Linea attraverso due punti. Equazione generale di una retta. Casi particolari dell'equazione generale di una retta

Questo articolo rivela la derivazione dell'equazione di una retta passante per due punti dati in sistema rettangolare coordinate che si trovano sul piano. Deriviamo l'equazione di una retta passante per due punti dati in un sistema di coordinate rettangolare. Mostreremo visivamente e risolveremo diversi esempi relativi al materiale trattato.

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Prima di ottenere l'equazione di una retta passante per due punti dati, è necessario prestare attenzione ad alcuni fatti. C'è un assioma che dice che attraverso due punti non coincidenti su un piano è possibile tracciare una retta e una sola. In altre parole, due punti dati del piano sono determinati da una retta passante per questi punti.

Se il piano è dato dal sistema di coordinate rettangolare Oxy, qualsiasi linea retta in esso rappresentata corrisponderà all'equazione della retta sul piano. Esiste anche una connessione con il vettore direttivo della retta Questi dati sono sufficienti per elaborare l'equazione di una retta passante per due punti dati.

Considera un esempio di risoluzione di un problema simile. È necessario comporre l'equazione di una retta a passante per due punti non corrispondenti M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) situati nel sistema di coordinate cartesiane.

Nell'equazione canonica di una retta su un piano, avente la forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , viene specificato un sistema di coordinate rettangolare O x y con una retta che si interseca con essa in un punto con coordinate M 1 (x 1, y 1) con un vettore guida a → = (a x , a y) .

È necessario comporre l'equazione canonica della retta a, che passerà per due punti di coordinate M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) .

La retta a ha un vettore direzionale M 1 M 2 → con coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), poiché interseca i punti M 1 e M 2. Abbiamo ottenuto i dati necessari per trasformare l'equazione canonica con le coordinate del vettore di direzione M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e le coordinate dei punti M 1 su di esse giacenti (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2) . Otteniamo un'equazione della forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Considera la figura seguente.

Seguendo i calcoli, scriviamo le equazioni parametriche di una retta in un piano che passa per due punti di coordinate M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) . Otteniamo un'equazione della forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ o x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Diamo un'occhiata più da vicino ad alcuni esempi.

Esempio 1

Scrivi l'equazione di una retta passante per 2 punti dati con coordinate M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Soluzione

L'equazione canonica per una retta che si interseca in due punti di coordinate x 1 , y 1 e x 2 , y 2 assume la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . In base alle condizioni del problema, abbiamo che x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. È necessario sostituire i valori numerici nell'equazione x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Da qui otteniamo che l'equazione canonica assumerà la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Risposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Se è necessario risolvere un problema con un diverso tipo di equazione, per cominciare puoi passare a quella canonica, poiché è più facile arrivare a qualsiasi altra da essa.

Esempio 2

Componi l'equazione generale di una retta passante per punti di coordinate M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) nel sistema di coordinate O x y.

Soluzione

Per prima cosa devi scrivere l'equazione canonica di una data retta che passa per i due punti dati. Otteniamo un'equazione della forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Portiamo l'equazione canonica nella forma desiderata, quindi otteniamo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Risposta: x - 3 y + 2 = 0 .

Esempi di tali compiti sono stati presi in considerazione nei libri di testo scolastici durante le lezioni di algebra. I compiti scolastici differivano in quanto l'equazione di una retta con fattore di pendenza, avente la forma y = k x + b . Se è necessario trovare il valore della pendenza k e il numero b, a cui l'equazione y \u003d k x + b definisce una linea nel sistema O x y che passa per i punti M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) , dove x 1 ≠ x 2 . Quando x 1 = x 2 , allora la pendenza assume il valore di infinito, e la linea M 1 M 2 è definita dal generale equazione incompleta della forma x - x 1 = 0 .

Perché i punti M1 e M2 sono su una retta, allora le loro coordinate soddisfano l'equazione y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. È necessario risolvere il sistema di equazioni y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b rispetto a k e b.

Per fare ciò, troviamo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Con tali valori di k e b, l'equazione di una retta passante per dati due punti assume la forma seguente y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

La memorizzazione di un numero così elevato di formule contemporaneamente non funzionerà. Per fare ciò, è necessario aumentare il numero di ripetizioni nella risoluzione dei problemi.

Esempio 3

Scrivi l'equazione di una retta con pendenza passante per punti di coordinate M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Soluzione

Per risolvere il problema, utilizziamo una formula con una pendenza che ha la forma y \u003d k x + b. I coefficienti k e b devono assumere un valore tale che questa equazione corrisponda ad una retta passante per due punti di coordinate M 1 (- 7 , - 5) e M 2 (2 , 1) .

punti M1 e M2 situato su una linea retta, le loro coordinate dovrebbero invertire l'equazione y = k x + b l'uguaglianza corretta. Da qui otteniamo che - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Uniamo l'equazione nel sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e risolviamo.

Dopo la sostituzione, lo otteniamo

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ora i valori k = 2 3 e b = - 1 3 vengono sostituiti nell'equazione y = k x + b . Otteniamo che l'equazione desiderata passante per i punti dati sarà un'equazione che ha la forma y = 2 3 x - 1 3 .

Questo modo di risolvere predetermina la spesa un largo numero volta. C'è un modo in cui il compito viene risolto letteralmente in due passaggi.

Scriviamo l'equazione canonica di una retta passante per M 2 (2, 1) e M 1 (- 7, - 5) , avente la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Passiamo ora all'equazione della pendenza. Otteniamo che: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Risposta: y = 2 3 x - 1 3 .

Se dentro spazio tridimensionale esiste un sistema di coordinate rettangolare O x y z con due punti dati non coincidenti con coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), una retta M 1 M 2 passando attraverso di loro, è necessario ottenere l'equazione di questa linea.

Abbiamo quello equazioni canoniche della forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z e i tipi parametrici x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sono in grado di impostare una retta nel sistema coordinate O x y z passanti per punti di coordinate (x 1 , y 1 , z 1) con vettore di direzione a → = (a x , a y , a z) .

Dritto M 1 M 2 ha un vettore di direzione della forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , dove la retta passa per il punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione canonica può essere della forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, a sua volta, parametrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Si consideri una figura che mostra 2 punti dati nello spazio e l'equazione di una retta.

Esempio 4

Scrivi l'equazione di una retta definita in un sistema di coordinate rettangolare O x y z dello spazio tridimensionale, passante per i due punti dati con coordinate M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5 ).

Soluzione

Dobbiamo trovare l'equazione canonica. Perché noi stiamo parlando sullo spazio tridimensionale, il che significa che quando una retta passa per determinati punti, l'equazione canonica desiderata assumerà la forma x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.

Per condizione, abbiamo che x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Ne consegue che le equazioni necessarie possono essere scritte come segue:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Risposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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In questo articolo considereremo l'equazione generale di una retta in un piano. Diamo esempi di costruzione equazione generale retta se sono noti due punti di questa retta, oppure se sono noti un punto e il vettore normale di questa retta. Presentiamo i metodi per convertire un'equazione in vista generale in forme canoniche e parametriche.

Sia dato un arbitrario sistema di coordinate rettangolari cartesiane Ossi. Si consideri un'equazione di primo grado o equazione lineare:

Ax+By+C=0,

(1)

dove A, B, C sono alcune costanti e almeno uno degli elementi UN e B diverso da zero.

Mostreremo che un'equazione lineare nel piano definisce una retta. Dimostriamo il seguente teorema.

Teorema 1. In un arbitrario sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano, ogni retta può essere data da un'equazione lineare. Al contrario, ogni equazione lineare (1) in un arbitrario sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano definisce una retta.

Prova. Basta provare che la linea lè determinato da un'equazione lineare per qualsiasi sistema di coordinate rettangolari cartesiane, da allora sarà determinato da un'equazione lineare e per qualsiasi scelta di sistema di coordinate rettangolari cartesiane.

Sia data una retta sul piano l. Scegliamo un sistema di coordinate in modo che l'asse Bue allineato con la linea l, e l'asse Ehi era perpendicolare ad esso. Quindi l'equazione della retta l assumerà la seguente forma:

y=0.

(2)

Tutti i punti su una linea l soddisferà l'equazione lineare (2) e tutti i punti al di fuori di questa retta non soddisferanno l'equazione (2). Si dimostra la prima parte del teorema.

Sia dato un sistema di coordinate rettangolari cartesiane e sia data l'equazione lineare (1), dove almeno uno degli elementi UN e B diverso da zero. Trova il luogo dei punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (1). Poiché almeno uno dei coefficienti UN e Bè diverso da zero, allora l'equazione (1) ha almeno una soluzione M(X 0 ,y 0). (Ad esempio, quando UN≠0, punto M 0 (−CIRCA, 0) appartiene al luogo dei punti dato). Sostituendo queste coordinate in (1) otteniamo l'identità

Ascia 0 +Di 0 +C=0.

(3)

Sottraiamo identità (3) da (1):

UN(X−X 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Ovviamente, l'equazione (4) è equivalente all'equazione (1). Pertanto, basta provare che (4) definisce una retta.

Poiché stiamo considerando un sistema di coordinate rettangolari cartesiane, dall'uguaglianza (4) segue che il vettore con componenti ( x-x 0 , y-y 0 ) è ortogonale al vettore n con coordinate ( A,B}.

Considera una linea l passando per il punto M 0 (X 0 , y 0) e perpendicolare al vettore n(Fig. 1). Lascia il punto M(X,y) appartiene alla linea l. Quindi il vettore con le coordinate x-x 0 , y-y 0 perpendicolare n e l'equazione (4) è soddisfatta (prodotto scalare dei vettori n ed è uguale a zero). Viceversa, se il punto M(X,y) non giace su una linea l, quindi il vettore con le coordinate x-x 0 , y-y 0 non è ortogonale al vettore n e l'equazione (4) non è soddisfatta. Il teorema è stato dimostrato.

Prova. Poiché le linee (5) e (6) definiscono la stessa linea, i vettori normali n 1 ={UN 1 ,B 1) e n 2 ={UN 2 ,B 2) sono collineari. Poiché i vettori n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, allora c'è un numero λ , che cosa n 2 =n 1 λ . Quindi abbiamo: UN 2 =UN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dimostriamolo C 2 =C 1 λ . È ovvio che le linee coincidenti hanno un punto in comune M 0 (X 0 , y 0). Moltiplicando l'equazione (5) per λ e sottraendo l'equazione (6) da essa otteniamo:

Poiché le prime due uguaglianze delle espressioni (7) sono soddisfatte, allora C 1 λ −C 2=0. Quelli. C 2 =C 1 λ . L'osservazione è stata provata.

Si noti che l'equazione (4) definisce l'equazione di una retta passante per il punto M 0 (X 0 , y 0) e avente un vettore normale n={A,B). Pertanto, se sono noti il vettore normale della retta e il punto appartenente a questa retta, allora l'equazione generale della retta può essere costruita usando l'equazione (4).

Esempio 1. Una linea passa per un punto M=(4,−1) e ha un vettore normale n=(3, 5). Costruisci l'equazione generale di una retta.

Soluzione. Abbiamo: X 0 =4, y 0 =−1, UN=3, B=5. Per costruire l'equazione generale di una retta, sostituiamo questi valori nell'equazione (4):

Risposta:

Vettore parallelo alla linea l e quindi è perpendicolare al vettore normale della retta l. Costruiamo un vettore di linea normale l, dato che prodotto scalare vettori n ed è uguale a zero. Possiamo scrivere, ad esempio, n={1,−3}.

Per costruire l'equazione generale di una retta utilizziamo la formula (4). Sostituiamo in (4) le coordinate del punto M 1 (possiamo anche prendere le coordinate del punto M 2) e il vettore normale n:

Sostituzione delle coordinate del punto M 1 e M 2 in (9) possiamo assicurarci che la retta data dall'equazione (9) passi per questi punti.

Risposta:

Sottrai (10) da (1):

Abbiamo ottenuto l'equazione canonica di una retta. Vettore q={−B, UN) è il vettore di direzione della retta (12).

Vedi trasformazione inversa.

Esempio 3. Una retta in un piano è rappresentata dalla seguente equazione generale:

Sposta il secondo termine a destra e dividi entrambi i membri dell'equazione per 2 5.

Equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione. Equazione di una retta passante per due punti dati. Angolo tra due linee. Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due rette

1. Equazione di una retta passante per un dato punto UN(X 1 , y 1) in una determinata direzione, determinata dalla pendenza K,

y - y 1 = K(X - X 1). (1)

Questa equazione definisce una matita di linee passanti per un punto UN(X 1 , y 1), che prende il nome di centro della trave.

2. Equazione di una retta passante per due punti: UN(X 1 , y 1) e B(X 2 , y 2) si scrive così:

La pendenza di una retta passante per due punti dati è determinata dalla formula

3. Angolo tra rette UN e Bè l'angolo di cui deve essere ruotata la prima retta UN attorno al punto di intersezione di queste linee in senso antiorario fino a coincidere con la seconda linea B. Se due rette sono date da equazioni di pendenza

y = K 1 X + B 1 ,

Definizione. Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

e le costanti A, B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine è chiamata l'equazione generale di una retta. A seconda dei valori costante A, B e C, sono possibili i seguenti casi speciali:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - la linea passa per l'origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Ox

L'equazione di una retta può essere rappresentata in varie forme a seconda di una data condizione iniziale.

Equazione di una retta per un punto e un vettore normale

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B) è perpendicolare a una retta, dato dall'equazione Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per il punto A(1, 2) perpendicolare a (3, -1).

Soluzione. A A = 3 e B = -1, componiamo l'equazione di una retta: 3x - y + C = 0. Per trovare il coefficiente C, sostituiamo le coordinate del punto A dato nell'espressione risultante. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi C = -1 . Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equazione di una retta passante per due punti

Si dati nello spazio due punti M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione di una retta passante per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a zero Sul piano, l'equazione della retta scritta sopra è semplificata:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1 se x 1 = x 2.

Viene chiamata la frazione = k fattore di pendenza dritto.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Soluzione. Applicando la formula sopra, otteniamo:

Equazione di una retta da un punto e una pendenza

Se il totale Ax + Wu + C = 0 porta alla forma:

e designare , quindi viene chiamata l'equazione risultante equazione di una retta con pendenzaK.

Equazione di una retta con un vettore punto e direzione

Per analogia con il punto considerando l'equazione di una retta passante per il vettore normale, si può inserire l'assegnazione di una retta passante per un punto e un vettore direzionale di una retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α 1, α 2), le cui componenti soddisfano la condizione A α 1 + B α 2 = 0 è detto vettore direzionale della retta

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Soluzione. Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + By + C = 0. Secondo la definizione, i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1 * LA + (-1) * B = 0, cioè A = B.

Quindi l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. per x = 1, y = 2 otteniamo C / A = -3, cioè equazione desiderata:

Equazione di una retta in segmenti

Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C≠0, allora, dividendo per –C, otteniamo: o

Il significato geometrico dei coefficienti è quello del coefficiente unè la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse x, e b- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Oy.

Esempio. Data l'equazione generale della retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta nei segmenti.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equazione normale di una retta

Se entrambi i membri dell'equazione Ax + Vy + C = 0 vengono moltiplicati per il numero , che è chiamato fattore normalizzante, allora otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

equazione normale di una retta. Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale che μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Esempio. Data l'equazione generale della retta 12x - 5y - 65 \u003d 0. È necessario scrivere tipi diversi equazioni di questa linea.

l'equazione di questa retta in segmenti:

l'equazione di questa retta con la pendenza: (dividi per 5)

; cos φ = 12/13; peccato φ= -5/13; p=5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette parallele agli assi o passanti per l'origine.

Esempio. La retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Scrivi l'equazione di una retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è 8 cm 2.

Soluzione. L'equazione della retta ha la forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto A (-2, -3) e l'origine.

Soluzione. L'equazione di una retta ha la forma: , dove x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Angolo tra le linee su un piano

Definizione. Se vengono date due rette y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste rette sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2 . Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Le rette Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sono proporzionali. Se anche С 1 = λС, allora le linee coincidono. Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.

Equazione di una retta passante per un dato punto perpendicolare a una data retta

Definizione. La retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:

Distanza da punto a linea

Teorema. Se viene fornito un punto M(x 0, y 0), la distanza dalla linea Ax + Vy + C \u003d 0 è definita come

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

(1)

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione del sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Esempio. Mostra che le linee 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.

Soluzione. Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trova l'equazione per l'altezza ricavata dal vertice C.

Soluzione. Troviamo l'equazione del lato AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3 anni + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Allora y = . Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione: da cui b = 17. Totale: .

Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Equazione di una retta su un piano.

Come è noto, qualsiasi punto sul piano è determinato da due coordinate in un sistema di coordinate. I sistemi di coordinate possono essere diversi a seconda della scelta della base e dell'origine.

Definizione. Equazione di lineaè la relazione y = f(x) tra le coordinate dei punti che compongono questa retta.

Si noti che l'equazione della retta può essere espressa in modo parametrico, ovvero ogni coordinata di ogni punto è espressa attraverso un parametro indipendente t.

Un tipico esempio è la traiettoria di un punto in movimento. In questo caso, il tempo svolge il ruolo di parametro.

Equazione di una retta su un piano.

Definizione. Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

inoltre le costanti A, B non sono contemporaneamente uguali a zero, cioè A 2 + B 2  0. Si chiama questa equazione del primo ordine l'equazione generale di una retta.

A seconda dei valori delle costanti A, B e C, sono possibili i seguenti casi speciali:

C \u003d 0, A  0, B  0 - la linea passa per l'origine

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - la retta coincide con l'asse Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - la retta coincide con l'asse Ox

L'equazione di una retta può essere presentata in varie forme a seconda di una data condizione iniziale.

Equazione di una retta per un punto e un vettore normale.

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B) è perpendicolare alla retta data dall'equazione Ax + By + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per il punto A (1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).

Componiamo in A \u003d 3 e B \u003d -1 l'equazione della retta: 3x - y + C \u003d 0. Per trovare il coefficiente C, sostituiamo le coordinate del punto A dato nell'espressione risultante.

Otteniamo: 3 - 2 + C \u003d 0, quindi C \u003d -1.

Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equazione di una retta passante per due punti.

Si dati nello spazio due punti M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione di una retta passante per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente deve essere posto uguale a zero.

Su un piano, l'equazione di una retta scritta sopra è semplificata:

se x 1  x 2 e x \u003d x 1, se x 1 \u003d x 2.

Frazione
=k viene chiamato fattore di pendenza dritto.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Applicando la formula sopra, otteniamo:

Equazione di una retta per un punto e una pendenza.

Se l'equazione generale della retta Ax + Vy + C = 0 porta alla forma:

e designare
, quindi viene chiamata l'equazione risultante equazione di una retta con pendenzaK.

L'equazione di una retta su un punto e un vettore direzionale.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero ( 1 ,  2), le cui componenti soddisfano la condizione A 1 + B 2 = 0 è detto vettore direzionale della retta

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con un vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + By + C = 0. Secondo la definizione, i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1A + (-1)B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, oppure x + y + C/A = 0.

a x = 1, y = 2 otteniamo С/A = -3, cioè equazione desiderata:

Equazione di una retta in segmenti.

Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C 0, allora dividendo per –C si ottiene:
o

, dove

Esempio. Data l'equazione generale della retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta nei segmenti.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i membri dell'equazione Ax + Wy + C = 0 diviso per il numero
, che è chiamato fattore normalizzante, allora otteniamo

xcos + ysin - p = 0 –

equazione normale di una retta.

Il segno  del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale che С< 0.

p è la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla retta, e  è l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse Ox.

Esempio. Data l'equazione generale della retta 12x - 5y - 65 = 0. È necessario scrivere vari tipi di equazioni per questa retta.

l'equazione di questa retta in segmenti:

l'equazione di questa retta con la pendenza: (dividi per 5)

equazione normale di una retta:

; cos = 13/12; peccato = -5/13; p=5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette parallele agli assi o passanti per l'origine.

Esempio. La retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Scrivi l'equazione di una retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è 8 cm 2.

L'equazione di una retta ha la forma:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -quattro.

a = -4 non soddisfa la condizione del problema.

Totale:
oppure x + y - 4 = 0.

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto A (-2, -3) e l'origine.

L'equazione di una retta ha la forma:
, dove x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Angolo tra le linee su un piano.

Definizione. Se vengono date due rette y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste rette sarà definito come

Due rette sono parallele se k 1 = k 2 .

Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Rette Ax + Vy + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sono paralleli quando i coefficienti A sono proporzionali 1 =  A, B 1 =  B. Se anche C 1 =  C, allora le linee coincidono.

Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.

Equazione di una retta passante per un dato punto

perpendicolare a questa linea.

Definizione. La retta passante per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla retta y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:

La distanza da un punto a una linea.

Teorema. Se un punto M(x 0 , y 0 ), allora la distanza dalla retta Ax + Vy + C = 0 è definita come

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare caduta dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione del sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare ad una data retta.

Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Esempio. Mostra che le linee 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.

Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. Sono dati i vertici del triangolo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Trova l'equazione per l'altezza ricavata dal vertice C.

Troviamo l'equazione del lato AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3 anni + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k = . Allora y =
. Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione:
da cui b = 17. Totale:
.

Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometria analitica nello spazio.

Equazione di retta nello spazio.

L'equazione di una retta nello spazio per un punto e

vettore di direzione.

Prendi una linea arbitraria e un vettore (m, n, p) parallela alla retta data. Vettore chiamato vettore guida dritto.

Prendiamo due punti arbitrari M 0 (x 0 , y 0 , z 0) e M(x, y, z) sulla retta.

Indichiamo i vettori raggio di questi punti come e , è ovvio che - =
.

Perché vettori
e sono collineari, allora la relazione è vera
= t, dove t è un parametro.

In totale possiamo scrivere: = + t.

Perché questa equazione è soddisfatta dalle coordinate di qualsiasi punto sulla linea, quindi l'equazione risultante lo è equazione parametrica di una retta.

Questa equazione vettoriale può essere rappresentata in forma di coordinate:

Trasformando questo sistema ed eguagliando i valori del parametro t, otteniamo le equazioni canoniche di una retta nello spazio:

Definizione. Coseni di direzione diretti sono i coseni di direzione del vettore , che può essere calcolato con le formule:

;

.

Da qui si ottiene: m: n: p = cos : cos : cos.

Vengono chiamati i numeri m, n, p fattori di pendenza dritto. Perché è un vettore diverso da zero, m, n e p non possono essere zero contemporaneamente, ma uno o due di questi numeri possono essere zero. In questo caso, nell'equazione di una retta, i numeratori corrispondenti devono essere equiparati a zero.

Equazione di una retta nello spazio passante

attraverso due punti.

Se due punti arbitrari M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) sono segnati su una retta nello spazio, allora le coordinate di questi punti devono soddisfare l'equazione del retta ottenuta sopra: