Expressões logarítmicas, resolução de exemplos. Neste artigo veremos problemas relacionados à resolução de logaritmos. As tarefas colocam a questão de encontrar o significado de uma expressão. Ressalta-se que o conceito de logaritmo é utilizado em muitas tarefas e a compreensão do seu significado é de extrema importância. Já no Exame Estadual Unificado, o logaritmo é utilizado na resolução de equações, em problemas aplicados e também em tarefas relacionadas ao estudo de funções.
Vamos dar exemplos para entender o próprio significado do logaritmo:
Identidade logarítmica básica:
Propriedades dos logaritmos que devem ser sempre lembradas:
*Logaritmo do produto igual à soma logaritmos de fatores.
* * *
*O logaritmo de um quociente (fração) é igual à diferença entre os logaritmos dos fatores.
* * *
*O logaritmo de um expoente é igual ao produto do expoente pelo logaritmo de sua base.
* * *
*Transição para uma nova fundação
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Mais propriedades:
* * *
O cálculo dos logaritmos está intimamente relacionado ao uso das propriedades dos expoentes.
Vamos listar alguns deles:
A essência desta propriedade reside no fato de que ao transferir o numerador para o denominador e vice-versa, o sinal do expoente muda para o oposto. Por exemplo:
Um corolário desta propriedade:
* * *
Ao elevar uma potência a outra potência, a base permanece a mesma, mas os expoentes são multiplicados.
* * *
Como você viu, o próprio conceito de logaritmo é simples. O principal é o que é necessário boa prática, o que dá uma certa habilidade. Claro, é necessário conhecimento de fórmulas. Se a habilidade em converter logaritmos elementares não foi desenvolvida, então, ao resolver tarefas simples, você pode facilmente cometer um erro.
Pratique, resolva primeiro os exemplos mais simples do curso de matemática e depois passe para os mais complexos. No futuro, com certeza mostrarei como se resolvem logaritmos “assustadores”, eles não aparecerão no Exame de Estado Unificado, mas são interessantes, não perca!
Isso é tudo! Boa sorte para você!
Atenciosamente, Alexander Krutitskikh
P.S: Ficaria muito grato se você me falasse sobre o site nas redes sociais.
Atenção!
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Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)
O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas questões confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Principalmente equações com logaritmos.
Isto não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredite em mim? Multar. Agora, em apenas 10 a 20 minutos você:
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Primeiro, resolva esta equação mentalmente:
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Neste tutorial em vídeo, veremos como resolver uma equação logarítmica bastante séria, na qual você não só precisa encontrar as raízes, mas também selecionar aquelas que estão em um determinado segmento.
Problema C1. Resolva a equação. Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao intervalo.
Porém, de ano para ano, vêm até mim alunos que estão tentando resolver tal, francamente, equações difíceis, mas ao mesmo tempo não conseguem entender: por onde deveriam começar e como abordar os logaritmos? Este problema pode surgir mesmo entre alunos fortes e bem preparados.
Com isso, muitos passam a temer esse assunto, ou até mesmo se consideram estúpidos. Então, lembre-se: se você não consegue resolver tal equação, isso não significa que você seja estúpido. Porque, por exemplo, você pode lidar com essa equação quase verbalmente:
log 2 x = 4
E se não fosse assim, você não estaria lendo este texto agora, pois estava ocupado com tarefas mais simples e mundanas. É claro que alguém irá agora objetar: “O que esta equação mais simples tem a ver com a nossa estrutura saudável?” Eu respondo: qualquer equação logarítmica, por mais complexa que seja, em última análise, se resume a essas estruturas mais simples que podem ser resolvidas oralmente.
É claro que é necessário passar de equações logarítmicas complexas para equações mais simples, não por meio de seleção ou dança com pandeiro, mas de acordo com regras claras e bem definidas, que são chamadas - regras para conversão de expressões logarítmicas. Conhecendo-os, você pode lidar facilmente até mesmo com as equações mais sofisticadas do Exame Estadual Unificado em matemática.
E são sobre essas regras que falaremos na lição de hoje. Ir!
Então, resolvemos a equação:
Em primeiro lugar, quando se trata de equações logarítmicas, lembramos das táticas básicas - por assim dizer, a regra básica para resolver equações logarítmicas. Consiste no seguinte:
O teorema da forma canônica. Qualquer equação logarítmica, não importa o que inclua, não importa quais logaritmos, não importa qual base e não importa o que contenha, deve necessariamente ser reduzida a uma equação da forma:
log a f (x) = log a g (x)
Se olharmos para a nossa equação, notamos imediatamente dois problemas:
Então, compilamos esta lista de problemas que separam nossa equação daquela equação canônica , à qual qualquer equação logarítmica deve ser reduzida durante o processo de solução. Assim, resolver a nossa equação nesta fase resume-se a eliminar os dois problemas descritos acima.
Qualquer equação logarítmica pode ser resolvida rápida e facilmente se você reduzi-la à sua forma canônica.
Vamos prosseguir em ordem. Primeiro, vamos dar uma olhada na estrutura à esquerda. O que podemos dizer sobre a soma de dois logaritmos? Vamos lembrar a fórmula maravilhosa:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
Mas vale a pena considerar que no nosso caso o primeiro termo não é um logaritmo. Isso significa que precisamos representar a unidade como um logaritmo na base 2 (precisamente 2, porque o logaritmo na base 2 está à esquerda). Como fazer isso? Lembremos novamente a fórmula maravilhosa:
a = log b b a
Aqui você precisa entender: quando dizemos “Qualquer base b”, queremos dizer que b ainda não pode ser um número arbitrário. Se inserirmos um número num logaritmo, certos restrições, a saber: a base do logaritmo deve ser maior que 0 e não deve ser igual a 1. Caso contrário, o logaritmo simplesmente não faz sentido. Vamos anotar isso:
0 < b ≠ 1
Vamos ver o que acontece no nosso caso:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Agora vamos reescrever toda a nossa equação levando esse fato em consideração. E aplicamos imediatamente outra regra: a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Como resultado obtemos:
Temos uma nova equação. Como vemos, já está muito mais próximo da equação canônica que almejamos. Mas há um problema, anotamos como segundo ponto: nossos logaritmos, que estão à esquerda e à direita, razões diferentes. Vamos para a próxima etapa.
Portanto, o logaritmo à esquerda tem uma base de apenas 2, e o logaritmo à direita tem uma raiz na base. Mas isto não é um problema se lembrarmos que as bases dos argumentos do logaritmo podem ser elevadas a potências. Vamos anotar uma dessas regras:
log a b n = n log a b
Traduzido para a linguagem humana: você pode tirar a potência da base do logaritmo e colocá-la na frente como um multiplicador. O número n "migrou" do logaritmo para fora e tornou-se um coeficiente na frente.
Podemos facilmente derivar a potência da base do logaritmo. Isso parecerá assim:
Em outras palavras, se você remover o grau do argumento do logaritmo, este grau também será escrito como um fator antes do logaritmo, mas não como um número, mas como o número recíproco 1/k.
No entanto, isso não é tudo! Podemos combinar essas duas fórmulas e chegar à seguinte fórmula:
Quando uma potência aparece tanto na base como no argumento de um logaritmo, podemos poupar tempo e simplificar os cálculos retirando imediatamente as potências da base e do argumento. Nesse caso, o que estava no argumento (no nosso caso, é o coeficiente n) aparecerá no numerador. E qual era o grau na base, a k, irá para o denominador.
E são estas fórmulas que utilizaremos agora para reduzir os nossos logaritmos à mesma base.
Em primeiro lugar, vamos escolher uma base mais ou menos bonita. Obviamente é muito mais agradável trabalhar com dois na base do que com raiz. Então, vamos tentar reduzir o segundo logaritmo à base 2. Vamos escrever este logaritmo separadamente:
O que podemos fazer aqui? Vamos relembrar a fórmula da potência com um expoente racional. Por outras palavras, podemos escrever as raízes como uma potência com um expoente racional. E então retiramos a potência de 1/2 do argumento e da base do logaritmo. Reduzimos os dois nos coeficientes do numerador e denominador voltados para o logaritmo:
Por fim, vamos reescrever a equação original levando em consideração os novos coeficientes:
log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)
Obtivemos a equação logarítmica canônica. Tanto à esquerda como à direita temos um logaritmo na mesma base 2. Além desses logaritmos, não há coeficientes, nem termos nem à esquerda nem à direita.
Consequentemente, podemos eliminar o sinal do logaritmo. Claro, tendo em conta o domínio de definição. Mas antes de fazermos isso, vamos voltar e fazer alguns esclarecimentos sobre frações.
Nem todos os alunos entendem de onde vêm e para onde vão os fatores antes do logaritmo correto. Vamos anotar novamente:
Vamos descobrir o que é uma fração. Vamos anotar:
Agora vamos relembrar a regra de divisão de frações: para dividir por 1/2 é preciso multiplicar pela fração invertida:
É claro que, para conveniência de cálculos adicionais, podemos escrever dois como 2/1 - e é isso que observamos como o segundo coeficiente no processo de solução.
Espero que agora todos entendam de onde vem o segundo coeficiente, então vamos passar diretamente para a resolução da nossa equação logarítmica canônica.
Deixe-me lembrá-lo que agora podemos nos livrar dos logaritmos e deixar a seguinte expressão:
2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Vamos abrir os colchetes à esquerda. Nós temos:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
Vamos mover tudo da esquerda para a direita:
8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0
Vamos trazer outros semelhantes e obter:
8x 4 − 18x 2 + 4 = 0
Podemos dividir ambos os lados desta equação por 2 para simplificar os coeficientes, e obtemos:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Diante de nós está o habitual equação biquadrática, e suas raízes são facilmente calculadas através do discriminante. Então, vamos escrever o discriminante:
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
Ótimo, o discriminante é “lindo”, a raiz dele é 7. É isso, vamos contar nós mesmos os X. Mas em nesse caso as raízes não serão x, mas x 2, porque temos uma equação biquadrática. Então, nossas opções:
Atenção: extraímos as raízes, então haverá duas respostas, porque... quadrado - função par. E se escrevermos apenas a raiz de dois, simplesmente perderemos a segunda raiz.
Agora escrevemos a segunda raiz da nossa equação biquadrática:
Novamente, extraímos a aritmética Raiz quadrada de ambos os lados da nossa equação obtemos duas raízes. No entanto, lembre-se:
Não basta simplesmente igualar os argumentos dos logaritmos na forma canônica. Lembre-se do domínio da definição!
No total, obtivemos quatro raízes. Todos eles são de fato soluções para a nossa equação original. Dê uma olhada: em nossa equação logarítmica original, os logaritmos internos são 9x 2 + 5 (esta função é sempre positiva) ou 8x 4 + 14 - que também é sempre positivo. Portanto, o domínio de definição dos logaritmos é satisfeito em qualquer caso, independentemente da raiz que obtivermos, o que significa que todas as quatro raízes são soluções da nossa equação.
Ótimo, agora vamos para a segunda parte do problema.
Das nossas quatro raízes selecionamos aquelas que estão no segmento [−1; 8/9]. Voltamos às nossas raízes e agora faremos a sua seleção. Para começar, sugiro desenhar um eixo de coordenadas e marcar nele as extremidades do segmento:
Ambos os pontos ficarão sombreados. Aqueles. De acordo com as condições do problema, estamos interessados no segmento sombreado. Agora vamos dar uma olhada nas raízes.
Vamos começar com raízes irracionais. Observe que 09/08< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Segue-se disso que a raiz de dois não se enquadra no segmento que nos interessa. Da mesma forma, obteremos com raiz negativa: é menor que −1, ou seja, fica à esquerda do segmento que nos interessa.
Restam duas raízes: x = 1/2 e x = −1/2. Notemos que a extremidade esquerda do segmento (−1) é negativa e a extremidade direita (8/9) é positiva. Portanto, em algum lugar entre essas extremidades está o número 0. A raiz x = −1/2 estará entre −1 e 0, ou seja, terminará na resposta final. Fazemos o mesmo com a raiz x = 1/2. Essa raiz também está no segmento em consideração.
Você pode ter certeza de que 8/9 é maior que 1/2. Vamos subtrair esses números um do outro:
Obtivemos a fração 7/18 > 0, que por definição significa que 8/9 > 1/2.
Vamos marcar as raízes apropriadas no eixo de coordenadas:
A resposta final será duas raízes: 1/2 e −1/2.
Para concluir, gostaria de voltar mais uma vez aos números irracionais. Usando o exemplo deles, veremos agora como comparar quantidades racionais e irracionais em matemática. Para começar, existe uma marca entre eles V - um sinal de “mais” ou “menos”, mas ainda não sabemos em que direção ele está direcionado. Vamos anotar:
Por que precisamos de algum algoritmo de comparação? O fato é que neste problema tivemos muita sorte: no processo de resolução surgiu o número divisor 1, sobre o qual podemos dizer com certeza:
No entanto, nem sempre você verá esse número imediatamente. Então, vamos tentar comparar nossos números de frente, diretamente.
Como isso é feito? Fazemos o mesmo que com as desigualdades comuns:
Se ao comparar números irracionais Não é possível selecionar imediatamente um elemento divisor, recomendo realizar tal comparação “de frente” - descrevendo-a como uma desigualdade comum.
Ao resolvê-lo, é formalizado assim:
Agora é tudo fácil de comparar. A questão é que 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
É isso, recebemos uma prova estrita de que todos os números estão marcados na reta numérica x corretamente e exatamente na sequência em que deveriam estar. Ninguém encontrará falhas nesta solução, então lembre-se: se você não vir imediatamente o número divisor (no nosso caso é 1), sinta-se à vontade para escrever a construção acima, multiplicar, elevar ao quadrado - e no final você vai obtenha uma bela desigualdade. A partir desta desigualdade ficará claro qual número é maior e qual é menor.
Voltando ao nosso problema, gostaria mais uma vez de chamar a atenção para o que fizemos no início ao resolver a nossa equação. Ou seja: demos uma olhada em nossa equação logarítmica original e tentamos reduzi-la para canônico equação logarítmica. Onde há apenas logaritmos à esquerda e à direita - sem quaisquer termos adicionais, coeficientes na frente, etc. Não precisamos de dois logaritmos baseados em a ou b, mas de um logaritmo igual a outro logaritmo.
Além disso, as bases dos logaritmos também devem ser iguais. Além disso, se a equação for composta corretamente, então com a ajuda de transformações logarítmicas elementares (soma dos logaritmos, transformação de um número em logaritmo, etc.) reduziremos esta equação à canônica.
Portanto, a partir de agora, quando você vir uma equação logarítmica que não pode ser resolvida imediatamente, não se perca ou tente descobrir a resposta. Tudo que você precisa fazer é seguir estas etapas:
Como resultado, você obterá uma equação simples que pode ser resolvida usando ferramentas de álgebra elementar de materiais de 8ª a 9ª série. Em geral, acesse meu site, pratique resolver logaritmos, resolva equações logarítmicas como eu, resolva-as melhor do que eu. E isso é tudo para mim. Pavel Berdov estava com você. Ver você de novo!
