Tekintsük először azt az esetet, amikor az egyenletek száma egyenlő a változók számával, azaz. m = n. Ekkor a rendszer mátrixa négyzet, determinánsát pedig a rendszer determinánsának nevezzük.
Tekintsük általános formában az AX = B egyenletrendszert, ahol nem degenerált négyzetmátrix V. Ebben az esetben van inverz mátrix A -1. Szorozzuk meg mindkét oldalt A -1-gyel a bal oldalon. Kapunk A -1 AX \u003d A -1 B. Innen EX \u003d A -1 B és
Az utolsó egyenlőség egy mátrixképlet az ilyen egyenletrendszerek megoldására. Ennek a képletnek a használatát inverz mátrix módszernek nevezzük
Például ezzel a módszerrel oldjuk meg a következő rendszert:
;
A rendszer megoldásának végén a talált értékek behelyettesítésével a rendszer egyenleteibe lehet ellenőrizni. Ebben az esetben valódi egyenlőséggé kell alakulniuk.
Ennél a példánál nézzük meg:
Legyen n=2:
Ha az első egyenlet mindkét részét megszorozzuk 22-vel, a másodiknak pedig mindkét részét (-a 12-vel), majd a kapott egyenleteket összeadjuk, akkor az x 2 változót kizárjuk a rendszerből. Hasonlóképpen kiküszöbölheti az x 1 változót (az első egyenlet mindkét oldalát megszorozva (-a 21) és a második mindkét oldalát 11-gyel). Ennek eredményeként a következő rendszert kapjuk:
A zárójelben lévő kifejezés a rendszer meghatározója
Jelöli
Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
A kapott rendszerből az következik, hogy ha a rendszer determinánsa 0, akkor a rendszer konzisztens és határozott lesz. Egyedülálló megoldása a következő képletekkel számítható ki:
Ha = 0, a 1 0 és/vagy 2 0, akkor a rendszer egyenletei 0*х 1 = 2 és/vagy 0*х 1 = 2 alakot öltik. Ebben az esetben a rendszer következetlen lesz.
Abban az esetben, ha = 1 = 2 = 0, a rendszer konzisztens és határozatlan lesz (végtelen számú megoldása lesz), mivel a következő alakot ölti:
Cramer tétele(a bizonyítást kihagyjuk). Ha a n egyenletrendszer mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, amelyet a következő képletek határoznak meg:
,
ahol j az A mátrixból kapott mátrix determinánsa, ha a j-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.
A fenti képleteket ún Cramer képletei.
Példaként használjuk ezt a módszert egy olyan rendszer megoldására, amelyet korábban inverz mátrix módszerrel oldottak meg:
A vizsgált módszerek hátrányai:
1) jelentős komplexitás (determinánsok kiszámítása és az inverz mátrix megtalálása);
2) korlátozott hatókör (négyzetmátrixú rendszerek esetén).
A valós gazdasági helyzeteket gyakran olyan rendszerek modellezik, amelyekben az egyenletek és változók száma meglehetősen jelentős, és több az egyenlet, mint a változó, ezért a gyakorlatban az alábbi módszer elterjedtebb.
Ezzel a módszerrel oldjuk meg a rendszer m lineáris egyenletek n változóval Általános nézet. Lényege, hogy a kibővített mátrixra egy ekvivalens transzformációs rendszert alkalmazunk, melynek segítségével az egyenletrendszert olyan formára alakítjuk, amikor a megoldásai könnyen megtalálhatók (ha vannak).
Ez egy olyan nézet, amelyben a rendszermátrix bal felső része lépcsőzetes mátrix lesz. Ez ugyanazokkal a technikákkal érhető el, mint a lépcsőzetes mátrix előállításához a rang meghatározásához. Ebben az esetben elemi transzformációkat alkalmazunk a kiterjesztett mátrixra, ami lehetővé teszi, hogy egy ekvivalens egyenletrendszert kapjunk. Ezt követően a kiterjesztett mátrix a következő formában jelenik meg:
Egy ilyen mátrix megszerzését ún egyenes vonalban Gauss módszer.
A változók értékeinek megtalálását a megfelelő egyenletrendszerből hívjuk visszafelé Gauss módszer. Vegyük fontolóra.
Vegye figyelembe, hogy az utolsó (m – r) egyenletek a következőképpen alakulnak:
Ha a számok közül legalább az egyik 
nem egyenlő nullával, akkor a megfelelő egyenlőség hamis lesz, és az egész rendszer következetlen lesz.
Ezért minden ízületi rendszerhez 
. Ebben az esetben a változók bármely értékére vonatkozó utolsó (m – r) egyenletek 0 = 0 azonosságok lesznek, és a rendszer megoldása során figyelmen kívül hagyhatók (csak hagyja el a megfelelő sorokat).
Ezt követően a rendszer így fog kinézni:
Tekintsük először azt az esetet, amikor r=n. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
A rendszer utolsó egyenletéből egyértelműen megtalálhatjuk x r .
Az x r ismeretében egyértelműen kifejezhető belőle x r -1. Ekkor az előző egyenletből x r és x r -1 ismeretében kifejezhetjük x r -2 és így tovább. x 1-ig.
Tehát ebben az esetben a rendszer együttműködő és határozott lesz.
Most nézzük meg azt az esetet, amikor r
Ebből az egyenletből az x r alapváltozót nem alapváltozókkal fejezhetjük ki:
Az utolsó előtti egyenlet így fog kinézni:
Ha x r helyett a kapott kifejezést helyettesítjük, akkor az x r -1 alapváltozót nem alapváltozókon keresztül lehet kifejezni. Stb. x 1 változóhoz. A rendszer megoldásához a nem alapváltozókat tetszőleges értékekkel egyenlővé teheti, majd a kapott képletek segítségével kiszámíthatja az alapváltozókat. Így ebben az esetben a rendszer konzisztens és határozatlan lesz (végtelen számú megoldása lesz).
Például oldjuk meg az egyenletrendszert:
Az alapváltozók halmaza lesz meghívva alapján rendszerek. A hozzájuk tartozó együttható oszlopok halmaza is meghívásra kerül alapján(alap oszlopok), ill alap moll rendszermátrixok. A rendszernek azt a megoldását hívjuk meg, amelyben minden nem alapváltozó nullával egyenlő alap megoldás.
Az előző példában az alapmegoldás (4/5; -17/5; 0; 0) lesz (az x 3 és x 4 (c 1 és c 2) változók nullára vannak állítva, az alapváltozók pedig az x 1 ill. x 2 kiszámítása rajtuk keresztül történik). Ahhoz, hogy példát adjunk egy nem alapvető megoldásra, egyenlőségjelet kell tenni x 3 és x 4 (c 1 és c 2) tetszőleges számokkal, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, és ki kell számítani a többi változót őket. Például, ha c 1 = 1 és c 2 = 0, akkor egy nem alap megoldást kapunk - (4/5; -12/5; 1; 0). Helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy mindkét megoldás helyes-e.
Nyilvánvaló, hogy a nem alapmegoldások határozatlan rendszerében végtelen számú megoldás lehet. Hány alapmegoldás lehet? A transzformált mátrix minden sorának egy alapváltozónak kell megfelelnie. Összesen n változó van a feladatban, és r alapvető sor. Ezért az alapváltozók lehetséges halmazainak száma nem haladhatja meg az n-től 2-ig terjedő kombinációk számát. Lehet, hogy kevesebb, mint 
, mert nem mindig lehet a rendszert olyan formára transzformálni, hogy ez az adott változóhalmaz legyen az alap.
Milyen fajta ez? Ez egy olyan forma, amikor az ezen változók együtthatóinak oszlopaiból képzett mátrix lépcsőzetes lesz, és ebben az esetben sorokból áll. Azok. az együtthatók mátrixának rangja ezekre a változókra egyenlő kell legyen r-rel. Nem lehet nagyobb, mivel az oszlopok száma egyenlő r-rel. Ha kisebbnek bizonyul, mint r, akkor ez a változókkal rendelkező oszlopok lineáris függőségét jelzi. Az ilyen oszlopok nem képezhetnek alapot.
Nézzük meg, hogy a fenti példában milyen egyéb alapvető megoldások találhatók. Ehhez vegye figyelembe a négy változó összes lehetséges kombinációját két alapvető változóval. Az ilyen kombinációk 
, és ezek közül az egyiket (x 1 és x 2) már figyelembe vettük.
Vegyünk x 1 és x 3 változókat. Keresse meg az együtthatók mátrixának rangját:
Mivel egyenlő kettővel, ezek lehetnek alapvetőek. Az x 2 és x 4 nem alapvető változókat nullával egyenlővé tesszük: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Ekkor az x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 képletből az következik, hogy x 1 \u003d 4/5, és az x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 képletből következik, hogy x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Így megkapjuk az alapmegoldást (4/5; 0; 17/5; 0).
Hasonlóképpen kaphat alapmegoldásokat az x 1 és x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7) alapváltozókra; x2 és x4- (0; -9; 0; 4); x 3 és x 4- (0; 0; 9; 4).
Ebben a példában az x 2 és x 3 változók nem tekinthetők alapvetőnek, mivel a megfelelő mátrix rangja eggyel egyenlő, azaz. kettőnél kevesebb:
.
Egy másik megközelítés is lehetséges annak meghatározására, hogy lehetséges-e alapot képezni bizonyos változókból. A példa megoldása során a rendszermátrix lépcsőzetes formára átalakítása eredményeként a következő alakot öltötte:
Változópárok kiválasztásával ki lehetett számítani ennek a mátrixnak a megfelelő minorait. Könnyen belátható, hogy az x 2 és x 3 kivételével minden pár esetében nem egyenlők nullával, azaz. az oszlopok lineárisan függetlenek. És csak az x 2 és x 3 változókkal rendelkező oszlopokhoz 
, ami lineáris függőségüket jelzi.
Nézzünk még egy példát. Oldjuk meg az egyenletrendszert
Tehát az utolsó mátrix harmadik sorának megfelelő egyenlet inkonzisztens - rossz 0 = -1 egyenlőséghez vezetett, ezért ez a rendszer inkonzisztens.
Jordan-Gauss módszer 3 a Gauss-módszer továbbfejlesztése. Lényege, hogy a rendszer kibővített mátrixa olyan alakra alakul át, amikor a változók együtthatói identitásmátrixot alkotnak a 4. sorok vagy oszlopok permutációjáig (ahol a rendszermátrix rangja).
Oldjuk meg a rendszert a következő módszerrel:
Tekintsük a rendszer kiterjesztett mátrixát:
Ebben a mátrixban kiválasztjuk az identitáselemet. Például az x 2 együttható a harmadik megszorításban 5. Ügyeljünk arra, hogy ennek az oszlopnak a többi sorában nullák legyenek, pl. az oszlopot egyetlen. Az átalakulások folyamatában ezt fogjuk nevezni oszlopmegengedő(vezető, kulcs). A harmadik megkötés (a harmadik húr) is hívni fogják megengedő. Magamat elem, amely az engedélyező sor és oszlop metszéspontjában áll (itt ez egy egység), más néven megengedő.
Az első sor most a (-1) együtthatót tartalmazza. Ahhoz, hogy a helyére nulla kerüljön, szorozza meg a harmadik sort (-1)-gyel, és vonja ki az eredményt az első sorból (azaz csak adja hozzá az első sort a harmadikhoz).
A második sor 2-es együtthatót tartalmaz. Ahhoz, hogy a helyére nulla kerüljön, szorozza meg a harmadik sort 2-vel, és vonja ki az eredményt az első sorból.
Az átalakítások eredménye így fog kinézni:
Ez a mátrix jól mutatja, hogy az első két kényszer közül az egyik törölhető (a megfelelő sorok arányosak, vagyis ezek az egyenletek egymásból következnek). A másodikat húzzuk át:
Tehát két egyenlet van az új rendszerben. Egyetlen oszlop (második) érkezik, és az egység itt a második sorban van. Ne feledjük, hogy az x 2 alapváltozó az új rendszer második egyenletének felel meg.
Válasszunk egy alapváltozót az első sorba. Bármilyen változó lehet az x 3 kivételével (mivel x 3-nál az első kényszer nulla együtthatós, azaz az x 2 és x 3 változók halmaza itt nem lehet alap). Felveheti az első vagy a negyedik változót.
Válasszunk x 1-et. Ekkor a feloldó elem 5 lesz, és a feloldó egyenlet mindkét oldalát el kell osztani öttel, hogy az első sor első oszlopába kerüljön egy.
Győződjön meg arról, hogy a többi sorban (azaz a második sorban) az első oszlopban nullák szerepelnek. Mivel most a második sor nem nulla, hanem 3, a második sorból ki kell vonni az átalakított első sor elemeit, megszorozva 3-mal:
A kapott mátrixból közvetlenül kivonható egy alapmegoldás, ha a nem alapváltozókat nullával, az alapváltozókat pedig a szabad tagokkal egyenlővé tesszük a megfelelő egyenletekben: (0,8; -3,4; 0; 0). Az alapvető változókat nem alapváltozókon keresztül kifejező általános képleteket is levezethet: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Ezek a képletek leírják a rendszer megoldásainak teljes végtelen halmazát (ha x 3 és x 4 tetszőleges számokkal egyenlővé teszi, kiszámolhatja az x 1 és x 2 értékeket).
Megjegyzendő, hogy a transzformációk lényege a Jordan-Gauss módszer egyes szakaszaiban a következő volt:
1) a megengedő karakterláncot elosztották a permisszív elemmel, hogy egy egység kerüljön a helyére,
2) az összes többi sorból kivontuk a transzformált felbontóképességet szorozva azzal az elemmel, amely a feloldó oszlopban az adott sorban volt, hogy ennek az elemnek a helyére nulla kerüljön.
Tekintsük még egyszer a rendszer átalakított kiterjesztett mátrixát:
Ebből a bejegyzésből látható, hogy az A rendszer mátrixának rangja r.
A fenti érvelés során megállapítottuk, hogy a rendszer akkor és csak akkor konzisztens 
. Ez azt jelenti, hogy a rendszer kiterjesztett mátrixa így fog kinézni:
A nulla sorokat elvetve azt kapjuk, hogy a rendszer kiterjesztett mátrixának rangja is egyenlő r-rel.
Kronecker-Capelli tétel. Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával.
Emlékezzünk vissza, hogy egy mátrix rangja egyenlő a lineárisan független sorok maximális számával. Ebből az következik, hogy ha a kiterjesztett mátrix rangja kisebb, mint az egyenletek száma, akkor a rendszer egyenletei lineárisan függőek, és közülük egy vagy több kizárható a rendszerből (mivel lineáris a többiek kombinációja). Az egyenletrendszer csak akkor lesz lineárisan független, ha a kiterjesztett mátrix rangja megegyezik az egyenletek számával.
Ezen túlmenően kompatibilis lineáris egyenletrendszerek esetén vitatható, hogy ha a mátrix rangja egyenlő a változók számával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és ha kisebb, mint a változók száma, akkor a rendszer határozatlan, és végtelenül sok megoldása van.
1 Tegyük fel például, hogy a mátrixban öt sor van (a kezdeti sorsorrend 12345). Meg kell változtatnunk a második és az ötödik sort. Annak érdekében, hogy a második sor átvegye az ötödik helyét, lefelé „mozogjon”, háromszor cseréljük ki a szomszédos sorokat: a második és a harmadik (13245), a második és a negyedik (13425), valamint a második és ötödik ( 13452). Ezután ahhoz, hogy az ötödik sor átvehesse a második helyét az eredeti mátrixban, az ötödik sort csak két egymást követő változtatással kell feljebb tolni: az ötödik és negyedik sorral (13542), valamint az ötödik és harmadik sorral. (15342).
2A kombinációk száma n-től r-ig 
egy n elemű halmaz összes különböző r-elemű részhalmazának a számát hívjuk meg (különböző halmazok azok, amelyek eltérő összetételűek, a kiválasztási sorrend nem fontos). Kiszámítása a következő képlettel történik: 
. Emlékezzünk vissza a „!” jel jelentésére. (faktoriális): 
0!=1.)
3 Mivel ez a módszer elterjedtebb, mint a korábban tárgyalt Gauss-módszer, és lényegében az előre- és a visszirányú Gauss-módszer kombinációja, néha Gauss-módszernek is nevezik, a név első részét elhagyva.
4 Például 
.
5Ha a rendszer mátrixában nem lennének egységek, akkor lehetséges lenne például az első egyenlet mindkét részét kettővel osztani, és akkor az első együttható egységgé válna; vagy hasonlók.
Az egyenletrendszereket széles körben alkalmazzák a gazdasági iparban különféle folyamatok matematikai modellezésére. Például termelésirányítási és tervezési, logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy berendezések elhelyezési problémáinak megoldásakor.
Az egyenletrendszereket nemcsak a matematika, hanem a fizika, a kémia és a biológia területén is alkalmazzák a populáció méretének meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.
A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet kifejezése, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.
Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Az egyenlet megoldása a grafikonjának ábrázolásával egy egyenesnek fog kinézni, amelynek minden pontja a polinom megoldása.
A legegyszerűbbek a két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek példái.
F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.
Egyenletrendszer megoldása - azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer valódi egyenlőséggé válik, vagy annak megállapítását, hogy nincs megfelelő x és y értéke.
A pontkoordinátákként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.
Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.
A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az "egyenlőség" jel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer nem homogén.
A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.
A rendszerekkel szembesülve az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőlegesen sok lehet belőlük.
Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikus módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. A matematika iskolai kurzus részletesen leírja az olyan módszereket, mint a permutáció, az algebrai összeadás, a helyettesítés, valamint a grafikus és mátrixos módszer, a Gauss-módszer szerinti megoldás.
A megoldási módszerek tanításának fő feladata a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és cselekvéseit, hanem megértsük egy adott módszer alkalmazásának alapelveit.
Az általános nevelési iskolai program 7. osztályának lineáris egyenletrendszereinek példáinak megoldása meglehetősen egyszerű, és nagyon részletesen el van magyarázva. Bármely matematikai tankönyvben erre a részre kellő figyelmet fordítanak. A lineáris egyenletrendszerek példáinak Gauss és Cramer módszerével történő megoldását a felsőoktatási intézmények első kurzusai részletesebben tanulmányozzák.
A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikon keresztül fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egyetlen változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően
Adjunk példát egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre helyettesítési módszerrel:
Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Ennek a példának a megoldása nem okoz nehézséget és lehetővé teszi az Y érték megszerzését Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.
Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha több mint 3 ismeretlen van a rendszerben, a helyettesítési megoldás sem praktikus.
Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:
Amikor az összeadás módszerével megoldást keresünk a rendszerekre, akkor az egyenletek tagonkénti összeadását és szorzását különböző számokkal hajtják végre. A matematikai műveletek végső célja egy változós egyenlet.
E módszer alkalmazása gyakorlást és megfigyelést igényel. Nem könnyű egy lineáris egyenletrendszert az összeadás módszerével megoldani, ha a változók száma 3 vagy több. Az algebrai összeadás akkor hasznos, ha az egyenletek törteket és decimális számokat tartalmaznak.
Megoldás műveleti algoritmusa:
Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszernek legfeljebb két egyenletre kell megoldást találnia, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több kettőnél.
A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a beírt ismeretlenre vonatkozóan oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.
A példából látható, hogy egy új t változó bevezetésével a rendszer 1. egyenletét le lehetett redukálni egy standard négyzetes trinomikusra. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.
Meg kell találni a diszkrimináns értékét a jól ismert képlet segítségével: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom szorzói. Az adott példában a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor csak egy megoldás van: x= -b / 2*a.
A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.
Alkalmas 3 egyenletet tartalmazó rendszerekhez. A módszer abból áll, hogy a rendszerben szereplő minden egyenlet grafikonját a koordinátatengelyen ábrázoljuk. A görbék metszéspontjainak koordinátái a rendszer általános megoldása lesz.
A grafikus módszernek számos árnyalata van. Vegyünk néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.
Amint a példából látható, minden sorhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon megjelöltük és egy vonallal összekötöttük.
A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.
A következő példában meg kell találni a lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.
Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.
A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy a rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükség van egy gráf felépítésére.
A mátrixok egy lineáris egyenletrendszer rövid leírására szolgálnak. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.
A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy egyoszlopos mátrix, amelynek végtelen számú sora van. Az egyik átló mentén egységeket és a többi nulla elemet tartalmazó mátrixot azonosságnak nevezzük.
Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel megszorozva az eredeti egységgé alakul, ilyen mátrix csak az eredeti négyzetre létezik.
Az egyenletrendszerek esetében az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait a mátrix számaiként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.
Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem egyenlő nullával. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.
A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.
Egy mátrix szorzásakor az összes mátrixelemet szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.
Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 az inverz mátrix és |K| - mátrix meghatározó. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.
A determináns könnyen kiszámítható egy kétszeres mátrixra, csak az elemeket átlósan kell megszorozni egymással. A "háromszor három" opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy ne feledje, hogy minden sorból és minden oszlopból ki kell venni egy elemet, hogy az elemek oszlop- és sorszámai ne ismétlődjenek a szorzatban.
A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes bejegyzések csökkentését nagyszámú változót és egyenletet tartalmazó rendszerek megoldása során.
A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n a változók, és b n a szabad tagok.
A felsőbb matematikában a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer-féle megoldási módszernek nevezik. Ezekkel a módszerekkel nagyszámú lineáris egyenletet tartalmazó rendszerek változóit kereshetjük meg.
A Gauss-módszer nagyon hasonlít a szubsztitúciós és algebrai összeadás megoldásokhoz, de szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-féle megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz alakúra hozza. Algebrai transzformációkkal és behelyettesítésekkel egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet egy kifejezés 2 ismeretlennel, és 3 és 4 - 3, illetve 4 változóval.
Miután a rendszert a leírt formába hozzuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.
A 7. osztályos iskolai tankönyvekben a Gauss-féle megoldás példáját a következőképpen írják le:
Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.
A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.
A Gauss-módszer nehezen érthető a középiskolások számára, de az egyik legérdekesebb módja a matematika és fizika osztályokon az emelt szintű képzésben tanuló gyerekek találékonyságának fejlesztésének.
A rögzítési számítások megkönnyítése érdekében a következőket szokás tenni:
Az egyenletegyütthatókat és a szabad tagokat mátrix formájában írjuk fel, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobb oldaltól. A római számok a rendszer egyenletek számát jelölik.
Először felírják a mátrixot, amellyel dolgozni kell, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és folytassa a szükséges algebrai műveletek végrehajtását az eredmény eléréséig.
Ennek eredményeként olyan mátrixot kell kapni, amelyben az egyik átló 1, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egyetlen formára redukálódik. Nem szabad megfeledkeznünk az egyenlet mindkét oldalának számozásáról sem.
Ez a jelölés kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.
Bármilyen megoldási mód ingyenes alkalmazása körültekintést és bizonyos tapasztalatot igényel. Nem minden módszert alkalmaznak. A megoldások megtalálásának bizonyos módjai előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások tanulási céllal léteznek.
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
I. A probléma megfogalmazása.
II. Homogén és heterogén rendszerek kompatibilitása.
III. Rendszer t egyenleteket t ismeretlen. Cramer szabálya.
IV. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldására.
V. Gauss-módszer.
I. A probléma megfogalmazása.
rendszernek nevezik m lineáris egyenletek -val n ismeretlen 
. Ennek a rendszernek az egyenleteinek együtthatói mátrix formájában vannak felírva
hívott rendszermátrix (1).
Az egyenletek jobb oldalán lévő számok alakulnak ki ingyenes tagok rovata {B}:
.
Ha oszlop ( B}={0 ), akkor az egyenletrendszert nevezzük homogén. Ellenkező esetben amikor ( B}≠{0 ) - rendszer heterogén.
Az (1) lineáris egyenletrendszer felírható mátrix alakban
[A]{x}={B}. (2)
Itt 
- ismeretlenek oszlopa.
Az (1) egyenletrendszer megoldása a halmaz megtalálását jelenti n
számok 
úgy, hogy amikor behelyettesítjük az (1) rendszerbe az ismeretlen helyett 
a rendszer minden egyenlete azonossággá válik. Számok 
egyenletrendszer megoldásának nevezzük.
,
végtelen számú megoldása lehet
vagy egyáltalán nincsenek megoldásai
.
Olyan egyenletrendszereket nevezünk, amelyeknek nincs megoldásuk összeegyeztethetetlen. Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös. Az egyenletrendszert ún bizonyos ha egyedi megoldása van, és bizonytalan ha végtelen számú megoldása van.
II. Homogén és heterogén rendszerek kompatibilitása.
Az (1) lineáris egyenletrendszer kompatibilitási feltétele a következőben van megfogalmazva Kronecker-Capelli tétel: egy lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van legalább egy megoldása, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával: 
.
A rendszer kiterjesztett mátrixa az a mátrix, amelyet a rendszer mátrixából kapunk úgy, hogy jobb oldalon hozzárendelünk egy szabad tagok oszlopát:
.
Ha Rg A
A Kronecker-Capelli tételnek megfelelő homogén lineáris egyenletrendszerek mindig konzisztensek. Tekintsük egy homogén rendszer esetét, amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, azaz. m=n. Ha egy ilyen rendszer mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, azaz. 
, a homogén rendszernek egyedi megoldása van, ami triviális (nulla). A homogén rendszereknek végtelen számú megoldása van, ha a rendszer egyenletei között vannak lineárisan függő egyenletek, pl. 
.
Példa. Tekintsünk egy három lineáris egyenletből álló homogén rendszert három ismeretlennel:
és vizsgálja meg a megoldásai számának kérdését. Mindegyik egyenlet az origón áthaladó sík egyenletének tekinthető ( D=0 ). Az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, ha mindhárom sík egy pontban metszi egymást. Ráadásul normálvektoraik nem egysíkúak, és ezért a feltétel
.
A rendszer megoldása ebben az esetben x=0, y=0, z=0 .
Ha a három sík közül legalább kettő, például az első és a második párhuzamos, pl. , akkor a rendszer mátrixának determinánsa nulla, és a rendszernek végtelen számú megoldása van. Sőt, a megoldások a koordináták lesznek x, y, z egy egyenes összes pontja
Ha mindhárom sík egybeesik, akkor az egyenletrendszer egy egyenletre redukálódik
,
és a megoldás az ezen a síkon található összes pont koordinátája lesz.
Az inhomogén lineáris egyenletrendszerek vizsgálatakor a kompatibilitás kérdését a Kronecker-Capelli tétel segítségével oldjuk meg. Ha egy ilyen rendszerben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, ha a determinánsa nem egyenlő nullával. Ellenkező esetben a rendszer vagy inkonzisztens, vagy végtelen számú megoldása van.
Példa. Két egyenlet inhomogén rendszerét vizsgáljuk két ismeretlennel
.
,
. Ebben az esetben a rendszermátrix rangja 1:Rg A=1
, mert 
,
míg a kiterjesztett mátrix rangja 
egyenlő kettővel, mivel ehhez a harmadik oszlopot tartalmazó másodrendű moll választható alapmollnak.
A vizsgált esetben Rg A
Ha a vonalak egybeesnek, pl. , akkor az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van: az egyenes pontjainak koordinátái 
. Ebben az esetben Rg A=
Rg A *
=1.
A rendszernek egyedi megoldása van, amikor a vonalak nem párhuzamosak, pl. 
. Ennek a rendszernek a megoldása az egyenesek metszéspontjának koordinátái 
III. Rendszert egyenletekett ismeretlen. Cramer szabálya.
Tekintsük a legegyszerűbb esetet, amikor a rendszeregyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, azaz. m= n. Ha a rendszer mátrixának determinánsa nem nulla, akkor a rendszer megoldását a Cramer-szabály segítségével találhatjuk meg:
(3)
Itt 
- rendszermátrix meghatározó,
- a [ A] csere én oszlopból a szabad tagok oszlopába:
.
Példa. Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!
Megoldás :
1) keresse meg a rendszer meghatározóját
2) keresse meg a segéddeterminánsokat
3) találjon megoldást a rendszerre a Cramer-szabály szerint:
A megoldás eredménye az egyenletrendszerbe való behelyettesítéssel ellenőrizhető
Megtörténik a megfelelő személyazonosság.
IV. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldására.
[A]{x}={B}
és szorozzuk meg a (2) reláció jobb és bal részét balról a mátrixszal [ A -1 ], a rendszermátrix inverze:
[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)
Az inverz mátrix definíciója szerint a szorzat [ A -1 ][A]=[E], és az identitásmátrix tulajdonságai alapján [ E]{x}={x). Ekkor a (2") relációból kapjuk
{x}=[A -1 ]{B}. (4)
A (4) reláció a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrix módszer alapja: meg kell találni a rendszer mátrixával inverz mátrixot, és meg kell szorozni vele a rendszer jobb oldali részeinek oszlopvektorát.
Példa. Az előző példában vizsgált egyenletrendszert mátrix módszerrel oldjuk meg.
Rendszermátrix 
annak meghatározó det A==183
.
.A mátrix megtalálásához [ A -1 ], keresse meg a [ A]:
vagy 
Az inverz mátrix kiszámításának képlete tartalmazza 
, akkor
Most találhatunk megoldást a rendszerre
Aztán végre megkapjuk 
.
V. Gauss-módszer.
Nagyszámú ismeretlen esetén az egyenletrendszer Cramer-módszerrel vagy mátrix-módszerrel történő megoldása magasrendű determinánsok számításával vagy nagy mátrixok megfordításával jár együtt. Ezek az eljárások még a modern számítógépek számára is nagyon fáradságosak. Ezért a nagyszámú egyenletrendszer megoldásához gyakrabban használják a Gauss-módszert.
A Gauss-módszer az ismeretlenek egymást követő eliminálásából áll a rendszer kiterjesztett mátrixának elemi transzformációjával. Az elemi mátrixtranszformációk közé tartozik a sorok permutációja, a sorok összeadása, a sorok szorzása a nullától eltérő számokkal. Az átalakítások eredményeként a rendszer mátrixa lecsökkenthető egy felső háromszög alakúra, amelynek főátlóján egységek vannak, a főátló alatt pedig nullák. Ez a Gauss-módszer közvetlen lépése. A módszer fordított menete az ismeretlenek közvetlen meghatározásából áll, az utolsótól kezdve.
Szemléltessük a Gauss-módszert az egyenletrendszer megoldásának példáján
Az előrelépés első lépésénél biztosított, hogy az együttható 
Az átalakult rendszerből egyenlővé vált 1
, és az együtthatók 
és 
nullára fordult. Ehhez meg kell szorozni az első egyenletet 1/10
, szorozd meg a második egyenletet 10
és add hozzá az elsőhöz, szorozd meg a harmadik egyenletet ezzel -10/2
és add hozzá az elsőhöz. Ezen átalakítások után azt kapjuk
A második lépésben biztosítjuk, hogy a transzformációk után az együttható 
egyenlővé vált 1
, és az együttható 
. Ehhez elosztjuk a második egyenletet 42
, és szorozd meg a harmadik egyenletet -42/27
és add hozzá a másodikhoz. Egyenletrendszert kapunk
A harmadik lépés az együttható megszerzése 
. Ehhez elosztjuk a harmadik egyenletet (37 - 84/27)
; kapunk
Itt ér véget a Gauss-módszer közvetlen lefolyása, mert a rendszer mátrixa a felső háromszög alakúra redukálódik:
ahol x* - az inhomogén rendszer (2) egyik megoldása (például (4)), (E−A + A) a mátrix magját (nulla terét) alkotja A.
Készítsük el a mátrix vázszerkezeti dekompozícióját (E−A + A):
E−A + A=Q S
ahol K n×n-r- rang mátrix (Q)=n-r, S n−r×n-rang mátrix (S)=n-r.
Ekkor a (13) a következő formában írható fel:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .
ahol k=Sz.
Így, általános megoldási eljárás A pszeudoinverz mátrixot használó lineáris egyenletrendszerek a következő formában ábrázolhatók:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .
Az online számológép segítségével részletes magyarázatokkal megtalálhatja egy lineáris egyenletrendszer általános megoldását.
1. példa. Keressen egy általános megoldást és a rendszer néhány speciális megoldásátMegoldás csináld számológéppel. Kiírjuk a kiterjesztett és fő mátrixokat: 
Az A főmátrixot szaggatott vonal választja el, felülről az ismeretlen rendszereket írjuk, szem előtt tartva a rendszer egyenleteiben szereplő tagok lehetséges permutációját. A kiterjesztett mátrix rangját meghatározva egyidejűleg megtaláljuk a fő rangját is. A B mátrixban az első és a második oszlop arányos. A két arányos oszlopból csak egy eshet az alap-mollba, ezért mozgassuk át például az első oszlopot a szaggatott vonalon túl az ellenkező előjellel. A rendszer számára ez azt jelenti, hogy az x 1-ből a tagok átkerülnek az egyenletek jobb oldalára. 
A mátrixot háromszög alakúra hozzuk. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel ha egy mátrixsort nullától eltérő számmal megszorozunk, és egy másik sort adunk hozzá a rendszerhez, akkor az egyenletet meg kell szorozni ugyanazzal a számmal, és hozzáadni egy másik egyenlethez, ami nem változtatja meg a rendszer megoldását. . Munka az első sorral: szorozza meg a mátrix első sorát (-3)-mal, és adja hozzá a második és harmadik sorhoz. Ezután az első sort megszorozzuk (-2)-vel, és hozzáadjuk a negyedikhez. 
A második és a harmadik sor arányos, ezért az egyik, például a második áthúzható. Ez egyenértékű a rendszer második egyenletének törlésével, mivel ez a harmadik egyenlet következménye. 
Most a második sorral dolgozunk: szorozzuk meg (-1)-gyel, és adjuk hozzá a harmadikhoz. 
A szaggatott moll a legmagasabb rendű (az összes lehetséges moll közül), és nem nulla (egyenlő a főátló elemeinek szorzatával), és ez a moll a főmátrixhoz és a kiterjesztetthez is tartozik, ezért rangA = cseng B = 3 .
Kisebb 
alapvető. Tartalmazza az ismeretlen x 2, x 3, x 4 együtthatóit, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 2, x 3, x 4 függő, x 1, x 5 pedig szabad.
Átalakítjuk a mátrixot úgy, hogy csak az alap moll marad a bal oldalon (ami megfelel a fenti megoldási algoritmus 4. pontjának). 
Ennek a mátrixnak az együtthatóival rendelkező rendszer egyenértékű az eredeti rendszerrel, és a formája van
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével a következőket találjuk: 
, ,
Kaptunk x 2, x 3, x 4 függő változókat kifejező relációkat szabad x 1 és x 5 között, azaz általános megoldást találtunk: 
Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, tetszőleges számú konkrét megoldást kapunk. Keressünk két konkrét megoldást:
1) legyen x 1 = x 5 = 0, akkor x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) tedd fel x 1 = 1, x 5 = -1, majd x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Így két megoldást találtunk: (0,1, -3,3,0) - egy megoldás, (1,4, -7,7, -1) - egy másik megoldás.
2. példa. Vizsgálja meg a kompatibilitást, keresse meg a rendszer általános és egy konkrét megoldását 
Megoldás. Rendezzük át az első és a második egyenletet úgy, hogy az első egyenletben legyen egy egység, és írjuk fel a B mátrixot. 
A negyedik oszlopban nullákat kapunk, az első sorban működve: 
Most kapja meg a nullákat a harmadik oszlopban a második sor használatával: 
A harmadik és a negyedik sor arányos, így az egyik a rang megváltoztatása nélkül áthúzható:
Szorozzuk meg a harmadik sort (-2)-vel, és adjuk hozzá a negyedikhez: 
Látjuk, hogy a fő és a kiterjesztett mátrixok rangja 4, és a rang egybeesik az ismeretlenek számával, ezért a rendszernek van egy egyedi megoldása:
;
x 4 = 10-3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
3. példa. Vizsgálja meg a rendszer kompatibilitását, és keressen megoldást, ha létezik. 
Megoldás. Összeállítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát. 
Rendezd át az első két egyenletet úgy, hogy a bal felső sarokban 1 legyen:
Az első sort (-1) megszorozva hozzáadjuk a harmadikhoz: 
Szorozzuk meg a második sort (-2)-vel, és adjuk hozzá a harmadikhoz: 
A rendszer inkonzisztens, mivel a főmátrix kapott egy nullákból álló sort, amelyet a rang megtalálásakor áthúzunk, és az utolsó sor marad a kiterjesztett mátrixban, azaz r B > r A .
Gyakorlat. Vizsgálja meg ennek az egyenletrendszernek a kompatibilitását, és oldja meg mátrixszámítással.
Megoldás
Példa. Igazolja egy lineáris egyenletrendszer kompatibilitását és oldja meg kétféleképpen: 1) Gauss-módszerrel; 2) Cramer-módszer. (írja be a választ a következő formában: x1,x2,x3)
Megoldás :doc :doc :xls
Válasz: 2,-1,3.
Példa. Adott egy lineáris egyenletrendszer. Bizonyítsa be a kompatibilitását. Keresse meg a rendszer általános és egy konkrét megoldását.
Megoldás
Válasz: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Gyakorlat. Keressen általános és egyedi megoldásokat minden rendszerhez.
Megoldás. Ezt a rendszert a Kronecker-Capelli-tétel segítségével vizsgáljuk.
Kiírjuk a kiterjesztett és fő mátrixokat:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Gyakorlat. Oldja meg az egyenletrendszert!
Válasz:x 2 = 2 - 1,67x3 + 0,67x4
x 1 = 5 – 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, tetszőleges számú konkrét megoldást kapunk. A rendszer az bizonytalan
