Instrução
Se você precisa calcular de acordo com o teorema de Pitágoras, use o seguinte algoritmo: - Determine no triângulo quais lados são os catetos e quais são a hipotenusa. Os dois lados que formam um ângulo de noventa graus são os catetos, o terço restante é a hipotenusa. (cm) - Eleve à segunda potência cada cateto deste triângulo, ou seja, multiplique por você mesmo. Exemplo 1. Seja necessário calcular a hipotenusa se um cateto de um triângulo mede 12 cm e o outro mede 5 cm. Primeiramente, os quadrados dos catetos são: 12 * 12 = 144 cm e 5 * 5 = 25 cm. - Em seguida, determine a soma dos catetos dos quadrados. Um certo número é hipotenusa, você precisa se livrar da segunda potência do número para encontrar comprimento deste lado do triângulo. Para fazer isso, extraia da raiz quadrada o valor da soma dos quadrados das pernas. Exemplo 1. 144+25=169. A raiz quadrada de 169 será 13. Portanto, o comprimento deste hipotenusa igual a 13 cm.
Outra forma de calcular o comprimento hipotenusa encontra-se na terminologia do seno e ângulos em um triângulo. Por definição: o seno do ângulo alfa do cateto oposto à hipotenusa. Ou seja, olhando para a figura, sin um \u003d CB / AB. Portanto, a hipotenusa AB \u003d CB / sin a. Exemplo 2. Seja o ângulo de 30 graus e a perna oposta - 4 cm. Você precisa encontrar a hipotenusa. Solução: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Resposta: comprimento hipotenusa igual a 8cm.
Uma maneira semelhante de encontrar hipotenusa da definição do cosseno de um ângulo. O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente a ele e hipotenusa. Ou seja, cos a \u003d AC / AB, portanto AB \u003d AC / cos a. Exemplo 3. No triângulo ABC, AB é a hipotenusa, o ângulo BAC é de 60 graus, o cateto AC é de 2 cm. Encontre AB.
Solução: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm. Resposta: a hipotenusa tem 4 cm de comprimento.
Ao encontrar o valor do seno ou cosseno de um ângulo, use a tabela de senos e cossenos ou a tabela de Bradis.
A hipotenusa é chamada de o maior dos lados de um triângulo retângulo, por isso não é de surpreender que esta palavra seja traduzida do grego como “esticada”. Este lado sempre fica oposto ao ângulo de 90°, e os lados que formam este ângulo são chamados de pernas. Conhecendo os comprimentos desses lados e a magnitude dos ângulos agudos em várias combinações desses valores, pode-se também calcular o comprimento da hipotenusa.
Instrução
Se os comprimentos de ambos os triângulos (A e B) são conhecidos, então use os comprimentos da hipotenusa (C), talvez o postulado matemático mais conhecido - o teorema de Pitágoras. Ele diz que o quadrado do comprimento da hipotenusa é a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos, do que se segue que você deve calcular a raiz da soma dos comprimentos quadrados dos dois lados: C \u003d √ (A² + B²). Por exemplo, se o comprimento de uma perna for 15 e - 10 centímetros, o comprimento da hipotenusa será de aproximadamente 18,0277564 centímetros, pois √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √ 325 ≈ 18,0277564 .
Se o comprimento de apenas um dos catetos (A) de um triângulo retângulo for conhecido, bem como o valor do ângulo oposto a ele (α), então o comprimento da hipotenusa (C) pode ser calculado usando uma das medidas trigonométricas. funções - o seno. Para fazer isso, divida o comprimento do lado conhecido pelo seno do ângulo conhecido: C=A/sen(α). Por exemplo, se o comprimento de uma das pernas for de 15 centímetros e o ângulo no vértice oposto do triângulo for de 30 °, o comprimento da hipotenusa será de 30 centímetros, pois 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.
Se em um triângulo retângulo o valor de um dos ângulos agudos (α) e o comprimento da perna adjacente a ele (B) são conhecidos, então outro pode ser usado para calcular o comprimento da hipotenusa (C). função trigonométrica- cosseno. Você deve dividir o comprimento da perna conhecida pelo cosseno do ângulo conhecido: С=В/ cos(α). Por exemplo, se o comprimento dessa perna for de 15 centímetros e o valor do ângulo agudo adjacente a ela for de 30 °, o comprimento da hipotenusa será de aproximadamente 17,3205081 centímetros, pois 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0,5 * √3)=30/√3≈17,3205081.
Comprimento é a distância entre dois pontos em um segmento de linha. Pode ser uma linha reta, quebrada ou fechada. Você pode calcular o comprimento de maneira bastante simples, se conhecer alguns outros indicadores do segmento.
Instrução
Se você precisa encontrar o comprimento do lado de um quadrado, isso não será se você souber sua área S. Devido ao fato de que todos os lados do quadrado têm
O potencial de criatividade geralmente é atribuído às humanidades, deixando a análise científica natural, a abordagem prática e a linguagem seca de fórmulas e números. A matemática não pode ser classificada como uma disciplina de humanidades. Mas sem criatividade na "rainha de todas as ciências", você não irá longe - as pessoas sabem disso há muito tempo. Desde o tempo de Pitágoras, por exemplo.
Os livros didáticos, infelizmente, geralmente não explicam que em matemática é importante não apenas empinar teoremas, axiomas e fórmulas. É importante compreender e sentir seus princípios fundamentais. E, ao mesmo tempo, tente libertar sua mente de clichês e verdades elementares - somente nessas condições nascem todas as grandes descobertas.
Tais descobertas incluem aquela que hoje conhecemos como o teorema de Pitágoras. Com sua ajuda, tentaremos mostrar que a matemática não apenas pode, mas deve ser divertida. E que esta aventura é adequada não apenas para nerds de óculos grossos, mas para todos que são fortes de mente e fortes de espírito.
Estritamente falando, embora o teorema seja chamado de "teorema de Pitágoras", o próprio Pitágoras não o descobriu. O triângulo retângulo e suas propriedades especiais foram estudados muito antes dele. Há dois pontos de vista polares sobre esta questão. De acordo com uma versão, Pitágoras foi o primeiro a encontrar uma prova completa do teorema. Segundo outro, a prova não é de autoria de Pitágoras.
Hoje você não pode mais verificar quem está certo e quem está errado. Sabe-se apenas que a prova de Pitágoras, se alguma vez existiu, não sobreviveu. No entanto, há sugestões de que a famosa prova dos Elementos de Euclides possa pertencer a Pitágoras, e Euclides apenas a registrou.
Também se sabe hoje que problemas sobre um triângulo retângulo são encontrados em fontes egípcias da época do faraó Amenemhet I, em tabuletas de argila babilônicas do reinado do rei Hamurabi, no antigo tratado indiano Sulva Sutra e na antiga obra chinesa Zhou -bi suan jin.
Como você pode ver, o teorema de Pitágoras ocupa a mente dos matemáticos desde os tempos antigos. Aproximadamente 367 várias evidências que existem hoje servem como confirmação. Nenhum outro teorema pode competir com ele a esse respeito. Autores de evidências notáveis incluem Leonardo da Vinci e o 20º Presidente dos Estados Unidos, James Garfield. Tudo isso fala da extrema importância desse teorema para a matemática: a maioria dos teoremas da geometria são derivados dele ou, de uma forma ou de outra, relacionados a ele.
Os livros escolares fornecem principalmente provas algébricas. Mas a essência do teorema está na geometria, então vamos primeiro considerar as provas do famoso teorema que se baseiam nessa ciência.
Para a demonstração mais simples do teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, você precisa definir condições ideais: deixe o triângulo não apenas ser retângulo, mas também isósceles. Há razões para acreditar que foi esse triângulo que foi originalmente considerado pelos matemáticos antigos.
Declaração "um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre seus catetos" pode ser ilustrado com o seguinte desenho:
Olhe para o triângulo retângulo isósceles ABC: Na hipotenusa AC, você pode construir um quadrado composto por quatro triângulos iguais ao ABC original. E sobre os catetos AB e BC construídos sobre um quadrado, cada um contendo dois triângulos semelhantes.
Aliás, esse desenho serviu de base para inúmeras anedotas e caricaturas dedicadas ao teorema de Pitágoras. Talvez o mais famoso seja "As calças pitagóricas são iguais em todas as direções":
Este método combina álgebra e geometria e pode ser visto como uma variante da antiga prova indiana do matemático Bhaskari.
Construir um triângulo retângulo com lados a, b e c(Figura 1). Em seguida, construa dois quadrados com lados iguais à soma dos comprimentos das duas pernas - (a+b). Em cada um dos quadrados, faça construções, como nas figuras 2 e 3.
No primeiro quadrado, construa quatro dos mesmos triângulos da Figura 1. Como resultado, dois quadrados são obtidos: um com lado a, o segundo com lado b.
No segundo quadrado, quatro triângulos semelhantes construídos formam um quadrado com um lado igual à hipotenusa c.
A soma das áreas dos quadrados construídos na Fig. 2 é igual à área do quadrado que construímos com o lado c na Fig. 3. Isso pode ser facilmente verificado calculando as áreas dos quadrados na Fig. 2 de acordo com a fórmula. E a área do quadrado inscrito na Figura 3. subtraindo as áreas de quatro triângulos retângulos iguais inscritos no quadrado da área de um quadrado grande com um lado (a+b).
Colocando tudo isso para baixo, temos: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Expanda os colchetes, faça todos os cálculos algébricos necessários e obtenha isso a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ao mesmo tempo, a área do inscrito na Fig.3. quadrado também pode ser calculado usando a fórmula tradicional S=c2. Aqueles. a2+b2=c2 Você provou o teorema de Pitágoras.
A mesma antiga prova indiana é descrita no século XII no tratado “A Coroa do Conhecimento” (“Siddhanta Shiromani”), e como argumento principal o autor usa um apelo dirigido aos talentos matemáticos e poderes de observação dos alunos e seguidores: “Olha!”.
Mas vamos analisar essa prova com mais detalhes:
Dentro do quadrado, construa quatro triângulos retângulos conforme indicado no desenho. O lado do quadrado grande, que também é a hipotenusa, é denotado Com. Vamos chamar as pernas do triângulo uma e b. De acordo com o desenho, o lado do quadrado interno é (a-b).
Use a fórmula da área quadrada S=c2 para calcular a área do quadrado externo. E, ao mesmo tempo, calcule o mesmo valor adicionando a área do quadrado interno e a área de quatro triângulos retângulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Você pode usar as duas opções para calcular a área de um quadrado para garantir que elas dêem o mesmo resultado. E isso lhe dá o direito de escrever isso c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado da solução, você obterá a fórmula do teorema de Pitágoras c2=a2+b2. O teorema foi provado.
Esta curiosa evidência chinesa antiga foi chamada de "Cadeira da Noiva" - por causa da figura semelhante a uma cadeira que resulta de todas as construções:
Ele usa o desenho que já vimos na Figura 3 na segunda prova. E o quadrado interno com lado c é construído da mesma maneira que na antiga demonstração indiana dada acima.
Se você cortar mentalmente dois triângulos retângulos verdes do desenho da Fig. 1, mova-os para lados opostos anexando um quadrado de lado c e hipotenusas às hipotenusas dos triângulos lilás, você obtém uma figura chamada “cadeira da noiva” (Fig. 2). Para maior clareza, você pode fazer o mesmo com quadrados e triângulos de papel. Você verá que a "cadeira da noiva" é formada por dois quadrados: pequenos com um lado b e grande com um lado uma.
Essas construções permitiram que os antigos matemáticos chineses e nós que os seguimos chegássemos à conclusão de que c2=a2+b2.
Esta é outra maneira de encontrar uma solução para o teorema de Pitágoras com base na geometria. Chama-se Método Garfield.
Construir um triângulo retângulo abc. Precisamos provar que BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Para fazer isso, continue a perna CA e construir um segmento CD, que é igual à perna AB. Perpendicular Inferior DE ANÚNCIOS segmento de linha ED. Segmentos ED e CA são iguais. ligue os pontos E e NO, assim como E e A PARTIR DE e obter um desenho como a imagem abaixo:
Para provar a torre, recorremos novamente ao método que já testamos: encontramos a área da figura resultante de duas maneiras e igualamos as expressões entre si.
Encontrar a área de um polígono ABED pode ser feito somando as áreas dos três triângulos que o formam. E um deles URE, não é apenas retangular, mas também isósceles. Também não vamos esquecer que AB=CD, AC=ED e BC=CE- isso nos permitirá simplificar a gravação e não sobrecarregá-la. Então, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Ao mesmo tempo, é óbvio que ABEDé um trapézio. Portanto, calculamos sua área usando a fórmula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para nossos cálculos, é mais conveniente e claro representar o segmento DE ANÚNCIOS como a soma dos segmentos CA e CD.
Vamos escrever as duas formas de calcular a área de uma figura colocando um sinal de igual entre elas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos a igualdade de segmentos já conhecidos por nós e descritos acima para simplificar lado direito registros: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E agora abrimos os colchetes e transformamos a igualdade: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Tendo terminado todas as transformações, obtemos exatamente o que precisamos: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Provamos o teorema.
Claro, esta lista de evidências está longe de ser completa. O teorema de Pitágoras também pode ser provado usando vetores, números complexos, equações diferenciais, estereometria, etc. E até físicos: se, por exemplo, o líquido for derramado em volumes quadrados e triangulares semelhantes aos mostrados nos desenhos. Derramando líquido, é possível provar a igualdade de áreas e o próprio teorema como resultado.
Esse tema é pouco ou pouco estudado no currículo escolar. Entretanto, é muito interessante e tem grande importância na geometria. As triplas pitagóricas são usadas para resolver muitos problemas matemáticos. A ideia deles pode ser útil para você na educação superior.
Então, o que são trigêmeos pitagóricos? Isso é o que eles chamam inteiros, coletados em três, a soma dos quadrados de dois dos quais é igual ao terceiro número no quadrado.
Os triplos pitagóricos podem ser:
Mesmo antes de nossa era, os antigos egípcios eram fascinados pela mania do número de trigêmeos pitagóricos: nas tarefas, eles consideravam um triângulo retângulo com lados de 3,4 e 5 unidades. A propósito, qualquer triângulo cujos lados são iguais aos números da tríplice pitagórica é, por padrão, retangular.
Exemplos de triplos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.
O teorema de Pitágoras encontra aplicação não apenas na matemática, mas também na arquitetura e construção, astronomia e até literatura.
Primeiro, sobre construção: o teorema de Pitágoras encontra ampla aplicação em problemas Niveis diferentes dificuldades. Por exemplo, olhe para a janela românica:
Vamos denotar a largura da janela como b, então o raio do grande semicírculo pode ser denotado como R e expressar através b: R=b/2. O raio de semicírculos menores também pode ser expresso em termos de b: r=b/4. Neste problema, estamos interessados no raio do círculo interno da janela (vamos chamá-lo de p).
O teorema de Pitágoras é útil para calcular R. Para fazer isso, usamos um triângulo retângulo, indicado por uma linha pontilhada na figura. A hipotenusa de um triângulo consiste em dois raios: b/4+p. Uma perna é um raio b/4, outro b/2-p. Usando o teorema de Pitágoras, escrevemos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Em seguida, abrimos os colchetes e obtemos b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Vamos transformar essa expressão em pb/2=b 2 /4-pb. E então dividimos todos os termos em b, damos semelhantes para obter 3/2*p=b/4. E no final descobrimos que p=b/6- que é o que precisávamos.
Usando o teorema, você pode calcular o comprimento das vigas de um telhado de duas águas. Determine a altura da torre comunicações móveis necessário para que o sinal atinja um determinado localidade. E até mesmo instalar de forma estável árvore de Natal na praça da cidade. Como você pode ver, este teorema não vive apenas nas páginas dos livros didáticos, mas muitas vezes é útil em Vida real.
No que diz respeito à literatura, o teorema de Pitágoras inspirou escritores desde a antiguidade e continua a fazê-lo hoje. Por exemplo, o escritor alemão do século XIX Adelbert von Chamisso inspirou-se nela para escrever um soneto:
A luz da verdade não se dissipará tão cedo,
Mas, tendo brilhado, é improvável que se dissipe
E, como há milhares de anos,
Não causará dúvidas e disputas.
O mais sábio quando toca o olho
Luz da verdade, graças aos deuses;
E cem touros, esfaqueados, mentem -
O presente de retorno do sortudo Pitágoras.
Desde então, os touros têm rugido desesperadamente:
Para sempre despertou a tribo do touro
evento aqui mencionado.
Eles acham que está na hora
E novamente eles serão sacrificados
Algum grande teorema.
(traduzido por Victor Toporov)
E no século XX, o escritor soviético Yevgeny Veltistov em seu livro "As Aventuras da Eletrônica" dedicou um capítulo inteiro às provas do teorema de Pitágoras. E meio capítulo da história sobre o mundo bidimensional que poderia existir se o teorema de Pitágoras se tornasse a lei fundamental e até mesmo a religião de um único mundo. Seria muito mais fácil viver nele, mas também muito mais chato: por exemplo, ninguém lá entende o significado das palavras “redondo” e “fofo”.
E no livro “As Aventuras da Eletrônica”, o autor, pela boca da professora de matemática Taratara, diz: “O principal na matemática é o movimento do pensamento, as novas ideias”. É esse vôo criativo do pensamento que gera o teorema de Pitágoras - não é à toa que ele tem tantas provas diversas. Ajuda a ir além do habitual e olhar para as coisas familiares de uma nova maneira.
Este artigo foi criado para que você possa olhar além currículo escolar em matemática e aprender não apenas as provas do teorema de Pitágoras que são dadas nos livros "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7-11" (A.V. Pogorelov), mas e outras maneiras curiosas de provar o famoso teorema. E veja também exemplos de como o teorema de Pitágoras pode ser aplicado na vida cotidiana.
Em primeiro lugar, essas informações permitirão que você obtenha pontuações mais altas nas aulas de matemática - informações sobre o assunto de fontes adicionais são sempre muito apreciadas.
Em segundo lugar, queríamos ajudá-lo a ter uma ideia de como a matemática ciência interessante. Certifique-se de exemplos concretos que sempre há espaço para a criatividade. Esperamos que o teorema de Pitágoras e este artigo o inspirem a fazer suas próprias pesquisas e descobertas emocionantes em matemática e outras ciências.
Conte-nos nos comentários se você achou as evidências apresentadas no artigo interessantes. Você achou essas informações úteis em seus estudos? Deixe-nos saber o que você pensa sobre o teorema de Pitágoras e este artigo - ficaremos felizes em discutir tudo isso com você.
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A geometria não é uma ciência fácil. Pode ser útil tanto para o currículo escolar quanto na vida real. O conhecimento de muitas fórmulas e teoremas simplificará os cálculos geométricos. Uma das formas mais simples da geometria é o triângulo. Uma das variedades de triângulos, equilátero, tem características próprias.
Por definição, um triângulo é um poliedro que tem três ângulos e três lados. Esta é uma figura bidimensional plana, suas propriedades são estudadas em ensino médio. De acordo com o tipo de ângulo, distinguem-se os triângulos de ângulo agudo, de ângulo obtuso e de ângulo reto. Um triângulo retângulo é uma figura geométrica em que um dos ângulos mede 90º. Tal triângulo tem dois catetos (eles criam um ângulo reto) e uma hipotenusa (é oposta ângulo certo). Dependendo de quais quantidades são conhecidas, existem três maneiras simples Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo.
O teorema de Pitágoras é a maneira mais antiga de calcular qualquer um dos lados de um triângulo retângulo. Soa assim: “Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Assim, para calcular a hipotenusa, deve-se derivar Raiz quadrada da soma de dois catetos de um quadrado. Para maior clareza, fórmulas e um diagrama são fornecidos.
Uma das propriedades de um triângulo retângulo diz que a razão entre o comprimento do cateto e o comprimento da hipotenusa é equivalente ao cosseno do ângulo entre esse cateto e a hipotenusa. Vamos chamar o ângulo conhecido por nós de α. Agora, graças à definição bem conhecida, podemos formular facilmente uma fórmula para calcular a hipotenusa: Hipotenusa = leg/cos(α)
Se o ângulo oposto for conhecido, é possível usar novamente as propriedades de um triângulo retângulo. A razão entre o comprimento do cateto e a hipotenusa é equivalente ao seno do ângulo oposto. Vamos chamar o ângulo conhecido de α novamente. Agora, para os cálculos, aplicamos uma fórmula um pouco diferente:
Hipotenusa = perna/pecado (α)
Para uma compreensão mais profunda de cada uma das fórmulas, você deve considerar exemplos ilustrativos. Então, suponha que um triângulo retângulo seja dado, onde existem tais dados:
De acordo com o teorema de Pitágoras: Hipotenusa \u003d raiz quadrada de (36 + 64) \u003d 10 cm.
Pelo tamanho da perna e o ângulo incluído: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Pelo tamanho da perna e o ângulo oposto: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Tendo entendido a fórmula, você pode calcular facilmente a hipotenusa com qualquer dado.
Vídeo: Teorema de Pitágoras
Várias maneiras de provar o teorema de Pitágoras
aluno do 9º ano "A"
MOU escola secundária №8
Conselheiro científico:
professor de matemática,
MOU escola secundária №8
Arte. Novo Natal
Território de Krasnodar.
Arte. Novo Natal
ANOTAÇÃO.
O teorema de Pitágoras é legitimamente considerado o mais importante no curso da geometria e merece muita atenção. É a base para a resolução de muitos problemas geométricos, a base para o estudo dos fundamentos teóricos e curso prático geometria no futuro. O teorema é cercado pelo mais rico material histórico relacionado à sua aparência e métodos de prova. O estudo da história do desenvolvimento da geometria instila o amor por este assunto, contribui para o desenvolvimento do interesse cognitivo, cultura geral e criatividade, e também desenvolve habilidades de pesquisa.
Como resultado da atividade de busca, o objetivo do trabalho foi alcançado, que é repor e generalizar o conhecimento sobre a prova do teorema de Pitágoras. Gerenciado para encontrar e revisar várias maneiras evidenciar e aprofundar o conhecimento sobre o tema, indo além das páginas de um livro didático escolar.
O material coletado convence ainda mais que o teorema de Pitágoras é o grande teorema da geometria, possui um enorme acervo teórico e valor prático.
Introdução. Referência do histórico 5 Corpo principal 8
3. Conclusão 19
4. Literatura usada 20
1. INTRODUÇÃO. REFERÊNCIA HISTÓRICA.
A essência da verdade é que é para nós para sempre,
Quando pelo menos uma vez em seu insight vemos a luz,
E o teorema de Pitágoras depois de tantos anos
Para nós, como para ele, é indiscutível, impecável.
Para comemorar, os deuses receberam um voto de Pitágoras:
Por tocar a sabedoria infinita,
Ele abateu cem touros, graças aos eternos;
Ele ofereceu orações e louvores à vítima depois.
Desde então, os touros, quando cheiram, empurram,
O que leva as pessoas à nova verdade novamente,
Eles rugem furiosamente, então não há urina para ouvir,
Tal Pitágoras instilou terror neles para sempre.
Touros, impotentes para resistir à nova verdade,
O que resta? - Basta fechar os olhos, rugir, tremer.
Não se sabe como Pitágoras provou seu teorema. O certo é que ele a descobriu sob forte influência da ciência egípcia. caso especial o teorema de Pitágoras - as propriedades de um triângulo com lados 3, 4 e 5 - era conhecido pelos construtores das pirâmides muito antes do nascimento de Pitágoras, enquanto ele próprio estudou com sacerdotes egípcios por mais de 20 anos. Há uma lenda que diz que, tendo provado seu famoso teorema, Pitágoras sacrificou um touro aos deuses e, segundo outras fontes, até 100 touros. Isso, no entanto, contradiz as informações sobre as visões morais e religiosas de Pitágoras. Em fontes literárias, pode-se ler que ele "proibiu até matar animais, e mais ainda alimentá-los, porque os animais têm alma, como nós". Pitágoras comia apenas mel, pão, legumes e ocasionalmente peixe. Em conexão com tudo isso, a seguinte entrada pode ser considerada mais plausível: "... e mesmo quando descobriu que em um triângulo retângulo a hipotenusa corresponde às pernas, ele sacrificou um touro feito de massa de trigo".
A popularidade do teorema de Pitágoras é tão grande que suas provas são encontradas até na ficção, por exemplo, na história do famoso escritor inglês Huxley "Jovem Arquimedes". A mesma prova, mas para o caso particular de um triângulo retângulo isósceles, é dada no diálogo Mênon de Platão.
Casa de conto de fadas.
“Longe, muito longe, onde nem os aviões voam, é o país da Geometria. Neste país incomum havia uma cidade incrível - a cidade de Teorem. Um dia eu vim para esta cidade garota linda denominado hipotenusa. Ela tentou conseguir um quarto, mas onde quer que ela se inscreveu, ela foi recusada em todos os lugares. Por fim, ela se aproximou da casa frágil e bateu. Ela foi aberta por um homem que se autodenominava Ângulo Reto, e convidou a Hipotenusa para morar com ele. A hipotenusa permaneceu na casa onde moravam Ângulo Direito e seus dois filhos pequenos, chamados Katet. Desde então, a vida na Casa do Ângulo Direito mudou de uma nova maneira. A hipotenusa plantou flores na janela e espalhou rosas vermelhas no jardim da frente. A casa tomou a forma de um triângulo retângulo. Ambas as pernas gostaram muito da hipotenusa e pediram que ela ficasse para sempre em sua casa. À noite, esta família amigável se reúne à mesa da família. Às vezes, Right Angle brinca de esconde-esconde com seus filhos. Na maioria das vezes, ele precisa procurar, e a hipotenusa se esconde com tanta habilidade que pode ser muito difícil encontrá-la. Certa vez, durante um jogo, Right Angle notou uma propriedade interessante: se ele conseguir encontrar as pernas, encontrar a hipotenusa não é difícil. Então Right Angle usa esse padrão, devo dizer, com muito sucesso. O teorema de Pitágoras é baseado na propriedade deste triângulo retângulo.
(Do livro de A. Okunev “Obrigado pela lição, crianças”).
Uma formulação lúdica do teorema:
Se nos for dado um triângulo
E, além disso, com um ângulo reto,
Esse é o quadrado da hipotenusa
Podemos sempre encontrar facilmente:
Construímos as pernas em um quadrado,
Encontramos a soma dos graus -
E de uma forma tão simples
Chegaremos ao resultado.
Estudando álgebra e os primórdios da análise e geometria no 10º ano, estava convencido de que além do método de provar o teorema de Pitágoras considerado no 8º ano, existem outras maneiras de prová-lo. Eu os apresento para sua consideração.
2. PARTE PRINCIPAL.
Teorema. Quadrado em um triângulo retângulo
A hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
1 VIA.
Usando as propriedades das áreas dos polígonos, estabelecemos uma relação notável entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo.
Prova.
um, em e hipotenusa Com(Fig. 1, a).
Vamos provar isso c²=a²+b².
Prova.
Completamos o triângulo para um quadrado com um lado a + b como mostrado na fig. 1b. A área S deste quadrado é (a + b)². Por outro lado, este quadrado é composto por quatro triângulos retângulos iguais, cuja área é ½ av, e um quadrado de lado Com, então S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².
Nesse caminho,
(a + b)² = 2 av + s²,
c²=a²+b².
O teorema foi provado.
2 MANEIRAS.
Depois de estudar o tópico “Triângulos Semelhantes”, descobri que você pode aplicar a semelhança de triângulos à prova do teorema de Pitágoras. Ou seja, usei a afirmação de que o cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional à hipotenusa e ao segmento da hipotenusa entre o cateto e a altura traçada a partir do vértice do ângulo reto.
Considere um triângulo retângulo com um ângulo reto C, CD é a altura (Fig. 2). Vamos provar isso CA² + SO² = AB²
.
Prova.
Com base na afirmação sobre o cateto de um triângulo retângulo:
AC = , CB = .
Elevamos ao quadrado e somamos as igualdades resultantes:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), onde AD + DB = AB, então
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
A prova está completa.
3 VIAS.
A definição do cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pode ser aplicada à prova do teorema de Pitágoras. Considere a Fig. 3.
Prova:
Seja ABC um triângulo retângulo dado com um ângulo reto C. Desenhe uma altura CD a partir do vértice do ângulo reto C.
Pela definição do cosseno de um ângulo:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Portanto AB * AD = AC²
Da mesma maneira,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.
Daí AB * BD \u003d BC².
Somando as igualdades resultantes termo a termo e notando que AD + D² = AB, obtemos:
CA² + sol² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²
A prova está completa.
4 VIAS.
Tendo estudado o tópico "Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo", acho que o teorema de Pitágoras pode ser provado de outra maneira.
Considere um triângulo retângulo com pernas um, em e hipotenusa Com. (Fig. 4).
Vamos provar isso c²=a²+b².
Prova.
pecado B= a/c ; porque B= Como , então, elevando ao quadrado as igualdades resultantes, temos:
pecado² B= in²/s²; cos² NO\u003d a² / s².
Somando-os, obtemos:
pecado² NO+ cos² B= v²/s² + a²/s², onde sin² NO+ cos² B=1,
1 \u003d (v² + a²) / s², portanto,
c² = a² + b².
A prova está completa.
5 CAMINHOS.
Esta prova baseia-se em cortar os quadrados construídos sobre os catetos (Fig. 5) e empilhar as partes resultantes no quadrado construído sobre a hipotenusa.
6 CAMINHOS.
Para prova no cateter Sol prédio BC abc(Fig. 6). Sabemos que as áreas de figuras semelhantes estão relacionadas como os quadrados de suas dimensões lineares semelhantes:
Subtraindo a segunda da primeira igualdade, obtemos
c2 = a2 + b2.
A prova está completa.
7 CAMINHOS.
Dado(Fig. 7):
ABDÔMEN,= 90° , Sol= a, AC=b, AB = c.
Provar:c2 = a2 +b2.
Prova.
Deixe a perna b uma. Vamos continuar o segmento SO por ponto NO e construir um triângulo bmd para que os pontos M e MAS deitar de um lado de uma linha reta CD e além, B.D.=b, BDM= 90°, Mestre= a, então bmd= abc em dois lados e o ângulo entre eles. Pontos A e M conectar por segmentos SOU. Nós temos MD CD e CA CD, significa em linha reta CA paralela a uma reta MD. Porque MD< АС, então direto CD e SOU não são paralelos. Portanto, AMDC- trapézio retangular.
Nos triângulos retângulos ABC e bmd 1 + 2 = 90° e 3 + 4 = 90°, mas como = =, então 3 + 2 = 90°; então AVM=180° - 90° = 90°. Acontece que o trapézio AMDC dividido em três triângulos retângulos não sobrepostos, então pelos axiomas da área
(a+b)(a+b)
Dividindo todos os termos da desigualdade por , obtemos
umab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
A prova está completa.
8 CAMINHOS.
Este método é baseado na hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo ABC. Ele constrói os quadrados correspondentes e prova que o quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados construídos sobre os catetos (Fig. 8).
Prova.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ abc= FBA+ abc, significa, FBC= DBA.
Nesse caminho, FBC=ABD(em dois lados e o ângulo entre eles).
2) 
,
onde AL DE, uma vez que BD é uma base comum, DL- altura Geral.
3) 
, como FB é uma base, AB- altura total.
4) 
5) Da mesma forma, pode-se provar que 
6) Somando termo a termo, obtemos:
, BC2
= AB2 + AC2
.
A prova está completa.
9 CAMINHOS.
Prova.
1) Deixe ABDE- um quadrado (Fig. 9), cujo lado é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC (AB= c, BC = a, AC =b).
2) Deixe NS BC e DK = sol, uma vez que 1 + 2 = 90° (como os ângulos agudos de um triângulo retângulo), 3 + 2 = 90° (como o ângulo de um quadrado), AB= BD(lados do quadrado).
Significa, abc= BDK(por hipotenusa e ângulo agudo).
3) Deixe EL DC, AM EL. Pode-se provar facilmente que ABC = BDK = DEL = EAM (com pernas uma e b). Então KS= CM= ML= LK= uma -b.
4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Com2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
A prova está completa.
10 CAMINHOS.
A prova pode ser feita em uma figura, chamada jocosamente de "calças pitagóricas" (Fig. 10). Sua ideia é transformar os quadrados construídos sobre os catetos em triângulos iguais, que juntos formam o quadrado da hipotenusa.
abc shift, conforme indicado pela seta, e assume a posição KDN. O resto da figura AKDCB igual a area de um quadrado AKDC-é um paralelogramo AKNB.
Fez um modelo de paralelogramo AKNB. Deslocamos o paralelogramo conforme esboçado no conteúdo do trabalho. Para mostrar a transformação de um paralelogramo em um triângulo igual, na frente dos alunos, cortamos um triângulo no modelo e o deslocamos para baixo. Então a área do quadrado AKDCé igual à área do retângulo. Da mesma forma, convertemos a área de um quadrado para a área de um retângulo.
Vamos fazer uma transformação para um quadrado construído em uma perna uma(Fig. 11, a):
a) o quadrado é transformado em um paralelogramo de igual tamanho (Fig. 11.6):
b) o paralelogramo gira um quarto de volta (Fig. 12):
c) o paralelogramo é transformado em um retângulo de tamanho igual (Fig. 13): 11 CAMINHOS.
Prova:
PCL- reto (Fig. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO+LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Prova sobre .
12 VIAS.
Arroz. 15 ilustra outra prova original do teorema de Pitágoras.
Aqui: triângulo ABC com ângulo reto C; segmento de linha namorado perpendicular SO e igual a ele, o segmento SER perpendicular AB e igual a ele, o segmento DE ANÚNCIOS perpendicular CA e igual a ele; pontos F, C,D pertencem a uma linha reta; quadriláteros ADFB e ACBE são iguais porque ABF = BCE; triângulos ADF e ÁS são iguais; subtraímos de ambos os quadriláteros iguais um triângulo comum para eles abc, Nós temos
, c2 = a2 +
b2.
A prova está completa.
13 CAMINHOS.
A área deste triângulo retângulo, por um lado, é igual a ,
com outro, ,
3. CONCLUSÃO
Como resultado da atividade de busca, o objetivo do trabalho foi alcançado, que é repor e generalizar o conhecimento sobre a prova do teorema de Pitágoras. Foi possível encontrar e considerar diversas formas de comprová-lo e aprofundar o conhecimento sobre o tema indo além das páginas de um livro didático escolar.
O material que coletei é ainda mais convincente de que o teorema de Pitágoras é o grande teorema da geometria e é de grande importância teórica e prática. Para concluir, gostaria de dizer: a razão da popularidade do teorema de Pitágoras do trino é beleza, simplicidade e significado!
4. LITERATURA UTILIZADA.
1. Álgebra divertida. . Moscou "Nauka", 1978.
2. Suplemento pedagógico e metodológico semanal do jornal "Primeiro de Setembro", 24/2001.
3. Geometria 7-9. e etc
4. Geometria 7-9. e etc
Uma demonstração animada do teorema de Pitágoras é uma das fundamental teoremas da geometria euclidiana, estabelecendo a relação entre os lados de um triângulo retângulo. Acredita-se que foi provado pelo matemático grego Pitágoras, de quem recebeu o nome (há outras versões, em particular, uma opinião alternativa de que este teorema está em visão geral foi formulado pelo matemático pitagórico Hippasus).
O teorema diz:
Em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
Indicando o comprimento da hipotenusa do triângulo c, e os comprimentos das pernas como uma e b, obtemos a seguinte fórmula:
Assim, o teorema de Pitágoras estabelece uma relação que permite determinar o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os comprimentos dos outros dois. O teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema dos cossenos, que determina a relação entre os lados de um triângulo arbitrário.
A afirmação inversa também é provada (também chamada de teorema de Pitágoras inverso):
Para quaisquer três números positivos a, b e c tais que a ? +b? = c ?, existe um triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c.
Evidência visual para o triângulo (3, 4, 5) de Chu Pei 500-200 aC. A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: conhecimento sobre os números pitagóricos, conhecimento sobre a razão dos lados de um triângulo retângulo, conhecimento sobre a razão dos ângulos adjacentes e a demonstração do teorema.
Estruturas megalíticas por volta de 2500 aC no Egito e Norte da Europa, contém triângulos retângulos com lados inteiros. Barthel Leendert van der Waerden conjecturou que naqueles dias os números pitagóricos foram encontrados algebricamente.
Escrito entre 2000 e 1876 aC papiro do Reino Médio do Egito Berlim 6619 contém um problema cuja solução são os números pitagóricos.
Durante o reinado de Hamurabi, o Grande, uma tabuleta vibilônica Plimpton 322, escrito entre 1790 e 1750 aC contém muitas entradas intimamente relacionadas com os números pitagóricos.
Nos sutras Budhayana, que são datados de acordo com diferentes versões para o oitavo ou segundo séculos aC. na Índia, contém números pitagóricos derivados algebricamente, uma formulação do teorema de Pitágoras e uma prova geométrica para um triângulo retângulo isósceles.
Os Sutras de Apastamba (cerca de 600 aC) contêm uma prova numérica do teorema de Pitágoras usando cálculos de área. Van der Waerden acredita que foi baseado nas tradições de seus antecessores. De acordo com Albert Burko, esta é a prova original do teorema e ele sugere que Pitágoras visitou Arakoni e o copiou.
Pitágoras, cujos anos de vida são geralmente indicados 569 - 475 aC. usa métodos algébricos cálculo de números pitagóricos, de acordo com os comentários de Proklov sobre Euclides. Proclus, no entanto, viveu entre 410 e 485 dC. Segundo Thomas Giese, não há indicação de autoria do teorema para cinco séculos após Pitágoras. No entanto, quando autores como Plutarco ou Cícero atribuem o teorema a Pitágoras, o fazem como se a autoria fosse amplamente conhecida e certa.
Por volta de 400 aC De acordo com Proclo, Platão deu um método para calcular os números pitagóricos, combinando álgebra e geometria. Por volta de 300 a.C., em Começos Euclides, temos a prova axiomática mais antiga que sobreviveu até hoje.
Escrito em algum momento entre 500 a.C. e 200 aC, o livro matemático chinês "Chu Pei" (? ? ? ?), dá uma prova visual do teorema de Pitágoras, que na China é chamado de teorema gugu (????), para um triângulo com lados (3 , 4, 5). Durante o reinado da Dinastia Han, a partir de 202 aC. antes de 220 d.C. Os números pitagóricos aparecem no livro "Nove Seções da Arte Matemática", juntamente com uma menção de triângulos retângulos.
O uso do teorema é documentado pela primeira vez na China, onde é conhecido como teorema gugu (????) e na Índia, onde é conhecido como teorema de Baskar.
Muitos estão debatendo se o teorema de Pitágoras foi descoberto uma vez ou repetidamente. Boyer (1991) acredita que o conhecimento encontrado no Shulba Sutra pode ser de origem mesopotâmica.
Prova algébrica 
Os quadrados são formados a partir de quatro triângulos retângulos. Mais de cem provas do teorema de Pitágoras são conhecidas. Aqui a evidência é baseada no teorema de existência para a área de uma figura:
Coloque quatro triângulos retângulos idênticos conforme mostrado na figura.
Quadrilátero com lados cé um quadrado, pois a soma de dois ângulos agudos é , e o ângulo reto é .
A área da figura inteira é igual, por um lado, à área de um quadrado com lado "a + b", e por outro, à soma das áreas de quatro triângulos e do quadrado interno .
Que é o que precisa ser comprovado.
Pela semelhança de triângulos 
Uso de triângulos semelhantes. Deixar abcé um triângulo retângulo em que o ângulo C reta, como mostra a imagem. Vamos desenhar uma altura de um ponto c, e ligue H ponto de intersecção com um lado AB. Triângulo formado ACH como um triângulo abc, uma vez que ambos são retangulares (por definição de altura) e compartilham um ângulo UMA, obviamente o terceiro ângulo será o mesmo nesses triângulos também. Da mesma forma mirkuyuyuchy, triângulo CBH também semelhante ao triângulo ABC. Da semelhança de triângulos: Se
Isso pode ser escrito como
Se somarmos essas duas igualdades, obtemos
HB + c vezes AH = c vezes (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Em outras palavras, o teorema de Pitágoras:
A prova de Euclides 
Prova de Euclides nos "Princípios" euclidianos, o teorema de Pitágoras provado pelo método dos paralelogramos. Deixar A, B, C vértices de um triângulo retângulo, com um ângulo reto UMA. Soltar uma perpendicular de um ponto UMA para o lado oposto à hipotenusa em um quadrado construído sobre a hipotenusa. A linha divide o quadrado em dois retângulos, cada um com a mesma área dos quadrados construídos sobre as pernas. Ideia principal a prova é que os quadrados superiores se transformam em paralelogramos de mesma área, e depois voltam e se transformam em retângulos no quadrado inferior e novamente com a mesma área.
Vamos desenhar segmentos FC e DE ANÚNCIOS, obtemos triângulos BCF e BDA.
cantos TÁXI e SACOLA- direto; pontos C, A e G são colineares. Da mesma forma BA e H.
cantos CDB e FBA- ambos são retos, então o ângulo ABD igual ao ângulo fbc, pois ambos são a soma de um ângulo reto e um ângulo ABC.
Triângulo ABD e FBC nível em dois lados e o ângulo entre eles.
Porque os pontos A, K e eu– colinear, a área do retângulo BDLK é igual a duas áreas do triângulo ABD (BDLK) = SACO = AB2)
Da mesma forma, obtemos CKLE = ACIH = CA 2
De um lado a área CBDE igual à soma das áreas dos retângulos BDLK e CKLE, por outro lado, a área do quadrado BC2, ou AB 2 + CA 2 = BC 2.
Usando diferenciais 
O uso de diferenciais. Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras estudando como o incremento de um lado afeta o comprimento da hipotenusa como mostrado na figura à direita e aplicando um pouco de cálculo.
Como resultado do crescimento do lado uma, de triângulos semelhantes para incrementos infinitesimais
Integrando temos
Se um uma= 0 então c = b, então a "constante" é 2. Então
Como pode ser visto, os quadrados são devidos à proporção entre incrementos e lados, enquanto a soma é o resultado da contribuição independente dos incrementos dos lados, não evidente pela evidência geométrica. Nestas equações da e CC são, respectivamente, incrementos infinitesimais dos lados uma e c. Mas em vez deles nós usamos? uma e? c, então o limite da razão se eles tendem a zero é da / CC, derivada, e também é igual a c / uma, a razão entre os comprimentos dos lados dos triângulos, como resultado temos equação diferencial.
No caso de um sistema ortogonal de vetores, ocorre uma igualdade, que também é chamada de teorema de Pitágoras:
Se - Estas são as projeções de um vetor nos eixos coordenados, então esta fórmula coincide com a distância euclidiana e significa que o comprimento do vetor é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes.
O análogo dessa igualdade no caso de um sistema infinito de vetores é chamado de igualdade de Parseval.
