Il rapporto tra gli assi dell'ellisse. Linee del secondo ordine. Ellisse e sua equazione canonica. Cerchio

Per a=b=R l'equazione (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descrive un cerchio di raggio R centrato nel punto O"(x_0,y_0) .

Equazione parametrica di un'ellisse

Equazione parametrica di un'ellisse nel sistema di coordinate canonico ha la forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Infatti, sostituendo queste espressioni nell'equazione (3.49), arriviamo alla principale identità trigonometrica \cos^2t+\sin^2t=1 .

Esempio 3.20. disegnare un'ellisse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 nel sistema di coordinate canonico Oxy . Trova i semiassi, la lunghezza focale, l'eccentricità, le proporzioni, il parametro focale, le equazioni della direttrice.

Soluzione. Confrontando l'equazione data con quella canonica, determiniamo i semiassi: a=2 - il semiasse maggiore, b=1 - il semiasse minore dell'ellisse. Costruiamo il rettangolo principale di lati 2a=4,~2b=2 centrato nell'origine (Fig.3.39). Data la simmetria dell'ellisse, la inseriamo nel rettangolo principale. Se necessario, determiniamo le coordinate di alcuni punti dell'ellisse. Ad esempio, sostituendo x=1 nell'equazione dell'ellisse, otteniamo

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quadrupla y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Pertanto, punti con coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- appartengono a un'ellisse.

Calcola il rapporto di compressione k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); lunghezza focale 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); eccentricità e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametro focale p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Componiamo le equazioni della direttrice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

11.1. Concetti basilari

Si considerino le rette definite da equazioni di secondo grado rispetto alle coordinate correnti

Coefficienti di equazione - numeri reali, ma almeno uno dei numeri A, B o C è diverso da zero. Tali linee sono chiamate linee (curve) del secondo ordine. Verrà stabilito in seguito che l'equazione (11.1) definisce un cerchio, un'ellisse, un'iperbole o una parabola nel piano. Prima di procedere a questa affermazione, studiamo le proprietà delle curve enumerate.

11.2. Cerchio

La curva più semplice del secondo ordine è un cerchio. Ricordiamo che una circonferenza di raggio R centrata in un punto è l'insieme di tutti i punti Μ del piano che soddisfano la condizione . Lascia che un punto in un sistema di coordinate rettangolare abbia coordinate x 0, y 0 a - un punto arbitrario del cerchio (vedi Fig. 48).

Quindi dalla condizione otteniamo l'equazione

(11.2)

L'equazione (11.2) è soddisfatta dalle coordinate di qualsiasi punto sulla circonferenza data e non è soddisfatta dalle coordinate di alcun punto che non giace sulla circonferenza.

Viene chiamata l'equazione (11.2). l'equazione canonica del cerchio

In particolare, assumendo e , si ottiene l'equazione di una circonferenza centrata nell'origine .

L'equazione del cerchio (11.2) dopo semplici trasformazioni assumerà la forma . Confrontando questa equazione con l'equazione generale (11.1) di una curva del secondo ordine, è facile vedere che due condizioni sono soddisfatte per l'equazione di un cerchio:

1) i coefficienti in x 2 e y 2 sono uguali tra loro;

2) non esiste un membro contenente il prodotto xy delle coordinate correnti.

Consideriamo il problema inverso. Mettendo nella (11.1) i valori e , si ottiene

Trasformiamo questa equazione:

(11.4)

Ne consegue che l'equazione (11.3) definisce un cerchio sotto la condizione . Il suo centro è nel punto , e il raggio

.

Se , allora l'equazione (11.3) ha la forma

.

È soddisfatta dalle coordinate di un singolo punto . In questo caso dicono: “il cerchio è degenerato in un punto” (ha raggio zero).

Se una , allora l'equazione (11.4), e quindi l'equazione equivalente (11.3), non determinerà alcuna linea, poiché il lato destro dell'equazione (11.4) è negativo, e il lato sinistro non è negativo (diciamo: "cerchio immaginario").

11.3. Ellisse

Equazione canonica di un'ellisse

Ellisse è l'insieme di tutti i punti del piano, la somma delle distanze da ciascuno di essi a due punti dati di questo piano, chiamati trucchi , è un valore costante maggiore della distanza tra i fuochi.

Denota i fuochi con F1 e F2, la distanza tra loro in 2 c, e la somma delle distanze da un punto arbitrario dell'ellisse ai fuochi - attraverso 2 un(vedi figura 49). Per definizione 2 un > 2c, cioè. un > c.

Per derivare l'equazione di un'ellisse, scegliamo un sistema di coordinate tale che i fuochi F1 e F2 giacciono sull'asse e l'origine coincide con il punto medio del segmento FA 1 FA 2. Allora i fuochi avranno le seguenti coordinate: e .

Sia un punto arbitrario dell'ellisse. Poi, secondo definizione di ellisse, , cioè.

Questa, infatti, è l'equazione di un'ellisse.

Trasformiamo l'equazione (11.5) in more in piena vista nel seguente modo:

Perché un>Insieme a, poi . Mettiamo

(11.6)

Quindi l'ultima equazione assume la forma o

(11.7)

Si può dimostrare che l'equazione (11.7) è equivalente all'equazione originale. È chiamato l'equazione canonica dell'ellisse .

L'ellisse è una curva del secondo ordine.

Studio della forma di un'ellisse secondo la sua equazione

Stabiliamo la forma dell'ellisse usando la sua equazione canonica.

1. L'equazione (11.7) contiene x e y solo in potenze pari, quindi se un punto appartiene a un'ellisse, allora anche i punti vi appartengono. Ne consegue che l'ellisse è simmetrica rispetto agli assi e , nonché rispetto al punto , che si dice centro dell'ellisse.

2. Trova i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi delle coordinate. Mettendo , troviamo due punti e , in cui l'asse interseca l'ellisse (vedi Fig. 50). Mettendo nell'equazione (11.7), troviamo i punti di intersezione dell'ellisse con l'asse: e . punti UN 1 , A2 , B1, B2 chiamato vertici dell'ellisse. Segmenti UN 1 A2 e B1 B2, così come le loro lunghezze 2 un e 2 b sono chiamati rispettivamente assi maggiori e minori ellisse. Numeri un e b sono chiamati rispettivamente grande e piccolo. semiassi ellisse.

3. Dall'equazione (11.7) segue che ogni termine a sinistra non supera uno, cioè ci sono disuguaglianze e o e . Pertanto, tutti i punti dell'ellisse giacciono all'interno del rettangolo formato dalle rette.

4. Nell'equazione (11.7), la somma dei termini non negativi e è uguale a uno. Di conseguenza, all'aumentare di un termine, l'altro diminuirà, cioè se aumenta, allora diminuisce e viceversa.

Da quanto detto segue che l'ellisse ha la forma mostrata in Fig. 50 (curva ovale chiusa).

Maggiori informazioni sull'ellisse

La forma dell'ellisse dipende dal rapporto. Quando l'ellisse si trasforma in un cerchio, l'equazione dell'ellisse (11.7) assume la forma . Come caratteristica della forma di un'ellisse, il rapporto è più spesso utilizzato. Il rapporto tra la metà della distanza tra i fuochi e il semiasse maggiore dell'ellisse è chiamato eccentricità dell'ellisse e o6o è indicato dalla lettera ε ("epsilon"):

con 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Ciò mostra che minore è l'eccentricità dell'ellisse, meno oblata sarà l'ellisse; se poniamo ε = 0, allora l'ellisse si trasforma in un cerchio.

Sia M(x; y) un punto arbitrario dell'ellisse con fuochi F 1 e F 2 (vedi Fig. 51). Le lunghezze dei segmenti F 1 M=r 1 e F 2 M = r 2 sono chiamate raggi focali del punto M. Ovviamente,

Ci sono formule

Le linee rette sono chiamate

Teorema 11.1. Se è la distanza da un punto arbitrario dell'ellisse a un fuoco, d è la distanza dallo stesso punto alla direttrice corrispondente a questo fuoco, quindi il rapporto è un valore costante pari all'eccentricità dell'ellisse:

Dall'uguaglianza (11.6) segue che . Se , allora l'equazione (11.7) definisce un'ellisse, il cui asse maggiore giace sull'asse Oy e l'asse minore giace sull'asse Ox (vedi Fig. 52). I fuochi di una tale ellisse sono nei punti e , dove .

11.4. Iperbole

Equazione canonica di un'iperbole

Iperbole si chiama l'insieme di tutti i punti del piano, il modulo della differenza di distanze da ciascuno dei quali a due punti dati di questo piano, chiamato trucchi , è un valore costante, minore della distanza tra i fuochi.

Denota i fuochi con F1 e F2 la distanza tra loro attraverso 2s, e il modulo della differenza di distanze da ciascun punto dell'iperbole ai fuochi passanti 2a. Per definizione 2a < 2s, cioè. un < c.

Per derivare l'equazione dell'iperbole, scegliamo un sistema di coordinate tale che i fuochi F1 e F2 giacciono sull'asse e l'origine coincide con il punto medio del segmento FA 1 FA 2(vedi figura 53). Quindi i fuochi avranno coordinate e

Sia un punto arbitrario dell'iperbole. Quindi secondo la definizione di un'iperbole o , cioè Dopo le semplificazioni, come è stato fatto quando si deriva l'equazione dell'ellisse, otteniamo equazione canonica di un'iperbole

(11.9)

(11.10)

Un'iperbole è una retta del secondo ordine.

Studio della forma di un'iperbole secondo la sua equazione

Stabiliamo la forma dell'iperbole usando la sua equazione caconica.

1. L'equazione (11.9) contiene x e y solo in potenze pari. Pertanto, l'iperbole è simmetrica rispetto agli assi e , nonché rispetto al punto , che si chiama il centro dell'iperbole.

2. Trova i punti di intersezione dell'iperbole con gli assi delle coordinate. Mettendo nell'equazione (11.9), troviamo due punti di intersezione dell'iperbole con l'asse : e . Inserendo la (11.9), si ottiene , che non può essere. Pertanto, l'iperbole non interseca l'asse y.

I punti e sono chiamati picchi iperboli e il segmento

asse reale , segmento - semiasse reale iperbole.

Viene chiamato il segmento di linea che collega i punti asse immaginario , numero b - asse immaginario . Rettangolo con i lati 2a e 2b chiamato il rettangolo principale di un'iperbole .

3. Dall'equazione (11.9) segue che il minuendo non è minore di uno, cioè quello o . Ciò significa che i punti dell'iperbole si trovano a destra della retta (il ramo destro dell'iperbole) ea sinistra della retta (il ramo sinistro dell'iperbole).

4. Dall'equazione (11.9) dell'iperbole, si può vedere che quando aumenta, aumenta anche. Ciò deriva dal fatto che la differenza mantiene un valore costante pari a uno.

Da quanto detto segue che l'iperbole ha la forma mostrata in Figura 54 (una curva formata da due rami illimitati).

Asintoti di un'iperbole

La retta L si chiama asintoto di una curva K illimitata se la distanza d dal punto M della curva K a questa linea tende a zero mentre il punto M si sposta lungo la curva K indefinitamente dall'origine. La Figura 55 illustra il concetto di asintoto: la linea L è un asintoto per la curva K.

Dimostriamo che l'iperbole ha due asintoti:

(11.11)

Poiché le rette (11.11) e l'iperbole (11.9) sono simmetriche rispetto agli assi coordinati, è sufficiente considerare solo quei punti delle rette indicate che si trovano nel primo quadrante.

Prendiamo su una retta un punto N avente la stessa ascissa x di un punto su un'iperbole (vedi Fig. 56), e trova la differenza ΜN tra le ordinate della retta e il ramo dell'iperbole:

Come puoi vedere, all'aumentare di x, il denominatore della frazione aumenta; numeratore è un valore costante. Pertanto, la lunghezza del segmento ΜN tende a zero. Poiché ΜN è maggiore della distanza d dal punto Μ alla linea, allora d a maggior ragione tende a zero. Pertanto, le linee sono asintoti dell'iperbole (11.9).

Quando si costruisce un'iperbole (11.9), è consigliabile costruire prima il rettangolo principale dell'iperbole (vedi Fig. 57), tracciare linee che passano attraverso i vertici opposti di questo rettangolo - gli asintoti dell'iperbole e segnare i vertici e , iperbole .

L'equazione di un'iperbole equilatera.

i cui asintoti sono gli assi coordinati

L'iperbole (11.9) si dice equilatera se i suoi semiassi sono uguali (). La sua equazione canonica

(11.12)

Gli asintoti di un'iperbole equilatera hanno equazioni e sono quindi bisettrici degli angoli coordinati.

Considera l'equazione di questa iperbole in un nuovo sistema di coordinate (vedi Fig. 58), ottenuto da quello vecchio ruotando gli assi delle coordinate di un angolo. Usiamo le formule per la rotazione degli assi coordinati:

Sostituiamo i valori di x e y nell'equazione (11.12):

L'equazione di un'iperbole equilatera, per la quale gli assi Ox e Oy sono asintoti, avrà la forma .

Maggiori informazioni sull'iperbole

eccentricità l'iperbole (11.9) è il rapporto tra la distanza tra i fuochi e il valore dell'asse reale dell'iperbole, indicato con ε:

Poiché per un'iperbole , l'eccentricità dell'iperbole è maggiore di uno: . L'eccentricità caratterizza la forma di un'iperbole. Infatti, dall'uguaglianza (11.10) segue che i.e. e .

Ciò dimostra che minore è l'eccentricità dell'iperbole, minore è il rapporto dei suoi semiassi, il che significa che più il suo rettangolo principale è esteso.

L'eccentricità di un'iperbole equilatera è . Veramente,

Raggi focali e per i punti del ramo destro dell'iperbole hanno la forma e , e per il sinistro - e .

Le rette sono chiamate direttrici di un'iperbole. Poiché per l'iperbole ε > 1, allora . Ciò significa che la direttrice destra si trova tra il centro e il vertice destro dell'iperbole, la direttrice sinistra è tra il centro e il vertice sinistro.

Le direttrici di un'iperbole hanno la stessa proprietà delle direttrici di un'ellisse.

La curva definita dall'equazione è anche un'iperbole, il cui asse reale 2b si trova sull'asse Oy e l'asse immaginario 2 un- sull'asse del Bue. Nella Figura 59, è mostrato come una linea tratteggiata.

Ovviamente, le iperboli e hanno asintoti comuni. Tali iperboli sono chiamate coniugate.

11.5. Parabola

Equazione della parabola canonica

Una parabola è l'insieme di tutti i punti di un piano, ciascuno dei quali è equidistante da un dato punto, detto fuoco, e da una data retta, detta direttrice. La distanza dal fuoco F alla direttrice è chiamata parametro della parabola ed è indicata con p (p > 0).

Per derivare l'equazione della parabola, scegliamo il sistema di coordinate Oxy in modo che l'asse Oxy passi attraverso il fuoco F perpendicolare alla direttrice nella direzione dalla direttrice a F, e l'origine O si trovi nel mezzo tra il fuoco e la direttrice (vedi figura 60). Nel sistema selezionato, il fuoco F ha coordinate , e l'equazione della direttrice ha la forma , o .

1. Nell'equazione (11.13), la variabile y è inclusa in un grado pari, il che significa che la parabola è simmetrica rispetto all'asse Ox; l'asse x è l'asse di simmetria della parabola.

2. Poiché ρ > 0, dalla (11.13) segue che . Pertanto, la parabola si trova a destra dell'asse y.

3. Quando abbiamo y \u003d 0. Pertanto, la parabola passa per l'origine.

4. Con un aumento illimitato di x, anche il modulo y aumenta indefinitamente. La parabola ha la forma (forma) mostrata nella Figura 61. Il punto O (0; 0) è chiamato vertice della parabola, il segmento FM \u003d r è chiamato raggio focale del punto M.

Equazioni , , ( p>0) definiscono anche parabole, sono mostrate in Figura 62

È facile dimostrare che il grafico di un trinomio quadrato, dove , B e C sono numeri reali qualsiasi, è una parabola nel senso della sua definizione sopra.

11.6. Equazione generale delle rette del secondo ordine

Equazioni di curve del secondo ordine con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati

Troviamo dapprima l'equazione di un'ellisse centrata in un punto i cui assi di simmetria sono paralleli agli assi coordinati Ox e Oy e i cui semiassi sono rispettivamente uguali a un e b. Poniamo al centro dell'ellisse O 1 l'origine del nuovo sistema di coordinate , i cui assi e semiassi un e b(vedi figura 64):

E infine, le parabole mostrate in Figura 65 hanno equazioni corrispondenti.

L'equazione

Le equazioni di un'ellisse, un'iperbole, una parabola e l'equazione di un cerchio dopo le trasformazioni (parentesi aperte, spostare tutti i termini dell'equazione in una direzione, portare termini simili, introdurre una nuova notazione per i coefficienti) possono essere scritte utilizzando una singola equazione di il modulo

dove i coefficienti A e C non sono contemporaneamente uguali a zero.

Sorge la domanda: qualche equazione della forma (11.14) determina una delle curve (cerchio, ellisse, iperbole, parabola) del secondo ordine? La risposta è data dal seguente teorema.

Teorema 11.2. L'equazione (11.14) definisce sempre: o un cerchio (per A = C), o un'ellisse (per A C > 0), o un'iperbole (per A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Equazione generale del secondo ordine

Considera ora equazione generale secondo grado a due incognite:

Differisce dall'equazione (11.14) per la presenza di un termine con prodotto di coordinate (B¹ 0). È possibile, ruotando gli assi delle coordinate di un angolo a, trasformare questa equazione in modo che il termine con il prodotto delle coordinate sia assente in essa.

Utilizzo di formule per la rotazione degli assi

Esprimiamo le vecchie coordinate in termini di quelle nuove:

Scegliamo l'angolo a in modo che il coefficiente in x "y" si annulli, cioè in modo che l'uguaglianza

Pertanto, quando gli assi vengono ruotati di un angolo a che soddisfa la condizione (11.17), l'equazione (11.15) si riduce all'equazione (11.14).

Conclusione: l'equazione generale del secondo ordine (11.15) definisce sul piano (salvo i casi di degenerazione e decadimento) le seguenti curve: circonferenza, ellisse, iperbole, parabola.

Nota: se A = C, allora l'equazione (11.17) perde il suo significato. In questo caso cos2α = 0 (vedi (11.16)), allora 2α = 90°, cioè α = 45°. Quindi, in A = C, il sistema di coordinate dovrebbe essere ruotato di 45 °.

Un'ellisse è il luogo dei punti in un piano, la somma delle distanze da ciascuno di essi a due punti dati F_1, e F_2 è un valore costante (2a), maggiore della distanza (2c) tra questi punti dati (Fig. 3.36, a). Questa definizione geometrica esprime proprietà focale di un'ellisse.

Proprietà focale di un'ellisse

I punti F_1 e F_2 sono detti fuochi dell'ellisse, la loro distanza 2c=F_1F_2 è la lunghezza focale, il punto medio O del segmento F_1F_2 è il centro dell'ellisse, il numero 2a è la lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse l'ellisse (rispettivamente, il numero a è il semiasse maggiore dell'ellisse). I segmenti F_1M e F_2M che collegano un punto arbitrario M dell'ellisse con i suoi fuochi sono detti raggi focali del punto M . Un segmento di linea che unisce due punti di un'ellisse è chiamato corda dell'ellisse.

Il rapporto e=\frac(c)(a) è detto eccentricità dell'ellisse. Dalla definizione (2a>2c) segue che 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definizione geometrica di un'ellisse, che esprime la sua proprietà focale, equivale alla sua definizione analitica - una linea data dall'equazione canonica di un'ellisse:

In effetti, introduciamo un sistema di coordinate rettangolari (Fig. 3.36, c). Il centro O dell'ellisse è preso come origine del sistema di coordinate; la retta passante per i fuochi (l'asse focale o primo asse dell'ellisse), la prenderemo come asse delle ascisse (la direzione positiva su di esso dal punto F_1 al punto F_2); la retta perpendicolare all'asse focale e passante per il centro dell'ellisse (il secondo asse dell'ellisse) è presa come asse y (la direzione sull'asse y è scelta in modo che il sistema di coordinate rettangolari Oxy sia giusto ).

Formuliamo l'equazione di un'ellisse usando la sua definizione geometrica, che esprime la proprietà focale. Nel sistema di coordinate selezionato, determiniamo le coordinate dei fuochi F_1(-c,0),~F_2(c,0). Per un punto arbitrario M(x,y) appartenente all'ellisse si ha:

\vlinea\,\overrightarrow(F_1M)\,\vlinea\,+\vlinea\,\overrightarrow(F_2M)\,\vlinea\,=2a.

Scrivendo questa uguaglianza in forma di coordinate, otteniamo:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Trasferiamo il secondo radicale a destra, quadratiamo entrambi i lati dell'equazione e diamo termini simili:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Dividendo per 4, eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Denotare b=\sqrt(a^2-c^2)>0, noi abbiamo b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dividendo entrambe le parti per a^2b^2\ne0 , arriviamo all'equazione canonica dell'ellisse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Pertanto, il sistema di coordinate scelto è canonico.

Se i fuochi dell'ellisse coincidono, allora l'ellisse è un cerchio (Fig. 3.36.6), poiché a=b. In questo caso, qualsiasi sistema di coordinate rettangolare con origine nel punto O\equiv F_1\equiv F_2, e l'equazione x^2+y^2=a^2 è l'equazione di una circonferenza di centro O e raggio a .

Ragionando a ritroso, si può dimostrare che tutti i punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (3.49), e solo essi, appartengono al luogo dei punti, detto ellisse. In altre parole, la definizione analitica di un'ellisse equivale alla sua definizione geometrica, che esprime la proprietà focale dell'ellisse.

Proprietà directory di un'ellisse

Le direttrici di un'ellisse sono due rette che passano parallele all'asse delle ordinate del sistema di coordinate canonico alla stessa distanza \frac(a^2)(c) da esso. Per c=0 , quando l'ellisse è un cerchio, non ci sono direttrici (possiamo supporre che le direttrici siano rimosse all'infinito).

Ellisse con eccentricità 0 luogo dei punti del piano, per ognuno dei quali il rapporto tra la distanza da un punto dato F (fuoco) e la distanza da una retta data d (direttrice) che non passa per un punto dato è costante e uguale al eccentricità e ( proprietà della directory ellisse). Qui F e d sono uno dei fuochi dell'ellisse e una delle sue direttrici, situati sullo stesso lato dell'asse y del sistema di coordinate canonico, cioè F_1,d_1 o F_2,d_2 .

Infatti, ad esempio, per fuoco F_2 e direttrice d_2 (Fig. 3.37.6) la condizione \frac(r_2)(\rho_2)=e può essere scritto in forma coordinata:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\sinistra(\frac(a^2)(c)-x\destra)

Liberarsi dell'irrazionalità e sostituire e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, arriviamo all'equazione canonica dell'ellisse (3.49). Analogo ragionamento si può fare per il fuoco F_1 e la direttrice d_1\due punti\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Equazione dell'ellisse in coordinate polari

L'equazione dell'ellisse nel sistema di coordinate polari F_1r\varphi (Fig.3.37,c e 3.37(2)) ha la forma

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

dove p=\frac(b^2)(a) è il parametro focale dell'ellisse.

Scegliamo infatti il ​​fuoco sinistro F_1 dell'ellisse come polo del sistema di coordinate polari, e il raggio F_1F_2 come asse polare (Fig. 3.37, c). Allora per un punto arbitrario M(r,\varphi) , secondo la definizione geometrica (proprietà focale) di un'ellisse, abbiamo r+MF_2=2a . Esprimiamo la distanza tra i punti M(r,\varphi) e F_2(2c,0) (vedi ):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(allineato)

Pertanto, in forma di coordinate, l'equazione dell'ellisse F_1M+F_2M=2a ha la forma

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Isoliamo il radicale, quadratiamo entrambi i lati dell'equazione, dividiamo per 4 e diamo termini simili:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Esprimiamo il raggio polare r ed effettuiamo la sostituzione e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Il significato geometrico dei coefficienti nell'equazione dell'ellisse

Troviamo i punti di intersezione dell'ellisse (vedi Fig. 3.37, a) con gli assi delle coordinate (vertici degli zllips). Sostituendo y=0 nell'equazione, troviamo i punti di intersezione dell'ellisse con l'asse delle ascisse (con l'asse focale): x=\pm a . Pertanto, la lunghezza del segmento dell'asse focale racchiuso nell'ellisse è pari a 2a. Questo segmento, come notato sopra, è chiamato l'asse maggiore dell'ellisse, e il numero a è il semiasse maggiore dell'ellisse. Sostituendo x=0 , otteniamo y=\pm b . Pertanto, la lunghezza del segmento del secondo asse dell'ellisse racchiusa all'interno dell'ellisse è pari a 2b. Questo segmento è chiamato asse minore dell'ellisse e il numero b è chiamato semiasse minore dell'ellisse.

Veramente, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, e l'uguaglianza b=a si ottiene solo nel caso c=0 quando l'ellisse è un cerchio. Atteggiamento k=\frac(b)(a)\leqslant1è detto fattore di contrazione dell'ellisse.

Osservazioni 3.9

1. Le linee x=\pm a,~y=\pm b delimitano il rettangolo principale sul piano delle coordinate, all'interno del quale si trova l'ellisse (vedi Fig. 3.37, a).

2. Un'ellisse può essere definita come il luogo dei punti ottenuto contraendo un cerchio al suo diametro.

Infatti, nel sistema di coordinate rettangolari Oxy l'equazione del cerchio ha la forma x^2+y^2=a^2 . Quando viene compresso sull'asse x con un fattore pari a 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Sostituendo x=x" e y=\frac(1)(k)y" nell'equazione del cerchio, otteniamo un'equazione per le coordinate dell'immagine M"(x",y") del punto M(x ,y) :

(x")^2+(\sinistra(\frac(1)(k)\cdot y"\destra)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

poiché b=k\cdot a . Questa è l'equazione canonica dell'ellisse.

3. Gli assi delle coordinate (del sistema di coordinate canonico) sono gli assi di simmetria dell'ellisse (chiamati assi principali dell'ellisse), e il suo centro è il centro di simmetria.

Infatti, se il punto M(x,y) appartiene all'ellisse . allora i punti M"(x,-y) e M""(-x,y) , simmetrici al punto M rispetto agli assi coordinati, appartengono anch'essi alla stessa ellisse.

4. Dall'equazione di un'ellisse in un sistema di coordinate polari r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vedi Fig. 3.37, c), viene chiarito il significato geometrico del parametro focale: questa è la metà della lunghezza della corda dell'ellisse che passa attraverso il suo fuoco perpendicolare all'asse focale (r = p a \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. L'eccentricità e caratterizza la forma dell'ellisse, cioè la differenza tra l'ellisse e il cerchio. Maggiore è e, più allungata è l'ellisse e più vicina è a zero, più vicina è l'ellisse al cerchio (Fig. 3.38, a). Infatti, dato che e=\frac(c)(a) e c^2=a^2-b^2 , otteniamo

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\sinistra(\frac(a)(b)\destra )\^2=1-k^2, !}

dove k è il fattore di contrazione dell'ellisse, 0

6. Equazione \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 per un

7. Equazione \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definisce un'ellisse centrata nel punto O "(x_0, y_0) , i cui assi sono paralleli agli assi delle coordinate (Fig. 3.38, c). Questa equazione è ridotta a quella canonica usando la traslazione parallela (3.36).

Per a=b=R l'equazione (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descrive un cerchio di raggio R centrato nel punto O"(x_0,y_0) .

Equazione parametrica di un'ellisse

Equazione parametrica di un'ellisse nel sistema di coordinate canonico ha la forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Infatti, sostituendo queste espressioni nell'equazione (3.49), arriviamo all'identità trigonometrica di base \cos^2t+\sin^2t=1.

Esempio 3.20. disegnare un'ellisse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 nel sistema di coordinate canonico Oxy . Trova i semiassi, la lunghezza focale, l'eccentricità, le proporzioni, il parametro focale, le equazioni della direttrice.

Soluzione. Confrontando l'equazione data con quella canonica, determiniamo i semiassi: a=2 - il semiasse maggiore, b=1 - il semiasse minore dell'ellisse. Costruiamo il rettangolo principale di lati 2a=4,~2b=2 centrato nell'origine (Fig.3.39). Data la simmetria dell'ellisse, la inseriamo nel rettangolo principale. Se necessario, determiniamo le coordinate di alcuni punti dell'ellisse. Ad esempio, sostituendo x=1 nell'equazione dell'ellisse, otteniamo

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quadrupla y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Pertanto, punti con coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- appartengono a un'ellisse.

Calcola il rapporto di compressione k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); lunghezza focale 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); eccentricità e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametro focale p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Componiamo le equazioni della direttrice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Definizione. Un'ellisse è il luogo dei punti in un piano, la somma delle distanze di ciascuno di essi da due punti dati di questo piano, detti fuochi, è un valore costante (a condizione che tale valore sia maggiore della distanza tra i fuochi).

Indichiamo i fuochi attraverso la distanza tra loro - attraverso , e un valore costante uguale alla somma delle distanze da ciascun punto dell'ellisse ai fuochi, attraverso (per condizione ).

Costruiamo un sistema di coordinate cartesiane in modo che i fuochi siano sull'asse delle ascisse e l'origine delle coordinate coincida con il centro del segmento (Fig. 44). Quindi i focus avranno le seguenti coordinate: focus sinistro e focus destro. Deriviamo l'equazione dell'ellisse nel sistema di coordinate che abbiamo scelto. A tal fine, si consideri un punto arbitrario dell'ellisse. Per definizione di un'ellisse, la somma delle distanze da questo punto ai fuochi è:

Usando la formula per la distanza tra due punti, otteniamo, quindi,

Per semplificare questa equazione, la scriviamo nella forma

Quindi elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione si ottiene

oppure, dopo ovvie semplificazioni:

Ora di nuovo eleviamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione, dopodiché avremo:

oppure, dopo identiche trasformazioni:

Poiché secondo la condizione nella definizione di un'ellisse , allora è un numero positivo. Introduciamo la notazione

Quindi l'equazione assumerà la seguente forma:

Per definizione di un'ellisse, le coordinate di uno qualsiasi dei suoi punti soddisfano l'equazione (26). Ma l'equazione (29) è una conseguenza dell'equazione (26). Pertanto, soddisfa anche le coordinate di qualsiasi punto dell'ellisse.

Si può dimostrare che le coordinate dei punti che non giacciono sull'ellisse non soddisfano l'equazione (29). Pertanto, l'equazione (29) è l'equazione di un'ellisse. Si chiama equazione canonica dell'ellisse.

Stabiliamo la forma dell'ellisse usando la sua equazione canonica.

Prima di tutto, nota che questa equazione contiene solo potenze pari di x e y. Ciò significa che se un punto appartiene a un'ellisse, include anche un punto simmetrico con un punto attorno all'asse delle ascisse e un punto simmetrico con un punto attorno all'asse y. Pertanto, l'ellisse ha due assi di simmetria reciprocamente perpendicolari, che nel nostro sistema di coordinate scelto coincidono con gli assi delle coordinate. Gli assi di simmetria dell'ellisse saranno chiamati gli assi dell'ellisse e il punto della loro intersezione - il centro dell'ellisse. L'asse su cui si trovano i fuochi dell'ellisse (in questo caso l'asse delle ascisse) è chiamato asse focale.

Determiniamo prima la forma dell'ellisse nel primo quarto. Per fare ciò, risolviamo l'equazione (28) rispetto a y:

È ovvio che qui , poiché y assume valori immaginari per . Con un aumento da 0 ad a, y diminuisce da b a 0. La parte dell'ellisse che giace nel primo quarto sarà un arco delimitato dai punti B (0; b) e giacente sugli assi delle coordinate (Fig. 45). Usando ora la simmetria dell'ellisse, concludiamo che l'ellisse ha la forma mostrata in Fig. 45.

I punti di intersezione dell'ellisse con gli assi sono detti vertici dell'ellisse. Dalla simmetria dell'ellisse risulta che, oltre ai vertici, l'ellisse ha altri due vertici (vedi Fig. 45).

I segmenti e che collegano i vertici opposti dell'ellisse, così come le loro lunghezze, sono chiamati rispettivamente l'asse maggiore e minore dell'ellisse. I numeri aeb sono detti rispettivamente semiassi maggiore e minore dell'ellisse.

Il rapporto tra la metà della distanza tra i fuochi e il semiasse maggiore dell'ellisse è chiamato eccentricità dell'ellisse ed è solitamente indicato con la lettera:

Poiché , allora l'eccentricità dell'ellisse è minore di uno: L'eccentricità caratterizza la forma dell'ellisse. Dalla formula (28), infatti, segue che quanto minore è l'eccentricità dell'ellisse, tanto meno il suo semiasse minore b differisce dal semiasse maggiore a, cioè tanto meno l'ellisse è estesa (lungo il focale asse).

Nel caso limite, quando ottieni un cerchio di raggio a: , o . Allo stesso tempo, i fuochi dell'ellisse, per così dire, si fondono in un punto: il centro del cerchio. L'eccentricità del cerchio è zero:

La connessione tra l'ellisse e il cerchio può essere stabilita da un altro punto di vista. Mostriamo che un'ellisse di semiassi aeb può essere considerata come una proiezione di un cerchio di raggio a.

Consideriamo due piani P e Q, formando un tale angolo a tra loro, per cui (Fig. 46). Costruiamo un sistema di coordinate nel piano P e un sistema Oxy nel piano Q con origine comune O e asse delle ascisse comune coincidente con la linea di intersezione dei piani. Consideriamo nel piano P la circonferenza

centrato nell'origine e nel raggio a. Sia un punto scelto arbitrariamente del cerchio, sia la sua proiezione sul piano Q, e sia la proiezione del punto M sull'asse Ox. Mostriamo che il punto giace su un'ellisse di semiassi a e b.

Definizione 7.1. Si chiama l'insieme di tutti i punti del piano per i quali la somma delle distanze di due punti fissi F 1 e F 2 è una data costante ellisse.

La definizione di un'ellisse fornisce il seguente modo di costruirla geometricamente. Fissiamo due punti F 1 e F 2 sul piano e indichiamo un valore costante non negativo con 2a. Lascia che la distanza tra i punti F 1 e F 2 sia uguale a 2c. Immagina che un filo inestensibile di lunghezza 2a sia fissato nei punti F 1 e F 2, ad esempio, con l'aiuto di due aghi. È chiaro che questo è possibile solo per a ≥ c. Tirando il filo con una matita, disegna una linea, che sarà un'ellisse (Fig. 7.1).

Quindi, l'insieme descritto non è vuoto se a ≥ c. Quando a = c, l'ellisse è un segmento con estremità F 1 e F 2, e quando c = 0, cioè se i punti fissi specificati nella definizione di un'ellisse coincidono, si tratta di un cerchio di raggio a. Scartando questi casi degeneri, assumeremo inoltre, di regola, che a > c > 0.

I punti fissi F 1 e F 2 nella definizione 7.1 dell'ellisse (vedi Fig. 7.1) sono chiamati trucchi dell'ellisse, la distanza tra loro, indicata con 2c, - lunghezza focale, e i segmenti F 1 M e F 2 M, che collegano un punto arbitrario M sull'ellisse con i suoi fuochi, - raggi focali.

La forma dell'ellisse è completamente determinata dalla lunghezza focale |F 1 F 2 | = 2с e parametro ae la sua posizione sul piano - da una coppia di punti F 1 e F 2 .

Dalla definizione di un'ellisse risulta che è simmetrica rispetto a una retta passante per i fuochi F 1 e F 2, nonché rispetto a una retta che divide a metà il segmento F 1 F 2 ed è perpendicolare ad esso (Fig. 7.2, a). Queste linee sono chiamate assi ellittici. Il punto O della loro intersezione è il centro di simmetria dell'ellisse, e si chiama il centro dell'ellisse, e i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi di simmetria (punti A, B, C e D in Fig. 7.2, a) - vertici dell'ellisse.

Viene chiamato il numero a semiasse maggiore di un'ellisse, e b = √ (a 2 - c 2) - suo semiasse minore. Si vede facilmente che per c > 0 il semiasse maggiore a è uguale alla distanza dal centro dell'ellisse a quelli dei suoi vertici che sono sullo stesso asse dei fuochi dell'ellisse (vertici A e B in Fig. 7.2, a), e il semiasse minore b è uguale alla distanza dal centro dell'ellisse ai suoi altri due vertici (vertici C e D in Fig. 7.2, a).

Equazione dell'ellisse. Considera un'ellisse sul piano con fuochi nei punti F 1 e F 2 , asse maggiore 2a. Sia 2c la lunghezza focale, 2c = |F 1 F 2 |

Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare Oxy sul piano in modo che la sua origine coincida con il centro dell'ellisse e i fuochi siano su ascissa(Fig. 7.2, b). Questo sistema di coordinate è chiamato canonico per l'ellisse in esame, e le variabili corrispondenti sono canonico.

Nel sistema di coordinate selezionato, i fuochi hanno coordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Usando la formula per la distanza tra i punti, scriviamo la condizione |F 1 M| + |F 2 M| = 2a in coordinate:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Questa equazione è scomoda perché contiene due radicali quadrati. Quindi trasformiamolo. Trasferiamo il secondo radicale nell'equazione (7.2) sul lato destro e lo eleviamo al quadrato:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Dopo aver aperto le parentesi e ridotto i termini simili, otteniamo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

dove ε = c/a. Ripetiamo l'operazione di quadratura per togliere anche il secondo radicale: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, oppure, dato il valore del parametro inserito ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Poiché a 2 - c 2 = b 2 > 0, allora

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

L'equazione (7.4) è soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti che giacciono sull'ellisse. Ma quando si deriva questa equazione, sono state utilizzate trasformazioni non equivalenti dell'equazione originale (7.2): due quadrature che rimuovono i radicali quadrati. La quadratura di un'equazione è una trasformazione equivalente se entrambi i lati contengono quantità con lo stesso segno, ma non l'abbiamo verificato nelle nostre trasformazioni.

Potremmo non controllare l'equivalenza delle trasformazioni se consideriamo quanto segue. Una coppia di punti F 1 e F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, sul piano definisce una famiglia di ellissi con fuochi in questi punti. Ogni punto del piano, ad eccezione dei punti del segmento F 1 F 2 , appartiene a qualche ellisse della famiglia indicata. In questo caso non si intersecano due ellissi, poiché la somma dei raggi focali determina univocamente una specifica ellisse. Quindi, la famiglia descritta di ellissi senza intersezioni copre l'intero piano, ad eccezione dei punti del segmento F 1 F 2 . Consideriamo un insieme di punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (7.4) con un dato valore del parametro a. Questo insieme può essere distribuito tra più ellissi? Alcuni punti dell'insieme appartengono ad un'ellisse di semiasse maggiore a. Sia un punto in questo insieme giacente su un'ellisse di semiasse maggiore a. Quindi le coordinate di questo punto obbediscono all'equazione

quelli. le equazioni (7.4) e (7.5) hanno soluzioni generali. Tuttavia, è facile verificare che il sistema

per ã ≠ a non ha soluzioni. Per fare ciò è sufficiente escludere, ad esempio, x dalla prima equazione:

che dopo le trasformazioni porta all'equazione

non avendo soluzioni per ã ≠ a, perché . Allora (7.4) è l'equazione di un'ellisse di semiasse maggiore a > 0 e semiasse minore b = √ (a 2 - c 2) > 0. Si chiama l'equazione canonica dell'ellisse.

Vista ellisse. Il metodo geometrico di costruzione di un'ellisse sopra considerato ne dà un'idea sufficiente aspetto esteriore ellisse. Ma la forma di un'ellisse può essere studiata anche con l'aiuto della sua equazione canonica (7.4). Ad esempio, considerando y ≥ 0, si può esprimere y in termini di x: y = b√(1 - x 2 /a 2), e, esaminata questa funzione, costruirne il grafico. C'è un altro modo per costruire un'ellisse. Un cerchio di raggio a centrato nell'origine del sistema di coordinate canonico dell'ellisse (7.4) è descritto dall'equazione x 2 + y 2 = a 2 . Se è compresso con il coefficiente a/b > 1 lungo asse y, quindi ottieni una curva descritta dall'equazione x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, ad es. un'ellisse.

Osservazione 7.1. Se lo stesso cerchio è compresso con il coefficiente a/b

Eccentricità dell'ellisse. Viene chiamato il rapporto tra la lunghezza focale di un'ellisse e il suo asse maggiore eccentricità dell'ellisse e indicato con ε. Per un'ellisse data

equazione canonica (7.4), ε = 2c/2a = ñ/a. Se nella (7.4) i parametri aeb sono legati dalla disuguaglianza a

Per c = 0, quando l'ellisse si trasforma in un cerchio, e ε = 0. In altri casi, 0

L'equazione (7.3) è equivalente all'equazione (7.4) perché le equazioni (7.4) e (7.2) sono equivalenti. Pertanto, (7.3) è anche un'equazione di ellisse. Inoltre, la relazione (7.3) è interessante in quanto fornisce una semplice formula senza radicali per la lunghezza |F 2 M| uno dei raggi focali del punto M(x; y) dell'ellisse: |F 2 M| = a + εx.

Una formula simile per il secondo raggio focale può essere ottenuta da considerazioni di simmetria o ripetendo calcoli in cui, prima della quadratura dell'equazione (7.2), il primo radicale viene trasferito a destra, e non il secondo. Quindi, per ogni punto M(x; y) sull'ellisse (vedi Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

e ciascuna di queste equazioni è un'equazione di ellisse.

Esempio 7.1. Troviamo l'equazione canonica di un'ellisse con semiasse maggiore 5 ed eccentricità 0.8 e costruiamola.

Conoscendo il semiasse maggiore dell'ellisse a = 5 e l'eccentricità ε = 0.8, troviamo il suo semiasse minore b. Poiché b \u003d √ (a 2 - c 2) e c \u003d εa \u003d 4, allora b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Quindi l'equazione canonica ha la forma x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Per costruire un'ellisse, è conveniente disegnare un rettangolo centrato all'origine del sistema di coordinate canonico, i cui lati sono paralleli agli assi di simmetria dell'ellisse e uguali al suo assi corrispondenti (Fig. 7.4). Questo rettangolo si interseca con

gli assi dell'ellisse ai suoi vertici A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), e l'ellisse stessa è inscritta in essa. Sulla fig. 7.4 mostra anche i fuochi F 1.2 (±4; 0) dell'ellisse.

Proprietà geometriche di un'ellisse. Riscriviamo la prima equazione in (7.6) come |F 1 M| = (à/ε - x)ε. Si noti che il valore di a / ε - x per a > c è positivo, poiché il fuoco F 1 non appartiene all'ellisse. Questo valore è la distanza dalla linea verticale d: x = a/ε dal punto M(x; y) a sinistra di questa linea. L'equazione dell'ellisse può essere scritta come

|F 1 M|/(à/ε - x) = ε

Significa che questa ellisse è costituita da quei punti M (x; y) del piano per i quali il rapporto tra la lunghezza del raggio focale F 1 M e la distanza dalla retta d è un valore costante pari a ε (Fig. 7.5).

La linea d ha un "doppio" - una linea verticale d", simmetrica a d rispetto al centro dell'ellisse, che è data dall'equazione x \u003d -a / ε. Rispetto a d, l'ellisse è descritta allo stesso modo del d. Entrambe le linee d e d" sono chiamate direttrici ellittiche. Le direttrici dell'ellisse sono perpendicolari all'asse di simmetria dell'ellisse su cui si trovano i suoi fuochi e sono separate dal centro dell'ellisse da una distanza a / ε = a 2 / c (vedi Fig. 7.5).

Si chiama la distanza p dalla direttrice al fuoco più vicino ad essa parametro focale dell'ellisse. Questo parametro è uguale a

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

L'ellisse ha un'altra importante proprietà geometrica: i raggi focali F 1 M e F 2 M formano angoli uguali con la tangente all'ellisse nel punto M (Fig. 7.6).

Questa proprietà ha un chiaro significato fisico. Se una sorgente luminosa è posta nel fuoco F 1, allora il raggio che emerge da questo fuoco, dopo la riflessione dall'ellisse, andrà lungo il secondo raggio focale, poiché dopo la riflessione sarà allo stesso angolo rispetto alla curva come prima della riflessione . Pertanto, tutti i raggi uscenti dal fuoco F 1 saranno concentrati nel secondo fuoco F 2 e viceversa. Sulla base di questa interpretazione, viene chiamata questa proprietà proprietà ottiche di un'ellisse.