O artigo detalha as identidades trigonométricas básicas. Essas igualdades estabelecem uma relação entre sin , cos , t g , c t g dado ângulo. Se uma função é conhecida, outra pode ser encontrada por meio dela.
Identidades trigonométricas para consideração neste artigo. Abaixo mostramos um exemplo de sua derivação com uma explicação.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2α
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Vamos falar sobre uma importante identidade trigonométrica, que é considerada a base dos fundamentos da trigonometria.
sen 2 α + cos 2 α = 1
As igualdades dadas t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α são derivadas da principal dividindo ambas as partes por sin 2 α e cos 2 α. Então obtemos t g α \u003d sin α cos α, c t g α \u003d cos α sin α e t g α · c t g α \u003d 1 - isso é uma consequência das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente.
A igualdade sen 2 α + cos 2 α = 1 é a principal identidade trigonométrica. Para provar isso, é necessário voltar ao tópico com um círculo unitário.
Sejam dadas as coordenadas do ponto A (1, 0), que, após girar o ângulo α, torna-se o ponto A 1 . Por definição, o ponto sen e cos A 1 receberá coordenadas (cos α , sen α) . Como A 1 está dentro do círculo unitário, as coordenadas devem satisfazer a condição x 2 + y 2 = 1 desse círculo. A expressão cos 2 α + sin 2 α = 1 deve ser válida. Para fazer isso, é necessário provar a identidade trigonométrica básica para todos os ângulos de rotação α.
Em trigonometria, a expressão sen 2 α + cos 2 α = 1 é usada como o teorema de Pitágoras em trigonometria. Para fazer isso, considere uma prova detalhada.
Usando o círculo unitário, giramos o ponto A com coordenadas (1, 0) em torno do ponto central O por um ângulo α. Após a rotação, o ponto muda de coordenada e fica igual a A 1 (x, y). Abaixamos a linha perpendicular A 1 H até O x do ponto A 1.
A figura mostra claramente que se formou um triângulo retângulo O A 1 H. Modulo a perna O A 1 H e O H são iguais, o registro terá a seguinte forma: | A 1 H | = | em | , | O N | = | x | . A hipotenusa O A 1 tem valor igual ao raio do círculo unitário, | Sobre A 1 | = 1 . Usando esta expressão, podemos escrever a igualdade de acordo com o teorema de Pitágoras: | A 1 H | 2+ | O N | 2 = | Sobre A 1 | 2. Escrevemos essa igualdade como | y | 2+ | x | 2 = 1 2 , o que significa y 2 + x 2 = 1 .
Usando a definição de sen α = y e cos α = x , substituímos os dados dos ângulos em vez das coordenadas dos pontos e procedemos à desigualdade sen 2 α + cos 2 α = 1 .
A principal conexão entre o seno e o cos de um ângulo é possível por meio dessa identidade trigonométrica. Assim, pode-se considerar o seno de um ângulo com cos conhecido e vice-versa. Para fazer isso, é necessário resolver sen 2 α + cos 2 \u003d 1 em relação a sen e cos, então obtemos expressões da forma sen α \u003d ± 1 - cos 2 α e cos α \u003d ± 1 - sen 2 α, respectivamente. O valor do ângulo α determina o sinal antes da raiz da expressão. Para um esclarecimento detalhado, você deve ler a seção sobre cálculo de seno, cosseno, tangente e cotangente usando fórmulas trigonométricas.
Na maioria das vezes, a fórmula principal é usada para transformações ou simplificações de expressões trigonométricas. É possível substituir a soma dos quadrados de seno e cosseno por 1 . A substituição de identidade pode ser direta e ordem reversa: a unidade é substituída pela expressão da soma dos quadrados do seno e cosseno.
Pela definição de cosseno e seno, tangente e cotangente, percebe-se que eles estão interligados, o que permite converter separadamente as quantidades necessárias.
t g α = sen α cos α c t g α = cos α sen α
Pela definição, o seno é a ordenada de y e o cosseno é a abcissa de x. Tangente é a razão entre ordenadas e abscissas. Assim temos:
t g α = y x = sin α cos α , e a expressão cotangente tem o significado oposto, ou seja
c t g α = x y = cos α sen α .
Daí resulta que as identidades obtidas t g α = sin α cos α e c t g α = cos α sin α são dadas usando os ângulos sen e cos. A tangente é considerada a razão do seno para o cosseno do ângulo entre eles, e a cotangente é vice-versa.
Observe que t g α = sen α cos α e c t g α = cos α sen α são verdadeiros para qualquer ângulo α cujos valores estejam no intervalo. Da fórmula t g α \u003d sin α cos α, o valor do ângulo α é diferente de π 2 + π · z, e c t g α \u003d cos α sen α assume o valor do ângulo α, diferente de π · z , z assume o valor de qualquer número inteiro.
Existe uma fórmula que mostra a relação entre os ângulos através da tangente e da cotangente. Essa identidade trigonométrica é importante em trigonometria e é denotada como t g α · c t g α = 1 . Faz sentido para α com qualquer valor diferente de π 2 · z , caso contrário as funções serão indefinidas.
A fórmula t g α · c t g α = 1 tem suas peculiaridades na prova. Da definição temos que t g α = y x e c t g α = xy , daí obtemos t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Transformando a expressão e substituindo t g α = sin α cos α e c t g α = cos α sin α , obtemos t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .
Então a expressão de tangente e cotangente faz sentido quando terminamos com números mutuamente recíprocos.
Tendo transformado as identidades básicas, chegamos à conclusão de que a tangente é conectada pelo cosseno e a cotangente pelo seno. Isso pode ser visto nas fórmulas t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α.
A definição soa assim: a soma do quadrado da tangente do ângulo e 1 é igual a uma fração, onde no numerador temos 1, e no denominador o quadrado do cosseno do ângulo dado, e a soma do quadrado da cotangente do ângulo é vice-versa. Graças à identidade trigonométrica sin 2 α + cos 2 α = 1, você pode dividir os lados correspondentes por cos 2 α e obter t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , onde o valor de cos 2 α não deve ser zero. Ao dividir por sen 2 α, obtemos a identidade 1 + c t g 2 α \u003d 1 sen 2 α, onde o valor de sen 2 α não deve ser igual a zero.
Das expressões acima, obtivemos que a identidade t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α é verdadeira para todos os valores do ângulo α que não pertencem a π 2 + π z, e 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α para valores de α que não pertencem ao intervalo π · z .
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No início deste artigo, discutimos o conceito funções trigonométricas. O objetivo principal de seu propósito é estudar os fundamentos da trigonometria e o estudo de processos periódicos. E não desenhamos o círculo trigonométrico em vão, porque na maioria dos casos as funções trigonométricas são definidas como a razão entre os lados de um triângulo ou seus certos segmentos em um círculo unitário. Também mencionei a inegável grande importância da trigonometria na vida moderna. Mas a ciência não pára, como resultado, podemos expandir significativamente o escopo da trigonometria e transferir suas disposições para números reais e, às vezes, para números complexos.
Fórmulas trigonométricas existem vários tipos. Vamos considerá-los em ordem.
Aqui chegamos à consideração de um conceito como identidades trigonométricas básicas.
Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que consiste em relações trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores dos ângulos que estão incluídos nela.
Considere as identidades trigonométricas mais importantes e suas provas:
A primeira identidade decorre da própria definição de tangente.
Considere um triângulo retângulo com um ângulo agudo x no vértice A.
Para provar as identidades, é necessário usar o teorema de Pitágoras:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Agora dividimos por (AB) 2 ambas as partes da igualdade e lembrando das definições de sen e cos do ângulo, obtemos a segunda identidade:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sen x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
sen 2 x + cos 2 x = 1
Para provar a terceira e a quarta identidades, usamos a prova anterior.
Para fazer isso, dividimos ambas as partes da segunda identidade por cos 2 x:
sen 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sen 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Com base na primeira identidade tg x \u003d sin x / cos x, obtemos a terceira:
1 + tg2x = 1/cos2x
Agora dividimos a segunda identidade por sen 2 x:
sen 2 x/ sen 2 x + cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x
1+ cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x
cos 2 x/ sen 2 x nada mais é do que 1/tg 2 x, então obtemos a quarta identidade:
1 + 1/tg2x = 1/sen2x
É hora de lembrar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, que diz que a soma dos ângulos de um triângulo \u003d 180 0. Acontece que no vértice B do triângulo existe um ângulo cujo valor é 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.
Lembre-se das definições de sin e cos novamente e obteremos a quinta e a sexta identidades:
sen x = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = sen x
Agora vamos fazer o seguinte:
cos x = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = cos x
Como você pode ver, tudo é elementar aqui.
Existem outras identidades que são usadas na resolução de identidades matemáticas, vou dá-las simplesmente na forma informações básicas, porque todos eles derivam do acima.
(a escolha do sinal na frente da raiz é determinada por qual dos quartos do círculo o canto está localizado?)
Observo que todos eles seguem as fórmulas anteriores.
sen 2x \u003d 2sin x * cos x
cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1
tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x
cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)
Identidades trigonométricas básicas.
secα leia-se: "secante alfa". Este é o recíproco do cosseno alfa.
cosecα leia-se: "alfa cossecante". Este é o recíproco do seno de alfa.
Exemplos. Simplifique a expressão:
a) 1 - sen 2α; b) cos2α – 1; dentro)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin2αcosα - cosα; e) sin2α+1+cos2α;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; e) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 α cos 2 α – ctg 2 α; e) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
a) 1 - sen 2 α \u003d cos 2 α de acordo com a fórmula 1) ;
b) cos 2 α - 1 \u003d - (1 - cos 2 α) \u003d -sin 2 α também aplicou a fórmula 1) ;
dentro)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sen 2 α. Primeiro, aplicamos a fórmula para a diferença dos quadrados de duas expressões: (a - b) (a + b) \u003d a 2 - b 2 e, em seguida, a fórmula 1) ;
G) sen 2 αcosα - cosα. Vamos tirar o fator comum dos colchetes.
sen 2 αcosα - cosα \u003d cosα (sin 2 α - 1) \u003d -cosα (1 - sen 2 α) \u003d -cosα ∙ cos 2 α \u003d -cos 3 α. Claro, você já notou que desde 1 - sen 2 α \u003d cos 2 α, então sen 2 α - 1 \u003d -cos 2 α. Da mesma forma, se 1 - cos 2 α \u003d sin 2 α, então cos 2 α - 1 \u003d -sin 2 α.
d) sen 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Temos: o quadrado da expressão sen 2 α mais o duplo produto do sen 2 α por cos 2 α e mais o quadrado da segunda expressão cos 2 α. Vamos aplicar a fórmula do quadrado da soma de duas expressões: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Em seguida, aplique a fórmula 1) . Obtemos: sen 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
e) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α \u003d tg 2 α (1 - sin 2 α) \u003d tg 2 α ∙ cos 2 α \u003d sen 2 α. Aplicamos a fórmula 1) , e então a fórmula 2) .
Lembrar: tgα ∙ porqueα = pecadoα.
Da mesma forma, usando a fórmula 3) acessível: ctgα ∙ pecadoα = porqueα. Lembrar!
h) ctg 2 αcos 2 α - ctg 2 α \u003d ctg 2 α (cos 2 α - 1) \u003d ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
e) cos 2 α + tg 2 α cos 2 α = cos 2 α (1 + tg 2 α) = 1. Primeiro tiramos o fator comum dos colchetes e o conteúdo dos colchetes foi simplificado pela fórmula 7).
Converter expressão:
Aplicamos a fórmula 7) e obteve o produto da soma de duas expressões pelo quadrado incompleto da diferença dessas expressões - a fórmula da soma dos cubos de duas expressões.
Identidades trigonométricas são igualdades que estabelecem uma relação entre o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo, o que permite encontrar qualquer uma dessas funções, desde que qualquer outra seja conhecida.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Essa identidade diz que a soma do quadrado do seno de um ângulo e o quadrado do cosseno de um ângulo é igual a um, o que na prática permite calcular o seno de um ângulo quando seu cosseno é conhecido e vice-versa .
Ao converter expressões trigonométricas, essa identidade é muito usada, o que permite substituir a soma dos quadrados do cosseno e seno de um ângulo por um e também realizar a operação de substituição na ordem inversa.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Essas identidades são formadas a partir das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Afinal, se você olhar, então, por definição, a ordenada de y é o seno e a abcissa de x é o cosseno. Então a tangente será igual à razão \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), e a razão \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- será uma cotangente.
Acrescentamos que apenas para tais ângulos \alpha para os quais as funções trigonométricas incluídas neles fazem sentido, as identidades ocorrerão, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Por exemplo: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)é válido para ângulos \alpha diferentes de \frac(\pi)(2)+\pi z, uma ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para um ângulo \alpha diferente de \pi z , z é um número inteiro.
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Esta identidade é válida apenas para ângulos \alpha diferentes de \frac(\pi)(2) z. Caso contrário, a cotangente ou a tangente não serão determinadas.
Com base nos pontos acima, obtemos que tg \alpha = \frac(y)(x), uma ctg\alpha=\frac(x)(y). Daí segue que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Assim, a tangente e a cotangente de um ângulo em que fazem sentido são números mutuamente recíprocos.
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- a soma do quadrado da tangente do ângulo \alpha e 1 é igual ao inverso do quadrado do cosseno desse ângulo. Esta identidade é válida para todos os \alpha exceto \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- a soma de 1 e o quadrado da cotangente do ângulo \alpha , é igual ao inverso do quadrado do seno do ângulo dado. Essa identidade é válida para qualquer \alpha diferente de \pi z .
Encontre \sin \alpha e tg \alpha se \cos \alpha=-\frac12 e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Mostrar solução
Solução
As funções \sin \alpha e \cos \alpha são ligadas pela fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substituindo nesta fórmula \cos \alpha = -\frac12, Nós temos:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Esta equação tem 2 soluções:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre, o seno é positivo, então \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Para encontrar tg \alpha , usamos a fórmula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Encontre \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Mostrar solução
Solução
Substituindo na fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 número condicional \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), Nós temos \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Esta equação tem duas soluções \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre, o cosseno é negativo, então \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Para encontrar ctg \alpha , usamos a fórmula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conhecemos os valores correspondentes.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
As razões entre as principais funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são dadas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre as funções trigonométricas, isso também explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam as funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - as funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem diminuir o grau, a quarta - expressar todas as funções através da tangente de um meio ângulo, etc.
Neste artigo, listamos em ordem todas as fórmulas trigonométricas básicas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e o uso, vamos agrupá-los de acordo com sua finalidade e inseri-los em tabelas.
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Identidades trigonométricas básicas definir a relação entre o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem que você expresse uma função trigonométrica por meio de qualquer outra.
Para obter uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.
Fórmulas de elenco decorrem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria e também a propriedade de deslocamento por um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.
A justificativa para essas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.
Fórmulas de adição trigonométrica mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos das funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem como base para a derivação das seguintes fórmulas trigonométricas.
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (eles também são chamados de fórmulas de múltiplos ângulos) mostram como as funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.
Mais informação detalhada coletados nas fórmulas do artigo para duplo, triplo, etc. ângulo .
Fórmulas de Meio Ângulo mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas seguem as fórmulas de ângulo duplo.
Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.
Fórmulas trigonométricas para graus decrescentes são projetados para facilitar a transição de potências naturais de funções trigonométricas para senos e cossenos no primeiro grau, mas ângulos múltiplos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas ao primeiro.
destino principal fórmulas de soma e diferença para funções trigonométricas consiste na transição para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são amplamente utilizadas na resolução de equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.
A transição do produto das funções trigonométricas para a soma ou diferença é realizada através das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.
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