1 AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA NOVOSZIBIRSZ ÁLLAMI EGYETEM FIZIKAI KAR R. K. Belkheeva FOURIER SOROZAT PÉLDÁKBAN ÉS FELADATOKBAN Oktatóanyag Novoszibirszk 211
2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier-sorozat példákban és problémákban: Tankönyv / Novoszib. állapot un-t. Novoszibirszk, s. ISBN B tanulási útmutató bemutatjuk a Fourier-sorokkal kapcsolatos alapinformációkat, példákat adunk az egyes vizsgált témákhoz. Részletesen elemzünk egy példát a Fourier-módszer alkalmazására egy húr keresztirányú rezgésének problémájának megoldására. Szemléltető anyagot adunk. Vannak önálló megoldási feladatok. A Novoszibirszki Állami Egyetem Fizikai Karának hallgatói és tanárai számára készült. Megjelent az NSU Fizikai Karának Módszertani Bizottságának határozata alapján. Lektor Dr. fiz.-math. Tudományok. V. A. Aleksandrov ISBN c Novoszibirszki Állami Egyetem, 211 c Belkheeva R. K., 211
3 1. 2π-periodikus függvény Fourier-soros kiterjesztése Definíció. Az f(x) függvény Fourier-sora az a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) függvénysor, ahol az a n, b n együtthatókat a következő képletekkel számítjuk ki: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) A (2) (3) képleteket Euler Fourier-képleteknek nevezzük . Azt a tényt, hogy az f(x) függvény megfelel az (1) Fourier-sornak, f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) képletként írják le, és azt mondják, hogy a ( képlet jobb oldala) 4) az f(x) Fourier-függvények formális sorozata. Más szóval, a (4) képlet csak azt jelenti, hogy az a n, b n együtthatókat a (2), (3) képletek találják meg. 3
4 Definíció. Egy 2π-periodikus f(x) függvényt darabonként simának nevezünk, ha a [, π] intervallum véges számú pontot tartalmaz = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4
5 Fig. 1. Az f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 függvény grafikonja páratlan n, páros n esetén f(x ) sin nxdx = mert az f(x) függvény páros. Az f(x) függvényre felírjuk a formális Fourier-sort: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.
6 Nézze meg, hogy az f(x) függvény darabonként sima-e. Mivel folytonos, ezért az x = ±π intervallum végpontjaiban és az x = : és f(π h) f(π) π h π lim = lim h + töréspontjában csak a (6) határértékeket számítjuk ki. h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h A határértékek léteznek és végesek, ezért a függvény darabonként sima. A pontonkénti konvergenciatétel alapján annak Fourier-sora minden pontban az f(x) számhoz konvergál, azaz f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) A 2. és 3. ábra az S n (x) Fourier-sor parciális összegeinek közelítésének jellegét mutatja be, ahol S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, a függvényhez. f(x) a [, π] intervallumban. 6
7 Fig. 2. ábra. Az f(x) függvény grafikonja S (x) = a 2 és S 1(x) = a 2 + a 1 cos x részösszegek szuperponált gráfjaival 3. Az f (x) függvény grafikonja egy ráhelyezett részösszeg gráfral S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7
8 A (7) x =-be behelyettesítve a következőt kapjuk: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, ahonnan a számsor összegét kapjuk: = π2 8. Ennek a sorozatnak az összegét ismerve Könnyű megtalálni a következő összeget: S = ( ) S = ()= π S, tehát S = π2 6, azaz 1 n = π Ennek a híres sorozatnak az összegét először Leonhard Euler találta meg. Gyakran megtalálható a matematikai elemzésben és alkalmazásaiban. 2. PÉLDA Rajzoljon grafikont, keresse meg az f(x) = x képlettel megadott függvény Fourier-sorát x-re< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8
9 Fig. 4. Az f(x) függvény grafikonja Az f(x) függvény folyamatosan differenciálható a (, π) intervallumon. Az x = ±π pontokban véges határai (5) vannak: f() =, f(π) = π. Ezen kívül vannak véges határértékek (6): f(+ h) f(+) lim = 1 és h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Tehát f(x) darabonként sima funkció. Mivel az f(x) függvény páratlan, akkor a n =. A b n együtthatókat részenkénti integrálással találjuk meg: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1) )n+ egy. n Állítsuk össze a 2(1) n+1 f(x) sin nx függvény formális Fourier-sorát. n 9 cosnxdx ] =
10 A pontonkénti konvergencia tétele szerint darabonként sima 2π-periodikus függvényre az f(x) függvény Fourier-sora az összeghez konvergál: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x ha π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1
11 Fig. 6. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 2 (x) részösszeg rárakásával. 7. Az f(x) függvény grafikonja az S 3 (x) 11 részösszeg grafikonjával rárakva
12 Fig. 8. Az f(x) függvény grafikonja az S 99 (x) részösszeg grafikonjával rárakva, A kapott Fourier-sorok segítségével megkeressük két numerikus sorozat összegét. Betesszük (8) x = π/2. Ekkor 2 () +... = π 2, vagy = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Könnyen megtaláltuk a jól ismert Leibniz-sor összegét. Ha x = π/3-at (8-ba) teszünk, azt kapjuk, hogy () +... = π 2 3, vagy (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k
13 3. PÉLDA Rajzoljon grafikont, keresse meg az f(x) = sin x függvény Fourier-sorát, feltételezve, hogy periódusa 2π, és 1 számítsa ki a 4n 2 számsor összegét 1. Megoldás. ábrán látható az f(x) függvény grafikonja. 9. Nyilvánvaló, hogy f(x) = sin x folytonos páros függvény π periódussal. De 2π az f(x) függvény periódusa is. Rizs. 9. Az f(x) függvény grafikonja Számítsuk ki a Fourier-együtthatókat! Mind b n = mert a függvény páros. Trigonometrikus képletek segítségével kiszámítjuk a n-t n 1-re: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1, ha n = 2k, = π n 2 1, ha n = 2k
14 Ez a számítás nem teszi lehetővé, hogy megtaláljuk az a 1 együtthatót, mert n = 1 esetén a nevező nullára megy. Ezért az a 1 együtthatót közvetlenül számítjuk ki: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Mivel f(x) folyamatosan differenciálható (,) és (, π) pontokon, valamint a kπ, (k egy egész szám), véges határértékei vannak (5) és (6), a függvény Fourier-sora konvergál minden pontban: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Az f(x) függvény grafikonja az S(x) részösszeg grafikonjával rárakva 14
15 Fig. 11. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 1 (x) részösszeg rárakódásával. 12. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 2 (x) részösszeg rárakódásával. 13. Az f(x) függvény grafikonja az S 99 (x) 15 részösszeg grafikonjával rárakva
16 1 Számítsa ki a számsorok összegét! Ehhez a (9) x =-be 4n 2 1-et teszünk. Ekkor cosnx = 1 minden n = 1, 2,... esetén, és ezért 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. 4. PÉLDA Bizonyítsuk be, hogy ha egy f(x) darabonként sima folytonos függvény teljesíti az f(x π) = f(x) feltételt minden x esetén (azaz π-periodikus) , akkor a 2n 1 = b 2n 1 = minden n 1-re, és fordítva, ha a 2n 1 = b 2n 1 = minden n 1-re, akkor f(x) π-periodikus. Megoldás. Legyen az f(x) függvény π-periodikus. Számítsuk ki a Fourier-együtthatóit a 2n 1 és b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) ) cos (2n 1)xdx. Az első integrálban végrehajtjuk az x = t π változó változását: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16
17 Felhasználva azt a tényt, hogy cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t és f(t π) = f(t), a következőt kapjuk: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy b 2n 1 =. Fordítva, legyen a 2n 1 = b 2n 1 =. Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért egy függvénynek egy pontban annak Fourier-sorával való ábrázolhatóságára vonatkozó tétel alapján akkor f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), ami azt jelenti, hogy f(x) π-periodikus függvény. 5. PÉLDA Bizonyítsuk be, hogy ha egy f(x) darabonkénti sima függvény teljesíti az f(x) = f(x) feltételt minden x-re, akkor a = és a 2n = b 2n = minden n 1-re, és fordítva , ha a = a 2n = b 2n =, akkor f(x π) = f(x) minden x esetén. Megoldás. Az f(x) függvény teljesítse az f(x π) = f(x) feltételt. Számítsuk ki a Fourier-együtthatóit: 17
18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Az első integrálban végrehajtjuk az x = t π változó változását. Ekkor f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Felhasználva azt a tényt, hogy cos n(t π) = (1) n költség és f(t π) = f(t), megkapjuk: a n = 1 π ((1) n) f(t) költség dt = ha n páros, = 2 π f(t) cos nt dt, ha n páratlan. π Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy b 2n =. Fordítva, legyen a = a 2n = b 2n =, minden n 1-re. Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért a függvény egy pontban való ábrázolhatóságára vonatkozó tétel alapján annak Fourier-sora kielégíti az f() egyenlőséget. x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). tizennyolc
19 Ekkor = f(x π) = = = f(x). 6. PÉLDA Vizsgáljuk meg, hogyan lehet kiterjeszteni a [, π/2] intervallumra integrálható f(x) függvényt a [, π] intervallumra úgy, hogy Fourier-sorának alakja: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Megoldás. Legyen a függvény grafikonja az ábrán látható formában. 14. Mivel az (1) sorozatban a = a 2n = b 2n = minden n-re, az 5. példából következik, hogy az f(x) függvénynek teljesítenie kell az f(x π) = f(x) egyenlőséget minden x esetén. Ez a megfigyelés lehetőséget ad az f(x) függvény kiterjesztésére a [, /2] intervallumra: f(x) = f(x+π), ábra. 15. Abból, hogy az (1) sorozat csak koszinuszokat tartalmaz, arra a következtetésre jutunk, hogy az f (x) folytonos függvénynek párosnak kell lennie (vagyis a grafikonjának szimmetrikusnak kell lennie az Oy tengelyre), Fig.
20 Fig. 14. Az f(x) függvény grafikonja 15. Az f(x) függvény [, /2] 2 intervallumon való folytatásának grafikonja
21 Tehát a kívánt függvény alakja az ábrán látható. 16. ábra. 16. Az f(x) függvény [, π] intervallumon való folytatásának grafikonja Összegezve azt a következtetést vonjuk le, hogy a függvényt a következőképpen kell folytatni: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), azaz [π/2, π] intervallum, az f(x) függvény grafikonja a (π/2,) pontra centrálisan szimmetrikus, a [, π] intervallumon pedig a grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre. 21
22 A PÉLDÁK ÁLTALÁNOSÍTÁSA 3 6 Legyen l >. Tekintsünk két feltételt: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Geometriai szempontból az (a) feltétel azt jelenti, hogy az f(x) függvény grafikonja szimmetrikus az x = l/2 függőleges egyenesre, a (b) feltétel pedig azt, hogy az f(x) grafikon középen van. szimmetrikus az abszcissza tengelyen lévő (l/2;) ponthoz képest. Ekkor a következő állítások igazak: 1) ha az f(x) függvény páros és az (a) feltétel teljesül, akkor b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) ha az f(x) függvény páros és a (b) feltétel teljesül, akkor b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) ha az f(x) függvény páratlan és az (a) feltétel teljesül, akkor a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) ha az f(x) függvény páratlan és a (b) feltétel teljesül, akkor a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. PROBLÉMÁK Az 1 7. feladatban rajzoljunk grafikonokat, és keressük meg a függvények Fourier-sorait (feltételezve, hogy periódusuk 2π: ha< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22
23 ( 1 ha /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23
24 2. A [, π] intervallumban megadott függvény kibővítése csak szinuszokkal vagy csak koszinuszokkal Legyen adott egy f függvény a [, π] intervallumban. Ahhoz, hogy ebben az intervallumban Fourier-sorrá bővítsük, először tetszőleges módon kiterjesztjük f-et a [, π] intervallumra, majd az Euler Fourier-képleteket használjuk. A függvény folytatásának tetszőlegessége oda vezet, hogy ugyanazon f: [, π] R függvényre különböző Fourier-sorokat kaphatunk. De fel lehet használni ezt az önkényességet úgy, hogy csak szinuszokban vagy csak koszinuszokban kapjunk bővítést: az első esetben elegendő f-et páratlan módon, a másodikban pedig páros módon folytatni. Megoldási algoritmus 1. Folytassa a függvényt páratlan (páros) módon a (,) ponton, majd periodikusan 2π periódussal folytassa a függvényt a teljes tengelyre. 2. Számítsa ki a Fourier-együtthatókat! 3. Állítsa össze az f(x) függvény Fourier-sorát! 4. Ellenőrizze a sorozatok konvergenciájának feltételeit! 5. Adja meg azt a függvényt, amelyhez ez a sorozat konvergál. 7. PÉLDA Bontsa ki az f(x) = cosx függvényt,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис
25 Fig. 17. A folytatási függvény grafikonja Nyilvánvaló, hogy az f (x) függvény darabonként sima. Számítsuk ki a Fourier-együtthatókat: a n = minden n-re, mert az f (x) függvény páratlan. Ha n 1, akkor b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, ha n = 2 k + 1, (1) n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, ha n = 2k. π n 2 1 Az előző számításokban n = 1 esetén a nevező eltűnik, így a b 1 együttható közvetlenül számítható.
26 Lényegében: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Állítsa össze az f (x) függvény Fourier-sorát: f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Mivel az f (x) függvény darabonként sima, ezért a pontonkénti konvergenciatétel alapján az f (x) függvény Fourier-sora a cosx összeghez konvergál, ha π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26
27 Fig. 18. ábra Az f (x) függvény grafikonja az S 1 (x) részösszeg rárakódásával. 19. Az f(x) függvény grafikonja az S 2 (x) részösszeg grafikonjával rárakva 27
28 Fig. 2. ábra. Az f (x) függvény grafikonja az S 3 (x) részösszeg grafikonjával rárakva. A 21. ábra az f(x) függvény és S 99(x) részösszegének grafikonjait mutatja. Rizs. 21. Az f (x) függvény grafikonja az S 99 (x) 28 részösszeg grafikonjával rárakva
29 8. PÉLDA Az f(x) = e ax, a >, x [, π] függvényt Fourier-sorban csak koszinuszokban bontsuk ki. Megoldás. Folytatjuk a függvényt egyenletesen (,)-ig (azaz úgy, hogy az f(x) = f(x) egyenlőség minden x-re (, π) teljesüljön), majd periodikusan 2π periódussal a teljes valós értékre. tengely. Megkapjuk az f (x) függvényt, melynek grafikonja a 2. ábrán látható. 22. f (x) függvény a pontokban 22. Az f (x) x = kπ folytonos függvény grafikonja, k egész szám, törésekkel rendelkezik. Számítsuk ki a Fourier-együtthatókat: b n =, mivel f (x) páros. Alkatrészenként integrálva 29-et kapunk
30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π π πa eax cosnx = 2 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2nxxs nx π a 2eax a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Ezért a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Mivel f (x) folytonos, a pontszerű konvergenciatétel szerint Fourier-sora f (x)-hez konvergál. Ezért minden x [, π] esetén f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Az ábrák a Fourier-sor parciális összegeinek fokozatos közelítését mutatják egy adott nem folytonos függvényhez. 3
31 Fig. 23. f (x) és S (x) függvények grafikonjai 24. Az f (x) és S 1 (x) függvények grafikonjai 25. Az f (x) és S 2 (x) függvények grafikonjai 26. Az f (x) és S 3 (x) függvények grafikonjai 31
32 Fig. 27. Az f (x) és S 4 (x) függvények grafikonjai 28. Az f (x) és S 99 (x) függvények grafikonjai 9. FELADAT. Bontsa ki az f (x) = cos x, x π függvényt egy Fourier-sorban csak koszinuszokban! 1. Bontsa ki az f (x) \u003d e ax, a >, x π függvényt egy Fourier-sorban csak szinuszokkal. 11. Bontsa ki az f (x) \u003d x 2, x π függvényt egy Fourier-sorban csak szinuszokban. 12. Bontsa ki az f (x) \u003d sin ax, x π függvényt egy Fourier-sorban csak koszinuszokkal. 13. Bontsa ki az f (x) \u003d x sin x, x π függvényt egy Fourier-sorban csak szinuszokban. A válaszok 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32
33 12. Ha a nem egész szám, akkor sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; ha a = 2m páros szám, akkor sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; ha a = 2m 1 pozitív páratlan szám, akkor sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Tetszőleges periódusú függvény Fourier-sorai Tegyük fel, hogy az f(x) függvény az [ l, l], l > intervallumban van definiálva. Az x = ly, y π behelyettesítésével a π [, π] intervallumban definiált g(y) = f(ly/π) függvényt kapjuk. Ez a g(y) függvény a (formális) Fourier-sornak () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) felel meg, amelynek együtthatóit az Euler Fourier-képletek határozzák meg: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cosny dy, n =, 1, 2,..., 33
34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, az f(x) függvényre egy kissé módosított trigonometrikus sorozatot kapunk: ahol f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n2 =, ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) A (11) (13) képletek azt mondják, hogy egy tetszőleges periódusú függvény Fourier-sorában határozzák meg a kiterjesztést. 9. PÉLDA Keresse meg az (l, l) intervallumban megadott függvény Fourier-sorát az ( A ha l) kifejezéssel< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34
35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos π + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = ha n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1). πn Állítsa össze az f (x) függvény Fourier-sorát: f(x) A + B π (B A Mivel cosπn = (1) n, akkor n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l n = 2k esetén b n = b 2k =, n = 2k 1 esetén b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).
36 Innen f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l A pontszerű konvergenciatétel szerint az f(x) függvény Fourier-sora konvergál az A összeghez, ha l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).
37 Fig. 29. Az f (x) függvény grafikonja az S (x) = a 2 és S 1 (x) = b 1 sinx felharmonikusok egymásra helyezett grafikonjaival. Az egyértelműség kedvéért a három magasabb harmonikus S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l és S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx grafikonjai függőlegesen el vannak tolva. fel l 37
38 Fig. 3. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 99 (x) részösszeg grafikonjával rárakva. 31. ábra töredéke. 3 egy másik skálán 38
39 PROBLÉMÁK Problémák esetén adott időközönként bővítse ki a Fourier-sorokban megadott függvényeket. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x) ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 ha 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39
40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 1) 2 (2n) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x A Fourier-sor összetett formája Felbontás f(x) = c n e inx, ahol c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., a Fourier-sor összetett alakjának nevezzük. A függvény összetett Fourier-sorrá bővül, ugyanolyan feltételek mellett, mint amelyek mellett valódi Fourier-sorrá bővül. négy
41 1. PÉLDA Keresse meg a Fourier-sort az f(x) = e ax képlettel megadott függvény komplex alakjában a [, π intervallumban, ahol a valós szám! Megoldás. Számítsuk ki az együtthatókat: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Az f függvény komplex Fourier-sorának alakja f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Ellenőrizzük, hogy az f(x) függvény darabonként sima: a (, π) intervallumban folytonosan differenciálható, és az x = ±π pontokban véges határok (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Ezért az f(x) függvény egy Fourier-sorral reprezentálható sh aπ π n= (1) n a in einx, amely konvergál az összeghez: ( e S(x) = ax, ha π< x < π, ch a, если x = ±π. 41
42 11. PÉLDA Keresse meg a Fourier-sort az f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 képlettel megadott függvény komplex és valós alakjában, ahol a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42
43 Emlékezzünk vissza, hogy egy végtelen geometriai haladás összege q (q) nevezővel< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43
44 Most nézzük meg a Fourier-sort valós formában. Ehhez az n és n számokkal rendelkező tagokat csoportosítjuk n-re: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Mivel c = 1, akkor 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Ez egy Fourier-sor az f(x) függvény valós alakjában. Így egyetlen integrál kiszámítása nélkül is megtaláltuk a függvény Fourier-sorát. Ennek során a cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2 paramétertől függő kemény integrált számoltunk ki, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44
45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (z a) (z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Az egyszerű törtek mindegyikét kibővítjük a geometriai progressziós képlet szerint: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Ez azért lehetséges, mert az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, vagy rövidebben c n = 1 2i a n sgnn. Így a Fourier-sor összetett formában található. Az n és n számokkal csoportosítva a függvény Fourier-sorát valós formában kapjuk: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Ismét a következő komplex integrált sikerült kiszámítanunk: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45
46 24. FELADAT. A (15) segítségével számítsa ki a cos nxdx 1 2a cosx + a 2 integrált a valós a, a > A (16) segítségével számítsa ki a sin x sin nxdx integrált valós a, a > a cosx + a2 integrált feladatokban. , keresse meg a Fourier sorozatot komplex formában a függvényekhez. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46
47 5. Ljapunov-egyenlőség tétele (Ljapunov-egyenlőség). Legyen egy f: [, π] R függvény olyan, hogy f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47
48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Ezért az f(x) függvény Ljapunov-egyenlősége a következő alakot ölti: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. A π utolsó egyenlőségéből megtaláljuk sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Feltételezve, hogy a = π 2, akkor sin2 na = 1 n = 2k 1 esetén sin 2 na = n = 2k esetén. Ezért k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. 14. PÉLDA Írjuk fel az f(x) = x cosx, x [, π] függvényre a Ljapunov-egyenlőséget, és keressük meg vele a szám összegét. sorozat (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Megoldás. A közvetlen számítások a következőt adják: = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =
49 Mivel f(x) páros függvény, akkor minden n-re b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1) (n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, ha n = 2k, 2, ha n = 2k + 1. Az a 1 együtthatót külön kell kiszámítani, mivel az n = 1 általános képletben a tört nevezője eltűnik . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.
50 Így az f(x) függvény Ljapunov-egyenlőségének alakja: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π 32. FELADAT. Írja fel a Ljapunov-egyenlőséget az ( x f(x) = 2 πx függvényre, ha x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что összetett forma A Ljapunov-egyenlet nem csak valós értékű függvényekre érvényes, hanem összetett értékű függvényekre is. 5
51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Válaszok + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, ahol c n az f(n) 2π Fourier-együtthatója, és a g(x) Fourier-együttható függvény. 6. Fourier-sorok differenciálása Legyen f: R R folytonosan differenciálható 2π-periodikus függvény. Fourier-sorának alakja: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Ennek a függvénynek az f (x) deriváltja egy folytonos és 2π-periodikus függvény lesz, amelyre formális Fourier-sor írható: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), ahol a, a n , b n, n = 1 , 2,... Az f (x) függvény Fourier-együtthatói. 51
52 Tétel (a Fourier-sorok tagonkénti differenciálásáról). A fenti feltételezések szerint az a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 egyenlőségek igazak 15. PÉLDA Legyen egy f(x) darabonként sima függvény folytonos a [, π] intervallumban. Bizonyítsuk be, hogy ha az f(x)dx = feltétel teljesül, akkor teljesül a 2 dx 2 dx egyenlőtlenség, amelyet Szteklov-egyenlőtlenségnek nevezünk, és ellenőrizzük, hogy az egyenlőség csak az f(x) = A alakú függvényekre valósul meg. cosx. Más szóval, a Steklov-egyenlőtlenség olyan feltételeket ad, amelyek mellett a derivált kicsinysége (effektív értékben) a függvény kicsinységét jelenti (effektív értékben). Megoldás. Bővítsük ki egyenletesen az f(x) függvényt a [, ] intervallumra. Jelölje a kiterjesztett függvényt ugyanazzal az f(x) szimbólummal. Ekkor a folytonos függvény folyamatos és darabonként sima lesz a [, π] intervallumon. Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért f 2 (x) folytonos az intervallumon és 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52
53 Mivel a folyamatos függvény páros, akkor b n =, a = feltétel szerint. Következésképpen a Ljapunov-egyenlőség 1 π 2 dx = a 2 π n alakot ölt. (17) Győződjön meg arról, hogy f (x) kielégíti a Fourier-sor tagonkénti differenciálására vonatkozó tétel következtetését, vagyis azt, hogy a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Hagyja, hogy az f (x) derivált töréseket szenvedjen a [, π] intervallum x 1, x 2,..., x N pontjaiban. Jelölje x =, x N+1 = π. Osszuk fel a [, π] integrációs intervallumot N +1 intervallumra (x, x 1),..., (x N, x N+1), amelyek mindegyikén f(x) folytonosan differenciálható. Ekkor az integrál additív tulajdonságát felhasználva, majd részenként integrálva kapjuk: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)
54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Hasonlóképpen kapjuk, hogy a n = nb n. Megmutattuk, hogy a Fourier-sorok tagonkénti differenciálására vonatkozó tétel egy folytonos darabonként sima 2π-periodikus függvényre, amelynek [, π] intervallumbeli deriváltja az első típusú diszkontinuitásokon megy keresztül, igaz. Tehát f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, mivel a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,... Mert 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)
55 Mivel a (18)-beli sorozat minden tagja nagyobb vagy egyenlő a (17)-beli sorozat megfelelő tagjával, akkor 2 dx 2 dx. Emlékeztetve arra, hogy f(x) az eredeti függvény egyenletes folytatása, van 2 dx 2 dx. Ami a Szteklov-egyenlőséget bizonyítja. Vizsgáljuk meg most, hogy mely függvényekre érvényesül az egyenlőség Szteklov-egyenlőtlenségében. Ha legalább egy n 2 esetén az a n együttható nullától eltérő, akkor a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55
56 FELADATOK 37. Legyen egy f(x) darabonkénti sima függvény folytonos a [, π] intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy az f() = f(π) = feltétel mellett teljesül a 2 dx 2 dx egyenlőtlenség, amelyet Szteklov-egyenlőtlenségnek is neveznek, és győződjön meg arról, hogy a benne lévő egyenlőség csak az f(x) = B sin x alakú függvényekre áll fenn. . 38. Legyen egy f függvény folytonos a [, π] intervallumban, és legyen benne (talán csak véges számú pont kivételével) négyzetesen integrálható f(x) deriváltja. Bizonyítsuk be, hogy ha az f() = f(π) és f(x) dx = feltételek teljesülnek, akkor a 2 dx 2 dx egyenlőtlenség, amelyet Wirtinger-egyenlőtlenségnek nevezünk, teljesül, és a benne lévő egyenlőség csak a alak f(x ) = A cosx + B sinx. 56
57 7. Fourier-sorok alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldására Valós tárgy (természeti jelenségek, termelési folyamat, vezérlőrendszer stb.) vizsgálatakor két tényező bizonyul jelentősnek: a vizsgált objektumról felhalmozott tudás szintje, ill. a matematikai apparátus fejlettségi foka. A jelenlegi szakaszában tudományos kutatások során a következő láncot dolgozták ki: jelenség fizikai modell matematikai modell. A probléma fizikai megfogalmazása (modellje) a következő: azonosításra kerülnek a folyamat kialakulásának feltételei és az azt befolyásoló főbb tényezők. A matematikai megfogalmazás (modell) abból áll, hogy a fizikai megfogalmazásban választott tényezőket és feltételeket egyenletrendszer (algebrai, differenciál, integrál stb.) formájában írja le. Egy problémát akkor mondunk jól feltettnek, ha egy adott funkcionális térben a probléma megoldása létezik, egyedileg és folyamatosan függ a kezdeti és peremfeltételektől. A matematikai modell nem azonos a vizsgált objektummal, hanem annak közelítő leírása A húr szabad kis keresztirányú rezgésének egyenletének levezetése Követjük a tankönyvet. Legyen rögzítve a húr vége, maga a húr pedig legyen feszes. Ha a húr kikerül az egyensúlyból (például húzással vagy ütéssel), akkor a húr elindul 57
58 habozzon. Feltételezzük, hogy a húr minden pontja merőlegesen mozog az egyensúlyi helyzetére (keresztirányú rezgések), és a húr minden pillanatban ugyanabban a síkban fekszik. Vegyük ebben a síkban a rendszert derékszögű koordináták xou. Ekkor, ha a kezdeti t = időpontban a húr az Ox tengely mentén helyezkedett el, akkor u a húr egyensúlyi helyzetétől való eltérését jelenti, vagyis az x abszcissza húrpont helyzetét tetszőleges t időpontban. megfelel az u(x, t) függvény értékének. A t minden rögzített értékére az u(x, t) függvény grafikonja ábrázolja a rezgő húr alakját a t időpontban (32. ábra). Állandó x érték mellett az u(x, t) függvény megadja egy x abszcisszán lévő pont mozgásának törvényét az Ou tengellyel párhuzamos egyenes mentén, u t deriváltja ennek a mozgásnak a sebessége, és a második derivált 2 u t 2 a gyorsulás. Rizs. 32. Egy karakterlánc végtelen kis szakaszára ható erők Írjunk fel egy egyenletet, amelyet az u(x, t) függvénynek teljesítenie kell. Ehhez még néhány egyszerűsítő feltevést teszünk. Feltételezzük, hogy a karakterlánc abszolút rugalmas.
59 coy, azaz feltételezzük, hogy a húr nem ellenáll a hajlításnak; ez azt jelenti, hogy a húrban fellépő feszültségek mindig érintőlegesen irányulnak a pillanatnyi profiljára. Feltételezzük, hogy a húr rugalmas, és alá van vetve Hooke törvényének; ez azt jelenti, hogy a feszítőerő nagyságának változása arányos a húr hosszának változásával. Tegyük fel, hogy a karakterlánc homogén; ez azt jelenti, hogy ρ lineáris sűrűsége állandó. Elhanyagoljuk a külső erőket. Ez azt jelenti, hogy szabad oszcillációra gondolunk. Csak egy húr kis rezgéseit vizsgáljuk. Ha ϕ(x, t)-vel jelöljük az abszcissza tengelye és a húr érintője közötti szöget az x abszcissza pontban t időpontban, akkor a kis rezgések feltétele, hogy ϕ 2 (x, t) elhanyagolható ϕ (x, t)-hez képest, azaz ϕ 2. Mivel a ϕ szög kicsi, ezért cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, ezért az (u x x,) 2 érték is figyelmen kívül kell hagyni. Ebből rögtön következik, hogy az oszcilláció során a húr bármely szakaszának hosszának változását figyelmen kívül hagyhatjuk. Valójában egy M 1 M 2 húrdarab hossza az x tengely intervallumába vetítve, ahol x 2 = x 1 + x egyenlő l = x 2 x () 2 u dx x. x Mutassuk meg, hogy feltételezésünk szerint a T feszítőerő értéke állandó lesz a teljes húr mentén. Ehhez kivesszük az M 1 M 2 húr egy részét (32. ábra) a t időpontban, és pótoljuk az eldobott részek hatását.
60 kov a T 1 és T 2 feszítőerők által. Mivel a feltétel szerint a húr minden pontja párhuzamosan mozog az Ou tengellyel, és nincsenek külső erők, a feszítőerők Ox tengelyre vetületeinek összege egyenlőnek kell lennie nullával: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Ezért a ϕ 1 = ϕ(x 1, t) és ϕ 2 = ϕ(x 2, t) szögek kicsinysége miatt arra a következtetésre jutunk, hogy T 1 = T 2. általános jelentése T 1 \u003d T 2 - T. Most kiszámítjuk ugyanazon erők F u vetületeinek összegét az Ou tengelyre: F u \u003d T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t) . (2) Mivel kis szögekre sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), és tg ϕ(x, t) u(x, t)/x, a (2) egyenlet F u T-re írható át. (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Mivel az x 1 pontot tetszőlegesen választjuk, akkor F u T 2 u x2(x, t) x. Miután megtaláltuk az M 1 M 2 szakaszra ható összes erőt, alkalmazzuk rá Newton második törvényét, amely szerint a tömeg és a gyorsulás szorzata egyenlő az összes ható erő összegével. Az M 1 M 2 húrdarab tömege egyenlő m = ρ l ρ x, a gyorsulás pedig 2 u(x, t). A Newton-féle t 2 egyenlet a következő formában jelenik meg: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, ahol α 2 = T ρ egy állandó pozitív szám. 6
61 X-szel redukálva 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) kapjuk. (21) Ennek eredményeként egy másodrendű lineáris homogén parciális differenciálegyenletet kaptunk állandó együtthatók. Ezt nevezik húrrezgés-egyenletnek vagy egydimenziós hullámegyenletnek. A (21) egyenlet lényegében a Newton-törvény újrafogalmazása, és egy húr mozgását írja le. De a probléma fizikai megfogalmazásánál követelmény volt, hogy a húr végei rögzítve legyenek, és ismert legyen a húr helyzete egy adott időpontban. Ezeket a feltételeket a következőképpen írjuk fel egyenletekbe: a) feltételezzük, hogy a karakterlánc végei az x = és x = l pontokban rögzítettek, azaz feltesszük, hogy minden t esetén az u(, t) = összefüggések , u(l, t ) = ; (22) b) feltételezzük, hogy t = időpontban a karakterlánc pozíciója egybeesik az f(x) függvény grafikonjával, azaz feltesszük, hogy minden x [, l] esetén az u(x, ) = f(x); (23) c) tételezzük fel, hogy amikor t = az x abszcisszával rendelkező karakterlánc pontja, akkor g(x) sebességet kapunk, azaz feltesszük, hogy u (x,) = g(x). (24) t A (22) relációkat peremfeltételeknek, a (23) és (24) relációkat pedig kezdeti feltételeknek nevezzük. A szabad kis keresztirányú matematikai modellje 61
62 húrrezgések az, hogy meg kell oldani a (21) egyenletet peremfeltételekkel (22) és kezdeti feltételekkel (23) és (24) A húr szabad kis keresztirányú rezgésének egyenletének megoldása Fourier módszerrel< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (25)-et (21) behelyettesítve a következőket kapjuk: X T = α 2 X T, (26) vagy T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Azt mondják, hogy a változók szétválnak. Mivel x és t nem függ egymástól, a (27)-ben lévő bal oldal nem függ x-től, de a jobb oldal nem függ t-től, és ezeknek az arányoknak az összértéke 62
63-nak állandónak kell lennie, amit λ-val jelölünk: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Ebből kapunk két közönséges differenciál egyenletek: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Ebben az esetben a (22) peremfeltételek X()T(t) = és X(l)T(t) = alakot öltik. Mivel minden t, t > esetén teljesülniük kell, akkor X() = X(l) =. (3) Keressünk olyan megoldásokat a (28) egyenletre, amely kielégíti a (3) peremfeltételeket. Nézzünk három esetet. 1. eset: λ >. Jelölje λ = β 2. A (28) egyenlet X (x) β 2 X(x) = alakot ölt. A k 2 β 2 = karakterisztikus egyenletének gyökei k = ± β. Következésképpen, közös döntés a (28) egyenlet alakja X(x) = C e βx + De βx. A C és D állandókat úgy kell választanunk, hogy a (3) peremfeltételek teljesüljenek, azaz X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Mivel β, akkor ez az egyenletrendszer rendelkezik egyetlen döntés C=D=. Ezért X(x) és 63
64 u(x, t). Így az 1. esetben egy triviális megoldást kaptunk, amelyet nem vizsgálunk tovább. 2. eset: λ =. Ekkor a (28) egyenlet X (x) = alakot ölt, és megoldását nyilvánvalóan a következő képlet adja: X(x) = C x+d. Ezt a megoldást a (3) peremfeltételekbe behelyettesítve X() = D = és X(l) = Cl =, így C = D =. Ebből X(x) és u(x, t), és megint van egy triviális megoldásunk. 3. eset: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64
65 A következőkben n-hez csak pozitív n = 1, 2,... értékeket rendelünk, mivel negatív n esetén azonos alakú (nπ) megoldásokat kapunk. A λ n = értékek: sajátértékeknek nevezzük, és a (28) differenciálegyenlet X n (x) = C n sin πnx sajátfüggvényei peremfeltételekkel (3). Most oldjuk meg a (29) egyenletet. Számára a karakterisztikus egyenlet alakja k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Mivel fentebb megtudtuk, hogy a (28) egyenlet X(x) nemtriviális megoldásai csak λ = n2 π 2 negatív λ esetén léteznek, az alábbiakban ezeket a λ-kat fogjuk figyelembe venni. A (32) egyenlet gyökei k = ±iα λ, és a (29) egyenlet megoldásainak alakja: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l ahol A n és B n tetszőleges állandók. A (31) és (33) képleteket (25) behelyettesítve a (21) egyenlet sajátos megoldásait találjuk, amelyek kielégítik a (22) peremfeltételeket: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l Zárójelben megadva a C n tényezőt és bevezetve a C n A n = b n és a B n C n = a n jelölést, u n (X, T)-t úgy írjuk, hogy (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65
66 Az u n (x, t) megoldásoknak megfelelő húr rezgéseit a húr természetes rezgéseinek nevezzük. Mivel a (21) egyenlet és a (22) peremfeltételek lineárisak és homogének, ezért a (34) megoldások lineáris kombinációja (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l lesz a a (21 ) egyenlet megoldása, amely kielégíti a (22) peremfeltételeket az a n és b n együtthatók speciális megválasztásával, amely biztosítja a sorozatok egyenletes konvergenciáját. Most a (35) megoldás a n és b n együtthatóit választjuk úgy, hogy az ne csak a peremfeltételeket teljesítse, hanem a (23) és (24) kezdeti feltételeket is, ahol f(x), g(x) adott függvények ( sőt f() = f (l) = g() = g(l) =). Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények kielégítik a Fourier kiterjesztési feltételeket. A t = értéket (35) behelyettesítve u(x,) = a n sin πnx l = f(x) kapjuk. Differenciálva a (35) sorozatot t-re és behelyettesítve t =-t, azt kapjuk, hogy u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), és ez az f(x) és g(x) függvények kiterjesztése. a Fourier sorozatba. Ezért a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66
67 Az a n és b n együtthatók kifejezéseit behelyettesítve a (35) sorozatba, a (21) egyenletnek olyan megoldását kapjuk, amely teljesíti a (22) peremfeltételeket, valamint a (23) és (24) kezdeti feltételeket. Így megoldottuk a húr szabad kis keresztirányú rezgésének problémáját. Tisztázzuk a (34) képlettel definiált húr szabad rezgések problémájának u n (x, t) sajátfüggvényeinek fizikai jelentését. Írjuk át így, ahol u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n A (37) képlet megmutatja, hogy a húr minden pontja azonos frekvenciájú ω n = πnα és πnα δ n frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajt végre. Az oszcillációs amplitúdó a húrpont x abszcissza l l-től függ, és egyenlő α n sin πnx. Egy ilyen rezgéssel a húr minden pontja egyszerre éri el egyik vagy másik irányban a legnagyobb eltérését, és egyidejűleg lépi át az egyensúlyi helyzetet. Az ilyen rezgéseket állóhullámoknak nevezzük. Egy állóhullámnak n + 1 fix pontja lesz a sin πnx = egyenlet gyökei által a [, l] intervallumban. A rögzített pontokat az állóhullám csomópontjainak nevezzük. Középen a csomópontok között - l mi azok a pontok, ahol az eltérések elérik a maximumot; az ilyen pontokat antinódusoknak nevezzük. Minden karakterláncnak saját, szigorúan meghatározott frekvenciájú rezgései lehetnek ω n = πnα, n = 1, 2,.... Ezeket a frekvenciákat a karakterlánc sajátfrekvenciájának nevezzük. A legalacsonyabb l hangot, amelyet egy húr képes előállítani, maga határozza meg 67
68 alacsony sajátfrekvenciás ω 1 = π T, és a húr alaphangjának nevezzük. Az l ρ ω n, n = 2, 3,... frekvenciának megfelelő fennmaradó hangokat felhangoknak vagy harmonikusoknak nevezzük. Az érthetőség kedvéért az alaphangot (33. ábra), az első felhangot (34. ábra) és a második felhangot (35. ábra) kibocsátó húr tipikus profiljait ábrázoljuk. Rizs. 33. ábra Az alaphangot kibocsátó húr profilja. 34. ábra Az első felhangot kibocsátó karakterlánc profilja. 35. ábra Második felhangot kibocsátó karakterlánc profilja Ha a húr a kezdeti feltételek által meghatározott szabad rezgéseket hajt végre, akkor az u(x, t) függvény a (35) képletből látható módon a egyéni harmonikusok. Így az önkényes oszcilláció 68
A 69. húr állóhullámok szuperpozíciója. Ebben az esetben a húr hangjának jellege (hangszín, hangerő, hangszín) az egyes harmonikusok amplitúdóinak arányától függ A hang erőssége, magassága és hangszíne A vibráló húr az ember által érzékelt légrezgéseket gerjeszti fül, mint egy húr által kibocsátott hang. A hang erősségét a rezgések energiája vagy amplitúdója jellemzi: minél nagyobb az energia, annál erősebb a hang. A hang magasságát annak frekvenciája vagy rezgési periódusa határozza meg: minél magasabb a frekvencia, annál magasabb a hang. A hang hangszínét a felhangok jelenléte, az energia harmonikusok közötti eloszlása, azaz a rezgések gerjesztésének módja határozza meg. A felhangok amplitúdója általában kisebb, mint az alaphang amplitúdója, és a felhangok fázisai tetszőlegesek lehetnek. A fülünk nem érzékeny az oszcillációk fázisára. Hasonlítsa össze például az ábra két görbéjét. 36, kölcsönzött. Ez a hangfelvétel azonos alaphanggal, a klarinétból (a) és a zongorából (b). Mindkét hang nem egyszerű szinuszos rezgés. A hang alapfrekvenciája mindkét esetben azonos, és ez ugyanazt a hangot hozza létre. De a görbeminták eltérőek, mert különböző felhangok vannak rárakva az alaphangra. Bizonyos értelemben ezek a rajzok megmutatják, mi az a hangszín. 69
OROSZORSZÁG OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény MATI Orosz Állami Műszaki Egyetem, K. E. Ciolkovszkijról elnevezett
Szövetségi Oktatási Ügynökség Szövetségi Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény DÉL SZÖVETSÉGI EGYETEM R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya módszertani
A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma Vitebsk Állami Műszaki Egyetem Téma. "Sorok" Elméleti és Alkalmazott Matematika Tanszék. dolgozta ki Assoc. E.B. Dunina. Fő
4. előadás Harmonikus elemzés. Fourier sorozat Periodikus függvények. Harmonikus elemzés A tudományban és a technológiában gyakran kell időszakos jelenségekkel foglalkozni, azaz olyanokkal, amelyek ismétlődnek.
MOSZKVA ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM POLGÁRI REPÜLÉSI EGYETEM V.M. Lyubimov, E.A. Zsukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov
TARTALOM Fourier-sor 4 A periodikus függvény fogalma 4 Trigonometrikus polinom 6 3 Ortogonális függvényrendszerek 4 Trigonometrikus Fourier-sor 3 5 Fourier-sor páros és páratlan függvényekhez 6 6 Dekompozíció
HATÁROZOTT INTEGRÁL. Integrálösszegek és határozott integrál Legyen egy y = f () függvény definiálva a [, b ] szakaszon, ahol< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
SOROK ELMÉLETE A sorozatelmélet a matematikai elemzés legfontosabb eleme, és elméleti és számos gyakorlati alkalmazásra is talál. Tegyen különbséget numerikus és funkcionális sorozatok között.
V. TÉMAKÖR FOURIER SOROZAT 6. ELŐADÁS Periódusos függvény kiterjesztése Fourier-sorban A természetben és a technológiában előforduló számos folyamatnak megvan az a tulajdonsága, hogy bizonyos időközönként ismétlődik.
6 Fourier-sor 6 Ortogonális függvényrendszerek Fourier-sorok ortogonális függvényrendszer szempontjából A [, ] szakaszon definiált és integrálható ϕ () és ψ () függvényeket ezen a szakaszon ortogonálisnak nevezzük, ha
Szövetségi Vasúti Közlekedési Ügynökség Urál Állami Vasúti Közlekedési Egyetem "Felsőfokú és Alkalmazott Matematika" Tanszék N. P. Chuev A harmonikus elemzés módszertani elemei
BELORÚSZ ÁLLAMI EGYETEM ALKALMAZOTT MATEMATIKAI ÉS INFORMÁCIÓTUDOMÁNYI KAR Felsőfokú Matematika Tanszék Oktatási segédlet az Alkalmazott Matematikai és Informatikai Kar hallgatói számára
Magyarázatok a szöveghez: a jelet "egyenértékűnek" olvassuk, és azt jelenti, hogy az előjeltől jobbra és az előjeltől balra lévő egyenletek megoldásai megegyeznek, az IR előjel a valós számok halmazát jelöli, az előjel BAN BEN
A MATEMATIKAI FIZIKA EGYENLETEI 1. Parciális differenciálegyenletek
1 2 Tartalomjegyzék 1 Fourier-sor 5 1.1 Trigonometrikus Fourier-sor .................. 5 1.2 Csak sin és cos ............. ............ 7 1,3 Fourier-sor komplex formában............. 11 1,4 f(x) = c k?......... ......
82 4. 4. fejezet Funkcionális és teljesítménysorok 4.2. 3. lecke 4.2. 3. lecke 4.2.. Függvény Taylor-bővítése DEFINÍCIÓ 4.2.. Legyen az y = f(x) függvény végtelenül differenciálható valamelyik szomszédságban
8. előadás 4 Sturm-Liouville probléma
OROSZORSZÁG OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "SZAMARA ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM" Alkalmazott Matematika Tanszék
Függvény (Riemann szerint) és határozott integrál integrálhatósága Példák problémamegoldásra 1. Az f(x) = C konstans függvény integrálható -ra, mivel bármely partícióra és tetszőleges ξ i pontválasztásra az integrál
MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK SZÁMÍTÁSI FELADATOKHOZ A FELSŐ MATEMATIKA TERVEZÉSÉN "KÖZÖSSÉGES DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK SOROZAT KETTŐS INTEGRÁLOK" III. RÉSZ TÉMASOROZAT Tartalom Sorozat Numerikus sorozat Konvergencia és divergencia
SOROK. Számsorok. Alapvető definíciók Legyen adott egy végtelen számsor Az a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= kifejezést (végtelen összeget) a számsorozat. Számok
Cím Bevezetés. Alapfogalmak.... 4 1. Volterra integrál egyenletek... 5 Házi feladatlehetőségek.... 8 2. Volterra integrál egyenlet feloldója. 10 Házi feladat lehetőség... 11
3. előadás Taylor és Maclaurin sorozat Hatványsorok alkalmazása Függvények kiterjesztése hatványsorokká Taylor és Maclaurin sorozatok Az alkalmazásoknál fontos, hogy egy adott függvényt hatványsorba tudjunk bővíteni, azokat a függvényeket
35 7 Trigonometrikus Fourier-sor Fourier-sor T periódusú periodikus függvényekhez. Legyen f(x) darabonként folytonos T periódusú periodikus függvény. Tekintsük az alap trigonometrikus rendszert
ESZIK. ÉRC MATEMATIKAI ELEMZÉS. NUMERIKUS ÉS FUNKCIONÁLIS SOROZAT NOVOSIBIRSK 200 2 OROSZ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUM SEI HPE "NOVOSIBIRSK ÁLLAMI PEDAGÓGIAI EGYETEM" E.M. Rudoy MATEMATIKAI ELEMZÉS.
Persze, feladat. Bizonyítsuk be, hogy a Riemann-függvény, ha 0, m m R(), ha, m, m 0, és a tört irreducibilis, 0, ha irracionális, akkor minden racionális pontban nem folytonos, és minden irracionális pontban folytonos. Megoldás.
1. Elektrosztatika 1 1. Elektrosztatika 6. lecke Változók szétválasztása derékszögű koordinátákban 1.1. (1.49. feladat) A z = síkot σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) sűrűséggel töltjük fel, ahol σ, α, β állandók.
Ch Hatványsor a a a Az a a a a a () alakú sorozatot hatványsornak nevezzük, ahol, a, állandók, amelyeket a sorozat együtthatóinak nevezünk. a) a (a) (), ahol
S A Lavrenchenko wwwwrckoru Előadás Fourier transzformáció Az integrál transzformáció fogalma Az integrál transzformáció módszere a matematikai fizika egyik leghatékonyabb módszere és hatékony megoldás
Differenciálszámítás Bevezetés a matematikai elemzésbe Sorozat és függvényhatár. A belső bizonytalanságok feltárása. Függvény derivált. Differenciálási szabályok. A derivált alkalmazása
N 7. ELŐADÁS .Erő
Kohászati Kar Felsőfokú Matematika Tanszék
9. Antiderivatív és határozatlan integrál 9.. Legyen adott az f() függvény az I R intervallumon. Az F () függvényt f() antiderivatív függvénynek nevezzük az I intervallumon, ha F () = f() bármely I-re, és az antiderivált függvényt
Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet (Állami Egyetem) O.V. Besov TRIGONOMETRIC FOURIER SOROZAT Oktatási segédlet Moszkva, 004 Összeállította: O.V.Besov UDC 517. Trigonometrikus sorozat
8. Hatványsorok 8.. Egy c n (z) n, (8.) n= alakú funkcionális sorozat, ahol c n egy numerikus sorozat, R egy fix szám, és z R-t c n együtthatójú hatványsornak nevezzük. . A változók megváltoztatásával
Matematika és Informatika Tanszék Felsőmatematika elemei Oktatási és módszertani komplexum távtechnológiát alkalmazó középfokú szakképzésben tanuló hallgatók számára Modul Differenciálszámítás Összeállította:
1. Határozott integrál 1.1. Legyen f a [, b] R szakaszon definiált korlátos függvény. A [, b] szakasz partíciója τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] úgy, hogy = x< x 1 < < x n 1
KÉRDÉSEK ÉS JELLEMZŐ FELADATOK a záróvizsgához "Matematikai elemzés" Alkalmazott matematika szakterületen A szóbeli vizsgán a hallgató két elméleti kérdést és két feladatot kap Évente összesen 66 kérdés
Modul témakör Függvénysorozatok és sorozatok Sorozatok és sorozatok egyenletes konvergenciájának tulajdonságai Hatványsorok Előadás Függvénysorozatok és sorozatok definíciói Egységesen
~ ~ Határozatlan és határozott integrálok Az antiderivatív és határozatlan integrál fogalma. Definíció: Egy F függvényt antideriváltnak nevezünk egy f függvényhez képest, ha ezek a függvények a következőképpen kapcsolódnak
Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Szibériai Állami Ipari Egyetem"
NEGYEDES EGYENLETEK
A LÉGERŐ KATONAI OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS KÖZPONTJA "N. E. ZSUKOVSZKIJ professzorról és Yu. A. GAGARIN professzorról elnevezett LÉGERŐ AKADÉMIA" PÉLDÁK
SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG ÁLLAMI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY Moszkvai Állami Műszermérnöki és Informatikai Egyetem Felsőoktatási Tanszék
5. fejezet. Fourier-sorok 5 .. 5. lecke 5 ... Alapvető definíciók Az a 2 + (a k cos x + b k si x) (5 ..) formájú funkcionális sorozatot trigonometrikusnak nevezzük.
Fourier sorozat Ortogonális függvényrendszerek Az algebra szempontjából az az egyenlőség, ahol egy adott osztály függvényei és R vagy C együtthatók, egyszerűen azt jelenti, hogy a vektor B vektorok lineáris kombinációja
3724 TÖBBSZÖRÖS ÉS GÖRBELI INTEGRÁL SOROZATA 1 "TÖBBSZÖRÖS ÉS GÖRBELI INTEGRÁLOK SOROZATAI" SZEKCIÓK MUNKAPROGRAMJA 11 Számsor A számsor fogalma A számsor tulajdonságai A konvergenciához szükséges kritérium
EGY VÁLTOZÓ FUNKCIÓJÁNAK DIFFERENCIÁLÁSA A derivált fogalma, geometriai és fizikai jelentése A derivált fogalmához vezető problémák Az S érintő definíciója az y f (x) egyeneshez az A x pontban; f(
DIFFERENCIAEGYENLETEK 1. Alapfogalmak A differenciálegyenlet valamely függvényre egy olyan egyenlet, amely ezt a függvényt független változóival és származékaival kapcsolja össze.
ELSŐRENDŰ KÖZÖNÖSSÉGI DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Alapfogalmak A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amelyben a derivált vagy differenciáljel alá ismeretlen függvény lép be.
DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK Általános fogalmak A differenciálegyenleteknek számos és nagyon változatos alkalmazása van a mechanikában, a fizikában, a csillagászatban, a technológiában és a magasabb matematika más ágaiban (pl.
Funkcionális sorozat Funkcionális sorozat annak összege és területe a funkcionális o Legyen megadva k (k 1) függvénysorozat a valós vagy komplex számok Δ tartományában
ORTOGONÁLIS POLINOMOK RENDSZEREI ÉS ALKALMAZÁSAIK A. Csebisev-Hermite polinomok
Az előadásokat készítette: adjunktus Musina MV Definíció A forma kifejezése Numerikus és funkcionális sorozat Numerikus sorozat: alapfogalmak (), ahol számsornak (vagy csak sorozatnak) nevezik Számok, sorozat tagjai (attól függ
Általános és Szakoktatási Minisztérium
Szocsi Állami Turisztikai Egyetem
és üdülő üzlet
Pedagógiai Intézet
Matematikai Kar
Általános Matematika Tanszék
VÉGZETT MUNKA
Fourier sorozatok és alkalmazásaik
a matematikai fizikában.
Végezte: 5. éves hallgató
nappali aláírás
Különlegesség 010100
"Matematika"
Kasperova N.S.
95471 sz. diákigazolvány
Tudományos tanácsadó: egyetemi docens, Ph.D.
műszaki aláírás. Tudományok
Pozin P.A.
Szocsi, 2000
1. Bemutatkozás.
2. A Fourier-sor fogalma.
2.1. A Fourier-sor együtthatóinak meghatározása.
2.2. Periodikus függvények integráljai.
3. Fourier-sorok konvergenciájának kritériumai.
3.1. Példák a függvények kiterjesztésére Fourier-sorokban.
4. Megjegyzés egy Fourier-sor periodikus függvényének kiterjesztéséhez
5. Fourier-sorok páros és páratlan függvényekhez.
6. Fourier-sor a 2. periódusú függvényekhez l .
7. Nem periodikus függvény Fourier kiterjesztése.
Bevezetés.
Jean Baptiste Joseph Fourier - francia matematikus, a Párizsi Tudományos Akadémia tagja (1817).
Fourier első munkái az algebrához kapcsolódnak. Már az 1796-os előadásokban felvázolt egy tételt a róla elnevezett, adott határok között fekvő algebrai egyenlet valós gyökeinek számáról (közzététel 1820); egy algebrai egyenlet valós gyökeinek számára kapott teljes megoldást 1829-ben J.Sh.F. Vihar. Fourier 1818-ban vizsgálta a Newton által az egyenletek numerikus megoldására kidolgozott módszer alkalmazhatóságának feltételeit, nem tudott hasonló eredményekről, amelyeket 1768-ban a francia matematikus, J.R. Murail. Fourier egyenletek megoldásának numerikus módszereivel foglalkozó munkájának eredménye az Analysis of Certain Equations, amely posztumusz, 1831-ben jelent meg.
Fourier fő tanulmányi területe a matematikai fizika volt. 1807-ben és 1811-ben a párizsi Tudományos Akadémiának nyújtotta be első felfedezéseit a hő szilárd testekben való terjedésének elméletéről, 1822-ben pedig megjelentette a Hőelemzés elmélete című jól ismert munkát, amely fontos szerepet játszott a későbbi történelemben. a matematikából. Ez a hővezetés matematikai elmélete. A módszer általánossága miatt ez a könyv a matematikai fizika összes modern módszerének forrásává vált. Ebben a munkában Fourier differenciálegyenletet vezetett le a hővezetésre, és kidolgozta a D. Bernoulli által korábban felvázolt elképzeléseket a legáltalánosabb megfogalmazásban, kidolgozta a változók szétválasztási módszerét (Fourier-módszer) a hőegyenlet megoldására bizonyos adott peremfeltételekre, ami számos speciális esetre alkalmazta (kocka, henger stb.). Ez a módszer a függvények trigonometrikus Fourier-soros ábrázolásán alapul.
A Fourier-sorok mára jól fejlett eszközzé váltak a parciális differenciálegyenletek elméletében határérték-feladatok megoldására.
1. A Fourier-sor fogalma.(94. o., Uvarenkov)
A Fourier-sorok fontos szerepet játszanak a matematikai fizikában, a rugalmasságelméletben, az elektrotechnikában, és különösen speciális esetükben - a trigonometrikus Fourier-sorokban.
A trigonometrikus sorozat az űrlap sorozata
vagy szimbolikusan:
(1)
ahol ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … állandó számok (ω>0).
Néhány fizikai probléma történelmileg vezetett az ilyen sorozatok tanulmányozásához, például a húrrezgések problémája (18. század), a hővezetési jelenségek szabályszerűségeinek problémája stb. Az alkalmazásokban a trigonometrikus sorozatok figyelembevétele , elsősorban egy adott mozgás ábrázolásának problémájához kapcsolódik, amelyet az y = ƒ(χ) egyenlet ír le,
a legegyszerűbbek összege harmonikus rezgések, amelyet gyakran végtelenül nagy számban vesznek fel, azaz az (1) alakú sorozat összegeként.Így a következő problémához jutunk: megtudni, hogy egy adott ƒ(x) függvényhez egy adott intervallumon létezik-e olyan (1) sorozat, amely ezen az intervallumon ehhez a függvényhez konvergálna. Ha ez lehetséges, akkor a ƒ(x) függvény trigonometrikus sorozattá bővül ezen az intervallumon.
Az (1) sorozat egy x 0 pontban konvergál, a függvények periodicitása miatt
(n=1,2,..), akkor is konvergálni fog az alak minden pontján (m tetszőleges egész szám), így S(x) összege (a sorozat konvergencia tartományában) periodikus lesz. függvény: ha S n ( x) ennek a sorozatnak az n-edik részösszege, akkor megvan
és ezért
, azaz S(x0+T)=S(x0). Ezért, ha valamely ƒ(x) függvény (1) alakú sorozatra való kiterjesztéséről beszélünk, feltételezzük, hogy ƒ(x) periodikus függvény. 2. A sorozat együtthatóinak meghatározása Fourier-képletekkel.
Legyen egy ƒ(x) 2π periódusú periodikus függvény olyan, hogy a (-π, π) intervallumban egy adott függvényhez konvergáló trigonometrikus sorozat reprezentálja, azaz ennek a sorozatnak az összege:
. (2)
Tegyük fel, hogy ennek az egyenlőségnek a bal oldalán lévő függvény integrálja egyenlő a sorozat tagjainak integráljainak összegével. Ez akkor lesz igaz, ha feltételezzük, hogy az adott trigonometrikus sorozat együtthatóiból álló számsorok abszolút konvergálnak, azaz a pozitív számsorok konvergálnak.
(3)Az (1) sorozat majorizált, és tagonként integrálható a (-π, π) intervallumba. Az egyenlőség mindkét részét integráljuk (2):
.A jobb oldalon előforduló integrálokat külön számítjuk ki:
,
,
.
Ily módon
, ahol 
. (4)
A Fourier-együtthatók becslése.(Bugrov)
1. tétel. Legyen a 2π periódusú ƒ(x) függvénynek folytonos deriváltja ƒ ( s) (x) végzés s kielégíti az egyenlőtlenséget a teljes valós tengelyen:
│ ƒ (s) (x) ≤ M s; (5)
akkor a függvény Fourier-együtthatóit ƒ kielégíti az egyenlőtlenséget
(6)Bizonyíték. Alkatrészenkénti integrálás és ennek figyelembe vétele
ƒ(-π) = ƒ(π), van
A (7) jobb oldalának szekvenciális integrálása, figyelembe véve, hogy a ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) deriváltak folytonosak, és a t = -π és t = π pontokban is azonos értékeket vesznek fel. becslésként (5) megkapjuk az első becslést (6).
A második becslést (6) hasonló módon kapjuk.
2. tétel. A ƒ(x) Fourier együtthatók kielégítik az egyenlőtlenséget
(8)
Bizonyíték. Nekünk van
A Fourier-sor egy tetszőlegesen felvett függvény egy adott periódussal sorozatként való ábrázolása. NÁL NÉL Általános nézet ezt a megoldást egy elem ortogonális alapon történő felbontásának nevezzük. A függvények kiterjesztése a Fourier-sorokban meglehetősen hatékony eszköz különféle problémák megoldására, ennek a transzformációnak a tulajdonságai miatt az argumentumban és a konvolúcióban az integrálás, a differenciálás, valamint a kifejezés eltolása során.
Az a személy, aki nem ismeri a magasabb matematikát, valamint a francia Fourier tudós munkáit, valószínűleg nem fogja megérteni, mik ezek a „sorozatok”, és mire valók. Közben ez az átalakulás elég sűrűvé vált az életünkben. Nemcsak matematikusok használják, hanem fizikusok, vegyészek, orvosok, csillagászok, szeizmológusok, oceanográfusok és még sokan mások. Nézzük meg közelebbről a nagy francia tudós munkáit is, aki korát megelőzve tett felfedezést.
A Fourier-sor az egyik módszer (az elemzéssel és másokkal együtt) Ez a folyamat minden alkalommal megtörténik, amikor egy személy bármilyen hangot hall. A fülünk automatikusan átalakul elemi részecskék rugalmas közegben sorokra bontják (a spektrum mentén) a hangerőszint egymást követő értékeit a különböző magasságú hangokhoz. Ezután az agy ezeket az adatokat számunkra ismerős hangokká alakítja. Mindez a vágyunk vagy tudatunk mellett, magától is megtörténik, de ahhoz, hogy megértsük ezeket a folyamatokat, több évbe telik a felsőbb matematika tanulmányozása.
A Fourier-transzformáció végrehajtható analitikai, numerikus és egyéb módszerekkel. A Fourier-sorok az oszcillációs folyamatok lebontásának számszerű módjára utalnak - az óceán árapályától és fényhullámaitól a szoláris (és más csillagászati objektumok) tevékenységi ciklusáig. Ezekkel a matematikai technikákkal lehetőség nyílik olyan függvények elemzésére, amelyek bármilyen oszcillációs folyamatot szinuszos komponensek sorozataként ábrázolnak, amelyek a minimumtól a maximumig haladnak, és fordítva. A Fourier-transzformáció egy olyan függvény, amely leírja az adott frekvenciának megfelelő szinuszok fázisát és amplitúdóját. Ezzel az eljárással nagyon összetett egyenletek oldhatók meg, amelyek hő-, fény- vagy elektromos energia hatására fellépő dinamikus folyamatokat írnak le. Ezenkívül a Fourier-sorok lehetővé teszik az állandó komponensek elkülönítését komplex oszcillációs jelekben, ami lehetővé tette a kapott kísérleti megfigyelések helyes értelmezését az orvostudományban, a kémiában és a csillagászatban.
Ennek az elméletnek az alapító atyja Jean Baptiste Joseph Fourier francia matematikus. Ezt az átalakulást később róla nevezték el. Kezdetben a tudós módszerét a hővezetés – a hő terjedésének – mechanizmusának tanulmányozására és magyarázatára alkalmazta szilárd anyagok. Fourier azt javasolta, hogy az eredeti szabálytalan eloszlás a legegyszerűbb szinuszokra bontható, amelyek mindegyikének megvan a saját hőmérsékleti minimuma és maximuma, valamint saját fázisa. Ebben az esetben minden ilyen komponenst a minimumtól a maximumig mérünk, és fordítva. A görbe felső és alsó csúcsát, valamint az egyes harmonikusok fázisait leíró matematikai függvényt a hőmérséklet-eloszlás kifejezés Fourier-transzformációjának nevezzük. Az elmélet szerzője a matematikailag nehezen leírható általános eloszlásfüggvényt egy nagyon kényelmes koszinusz és szinusz sorozatra redukálta, amelyek összegzése adja az eredeti eloszlást.
A tudós kortársai – a tizenkilencedik század elejének vezető matematikusai – nem fogadták el ezt az elméletet. A fő kifogás Fourier azon állítása volt, miszerint az egyenest vagy a nem folytonos görbét leíró nem folytonos függvény folyamatos szinuszos kifejezések összegeként ábrázolható. Példaként tekintsük Heaviside „lépését”: értéke nulla a réstől balra, és egy jobbra. Ez a függvény az elektromos áram időváltozótól való függését írja le, amikor az áramkör zárt. Az elmélet kortársai akkor még soha nem találkoztak hasonló helyzet, amikor a nem folytonos kifejezést folytonos, hagyományos függvények, például exponenciális, szinuszos, lineáris vagy másodfokú függvények kombinációjával írnák le.
Hiszen ha a matematikusnak igaza volt az állításaiban, akkor a végtelen trigonometrikus Fourier-sor összegzésével a lépésenkénti kifejezés pontos reprezentációját kaphatjuk akkor is, ha sok hasonló lépése van. A tizenkilencedik század elején egy ilyen kijelentés abszurdnak tűnt. De minden kétség ellenére sok matematikus kiterjesztette ennek a jelenségnek a vizsgálati körét, túlmutatva a hővezető képesség tanulmányozásán. A legtöbb tudóst azonban továbbra is gyötörte a kérdés: „Konvergálhat-e egy szinuszos sorozat összege pontos érték nem folyamatos funkció?"
A konvergencia kérdése akkor vetődik fel, amikor végtelen számsorokat kell összeadni. A jelenség megértéséhez vegyünk egy klasszikus példát. Elérheti-e valaha a falat, ha minden egymást követő lépés feleakkora, mint az előző? Tegyük fel, hogy két méterrel a céltól, az első lépés közelebb visz a feléhez, a következő a háromnegyedhez, és az ötödik lépés után az út közel 97 százalékát megteszed. Azonban akárhány lépést tesz meg, a szigorú matematikai értelemben vett célt nem fogja elérni. Numerikus számításokkal kimutatható, hogy végül egy tetszőlegesen kis adott távolságot is meg lehet közelíteni. Ez a bizonyítás egyenértékű annak bizonyításával, hogy a fele, egynegyede stb. összértéke egyhez fog fordulni.
újra ez a kérdés század végén emelkedett, amikor a Fourier-sorokat próbálták felhasználni az apály és áramlás intenzitásának előrejelzésére. Ebben az időben Lord Kelvin feltalált egy eszközt, amely egy analóg számítástechnikai eszköz, amely lehetővé tette a katonai és kereskedelmi flotta tengerészei számára ennek nyomon követését. természeti jelenség. Ez a mechanizmus meghatározta a fázisok és amplitúdók halmazait az árapály magasságát és a hozzájuk tartozó időpillanatokat tartalmazó táblázatból, amelyet az év során egy adott kikötőben gondosan mértek. Mindegyik paraméter a dagálymagasság-kifejezés szinuszos komponense volt, és a szabályos komponensek közé tartozott. A mérések eredményeit bevitték Lord Kelvin számológépébe, amely szintetizált egy görbét, amely a következő évre előrejelezte a víz magasságát az idő függvényében. Nagyon hamar hasonló görbék készültek a világ összes kikötőjére.
Abban az időben nyilvánvalónak tűnt, hogy egy szökőár előrejelzővel nagy mennyiség a számla elemei ki tudják számítani nagyszámú fázisokat és amplitúdókat, és így pontosabb előrejelzéseket adnak. Mindazonáltal kiderült, hogy ez a szabályszerűség nem figyelhető meg azokban az esetekben, amikor a szintetizálandó árapály-kifejezés éles ugrást tartalmazott, azaz nem folytonos volt. Abban az esetben, ha az időpillanat-táblázatból adat kerül be a készülékbe, akkor több Fourier-együtthatót számít ki. Az eredeti funkció visszaáll a szinuszos komponenseknek köszönhetően (a talált együtthatók szerint). Az eredeti és a visszaállított kifejezés közötti eltérés bármely ponton mérhető. Ismételt számítások és összehasonlítások elvégzésekor látható, hogy a legnagyobb hiba értéke nem csökken. Mindazonáltal a folytonossági pontnak megfelelő régióban lokalizálódnak, és bármely más ponton nullára hajlamosak. 1899-ben ezt az eredményt elméletileg megerősítette Joshua Willard Gibbs, a Yale Egyetem munkatársa.
A Fourier-analízis nem alkalmazható olyan kifejezésekre, amelyek egy bizonyos intervallumon belül végtelen számú burstot tartalmaznak. Általában Fourier-sor, ha az eredeti függvényt egy valós eredménye reprezentálja fizikai dimenzió, mindig konvergálnak. Ennek a folyamatnak a konvergenciájának kérdése bizonyos függvényosztályok esetében új szakaszok megjelenéséhez vezetett a matematikában, például az általánosított függvények elmélete. Olyan nevekkel hozták kapcsolatba, mint L. Schwartz, J. Mikusinsky és J. Temple. Ezen elmélet keretein belül egy világos és pontos elméleti háttér olyan kifejezések alatt, mint a Dirac-delta-függvény (egyetlen terület egy régióját írja le, amely egy pont végtelenül kicsiny környékére koncentrálódik) és Heaviside „lépése”. Ennek a munkának köszönhetően a Fourier-sorok alkalmazhatóvá váltak olyan egyenletek és problémák megoldására, amelyekben intuitív fogalmak jelennek meg: ponttöltés, ponttömeg, mágneses dipólusok, valamint a nyaláb koncentrált terhelése.
A Fourier-sorok, az interferencia elveinek megfelelően, az összetett formák egyszerűbb formákra való bontásával kezdődnek. Például a hőáram változását azzal magyarázzák, hogy egy hőszigetelő anyagból különböző akadályokon halad át. szabálytalan alakú vagy a föld felszínének változása - földrengés, égitest pályájának változása - a bolygók hatása. Az egyszerű klasszikus rendszereket leíró hasonló egyenleteket általában minden egyes hullámra elemileg megoldják. Fourier megmutatta egyszerű megoldásokössze is foglalható, hogy megoldást kapjunk összetettebb problémákra. A matematika nyelvén kifejezve a Fourier-sor egy olyan technika, amely egy kifejezést harmonikusok - koszinusz és szinuszos - összegeként ábrázol. Ezért ezt az elemzést más néven "harmonikus elemzés".
A számítástechnika megalkotása előtt a Fourier-technika volt a legjobb fegyver a tudósok arzenáljában, amikor világunk hullámtermészetével dolgoztunk. A Fourier-sor komplex formában lehetővé teszi nemcsak egyszerű feladatokat, amelyek alkalmasak a newtoni mechanika törvényeinek közvetlen alkalmazására, hanem alapegyenletek. A 19. századi newtoni tudomány legtöbb felfedezését csak Fourier technikája tette lehetővé.
A számítógépek fejlődésével a Fourier-transzformációk minőségileg új szintre emelkedtek. Ez a technika a tudomány és a technológia szinte minden területén szilárdan beépült. Ilyen például a digitális audio- és videojel. Megvalósítása csak egy francia matematikus által a 19. század elején kidolgozott elméletnek köszönhetően vált lehetségessé. Így a Fourier-sor összetett formában lehetővé tette az áttörést a vizsgálatban világűr. Ezenkívül ez befolyásolta a félvezető anyagok és a plazma fizikájának, a mikrohullámú akusztikának, az oceanográfiának, a radarnak és a szeizmológiának a tanulmányozását.
A matematikában a Fourier-sor az önkényes ábrázolás módja összetett funkciók az egyszerűbbek összege. Általában az ilyen kifejezések száma végtelen lehet. Sőt, minél jobban figyelembe veszik számukat a számítás során, annál pontosabb a végeredmény. Leggyakrabban a legegyszerűbbként használják trigonometrikus függvények koszinusz vagy szinusz. Ebben az esetben a Fourier-sorokat trigonometrikusnak, az ilyen kifejezések megoldását pedig a harmonikus kiterjesztésének nevezzük. Ez a módszer fontos szerepet játszik a matematikában. Mindenekelőtt a trigonometrikus sorozat eszközt ad a képalkotáshoz, valamint a függvények tanulmányozásához, ez az elmélet fő apparátusa. Ezenkívül lehetővé teszi számos matematikai fizika probléma megoldását. Végül ez az elmélet hozzájárult a fejlődéshez, és számos nagyon fontos szakaszt életre hívott matematikai tudomány(az integrálok elmélete, a periodikus függvények elmélete). Emellett kiindulópontul szolgált egy valós változó alábbi függvényeinek kidolgozásához, és egyben a harmonikus elemzés kezdetét is jelentette.
Amik már nagyon elege vannak. És úgy érzem, eljött az a pillanat, amikor az elmélet stratégiai tartalékaiból új konzerveket kell kinyerni. Lehetséges más módon a függvényt sorozattá bővíteni? Például egy egyenes szakaszt szinuszokkal és koszinuszokkal kifejezni? Hihetetlennek tűnik, de ezek a látszólag távoli funkciók alkalmasak rá
"újraegyesülés". Az ismert elméleti és gyakorlati fokozatokon kívül más megközelítések is léteznek a függvény sorozattá bővítésére.
Ebben a leckében megismerkedünk a trigonometrikus Fourier-sorral, érintjük konvergenciájának és összegének kérdését, és természetesen számos példát elemezünk a függvények Fourier-sorokká bővítésére. Őszintén szerettem volna a cikket „Fourier Series for Dummies”-nek nevezni, de ez ravaszság lenne, mivel a problémák megoldásához a matematikai elemzés más szakaszainak ismeretére és némi gyakorlati tapasztalatra van szükség. Ezért a preambulum az űrhajósok képzésére fog hasonlítani =)
Először is, az oldal anyagainak tanulmányozását kiváló formában kell megközelíteni. Álmos, kipihent és józan. A törött hörcsögláb miatti erős érzelmek és az élet nehézségeiről szóló rögeszmés gondolatok nélkül akváriumi halak. A Fourier-sorozat megértése szempontjából nem nehéz, a gyakorlati feladatok azonban egyszerűen megkívánják fokozott koncentráció figyelem - ideális esetben teljesen el kell hagynia a külső ingereket. A helyzetet súlyosbítja, hogy nincs egyszerű módja a megoldás és a válasz ellenőrzésének. Így, ha egészségi állapota átlag alatti, akkor jobb, ha valami egyszerűbbet csinál. Igazság.
Másodszor, az űrbe repülés előtt meg kell vizsgálni az űrhajó műszerfalát. Kezdjük azoknak a függvényeknek az értékeivel, amelyekre rá kell kattintani a gépen:
Bármilyen természeti értékhez:
egy) . Valójában a szinuszos "villog" az x tengelyen minden "pi"-n keresztül:
. Az argumentum negatív értékei esetén az eredmény természetesen ugyanaz lesz: .
2). De ezt nem mindenki tudta. A "pi en" koszinusz a "villogó fény" megfelelője:
Egy negatív érv nem változtat az eseten: 
.
Talán elég.
És harmadszor, kedves űrhajós alakulat, képesnek kell lennie arra, hogy ... egyesít.
Főleg persze függvényt hozzon differenciáljel alá, részenként integrálniés jó viszonyban lenni vele Newton-Leibniz képlet. Kezdjük a fontos repülés előtti gyakorlatokkal. Erősen nem ajánlom kihagyását, nehogy később nulla gravitációban ellaposodjon:
1. példa
Határozott integrálok kiszámítása
ahol természeti értékeket vesz.
Megoldás: az integráció az "x" változón keresztül történik, és ebben a szakaszban az "en" diszkrét változót állandónak tekintjük. Minden integrálban vigye a függvényt a differenciál jele alá:
A megoldás rövid változata, amelyre jó lenne lőni, így néz ki:
Hozzászokni:
A fennmaradó négy pont önmaga. Igyekezzen lelkiismeretesen kezelni a feladatot, és az integrálokat röviden rendezni. Az óra végén mintamegoldások.
MINŐSÉGI gyakorlat után szkafandert vettünk fel
és készülj a kezdésre!
Tekintsünk egy olyan függvényt eltökélt legalábbis az intervallumon (és esetleg nagyobb intervallumon). Ha ez a függvény integrálható a szegmensbe, akkor trigonometrikussá bővíthető Fourier sorozat:
, hol vannak az ún Fourier-együtthatók.
Ebben az esetben hívják a számot bomlási időszak, és a szám az felezési idejű bomlás.
Nyilvánvaló, hogy be általános eset A Fourier sorozat szinuszokból és koszinuszokból áll: 
Valóban, írjuk le részletesen:
A sorozat nulla tagját általában így írják.
A Fourier-együtthatókat a következő képletekkel számítjuk ki: 
Tökéletesen megértem, hogy az új kifejezések még mindig homályosak a téma tanulmányozására kezdők számára: bomlási időszak, fél ciklus, Fourier-együtthatókés mások. Ne essen pánikba, ez nem hasonlítható össze az űrséta előtti izgalommal. Találjunk ki mindent a legközelebbi példában, amelynek végrehajtása előtt logikus, hogy sürgős kérdést teszünk fel magunknak gyakorlati ügyek:
Bontsa ki a függvényt Fourier-sorba. Ezenkívül gyakran meg kell rajzolni egy függvény grafikonját, egy sorozat összegének grafikonját, egy részösszeget, és kifinomult professzori fantáziák esetén valami mást kell tenni.
Lényegében meg kell találni Fourier-együtthatók, azaz hármat állítson össze és számoljon ki határozott integrálok.
Kérjük, másolja be a füzetébe a Fourier-sorozat általános formáját és a három munkaképletet. Nagyon örülök, hogy az oldal látogatói közül néhányan a szemem láttára valósul meg gyerekkori álma, hogy űrhajós legyen =)
2. példa
Bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorozattá az intervallumon. Készítsen grafikont, egy sorozat összegének és egy részösszegének grafikonját.
Megoldás: a feladat első része a függvény kiterjesztése Fourier-sorba.
Az eleje szabványos, feltétlenül írja le, hogy:
Ebben a problémában a terjeszkedési időszak , félidőszak .
Kibővítjük a függvényt egy Fourier-sorral az intervallumon: 
A megfelelő képletek segítségével megtaláljuk Fourier-együtthatók. Most hármat kell összeállítanunk és kiszámítanunk határozott integrálok. A kényelem kedvéért számozom a pontokat:
1) Az első integrál a legegyszerűbb, de ehhez már kell egy szem és egy szem: 
2) A második képletet használjuk:
Ez az integrál jól ismert és darabonként veszi: 
Amikor használtan találták egy függvény differenciáljel alá hozásának módszere.
A vizsgált feladatban kényelmesebb azonnal használni egy meghatározott integrálban lévő részek szerinti integrálási képlet 
:
Egy-két technikai megjegyzés. Először is a képlet alkalmazása után a teljes kifejezést nagy zárójelek közé kell tenni, mivel az eredeti integrál előtt van egy konstans. Ne veszítsük el! A zárójelek bármelyik további lépésnél nyithatók, én a legutolsó kanyarnál tettem. Az első "darabban" 
rendkívüli pontosságot mutatunk a helyettesítésben, amint látható, a konstans nem működik, és az integráció határai behelyettesítésre kerülnek a termékbe. Ezt a műveletet szögletes zárójelek jelölik. Nos, a képlet második "darabjának" integrálját jól ismered az edzésfeladatból ;-)
És ami a legfontosabb - a figyelem végső koncentrációja!
3) Keressük a harmadik Fourier-együtthatót:
Az előző integrál rokonát kapjuk, ami szintén alkatrészekkel integrálva:
Ez a példa egy kicsit bonyolultabb, lépésről lépésre leírom a további lépéseket: 
(1) A teljes kifejezés nagy zárójelben van.. Nem akartam unalmasnak tűnni, túl gyakran veszítik el az állandót.
(2) B ez az eset Azonnal kinyitottam azokat a nagy zárójeleket. Speciális figyelem
az első „darabnak” szenteljük: az állandó füstölgés a pálya szélén, és nem vesz részt a termékbe való integráció (és ) határainak helyettesítésében. Tekintettel a rekord zűrzavarára, ezt a műveletet ismét ajánlatos szögletes zárójelben kiemelni. A második "darabbal" 
minden egyszerűbb: itt a tört nagy zárójelek nyitása után jelent meg, a konstans pedig - az ismerős integrál integrálása eredményeként ;-)
(3) Szögletes zárójelben transzformációt végzünk, a jobb oldali integrálban pedig behelyettesítjük az integrálás határait.
(4) A szögletes zárójelekből kivesszük a „villogót”: , ezután kinyitjuk a belső zárójeleket: .
(5) A zárójelben szereplő 1-et és -1-et töröljük, végső egyszerűsítéseket végzünk.
Végül megtalálta mindhárom Fourier-együtthatót: 
Helyettesítsd be őket a képletbe 
:
Ne felejtsd el kettéosztani. Az utolsó lépésben a konstans ("mínusz kettő"), amely nem függ az "en"-től, kikerül az összegből.
Így megkaptuk a függvény kiterjesztését egy Fourier-sorban a következő intervallumon: 
Vizsgáljuk meg a Fourier-sorok konvergenciájának kérdését. Külön kifejtem az elméletet Dirichlet-tétel, szó szerint "az ujjakon", tehát ha szigorú megfogalmazásokra van szüksége, kérjük, olvassa el a kalkulus tankönyvet (például Bohan 2. kötete; vagy Fichtenholtz 3. kötete, de abban nehezebb).
A feladat második részében grafikont, sorozatösszeggráfot és részösszeggráfot kell rajzolni.
A függvény grafikonja a szokásos egyenes vonal a síkon, amely fekete pontozott vonallal van megrajzolva: 
A sorozat összegével foglalkozunk. Mint tudják, a funkcionális sorozatok függvényekhez konvergálnak. Esetünkben a felépített Fourier-sor 
"x" tetszőleges értékére a pirossal jelzett függvényhez konvergál. Ez a funkció alá tartozik 1. típusú szünetek pontokban , hanem bennük is definiálva (piros pontok a rajzon)
Ilyen módon: 
. Könnyen belátható, hogy jelentősen eltér az eredeti függvénytől, ezért a jelölésben 
egyenlőségjel helyett tildát használnak.
Vizsgáljuk meg azt az algoritmust, amellyel kényelmesen meg lehet alkotni egy sorozat összegét.
A központi intervallumon a Fourier-sor magához a függvényhez konvergál (a központi piros szegmens egybeesik a lineáris függvény fekete pontozott vonalával).
Most beszéljünk egy kicsit a figyelembe vett trigonometrikus bővítés természetéről. Fourier sorozat 
csak periodikus függvényeket tartalmaz (konstans, szinusz és koszinusz), tehát a sorozat összege 
szintén periodikus függvény.
Mit jelent ez nálunk konkrét példa? Ez pedig azt jelenti, hogy a sorozat összege 
–szükségszerűen időszakos az intervallum piros szakaszát pedig végtelenül meg kell ismételni a bal és a jobb oldalon.
Azt hiszem, most végre világossá vált a "bomlási időszak" kifejezés jelentése. Egyszerűen fogalmazva, minden alkalommal, amikor a helyzet újra és újra megismétlődik.
A gyakorlatban általában elegendő három dekompozíciós periódus ábrázolása, ahogy az a rajzon is történik. Nos, és még több "csonk" a szomszédos időszakokról - hogy egyértelmű legyen, hogy a diagram folytatódik.
Különösen érdekesek 1. típusú folytonossági pontok. Ilyen pontokon a Fourier-sor izolált értékekhez konvergál, amelyek pontosan a folytonossági "ugrás" közepén helyezkednek el (piros pontok a rajzon). Hogyan lehet megtalálni ezeknek a pontoknak az ordinátáját? Először keressük meg a "felső emelet" ordinátáját: ehhez kiszámítjuk a függvény értékét a központi bővítési periódus jobb szélső pontjában: . Az „alsó emelet” ordinátájának kiszámításához a legegyszerűbb módja annak, hogy ugyanazon periódus bal szélső értékét vegyük: 
. Az átlagérték ordinátája a "felső és alsó" összegének számtani közepe: . Jó az a tény, hogy a rajz elkészítésekor azonnal látni fogod, hogy a közepe jól vagy rosszul van-e kiszámolva.
Szerkesszük meg a sorozat részösszegét, és egyúttal ismételjük meg a „konvergencia” kifejezés jelentését. Az indíték a kb. leckéből ismert a számsor összege. Ismertesse részletesen gazdagságunkat:
Részösszeg elkészítéséhez a sorozat nullát + további két tagját kell felírni. vagyis
A rajzon a függvény grafikonja zölden látható, és mint látható, elég szorosan körbeveszi a teljes összeget. Ha a sorozat öt tagjának részösszegét vesszük figyelembe, akkor ennek a függvénynek a grafikonja még pontosabban közelíti a piros vonalakat, ha száz tag van, akkor a „zöld kígyó” valójában teljesen összeolvad a piros szegmensekkel, stb. Így a Fourier-sor konvergál az összegéhez.
Érdekes megjegyezni, hogy bármely részösszeg folyamatos funkció, de a sorozat teljes összege még mindig nem folyamatos.
A gyakorlatban nem ritka a részösszeg gráf felépítése. Hogyan kell csinálni? Esetünkben figyelembe kell venni a szegmens függvényét, kiszámítani az értékeit a szegmens végén és a közbenső pontokon (minél több pontot vesz figyelembe, annál pontosabb lesz a grafikon). Ezután jelölje meg ezeket a pontokat a rajzon, és óvatosan rajzoljon egy grafikont a periódusra, majd „másolja” azt szomszédos intervallumokra. Hogyan másképp? Hiszen a közelítés is periodikus függvény ... ... a grafikonja valahogy egy orvosi eszköz kijelzőjén egyenletes szívritmusra emlékeztet.
Természetesen nem túl kényelmes az építkezés, mivel rendkívül óvatosnak kell lennie, legalább fél milliméteres pontossággal. A rajzolással ellentmondó olvasóknak azonban örömet okozok - egy "igazi" feladatnál messze nem mindig kell rajzolni, valahol az esetek 50%-ában szükséges a funkciót Fourier-sorossá bővíteni, és ez az azt.
A rajz elkészítése után teljesítjük a feladatot:
Válasz: 
Sok feladatnál a funkció szenved 1. típusú szakadás közvetlenül a bomlási perióduson:
3. példa
Bontsa ki egy Fourier-sorozatban az intervallumon megadott függvényt. Rajzolja fel a függvény és a sorozatok összegének grafikonját!
A javasolt függvény darabonként van megadva (és ne feledje, csak a szegmensben)és elviselni 1. típusú szakadás pontban. Ki lehet számítani a Fourier-együtthatókat? Nincs mit. A függvény bal és jobb része is integrálható a saját intervallumán, ezért a három képletben szereplő integrálokat két integrál összegeként kell ábrázolni. Nézzük meg például, hogyan történik ez nulla együttható esetén:
A második integrál nullának bizonyult, ami csökkentette a munkát, de ez nem mindig van így.
Két másik Fourier-együttható is hasonlóan van felírva.
Hogyan lehet megjeleníteni egy sorozat összegét? A bal oldali intervallumon egy egyenes szakaszt rajzolunk, az intervallumon pedig egy egyenes szakaszt (a tengelyszakaszt jelölje ki félkövérrel). Azaz a bővítési intervallumon a sorozat összege három "rossz" pont kivételével mindenhol egybeesik a függvénnyel. A függvény diszkontinuitási pontján a Fourier-sor egy izolált értékhez konvergál, amely pontosan a diszkontinuitás „ugrásának” közepén helyezkedik el. Nem nehéz szóban látni: bal oldali határ:, jobb oldali határ: 
és nyilvánvalóan a felezőpont ordinátája 0,5.
Az összeg periodicitása miatt a képet szomszédos periódusokra kell „szorozni”, különösen, ugyanazt ábrázolni a és intervallumokon. Ebben az esetben a pontokban a Fourier-sor a medián értékekhez konvergál.
Valójában nincs itt semmi új.
Próbálja meg egyedül megoldani ezt a problémát. Hozzávetőleges minta finom tervezésről és rajzról a lecke végén.
Tetszőleges kiterjesztési periódus esetén, ahol az "el" bármely pozitív szám, a Fourier-sor és a Fourier-együttható képlete egy kicsit bonyolultabb szinuszos és koszinuszos argumentumban különbözik:
Ha , akkor megkapjuk annak az intervallumnak a képleteit, amellyel indultunk.
A probléma megoldásának algoritmusa és elvei teljesen megmaradnak, de a számítások technikai összetettsége nő:
4. példa
Bontsa ki a függvényt Fourier-sorba, és ábrázolja az összeget. 
Megoldás: valójában a 3. példa analógja 1. típusú szakadás pontban. Ebben a problémában a terjeszkedési időszak , félidőszak . A függvény csak a fél intervallumon van definiálva, de ez nem változtat a dolgokon - fontos, hogy a függvény mindkét része integrálható legyen.
Bővítsük ki a függvényt Fourier-sorba:
Mivel a függvény nem folytonos az origóban, minden Fourier-együtthatót nyilvánvalóan két integrál összegeként kell felírni:
1) Leírom az első integrált a lehető legrészletesebben:
2) Óvatosan nézzen bele a Hold felszínébe:
Második integrál részekre szedni:
Mire kell nagyon odafigyelni, miután a megoldás folytatását csillaggal nyitjuk?
Először is, nem veszítjük el az első integrált 
, ahol azonnal végrehajtjuk a differenciálmű jele alá hozva. Másodszor, ne felejtsd el a balszerencsés állandót a nagy zárójelek előtt és ne keveredjen össze a jelek a képlet használatakor 
. A nagy konzolokat végül is kényelmesebb azonnal kinyitni a következő lépésben.
A többi már technika kérdése, csak az integrálok megoldásában való elégtelen tapasztalat okozhat nehézséget.
Igen, nem hiába háborodtak fel a francia matematikus Fourier jeles kollégái - hogyan merte a függvényeket trigonometrikus sorozatokra bontani?! =) Egyébként valószínűleg mindenkit érdekel a szóban forgó feladat gyakorlati jelentése. Fourier maga is dolgozott matematikai modell hővezető képességét, majd később a róla elnevezett sorozatot számos periodikus folyamat vizsgálatára kezdték használni, amelyek látszólag láthatatlanok a környező világban. Most egyébként azon kaptam magam, hogy nem véletlenül hasonlítottam össze a második példa grafikonját egy periodikus szívritmussal. A gyakorlati alkalmazással ismerkedhetnek meg az érdeklődők Fourier transzformációk harmadik fél forrásaiból. ... Bár jobb, ha nem – első szerelemként emlékeznek rá =)
3) Tekintettel a többször említett gyenge láncszemekre, a harmadik együtthatóval foglalkozunk:
Integrálás részenként: 
A talált Fourier-együtthatókat behelyettesítjük a képletbe 
, ne felejtsük el kettéosztani a nulla együtthatót:
Ábrázoljuk a sorozat összegét. Röviden ismételjük meg az eljárást: az intervallumra építünk egy sort, az intervallumra pedig egy sort. Az "x" nulla értékével egy pontot teszünk a rés "ugrásának" közepére, és "megismételjük" a diagramot a szomszédos időszakokra: 
A periódusok "csomópontjain" az összeg egyenlő lesz a rés "ugrásának" felezőpontjaival is.
Kész. Emlékeztetlek arra, hogy maga a függvény feltételesen csak a félintervallumon van definiálva, és nyilvánvalóan egybeesik az intervallumokon lévő sorozatok összegével
Válasz:
Néha egy darabonként adott függvény is folyamatos a bővítési perióduson. A legegyszerűbb példa: 
. Megoldás (Lásd Bohan 2. kötet) ugyanaz, mint az előző két példában: annak ellenére funkció folytonossága pontban minden Fourier-együttható két integrál összegeként van kifejezve.
A szakítási intervallumban 1. típusú folytonossági pontokés/vagy a grafikon "csomópontja" több is lehet (kettő, három és általában bármelyik végsőösszeg). Ha egy függvény minden alkatrészre integrálható, akkor Fourier sorozatban is bővíthető. De gyakorlati tapasztalatból nem emlékszem ilyen bádogra. Mindazonáltal vannak bonyolultabb feladatok is, mint amit csak gondoltunk, és a cikk végén mindenki számára elérhetők a megnövekedett összetettségű Fourier-sorozatra mutató hivatkozások.
Addig is lazítsunk, dőljünk hátra székünkben, és elmélkedjünk a csillagok végtelen kiterjedésén:
5. példa
Bontsa ki a függvényt Fourier-sorrá az intervallumon, és ábrázolja a sorozat összegét.
Ebben a feladatban a függvény folyamatos a bontási félintervallumon, ami leegyszerűsíti a megoldást. Minden nagyon hasonló a 2. példához. Az űrhajó elől nem szabadulhatsz meg - dönteni kell =) Tervezési minta az óra végén, az órarend mellékelve.
Páros és páratlan függvényekkel a probléma megoldásának folyamata észrevehetően leegyszerűsödik. És ezért. Térjünk vissza a függvény kiterjesztéséhez egy Fourier-sorban "két pi" perióduson. 
és tetszőleges időszak "két sör" 
.
Tegyük fel, hogy a függvényünk páros. A sorozat általános kifejezése, mint látható, páros koszinuszokat és páratlan szinuszokat tartalmaz. És ha felbontunk egy PÁROS függvényt, akkor miért kellenek páratlan szinuszok?! Állítsuk vissza a szükségtelen együtthatót: .
Ily módon egy páros függvény csak koszinuszokban bővül Fourier-sorrá:
Mert a páros függvények integráljai A nullához képest szimmetrikus integrációs szegmens felett megduplázható, akkor a Fourier-együttható többi része is egyszerűsödik.
Terjedelemhez: 
Tetszőleges intervallumhoz: 
A tankönyvpéldák, amelyek szinte minden számítástechnikai tankönyvben megtalálhatók, tartalmazzák a páros függvények kiterjesztését 
. Ezenkívül személyes praxisomban többször is találkoztak:
6. példa
Adott egy függvény. Kívánt:
1) bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorba a ponttal, ahol egy tetszőleges pozitív szám;
2) írja fel az intervallum bővítését, építsen fel egy függvényt, és ábrázolja a sorozat teljes összegét.
Megoldás: az első bekezdésben a probléma általános megoldását javasoljuk, és ez nagyon kényelmes! Szükség lesz – csak helyettesítse az értékét.
1) Ebben a feladatban a terjeszkedési periódus , félidőszak . A további cselekvések során, különösen az integráció során, az "el" állandónak számít
A függvény páros, ami azt jelenti, hogy csak koszinuszokban bővül Fourier-sorrá: 
.
Fourier-együtthatókat keresünk a képletekkel 
. Ügyeljen abszolút előnyeikre. Először is az integrációt a bővítés pozitív szegmensén hajtjuk végre, ami azt jelenti, hogy biztonságosan megszabadulunk a modultól 
, figyelembe véve csak az "x"-et két darabból. Másodszor pedig az integráció észrevehetően leegyszerűsödik.
Két: 
Integrálás részenként:
Ilyen módon:
, míg a konstans, amely nem függ "en"-től, kikerül az összegből.
Válasz: 
2) Az intervallumra írjuk a bővítést, ehhez behelyettesítjük a félperiódus kívánt értékét az általános képletbe:
Páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése egy szegmensen adott függvény sorozattá bővítése szinuszokkal vagy koszinuszokkal Fourier-sor tetszőleges periódusú függvényhez A Fourier-sor Fourier-sorok összetett ábrázolása általános ortogonális függvényrendszerekben Fourier-sor ortogonális rendszerben A Fourier-együtthatók minimális tulajdonsága Bessel-egyenlőtlenség Egyenlőség Parseval Zárt rendszerek A rendszerek teljessége és zártsága
Páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése A \-1 szakaszon definiált f(x) függvény, ahol I > 0, akkor is meghívásra kerül, ha a páros függvény Graphja szimmetrikus az y tengelyre. A J szakaszon definiált f(x) függvényt, ahol I > 0, páratlannak nevezzük, ha a páratlan függvény gráfja szimmetrikus az origóhoz képest. Példa. a) A függvény páros a |-jt, jt szegmensen, mivel minden x e esetén b) A függvény páratlan, mivel a páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése a szegmensre adott függvény kiterjesztése egy sorozatban. szinuszok vagy koszinuszok Fourier-sorok tetszőleges periódusú függvényhez A Fourier-sorok összetett jelölései Fourier-sorok általános ortogonális függvényrendszerekben Fourier-sorok ortogonális rendszerben Fourier-együtthatók minimális tulajdonsága Bessel-egyenlőtlenség Parseval-egyenlőség Zárt rendszerek Rendszerek teljessége és zártsága c) Az f(x)=x2-x függvény, ahol nem tartozik sem páros, sem páratlan függvényekhez, mivel Legyen az 1. Tétel feltételeit kielégítő f(x) függvény páros az x| szakaszon. Akkor minden i.e. /(g) cos nx páros, f(x)sinnx pedig páratlan. Ezért egy páros függvény Fourier-együtthatói /(x) egyenlőek lesznek, így egy páros függvény Fourier-sorának alakja f(x) sin nx páros függvény. Így lesz tehát egy páratlan függvény Fourier-sorának alakja A részenkénti integráció alkalmazása kétszer van, így azt kapjuk, hogy így ennek a függvénynek a Fourier-sora így néz ki: vagy kiterjesztett formában Ez az egyenlőség bármely x €-ra érvényes, mivel az x = ±ir pontokban a függvény összege. sorozat egybeesik az f(x) = x2 függvény értékeivel, mivel az f(x) = x függvény grafikonjait és a kapott sorozatok összegeit a 1. ábra mutatja. Megjegyzés. Ez a Fourier-sor lehetővé teszi, hogy megtalálja az egyik konvergens numerikus sorozat összegét, nevezetesen x \u003d 0 esetén azt kapjuk, hogy Az /(x) függvény teljesíti az 1. Tétel feltételeit, ezért Fourier-sorrá bővíthető, amely ennek a függvénynek a páratlansága miatt Részenkénti integráció alakja lesz, megtaláljuk a Fourier-együtthatókat Ezért a Fourier-t Ennek a függvénynek a sorozata a következő alakú: Ez az egyenlőség érvényes minden x В pontra x - ±tg a Fourier-sor összege nem esik egybe az / (x) = x függvény értékeivel, mivel egyenlő szegmens [- *, n-] a sorozat összege a / (x) \u003d x függvény periodikus folytatása; ábrán látható a grafikonja. 6. § 6. Egy intervallumon adott függvény szinuszos vagy koszinuszos sorozattá bővítése Legyen adott intervallumon egy korlátos darabonkénti monoton függvény / . Ennek a függvénynek az értékei a 0| intervallumon többféleképpen definiálható. Például az mc] szegmensen a / függvényt úgy határozhatjuk meg, hogy /. Ebben az esetben azt mondják, hogy) "egyenletesen kiterjesztik a 0] szakaszra"; Fourier sorozata csak koszinuszokat fog tartalmazni. Ha azonban az /(x) függvényt a [-x, mc] szegmensen úgy definiáljuk, hogy a /(, akkor páratlan függvényt kapunk, és akkor azt mondjuk, hogy a / "kibővül a [-*, 0 szegmensre ] páratlan módon"; ebben az esetben a Fourier-sor csak szinuszokat fog tartalmazni. Tehát a szegmensen definiált minden darabonként korlátos /(x) függvény Fourier-sorrá bővíthető mind a következőképpen: szinuszok és koszinuszok.Példa 1. Bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorban: a) koszinuszokkal; b) a szinuszok mentén. M Ez a függvény a |-x, 0) szegmens páros és páratlan kiterjesztésével korlátos és darabonként monoton lesz. a) Folytatjuk a / (z)-t a 0-s szakaszba a) Folytatjuk a j \ x)-t a (-m, 0 |) szakaszba egyenletesen (7. ábra), ekkor az i Fourier-sor P alakú lesz. \u003d 1 ahol a Fourier-együtthatók egyenlők, ezért b) Folytassuk a /(z)-t a [-x,0] szegmensben páratlan módon (8. ábra). Aztán a Fourier-sorozat 7. §-a. Fourier-sor egy tetszőleges periódusú függvényhez Legyen a fix) függvény periodikus 21,1 ^ 0 periódussal. Ahhoz, hogy azt Fourier-sorrá bővítsük azon az intervallumon, ahol I > 0, módosítjuk a változót az x = jt beállításával . Ekkor az F(t) = / ^tj függvény a t argumentum periódusos függvénye lesz, és egy Fourier-sor szegmensére bővíthető. Visszatérve az x változóhoz, azaz beállítva, megkapjuk, megmarad erő a tetszőleges periódusú periodikus függvényekre is 21. Különösen érvényes marad egy függvény Fourier-sorba való kiterjesztésének elégséges kritériuma is. 1. példa. Bontsa ki a Fourier-sorozatban a [-/,/] szegmensen megadott 21-es periódusú periodikus függvényt a képlettel (9. ábra). Mivel ez a függvény páros, Fourier-sorának alakja A Fourier-együtthatók talált értékeit behelyettesítve a Fourier-sorba kapjuk Megjegyezzük a periodikus függvények egy fontos tulajdonságát. 5. Tétel. Ha egy függvénynek van T periódusa és integrálható, akkor tetszőleges a számra teljesül az m egyenlőség. azaz a T periódussal egyenlő hosszúságú szakasz integrálja azonos értékű, függetlenül attól, hogy ez a szakasz a valós tengelyen hol helyezkedik el. Valójában megváltoztatjuk a változót a második integrálban, feltételezve Ez azt adja, és ezért geometriailag ez a tulajdonság azt jelenti, hogy az ábrán árnyékolt terület esetében. 10 terület egyenlő egymással. Pontosabban, egy periódusos f(x) függvény esetén a páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztésével megkapjuk egy szegmensen adott függvény sorozattá való kiterjesztését szinuszokban vagy koszinuszokban kifejezve. Fourier-sort egy függvény esetén tetszőleges periódus A Fourier-sor összetett ábrázolása Fourier-sor általános ortogonális rendszerekben függvények Fourier-sorok ortogonális rendszerben A Fourier-együtthatók minimális tulajdonsága Bessel-egyenlőtlenség Parseval-egyenlőtlenség Zárt rendszerek Rendszerek teljessége és zártsága, amelyet egy periodikus függvény Fourier-együtthatói f(x) 21-es periódussal kiszámítható a képletekkel, ahol a tetszőleges valós szám(megjegyzendő, hogy a cos - és sin függvények periódusa 2/). 3. példa: Bontsa ki a Fourier-sorozatban egy 2x periódusú intervallumon megadott függvényt (11. ábra). 4 Keresse meg ennek a függvénynek a Fourier-együtthatóit. A képleteket beillesztve azt kapjuk, hogy Ezért a Fourier-sor így fog kinézni: Az x = jt pontban (első típusú megszakítási pont) van §8. A Fourier-sor összetett jelölése Ebben a részben néhány elemet használunk komplex elemzés(Lásd a XXX fejezetet, ahol az összes itt végrehajtott műveletet összetett kifejezések, szigorúan indokoltak). Legyen az f(x) függvény elégséges feltétele a Fourier-sorba való kiterjesztéshez. Ekkor az x] szakaszon egy alakú sorozattal ábrázolható. Az Euler-képletek segítségével ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (1) sorozatba a cos nx és sin xy helyett, akkor bevezetjük a következő jelölést. Ekkor a sorozat (2) így a Fourier-sor (1) összetett formában (3) jelenik meg. Keressünk kifejezéseket az együtthatók integrálokra. Hasonlóképpen megtaláljuk Végül a с„, с_п és с képleteit a következőképpen írhatjuk fel: . . A cn együtthatókat a függvény komplex Fourier-együtthatóinak nevezzük. Periodikus függvény esetén a Fourier-sor komplex alakja a következő alakot veszi fel. adott értéket f, ha vannak határértékek Példa. A periódusfüggvény kiterjesztése összetett Fourier-sorrá Ez a függvény elégséges feltételeket teljesít a Fourier-sorokká való kiterjesztéshez. Keresse meg ennek a függvénynek a komplex Fourier-együtthatóit. Páros n-re van páratlan, vagy röviden. Az értékeket behelyettesítve) végül megkapjuk. Megjegyezzük, hogy ez a sorozat a következőképpen is felírható: Fourier-sorok általános ortogonális függvényrendszerekben 9.1. Ortogonális függvényrendszerek Az [a, 6] intervallumon négyzetesen definiált és integrálható (valós) függvények halmazával jelöljük, azaz azokat, amelyekhez létezik integrál. folytonosak az [a , 6] intervallumon, a 6-hoz tartoznak, és a Lebesgue-integráljuk értéke egybeesik a Riemann-integrálok értékeivel. Meghatározás. A függvényrendszert, ahol, az [a, b\ intervallumon ortogonálisnak nevezzük, ha az (1) feltétel különösen azt feltételezi, hogy egyik függvény sem egyenlő nullával. Az integrál Lebesgue értelmében értendő. és a mennyiséget a függvény normájának nevezzük.Ha egy ortogonális rendszerben bármely n-re rendelkezünk, akkor a függvényrendszert ortonormálisnak nevezzük. Ha az (y>n(x)) rendszer merőleges, akkor a rendszer 1. példa. Egy trigonometrikus rendszer merőleges egy szakaszon. A függvényrendszer egy ortonormális függvényrendszer a 2. példában. A koszinuszrendszer és a szinuszrendszer ortonormális. Vezessük be azt a jelölést, hogy a szakaszon merőlegesek (0, f|, de nem ortonormálisak (I ↦ 2 esetén). Mivel normájuk COS, ezért a függvények ortonormális függvényrendszert alkotnak egy szakaszon. Mutassuk meg, például, hogy a Legendre-polinomok ortogonálisak. Legyen m > n. Ebben az esetben n-szer részenként integrálva azt kapjuk, hogy a t/m = (z2 - I)m függvényre az összes derivált m-ig - I inclusive eltűnik a [-1,1] intervallum végén. Meghatározás. A (pn(x)) függvényrendszert ortogonálisnak nevezzük az (a, b) intervallumon p(x) túlnyúlással, ha: 1) minden n = 1,2-re van integrál,... Itt feltételezzük, hogy a p(x) súlyfüggvény mindenhol definiált és pozitív az (a, b) intervallumon, kivéve egy véges számú pontot, ahol p(x) eltűnhet. Miután elvégeztük a (3) képletben a differenciálást, azt találjuk. Megmutatható, hogy a Csebisev-Hermite polinomok ortogonálisak a 4. példa intervallumon. A Bessel-függvényrendszer (jL(pix)^ ortogonális a Bessel-függvény nullák intervallumára 5. példa). Tekintsük a Csebisev-Hermite polinomokat, amely az egyenlőség segítségével definiálható. Fourier-sorok ortogonális rendszerben Legyen egy ortogonális függvényrendszer az (a, 6) intervallumban, és a sorozat (cj = const) ezen az intervallumon konvergáljon az f(x) függvényhez: Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk - fix) és x-et a-tól 6-ig integrálva, a rendszer ortogonalitása miatt azt kapjuk, hogy Ez a művelet általában véve tisztán formális jellegű. Bizonyos esetekben azonban, például amikor a (4) sorozat egyenletesen konvergál, minden függvény folytonos és az (a, 6) intervallum véges, ez a művelet törvényes. De most a formális értelmezés a fontos számunkra. Tehát tegyük fel, hogy adott egy függvény. Az (5) képlet szerint képezzük a c * számokat és felírjuk A jobb oldali sorozatot az f (x) függvény Fourier-sorának nevezzük a (^n (n)) rendszerhez képest - A Cn számok ebben a rendszerben az f (x) függvény Fourier-együtthatóinak nevezzük. A ~ jel a (6) képletben csak azt jelenti, hogy a Cn számok az (5) képlet alapján kapcsolódnak az f(x) függvényhez (ebben az esetben nem feltételezzük, hogy a jobb oldali sorozat egyáltalán konvergál, még kevésbé konvergál az f(x) függvényhez). Ezért természetesen felmerül a kérdés: melyek ennek a sorozatnak a tulajdonságai? Milyen értelemben "reprezentálja" az f(x) függvényt? 9.3. Átlagos konvergencia meghatározása. Egy sorozat átlagosan ] elemhez konvergál, ha a norma a térben van. 6. Tétel. Ha egy sorozat ) egyenletesen konvergál, akkor átlagosan is konvergál. M Konvergáljon a ()) sorozat egyenletesen az [a, b] szakaszon az f(x) függvényhez. Ez azt jelenti, hogy bármely, minden kellően nagy n esetén megvan a Hence, amelyből az állításunk következik. Ennek fordítottja nem igaz: a () sorozat átlagosan konvergálhat /(x-hez), de nem lehet egyenletesen konvergens. Példa. Tekintsük az nx sorozatot Könnyen belátható, hogy De ez a konvergencia nem egyenletes: létezik például olyan e, hogy akármekkora is legyen az n, a Fourier-sor szegmensén tetszőleges periódusú függvényre. a Fourier-sor Fourier-sor általános ortogonális függvényrendszerekben Fourier-sor ortogonális rendszerben Fourier-együtthatók minimális tulajdonsága Bessel-egyenlőtlenség Parseval-egyenlőség Zárt rendszerek A rendszerek teljessége és zártsága és let ) az ortonormális rendszerben b Vegyünk egy lineáris kombinációt, ahol n ^ 1 egy rögzített egész számot, és keresse meg azoknak a konstansoknak az értékét, amelyekre az integrál felveszi a minimális értékét. Írjuk le részletesebben Termenként integrálva, a rendszer ortonormalitása miatt azt kapjuk, hogy a (7) egyenlőség jobb oldalán az első két tag független, a harmadik tag pedig nemnegatív. Ezért az integrál (*) minimális értéket vesz fel az ak = sk pontnál.Az integrált az f(x) függvény négyzetközeli közelítésének nevezzük Tn(x) lineáris kombinációjaként. Így a /\ függvény négyzetközeli közelítése minimális értéket vesz fel, amikor. amikor Tn(x) a /(x) függvény Fourier-sorának 71. részösszege a rendszerben (. Ha ak = ck, a (7)-ből megkapjuk a (9) egyenlőséget, ezt Bessel-azonosságnak nevezzük. oldal nemnegatív, akkor ebből Bessel-egyenlőtlenség következik Mivel i itt tetszőleges, ezért a Bessel-egyenlőtlenség megerősített formában ábrázolható, azaz bármely / függvény esetén ennek a függvénynek a négyzetes Fourier-együtthatóinak sorozata ortonormális rendszerben ) konvergál. . Mivel a rendszer ortonormális az [-x, r] szakaszon, ezért a (10) egyenlőtlenség a trigonometrikus Fourier-sorok szokásos jelölésére fordítva a do relációt minden integrálható négyzetes f(x) függvényre érvényes. Ha f2(x) integrálható, akkor ennek köszönhetően szükséges feltétel a (11) egyenlőtlenség bal oldalán lévő sorozat konvergenciája, azt kapjuk. Parseval-egyenlőség Egyes rendszerekben (^n(x)) a (10) képletben szereplő egyenlőtlenségjel helyettesíthető (minden f(x) 6 x függvénynél) egyenlőségjelre. A kapott egyenlőséget Parseval-Steklov egyenlőségnek (teljességi feltétel) nevezzük. A Bessel-azonosság (9) lehetővé teszi, hogy a (12) feltételt egyenértékű formában írjuk fel a 6. térnormával]. Meghatározás. Egy ortonormális rendszert ( teljesnek nevezünk a b2[ay b]-ben, ha bármely függvény átlagosan tetszőleges pontossággal közelíthető az alak lineáris kombinációjával kellően egy nagy szám kifejezések, azaz ha bármely f(x) ∈ b2[a, b\ függvényre és bármely e > 0 függvényre létezik természetes szám nq és a\, a2y... számok úgy, hogy nem A fenti érvelésből következik a 7. Tétel. Ha az ortonormalizációval a ) rendszer teljes a térben, akkor ebben a rendszerben bármely függvény / Fourier-sora f(x)-hez konvergál. átlagosan, azaz a normával Kimutatható, hogy a trigonometrikus rendszer térben teljes, ebből következik az állítás. 8. Tétel. Ha egy függvény /0 trigonometrikus Fourier-sora átlagosan konvergál hozzá. 9.5. zárt rendszerek. A rendszerek teljessége és zártsága Definíció. A \, ortonormális függvényrendszert zártnak nevezzük, ha az Li\a térben, b) nincs minden függvényre merőleges nullától eltérő függvény Az L2\a, b\ térben az ortonormális rendszerek teljességének és zártságának fogalmai egybeesik. Gyakorlatok 1. Bővítse ki a függvényt a Fourier-sorban a (-i-, x) intervallumban 2. Bővítse ki a függvényt a Fourier-sorban az intervallumban (-r, r) 3. Bővítse ki a függvényt a Fourier-sorban az intervallumban (-r, r) 4. Bontsa ki a Fourier-sort az intervallum (-jt, r) függvényében. 5. Bontsa ki a Fourier-sort a (-r, r) intervallumban az f (x) \u003d x + x függvényt . 6. Bontsa ki a (-jt, r) intervallum Fourier-sorában az n függvényt. 7. Bontsa ki a (-r, x) intervallumban lévő Fourier-sorban az / (x) \u003d sin2 x függvényt. 8. Bontsa ki a (-m, jt) intervallum Fourier-sorában az f(x) = y függvényt 9. Bontsa ki a (-mm, -k) intervallum Fourier-sorában az f(x) = | sinx|. 10. Bontsa ki a (-x-, r) intervallumú Fourier-sorban az f(x) = g függvényt. 11. Bontsa ki az f (x) \u003d sin § függvényt egy Fourier-sorban a (-r, r) intervallumban. 12. Bontsa ki a (0, x) intervallumban megadott f (x) = n -2x függvényt Fourier-sorozatban, a (-x, 0) intervallumban folytatva: a) egyenletesen; b) furcsa módon. 13. Bontsa ki a (0, x) intervallumban megadott / (x) \u003d x2 függvényt egy Fourier-sorozatban szinuszokban! 14. Bontsa ki a Fourier-sorozatban a (-2,2) intervallumban megadott / (x) \u003d 3-x függvényt. 15. Bontsa ki egy Fourier-sorozatban a (-1,1) intervallumban megadott f (x) \u003d |x | függvényt. 16. Bontsa ki egy Fourier-sorozatban szinuszokkal a (0,1) intervallumban megadott f (x) \u003d 2x függvényt.
