Expansão do pecado na série Maclaurin. Expansão de funções em séries de potências

Como inserir fórmulas matemáticas em um site?

Se você precisar adicionar uma ou duas fórmulas matemáticas a uma página da web, a maneira mais fácil de fazer isso é conforme descrito no artigo: as fórmulas matemáticas são facilmente inseridas no site na forma de imagens geradas automaticamente pelo Wolfram Alpha . Além da simplicidade, este método universal ajudará a melhorar a visibilidade do site em motores de busca. Já funciona há muito tempo (e, creio, funcionará para sempre), mas já está moralmente desatualizado.

Se você usa fórmulas matemáticas regularmente em seu site, recomendo que você use MathJax - uma biblioteca JavaScript especial que exibe notação matemática em navegadores da web usando marcação MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Existem duas maneiras de começar a usar o MathJax: (1) usando um código simples, você pode conectar rapidamente um script MathJax ao seu site, que será carregado automaticamente de um servidor remoto no momento certo (lista de servidores); (2) baixe o script MathJax de um servidor remoto para o seu servidor e conecte-o a todas as páginas do seu site. O segundo método - mais complexo e demorado - irá acelerar o carregamento das páginas do seu site e, se o servidor MathJax pai ficar temporariamente indisponível por algum motivo, isso não afetará o seu próprio site de forma alguma. Apesar dessas vantagens, optei pelo primeiro método por ser mais simples, rápido e não exigir conhecimentos técnicos. Siga meu exemplo e em apenas 5 minutos você poderá utilizar todos os recursos do MathJax em seu site.

Você pode conectar o script da biblioteca MathJax de um servidor remoto usando duas opções de código retiradas do site principal do MathJax ou na página de documentação:

Uma dessas opções de código precisa ser copiada e colada no código da sua página web, de preferência entre tags e ou imediatamente após a tag. De acordo com a primeira opção, o MathJax carrega mais rápido e desacelera menos a página. Mas a segunda opção monitora e carrega automaticamente as versões mais recentes do MathJax. Se você inserir o primeiro código, ele precisará ser atualizado periodicamente. Se você inserir o segundo código, as páginas carregarão mais lentamente, mas você não precisará monitorar constantemente as atualizações do MathJax.

A maneira mais fácil de conectar o MathJax é no Blogger ou WordPress: no painel de controle do site, adicione um widget projetado para inserir código JavaScript de terceiros, copie nele a primeira ou segunda versão do código de download apresentado acima e coloque o widget mais próximo ao início do modelo (aliás, isso não é necessário, pois o script MathJax é carregado de forma assíncrona). Isso é tudo. Agora aprenda a sintaxe de marcação de MathML, LaTeX e ASCIIMathML e você estará pronto para inserir fórmulas matemáticas nas páginas do seu site.

Qualquer fractal é construído de acordo com uma determinada regra, que é aplicada sequencialmente um número ilimitado de vezes. Cada um desses momentos é chamado de iteração.

O algoritmo iterativo para construir uma esponja de Menger é bastante simples: o cubo original com lado 1 é dividido por planos paralelos às suas faces em 27 cubos iguais. Um cubo central e 6 cubos adjacentes a ele ao longo das faces são removidos dele. O resultado é um conjunto composto pelos 20 cubos menores restantes. Fazendo o mesmo com cada um desses cubos, obtemos um conjunto composto por 400 cubos menores. Continuando esse processo indefinidamente, obtemos uma esponja Menger.

16.1. Expansão de funções elementares em séries de Taylor e Maclaurin

Vamos mostrar que se uma função arbitrária for definida em um conjunto
, nas proximidades do ponto
tem muitas derivadas e é a soma de uma série de potências:

então você pode encontrar os coeficientes desta série.

Vamos substituir em uma série de potências
. Então
.

Vamos encontrar a primeira derivada da função
:

No
:
.

Para a segunda derivada obtemos:

No
:
.

Continuando este procedimento n assim que obtivermos:
.

Assim, obtivemos uma série de potências da forma:

que é chamado ao lado de Taylor para função
nas proximidades do ponto
.

Um caso especial da série de Taylor é Série Maclaurin no
:

O restante da série de Taylor (Maclaurin) é obtido descartando a série principal n primeiros membros e é denotado como
. Então a função
pode ser escrito como uma soma n primeiros membros da série
e o restante
:,

O restante geralmente é
expresso em diferentes fórmulas.

Um deles está na forma de Lagrange:

, Onde
.
.

Observe que na prática a série Maclaurin é usada com mais frequência. Assim, para escrever a função
na forma de uma soma de séries de potências é necessário:

1) encontre os coeficientes da série Maclaurin (Taylor);

2) encontrar a região de convergência da série de potências resultante;

3) prove que esta série converge para a função
.

Teorema 1 (condição necessária e suficiente para a convergência da série de Maclaurin). Seja o raio de convergência da série
. Para que esta série convirja no intervalo
funcionar
,é necessário e suficiente que a condição seja satisfeita:
no intervalo especificado.

Teorema 2. Se derivadas de qualquer ordem de uma função
em algum intervalo
limitado em valor absoluto ao mesmo número M, aquilo é
, então neste intervalo a função
pode ser expandido em uma série Maclaurin.

Exemplo 1. Expanda em uma série de Taylor em torno do ponto
função.

Solução.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Região de convergência
.

Exemplo 2. Expandir uma função em uma série de Taylor em torno de um ponto
.

Solução:

Encontre o valor da função e suas derivadas em
.

,
;

...........……………………………

,
.

Vamos colocar esses valores em sequência. Nós temos:

ou
.

Vamos encontrar a região de convergência desta série. De acordo com o teste de d'Alembert, uma série converge se

Portanto, para qualquer este limite é menor que 1 e, portanto, o intervalo de convergência da série será:
.

Consideremos vários exemplos da expansão em série de Maclaurin de funções elementares básicas. Lembre-se que a série Maclaurin:

converge no intervalo
funcionar
.

Observe que para expandir uma função em uma série é necessário:

a) encontre os coeficientes da série Maclaurin para esta função;

b) calcular o raio de convergência da série resultante;

c) provar que a série resultante converge para a função
.

Exemplo 3. Considere a função
.

Solução.

Vamos calcular o valor da função e suas derivadas em
.

Então os coeficientes numéricos da série têm a forma:

para qualquer um n. Vamos substituir os coeficientes encontrados na série de Maclaurin e obter:

Vamos encontrar o raio de convergência da série resultante, a saber:

Portanto, a série converge no intervalo
.

Esta série converge para a função para quaisquer valores , porque em qualquer intervalo
função e suas derivadas de valor absoluto são limitadas em número .

Exemplo 4. Considere a função
.

Solução.

É fácil ver que derivadas de ordem par
, e as derivadas são de ordem ímpar. Vamos substituir os coeficientes encontrados na série de Maclaurin e obter a expansão:

Vamos encontrar o intervalo de convergência esta série. De acordo com o sinal de d'Alembert:

para qualquer um . Portanto, a série converge no intervalo
.

Esta série converge para a função
, porque todas as suas derivadas estão limitadas à unidade.

Exemplo 5.
.

Solução.

Vamos encontrar o valor da função e suas derivadas em
:

Assim, os coeficientes desta série:
E
, por isso:

Semelhante à linha anterior, a área de convergência
. A série converge para a função
, porque todas as suas derivadas estão limitadas à unidade.

Observe que a função
expansão ímpar e em série em potências ímpares, função
– par e expansão em uma série em potências pares.

Exemplo 6. Série binomial:
.

Solução.

Vamos encontrar o valor da função e suas derivadas em
:

A partir disso pode-se ver que:

Vamos substituir esses valores de coeficientes na série de Maclaurin e obter a expansão desta função em uma série de potências:

Vamos encontrar o raio de convergência desta série:

Portanto, a série converge no intervalo
. Nos pontos limites em
E
uma série pode ou não convergir dependendo do expoente
.

A série estudada converge no intervalo
funcionar
, ou seja, a soma da série
no
.

Exemplo 7. Vamos expandir a função na série Maclaurin
.

Solução.

Para expandir esta função em uma série, usamos a série binomial em
. Nós temos:

Com base na propriedade das séries de potências (uma série de potências pode ser integrada na região de sua convergência), encontramos a integral da esquerda e partes certas desta série:

Vamos encontrar a área de convergência desta série:
,

isto é, a área de convergência desta série é o intervalo
. Vamos determinar a convergência das séries nas extremidades do intervalo. No

. Esta série é uma série harmoniosa, ou seja, divergente. No
obtemos uma série numérica com um termo comum
.

A série converge de acordo com o teste de Leibniz. Assim, a região de convergência desta série é o intervalo
.

16.2. Aplicação de séries de potências em cálculos aproximados

Em cálculos aproximados, as séries de potências desempenham um papel extremamente importante. Com a ajuda deles, foram compiladas tabelas de funções trigonométricas, tabelas de logaritmos, tabelas de valores de outras funções, que são utilizadas em diversas áreas do conhecimento, por exemplo, na teoria das probabilidades e na estatística matemática. Além disso, a expansão de funções em séries de potências é útil para seu estudo teórico. A principal questão ao usar séries de potências em cálculos aproximados é a questão de estimar o erro ao substituir a soma de uma série pela soma de seus primeiros n membros.

Vamos considerar dois casos:

a função é expandida em uma série alternada;

a função é expandida em uma série de sinais constantes.

Cálculo usando séries alternadas

Deixe a função
expandido em uma série de potências alternadas. Então, ao calcular esta função para um valor específico obtemos uma série numérica à qual podemos aplicar o critério de Leibniz. De acordo com este critério, se a soma de uma série for substituída pela soma dos seus primeiros n termos, então o erro absoluto não excede o primeiro termo do restante desta série, ou seja:
.

Exemplo 8. Calcular
com uma precisão de 0,0001.

Solução.

Usaremos a série Maclaurin para
, substituindo o valor do ângulo em radianos:

Se compararmos o primeiro e o segundo termos da série com uma determinada precisão, então: .

Terceiro termo de expansão:

menos do que a precisão de cálculo especificada. Portanto, para calcular
basta deixar dois termos da série, ou seja

Por isso
.

Exemplo 9. Calcular
com precisão de 0,001.

Solução.

Usaremos a fórmula da série binomial. Para fazer isso, vamos escrever
como:
.

Nesta expressão
,

Vamos comparar cada um dos termos da série com a precisão especificada. Está claro que
. Portanto, para calcular
basta deixar três termos da série.

ou
.

Cálculo usando séries positivas

Exemplo 10. Calcular número com precisão de 0,001.

Solução.

Em uma linha para uma função
vamos substituir
. Nós temos:

Vamos estimar o erro que surge ao substituir a soma de uma série pela soma da primeira membros. Vamos anotar a desigualdade óbvia:

isso é 2 infinidade. Se existir, a função f(x) nele deve coincidir com a soma da série de Maclaurin.

Consideremos agora a série Maclaurin para funções individuais.

1. Então, o primeiro será f(x) = e x. É claro que, pelas suas características, tal função possui derivadas de ordens muito diferentes, e f (k) (x) = e x , onde k é igual a todos. Obtemos f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Com base no exposto, a série e x ficará assim:

2. Série de Maclaurin para a função f(x) = sin x. Esclareçamos imediatamente que a função para todas as incógnitas terá derivadas, além disso, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), onde k é igual a qualquer número natural. Ou seja, tendo feito cálculos simples, podemos chegar à conclusão de que a série para f(x) = sin x terá a seguinte forma: