Definição. Seja a função \(y = f(x) \) definida em algum intervalo contendo o ponto \(x_0 \) dentro. Vamos incrementar \(\Delta x \) no argumento para não sair desse intervalo. Encontre o incremento correspondente da função \(\Delta y \) (ao passar do ponto \(x_0 \) para o ponto \(x_0 + \Delta x \)) e componha a relação \(\frac(\Delta y )(\Delta x)\). Se houver um limite desta relação em \(\Delta x \rightarrow 0 \), então o limite indicado é chamado função derivada\(y=f(x) \) no ponto \(x_0 \) e denotam \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
O símbolo y é frequentemente usado para denotar a derivada. Observe que y" = f(x) é uma nova função, mas naturalmente associada à função y = f(x), definida em todos os pontos x nos quais existe o limite acima. Essa função é chamada assim: derivada da função y \u003d f (x).
O significado geométrico da derivada consiste no seguinte. Se uma tangente que não é paralela ao eixo y pode ser desenhada no gráfico da função y \u003d f (x) em um ponto com a abcissa x \u003d a, então f (a) expressa a inclinação da tangente:
\(k = f"(a)\)
Como \(k = tg(a) \), a igualdade \(f"(a) = tg(a) \) é verdadeira.
E agora interpretamos a definição da derivada em termos de igualdades aproximadas. Seja a função \(y = f(x) \) ter uma derivada em um ponto particular \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Isso significa que perto do ponto x, a igualdade aproximada \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ou seja, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). O significado significativo da igualdade aproximada obtida é o seguinte: o incremento da função é “quase proporcional” ao incremento do argumento, e o coeficiente de proporcionalidade é o valor da derivada em um dado ponto x. Por exemplo, para a função \(y = x^2 \) a igualdade aproximada \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) é verdadeira. Se analisarmos cuidadosamente a definição da derivada, descobriremos que ela contém um algoritmo para encontrá-la.
Vamos formular.
1. Corrija o valor \(x \), encontre \(f(x) \)
2. Incremente o argumento \(x \) \(\Delta x \), mova para um novo ponto \(x+ \Delta x \), encontre \(f(x+ \Delta x) \)
3. Encontre o incremento da função: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Componha a relação \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcule $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Este limite é a derivada da função em x.
Se a função y = f(x) tem uma derivada no ponto x, então ela é dita diferenciável no ponto x. O procedimento para encontrar a derivada da função y \u003d f (x) é chamado diferenciação funções y = f(x).
Vamos discutir a seguinte questão: como a continuidade e a diferenciabilidade de uma função em um ponto estão relacionadas?
Seja a função y = f(x) diferenciável no ponto x. Então, uma tangente pode ser desenhada para o gráfico da função no ponto M (x; f (x)) e, lembre-se, a inclinação da tangente é igual a f "(x). Tal gráfico não pode "quebrar" em o ponto M, ou seja, a função deve ser contínua em x.
Era raciocinar "nos dedos". Vamos apresentar um argumento mais rigoroso. Se a função y = f(x) é diferenciável no ponto x, então a igualdade aproximada \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) é válida. zero, então \(\Delta y \ ) também tenderá a zero, e esta é a condição para a continuidade da função em um ponto.
Então, se uma função é diferenciável em um ponto x, então ela também é contínua nesse ponto.
O inverso não é verdadeiro. Por exemplo: função y = |x| é contínua em todos os lugares, em particular no ponto x = 0, mas a tangente ao gráfico da função no “ponto comum” (0; 0) não existe. Se em algum ponto for impossível desenhar uma tangente ao gráfico da função, então não há derivada neste ponto.
Mais um exemplo. A função \(y=\sqrt(x) \) é contínua em toda a reta numérica, inclusive no ponto x = 0. E a tangente ao gráfico da função existe em qualquer ponto, inclusive no ponto x = 0 . Mas neste ponto a tangente coincide com o eixo y, ou seja, é perpendicular ao eixo das abcissas, sua equação tem a forma x \u003d 0. Declive não existe tal linha, o que significa que \(f"(0) \) também não existe
Então, nos familiarizamos com uma nova propriedade de uma função - diferenciabilidade. Como você pode saber se uma função é diferenciável do gráfico de uma função?
A resposta é realmente dada acima. Se em algum ponto uma tangente pode ser desenhada no gráfico de uma função que não é perpendicular ao eixo x, então neste ponto a função é diferenciável. Se em algum ponto a tangente ao gráfico da função não existir ou for perpendicular ao eixo x, então neste ponto a função não é diferenciável.
A operação de encontrar a derivada é chamada diferenciação. Ao realizar esta operação, muitas vezes você precisa trabalhar com quocientes, somas, produtos de funções, bem como com "funções de funções", ou seja, funções complexas. Com base na definição da derivada, podemos derivar regras de diferenciação que facilitam este trabalho. Se C é um número constante e f=f(x), g=g(x) são algumas funções diferenciáveis, então as seguintes são verdadeiras regras de diferenciação:
Deixe a função ser dada implicitamente como uma equação . Diferenciando esta equação em relação a X e resolvendo a equação resultante em relação à derivada 
, encontramos a derivada de primeira ordem (a primeira derivada). Diferenciar em relação a X a primeira derivada obtemos a segunda derivada da função implícita. Substituindo um valor já encontrado 
na expressão da segunda derivada, expressamos 
Através dos X e sim Procedemos de forma semelhante para encontrar a derivada de terceira ordem (e além).
Exemplo. Localizar 
, E se 
.
Solução: Diferencie a equação em relação a X:
. A partir daqui encontramos 
. Mais longe .
Deixe a função 
dado por equações paramétricas 
.
Como você sabe, a primeira derivada 
é encontrado de acordo com a fórmula 
. Vamos encontrar a segunda derivada 
, ou seja 
. De forma similar 
.
Exemplo. Encontre a segunda derivada 
.
Solução: encontre a primeira derivada 
. Encontrando a segunda derivada 
.
Deixe a função 
diferenciável por 
. A derivada desta função em algum ponto 
é definida pela igualdade 
. Atitude 
no 
, portanto, diferente da derivada 
pelo valor de b.m., ou seja pode ser escrito 
(
). Vamos multiplicar tudo por 
, Nós temos 
. Incremento de função 
consiste em dois termos. primeiro termo 
- a parte principal do incremento, é o diferencial da função.
Def. diferencial de função 
é chamado o produto da derivada e o incremento do argumento. Denotado 
.
O diferencial de uma variável independente é igual ao seu incremento 
.
(). Assim, a fórmula para o diferencial pode ser escrita 
. A diferencial de uma função é igual ao produto da derivada pela diferencial da variável independente. Segue-se desta relação que a derivada pode ser considerada como a razão de diferenciais 
.
O diferencial é usado em cálculos aproximados. Já que na expressão 
Segundo termo 
uma quantidade infinitesimal use a igualdade aproximada 
ou expandido
Exemplo: calcular um valor aproximado 
.
Função 
tem um derivado 
.
De acordo com a fórmula (*) : .
Exemplo: encontrar a diferencial de uma função
O significado geométrico do diferencial.
Para o gráfico da função 
no ponto M( x;y) desenhe uma tangente e considere a ordenada desta tangente para o ponto x+∆
x. Na figura AM=∆ X AM 1 =∆ no de ∆MAV 
, por isso 
, mas de acordo com o significado geométrico da tangente 
. É por isso 
. Comparando esta fórmula com a fórmula diferencial, temos que 
, ou seja diferencial de função 
no ponto Xé igual ao incremento da ordenada da tangente ao gráfico da função naquele ponto, quando X recebe um incremento ∆x.
Como a função diferencial 
difere da derivada por um fator 
, então todas as regras para calcular a derivada também são usadas para calcular o diferencial (daí o termo "diferenciação").
Sejam dadas duas funções diferenciáveis 
e 
, então o diferencial é encontrado de acordo com as seguintes regras:
1)
2)
Com -const
3)
4)
(
)
5) para função complexa 
, Onde 
(Porque 
).
A diferencial de uma função complexa é igual ao produto da derivada dessa função em relação a um argumento intermediário e a diferencial desse argumento intermediário.
Teoremas sobre o valor médio.
Teorema de Rolle. Se a função 
contínuo no segmento 
e diferenciável no intervalo aberto 
e se tomar valores iguais nas extremidades do segmento 
, então no intervalo 
existe pelo menos um desses pontos Com, em que a derivada se anula, ou seja. 
,
uma<
c<
b.
Geometricamente, o teorema de Rolle significa que no gráfico da função 
existe um ponto onde a tangente ao gráfico é paralela ao eixo Oh.
Teorema de Lagrange. Se a função 
contínuo no segmento 
e diferenciável no intervalo 
, então existe pelo menos um ponto 
tal que a igualdade vale.
A fórmula é chamada de fórmula de Lagrange ou fórmula de incremento finito: o incremento de uma função diferenciável no segmento 
é igual ao incremento do argumento multiplicado pelo valor da derivada em algum ponto interior deste segmento.
O significado geométrico do teorema de Lagrange: no gráfico da função 
há um ponto C(s;f(c))
, em que a tangente ao gráfico da função é paralela à secante AB.
Teorema de Cauchy. Se as funções 
e 
contínuo no segmento 
, são diferenciáveis no intervalo 
, e 
por 
, então existe pelo menos um ponto 
tal que a igualdade 
.
O teorema de Cauchy serve de base para uma nova regra de cálculo de limites.
Regra de L'Hopital.
Teorema:(revelação da regra de L'Hopital de incertezas da forma 
). Deixe as funções 
e 
são contínuas e diferenciáveis em uma vizinhança de um ponto X 0
e desaparecer neste momento 
. Deixa para lá 
nas proximidades do ponto X 0
. se houver um limite 
, então 
.
Prova: Aplicável a funções 
e 
Teorema de Cauchy para o segmento 
Deitado na vizinhança de um ponto X 0
. Então 
, Onde x 0
<
c<
x. Porque 
Nós temos 
. Passemos ao limite em 
. Porque 
, então 
, é por isso 
.
Assim, o limite da razão de dois b.m. é igual ao limite da razão de suas derivadas, se esta existir 
.
Teorema.(Regra de L'Hopital para divulgação de incertezas da forma 
) Deixe as funções 
e 
são contínuas e diferenciáveis em uma vizinhança de um ponto X 0
(exceto talvez o ponto X 0
), neste bairro 
,
. Se houver um limite
, então 
.
Incertezas do formulário ( 
) são reduzidos a dois principais ( 
),
por transformações idênticas.
Exemplo: 
Ou, em resumo, a derivada de uma função implícita. O que é uma função implícita? Como minhas aulas são práticas, tento evitar definições, formulações de teoremas, mas aqui seria apropriado fazê-lo. O que é uma função afinal?
Função de uma variávelé a regra de que cada valor da variável independente corresponde a um e apenas um valor da função.
A variável é chamada variável independente ou argumento.
A variável é chamada variável dependente ou função.
Grosso modo, a letra "y" em este caso- e há uma função.
Até agora, consideramos funções definidas em explícito Formato. O que isto significa? Vamos organizar um debriefing sobre exemplos específicos.
Considere a função 
Vemos que à esquerda temos um “y” solitário (função) e à direita - apenas x. Ou seja, a função explicitamente expresso em termos da variável independente .
Vamos considerar outra função:
Aqui as variáveis e estão localizadas "misturadas". E impossível de qualquer maneira expressar "Y" apenas por meio de "X". Quais são esses métodos? Transferir termos de parte para parte com mudança de sinal, colchetes, fatores de lançamento de acordo com a regra da proporção, etc. Reescreva a igualdade e tente expressar “y” explicitamente:. Você pode torcer e virar a equação por horas, mas não terá sucesso.
Permitam-me apresentar: - um exemplo função implícita.
No curso da análise matemática, provou-se que a função implícita existe(mas nem sempre), tem um gráfico (como uma função "normal"). É o mesmo para uma função implícita. existe primeira derivada, segunda derivada, etc. Como dizem, todos os direitos das minorias sexuais são respeitados.
E nesta lição aprenderemos como encontrar a derivada de uma função dada implicitamente. Não é tão difícil! Todas as regras de diferenciação, a tabela de derivadas de funções elementares permanecem em vigor. A diferença está em um ponto peculiar, que vamos considerar agora.
Sim, eu vou deixar você saber boas notícias- as tarefas discutidas abaixo são executadas de acordo com um algoritmo bastante rígido e claro, sem uma pedra na frente de três faixas.
Exemplo 1
1) Na primeira etapa, penduramos traços em ambas as partes:
2) Usamos as regras de linearidade da derivada (as duas primeiras regras da lição Como encontrar a derivada? Exemplos de soluções):
3) Diferenciação direta.
Como diferenciar e completamente compreensível. O que fazer onde há “jogos” sob os traços?
- apenas para desonrar, a derivada de uma função é igual a sua derivada: .
Como diferenciar
Aqui temos função complexa. Por quê? Parece que sob o seno há apenas uma letra "Y". Mas, o fato é que apenas uma letra "y" - É UMA FUNÇÃO EM SI(veja a definição no início da lição). Assim, o seno é uma função externa, é uma função interna. Usamos a regra de derivação de uma função complexa 
:
O produto é diferenciável de acordo com a regra usual 
:
Observe que também é uma função complexa, qualquer “brinquedo de torção” é uma função complexa:
O design da solução em si deve ser algo assim:
Se houver colchetes, abra-os:
4) No lado esquerdo, coletamos os termos em que há um “y” com um traço. NO lado direito- transferimos todo o resto:
5) No lado esquerdo, tiramos a derivada dos colchetes:
6) E de acordo com a regra da proporção, colocamos esses colchetes no denominador do lado direito:
A derivada foi encontrada. Preparar.
É interessante notar que qualquer função pode ser reescrita implicitamente. Por exemplo, a função pode ser reescrito assim: 
. E diferenciá-lo de acordo com o algoritmo que acabamos de considerar. De fato, as frases "função implícita" e "função implícita" diferem em uma nuance semântica. A frase "função implicitamente definida" é mais geral e correta, - esta função é dada implicitamente, mas aqui você pode expressar "y" e apresentar a função explicitamente. A frase "função implícita" significa uma função implícita "clássica", quando "y" não pode ser expresso.
A segunda maneira de resolver
Atenção! Você pode se familiarizar com o segundo método somente se souber como encontrar com confiança derivadas parciais. Iniciantes e leigos em cálculo, por favor não leia e pule este parágrafo, caso contrário, a cabeça ficará uma bagunça completa.
Encontre a derivada da função implícita da segunda maneira.
Movemos todos os termos para o lado esquerdo:
E considere uma função de duas variáveis:
Então nossa derivada pode ser encontrada pela fórmula
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Nesse caminho:
A segunda solução permite realizar uma verificação. Mas é indesejável elaborar uma versão final da tarefa para ele, pois as derivadas parciais são dominadas mais tarde, e um aluno que estuda o tópico “Derivada de uma função de uma variável” não deve conhecer derivadas parciais.
Vejamos mais alguns exemplos.
Exemplo 2
Encontre a derivada de uma função dada implicitamente
Penduramos traços em ambas as partes:
Usamos as regras de linearidade:
Encontrando derivadas:
Expandindo todos os parênteses:
Transferimos todos os termos para o lado esquerdo, o resto - para o lado direito:
No lado esquerdo, colocamos entre colchetes:
Resposta final: 
Exemplo 3
Encontre a derivada de uma função dada implicitamente 
Solução completa e amostra de design no final da lição.
Não é incomum que as frações apareçam após a diferenciação. Nesses casos, as frações devem ser descartadas. Vejamos mais dois exemplos.
Exemplo 4
Encontre a derivada de uma função dada implicitamente 
Concluímos ambas as partes sob traços e usamos a regra da linearidade: 
Sem dúvida, em nossas mentes, a imagem de uma função está associada à igualdade e à linha correspondente a ela - o gráfico da função. Por exemplo, - dependência funcional, cujo gráfico é parábola quadrática com vértice na origem e ramos direcionados para cima; é a função seno conhecida por suas ondas.
Nesses exemplos, o lado esquerdo da igualdade é y e o lado direito é uma expressão que depende do argumento x. Em outras palavras, temos uma equação resolvida em relação a y . A representação de uma dependência funcional na forma de tal expressão é chamada definindo explicitamente a função(ou funcionar explicitamente). E esse tipo de atribuição de função é o mais familiar para nós. Na maioria dos exemplos e problemas, são apresentadas funções explícitas. Já discutimos em detalhes sobre a diferenciação de funções de uma variável, dada explicitamente.
No entanto, a função implica uma correspondência entre um conjunto de valores x e um conjunto de valores y, e essa correspondência NÃO é necessariamente estabelecida por nenhuma fórmula ou expressão analítica. Ou seja, há muitas maneiras de especificar uma função além do .
Neste artigo, veremos funções implícitas e maneiras de encontrar suas derivadas. Exemplos de funções implícitas são ou .
Como você notou, a função implícita é definida pela relação . Mas nem todas essas relações entre x e y definem uma função. Por exemplo, nenhum par numeros reais xey não satisfazem a igualdade , portanto, esta relação não define uma função implícita.
Ele pode definir implicitamente a lei de correspondência entre os valores x e y , e cada valor do argumento x pode corresponder a um (neste caso temos uma função de valor único) ou a vários valores da função ( neste caso, a função é chamada multivalorada). Por exemplo, o valor x = 1 corresponde a dois valores reais y = 2 e y = -2 implicitamente determinada função.
Nem sempre é possível reduzir uma função implícita a uma forma explícita, caso contrário não seria necessário diferenciar as próprias funções implícitas. Por exemplo, 
- não é convertido em uma forma explícita, mas - é convertido.
Agora aos negócios.
Para encontrar a derivada de uma função dada implicitamente, é necessário diferenciar ambos os lados da igualdade em relação ao argumento x, considerando y uma função de x, e então expressar .
A diferenciação de expressões contendo x e y(x) é realizada usando as regras de diferenciação e a regra para encontrar a derivada de uma função complexa. Vamos analisar imediatamente alguns exemplos em detalhes para que não haja mais perguntas.
Exemplo.
Diferenciar expressões 
em x, assumindo que y é uma função de x.
Solução.
Porque y é uma função de x , então é uma função complexa. Ela pode ser convencionalmente representada como f(g(x)) , onde f é a função cubo e g(x) = y . Então, de acordo com a fórmula para a derivada de uma função complexa, temos: 
.
Ao derivar a segunda expressão, tiramos a constante do sinal da derivada e agimos como no caso anterior (aqui f é a função seno, g(x) = y ):
Para a terceira expressão, usamos a fórmula para a derivada do produto:
Aplicando sequencialmente as regras, diferenciamos a última expressão: 
Agora você pode passar a encontrar a derivada de uma função implicitamente dada, para isso temos todo o conhecimento.
Exemplo.
Encontre a derivada de uma função implícita.
Solução.
A derivada de uma função implícita é sempre representada como uma expressão contendo x e y : . Para chegar a este resultado, diferenciamos ambos os lados da igualdade: 
Vamos resolver a equação resultante em relação à derivada: 
Responda:
.
COMENTE.
Para consolidar o material, vamos resolver outro exemplo.
Vamos primeiro considerar uma função implícita de uma variável. É determinado pela equação (1), que atribui um certo y a cada x de alguma área X. Então a função y=f(x) é definida em X por esta equação. Eles a chamam implícito ou dado implicitamente. Se a equação (1) puder ser resolvida em relação a y, i.e. obtenha a forma y \u003d f (x), então a tarefa da função implícita se torna explícito. No entanto, nem sempre é possível resolver a equação e, nesse caso, nem sempre está claro se existe uma função implícita y \u003d f (x), definida pela equação (1) em alguma vizinhança do ponto ( x 0, y 0).
Por exemplo, a equação 
é insolúvel em relação a y e não está claro se define uma função implícita em alguma vizinhança do ponto (1,0), por exemplo. Observe que existem equações que não definem nenhuma função (x 2 +y 2 +1=0).
O seguinte teorema se mostra verdadeiro:
Teorema"Existência e diferenciabilidade de uma função implícita" (sem prova)
Deixe a equação 
(1) e função 
, satisfaz as condições:
Então:
.
(2)
Geometricamente, o teorema afirma que na vizinhança de um ponto 
, onde as condições do teorema são satisfeitas, a função implícita definida pela equação (1) pode ser especificada explicitamente y=f(x), porque Cada valor de x tem um único y. Mesmo que não possamos encontrar uma expressão explícita para a função, temos certeza de que em alguma vizinhança do ponto M 0 isso já é possível em princípio.
Considere o mesmo exemplo: 
. Vamos verificar as condições:
1
)
,
- e a função e suas derivadas são contínuas na vizinhança do ponto (1,0) (como a soma e o produto das contínuas).
2)
.
3)
. Portanto, a função implícita y= f(x) existe em uma vizinhança do ponto (1,0). Não podemos escrevê-lo explicitamente, mas ainda podemos encontrar sua derivada, que será até contínua:
Considere agora função implícita de várias variáveis. Deixe a equação
. (2)
Se cada par de valores (x, y) de uma determinada região, a equação (2) associa um valor específico de z, então eles dizem que essa equação determina implicitamente uma função de valor único de duas variáveis 
.
O teorema de existência e diferenciação correspondente para uma função implícita de várias variáveis também é válido.
Teorema 2: Seja a equação dada 
(2) e função 
satisfaz as condições:
Exemplo:
. Esta equação define z como uma função implícita de dois valores de x e y 
. Se verificarmos as condições do teorema na vizinhança de um ponto, por exemplo, (0,0,1), veremos o cumprimento de todas as condições:
Isso significa que uma função implícita de valor único existe em uma vizinhança do ponto (0,0,1): Podemos dizer imediatamente que isso 
, definindo o hemisfério superior.
Existem derivadas parciais contínuas 
A propósito, elas se tornam as mesmas se diferenciarmos diretamente uma função implícita expressa explicitamente.
Definição e teorema de existência e diferenciação de uma função implícita mais argumentos são semelhantes.
