angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.
Siano date due rette nello spazio:
Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo
Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette sono equivalenti alle condizioni di parallelismo e perpendicolarità dei loro vettori di direzione e:
Due dritti sono paralleli se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè l 1 parallelo l 2 se e solo se parallela .
Due dritti perpendicolare se e solo se la somma dei prodotti dei coefficienti corrispondenti è uguale a zero: .
In obiettivo tra linea e piano
Lascia la linea d- non perpendicolare al piano θ;
d′− proiezione di una retta d al piano θ;
Il più piccolo degli angoli tra le rette d e d«Chiameremo angolo tra retta e piano.
Indichiamolo come φ=( d,θ)
Se una d⊥θ , quindi ( d,θ)=π/2
Oi→j→K→− sistema rettangolare coordinate.
Equazione piana:
θ: Ascia+Di+cz+D=0
Consideriamo che la retta è data da un punto e da un vettore di direzione: d[M 0,p→]
Vettore n→(UN,B,C)⊥θ
Quindi resta da scoprire l'angolo tra i vettori n→ e p→, denotalo come γ=( n→,p→).
Se l'angolo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Se l'angolo γ>π/2 , allora l'angolo richiesto φ=γ−π/2
sinφ=peccato(2π−γ)=cosγ
sinφ=peccato(γ−2π)=−cosγ
Quindi, angolo tra retta e piano può essere calcolato utilizzando la formula:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Domanda 29. Il concetto di forma quadratica. La definizione di segno delle forme quadratiche.
Forma quadratica j (x 1, x 2, ..., x n) n variabili reali x 1, x 2, ..., x n si chiama somma della forma 
, (1)
dove aij sono alcuni numeri chiamati coefficienti. Senza perdita di generalità, possiamo presumerlo aij = un ji.
Viene chiamata la forma quadratica valido, Se aij
О GR. Matrice di forma quadraticaè chiamata matrice composta dai suoi coefficienti. La forma quadratica (1) corrisponde a un'unica matrice simmetrica 
cioè. A T = A. Pertanto, la forma quadratica (1) può essere scritta in forma matriciale j ( X) = x T Ah, dove x t = (X 1 X 2 … x n). (2)
E viceversa, ogni matrice simmetrica (2) corrisponde a un'unica forma quadratica fino alla notazione delle variabili.
Il rango della forma quadraticaè chiamato rango della sua matrice. Viene chiamata la forma quadratica non degenerato, se la sua matrice è non singolare MA. (ricordiamo che la matrice MAè detto non degenerato se il suo determinante è diverso da zero). In caso contrario, la forma quadratica è degenerata.
definito positivo(o strettamente positivo) se
j ( X) > 0 , per chiunque X = (X 1 , X 2 , …, x n), Oltretutto X = (0, 0, …, 0).
Matrice MA forma quadratica definita positiva j ( X) è detto anche definito positivo. Pertanto, una forma quadratica definita positiva corrisponde a un'unica matrice definita positiva e viceversa.
Viene chiamata la forma quadratica (1). definito negativo(o strettamente negativo) se
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Oltretutto X = (0, 0, …, 0).
Analogamente a quanto sopra, una matrice quadratica definita negativa è anche chiamata definita negativa.
Pertanto, una forma quadratica definita positivamente (negativamente) j ( X) raggiunge il valore minimo (massimo) j ( X*) = 0 per X* = (0, 0, …, 0).
Si noti che la maggior parte delle forme quadratiche non sono definite di segno, cioè non sono né positive né negative. Tali forme quadratiche svaniscono non solo all'origine del sistema di coordinate, ma anche in altri punti.
quando n> 2, sono richiesti criteri speciali per verificare la definizione di segno di una forma quadratica. Consideriamoli.
Minori maggiori le forme quadratiche sono dette minori:
cioè si tratta di minori di ordine 1, 2, …, n matrici MA, situato nell'angolo in alto a sinistra, l'ultimo coincide con il determinante della matrice MA.
Criterio per la determinatezza positiva (Criterio Silvestro)
X) = x T Ahè definito positivo, è necessario e sufficiente che tutti i principali minori della matrice MA erano positivi, ovvero: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criterio di certezza negativa Affinché la forma quadratica j ( X) = x T Ahè definita negativa, è necessario e sufficiente che i suoi principali minori di ordine pari siano positivi e quelli di ordine dispari negativi, cioè: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
un. Si diano due rette che, come è stato indicato nel capitolo 1, formano vari angoli positivi e negativi, che possono essere acuti o ottusi. Conoscendo uno di questi angoli, possiamo facilmente trovarne altri.
A proposito, per tutti questi angoli il valore numerico della tangente è lo stesso, la differenza può essere solo nel segno
Equazioni di rette. I numeri sono le proiezioni dei vettori direttivi della prima e della seconda linea L'angolo tra questi vettori è uguale a uno degli angoli formati dalle rette. Pertanto, il problema si riduce a determinare l'angolo tra i vettori, otteniamo
Per semplicità, possiamo concordare un angolo tra due rette per comprendere un angolo acuto positivo (come, ad esempio, in Fig. 53).
Allora la tangente di questo angolo sarà sempre positiva. Quindi, se si ottiene un segno meno sul lato destro della formula (1), allora dobbiamo scartarlo, cioè mantenere solo il valore assoluto.
Esempio. Determina l'angolo tra le linee
Per la formula (1) abbiamo
Insieme a. Se viene indicato quale dei lati dell'angolo è il suo inizio e quale la sua fine, allora, contando sempre la direzione dell'angolo in senso antiorario, possiamo estrarre qualcosa in più dalle formule (1). Come è facile vedere dalla Fig. 53 il segno ottenuto sul lato destro della formula (1) indicherà quale angolo - acuto o ottuso - forma la seconda linea con la prima.
(Infatti, dalla Fig. 53 vediamo che l'angolo tra il primo e il secondo vettore di direzione è uguale all'angolo desiderato tra le linee, o differisce da esso di ±180°.)
d. Se le rette sono parallele, allora anche i loro vettori di direzione sono paralleli Applicando la condizione di parallelismo di due vettori, otteniamo!
Questa è una condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele.
Esempio. Diretto
sono paralleli perché
e. Se le rette sono perpendicolari, anche i loro vettori di direzione sono perpendicolari. Applicando la condizione di perpendicolarità di due vettori, otteniamo la condizione di perpendicolarità di due rette, cioè
Esempio. Diretto
perpendicolare perché
In connessione con le condizioni di parallelismo e perpendicolarità, risolveremo i due problemi seguenti.
f. Disegna una retta parallela a una data retta passante per un punto
La decisione viene presa in questo modo. Poiché la retta desiderata è parallela a quella data, allora per il suo vettore direttivo possiamo prendere lo stesso di quello della retta data, cioè un vettore con proiezioni A e B. E quindi verrà scritta l'equazione della retta desiderata nella forma (§ 1)
Esempio. Equazione di una retta passante per un punto (1; 3) parallelo ad una retta
sarà il prossimo!
g. Disegna una retta passante per un punto perpendicolare alla retta data
Qui non è più adatto prendere un vettore con proiezioni A e come vettore direzionale, ma è necessario ottenere un vettore perpendicolare ad esso. Le proiezioni di questo vettore devono quindi essere scelte secondo la condizione che entrambi i vettori siano perpendicolari, cioè secondo la condizione
Questa condizione può essere soddisfatta in un numero infinito di modi, poiché qui c'è un'equazione con due incognite.Ma il modo più semplice è prenderla.Quindi l'equazione della retta desiderata sarà scritta nella forma
Esempio. Equazione di una retta passante per un punto (-7; 2) di una retta perpendicolare
sarà il seguente (secondo la seconda formula)!
h. Nel caso in cui le linee siano date da equazioni della forma
Con l'aiuto di questo calcolatrice online trova l'angolo tra le linee. dato soluzione dettagliata con spiegazioni. Per calcolare l'angolo tra le rette, impostare la dimensione (2-se si considera una retta su un piano, 3- se si considera una retta nello spazio), inserire gli elementi dell'equazione nelle celle e fare clic su " pulsante Risolvi". Vedi la parte teorica di seguito.
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Istruzioni per l'immissione dei dati. I numeri vengono inseriti come numeri interi (esempi: 487, 5, -7623, ecc.), numeri decimali (es. 67., 102.54, ecc.) o frazioni. La frazione deve essere digitata nella forma a/b, dove a e b (b>0) sono numeri interi oppure numeri decimali. Esempi 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ecc.
Lascia le linee nello spazio bidimensionale l 1 e l
Quindi, dalla formula (1.4) si può trovare l'angolo tra le rette l 1 e l 2. Come si può vedere dalla Fig.1, le linee che si intersecano formano angoli adiacenti φ e φ uno . Se l'angolo trovato è maggiore di 90°, puoi trovare l'angolo minimo tra le linee l 1 e l 2: φ 1 =180-φ .
Dalla formula (1.4) si deducono le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette.
Esempio 1. Determina l'angolo tra le linee
Semplifichiamo e risolviamo:
Permettere φ =0. Quindi cosφ=1. In questo caso, l'espressione (1.4) assumerà la forma seguente:
| , |
| , |
Esempio 2. Determina se le rette sono parallele
L'uguaglianza (1.9) è soddisfatta, quindi le rette (1.10) e (1.11) sono parallele.
Risposta. Le rette (1.10) e (1.11) sono parallele.
Permettere φ =90°. Quindi cosφ=0. In questo caso, l'espressione (1.4) assumerà la forma seguente:
Esempio 3. Determina se le linee sono perpendicolari
La condizione (1.13) è soddisfatta, quindi le linee (1.14) e (1.15) sono perpendicolari.
Risposta. Le linee (1.14) e (1.15) sono perpendicolari.
Lascia due righe l 1 e l 2 sono dati da equazioni generali
Dalla definizione del prodotto scalare di due vettori si ha:
Esempio 4. Trova l'angolo tra le linee
Valori sostitutivi UN 1 , B 1 , UN 2 , B 2 in (1.23), otteniamo:
Questo angolo è maggiore di 90°. Trova l'angolo minimo tra le linee. Per fare ciò, sottrai questo angolo da 180:
D'altra parte, la condizione delle rette parallele l 1 e l 2 è equivalente alla condizione dei vettori collineari n 1 e n 2 e può essere rappresentato come segue:
L'uguaglianza (1.24) è soddisfatta, quindi le rette (1.26) e (1.27) sono parallele.
Risposta. Le linee (1.26) e (1.27) sono parallele.
La condizione di perpendicolarità delle rette l 1 e l 2 può essere estratto dalla formula (1.20) per sostituzione cos(φ )=0. Quindi prodotto scalare (n 1 ,n 2)=0. Dove
L'uguaglianza (1.28) è soddisfatta, quindi le linee (1.29) e (1.30) sono perpendicolari.
Risposta. Le linee (1.29) e (1.30) sono perpendicolari.
Lascia le linee nello spazio l 1 e l 2 dato equazioni canoniche
dove | q 1 | e | q 2 | moduli del vettore di direzione q 1 e q 2 rispettivamente, φ -angolo tra i vettori q 1 e q 2 .
Dall'espressione (2.3) otteniamo:
 .
|
Semplifichiamo e risolviamo:
 .
|
Troviamo l'angolo φ
Siano date le linee nello spazio l e m. Per un punto A dello spazio tracciamo linee rette l 1 || l e m 1 || m(Fig. 138).
Si noti che il punto A può essere scelto arbitrariamente, in particolare può giacere su una delle linee date. Se dritto l e m intersecano, allora A può essere preso come punto di intersezione di queste rette ( l 1 = l e m 1 = m).
Angolo tra linee non parallele l e mè il valore del più piccolo degli angoli adiacenti formati dall'intersezione di rette l 1 e m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Si presume che l'angolo tra rette parallele sia zero.
Angolo tra le linee l e m indicato da \(\widehat((l;m)) \). Dalla definizione ne consegue che se si misura in gradi, allora 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, e se in radianti, allora 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Un compito. Viene dato il cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).
Trova l'angolo tra le rette AB e DC 1 .
Incrocio diritto AB e DC 1. Poiché la retta DC è parallela alla retta AB, l'angolo tra le rette AB e DC 1, secondo la definizione, è uguale a \(\widehat(C_(1)DC)\).
Quindi \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Diretto l e m chiamato perpendicolare, se \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Ad esempio, in un cubo
Il problema del calcolo dell'angolo tra due rette nello spazio è risolto allo stesso modo del piano. Indichiamo con φ l'angolo tra le linee l 1 e l 2 , e attraverso ψ - l'angolo tra i vettori di direzione un e b queste linee rette.
Allora se
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), quindi φ = 180° - ψ. È ovvio che in entrambi i casi l'uguaglianza cos φ = |cos ψ| è vera. Secondo la formula (il coseno dell'angolo tra vettori diversi da zero aeb è uguale al prodotto scalare di questi vettori diviso per il prodotto delle loro lunghezze) si ha
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
Di conseguenza,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Sia le rette date dalle loro equazioni canoniche
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; e \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Quindi l'angolo φ tra le linee viene determinato utilizzando la formula
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Se una delle linee (o entrambe) è data da equazioni non canoniche, per calcolare l'angolo è necessario trovare le coordinate dei vettori di direzione di queste linee, quindi utilizzare la formula (1).
Compito 1. Calcola l'angolo tra le linee
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
I vettori di direzione delle rette hanno coordinate:
a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Con la formula (1) troviamo
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Pertanto, l'angolo tra queste linee è di 60°.
Compito 2. Calcola l'angolo tra le linee
$$ \begin(casi)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(casi) e \begin(casi)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\fine(casi) $$
Dietro il vettore guida un la prima retta prendiamo il prodotto vettoriale dei vettori normali n 1 = (3; 0; -12) e n 2 = (1; 1; -3) piani che definiscono questa linea. Con la formula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) otteniamo
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Allo stesso modo, troviamo il vettore di direzione della seconda retta:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Ma la formula (1) calcola il coseno dell'angolo desiderato:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Pertanto, l'angolo tra queste linee è di 90°.
Compito 3. A piramide triangolare Le nervature MAVS MA, MB e MC sono tra loro perpendicolari (Fig. 207);
le loro lunghezze sono rispettivamente pari a 4, 3, 6. Il punto D è il centro [MA]. Trova l'angolo φ tra le linee CA e DB.
Siano SA e DB i vettori di direzione delle rette SA e DB.
Prendiamo il punto M come origine delle coordinate. Per la condizione del compito, abbiamo A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Pertanto \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Usiamo la formula (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Secondo la tabella dei coseni, troviamo che l'angolo tra le rette CA e DB è di circa 72°.
Oh-oh-oh-oh-oh ... beh, è metallico, come se leggessi la frase a te stesso =) Tuttavia, il relax aiuterà, soprattutto perché oggi ho comprato accessori adatti. Pertanto, procediamo alla prima sezione, spero, entro la fine dell'articolo manterrò un buon umore.
Il caso in cui la sala canta in coro. Due linee possono:
1) partita;
2) essere paralleli: ;
3) o si intersecano in un unico punto: .
Aiuto per i manichini : ricordate il segno matematico dell'intersezione, si verificherà molto spesso. La voce indica che la linea si interseca con la linea nel punto.
Partiamo dal primo caso:
Due rette coincidono se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè esiste un tale numero "lambda" che le uguaglianze
Consideriamo le rette e componiamo tre equazioni dai coefficienti corrispondenti: . Da ciascuna equazione segue che, quindi, queste rette coincidono.
Infatti, se tutti i coefficienti dell'equazione 
moltiplicare per -1 (cambiare segno) e tutti i coefficienti dell'equazione 
riduci di 2, ottieni la stessa equazione: .
Il secondo caso in cui le rette sono parallele:
Due rette sono parallele se e solo se i loro coefficienti alle variabili sono proporzionali: 
, ma.
Ad esempio, considera due rette. Verifichiamo la proporzionalità dei coefficienti corrispondenti per le variabili: 
Tuttavia, è chiaro che .
E il terzo caso, quando le linee si intersecano:
Due rette si intersecano se e solo se i loro coefficienti delle variabili NON sono proporzionali, ovvero NON esiste un tale valore di "lambda" che le uguaglianze siano soddisfatte 
Quindi, per le rette comporremo un sistema: 
Dalla prima equazione segue che , e dalla seconda equazione: , quindi, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, i coefficienti alle variabili non sono proporzionali.
Conclusione: le linee si intersecano
Nei problemi pratici si può utilizzare lo schema risolutivo appena considerato. A proposito, è molto simile all'algoritmo per il controllo della collinearità dei vettori, che abbiamo considerato nella lezione. Il concetto di (non) dipendenza lineare dei vettori. Base vettoriale. Ma c'è un pacchetto più civile:
Esempio 1
Scopri la posizione relativa delle linee: 
Soluzione basato sullo studio dei vettori direttivi di rette:
a) Dalle equazioni troviamo i vettori di direzione delle rette: 
.
, quindi i vettori non sono collineari e le linee si intersecano.
Per ogni evenienza, metterò una pietra con le indicazioni all'incrocio:
Gli altri saltano oltre la pietra e proseguono, dritti verso Kashchei l'Immortale =)
b) Trova i vettori di direzione delle rette: 
Le linee hanno lo stesso vettore di direzione, il che significa che sono parallele o uguali. Qui il determinante non è necessario.
Ovviamente i coefficienti delle incognite sono proporzionali, mentre .
Scopriamo se l'uguaglianza è vera: 
In questo modo,
c) Trova i vettori di direzione delle rette: 
Calcoliamo il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori: 
, quindi, i vettori di direzione sono collineari. Le rette sono parallele o coincidono.
Il fattore di proporzionalità "lambda" è facilmente rilevabile direttamente dal rapporto dei vettori di direzione collineari. Tuttavia, può essere trovato anche attraverso i coefficienti delle equazioni stesse: 
.
Ora scopriamo se l'uguaglianza è vera. Entrambi i termini gratuiti sono zero, quindi:
Il valore risultante soddisfa questa equazione (qualsiasi numero generalmente la soddisfa).
Quindi, le linee coincidono.
Risposta:
Molto presto imparerai (o addirittura avrai già imparato) a risolvere verbalmente il problema considerato letteralmente in pochi secondi. A questo proposito, non vedo alcun motivo per offrire qualcosa per una soluzione indipendente, è meglio posare un mattone più importante nella fondazione geometrica:
Per ignoranza di questo il compito più semplice punisce severamente l'Usignolo il Ladro.
Esempio 2
La retta è data dall'equazione. Scrivi un'equazione per una retta parallela che passa per il punto.
Soluzione: Indica la riga sconosciuta con la lettera. Cosa dice la condizione a riguardo? La linea passa per il punto. E se le rette sono parallele, allora è ovvio che il vettore direttivo della retta "ce" è adatto anche per costruire la retta "te".
Estraiamo il vettore di direzione dall'equazione:
Risposta:
La geometria dell'esempio sembra semplice: 
La verifica analitica consiste nei seguenti passaggi:
1) Verifichiamo che le rette abbiano lo stesso vettore di direzione (se l'equazione della retta non è opportunamente semplificata, i vettori saranno collineari).
2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante.
La verifica analitica nella maggior parte dei casi è facile da eseguire per via orale. Osserva le due equazioni e molti di voi capiranno rapidamente come le rette sono parallele senza alcun disegno.
Gli esempi di auto-risolvere oggi saranno creativi. Perché devi ancora competere con Baba Yaga, e lei, sai, è un'amante di tutti i tipi di enigmi.
Esempio 3
Scrivi un'equazione per una retta passante per un punto parallelo alla retta se
C'è un modo razionale e non molto razionale per risolvere. La via più breve è alla fine della lezione.
Abbiamo fatto un piccolo lavoro con le rette parallele e torneremo su di esse in seguito. Il caso delle linee coincidenti è di scarso interesse, quindi considera un problema che ti è ben noto curriculum scolastico:
Se dritto 
intersecano nel punto , allora le sue coordinate sono la soluzione sistemi di equazioni lineari 
Come trovare il punto di intersezione delle rette? Risolvi il sistema.
Ecco a voi significato geometrico del sistema dei due equazioni lineari con due incognite sono due linee rette che si intersecano (il più delle volte) su un piano.
Esempio 4
Trova il punto di intersezione delle rette
Soluzione: Ci sono due modi per risolvere: grafico e analitico.
Il modo grafico è semplicemente disegnare le linee date e scoprire il punto di intersezione direttamente dal disegno: 
Ecco il nostro punto: . Per verificare, dovresti sostituire le sue coordinate in ciascuna equazione di una retta, dovrebbero adattarsi sia lì che lì. In altre parole, le coordinate di un punto sono la soluzione del sistema. In effetti, abbiamo considerato un modo grafico per risolvere sistemi di equazioni lineari con due equazioni, due incognite.
Il metodo grafico, ovviamente, non è male, ma ci sono notevoli svantaggi. No, il punto non è che gli studenti di seconda media decidano in questo modo, il punto è che ci vorrà del tempo per fare un disegno corretto ed ESATTO. Inoltre, alcune linee non sono così facili da costruire e il punto di intersezione stesso può trovarsi da qualche parte nel trentesimo regno al di fuori del foglio del taccuino.
Pertanto, è più opportuno cercare il punto di intersezione metodo analitico. Risolviamo il sistema: 
Per risolvere il sistema è stato utilizzato il metodo dell'addizione per termini di equazioni. Per sviluppare le competenze pertinenti, visita la lezione Come risolvere un sistema di equazioni?
Risposta:
La verifica è banale: le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare ogni equazione del sistema.
Esempio 5
Trova il punto di intersezione delle rette se si intersecano.
Questo è un esempio fai da te. È conveniente dividere il problema in più fasi. L'analisi della condizione suggerisce che è necessario:
1) Scrivi l'equazione di una retta.
2) Scrivi l'equazione di una retta.
3) Scopri la posizione relativa delle linee.
4) Se le linee si intersecano, trova il punto di intersezione.
Lo sviluppo di un algoritmo di azione è tipico per molti problemi geometrici e su questo mi concentrerò ripetutamente.
Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial:
Un paio di scarpe non si sono ancora consumate, poiché siamo arrivati alla seconda parte della lezione:
Iniziamo con un compito tipico e molto importante. Nella prima parte, abbiamo imparato come costruire una linea retta parallela a quella data, e ora la capanna sulle cosce di pollo girerà di 90 gradi:
Esempio 6
La retta è data dall'equazione. Scrivi un'equazione per una retta perpendicolare passante per un punto.
Soluzione: È noto per ipotesi che . Sarebbe bello trovare il vettore di direzione della retta. Poiché le linee sono perpendicolari, il trucco è semplice:
Dall'equazione “togliamo” il vettore normale: , che sarà il vettore diretto della retta.
Componiamo l'equazione di una retta con un punto e un vettore direzionale:
Risposta: 
Apriamo lo schizzo geometrico:
Hmmm... Cielo arancione, mare arancione, cammello arancione.
Verifica analitica della soluzione:
1) Estrarre i vettori di direzione dalle equazioni 
e con l'aiuto prodotto scalare dei vettori concludiamo che le linee sono effettivamente perpendicolari: .
A proposito, puoi usare vettori normali, è ancora più semplice.
2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante 
.
La verifica, ancora una volta, è facile da eseguire verbalmente.
Esempio 7
Trova il punto di intersezione delle rette perpendicolari, se l'equazione è nota 
e punto.
Questo è un esempio fai da te. Ci sono diverse azioni nell'attività, quindi è conveniente organizzare la soluzione punto per punto.
Nostro un viaggio divertente continua:
Davanti a noi c'è una striscia rettilinea del fiume e il nostro compito è raggiungerla nel modo più breve. Non ci sono ostacoli e il percorso più ottimale sarà il movimento lungo la perpendicolare. Cioè, la distanza da un punto a una linea è la lunghezza del segmento perpendicolare.
La distanza in geometria è tradizionalmente indicata dalla lettera greca "ro", ad esempio: - la distanza dal punto "em" alla retta "de".
Distanza da punto a linea 
è espresso dalla formula
Esempio 8
Trova la distanza da un punto a una linea 
Soluzione: tutto ciò che serve è sostituire accuratamente i numeri nella formula ed eseguire i calcoli:
Risposta: 
Eseguiamo il disegno: 
La distanza trovata dal punto alla linea è esattamente la lunghezza del segmento rosso. Se fai un disegno su carta a scacchi su una scala di 1 unità. \u003d 1 cm (2 celle), quindi la distanza può essere misurata con un normale righello.
Considera un altro compito secondo lo stesso disegno:
Il compito è trovare le coordinate del punto, che è simmetrico al punto rispetto alla linea 
. Propongo di eseguire le azioni da solo, tuttavia, delineerò l'algoritmo della soluzione con risultati intermedi:
1) Trova una retta perpendicolare a una retta.
2) Trova il punto di intersezione delle rette: 
.
Entrambe le azioni sono discusse in dettaglio in questa lezione.
3) Il punto è il punto medio del segmento. Conosciamo le coordinate del centro e di una delle estremità. Di formule per le coordinate del centro del segmento trova .
Non sarà superfluo verificare che anche la distanza sia pari a 2,2 unità.
Qui possono sorgere difficoltà nei calcoli, ma nella torre un microcalcolatore aiuta molto, permettendoti di contare frazioni comuni. Ho consigliato molte volte e lo consiglierò di nuovo.
Esempio 9
Trova la distanza tra due rette parallele
Questo è un altro esempio di soluzione indipendente. Un piccolo suggerimento: ci sono infiniti modi per risolvere. Debriefing alla fine della lezione, ma meglio provare a indovinare da soli, penso che tu sia riuscito a disperdere bene il tuo ingegno.
Qualunque sia l'angolo, poi lo stipite: 
In geometria, l'angolo tra due rette è preso come l'angolo PICCOLO, da cui segue automaticamente che non può essere ottuso. Nella figura, l'angolo indicato dall'arco rosso non è considerato l'angolo tra le linee che si intersecano. E il suo vicino "verde" o orientato in modo opposto angolo cremisi.
Se le linee sono perpendicolari, allora uno qualsiasi dei 4 angoli può essere preso come angolo tra di loro.
In che modo gli angoli sono diversi? Orientamento. In primo luogo, la direzione di "scorrere" l'angolo è di fondamentale importanza. In secondo luogo, un angolo orientato negativamente viene scritto con un segno meno, ad esempio se .
Perché ho detto questo? Sembra che tu possa cavartela con il solito concetto di angolo. Il fatto è che nelle formule con cui troveremo gli angoli si può facilmente ottenere un risultato negativo, e questo non dovrebbe sorprendervi. Un angolo con il segno meno non è peggio e ha un significato geometrico molto specifico. Nel disegno per un angolo negativo, è imperativo indicarne l'orientamento (in senso orario) con una freccia.
Come trovare l'angolo tra due rette? Esistono due formule di lavoro:
Esempio 10
Trova l'angolo tra le linee
Soluzione e Metodo uno
Considera due righe data dalle equazioni in vista generale:
Se dritto non perpendicolare, poi orientati l'angolo tra di loro può essere calcolato usando la formula: 
Prestiamo molta attenzione al denominatore: questo è esattamente prodotto scalare vettori di direzione delle rette:
Se , allora il denominatore della formula svanisce e i vettori saranno ortogonali e le rette saranno perpendicolari. Ecco perché è stata fatta una riserva sulla non perpendicolarità delle linee nella formulazione.
Sulla base di quanto sopra, la soluzione viene convenientemente formalizzata in due passaggi:
1) Calcolare il prodotto scalare dei vettori direttivi di rette:
quindi le linee non sono perpendicolari.
2) Troviamo l'angolo tra le rette con la formula:
Usando funzione inversa facile trovare l'angolo stesso. In questo caso, utilizziamo la disparità dell'arcotangente (vedi Fig. Grafici e proprietà delle funzioni elementari):
Risposta: 
Nella risposta, indica valore esatto, nonché un valore approssimativo (preferibilmente sia in gradi che in radianti) calcolato utilizzando una calcolatrice.
Bene, meno, quindi meno, va bene. Ecco un'illustrazione geometrica: 
Non sorprende che l'angolo sia risultato di orientamento negativo, perché nella condizione del problema il primo numero è una retta e proprio da essa è iniziata la "torsione" dell'angolo.
Se vuoi davvero ottenere un angolo positivo, devi scambiare le rette, cioè prendere i coefficienti dalla seconda equazione 
e prendi i coefficienti dalla prima equazione. In breve, devi iniziare con una diretta 
.
