \(3\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(3)\)? De onde sabemos que é uma potência fracionária, o que significa Raiz quadradaé o grau \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Exemplo : Calcule o logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Solução :
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\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Precisamos encontrar o valor do logaritmo, vamos denotá-lo como x. Agora vamos usar a definição do logaritmo: |
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\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Quais links \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Dois, porque ambos os números podem ser representados por dois: |
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\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
À esquerda, usamos as propriedades de grau: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)=a ^(m\cponto n)\) |
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\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
As bases são iguais, procedemos à igualdade de indicadores |
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\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
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Multiplique ambos os lados da equação por \(\frac(2)(5)\) |
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A raiz resultante é o valor do logaritmo |
Responda : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Para entender isso, vamos resolver a equação: \(3^(x)=9\). Basta combinar \(x\) para fazer a igualdade funcionar. Claro, \(x=2\).
Agora resolva a equação: \(3^(x)=8\) A que x é igual? Essa é a questão.
Os mais engenhosos dirão: "X é um pouco menos que dois". Como exatamente esse número deve ser escrito? Para responder a essa pergunta, eles criaram o logaritmo. Graças a ele, a resposta aqui pode ser escrita como \(x=\log_(3)(8)\).
Quero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), bem como qualquer logaritmo é apenas um número. Sim, parece incomum, mas é curto. Porque se quiséssemos escrever na forma fração decimal, ficaria assim: \(1.892789260714.....\)
Exemplo : Resolva a equação \(4^(5x-4)=10\)
Solução :
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\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) e \(10\) não podem ser reduzidos à mesma base. Então aqui você não pode prescindir do logaritmo. Vamos usar a definição do logaritmo: |
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\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Vire a equação para que x fique à esquerda |
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\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Antes de nós. Mova \(4\) para a direita. E não tenha medo do logaritmo, trate-o como um número normal. |
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\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Divida a equação por 5 |
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\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
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Aqui está a nossa raiz. Sim, parece incomum, mas a resposta não é escolhida. |
Responda : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Conforme declarado na definição do logaritmo, sua base pode ser qualquer número positivo, exceto um \((a>0, a\neq1)\). E entre todas as bases possíveis, há duas que ocorrem com tanta frequência que uma notação curta especial foi inventada para logaritmos com elas:
Aquilo é, \(\ln(a)\) é o mesmo que \(\log_(e)(a)\)
Aquilo é, \(\lg(a)\) é o mesmo que \(\log_(10)(a)\), onde \(a\) é algum número.
Os logaritmos têm muitas propriedades. Um deles é chamado de "identidade logarítmica básica" e tem a seguinte aparência:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Esta propriedade decorre diretamente da definição. Vamos ver como exatamente essa fórmula apareceu.
Lembre-se da curta definição do logaritmo:
se \(a^(b)=c\), então \(\log_(a)(c)=b\)
Ou seja, \(b\) é o mesmo que \(\log_(a)(c)\). Então podemos escrever \(\log_(a)(c)\) em vez de \(b\) na fórmula \(a^(b)=c\) . Descobriu-se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a principal identidade logarítmica.
Você pode encontrar o restante das propriedades dos logaritmos. Com a ajuda deles, você pode simplificar e calcular os valores das expressões com logaritmos, que são difíceis de calcular diretamente.
Exemplo : Encontre o valor da expressão \(36^(\log_(6)(5))\)
Solução :
Responda : \(25\)
Como mencionado acima, qualquer logaritmo é apenas um número. O inverso também é verdadeiro: qualquer número pode ser escrito como um logaritmo. Por exemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) é igual a dois. Então você pode escrever \(\log_(2)(4)\) ao invés de dois.
Mas \(\log_(3)(9)\) também é igual a \(2\), então você também pode escrever \(2=\log_(3)(9)\) . Da mesma forma com \(\log_(5)(25)\), e com \(\log_(9)(81)\), etc. Isto é, resulta
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Assim, se precisarmos, podemos escrever os dois como um logaritmo com qualquer base em qualquer lugar (mesmo em uma equação, mesmo em uma expressão, até mesmo em uma desigualdade) - apenas escrevemos a base ao quadrado como um argumento.
É o mesmo com um triplo - pode ser escrito como \(\log_(2)(8)\), ou como \(\log_(3)(27)\), ou como \(\log_(4)( 64) \) ... Aqui escrevemos a base no cubo como um argumento:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
E com quatro:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
E com menos um:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
E com um terço:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Exemplo : encontre o valor de uma expressão \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Solução :
Responda : \(1\)
Então, temos potências de dois. Se você pegar o número da linha inferior, poderá encontrar facilmente a potência à qual deve aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para chegar a 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.
E agora - de fato, a definição do logaritmo:
O logaritmo para a base a do argumento x é a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x .
Notação: log a x \u003d b, onde a é a base, x é o argumento, b é realmente o que o logaritmo é igual.
Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode muito bem logar 2 64 = 6 porque 2 6 = 64 .
A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma determinada base é chamada de logaritmo. Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5 . O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo ficará em algum lugar do segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Esses números são chamados de irracionais: os números após o ponto decimal podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixar assim: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis (base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Para evitar mal-entendidos irritantes, basta dar uma olhada na foto:
Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembrar: o logaritmo é a potência, para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento. É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos logo na primeira aula - e não há confusão.
Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livre-se do sinal de "log". Para começar, notamos que dois fatos importantes decorrem da definição:
Tais restrições são chamadas área valores permitidos (ODZ). Acontece que o ODZ do logaritmo se parece com isto: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Observe que não há restrições quanto ao número b (o valor do logaritmo) não é imposto. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 \u003d -1, porque 0,5 = 2 −1 .
No entanto, agora estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário saber o ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando eles vão equações logarítmicas e desigualdades, os requisitos do DHS se tornarão obrigatórios. De fato, na base e no argumento pode haver construções muito fortes, que não correspondem necessariamente às restrições acima.
Agora considere o esquema geral para calcular logaritmos. Consiste em três etapas:
Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso será visto já na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Da mesma forma com frações decimais: se você as converter imediatamente em frações comuns, haverá muito menos erros.
Vamos ver como esse esquema funciona com exemplos específicos:
Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 5 25
Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Uma tarefa. Calcule o logaritmo:
Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 4 64
Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 16 1
Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 7 14
Uma pequena nota sobre o último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta decompô-lo em fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.
Uma tarefa. Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; quatorze .
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque existe apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;
Também notamos que números primos são sempre potências exatas de si mesmas.
Alguns logaritmos são tão comuns que têm um nome e uma designação especiais.
O logaritmo decimal do argumento x é o logaritmo de base 10, ou seja, a potência à qual você precisa elevar o número 10 para obter o número x. Designação: lg x .
Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.
A partir de agora, quando aparecer uma frase como “Find lg 0.01” no livro didático, saiba que não se trata de um erro de digitação. Este é o logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x
Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.
Existe outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. É sobre sobre o logaritmo natural.
O logaritmo natural de x é o logaritmo de base e, ou seja, a potência à qual o número e deve ser elevado para obter o número x. Designação: ln x .
Muitos perguntarão: o que mais é o número e? isto Número irracional, seu valor exato impossível de encontrar e gravar. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459...
Não vamos nos aprofundar em qual é esse número e por que ele é necessário. Apenas lembre-se de que e é a base do logaritmo natural:
ln x = log e x
Assim ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional é irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.
Para logaritmos naturais, todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.
Muitas vezes, pegue o número dez. Logaritmos de números de base dez são chamados decimal. Ao realizar cálculos com o logaritmo decimal, é comum operar com o sinal lg, mas não registro; enquanto o número dez, que determina a base, não é indicado. Sim, nós substituímos registro 10 105 simplificar lg105; uma log102 no lg2.
Por logaritmos decimais as mesmas características que os logaritmos têm com uma base maior que um são típicas. Ou seja, os logaritmos decimais são caracterizados exclusivamente para números positivos. Logaritmos decimais de números maiores que um são positivos e números menores que um são negativos; de dois números não negativos, o maior é equivalente ao maior logaritmo decimal, e assim por diante. Além disso, os logaritmos decimais têm características distintas e sinais peculiares, que explicam por que é confortável preferir o número dez como base dos logaritmos.
Antes de analisar essas propriedades, vamos dar uma olhada nas seguintes formulações.
Parte inteira do logaritmo decimal de um número uma chamado característica, e a fração mantissa este logaritmo.
Característica do logaritmo decimal de um número uma indicado como , e a mantissa como (lg uma}.
Vamos tomar, digamos, lg 2 ≈ 0,3010. Assim, = 0, (log 2) ≈ 0,3010.
O mesmo vale para lg 543.1 ≈2.7349. Assim, = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.
O cálculo dos logaritmos decimais de números positivos a partir de tabelas é amplamente utilizado.
O primeiro sinal do logaritmo decimal.o todo um número não negativo representado por um seguido por zeros é todo um número positivo igual ao número de zeros no registro do número selecionado .
Vamos considerar lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.
De um modo geral, se
Este uma= 10n , de onde obtemos
lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.
Segundo sinal. Logaritmo decimal de decimal positivo frações, mostrado por um com zeros à esquerda, é - P, Onde P- o número de zeros na representação desse número, levando em consideração o zero dos números inteiros.
Considerar , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.
De um modo geral, se
,
Este uma= 10-n e acontece
lga = lg 10n =-n lg 10 =-n
Terceiro sinal. Decimais característicos logaritmo um número não negativo maior que um é igual ao número de dígitos na parte inteira desse número, excluindo um.
Vamos analisar esta característica 1) A característica do logaritmo lg 75.631 é igual a 1.
De fato, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод
LG 10< lg 75,631 < lg 100,
1 < lg 75,631 < 2.
Isso implica,
lg 75.631 = 1 + b,
Deslocar uma vírgula em um decimal para a direita ou para a esquerda equivale à operação multiplicação esta fração a uma potência de dez com um expoente inteiro P(positivo ou negativo). E, portanto, quando o ponto decimal em uma fração decimal positiva é deslocado para a esquerda ou para a direita, a mantissa do logaritmo decimal dessa fração não muda.
Portanto, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).
São dadas as principais propriedades do logaritmo, o gráfico do logaritmo, o domínio de definição, o conjunto de valores, as fórmulas básicas, o aumento e a diminuição. Encontrar a derivada do logaritmo é considerado. E também a integral, expansão em série de potência e representação por meio de números complexos.
Logaritmo com base aé a função y (x) = log x, inversa à função exponencial com base a: x (y) = ay.
Logaritmo decimalé o logaritmo da base do número 10 : log x ≡ log 10 x.
Logaritmo naturalé o logaritmo na base de e: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
O gráfico do logaritmo é obtido a partir do gráfico da função exponencial por reflexão no espelho sobre a reta y \u003d x. À esquerda estão os gráficos da função y (x) = log x para quatro valores bases do logaritmo:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
e um = 1/8
. O gráfico mostra que para a > 1
o logaritmo é monotonicamente crescente. À medida que x aumenta, o crescimento diminui significativamente. No 0
< a < 1
o logaritmo é monotonicamente decrescente.
O logaritmo é uma função monotônica, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo são apresentadas na tabela.
| Domínio | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Faixa de valores | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monótono | aumenta monotonicamente | diminui monotonicamente |
| Zeros, y = 0 | x= 1 | x= 1 |
| Pontos de interseção com o eixo y, x = 0 | Não | Não |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal e está marcado assim:
logaritmo base e chamado Logaritmo natural:
Propriedades do logaritmo seguindo a definição da função inversa:
Logaritmoé a operação matemática de tomar o logaritmo. Ao tomar um logaritmo, os produtos dos fatores são convertidos em somas de termos.
Potenciaçãoé a operação matemática inversa ao logaritmo. Ao potencializar, a base dada é elevada à potência da expressão na qual a potencialização é realizada. Nesse caso, as somas dos termos são convertidas em produtos dos fatores.
As fórmulas relacionadas aos logaritmos decorrem das fórmulas para funções exponenciais e da definição de uma função inversa.
Considere a propriedade da função exponencial
.
Então
.
Aplique a propriedade da função exponencial
:
.
Vamos provar a fórmula de mudança de base.
;
.
Definindo c = b , temos:
O recíproco da base um logaritmo é a função exponencial com expoente a.
Se então
Se então
Derivada do logaritmo módulo x :
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >
Para encontrar a derivada de um logaritmo, ela deve ser reduzida à base e.
;
.
A integral do logaritmo é calculada integrando por partes: .
Então,
Considere a função de número complexo z:
.
Expressar número complexo z via módulo r e argumento φ
:
.
Então, usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou
No entanto, o argumento φ
não claramente definido. Se colocarmos
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.
Portanto, o logaritmo, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.
Para , a expansão ocorre:
Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.
