Vimos que a derivada tem inúmeras aplicações: a derivada é a velocidade do movimento (ou, mais geralmente, a velocidade de qualquer processo); derivado é declive tangente ao gráfico da função; usando a derivada, você pode investigar a função para monotonicidade e extremos; A derivada ajuda a resolver problemas de otimização.
Mas em Vida real problemas inversos também precisam ser resolvidos: por exemplo, junto com o problema de encontrar a velocidade a partir de uma lei de movimento conhecida, há também o problema de restaurar a lei de movimento a partir de uma velocidade conhecida. Vamos considerar um desses problemas.
Exemplo 1 Um ponto material se move ao longo de uma linha reta, a velocidade de seu movimento no tempo t é dada pela fórmula u = tg. Encontre a lei do movimento.
Solução. Seja s = s(t) a lei de movimento desejada. Sabe-se que s"(t) = u"(t). Então, para resolver o problema, precisamos escolher função s = s(t), cuja derivada é igual a tg. É fácil adivinhar isso
Observamos imediatamente que o exemplo está resolvido corretamente, mas de forma incompleta. Obtivemos que De fato, o problema tem infinitas soluções: qualquer função da forma constante arbitrária, pode servir como uma lei do movimento, uma vez que
Para tornar a tarefa mais específica, tivemos que corrigir a situação inicial: indicar a coordenada do ponto móvel em algum momento, por exemplo, em t=0. Se, digamos, s (0) \u003d s 0, então da igualdade obtemos s (0) \u003d 0 + C, ou seja, S 0 \u003d C. Agora a lei do movimento é definida exclusivamente:
Em matemática, as operações recíprocas são atribuídas nomes diferentes, apresentam uma notação especial: por exemplo, elevando ao quadrado (x 2) e extraindo raiz quadrada seno (sinx) e arco-seno(arco seno x), etc. O processo de encontrar a derivada em relação a determinada funçãoé chamado de diferenciação, e a operação inversa, ou seja, o processo de encontrar uma função por uma dada derivada - por integração.
O próprio termo “derivado” pode ser justificado “de maneira mundana”: a função y - f (x) “produz no mundo” uma nova função y "= f" (x) A função y \u003d f (x) age como se fosse um "pai", mas os matemáticos, claro, não o chamam de "pai" ou "produtor", dizem que é, em relação à função y "=f" (x), a imagem primária , ou, em suma, a antiderivada.
Definição 1. A função y \u003d F (x) é chamada de antiderivada para a função y \u003d f (x) em um determinado intervalo X, se para todos os x de X a igualdade F "(x) \u003d f (x) for verdadeira .
Na prática, o intervalo X geralmente não é especificado, mas implícito (como o domínio natural da função).
aqui estão alguns exemplos:
1) A função y \u003d x 2 é uma antiderivada para a função y \u003d 2x, pois para todo x a igualdade (x 2) "\u003d 2x é verdadeira.
2) a função y - x 3 é a antiderivada da função y-3x 2, pois para todo x a igualdade (x 3)" \u003d 3x 2 é verdadeira.
3) A função y-sinx é uma antiderivada da função y=cosx, pois para todo x a igualdade (sinx) "=cosx é verdadeira.
4) A função é antiderivada para a função no intervalo, pois para todo x > 0 a igualdade é verdadeira
Em geral, conhecendo as fórmulas para encontrar as derivadas, não é difícil compilar uma tabela de fórmulas para encontrar as primitivas.
Esperamos que você entenda como esta tabela é compilada: a derivada da função que está escrita na segunda coluna é igual à função que está escrita na linha correspondente da primeira coluna (confira, não seja preguiçoso, é muito útil). Por exemplo, para a função y \u003d x 5, a primitiva, conforme você estabelece, é a função (veja a quarta linha da tabela).
Notas: 1. Abaixo provamos o teorema de que se y = F(x) é uma antiderivada para uma função y = f(x), então a função y = f(x) tem infinitas primitivas e todas elas têm a forma y = F (x ) + C. Portanto, seria mais correto adicionar o termo C em toda a segunda coluna da tabela, onde C é um número real arbitrário.
2. Por uma questão de brevidade, às vezes, em vez da frase "a função y = F(x) é a antiderivada da função y = f(x)", eles dizem que F(x) é a antiderivada de f(x) ".
2. Regras para encontrar primitivas
Na busca por antiderivadas, bem como na busca por derivadas, não são usadas apenas fórmulas (elas estão listadas na tabela da pág. 196), mas também algumas regras. Eles estão diretamente relacionados às regras correspondentes para calcular derivativos.
Sabemos que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas. Essa regra gera uma regra correspondente para encontrar primitivas.
Regra 1 A primitiva de uma soma é igual à soma das primitivas.
Chamamos a atenção para alguma “leveza” desta formulação. De fato, seria necessário formular um teorema: se as funções y = f(x) e y=g(x) têm primitivas no intervalo X, y-F(x) e y-G(x), respectivamente, então a soma das funções y = f(x) + g(x) tem uma primitiva no intervalo X, e esta primitiva é a função y = F(x) + G(x). Mas geralmente, ao formular regras (e não teoremas), deixa-se apenas palavras-chave- por isso é mais conveniente aplicar a regra na prática
Exemplo 2 Encontre a primitiva para a função y = 2x + cos x.
Solução. A primitiva para 2x é x "; a primitiva para cosx é sin x. Portanto, a primitiva para a função y \u003d 2x + cos x será a função y \u003d x 2 + sin x (e, em geral, qualquer função do forma Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Sabemos que o fator constante pode ser retirado do sinal da derivada. Essa regra gera uma regra correspondente para encontrar primitivas.
Regra 2 O fator constante pode ser retirado do sinal da primitiva.
Exemplo 3
Solução. a) A primitiva de sen x é -cos x; portanto, para a função y \u003d 5 sen x, a primitiva será a função y \u003d -5 cos x.
b) A primitiva de cos x é sen x; portanto, para a função antiderivada haverá uma função
c) A primitiva de x 3 é a primitiva de x é a primitiva da função y \u003d 1 é a função y \u003d x. Usando a primeira e a segunda regras para encontrar primitivas, obtemos que a primitiva para a função y \u003d 12x 3 + 8x-1 é a função
Comente. Como você sabe, a derivada de um produto não é igual ao produto das derivadas (a regra para diferenciar um produto é mais complicada) e a derivada de um quociente não é igual ao quociente das derivadas. Portanto, não há regras para encontrar a primitiva do produto ou a primitiva do quociente de duas funções. Tome cuidado!
Obtemos mais uma regra para encontrar primitivas. Sabemos que a derivada da função y \u003d f (kx + m) é calculada pela fórmula
Essa regra gera uma regra correspondente para encontrar primitivas.
Regra 3 Se y \u003d F (x) é a primitiva para a função y \u003d f (x), então a primitiva para a função y \u003d f (kx + m) é a função
De fato,
Isso significa que é uma primitiva para a função y \u003d f (kx + m).
O significado da terceira regra é o seguinte. Se você sabe que a primitiva da função y \u003d f (x) é a função y \u003d F (x), e precisa encontrar a primitiva da função y \u003d f (kx + m), então proceda como segue: pegue a mesma função F, mas em vez do argumento x, substitua a expressão xx+m; além disso, não se esqueça de escrever o “fator de correção” antes do sinal da função
Exemplo 4 Encontre primitivas para funções dadas:
Solução, a) A primitiva de sen x é -cos x; isso significa que para a função y \u003d sin2x, a primitiva será a função
b) A primitiva de cos x é sen x; portanto, para a função antiderivada haverá uma função
c) A primitiva para x 7 é, portanto, para a função y \u003d (4-5x) 7, a primitiva será a função
3. Não integral definida
Já observamos acima que o problema de encontrar uma primitiva para uma dada função y = f(x) tem mais de uma solução. Vamos discutir essa questão com mais detalhes.
Prova. 1. Seja y \u003d F (x) a primitiva para a função y \u003d f (x) no intervalo X. Isso significa que para todo x de X a igualdade x "(x) \u003d f (x) é true. Encontre a derivada de qualquer função da forma y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
Então, (F(x)+C) = f(x). Isso significa que y \u003d F (x) + C é uma antiderivada para a função y \u003d f (x).
Assim, provamos que, se a função y \u003d f (x) tem uma primitiva y \u003d F (x), então a função (f \u003d f (x) tem infinitas primitivas, por exemplo, qualquer função da forma y \u003d F (x) +C é antiderivada.
2. Vamos agora provar que todo o conjunto de primitivas é esgotado pelo tipo de funções indicado.
Sejam y=F 1 (x) ey=F(x) duas primitivas para a função Y = f(x) no intervalo X. Isso significa que para todo x do intervalo X as seguintes relações são válidas: F^( x) = f(X); F "(x) \u003d f (x).
Considere a função y \u003d F 1 (x) -.F (x) e encontre sua derivada: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Sabe-se que se a derivada de uma função em um intervalo X é identicamente igual a zero, então a função é constante no intervalo X (ver Teorema 3 no § 35). Portanto, F 1 (x) -F (x) \u003d C, ou seja Fx) \u003d F (x) + C.
O teorema foi provado.
Exemplo 5 A lei da mudança de velocidade a partir do tempo v = -5sin2t é definida. Encontre a lei do movimento s = s(t) se for conhecido que no instante t=0 a coordenada do ponto era igual ao número 1,5 (ou seja, s(t) = 1,5).
Solução. Como a velocidade é a derivada da coordenada em função do tempo, primeiro precisamos encontrar a primitiva da velocidade, ou seja, primitiva para a função v = -5sin2t. Uma dessas primitivas é a função , e o conjunto de todas as primitivas tem a forma:
Para encontrar um valor específico da constante C, usamos as condições iniciais, segundo as quais, s(0) = 1,5. Substituindo na fórmula (1) os valores t=0, S=1,5, obtemos:
Substituindo o valor encontrado C na fórmula (1), obtemos a lei do movimento de interesse para nós:
Definição 2. Se uma função y = f(x) tem uma antiderivada y = F(x) no intervalo X, então o conjunto de todas as antiderivadas, ou seja, o conjunto de funções da forma y \u003d F (x) + C, é chamado de integral indefinida da função y \u003d f (x) e denotado:
(leu-se: “a integral indefinida ef de x de x”).
Na próxima seção, vamos descobrir o que é significado oculto a designação indicada.
Com base na tabela de primitivas disponíveis neste parágrafo, compilaremos uma tabela de integrais indefinidas básicas:
Com base nas três regras acima para encontrar primitivas, podemos formular as regras de integração correspondentes.
Regra 1 Integral da soma de funções é igual à soma integrais dessas funções:
Regra 2 O fator constante pode ser retirado do sinal integral:
Regra 3 Se um
Exemplo 6 Encontre integrais indefinidas:
Solução, a) Usando a primeira e a segunda regras de integração, obtemos:
Agora usamos as 3ª e 4ª fórmulas de integração:
Como resultado, obtemos:
b) Usando a terceira regra de integração e a fórmula 8, obtemos:
c) Para a determinação direta da integral dada, não temos a fórmula correspondente nem a regra correspondente. Nesses casos, às vezes ajudam as transformações idênticas preliminares da expressão contida sob o sinal de integral.
Vamos usar fórmula trigonométrica rebaixamento:
Então sucessivamente encontramos:
A.G. Álgebra de Mordkovich 10º ano
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Tabela de primitivas
Definição. A função F(x) em um dado intervalo é chamada de antiderivada para a função f(x) , para todo x desse intervalo, se F"(x)=f(x) .
A operação de encontrar a primitiva de uma função é chamada integração. É o inverso da diferenciação.
Teorema. Toda função (x) contínua em um intervalo tem uma primitiva no mesmo intervalo.
Teorema (a principal propriedade da antiderivada). Se em algum intervalo a função F(x) é antiderivada para a função f(x ), então neste intervalo a antiderivada para f(x) também será a função F(x)+C , onde C é uma constante arbitrária.
Segue-se deste teorema que quando f(x) tem uma função primitiva F(x) em um dado intervalo, então essas primitivas são um conjunto. Dando C valores numéricos arbitrários, cada vez obteremos uma função antiderivada.
Para encontrar primitivas, use tabela de primitivas. É obtido a partir da tabela de derivativos.
O conceito de integral indefinida
Definição. O conjunto de todas as primitivas da função f(x) é chamado integral indefinida e é denotado.
Aqui f(x) é chamado integrando, e f(x) dx - integrando.
Portanto, se F(x) é a primitiva de f(x), então 
.
Propriedades da integral indefinida
O conceito de integral definida
Considere uma figura plana limitada por um gráfico contínuo e não negativo no segmento [a; b] função f(x) , segmento [a; b] e linhas retas x=a e x=b.
A figura resultante é chamada trapézio curvilíneo. Vamos calcular sua área.
Para isso, dividimos o segmento [a; b] em n segmentos iguais. Os comprimentos de cada um dos segmentos são iguais a Δx.
Este é um desenho dinâmico do GeoGebra.
Elementos vermelhos podem ser alterados
Arroz. 1. O conceito de uma integral definida
Em cada segmento, construiremos retângulos com alturas f(x k-1) (Fig. 1).
A área de cada retângulo é igual a S k = f(x k-1)Δx k .
A área de todos esses retângulos é 
.
Essa quantidade é chamada soma integral para a função f(x).
Se n→∞, a área da figura construída dessa maneira diferirá cada vez menos da área do trapézio curvilíneo.
Definição. O limite da soma integral quando n→∞ é chamado integral definida, e está escrito assim: 
.
lê: "integral de a a b f de xdx "
O número a é chamado de limite inferior de integração, b é o limite superior de integração, o segmento [a; b] é o intervalo de integração.
Propriedades da Integral Definida
Fórmula de Newton-Leibniz
A integral definida está intimamente relacionada com a primitiva e a integral indefinida Fórmula de Newton-Leibniz
.
Usando a Integral
O cálculo integral é amplamente utilizado na resolução de vários problemas práticos. Vamos considerar alguns deles.
Cálculo de volumes de corpos
|
Seja dada uma função que especifica a área da seção transversal do corpo dependendo de alguma variável S = s(x), x[а; b] . Então o volume de um dado corpo pode ser encontrado integrando esta função dentro dos limites apropriados. |
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| Se nos é dado um corpo que é obtido pela rotação em torno do eixo Ox de um trapézio curvilíneo limitado por alguma função f(x), x [a; b] . (Fig. 3). Em seguida, as áreas da seção transversal podem ser calculadas usando a fórmula bem conhecida S \u003d π f 2 (x). Portanto, a fórmula para o volume de tal corpo de revolução |
|
Para cada ação matemática existe uma ação inversa. Para a ação de diferenciação (encontrar derivadas de funções), há também uma ação inversa - integração. Por meio da integração, uma função é encontrada (restaurada) por sua derivada ou diferencial dada. A função encontrada é chamada primitivo.
Definição. Função diferenciável F(x)é chamada de antiderivada para a função f(x) em um dado intervalo, se para todos X a partir deste intervalo a igualdade é verdadeira: F′(x)=f(x).
Exemplos. Encontre primitivas para funções: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.
1) Como (x²)′=2x, então, por definição, a função F(x)=x² será a primitiva da função f(x)=2x.
2) (sen3x)′=3cos3x. Se denotarmos f(x)=3cos3x e F(x)=sen3x, então, pela definição de antiderivada, temos: F′(x)=f(x), e, portanto, F(x)=sen3x é uma primitiva para f ( x) = 3cos3x.
Observe que e (sin3x +5 )′= 3cos3x, e (sen3x -8,2 )′= 3cos3x, ... na forma geral, podemos escrever: (sin3x +C)′= 3cos3x, Onde A PARTIR DEé algum valor constante. Esses exemplos falam da ambiguidade da ação de integração, em contraste com a ação de diferenciação, quando qualquer função diferenciável tem uma única derivada.
Definição. Se a função F(x)é a primitiva da função f(x) em algum intervalo, então o conjunto de todas as primitivas desta função tem a forma:
F(x)+C onde C é qualquer número real.
O conjunto de todas as primitivas F(x) + C da função f(x) no intervalo considerado é chamado de integral indefinida e é denotado pelo símbolo ∫ (sinal integral). Escreva: ∫f (x) dx=F (x)+C.
Expressão ∫f(x)dx leia-se: "a integral ef de x para de x".
f(x)dxé o integrando,
f(x)é o integrando,
Xé a variável de integração.
F(x)é a primitiva da função f(x),
A PARTIR DEé algum valor constante.
Agora os exemplos considerados podem ser escritos da seguinte forma:
1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sen3x+C.
O que significa o sinal d?
d- sinal diferencial - tem uma dupla finalidade: primeiro, este sinal separa o integrando da variável de integração; em segundo lugar, tudo após este sinal é diferenciado por padrão e multiplicado pelo integrando.
Exemplos. Encontrar integrais: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.
3) Após o ícone diferencial d custos XX, uma R
∫ 2хрdx=px²+С. Compare com o exemplo 1).
Vamos fazer uma verificação. F′(x)=(px²+C)′=p (x²)′+C′=p 2x=2px=f (x).
4) Após o ícone diferencial d custos R. Então a variável de integração R, e o multiplicador X deve ser considerado como um valor constante.
∫ 2хрdр=р²х+С. Compare com exemplos 1) e 3).
Vamos fazer uma verificação. F′(p)=(p²x+C)′=x (p²)′+C′=x 2p=2px=f (p).
Existem três regras básicas para encontrar funções antiderivadas. Eles são muito semelhantes às regras de diferenciação correspondentes.
Se F é uma antiderivada para alguma função f, e G é uma antiderivada para alguma função g, então F + G será uma antiderivada para f + g.
Por definição de antiderivada F' = f. G' = g. E como essas condições são atendidas, então, de acordo com a regra para calcular a derivada da soma das funções, teremos:
(F + G)' = F' + G' = f + g.
Se F é uma primitiva para alguma função f e k é alguma constante. Então k*F é a primitiva da função k*f. Esta regra segue a regra para calcular a derivada de uma função complexa.
Temos: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Se F(x) é alguma antiderivada de f(x), e k e b são algumas constantes, e k é diferente de zero, então (1/k)*F*(k*x+b) será uma antiderivada de f (k*x+b).
Esta regra segue a regra para calcular a derivada de uma função complexa:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Vejamos alguns exemplos de como essas regras se aplicam:
Exemplo 1. Achar Forma geral primitivas para a função f(x) = x^3 +1/x^2. Para a função x^3 uma das primitivas será a função (x^4)/4, e para a função 1/x^2 uma das primitivas será a função -1/x. Usando a primeira regra, temos:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Exemplo 2. Vamos encontrar a forma geral das primitivas para a função f(x) = 5*cos(x). Para a função cos(x), uma das primitivas será a função sen(x). Se usarmos agora a segunda regra, teremos:
F(x) = 5*sen(x).
Exemplo 3 Encontre uma das primitivas para a função y = sin(3*x-2). Para a função sin(x), uma das primitivas será a função -cos(x). Se agora usarmos a terceira regra, obteremos uma expressão para a primitiva:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Exemplo 4. Encontre a primitiva para a função f(x) = 1/(7-3*x)^5
A primitiva para a função 1/x^5 será a função (-1/(4*x^4)). Agora, usando a terceira regra, temos.
Resolver integrais é uma tarefa fácil, mas apenas para a elite. Este artigo é para aqueles que querem aprender a entender integrais, mas sabem pouco ou nada sobre elas. Integral... Por que é necessário? Como calculá-lo? O que são integrais definidas e indefinidas? Se o único uso da integral que você conhece é obter algo útil de lugares de difícil acesso com um gancho na forma de um ícone integral, então seja bem-vindo! Aprenda como resolver integrais e por que você não pode ficar sem ela.
A integração já era conhecida Antigo Egito. Claro que não em forma moderna, mas ainda. Desde então, os matemáticos escreveram muitos livros sobre o assunto. Particularmente distinto newton e Leibniz mas a essência das coisas não mudou. Como entender integrais do zero? De jeito nenhum! Para entender este tópico, você ainda precisará de um conhecimento básico dos fundamentos da análise matemática. São essas informações fundamentais sobre você que você encontrará em nosso blog.
Vamos ter alguma função f(x) .
A integral indefinida da função f(x) tal função é chamada F(x) , cuja derivada é igual à função f(x) .
Em outras palavras, uma integral é uma derivada reversa ou antiderivada. By the way, sobre como ler em nosso artigo.
Existe uma primitiva para todas as funções contínuas. Além disso, um sinal constante é frequentemente adicionado à primitiva, uma vez que as derivadas de funções que diferem por uma constante coincidem. O processo de encontrar uma integral é chamado de integração.
Exemplo simples:
Para não calcular constantemente as primitivas de funções elementares, é conveniente resumi-las em uma tabela e usar valores prontos:
Ao lidar com o conceito de integral, estamos lidando com quantidades infinitesimais. A integral ajudará a calcular a área da figura, a massa de um corpo não homogêneo que passou movimento irregular caminho e muito mais. Deve-se lembrar que a integral é a soma de infinitos um grande número termos infinitesimais.
Como exemplo, imagine um gráfico de alguma função. Como encontrar a área de uma figura limitada por um gráfico de uma função?
Com a ajuda de um integral! Vamos quebrar o trapézio curvilíneo, limitado pelos eixos coordenados e o gráfico da função, em segmentos infinitesimais. Assim, a figura será dividida em colunas finas. A soma das áreas das colunas será a área do trapézio. Mas lembre-se de que esse cálculo fornecerá um resultado aproximado. No entanto, quanto menores e mais estreitos os segmentos, mais preciso será o cálculo. Se os reduzirmos a tal ponto que o comprimento tenda a zero, a soma das áreas dos segmentos tenderá à área da figura. Esta é a integral definida, que é escrita da seguinte forma:
Os pontos a e b são chamados de limites de integração.
Bari Alibasov e o grupo "Integral"
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Como resolver integral indefinida? Aqui vamos considerar as propriedades da integral indefinida, que serão úteis na resolução de exemplos.
Já descobrimos que a integral definida é o limite da soma. Mas como obter um valor específico ao resolver um exemplo? Para isso, existe a fórmula de Newton-Leibniz:
Abaixo, consideramos vários exemplos de encontrar integrais indefinidas. Convidamos você a entender de forma independente os meandros da solução e, se algo não estiver claro, faça perguntas nos comentários.
Para consolidar o material, assista a um vídeo sobre como as integrais são resolvidas na prática. Não se desespere se a integral não for dada imediatamente. Pergunte e eles lhe dirão tudo o que sabem sobre o cálculo de integrais. Com nossa ajuda, qualquer integral tripla ou curvilínea sobre uma superfície fechada estará ao seu alcance.
