Neste artigo, serão consideradas três propriedades principais das funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente e cotangente.
A primeira propriedade é o sinal da função, dependendo de qual quarto do círculo unitário o ângulo α pertence. A segunda propriedade é a periodicidade. De acordo com esta propriedade, a função tigonométrica não muda de valor quando o ângulo muda por um número inteiro de revoluções. A terceira propriedade determina como os valores mudam funções sin, cos, tg, ctg em ângulos opostos α e - α .
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Freqüentemente, em um texto matemático ou no contexto de um problema, você pode encontrar a frase: "o ângulo do primeiro, segundo, terceiro ou quarto trimestre de coordenadas". O que é isso?
Vejamos o círculo unitário. É dividido em quatro quartos. Marcamos o ponto inicial A 0 (1, 0) no círculo e, girando-o em torno do ponto O por um ângulo α, chegamos ao ponto A 1 (x, y) . Dependendo de qual trimestre o ponto A 1 (x, y) estará, o ângulo α será chamado de ângulo do primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes, respectivamente.
Para maior clareza, damos uma ilustração.
O ângulo α = 30° está no primeiro quadrante. Ângulo - 210° é o ângulo do segundo quarto. Ângulo 585° é o ângulo do terceiro trimestre. Ângulo - 45° é o ângulo do quarto trimestre.
Neste caso, os ângulos ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° não pertencem a nenhum quarto, pois estão nos eixos coordenados.
Agora considere os sinais que levam seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo de qual quarto o ângulo está.
Para determinar os sinais do seno em quartos, lembre-se da definição. O seno é a ordenada do ponto A 1 (x , y) . A figura mostra que no primeiro e segundo trimestres é positivo, e no terceiro e quádruplo é negativo.
O cosseno é a abcissa do ponto A 1 (x, y) . De acordo com isso, determinamos os sinais do cosseno no círculo. O cosseno é positivo no primeiro e quarto trimestres e negativo no segundo e terceiro trimestres.
Para determinar os sinais da tangente e cotangente por quartos, também lembramos as definições dessas funções trigonométricas. Tangente - a relação entre a ordenada do ponto e a abcissa. Então, de acordo com a regra de divisão de números com sinais diferentes, quando a ordenada e a abscissa tiverem sinais iguais, o sinal da tangente no círculo será positivo, e quando a ordenada e a abscissa tiverem sinais diferentes, será negativo. Da mesma forma, os sinais da cotangente em trimestres são determinados.
Importante lembrar!
A propriedade de periodicidade é uma das propriedades mais óbvias das funções trigonométricas.
Propriedade de periodicidade
Quando o ângulo muda por um número inteiro de revoluções completas, os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo dado permanecem inalterados.
De fato, ao alterar o ângulo por um número inteiro de revoluções, sempre iremos do ponto inicial A no círculo unitário ao ponto A 1 com as mesmas coordenadas. Consequentemente, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente não serão alterados.
Matematicamente determinada propriedade está escrito assim:
sen α + 2 π z = sen α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Qual é a aplicação prática dessa propriedade? A propriedade de periodicidade, como as fórmulas de redução, é frequentemente usada para calcular os valores de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de grandes ângulos.
Vamos dar exemplos.
sen 13 π 5 \u003d sen 3 π 5 + 2 π \u003d sen 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Vamos olhar para o círculo unitário novamente.
O ponto A 1 (x, y) é o resultado de girar o ponto inicial A 0 (1, 0) em torno do centro do círculo por um ângulo α. O ponto A 2 (x, - y) é o resultado da rotação do ponto inicial de um ângulo - α.
Os pontos A 1 e A 2 são simétricos em relação ao eixo x. No caso em que α = 0°, ± 180°, ± 360° os pontos A 1 e A 2 coincidem. Deixe um ponto ter coordenadas (x , y) , e o segundo - (x , - y) . Lembre-se das definições de seno, cosseno, tangente, cotangente e escreva:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Isso implica a propriedade de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos opostos.
Propriedade dos senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos opostos
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
De acordo com esta propriedade, as igualdades
sen - 48 ° = - sen 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
A propriedade considerada é frequentemente usada na solução de problemas práticos nos casos em que é necessário eliminar os sinais negativos dos ângulos nos argumentos das funções trigonométricas.
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O sinal da função trigonométrica depende apenas do quarto da coordenada em que o argumento numérico está localizado. Da última vez, aprendemos como traduzir argumentos de uma medida em radianos para uma medida em graus (consulte a lição “Medida em radianos e graus de um ângulo”) e, em seguida, determine esse mesmo quarto de coordenada. Agora vamos tratar, de fato, da definição do sinal do seno, cosseno e tangente.
O seno do ângulo α é a ordenada (coordenada y) de um ponto em um círculo trigonométrico, que ocorre quando o raio é girado através do ângulo α.
O cosseno do ângulo α é a abscissa (coordenada x) de um ponto em um círculo trigonométrico, que ocorre quando o raio gira através do ângulo α.
A tangente do ângulo α é a razão entre o seno e o cosseno. Ou, de forma equivalente, a razão da coordenada y para a coordenada x.
Notação: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .
Todas essas definições são familiares para você no curso de álgebra do ensino médio. No entanto, não estamos interessados nas definições em si, mas nas consequências que surgem no círculo trigonométrico. Dê uma olhada:
A cor azul indica a direção positiva do eixo OY (eixo das ordenadas), a cor vermelha indica a direção positiva do eixo OX (eixo das abcissas). Neste "radar" os sinais das funções trigonométricas tornam-se óbvios. Em particular:
Para maior clareza, anotamos os sinais de cada função trigonométrica - seno, cosseno e tangente - em "radar" separado. Obtemos a seguinte imagem:
Nota: em meu raciocínio, nunca falei sobre a quarta função trigonométrica - a cotangente. O fato é que os sinais da cotangente coincidem com os sinais da tangente - não há regras especiais aí.
Agora proponho considerar exemplos semelhantes às tarefas B11 do exame experimental de matemática, realizado em 27 de setembro de 2011. Afinal A melhor maneira compreender a teoria é a prática. De preferência muita prática. Claro, as condições das tarefas foram ligeiramente alteradas.
Uma tarefa. Determine os sinais das funções e expressões trigonométricas (os valores das próprias funções não precisam ser considerados):
- sin(3π/4);
- cos(7π/6);
- tan (5π/3);
- sen(3π/4) cos(5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sen(5π/6) cos(7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
O plano de ação é o seguinte: primeiro, convertemos todos os ângulos de medida em radianos em graus (π → 180°) e, em seguida, verificamos em qual quarto de coordenada está o número resultante. Conhecendo os bairros, podemos facilmente encontrar os sinais - de acordo com as regras que acabamos de descrever. Nós temos:
Finalmente, vamos ver alguns problemas mais complexos. Além de descobrir o sinal da função trigonométrica, aqui você tem que fazer um pequeno cálculo - assim como é feito nos problemas reais B11. Em princípio, essas são tarefas quase reais que realmente são encontradas no exame de matemática.
Uma tarefa. Encontre sen α se sin 2 α = 0,64 e α ∈ [π/2; π].
Como sen 2 α = 0,64, temos: sen α = ±0,8. Resta decidir: mais ou menos? Por hipótese, o ângulo α ∈ [π/2; π] é o quarto da coordenada II, onde todos os senos são positivos. Portanto, sen α = 0,8 - a incerteza com sinais é eliminada.
Uma tarefa. Encontre cos α se cos 2 α = 0,04 e α ∈ [π; 3π/2].
Agimos de forma semelhante, ou seja. extrair Raiz quadrada: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Por hipótese, o ângulo α ∈ [π; 3π/2], ou seja, estamos falando do trimestre da coordenada III. Lá, todos os cossenos são negativos, então cos α = −0,2.
Uma tarefa. Encontre sen α se sin 2 α = 0,25 e α ∈ .
Temos: sen 2 α = 0,25 ⇒ sen α = ±0,5. Novamente olhamos para o ângulo: α ∈ é o quarto da coordenada IV, no qual, como você sabe, o seno será negativo. Assim, concluímos: sen α = −0,5.
Uma tarefa. Encontre tg α se tg 2 α = 9 e α ∈ .
Tudo é o mesmo, apenas para a tangente. Tomamos a raiz quadrada: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Mas pela condição, o ângulo α ∈ é o quadrante da coordenada I. Todas as funções trigonométricas, incl. tangente, são positivos, então tg α = 3. É isso!
A trigonometria, como ciência, teve origem no Antigo Oriente. As primeiras razões trigonométricas foram desenvolvidas por astrônomos para criar um calendário preciso e orientar pelas estrelas. Esses cálculos estavam relacionados à trigonometria esférica, enquanto na curso escolar estudar a razão entre os lados e o ângulo de um triângulo plano.
A trigonometria é um ramo da matemática que lida com as propriedades das funções trigonométricas e a relação entre os lados e os ângulos dos triângulos.
Durante o apogeu da cultura e da ciência no primeiro milênio dC, o conhecimento se espalhou do Oriente Antigo para a Grécia. Mas as principais descobertas da trigonometria são mérito dos homens do califado árabe. Em particular, o cientista turcomano al-Marazvi introduziu funções como tangente e cotangente, compilou as primeiras tabelas de valores para senos, tangentes e cotangentes. O conceito de seno e cosseno foi introduzido por cientistas indianos. Muita atenção é dada à trigonometria nas obras de grandes figuras da antiguidade como Euclides, Arquimedes e Eratóstenes.
As funções trigonométricas básicas de um argumento numérico são seno, cosseno, tangente e cotangente. Cada um deles tem seu próprio gráfico: seno, cosseno, tangente e cotangente.
As fórmulas para calcular os valores dessas quantidades são baseadas no teorema de Pitágoras. É mais conhecido pelos alunos na formulação: “Calças pitagóricas, iguais em todas as direções”, pois a prova é dada no exemplo de um triângulo retângulo isósceles.
Seno, cosseno e outras dependências estabelecem uma relação entre os ângulos agudos e os lados de qualquer triângulo retângulo. Damos fórmulas para calcular essas quantidades para o ângulo A e traçamos a relação das funções trigonométricas:
Como você pode ver, tg e ctg são funções inversas. Se representarmos a perna a como o produto do seno A pela hipotenusa c, e a perna b como cos A * c, obtemos as seguintes fórmulas para tangente e cotangente:
Graficamente, a razão das quantidades mencionadas pode ser representada da seguinte forma:
círculo, em este caso, representa todos os valores possíveis do ângulo α — de 0° a 360°. Como pode ser visto na figura, cada função assume um valor negativo ou positivo, dependendo do ângulo. Por exemplo, sen α ficará com sinal “+” se α pertencer aos quartos I e II do círculo, ou seja, estiver na faixa de 0° a 180°. Com α de 180° a 360° (III e IV trimestres), sen α só pode ser um valor negativo.
Vamos tentar construir tabelas trigonométricas para ângulos específicos e descobrir o significado das quantidades.
Os valores de α iguais a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e assim por diante são chamados de casos especiais. Os valores das funções trigonométricas para eles são calculados e apresentados na forma de tabelas especiais.
Esses ângulos não foram escolhidos por acaso. A designação π nas tabelas é para radianos. Rad é o ângulo no qual o comprimento de um arco circular corresponde ao seu raio. Este valor foi introduzido para estabelecer uma relação universal; ao calcular em radianos, o comprimento real do raio em cm não importa.
Os ângulos nas tabelas para funções trigonométricas correspondem a valores em radianos:
Portanto, não é difícil adivinhar que 2π é um círculo completo ou 360°.
Para considerar e comparar as propriedades básicas de seno e cosseno, tangente e cotangente, é necessário desenhar suas funções. Isso pode ser feito na forma de uma curva localizada em um sistema de coordenadas bidimensional.
Considerar Tabela de comparação propriedades para onda senoidal e cosseno:
| sinusóide | onda cosseno |
|---|---|
| y = sen x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sen x = 0, para x = πk, onde k ε Z | cos x = 0, para x = π/2 + πk, onde k ε Z |
| sen x = 1, para x = π/2 + 2πk, onde k ε Z | cos x = 1, para x = 2πk, onde k ε Z |
| sen x = - 1, em x = 3π/2 + 2πk, onde k ε Z | cos x = - 1, para x = π + 2πk, onde k ε Z |
| sin (-x) = - sin x, ou seja, função ímpar | cos (-x) = cos x, ou seja, a função é par |
| a função é periódica, o menor período é 2π | |
| sen x › 0, com x pertencente aos quadrantes I e II ou de 0° a 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, com x pertencente aos quadrantes I e IV ou de 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sen x ‹ 0, com x pertencente aos trimestres III e IV ou de 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, com x pertencente aos trimestres II e III ou de 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| aumenta no intervalo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | aumenta no intervalo [-π + 2πk, 2πk] |
| diminui nos intervalos [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | diminui em intervalos |
| derivada (sen x)' = cos x | derivada (cos x)' = - sen x |
Determinar se uma função é par ou não é muito simples. Basta imaginar um círculo trigonométrico com sinais de grandezas trigonométricas e “dobrar” mentalmente o gráfico em relação ao eixo OX. Se os sinais forem iguais, a função é par; caso contrário, é ímpar.
A introdução de radianos e a enumeração das principais propriedades da onda senoidal e cosseno nos permitem trazer o seguinte padrão:
É muito fácil verificar a exatidão da fórmula. Por exemplo, para x = π/2, o seno é igual a 1, assim como o cosseno de x = 0. A verificação pode ser feita observando tabelas ou traçando curvas de função para determinados valores.
Os gráficos das funções tangente e cotangente diferem significativamente da onda senoidal e cosseno. Os valores tg e ctg são inversos entre si.
Considere a representação gráfica do cotangentóide abaixo no texto.
As principais propriedades do cotangentóide:
Permite estabelecer uma série de resultados característicos - propriedades do seno, cosseno, tangente e cotangente. Neste artigo, veremos três propriedades principais. O primeiro deles indica os sinais do seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo α, dependendo de qual coordenada do quarto de ângulo é α. Em seguida, consideramos a propriedade de periodicidade, que estabelece a invariância dos valores do seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo α quando esse ângulo muda por um número inteiro de revoluções. A terceira propriedade expressa a relação entre os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente dos ângulos opostos α e −α.
Se você estiver interessado nas propriedades das funções seno, cosseno, tangente e cotangente, elas podem ser estudadas na seção correspondente do artigo.
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Abaixo neste parágrafo será encontrada a frase "ângulo I, II, III e IV do quarto coordenado". Vamos explicar o que são esses cantos.
Vamos pegar um círculo unitário, marcar o ponto inicial A(1, 0) nele e girá-lo em torno do ponto O por um ângulo α, enquanto supomos que chegamos ao ponto A 1 (x, y) .
Eles disseram aquilo o ângulo α é o ângulo I , II , III , IV do quarto de coordenadas se o ponto A 1 estiver nos trimestres I, II, III, IV, respectivamente; se o ângulo α é tal que o ponto A 1 está em qualquer uma das linhas de coordenadas Ox ou Oy , então este ângulo não pertence a nenhum dos quatro quartos.
Para maior clareza, apresentamos uma ilustração gráfica. Os desenhos abaixo mostram os ângulos de rotação de 30 , -210 , 585 e -45 graus, que são os ângulos I , II , III e IV dos quartos de coordenadas, respectivamente.
cantos 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … graus não pertencem a nenhum dos quartos de coordenadas.
Agora vamos descobrir quais sinais têm os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação α, dependendo de qual quarto de ângulo é α.
Para seno e cosseno, isso é fácil de fazer.
Por definição, o seno do ângulo α é a ordenada do ponto A 1 . É óbvio que nos trimestres coordenados I e II é positivo, e nos trimestres III e IV é negativo. Assim, o seno do ângulo α tem sinal de mais nos trimestres I e II e sinal de menos nos trimestres III e VI.
Por sua vez, o cosseno do ângulo α é a abcissa do ponto A 1 . Nos trimestres I e IV é positivo, e nos trimestres II e III é negativo. Portanto, os valores do cosseno do ângulo α nos trimestres I e IV são positivos e nos trimestres II e III são negativos.
Para determinar os sinais por quartos de tangente e cotangente, você precisa se lembrar de suas definições: tangente é a razão da ordenada do ponto A 1 para a abscissa e cotangente é a razão da abscissa do ponto A 1 para a ordenada. Então de regras de divisão de números com sinais iguais e diferentes, segue-se que a tangente e a cotangente têm sinal de mais quando os sinais de abscissa e ordenada do ponto A 1 são iguais e têm sinal de menos quando os sinais de abscissa e ordenada do ponto A 1 são diferentes. Portanto, a tangente e a cotangente do ângulo têm sinal + nos trimestres das coordenadas I e III e sinal negativo nos trimestres II e IV.
De fato, por exemplo, no primeiro quarto, tanto a abscissa x quanto a ordenada y do ponto A 1 são positivos, então tanto o quociente x/y quanto o quociente y/x são positivos, portanto, a tangente e a cotangente têm sinais + . E no segundo quarto da abcissa, x é negativo e a ordenada y é positiva, então x / y e y / x são negativos, de onde a tangente e a cotangente têm um sinal de menos.
Vamos passar para a próxima propriedade do seno, cosseno, tangente e cotangente.
Agora vamos analisar, talvez, a propriedade mais óbvia do seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Consiste no seguinte: quando o ângulo muda em um número inteiro de revoluções completas, os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente desse ângulo não mudam.
Isso é compreensível: quando o ângulo muda em um número inteiro de revoluções, sempre iremos do ponto inicial A ao ponto A 1 no círculo unitário, portanto, os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente permanecem inalterado, uma vez que as coordenadas do ponto A 1 são inalteradas.
Usando fórmulas, a propriedade considerada de seno, cosseno, tangente e cotangente pode ser escrita da seguinte forma: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , onde α é o ângulo de rotação em radianos, z é qualquer , cujo valor absoluto indica o número de revoluções completas pelas quais o ângulo α muda e o sinal de o número z indica a direção da curva.
Se o ângulo de rotação α for dado em graus, então essas fórmulas serão reescritas como sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .
Vamos dar exemplos do uso dessa propriedade. Por exemplo, 
, Porque 
, uma 
. Aqui está outro exemplo: ou .
Essa propriedade, juntamente com as fórmulas de redução, é muito usada no cálculo dos valores do seno, cosseno, tangente e cotangente de ângulos "grandes".
A propriedade considerada de seno, cosseno, tangente e cotangente às vezes é chamada de propriedade de periodicidade.
Seja À 1 o ponto obtido como resultado da rotação do ponto inicial À(1, 0) em torno do ponto O pelo ângulo α , e o ponto À 2 é o resultado da rotação do ponto À pelo ângulo −α oposto ao ângulo α .
A propriedade dos senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos opostos é baseada em um fato bastante óbvio: os pontos A 1 e A 2 mencionados acima coincidem (at) ou estão localizados simetricamente em relação ao eixo Ox. Ou seja, se o ponto A 1 tem coordenadas (x, y) , então o ponto A 2 terá coordenadas (x, −y) . A partir daqui, de acordo com as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente, escrevemos as igualdades e.
Comparando-os, chegamos a relações entre senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos opostos α e −α da forma .
Esta é a propriedade considerada na forma de fórmulas.
Vamos dar exemplos do uso dessa propriedade. Por exemplo, as igualdades e 
.
Resta apenas observar que a propriedade de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos opostos, como a propriedade anterior, é frequentemente usada no cálculo dos valores de seno, cosseno, tangente e cotangente, e permite que você fuja completamente de ângulos negativos.
Bibliografia.
Diversificado. Alguns deles são sobre em quais trimestres o cosseno é positivo e negativo, em quais trimestres o seno é positivo e negativo. Tudo acaba sendo simples se você souber calcular o valor dessas funções em diferentes ângulos e estiver familiarizado com o princípio de plotar funções em um gráfico.
Se considerarmos então temos a seguinte relação de aspecto, que o determina: o cosseno do ângulo umaé a razão entre a perna adjacente BC e a hipotenusa AB (Fig. 1): cos uma= BC/AB.
Usando o mesmo triângulo, você pode encontrar o seno do ângulo, a tangente e a cotangente. O seno será a razão entre o ângulo da perna oposta AC e a hipotenusa AB. A tangente de um ângulo é encontrada se o seno do ângulo desejado for dividido pelo cosseno do mesmo ângulo; substituindo as fórmulas correspondentes para encontrar o seno e o cosseno, obtemos que tg uma\u003d CA / BC. A cotangente, como uma função inversa à tangente, será encontrada assim: ctg uma= BC/AC.
Ou seja, para os mesmos valores do ângulo, verificou-se que em um triângulo retângulo a proporção é sempre a mesma. Parece que ficou claro de onde vêm esses valores, mas por que os números negativos são obtidos?
Para fazer isso, você precisa considerar o triângulo no sistema de coordenadas cartesianas, onde existem valores positivos e negativos.
O que são coordenadas cartesianas? Se falamos de espaço bidimensional, temos duas linhas direcionadas que se cruzam no ponto O - este é o eixo das abcissas (Ox) e o eixo das ordenadas (Oy). Do ponto O na direção da linha reta são números positivos, e em lado reverso- negativo. Em última análise, depende diretamente disso em quais trimestres o cosseno é positivo e em quais, respectivamente, é negativo.
Se você colocar um triângulo retângulo no primeiro trimestre (de 0 o a 90 o), onde os eixos x e y têm valores positivos \u200b\u200b(os segmentos AO e BO estão nos eixos onde os valores \u200b\u200btêm um sinal "+"), então qual é o seno, qual é o cosseno também terá valores positivos e receberá um valor com um sinal de mais. Mas o que acontece se você mover o triângulo para o segundo quarto (de 90º para 180º)?
Vemos que ao longo do eixo y, o AO recebeu um valor negativo. Cosseno de um ângulo uma agora tem esse lado em relação ao menos e, portanto, seu valor final torna-se negativo. Acontece que em qual trimestre o cosseno é positivo depende da colocação do triângulo no sistema de coordenadas cartesianas. E neste caso, o cosseno do ângulo ganha um valor negativo. Já para o seno nada mudou, pois para determinar seu sinal é necessário o lado do OB, que neste caso ficou com sinal de mais. Vamos resumir os dois primeiros trimestres.
Para descobrir em quais quartos o cosseno é positivo e em que é negativo (assim como o seno e outras funções trigonométricas), é necessário observar qual sinal é atribuído a uma ou outra perna. Para o cosseno de um ângulo uma a perna AO é importante, para o seio - OB.
O primeiro trimestre tornou-se até agora o único que responde à pergunta: “Em quais trimestres o seno e o cosseno são positivos ao mesmo tempo?”. Vejamos ainda se haverá mais coincidências no sinal dessas duas funções.
No segundo trimestre, a perna AO passou a ter valor negativo, o que significa que o cosseno passou a ser negativo. Um valor positivo é armazenado para o seno.
Agora ambas as pernas AO e OB tornaram-se negativas. Lembre-se das razões para cosseno e seno:
Cos a \u003d AO / AB;
Sin a \u003d BO / AB.
AB sempre tem sinal positivo em um determinado sistema de coordenadas, pois não está direcionado para nenhum dos dois lados definidos pelos eixos. Mas as pernas ficaram negativas, o que significa que o resultado de ambas as funções também é negativo, porque se você realizar operações de multiplicação ou divisão com números, entre os quais um e apenas um tem sinal de menos, o resultado também ficará com esse sinal .
Resultado nesta fase:
1) Em que trimestre o cosseno é positivo? No primeiro dos três.
2) Em que trimestre o seno é positivo? No primeiro e no segundo de três.
Aqui, a perna AO novamente adquire o sinal de mais e, portanto, o cosseno também.
Para o seno, as coisas ainda são "negativas", porque a perna OB permaneceu abaixo do ponto inicial O.
Para entender em quais trimestres o cosseno é positivo, negativo etc., você precisa se lembrar da razão para calcular o cosseno: a perna adjacente ao ângulo, dividida pela hipotenusa. Alguns professores sugerem lembrar disso: k (osine) \u003d (k) canto. Se você se lembra desse "trapaça", entende automaticamente que o seno é a razão entre o oposto e o ângulo da perna para a hipotenusa.
Lembrar em quais trimestres o cosseno é positivo e qual é negativo é bastante difícil. Existem muitas funções trigonométricas e todas elas têm seus próprios valores. Mas ainda assim, como resultado: valores positivos para o seno - 1, 2 quartos (de 0 a 180 o); para cosseno 1, 4 quartos (de 0 o a 90 o e de 270 o a 360 o). Nos trimestres restantes, as funções apresentam valores com menos.
Talvez seja mais fácil para alguém lembrar onde está qual signo, conforme a imagem da função.
Para o seno, pode-se ver que de zero a 180 o a crista está acima da linha de valores do seno (x), o que significa que a função é positiva aqui. Para o cosseno é a mesma coisa: em qual trimestre o cosseno é positivo (foto 7), e em qual é negativo, pode-se ver movendo a linha acima e abaixo do eixo cos (x). Como resultado, podemos nos lembrar de duas maneiras de determinar o sinal das funções seno e cosseno:
1. Em um círculo imaginário com um raio igual a um (embora, na verdade, não importa qual seja o raio do círculo, mas nos livros didáticos esse exemplo é mais frequentemente dado; isso torna mais fácil perceber, mas ao ao mesmo tempo, se você não especificar que isso não importa, as crianças podem ficar confusas).
2. De acordo com a imagem da dependência da função em (x) no próprio argumento x, como na última figura.
Usando o primeiro método, você pode ENTENDER do que exatamente depende o sinal, e explicamos isso em detalhes acima. A Figura 7, construída com base nesses dados, visualiza a função resultante e sua pertinência de sinal da melhor maneira possível.
