Questo articolo continua l'argomento dell'equazione di una retta su un piano: considera un tale tipo di equazione come l'equazione generale di una retta. Definiamo un teorema e diamo la sua dimostrazione; Scopriamo cos'è un'equazione generale incompleta di una linea retta e come effettuare transizioni da un'equazione generale ad altri tipi di equazioni di una linea retta. Consolideremo l'intera teoria con illustrazioni e risolvendo problemi pratici.
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Sia dato un sistema di coordinate rettangolare O x y sul piano.
Teorema 1
Qualsiasi equazione di primo grado, avente la forma A x + B y + C \u003d 0, dove A, B, C sono alcuni numeri reali(A e B non sono uguali a zero allo stesso tempo) definisce una linea retta in un sistema di coordinate rettangolare su un piano. A sua volta, qualsiasi linea in un sistema di coordinate rettangolare sul piano è determinata da un'equazione che ha la forma A x + B y + C = 0 per un certo insieme di valori A, B, C.
Prova
Questo teorema consiste di due punti, dimostreremo ciascuno di essi.
Sia un punto M 0 (x 0 , y 0) le cui coordinate corrispondono all'equazione A x + B y + C = 0 . Quindi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Sottrai dai lati sinistro e destro delle equazioni A x + B y + C \u003d 0 i lati sinistro e destro dell'equazione A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, otteniamo una nuova equazione che assomiglia a A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . È equivalente a A x + B y + C = 0 .
L'equazione risultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 è una condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità dei vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Pertanto, l'insieme dei punti M (x, y) definisce in un sistema di coordinate rettangolari una retta perpendicolare alla direzione del vettore n → = (A, B) . Possiamo supporre che non sia così, ma allora i vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) non sarebbero perpendicolari, e l'uguaglianza A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 non sarebbe vero.
Pertanto, l'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definisce una linea in un sistema di coordinate rettangolare sul piano, e quindi l'equazione equivalente A x + B y + C \u003d 0 definisce la stessa linea. Abbiamo così dimostrato la prima parte del teorema.
Impostiamo una retta a in un sistema di coordinate rettangolare sul piano; punto M 0 (x 0 , y 0) attraverso il quale passa questa linea, così come il vettore normale di questa linea n → = (A , B) .
Lascia che esista anche un punto M (x , y) - un punto mobile della linea. In questo caso, i vettori n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sono tra loro perpendicolari e la loro prodotto scalareè zero:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Riscriviamo l'equazione A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definiamo C: C = - A x 0 - B y 0 e infine otteniamo l'equazione A x + B y + C = 0 .
Quindi, abbiamo dimostrato la seconda parte del teorema e abbiamo dimostrato l'intero teorema nel suo insieme.
Definizione 1
Un'equazione che assomiglia A x + B y + C = 0 - questo è equazione generale di una retta su un piano in un sistema di coordinate rettangolareOxy.
Sulla base del teorema dimostrato, possiamo concludere che una linea retta data su un piano in un sistema di coordinate rettangolare fisso e la sua equazione generale sono indissolubilmente legate. In altre parole, la linea originaria corrisponde alla sua equazione generale; l'equazione generale di una retta corrisponde a una data retta.
Dalla dimostrazione del teorema segue anche che i coefficienti A e B per le variabili x e y sono le coordinate del vettore normale della retta, dato dall'equazione generale della retta A x + B y + C = 0 .
Ritenere esempio specifico equazione generale di una retta.
Sia data l'equazione 2 x + 3 y - 2 = 0, che corrisponde a una linea retta in un dato sistema di coordinate rettangolari. Il vettore normale di questa linea è il vettore n → = (2 , 3) . Disegna una data linea retta nel disegno.
Si può anche sostenere quanto segue: la retta che vediamo nel disegno è determinata dall'equazione generale 2 x + 3 y - 2 = 0, poiché le coordinate di tutti i punti di una data retta corrispondono a questa equazione.
Possiamo ottenere l'equazione λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 moltiplicando entrambi i lati dell'equazione generale della retta per un numero diverso da zero λ. L'equazione risultante è equivalente all'equazione generale originale, quindi descriverà la stessa linea nel piano.
Definizione 2Equazione generale completa di una retta- un'equazione così generale della linea A x + B y + C \u003d 0, in cui i numeri A, B, C sono diversi da zero. Altrimenti, l'equazione è incompleto.
Analizziamo tutte le variazioni dell'equazione generale incompleta della retta.
Cerchiamo di illustrare graficamente tutti i tipi di cui sopra dell'equazione generale incompleta di una linea retta.
Esempio 1
È noto che la retta data è parallela all'asse y e passa per il punto 2 7 , - 11 . È necessario scrivere l'equazione generale di una data retta.
Soluzione
Una linea retta parallela all'asse y è data da un'equazione della forma A x + C \u003d 0, in cui A ≠ 0. La condizione specifica anche le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea, e le coordinate di questo punto corrispondono alle condizioni dell'equazione generale incompleta A x + C = 0 , cioè l'uguaglianza è corretta:
LA 2 7 + DO = 0
È possibile determinare C da esso assegnando ad A un valore diverso da zero, ad esempio A = 7 . In questo caso, otteniamo: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conosciamo entrambi i coefficienti A e C, li sostituiamo nell'equazione A x + C = 0 e otteniamo l'equazione richiesta della retta: 7 x - 2 = 0
Risposta: 7 x - 2 = 0
Esempio 2
Il disegno mostra una linea retta, è necessario annotare la sua equazione.
Soluzione
Il disegno fornito ci consente di prendere facilmente i dati iniziali per risolvere il problema. Vediamo nel disegno che la retta data è parallela all'asse O x e passa per il punto (0 , 3) .
La retta parallela all'ascissa è determinata dall'equazione generale incompleta B y + С = 0. Trova i valori di B e C . Le coordinate del punto (0, 3), poiché la retta data lo attraversa, soddisferanno l'equazione della retta B y + С = 0, allora vale l'uguaglianza: В · 3 + С = 0. Impostiamo B su un valore diverso da zero. Diciamo B \u003d 1, in questo caso, dall'uguaglianza B · 3 + C \u003d 0 possiamo trovare C: C \u003d - 3. Utilizzando i valori noti di B e C, otteniamo l'equazione richiesta della retta: y - 3 = 0.
Risposta: y - 3 = 0 .
Lascia che la linea data passi per il punto M 0 (x 0, y 0), quindi le sue coordinate corrispondono all'equazione generale della linea, ad es. l'uguaglianza è vera: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Sottrai i lati sinistro e destro di questa equazione dai lati sinistro e destro dell'equazione completa generale della retta. Otteniamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, questa equazione è equivalente a quella generale originale, passa per il punto M 0 (x 0, y 0) e ha un vettore normale n → \u003d (A, B) .
Il risultato che abbiamo ottenuto permette di scrivere l'equazione generale di una retta per coordinate note del vettore normale della retta e le coordinate di un certo punto di questa retta.
Esempio 3
Dato un punto M 0 (- 3, 4) attraverso il quale passa la retta, e il vettore normale di questa retta n → = (1 , - 2) . È necessario scrivere l'equazione di una data retta.
Soluzione
Le condizioni iniziali ci consentono di ottenere i dati necessari per compilare l'equazione: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Quindi:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Il problema poteva essere risolto diversamente. L'equazione generale di una retta ha la forma A x + B y + C = 0 . Il vettore normale dato consente di ottenere i valori dei coefficienti A e B , quindi:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Troviamo ora il valore di C, utilizzando il punto M 0 (- 3, 4) dato dalla condizione del problema, attraverso il quale passa la retta. Le coordinate di questo punto corrispondono all'equazione x - 2 · y + C = 0 , cioè - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Quindi C = 11. L'equazione della retta richiesta assume la forma: x - 2 · y + 11 = 0 .
Risposta: x - 2 y + 11 = 0 .
Esempio 4
Data una retta 2 3 x - y - 1 2 = 0 e un punto M 0 giacente su questa retta. Solo l'ascissa di questo punto è nota ed è uguale a - 3. È necessario determinare l'ordinata del punto dato.
Soluzione
Impostiamo la designazione delle coordinate del punto M 0 come x 0 e y 0 . I dati iniziali indicano che x 0 \u003d - 3. Poiché il punto appartiene a una data linea, le sue coordinate corrispondono all'equazione generale di questa linea. Allora sarà vera la seguente uguaglianza:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Definire y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Risposta: - 5 2
Come sappiamo, esistono diversi tipi dell'equazione della stessa retta nel piano. La scelta del tipo di equazione dipende dalle condizioni del problema; è possibile scegliere quello più conveniente per la sua soluzione. È qui che l'abilità di convertire un'equazione di un tipo in un'equazione di un altro tipo è molto utile.
Innanzitutto, considera la transizione dall'equazione generale della forma A x + B y + C = 0 all'equazione canonica x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Se A ≠ 0, trasferiamo il termine B y a lato destro equazione generale. Sul lato sinistro, togliamo A tra parentesi. Di conseguenza, otteniamo: A x + C A = - B y .
Questa uguaglianza può essere scritta come proporzione: x + C A - B = y A .
Se B ≠ 0, lasciamo solo il termine A x sul lato sinistro dell'equazione generale, trasferiamo gli altri sul lato destro, otteniamo: A x \u003d - B y - C. Togliamo - B tra parentesi, quindi: A x \u003d - B y + C B.
Riscriviamo l'uguaglianza come proporzione: x - B = y + C B A .
Naturalmente, non è necessario memorizzare le formule risultanti. Basta conoscere l'algoritmo delle azioni durante il passaggio dall'equazione generale a quella canonica.
Esempio 5
Viene data l'equazione generale della retta 3 y - 4 = 0. Devi convertirlo in equazione canonica.
Soluzione
Scriviamo l'equazione originale come 3 y - 4 = 0 . Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo: il termine 0 x rimane sul lato sinistro; e sul lato destro estraiamo - 3 tra parentesi; otteniamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Scriviamo l'uguaglianza risultante come proporzione: x - 3 = y - 4 3 0 . Quindi, abbiamo ottenuto un'equazione della forma canonica.
Risposta: x - 3 = y - 4 3 0.
Per trasformare l'equazione generale di una retta in parametrica, prima viene eseguita la transizione alla forma canonica, quindi la transizione dall'equazione canonica della retta alle equazioni parametriche.
Esempio 6
La retta è data dall'equazione 2 x - 5 y - 1 = 0 . Annota le equazioni parametriche di questa retta.
Soluzione
Facciamo il passaggio dall'equazione generale a quella canonica:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Ora prendiamo entrambe le parti dell'equazione canonica risultante pari a λ, quindi:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Risposta:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
L'equazione generale può essere convertita in un'equazione di linea retta con pendenza y = k x + b, ma solo quando B ≠ 0. Per la transizione sul lato sinistro, lasciamo il termine B y , il resto viene trasferito a destra. Otteniamo: B y = - A x - C . Dividiamo entrambe le parti dell'uguaglianza risultante per B , che è diverso da zero: y = - A B x - C B .
Esempio 7
L'equazione generale di una retta è data: 2 x + 7 y = 0 . Devi convertire quell'equazione in un'equazione della pendenza.
Soluzione
Eseguiamo le azioni necessarie secondo l'algoritmo:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Risposta: y = - 2 7 x .
Dall'equazione generale di una linea retta, è sufficiente ottenere semplicemente un'equazione in segmenti della forma x a + y b \u003d 1. Per effettuare una tale transizione, trasferiamo il numero C sul lato destro dell'uguaglianza, dividiamo entrambe le parti dell'uguaglianza risultante per - С e, infine, trasferiamo i coefficienti per le variabili x e y ai denominatori:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Esempio 8
È necessario convertire l'equazione generale della retta x - 7 y + 1 2 = 0 nell'equazione di una retta in segmenti.
Soluzione
Spostiamo 1 2 sul lato destro: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Dividi per -1/2 entrambi i lati dell'equazione: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Risposta: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
In generale, anche la transizione inversa è facile: da altri tipi di equazioni a quella generale.
L'equazione di una retta in segmenti e l'equazione con una pendenza possono essere facilmente convertite in una generale semplicemente raccogliendo tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - K x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
L'equazione canonica viene convertita in quella generale secondo il seguente schema:
x - x 1 un x = y - y 1 un y ⇔ un y (x - x 1) = un x (y - y 1) ⇔ ⇔ un y x - un x y - un y x 1 + un x y 1 = 0 ⇔ UN x + B y + C = 0
Per passare dal parametrico si effettua prima il passaggio al canonico, e poi a quello generale:
x = x 1 + un x λ y = y 1 + un y λ ⇔ x - x 1 un x = y - y 1 un y ⇔ un x + B y + C = 0
Esempio 9
Sono date le equazioni parametriche della retta x = - 1 + 2 · λ y = 4. È necessario annotare l'equazione generale di questa linea.
Soluzione
Facciamo la transizione dalle equazioni parametriche a quelle canoniche:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Passiamo dal canonico al generale:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Risposta: y - 4 = 0
Esempio 10
Viene data l'equazione di una retta in segmenti x 3 + y 1 2 = 1. È necessario effettuare la transizione alla forma generale dell'equazione.
Soluzione:
Riscriviamo l'equazione nella forma richiesta:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Risposta: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Sopra, abbiamo detto che l'equazione generale può essere scritta con le coordinate note del vettore normale e le coordinate del punto attraverso il quale passa la retta. Tale linea retta è definita dall'equazione A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Nello stesso luogo abbiamo analizzato l'esempio corrispondente.
Ora diamo un'occhiata a esempi più complessi in cui, prima, è necessario determinare le coordinate del vettore normale.
Esempio 11
Data una retta parallela alla retta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . È noto anche il punto M 0 (4 , 1) attraverso il quale passa la retta data. È necessario scrivere l'equazione di una data retta.
Soluzione
Le condizioni iniziali ci dicono che le rette sono parallele, mentre, come vettore normale della retta di cui si vuole scrivere l'equazione, prendiamo il vettore direttivo della retta n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Ora conosciamo tutti i dati necessari per comporre l'equazione generale di una retta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Risposta: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
Esempio 12
La retta data passa per l'origine perpendicolare alla retta x - 2 3 = y + 4 5 . È necessario scrivere l'equazione generale di una data retta.
Soluzione
Il vettore normale della retta data sarà il vettore direttivo della retta x - 2 3 = y + 4 5 .
Allora n → = (3 , 5) . La retta passa per l'origine, cioè per il punto O (0, 0) . Componiamo l'equazione generale di una data retta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Risposta: 3 x + 5 y = 0 .
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Le equazioni canoniche di una retta nello spazio sono equazioni che definiscono una retta passante per un dato punto collinearmente rispetto a un vettore di direzione.
Siano dati un punto e un vettore di direzione. Un punto arbitrario giace su una linea l solo se i vettori e sono collineari, cioè soddisfano la condizione:
.
Le equazioni di cui sopra sono le equazioni canoniche della linea.
Numeri m , n e p sono proiezioni del vettore di direzione sugli assi delle coordinate. Poiché il vettore è diverso da zero, allora tutti i numeri m , n e p non può essere zero allo stesso tempo. Ma uno o due di loro possono essere zero. Nella geometria analitica, ad esempio, è consentita la seguente notazione:
,
il che significa che le proiezioni del vettore sugli assi Ehi e Oncia sono uguali a zero. Pertanto, sia il vettore che la retta data dalle equazioni canoniche sono perpendicolari agli assi Ehi e Oncia, cioè aerei yOz .
Esempio 1 Comporre le equazioni di una retta nello spazio perpendicolare a un piano 
e passante per il punto di intersezione di questo piano con l'asse Oncia
.
Soluzione. Trova il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oncia. Da qualsiasi punto sull'asse Oncia, ha coordinate , quindi, assumendo nella data equazione del piano x=y= 0, otteniamo 4 z.z- 8 = 0 o z.z= 2. Pertanto, il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oncia ha coordinate (0; 0; 2) . Poiché la linea desiderata è perpendicolare al piano, è parallela al suo vettore normale. Pertanto, il vettore normale può servire come vettore di direzione della retta 
dato piano.
Ora scriviamo le equazioni desiderate della retta passante per il punto UN= (0; 0; 2) nella direzione del vettore :
Una linea retta può essere definita da due punti che giacciono su di essa 
e 
In questo caso, il vettore direttivo della retta può essere il vettore . Allora prendono forma le equazioni canoniche della retta
.
Le precedenti equazioni definiscono una retta passante per due punti dati.
Esempio 2 Scrivi l'equazione di una retta nello spazio passante per i punti e .
Soluzione. Scriviamo le equazioni desiderate della retta nella forma sopra indicata nel riferimento teorico:
.
Poiché , allora la linea desiderata è perpendicolare all'asse Ehi .
Una retta nello spazio può essere definita come una linea di intersezione di due piani non paralleli e, cioè, come un insieme di punti che soddisfano un sistema di due equazioni lineari
Le equazioni del sistema sono anche chiamate equazioni generali di una retta nello spazio.
Esempio 3 Comporre le equazioni canoniche di una retta nello spazio dato dalle equazioni generali
Soluzione. Per scrivere le equazioni canoniche di una retta o, che è lo stesso, l'equazione di una retta passante per due punti dati, bisogna trovare le coordinate di due punti qualsiasi sulla retta. Possono servire come punti di intersezione di una linea retta con due qualsiasi piani coordinati, Per esempio yOz e xOz .
Punto di intersezione di una retta con un piano yOz ha un'ascissa X= 0. Pertanto, assumendo in questo sistema di equazioni X= 0 , otteniamo un sistema con due variabili:
La sua decisione si = 2 , z.z= 6 insieme a X= 0 definisce un punto UN(0; 2; 6) della riga desiderata. Assumendo quindi nel dato sistema di equazioni si= 0 , otteniamo il sistema
La sua decisione X = -2 , z.z= 0 insieme a si= 0 definisce un punto B(-2; 0; 0) intersezione di una retta con un piano xOz .
Ora scriviamo le equazioni di una retta passante per i punti UN(0; 2; 6) e B (-2; 0; 0) :
,
o dopo aver diviso i denominatori per -2:
,
La retta passante per il punto K(x 0; y 0) e parallela alla retta y = kx + a si trova con la formula:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
dove k- pendenza dritto.
Formula alternativa:
La retta passante per il punto M 1 (x 1 ; y 1) e parallela alla retta Ax+By+C=0 è rappresentata dall'equazione
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Esempio 1. Componi l'equazione di una retta passante per il punto M 0 (-2.1) e contemporaneamente:Esempio #2. Scrivi l'equazione di una retta parallela alla retta 2x + 5y = 0 e formando, insieme agli assi delle coordinate, un triangolo di area 5.
Soluzione
. Poiché le linee sono parallele, l'equazione della linea desiderata è 2x + 5y + C = 0. L'area di un triangolo rettangolo, dove a e b sono le sue gambe. Trova i punti di intersezione della linea desiderata con gli assi delle coordinate: 
;
.
Quindi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sostituisci nella formula per l'area: 
. Otteniamo due soluzioni: 2x + 5y + 10 = 0 e 2x + 5y - 10 = 0 .
Esempio #3. Scrivi l'equazione della retta passante per il punto (-2; 5) e la retta parallela 5x-7y-4=0 .
Soluzione. Questa retta può essere rappresentata dall'equazione y = 5/7 x – 4/7 (qui a = 5/7). L'equazione della linea desiderata è y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), cioè 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .
Esempio #4. Risolvendo l'esempio 3 (A=5, B=-7) usando la formula (2), troviamo 5(x+2)-7(y-5)=0.
Esempio numero 5. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto (-2;5) e una retta parallela 7x+10=0.
Soluzione. Qui A=7, B=0. La formula (2) dà 7(x+2)=0, cioè x+2=0. La formula (1) non è applicabile, poiché questa equazione non può essere risolta rispetto a y (questa retta è parallela all'asse y).
In questo articolo considereremo l'equazione generale di una retta in un piano. Diamo esempi di costruzione dell'equazione generale di una retta se sono noti due punti di questa retta o se sono noti un punto e il vettore normale di questa retta. Presentiamo i metodi per convertire un'equazione in vista generale in forme canoniche e parametriche.
Sia dato un arbitrario sistema di coordinate cartesiane rettangolari Oxy. Considera un'equazione di primo grado o equazione lineare:
| Ax+Da+C=0, | (1) |
dove A,B,C sono alcune costanti e almeno uno degli elementi UN e B diverso da zero.
Mostreremo che un'equazione lineare nel piano definisce una retta. Dimostriamo il seguente teorema.
Teorema 1. In un arbitrario sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano, ogni retta può essere data da un'equazione lineare. Al contrario, ogni equazione lineare (1) in un arbitrario sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano definisce una linea retta.
Prova. È sufficiente dimostrare che la linea lè determinato da un'equazione lineare per qualsiasi sistema di coordinate cartesiane rettangolari, da allora sarà determinato da un'equazione lineare e per qualsiasi scelta di sistema di coordinate cartesiane rettangolari.
Sia data una retta sul piano l. Scegliamo un sistema di coordinate in modo che l'asse Bue allineato con la linea l, e l'asse Ehi era perpendicolare ad esso. Poi l'equazione della retta l assumerà la seguente forma:
| y=0. | (2) |
Tutti i punti su una linea l soddisferà l'equazione lineare (2), e tutti i punti al di fuori di questa linea retta non soddisferanno l'equazione (2). La prima parte del teorema è dimostrata.
Sia dato un sistema di coordinate cartesiane rettangolari e sia data l'equazione lineare (1), dove almeno uno degli elementi UN e B diverso da zero. Trova il luogo dei punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (1). Poiché almeno uno dei coefficienti UN e Bè diverso da zero, allora l'equazione (1) ha almeno una soluzione M(X 0 ,si 0). (Ad esempio, quando UN≠0, punto M 0 (−CIRCA, 0) appartiene al luogo dei punti dato). Sostituendo queste coordinate nella (1) otteniamo l'identità
| Ascia 0 +Di 0 +C=0. | (3) |
Sottraiamo l'identità (3) da (1):
| UN(X−X 0)+B(si−si 0)=0. | (4) |
Ovviamente, l'equazione (4) è equivalente all'equazione (1). Pertanto, è sufficiente dimostrare che (4) definisce una retta.
Poiché stiamo considerando un cartesiano sistema rettangolare coordinate, dall'uguaglianza (4) segue che il vettore con componenti ( x−x 0 , y-y 0 ) è ortogonale al vettore n con coordinate ( A,B}.
Considera qualche linea l passando per il punto M 0 (X 0 , si 0) e perpendicolare al vettore n(Fig. 1). Facciamo il punto M(X,y) appartiene alla linea l. Quindi il vettore con le coordinate x−x 0 , y-y 0 perpendicolare n e l'equazione (4) è soddisfatta (prodotto scalare di vettori n e uguale a zero). Al contrario, se il punto M(X,y) non giace su una linea l, quindi il vettore con le coordinate x−x 0 , y-y 0 non è ortogonale al vettore n e l'equazione (4) non è soddisfatta. Il teorema è stato dimostrato.
Prova. Poiché le linee (5) e (6) definiscono la stessa linea, i vettori normali n 1 ={UN 1 ,B 1) e n 2 ={UN 2 ,B 2) sono collineari. Poiché i vettori n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, allora c'è un numero λ , che cosa n 2 =n 1 λ . Quindi abbiamo: UN 2 =UN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dimostriamolo C 2 =C 1 λ . È ovvio che le linee coincidenti hanno punto comune M 0 (X 0 , si 0). Moltiplicando l'equazione (5) per λ e sottraendo da essa l'equazione (6) otteniamo:
Poiché le prime due uguaglianze delle espressioni (7) sono soddisfatte, allora C 1 λ −C 2=0. Quelli. C 2 =C 1 λ . L'osservazione è stata dimostrata.
Si noti che l'equazione (4) definisce l'equazione di una retta passante per il punto M 0 (X 0 , si 0) e avente un vettore normale n={A,B). Pertanto, se il vettore normale della linea e il punto appartenente a questa linea sono noti, allora l'equazione generale della linea può essere costruita utilizzando l'equazione (4).
Esempio 1. Una linea passa per un punto M=(4,−1) e ha un vettore normale n=(3,5). Costruisci l'equazione generale di una retta.
Soluzione. Abbiamo: X 0 =4, si 0 =−1, UN=3, B=5. Per costruire l'equazione generale di una retta, sostituiamo questi valori nell'equazione (4):
Risposta:
Vettore parallelo alla retta l e quindi è perpendicolare al vettore normale della retta l. Costruiamo un normale vettore lineare l, dato che il prodotto scalare di vettori n ed è uguale a zero. Possiamo scrivere, ad esempio, n={1,−3}.
Per costruire l'equazione generale di una retta, usiamo la formula (4). Sostituiamo nella (4) le coordinate del punto M 1 (possiamo anche prendere le coordinate del punto M 2) e il vettore normale n:
Sostituzione delle coordinate del punto M 1 e M 2 in (9) possiamo assicurarci che la linea retta data dall'equazione(9) passa per questi punti.
Risposta:
Sottrai (10) da (1):
Abbiamo ottenuto l'equazione canonica di una retta. Vettore q={−B, UN) è il vettore di direzione della retta (12).
Vedi trasformazione inversa.
Esempio 3. Una linea retta in un piano è rappresentata dalla seguente equazione generale:
Sposta il secondo termine a destra e dividi entrambi i lati dell'equazione per 2 5.
Lascia che la retta passi per i punti M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). L'equazione di una linea retta che passa per il punto M 1 ha la forma y- y 1 \u003d K (x - x 1), (10.6)
dove K - coefficiente ancora sconosciuto.
Poiché la linea retta passa per il punto M 2 (x 2 y 2), le coordinate di questo punto devono soddisfare l'equazione (10.6): y 2 -y 1 \u003d K (x 2-x 1).
Da qui troviamo Sostituendo il valore trovato K
nell'equazione (10.6), otteniamo l'equazione di una retta passante per i punti M 1 e M 2: 
Si presume che in questa equazione x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Se x 1 \u003d x 2, la linea retta che passa per i punti M 1 (x 1, y I) e M 2 (x 2, y 2) è parallela all'asse y. La sua equazione è x = x 1 .
Se y 2 \u003d y I, l'equazione della retta può essere scritta come y \u003d y 1, la retta M 1 M 2 è parallela all'asse x.
Lascia che la linea retta intersechi l'asse Ox nel punto M 1 (a; 0) e l'asse Oy - nel punto M 2 (0; b). L'equazione assumerà la forma: 
quelli. 
. Questa equazione è chiamata l'equazione di una retta in segmenti, perché i numeri a e b indicano quali segmenti taglia la retta sugli assi coordinati.
Troviamo l'equazione di una retta passante per un dato punto Mo (x O; y o) perpendicolare a un dato vettore diverso da zero n = (A; B).
Prendi un punto arbitrario M(x; y) sulla retta e considera il vettore M 0 M (x - x 0; y - y o) (vedi Fig. 1). Poiché i vettori n e M o M sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è uguale a zero: cioè,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Viene chiamata l'equazione (10.8). equazione di una retta passante per un dato punto perpendicolare a un dato vettore .
Il vettore n = (A; B) perpendicolare alla retta si dice normale vettore normale di questa retta .
L'equazione (10.8) può essere riscritta come Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
dove A e B sono le coordinate del vettore normale, C \u003d -Ax o - Vu o - membro libero. Equazione (10.9) è l'equazione generale di una retta(vedi figura 2).
Fig.1 Fig.2
,
Dove 
sono le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea, e 
- vettore di direzione.
La circonferenza è l'insieme di tutti i punti di un piano equidistanti da un punto dato, detto centro.
Equazione canonica di un cerchio di raggio
R centrato su un punto 
:
In particolare, se il centro del paletto coincide con l'origine, allora l'equazione sarà: 
Ellisse
Un'ellisse è un insieme di punti in un piano, la somma delle distanze da ciascuno di essi a due punti dati
e 
, detti fuochi, è un valore costante 
, maggiore della distanza tra i fuochi 
.
L'equazione canonica di un'ellisse i cui fuochi giacciono sull'asse del bue e la cui origine è nel mezzo tra i fuochi ha la forma 
G 
de un la lunghezza del semiasse maggiore; b è la lunghezza del semiasse minore (Fig. 2).
