Ezért a csatorna 13%-a egy órán keresztül tétlen lesz, az üresjárati idő t pr = 7,5 perc.
Annak a valószínűsége, hogy a szolgáltatás:
1. csatorna foglalt:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2,1 1 /1! 0,13 = 0,26
2 csatorna foglalt:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2,1 2 /2! 0,13 = 0,28
3 csatorna foglalt:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2,1 3 /3! 0,13 = 0,19
4 csatorna foglalt:
p 4 = ρ 4 /4! p 0 = 2,1 4 /4! 0,13 = 0,1
5 csatorna foglalt:
p 5 = ρ 5 /5! p 0 = 2,1 5 /5! 0,13 = 0,0425 (a valószínűsége, hogy minden link foglalt)
4. Az elutasított kérelmek aránya.
Ez azt jelenti, hogy a beérkezett kérelmek 4%-át nem fogadják el.
5. A bejövő kérések kiszolgálásának valószínűsége.
A meghibásodott rendszerekben a meghibásodási és karbantartási események az események teljes csoportját alkotják, így:
p nyitott + p obs = 1
Relatív áteresztőképesség: Q = p obs.
p obs \u003d 1 - p otk \u003d 1 - 0,0425 \u003d 0,96
Ennek megfelelően a beérkezett kérelmek 96%-át kézbesítik. Az elfogadható szolgáltatási szintnek 90% felett kell lennie.
6. A foglalt kommunikációs vonalak átlagos száma
n z = ρ p obs = 2,1 0,96 = 2,01 sor.
Átlagos üresjárati csatornák.
n pr \u003d n - n z \u003d 5 - 2,01 \u003d 3 csatorna.
7. A szolgáltatási csatorna kihasználtsága.
K 3 = n 3 / n = 2,01 / 5 \u003d 0,4
Ezért a rendszer 40%-ban karbantartással van elfoglalva.
8. Abszolút sávszélesség.
A = p obs λ = 0,96 0,6 = 0,57 kérés/perc.
9. Átlagos QS állásidő.
t pr \u003d p otk t obs \u003d 0,0425 3,5 \u003d 0,15 perc.
12. A kiszolgált kérések átlagos száma.
L obs = ρ Q = 2,1 0,96 = 2,01 egység
A kommunikációs vonalak optimális számának meghatározásához, amely elegendő ahhoz, hogy a meghibásodás valószínűsége ne haladja meg a 0,04-et, a következő képletet használjuk:
Adatainkhoz:
ahol 
A csatlakozóvezetékek számát kiválasztva azt kapjuk, hogy k=6-nál popen = 0,0147< 0.04, p 0 = 0.12
Letöltés megoldás
1. Egy kereskedelmi cég személygépkocsi értékesítéssel kapcsolatos közvetítői tevékenységet folytat és a tárgyalások egy részét 3 telefonvonalon bonyolítja le. Átlagosan 75 hívás érkezik óránként. A háttér jellegű előzetes egyeztetések átlagos ideje 2 perc.
2. A lakásjavító állomás hibaüzemmódban működik, és két csapatból áll. A kérések áramlásának intenzitása λ, a pont termelékenysége μ. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét csatorna szabad, az egyik csatorna foglalt, mindkét csatorna foglalt, a meghibásodás valószínűségét, a relatív és abszolút átviteli sebességet, a foglalt csapatok átlagos számát.
3. A három számítógépes kollektív használatú számítástechnikai központ a vállalkozásoktól kap megrendeléseket számítástechnikai munkára. Ha mindhárom számítógép működik, akkor az újonnan beérkező rendelést nem fogadják el, és a vállalkozás kénytelen egy másik számítástechnikai központhoz fordulni. Egy megrendelés átlagos munkaideje 3 óra, a pályázatok áramlásának intenzitása 0,25 (1/h). Keresse meg a számítógépközpont állapotainak és teljesítménymutatóinak korlátozó valószínűségeit.
2. A minimarketbe 1 percenként 6 vásárló intenzitással vevőfolyam lép be, akiket három pénztáros kontroller szolgál ki 1 percenként 2 vásárló intenzitással. a sor hossza 5 ügyfélre korlátozott.
3. Gyümölcs-zöldség alapon átlagosan 30 perc után. autók érkeznek gyümölcsökkel és zöldségekkel. Egy kamion átlagos kirakodási ideje 1,5 óra, a kirakodást két csapat végzi. A bázis területén a leszálló szakaszban legfeljebb 4 jármű állhat sorban a kirakodásra.
4. Átlagosan 9 autó érkezik óránként az autómosóba, de ha már 4 autó áll a sorban, az újonnan érkező vásárlók általában nem állnak sorba, hanem elhaladnak mellette. Az átlagos autómosási idő 20 perc, és csak két mosóhely van. Az autómosó átlagos költsége 70 rubel. Határozza meg átlagos érték az autómosás bevételének kiesése a nap folyamán.
5. Az áruház az üvegházakból kapja a zöldségeket. A teherautók intenzitással érkeznek λ autók naponta. A háztartási helyiségek lehetővé teszik a hozott áruk feldolgozását és tárolását m autók. Munka a boltban n csomagolók, amelyek mindegyike átlagosan egy gépből tud árut feldolgozni t szolgáltatásórák. A műszakos munkavégzés munkanapja 12 óra. Határozza meg a mellékhelyiségek kapacitását egy adott valószínűségű P* szolgáltatáshoz! az áruk teljes feldolgozása.
6. Van egy 2 oszlopos benzinkút. Legfeljebb 3 autó állhat a sorban. Az intenzitás és az átlagos töltési idő 2,1 és 0,55. Határozza meg a rendszer leállásának valószínűségét.
Megoldás:
A szolgáltatás áramlási sebessége μ = 1/0,55 = 1,82. Ezért a terhelés intenzitása ρ = λ t obs = 2,1 0,55 = 1,16 lesz. Megjegyzendő, hogy a ρ=1,16 terhelési intenzitás a szolgáltatáscsatorna-kérelmek bemeneti és kimeneti folyamai közötti konzisztencia mértékét mutatja, és meghatározza a sorba állító rendszer stabilitását.
1.16 óta<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
A rendszer leállási valószínűségét a következő képlet fejezi ki:
1. Készítsen két modellt egy többcsatornás sorbanállási rendszerről - végtelen és korlátozott sorral. Számítsa ki P 0 - az összes szolgáltatási csatorna tétlenségének valószínűségét, n w - a szolgáltatásra várakozó ügyfelek átlagos számát, t w - a szolgáltatásra váró átlagos várakozási időt, W - a kötelező sorbanállás valószínűségét.
2. Az önkiszolgáló pénztár pénztárában 3 db pénztár található. a bemeneti áramlás intenzitása percenként 5 vásárló. minden kontroller-pénztáros kiszolgálási intenzitása percenként 2 ügyfél.
Javaslatok a probléma megoldására: itt n = 3; λ = 5 egység percekben; μ = 2 egység min.
A sorban lévő kérések számaként megadhatja például, hogy m = 4. Ekkor a rendszer kiszámítja a kérések megjelenésének megfelelő valószínűségét.
3. A könyvvizsgáló cég a legegyszerűbb szolgáltatási kérelmeket kapja λ = 1,5 kérés/nap intenzitással. A szolgálati idő az exponenciális törvény szerint oszlik meg, és átlagosan három nap. A könyvvizsgáló cégnél öt független könyvvizsgáló végez könyvvizsgálatot (alkalmazás-szolgáltatás). A jelentkezések sora nem korlátozott. A sorfegyelem nincs szabályozva. Határozza meg egy könyvvizsgáló cég, mint stacionárius üzemmódban működő sorban állási rendszer valószínűségi jellemzőit!
4. Egy hűtőszekrény javítóműhelyben n mesterember dolgozik. Átlagosan a λ hűtőket napközben kapják javításra. A rendelési folyamat Poisson. A javítási időre exponenciális valószínűség-eloszlási törvény vonatkozik, átlagosan napközben hétórás munkanappal mindegyik mester μ hűtőket javít.
Meg kell határozni: 1) annak valószínűségét, hogy minden mester mentes a hűtőszekrény javításától, 2) annak valószínűsége, hogy minden mester a javítással van elfoglalva, 3) egy hűtőszekrény átlagos javítási ideje, 4) az átlagos várakozási idő a kezdésre az egyes hűtőszekrényekre vonatkozó javítások összege, 5) a sor hossza, amely meghatározza a javításra szoruló hűtőszekrények szükséges tárhelyét, 6) a munkavégzéstől mentes mesterek átlagos száma.
A vezetési és irányítási feladatok megoldása során, beleértve a csapatok irányítását és irányítását, gyakran felmerül számos azonos típusú feladat:
Mindezek a feladatok azonos típusúak abban az értelemben, hogy hatalmas szolgáltatásigényük van. Ennek az igénynek a kielégítésében egy bizonyos elemcsoport vesz részt, amely egy sorrendszert (QS) alkot (2.9. ábra).
A közös piacszervezés elemei a következők:
Bejövő adatfolyam szolgáltatási kérelmek gyűjteménye. Az alkalmazást gyakran a hordozójával azonosítják. Például a szakszervezeti műhelybe belépő hibás rádióberendezések áramlása alkalmazások áramlása – a szolgáltatás követelményei ebben a minőségbiztosítási rendszerben.
A gyakorlatban általában az úgynevezett visszatérő folyamokkal foglalkoznak, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
Az első két tulajdonságot korábban definiáltuk. Ami a korlátozott utóhatást illeti, az abban rejlik, hogy a beérkező alkalmazások közötti intervallumok független valószínűségi változók.
Sok visszatérő folyam van. Minden intervallum-eloszlási törvény saját ismétlődő áramlást generál. Az ismétlődő adatfolyamokat más néven Palm folyamok.
Az utóhatás teljes hiányával járó áramlást, mint már említettük, álló Poisson-áramlásnak nevezzük. A kérések közötti véletlenszerű intervallumok exponenciális eloszlásúak:
itt az áramlás intenzitása.
A patak neve - Poisson - onnan ered, hogy erre áramlási valószínűség az intervallumra vonatkozó alkalmazások megjelenését a Poisson-törvény határozza meg:
Az ilyen típusú áramlást, mint korábban említettük, a legegyszerűbbnek is nevezik. Ezt a folyamatot feltételezik a tervezők a QS fejlesztésekor. Ennek három oka van.
Először, egy ilyen típusú áramlás a sorbanálláselméletben hasonló a valószínűségszámítás normális eloszlási törvényéhez abban az értelemben, hogy egy olyan áramlás határértékéhez való áthaladás, amely tetszőleges karakterisztikájú áramlások összege végtelen növekedéssel és csökkenéssel intenzitásuk a legegyszerűbb áramláshoz vezet. Vagyis tetszőleges független (túlsúly nélküli) intenzitású áramlások összege a legegyszerűbb intenzitású áramlás
Másodszor, ha a kiszolgáló csatornákat (eszközöket) a legegyszerűbb kérések áramlására tervezték, akkor más típusú (ugyanolyan intenzitású) folyamok kiszolgálása sem kisebb hatékonysággal történik.
Harmadszor, ez az áramlás határozza meg a Markov-folyamatot a rendszerben, és ebből következően a rendszer analitikai elemzésének egyszerűségét. Más áramlások esetében a QS működésének elemzése bonyolult.
Gyakran vannak olyan rendszerek, amelyekben a bemeneti kérések áramlása a szolgáltatásban lévő kérések számától függ. Az ilyen SMO-kat hívják zárva(másképp - nyisd ki). Például egy egyesület kommunikációs műhelyének munkája egy zárt hurkú QS modellel ábrázolható. Legyen ez a műhely az egyesületben lévő rádióállomások kiszolgálására. Mindegyikük rendelkezik hibázási ráta. A meghibásodott berendezés bemeneti adatfolyamának intenzitása:
hol van a már javításra szolgáló műhelyben lévő rádióállomások száma.
Az alkalmazások eltérő jogosultsággal rendelkezhetnek a szolgáltatás elindításához. Ebben az esetben az alkalmazások azt mondják, hogy heterogén. Egyes alkalmazásfolyamok előnyeit másokkal szemben a prioritási skála adja.
A bemeneti adatfolyam egyik fontos jellemzője az a variációs együttható:
ahol az intervallum hosszának matematikai elvárása;
Valószínűségi változó szórása (intervallumhossz).
A legegyszerűbb áramlásért 
A legtöbb valódi szálhoz.
Ha az áramlás szabályos, determinisztikus.
A variációs együttható- a kérelmek egyenetlen beérkezésének mértékét tükröző jellemző.
Szolgáltatási csatornák (eszközök). Egy QS egy vagy több szolgáltatási eszközzel (csatornával) rendelkezhet. E szerint a QS-t egycsatornásnak vagy többcsatornásnak nevezik.
Többcsatornás A QS állhat azonos típusú vagy különböző típusú eszközökből. A szervizeszközök lehetnek:
A csatorna fő jellemzője a szolgáltatási idő. A szolgáltatási idő általában véletlenszerű érték.
Általában a szakemberek azt feltételezik, hogy a szolgálati időnek exponenciális eloszlási törvénye van:
ahol - szolgáltatás intenzitása, ;
A szolgálati idő matematikai elvárása.
Vagyis a szolgáltatási folyamat markovi, és ez, mint ma már tudjuk, jelentős kényelmet biztosít az analitikus matematikai modellezésben.
Az exponenciális mellett létezik -Erlang eloszlás, hiperexponenciális, háromszög és még néhány. Ez nem zavarhat meg bennünket, hiszen látható, hogy a QS hatékonysági kritériumok értéke nem nagyon függ a szolgálati idő valószínűségi eloszlási törvény formájától.
A QS vizsgálatában a szolgáltatás lényege kiesik, szolgáltatás minősége.
A csatornák lehetnek abszolút megbízható, vagyis ne vallj kudarcot. Inkább a tanulmányban el lehet fogadni. A csatornáknak lehet végső megbízhatóság. Ebben az esetben a QS modell sokkal bonyolultabb.
Alkalmazási sor. A kérések és szolgáltatások folyamának véletlenszerű jellege miatt egy bejövő kérés előfordulhat, hogy a csatorna(k) elfoglaltak az előző kérés kiszolgálásával. Ebben az esetben vagy kiszolgálatlanul hagyja a QS-t, vagy a rendszerben marad, megvárva a szolgáltatás megkezdését. Ennek megfelelően vannak:
CMO várakozással sorok jelenléte jellemzi. Egy sor kapacitása korlátozott vagy korlátlan lehet: 
.
A kutatókat általában a következő statisztikai jellemzők érdeklik, amelyek a jelentkezések sorban maradásával kapcsolatosak:
Gyakran vannak olyan közös piacszervezések, amelyekben az alkalmazások rendelkeznek korlátozott ideig a sorban kapacitásától függetlenül. Az ilyen QS-eket kevert típusú QS-eknek is nevezik.
Kimenő adatfolyam a QS-t elhagyó kiszolgált kérések áramlása.
Vannak esetek, amikor az alkalmazások több QS-n haladnak át: tranzitkapcsolat, termelési folyamat stb. Ebben az esetben a kimenő adatfolyam a következő QS-hez érkezik. A szekvenciálisan összekapcsolt QS-ek halmazát hívják többfázisú QS vagy KPSZ hálózatok.
Az első QS bejövő folyama, miután áthaladt a következő QS-en, torzul, és ez megnehezíti a modellezést. Azt azonban szem előtt kell tartani a legegyszerűbb bemeneti adatfolyammal és exponenciális szolgáltatással (vagyis a Markov-rendszerekben) a kimeneti adatfolyam is a legegyszerűbb. Ha a szolgáltatási idő nem exponenciális eloszlású, akkor a kimenő adatfolyam nemcsak nem egyszerű, de nem is ismétlődő.
Vegye figyelembe, hogy a kimenő kérések közötti időközök nem egyeznek meg a szervizintervallumokkal. Végül is kiderülhet, hogy a következő szolgáltatás befejezése után a QS egy ideig tétlen az alkalmazások hiánya miatt. Ebben az esetben
Az 1–3. feladatok megoldása szükséges. A kezdeti adatokat a táblázat tartalmazza. 2–4.
Néhány jelölés, amelyet a sorelméletben a képletekhez használnak:
n a csatornák száma a QS-ben;
λ a P in bejövő alkalmazások áramlásának intenzitása;
v az alkalmazások kimenő áramlásának intenzitása P out;
μ a P kb szolgáltatás áramlásának intenzitása;
ρ a rendszer terhelésjelzője (forgalom);
m a helyek maximális száma a sorban, ami korlátozza a pályázati sor hosszát;
i a kérésforrások száma;
p k a rendszer k-edik állapotának valószínűsége;
p o - a teljes rendszer leállásának valószínűsége, azaz annak valószínűsége, hogy minden csatorna szabad;
p syst egy alkalmazás rendszerbe fogadásának valószínűsége;
p ref - a kérelem elutasításának valószínűsége a rendszerbe történő elfogadáskor;
р kb - annak valószínűsége, hogy az alkalmazást kiszolgálják;
A a rendszer abszolút teljesítménye;
Q a rendszer relatív áteresztőképessége;
Och - a sorban lévő alkalmazások átlagos száma;
Körülbelül - a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos száma;
Sist - az alkalmazások átlagos száma a rendszerben;
Och - átlagos várakozási idő egy alkalmazásra a sorban;
Tb - a kérés átlagos kiszolgálási ideje, csak a kiszolgált kérésekre vonatkozik;
Sis az alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben;
Ozh - az átlagos idő, amely korlátozza a sorban lévő alkalmazásra való várakozást;
a foglalt csatornák átlagos száma.
A QS A abszolút teljesítménye azoknak az alkalmazásoknak az átlagos száma, amelyeket a rendszer időegység alatt ki tud szolgálni.
A QS relatív átviteli sebessége a rendszer által időegységenként kiszolgált kérések átlagos számának és az ezalatt beérkezett kérések átlagos számának aránya.
A sorbanállási problémák megoldása során a következő sorrendet kell betartani:
1) a QS típusának meghatározása a táblázat szerint. 4,1;
2) a képletek kiválasztása a QS típusának megfelelően;
3) problémamegoldás;
4) következtetések megfogalmazása a problémával kapcsolatban.
1. A halál és szaporodás sémája. Tudjuk, hogy egy címkézett állapotgráf segítségével könnyedén felírhatjuk a Kolmogorov-egyenleteket az állapotvalószínűségekre, valamint felírhatjuk és megoldhatjuk a végső valószínűségekre vonatkozó algebrai egyenleteket is. Bizonyos esetekben az utolsó egyenletek sikeresek
döntsön előre, szó szerint. Ez különösen akkor tehető meg, ha a rendszer állapotgráfja az úgynevezett "halál és szaporodási séma".
A halál és szaporodás sémájának állapotgráfja az ábrán látható formában van. 19.1. Ennek a gráfnak az a sajátossága, hogy a rendszer összes állapota egy láncba húzható, amelyben minden átlagos állapot ( S 1 , S 2 ,…,S n-1) előre és hátra nyíllal van összekötve az egyes szomszédos állapotokkal - jobb és bal, valamint a szélső állapotokkal (S 0 , S n) - csak egy szomszédos állammal. A "halál és szaporodás sémája" kifejezés biológiai problémákból ered, ahol egy populáció méretének változását írják le egy ilyen sémával.
A halál és a szaporodás sémája nagyon gyakran találkozik a gyakorlat különböző problémáiban, különösen - a sorban állás elméletében, ezért hasznos egyszer és mindenkorra megtalálni az állapotok végső valószínűségét.
Tegyük fel, hogy minden eseményfolyam, amely a rendszert a gráf nyilai mentén továbbítja, a legegyszerűbb (a rövidség kedvéért a rendszert is nevezzük Sés a benne zajló folyamat – a legegyszerűbb).
ábra grafikonját használva. 19.1, algebrai egyenleteket állítunk össze és oldunk meg az állapot végső valószínűségére), a létezés abból következik, hogy minden állapotból minden másikba mehet, az állapotok száma véges). Az első államnak S 0 nálunk van:
(19.1)
A második állapothoz S1:
A (19.1) miatt az utolsó egyenlőség a formára redukálódik
ahol k minden értéket vesz 0-tól P. Tehát a végső valószínűségek p0, p1,..., p n kielégíti az egyenleteket
(19.2)
emellett figyelembe kell vennünk a normalizálási feltételt is
p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n=1. (19,3)
Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert. Az első (19.2) egyenletből kifejezzük p 1 keresztül R 0 :
p 1 = p 0. (19.4)
A másodikból, figyelembe véve (19.4) a következőket kapjuk:
(19.5)
A harmadiktól, figyelembe véve (19,5),
(19.6)
és általában bármilyen k(1-től n):
(19.7)
Figyeljünk a (19.7) képletre. A számláló a balról jobbra (az elejétől az adott állapotig) mutató nyilak összes intenzitásának szorzata S k), a nevezőben pedig a jobbról balra mutató nyilak összes intenzitásának szorzata (az elejétől a Sk).
Így minden állapotvalószínűség R 0 , p 1 , ..., р n az egyiken keresztül kifejezve ( R 0). Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a (19.3) normalizálási feltételbe. Zárójelezéssel kapjuk R 0:
ezért megkapjuk a kifejezést R 0 :
(a zárójelet -1 hatványra emeltük, hogy ne írjunk kétemeletes törteket). Minden más valószínűséget a következőkkel fejezünk ki R 0 (lásd a (19.4) - (19.7) képleteket). Vegye figyelembe, hogy az együtthatók R A 0 mindegyikben nem más, mint a sorozat egymást követő tagjai a (19.8) képlet egysége után. Szóval számítás R 0 , ezeket az együtthatókat már megtaláltuk.
A kapott képletek nagyon hasznosak a sorelmélet legegyszerűbb problémáinak megoldásában.
^ 2. Kis képlet. Most levezetünk egy fontos képletet, amely (a korlátozó, stacionárius rezsimre) az alkalmazások átlagos számára vonatkozik L syst, amely a sorban állási rendszerben található (azaz kiszolgált vagy sorban áll), és az alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben W syst.
Tekintsünk bármely QS-t (egycsatornás, többcsatornás, markovi, nem markovi, korlátlan vagy korlátos sorbanállással) és a hozzá kapcsolódó két eseményfolyamot: a QS-be érkező ügyfelek áramlását és a területet elhagyó ügyfelek áramlását. QS. Ha a rendszerben korlátozó, stacionárius rezsim került kialakításra, akkor a QS-be időegységenként érkező alkalmazások átlagos száma megegyezik az azt elhagyó alkalmazások átlagos számával: mindkét folyam azonos intenzitású λ.
Jelöli: X(t) - azon kérelmek száma, amelyek a pillanat előtt érkeztek a KGST-hez t. Y(t) - a KPSZ-t elhagyó kérelmek száma
a pillanatig t. Mindkét funkció véletlenszerű, és a kérések beérkezésekor hirtelen megváltozik (eggyel nő). (X(t)) és a pályázatok indulása (Y(t)). A függvények típusa X(t) és Y(t)ábrán látható. 19,2; mindkét sor lépcsős, a felső pedig X(t), Alsó- Y(t). Nyilván minden pillanatra t különbségük Z(t)= X(t) - Y(t) nem más, mint az alkalmazások száma a QS-ben. Amikor a vonalak X(t)és I(t)összevonás, nincsenek kérések a rendszerben.
Vegyünk egy nagyon hosszú időszakot T(gondolatban folytatva a grafikont messze a rajzon túl), és kiszámítja a QS-ben az alkalmazások átlagos számát. Ez egyenlő lesz a függvény integráljával Z(t) ezen az intervallumon osztva az intervallum hosszával T:
L syst. = . (19.9) o
De ez az integrál nem más, mint az ábrán árnyékolt ábra területe. 19.2. Nézzük jól ezt a rajzot. Az ábra téglalapokból áll, amelyek mindegyikének magassága eggyel, alapja pedig a tartózkodási idővel egyenlő a megfelelő sorrendű rendszerben (első, második stb.). Jelöljük meg ezeket az időket t1, t2,... Igaz, az intervallum végén T néhány téglalap nem teljesen, hanem részben kerül be az árnyékolt ábrába, de kellően nagy T ezek az apróságok nem számítanak. Így tehát annak tekinthető
(19.10)
ahol az összeg az idő alatt beérkezett összes kérelemre vonatkozik T.
Osszuk el a jobb és bal oldalt (.19.10) az intervallum hosszával T. Megkapjuk, figyelembe véve (19.9),
L syst. = . (19.11)
A (19.11) jobb oldalát elosztjuk és megszorozzuk X intenzitással:
L syst. = .
De a nagyságrend Tλ nem más, mint az idő alatt beérkezett kérelmek átlagos száma ^ T. Ha elosztjuk az összes idő összegét t i az átlagos jelentkezési számon, akkor megkapjuk az alkalmazás rendszerben való tartózkodásának átlagos idejét W syst. Így,
L syst. = λ W syst. ,
W syst. = . (19.12)
Ez Little csodálatos formulája: bármilyen QS-hez, az alkalmazások áramlásának bármilyen természetéhez, a szolgáltatási idő bármilyen elosztásához, bármilyen szolgáltatási tudományhoz egy kérés átlagos tartózkodási ideje a rendszerben egyenlő a rendszerben lévő kérések átlagos számával osztva a kérések áramlásának intenzitásával.
Pontosan ugyanígy származtatják Little második képletét, amely az alkalmazás által a sorban eltöltött átlagos időtartamhoz kapcsolódik. ^ W ochés a sorban lévő alkalmazások átlagos száma L och:
W och = . (19.13)
A kimenethez elegendő az ábra alsó sora helyett. 19.2 Vegyünk egy függvényt U(t)- a pillanatig hátralévő jelentkezések száma t nem a rendszerből, hanem a sorból (ha a rendszerbe bekerült alkalmazás nem kerül be a sorba, hanem azonnal szolgáltatás alá kerül, akkor is úgy tekinthetjük, hogy bekerül a sorba, de nulla ideig benne marad) .
Little (19.12) és (19.13) képletei fontos szerepet játszanak a sorelméletben. Sajnos a legtöbb létező kézikönyvben ezek a képletek (amelyek viszonylag nemrégiben általánosan bebizonyosodtak) nincsenek megadva 1).
20. § A legegyszerűbb sorbanállási rendszerek és jellemzőik
Ebben a részben megvizsgálunk néhány legegyszerűbb QS-t, és kifejezéseket származtatunk jellemzőikre (teljesítménymutatókra). Ugyanakkor bemutatjuk az elemi, „markovi” sorbanálláselméletre jellemző főbb módszertani technikákat. Nem foglalkozunk azon QS-minták számával, amelyekre a jellemzők végső kifejezéseit levezetjük; ez a könyv nem útmutató a sorban állás elméletéhez (ezt a szerepet speciális kézikönyvek sokkal jobban betöltik). Célunk, hogy megismertessük az olvasóval néhány „trükköt”, amelyek megkönnyítik a sorban állás elméletének áthaladását, amely számos elérhető (még népszerűségnek tűnő) könyvben is egy kósza példagyűjteménynek tűnhet.
Ebben a részben a QS-t állapotról állapotra továbbító eseményfolyamatokat a legegyszerűbbnek tekintjük (anélkül, hogy ezt minden alkalommal külön kikötjük). Köztük lesz az úgynevezett "szolgáltatásáramlás". Egy folyamatosan foglalt csatorna által kiszolgált kérések áramlását jelenti. Ebben a folyamban az események közötti intervallum, mint a legegyszerűbb adatfolyamban mindig, exponenciális eloszlású (sok kézikönyvben ez szerepel helyette: "a szolgáltatási idő exponenciális", mi magunk is ezt a kifejezést fogjuk használni a jövőben).
1) Egy népszerű könyvben a Little-képletnek a fentiektől némileg eltérő levezetése szerepel. Általánosságban elmondható, hogy ennek a könyvnek a megismerése („Második beszélgetés”) hasznos a sorbanállás elméletének kezdeti megismeréséhez.
Ebben a részben a szolgáltatási idő exponenciális eloszlása magától értetődőnek tekinthető, mint mindig a "legegyszerűbb" rendszer esetében.
Az előadás során bemutatjuk a vizsgált QS hatékonysági jellemzőit.
^ 1. P-Channel QS hibákkal(Erlang probléma). Itt a sorozás elméletének egyik első időbeli, "klasszikus" problémáját tekintjük;
ez a probléma a telefonálás gyakorlati szükségleteiből fakadt, és századunk elején Erlant dán matematikus oldotta meg. A feladat a következőképpen van beállítva: van P csatornák (kommunikációs vonalak), amelyek λ intenzitású alkalmazások áramlását fogadják. A szolgáltatási áramlás intenzitása μ (az átlagos szolgáltatási idő reciproka t ról ről). Keresse meg a QS állapotok végső valószínűségét, valamint hatékonyságának jellemzőit:
^A- abszolút áteresztőképesség, azaz az időegység alatt kiszolgált alkalmazások átlagos száma;
K- relatív átviteli sebesség, azaz a rendszer által kiszolgált bejövő kérések átlagos aránya;
^ R otk- a meghibásodás valószínűsége, azaz az a tény, hogy az alkalmazás kiszolgálatlanul hagyja a QS-t;
k- a foglalt csatornák átlagos száma.
Megoldás. A rendszer állapotai ^S(QS) a rendszerben lévő kérések számának megfelelően lesz számozva (ebben az esetben ez egybeesik a foglalt csatornák számával):
S 0 - a KPSZ-ben nincs pályázat,
S 1 - egy kérés van a QS-ben (egy csatorna foglalt, a többi szabad),
Sk- az SMO-ban van k alkalmazások ( k a csatornák foglaltak, a többi ingyenes),
S n - az SMO-ban van P alkalmazások (mind n a csatornák foglaltak).
A QS állapotgráf a szaporodási halálozás sémájának felel meg (20.1. ábra). Jelöljük meg ezt a grafikont – tegyük le az eseményfolyamok intenzitását a nyilak közelében. Tól től S 0 hüvelyk S1 a rendszert λ intenzitású kérések folyama továbbítja (amint egy kérés érkezik, a rendszer ugrik S0 ban ben S1). Ugyanaz az alkalmazások folyama fordít
Egy rendszer bármely bal oldali állapotból egy szomszédos jobb oldali állapotba (lásd a felső nyilakat a 20.1. ábrán).
Tegyük le az alsó nyilak intenzitását. Legyen a rendszer olyan állapotban ^S 1 (egy csatorna működik). Időegységenként μ szolgáltatást állít elő. Leültünk a nyílra S 1 →S 0 intenzitás μ. Most képzelje el, hogy a rendszer állapota S2(két csatorna működik). Hogy elmenjen hozzá S 1 , szükséges, hogy vagy az első, vagy a második csatorna befejezze a szervizelést; szolgáltatási áramlásaik teljes intenzitása 2μ; tedd a megfelelő nyílra. A három csatorna által adott teljes szolgáltatási áramlás intenzitása 3μ, k csatornák - km. Ezeket az intenzitásokat az alsó nyilaknál írjuk le az ábrán. 20.1.
És most, az összes intenzitás ismeretében, a kész (19.7), (19.8) képleteket fogjuk használni a végső valószínűségek meghatározásához a halál és szaporodás sémájában. A (19.8) képlet szerint a következőket kapjuk:
Dekompozíciós kifejezések 
együtthatói lesznek p 0 kifejezésekben p1
Megjegyzendő, hogy a (20.1), (20.2) képletek nem tartalmazzák külön a λ és μ intenzitást, csak a λ/μ arányt. Jelöli
λ/μ = ρ (20,3)
És p értékét "az alkalmazások áramlásának csökkentett intenzitásának" nevezzük. Jelentése az egy kérés átlagos kiszolgálási idejére érkező kérések átlagos száma. Ezzel a jelöléssel átírjuk a (20.1), (20.2) képleteket a következő formában:
A végső állapotvalószínűségek (20.4), (20.5) képleteit Erlang-képleteknek nevezik - a sorbanálláselmélet megalapítójának tiszteletére. Ennek az elméletnek a többi képlete (ma már több van belőlük, mint gomba az erdőben) nem visel különösebb nevet.
Így megvannak a végső valószínűségek. Ezek alapján számítjuk ki a QS hatékonysági jellemzőket. Először megtaláljuk ^ R otk. - annak a valószínűsége, hogy a bejövő kérést elutasítják (nem kézbesítik). Ehhez szükséges, hogy minden P a csatornák foglaltak voltak, szóval
R otk = R n = . (20,6)
Innen megtaláljuk a relatív átviteli sebességet - az alkalmazás kiszolgálásának valószínűségét:
Q = 1 - P nyisd ki = 1 - (20,7)
Az abszolút átviteli sebességet úgy kapjuk meg, hogy a λ kérelmek áramlásának intenzitását megszorozzuk K:
A = λQ = λ . (20.8)
Már csak meg kell találni a foglalt csatornák átlagos számát k. Ezt az értéket "közvetlenül" lehetett megtalálni, mint egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásait 0, 1, ... Pés ezeknek az értékeknek a valószínűségei p 0 p 1 , ..., p n:
k = 0 · p 0 + egy · p 1 + 2 · p 2 + ... + n · p n .
A (20.5) kifejezéseket itt helyettesítve R k , (k = 0, 1, ..., P)és a megfelelő transzformációkat végrehajtva végül megkapnánk a megfelelő képletet k. De sokkal könnyebben fogjuk levezetni (íme, ez az egyik "apró trükk"!) Valóban, ismerjük az abszolút áteresztőképességet DE. Ez nem más, mint a rendszer által kiszolgált alkalmazások áramlásának intenzitása. Minden alkalmazott i .shal időegységenként átlagosan |l kérést szolgál ki. Tehát a foglalt csatornák átlagos száma az
k = A/μ, (20.9)
vagy adott (20.8),
k = 
(20.10)
Arra biztatjuk az olvasót, hogy saját maga dolgozza ki a példát. Van egy kommunikációs állomás három csatornával ( n= 3), az alkalmazások áramlásának intenzitása λ = 1,5 (alkalmazások percenként); átlagos szolgáltatási idő kérésenként t v = 2 (min.), minden eseményfolyam (mint ebben az egész bekezdésben) a legegyszerűbb. Keresse meg a QS végső állapotvalószínűségét és teljesítményjellemzőit: A, Q, P otk, k. Minden esetre itt vannak a válaszok: p 0 = 1/13, p 1 = 3/13, p 2 = 9/26, 3. o = 9/26 ≈ 0,346,
DE≈ 0,981, K ≈ 0,654, P nyitott ≈ 0,346, k ≈ 1,96.
A válaszokból egyébként látható, hogy a QS-ünk jórészt túlterhelt: három csatornából átlagosan körülbelül kettő foglalt, a beérkező alkalmazások mintegy 35%-a pedig kiszolgálatlan marad. Megkérjük az olvasót, ha kíváncsi és nem lusta, hogy tájékozódjon: hány csatornára lesz szükség ahhoz, hogy a beérkező jelentkezések legalább 80%-át kielégítsék? És a csatornák mekkora része lesz egyszerre tétlen?
Már van rá valami utalás optimalizálás. Valójában az egyes csatornák tartalma időegységenként egy bizonyos összegbe kerül. Ugyanakkor minden kiszolgált alkalmazás hoz némi bevételt. Ezt a bevételt megszorozva a kérelmek átlagos számával DE, egységnyi idő alatt szervizelve kapjuk meg az időegységre vetített átlagos KGST bevételt. Természetesen a csatornák számának növekedésével ez a bevétel nő, de nőnek a csatornák fenntartásával kapcsolatos költségek is. Mi lesz nagyobb, mint a bevételek vagy kiadások növekedése? Ez függ a működés feltételeitől, az "alkalmazási szolgáltatás díjától" és a csatorna fenntartási költségétől. Ezen értékek ismeretében megtalálhatja az optimális csatornaszámot, a legköltséghatékonyabbat. Egy ilyen problémát nem fogunk megoldani, hagyjuk, hogy ugyanaz a „nem lusta és kíváncsi olvasó” álljon elő egy példával és oldja meg. Általában a problémák kitalálása többet fejleszt, mint a valaki által már felállított problémák megoldása.
^ 2. Egycsatornás QS korlátlan várakozási sorral. A gyakorlatban meglehetősen elterjedt az egycsatornás, sorban állású QS (betegeket kiszolgáló orvos; egy fülkével rendelkező fizetős telefon; felhasználói rendeléseket teljesítő számítógép). A sorban állás elméletében az egycsatornás, soros QS-ek is kiemelt helyet foglalnak el (ilyen QS-hez tartozik a nem-markovi rendszerekre eddig kapott analitikai képletek többsége). Ezért kiemelt figyelmet fordítunk az egycsatornás, soros QS-re.
Legyen egy egycsatornás QS olyan sorral, amelyre nincs korlátozás (sem a sor hosszára, sem a várakozási időre). Ez a QS λ intenzitású kérelmeket fogad ; a szolgáltatásfolyam intenzitása μ, amely inverz a kérés átlagos kiszolgálási idejével t ról ről. Meg kell találni a QS állapotok végső valószínűségét, valamint hatékonyságának jellemzőit:
L syst. - az alkalmazások átlagos száma a rendszerben,
W syst. - az alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben,
^L och- a sorban lévő kérelmek átlagos száma,
W och - az átlagos idő, amit egy alkalmazás a sorban tölt,
P zan - annak valószínűsége, hogy a csatorna foglalt (a csatorna terhelésének mértéke).
Ami az abszolút teljesítményt illeti DEés rokon K, akkor nem kell kiszámolni őket:
A sor korlátlansága miatt minden jelentkezés előbb-utóbb ki lesz szolgáltatva, ezért A \u003d λ, ugyan azért az okért Q= 1.
Megoldás. A rendszer állapotai, mint korábban, a QS-ben lévő alkalmazások száma szerint lesznek számozva:
S 0 - csatorna ingyenes
S 1 - a csatorna foglalt (kiszolgálja a kérést), nincs sor,
S 2 - a csatorna foglalt, egy kérés van a sorban,
S k - a csatorna foglalt, k- 1 jelentkezés van sorban,
Elméletileg az állapotok számát semmi sem korlátozza (végtelenül). Az állapotgráf alakja az ábrán látható. 20.2. Ez a halál és szaporodás rendszere, de végtelen számú állapottal. Az összes nyíl szerint a λ intenzitású kérések áramlása balról jobbra, jobbról balra továbbítja a rendszert - a μ intenzitású szolgáltatás áramlását.
Először is tegyük fel magunknak a kérdést, hogy ebben az esetben vannak-e végső valószínűségek? Hiszen a rendszer állapotainak száma végtelen, és elvileg at t → ∞ a sor a végtelenségig nőhet! Igen, ez igaz: egy ilyen QS végső valószínűsége nem mindig létezik, de csak akkor, ha a rendszer nincs túlterhelve. Bebizonyítható, hogy ha ρ szigorúan kisebb egynél (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при t→ ∞ korlátlanul nő. Ez a tény különösen „érthetetlennek” tűnik ρ = 1 esetén. Úgy tűnik, nincs lehetetlen követelmény a rendszerrel szemben: egy alkalmazás kiszolgálása során átlagosan egy alkalmazás érkezik, és mindennek rendben kell lennie, de a valóságban ez nem. ρ = 1 esetén a QS csak akkor birkózik meg a kérések áramlásával, ha ez szabályos, és a szolgáltatási idő sem véletlenszerű, egyenlő a kérések közötti időközzel. Ebben az "ideális" esetben egyáltalán nem lesz sor a QS-ben, a csatorna folyamatosan foglalt lesz, és rendszeresen kiszolgált kéréseket fog kiadni. De amint a kérések vagy a szolgáltatások áramlása legalább egy kicsit véletlenszerűvé válik, a sor már a végtelenségig növekedni fog. A gyakorlatban ez nem csak azért történik meg, mert "végtelen számú alkalmazás a sorban" absztrakció. Ezek azok a durva hibák, amelyekhez a valószínűségi változók matematikai elvárásaikkal való helyettesítése vezethet!
De térjünk vissza az egycsatornás QS-ünkhöz korlátlan sorbanállással. Szigorúan véve a halál és szaporodás sémájában a végső valószínűségek képleteit mi csak véges sok állapot esetére vezettük le, de vegyünk szabadságot – végtelen sok állapotra fogjuk használni. Számítsuk ki az állapotok végső valószínűségét a (19.8), (19.7) képletek alapján! Esetünkben a (19.8) képlet tagjainak száma végtelen lesz. Kapunk egy kifejezést p 0:
p 0 = -1 =
\u003d (1 + p + p 2 + ... + p k + ... .) -1. (20.11)
A (20.11) képlet sorozata egy geometriai progresszió. Tudjuk, hogy ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний p 0 , p 1 , ..., p k , ... csak r számára léteznek<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем
1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,
p 0 = 1 - p. (20.12)
Valószínűségek p 1 , p 2 , ..., p k ,... a következő képletekkel lehet megtalálni:
p1 = ρ p 0, p 2= ρ2 p 0,…,p k = ρ p0, ...,
Innen, figyelembe véve (20.12), végül megtaláljuk:
p1= ρ (1 - ρ), p2= ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k =ρ k(1-p), . . .(20.13)
Amint látja, a valószínűségek p0, p1, ..., p k , ... p nevezővel geometriai progressziót alkot. Furcsa módon a legnagyobb közülük p 0 - annak a valószínűsége, hogy a csatorna egyáltalán ingyenes lesz. Nem számít, mennyire terhelt a rendszer a sorral, ha egyáltalán képes megbirkózni az alkalmazások áramlásával (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Keresse meg az alkalmazások átlagos számát a QS-ben ^L syst. . Itt kell bütykölni egy kicsit. Véletlenszerű érték Z- kérések száma a rendszerben - lehetséges értékei 0, 1, 2, .... k,... valószínűségekkel p0, p 1 , p 2 , ..., p k , ... A matematikai elvárása az
L rendszer = 0 p 0 + egy · p 1 + 2 p 2 +…+k · p k +…= (20,14)
(az összeget nem 0-tól ∞-ig, hanem 1-től ∞-ig vesszük, mivel a nullatag egyenlő nullával).
A (20.14) képletbe behelyettesítjük a kifejezést p k (20.13):
L syst. = 
Most kivesszük a ρ (1-ρ) összeg előjelét:
L syst. = ρ(1-ρ)
Itt ismét alkalmazzuk a „kis trükköt”: kρ k-1 nem más, mint a ρ kifejezés ρ-hez viszonyított deriváltja k; eszközök,
L syst. = ρ(1-ρ)
A differenciálás és az összegzés műveleteinek felcserélésével kapjuk:
L syst. = ρ (1-ρ) (20,15)
De a (20.15) képletben szereplő összeg nem más, mint egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összege az első ρ taggal és a ρ nevezővel; ez az összeg
egyenlő , és származékával. Ha ezt a kifejezést (20.15) behelyettesítjük, a következőt kapjuk:
L syst = . (20.16)
Nos, most alkalmazzuk Little képletét (19.12), és keressük meg egy alkalmazás átlagos tartózkodási idejét a rendszerben:
W syst = (20.17)
Keresse meg a sorban lévő alkalmazások átlagos számát L och. A következőképpen érvelünk: a sorban lévő alkalmazások száma megegyezik a rendszerben lévő alkalmazások számával, mínusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások számával. Tehát (a matematikai elvárások összeadásának szabálya szerint) az alkalmazások átlagos száma a sorban L pt egyenlő a rendszerben található alkalmazások átlagos számával L syst mínusz a szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos száma. A szolgáltatás alatt lévő kérések száma lehet nulla (ha a csatorna szabad) vagy egy (ha foglalt). Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása egyenlő annak a valószínűségével, hogy a csatorna foglalt (ezt jelöltük R zan). Nyilvánvalóan, R zan egyenlő eggyel mínusz a valószínűség p 0 hogy a csatorna ingyenes:
R zan = 1 - R 0 = p. (20.18)
Ezért a szolgáltatás alatti kérések átlagos száma egyenlő
^L kb= ρ, (20,19)
L och = L syst – ρ =
és végül
L pt = (20,20)
A Little-féle képlet (19.13) segítségével megtudjuk, hogy az alkalmazás átlagosan mennyi időt tölt a sorban:
(20.21)
Így a QS hatékonyságának minden jellemzője megtalálható.
Javasoljuk az olvasónak egy példa önálló megoldását: az egycsatornás QS egy vasúti rendezőpályaudvar, amely a legegyszerűbb, λ = 2 intenzitású (vonatok óránként) áramlását fogadja. Szolgáltatás (feloszlatás)
összetétele átlagos értékkel véletlenszerű (demonstratív) ideig tart t kb = 20(perc). Az állomás érkezési parkjában két vágány van, amelyen az érkező vonatok várakozhatnak a szolgálatra; ha mindkét vágány foglalt, a vonatok a külső vágányokon kénytelenek várakozni. Meg kell találni (az állomás korlátozó, álló üzemmódjához): átlag, vonatszám lállomáshoz kapcsolódó rendszer, középidő W vonattartó rendszer az állomáson (belső vágányokon, külső vágányokon és karbantartás alatt), átlagos szám L pt szerelvények sorakoznak a feloszlatásra (nem mindegy, melyik vágányokon), átlagos idő W A pontok összetétele a várólistán marad. Próbálja meg megtalálni a feloszlatásra váró vonatok átlagos számát is a külső vágányokon. L külső és ennek a várakozásnak az átlagos ideje W külső (az utolsó két mennyiséget Little képlete hozza összefüggésbe). Végül keresse meg a W teljes napi bírságot, amelyet az állomásnak kell fizetnie a külső vágányokon közlekedő vonatok állásáért, ha az állomás a (rubelt) bírságot fizet egy vonat egyórás állásáért. Minden esetre itt vannak a válaszok: L syst. = 2 (összetétel), W syst. = 1 (óra), L pont = 4/3 (összetétel), W pt = 2/3 (óra), L külső = 16/27 (összetétel), W külső = 8/27 ≈ 0,297 (óra). A külső vágányokon történő vonatvárakozás napi W átlagos büntetését úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk az állomásra naponta érkező vonatok átlagos számát, a külső vágányokon közlekedő vonatok átlagos várakozási idejét és az órabírságot. a: W ≈ 14,2 a.
^ 3. A QS újracsatornázása korlátlan várakozási sorral. Teljesen hasonló a 2. feladathoz, de egy kicsit bonyolultabb, a probléma n-csatorna QS korlátlan várakozási sorral. Az állapotok számozása ismét a rendszerben lévő alkalmazások számának megfelelően történik:
S0- a CMO-ban nincsenek alkalmazások (minden csatorna ingyenes),
S 1 - az egyik csatorna foglalt, a többi szabad,
S2- két csatorna foglalt, a többi ingyenes,
S k- elfoglalt k csatornák, a többi ingyenes,
S n- mindenki elfoglalt P csatornák (nincs sor),
Sn+1- mindenki elfoglalt n csatornák, egy alkalmazás van a sorban,
S n+r - elfoglalt súly P csatornák, r az alkalmazások sorban állnak
Az állapotgrafikont a ábra mutatja. 20.3. Arra kérjük az olvasót, hogy mérlegelje és indokolja meg a nyilakkal jelzett intenzitások értékeit. ábra ábra. 20.3
λ λ λ λ λ λ λ λ λ
μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ
létezik a halál és a szaporodás séma, de végtelen sok állapottal. Bizonyítás nélkül állítsuk fel a végső valószínűségek létezésének természetes feltételét: ρ/ n<1. Если ρ/n≥ 1, a sor a végtelenségig növekszik.
Tegyük fel, hogy a ρ/ feltétel n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для p 0 lesz egy sor olyan tag, amely faktoriálisokat tartalmaz, plusz egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege ρ/ nevezővel n. Összegezve azt találjuk
(20.22)
Most nézzük meg a QS hatékonyság jellemzőit. Ezek közül a legkönnyebb megtalálni a foglalt csatornák átlagos számát k== λ/μ, = ρ (ez általában igaz minden korlátlan sorral rendelkező QS-re). Keresse meg az alkalmazások átlagos számát a rendszerben L rendszer és a sorban lévő alkalmazások átlagos száma L och. Ezek közül a másodikat könnyebb kiszámítani, a képlet szerint
L och =
a megfelelő transzformációk végrehajtása a 2. feladat mintája szerint
(a sorozatok megkülönböztetésével) a következőket kapjuk:
L och = 
(20.23)
Hozzáadva a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos számát (ez egyben a foglalt csatornák átlagos száma is) k =ρ, ezt kapjuk:
L syst = L och + ρ. (20.24)
Elválasztó kifejezések a L och és L syst a λ-n , Little képletével megkapjuk egy alkalmazás átlagos tartózkodási idejét a sorban és a rendszerben:
(20.25)
Most oldjunk meg egy érdekes példát. A kétablakos vasúti jegypénztár egy kétcsatornás, korlátlan sorbanállású QS, amely azonnal két ablakig áll (ha egy ablak szabad, a sorban következő utas viszi el). A jegypénztárak két ponton árulnak jegyeket: A és NÁL NÉL. A jelentkezések (jegyet vásárolni kívánó utasok) áramlásának intenzitása mindkét pontra A és B ugyanaz: λ A = λ B = 0,45 (utas/perc), és összességében egy általános alkalmazásfolyamot alkotnak λ A intenzitású + λB = 0,9. Egy pénztáros átlagosan két percet tölt egy utas kiszolgálásával. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a jegypénztáraknál sorban állnak, az utasok a kiszolgálás lassúságára panaszkodnak. DEés be NÁL NÉL, hozzon létre két speciális jegyirodát (mindegyikben egy-egy ablak), egy jegyet értékesítve - csak a lényegre DE, a másik - csak a lényegre NÁL NÉL. A javaslat megalapozottsága ellentmondásos – egyesek azzal érvelnek, hogy a sorok változatlanok maradnak. A javaslat hasznosságát számítással ellenőrizni kell. Mivel a jellemzőket csak a legegyszerűbb QS-re tudjuk kiszámítani, tegyük fel, hogy minden eseményfolyam a legegyszerűbb (ez nem befolyásolja a következtetések minőségi oldalát).
Nos, akkor térjünk az üzlethez. Tekintsünk két lehetőséget a jegyértékesítés megszervezésére - a meglévőt és a javasoltat.
I. lehetőség (meglévő). A kétcsatornás QS λ = 0,9 intenzitású alkalmazásfolyamot fogad; karbantartási áramlás intenzitása μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l.8. Mivel ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим p 0 ≈ 0,0525. Az átlagos, a sorban lévő alkalmazások számát a (20,23) képlet határozza meg: L och ≈ 7,68; az ügyfél által a sorban eltöltött átlagos idő (az első képlet (20.25) szerint) egyenlő W pont ≈ 8,54 (perc).
II. lehetőség (javasolt). Figyelembe kell venni két egycsatornás QS-t (két speciális ablak); mindegyik λ = 0,45 intenzitású kéréseket kap; μ . még mindig egyenlő 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L och = 8,1.
Íme egy neked! A sor hossza, kiderült, nemhogy nem csökkent, hanem nőtt! Lehet, hogy csökkent az átlagos várakozási idő a sorban? Lássuk. Delya L pontok λ = 0,45-re, azt kapjuk W pont ≈ 18 (perc).
Ez a racionalizálás! Csökkenés helyett nőtt az átlagos sorhossz és az átlagos várakozási idő is!
Próbáljuk kitalálni, miért történt ez? Átgondolva az agyunkat, arra a következtetésre jutunk: ez azért történt, mert az első változatban (kétcsatornás QS) kevesebb az átlagos tétlenségi idő hányadosa a két pénztárosnak: ha nem egy utas kiszolgálásával van elfoglalva, jegyet vásárol a DE, a pontig jegyet vevő utasról tud gondoskodni NÁL NÉL,és fordítva. A második változatban nincs ilyen felcserélhetőség: egy üres pénztáros csak tétlenül ül mellette...
Jól , oké, - kész egyetérteni az olvasóval - magyarázható a növekedés, de miért olyan jelentős? Itt valami félreszámolás van?
És erre a kérdésre válaszolunk. Nincs hiba. Az a tény , hogy példánkban mindkét QS a képességei határán dolgozik; ha kissé megnöveli a szolgáltatási időt (azaz csökkenti a μ-t), akkor többé nem lesznek képesek megbirkózni az utasok áramlásával, és a sor végtelenül növekedni kezd. A pénztáros "extra leállása" pedig bizonyos értelemben a termelékenységének μ csökkenésével egyenértékű.
Így az elsőre paradoxnak (vagy akár egyszerűen helytelennek) tűnő számítások eredménye helyesnek és megmagyarázhatónak bizonyul.
Ez a fajta paradox következtetés, amelynek oka korántsem nyilvánvaló, gazdag a sorban állás elméletében. Magának a szerzőnek többször is „meg kellett lepődnie” a számítások eredményein, amelyek később helyesnek bizonyultak.
Az utolsó feladaton elgondolkodva az olvasó így is felteheti a kérdést: elvégre ha csak egy pontra ad el a jegyeket a pénztár, akkor természetesen a szolgálati időnek csökkennie kell, nos, nem a felére, de legalább valamelyest, de úgy gondoltuk, hogy ez még mindig az átlag 2 (min.). Egy ilyen válogatós olvasót arra hívunk, hogy válaszoljon a kérdésre: mennyivel kell csökkenteni, hogy a „racionalizálási javaslat” nyereséges legyen? Ismét találkozunk, bár elemi, de mégis optimalizálási problémával. Hozzávetőleges számítások segítségével még a legegyszerűbb, Markov-modelleken is tisztázható a jelenség minőségi oldala - hogyan jövedelmező a cselekvés, és hogyan veszteséges. A következő részben bemutatunk néhány elemi nem markovi modellt, amelyek tovább bővítik lehetőségeinket.
Miután az olvasó megismerkedett a legegyszerűbb QS végső állapotvalószínűségének és teljesítményjellemzőinek számítási módszereivel (elsajátította a halál-szaporodási sémát és a Little-képletet), további két egyszerű QS-t ajánlhatunk fel független mérlegelésre.
^ 4. Egycsatornás QS korlátozott várakozási sorral. A probléma csak annyiban tér el a 2. feladattól, hogy a sorban lévő kérések száma korlátozott (nem haladhatja meg az adott t). Ha új kérés érkezik abban a pillanatban, amikor a sorban lévő összes hely foglalt, akkor a QS kiszolgálás nélkül (elutasítva) marad.
Meg kell találni az állapotok végső valószínűségét (mellesleg ebben a feladatban bármely ρ esetén léteznek - elvégre az állapotok száma véges), a meghibásodás valószínűségét R otk, abszolút sávszélesség DE, annak a valószínűsége, hogy a csatorna foglalt R zan, átlagos sorhossz L och, a kérelmek átlagos száma a KPSZ-ben L syst , átlagos várakozási idő a sorban W och , egy kérelem átlagos tartózkodási ideje a KPSZ-ben W syst. A sor jellemzőinek kiszámításakor ugyanazt a technikát használhatjuk, mint a 2. feladatnál, azzal a különbséggel, hogy nem végtelen, hanem véges haladást kell összefoglalni.
^ 5. Zárt hurkú QS egy csatornával és m pályázati források. A konkrétság kedvéért állítsuk be a feladatot a következő formában: egy dolgozó szolgál t gépek, amelyek mindegyike időről időre beállítást (korrekciót) igényel. Az egyes munkagépek keresletáramlásának intenzitása egyenlő λ-val . Ha a gép nem működik abban a pillanatban, amikor a dolgozó szabadon van, azonnal szervizbe megy. Ha nem működik abban a pillanatban, amikor a dolgozó elfoglalt, sorba áll, és megvárja, amíg a dolgozó szabadul. Átlagos beállítási idő t fordulat = 1/μ. A dolgozóhoz érkező kérések áramlásának intenzitása attól függ, hogy hány gép dolgozik. Ha működik k szerszámgépek, egyenlő kλ. Határozza meg a végső állapot valószínűségét, a munkagépek átlagos számát és annak valószínűségét, hogy a dolgozó elfoglalt lesz.
Vegye figyelembe, hogy ebben a QS-ben a végső valószínűségek
bármely λ és μ = 1/ érték esetén létezik t o, mivel a rendszer állapotainak száma véges.
Rövid elmélet
A kudarcokkal járó QS hatékonyságának mutatóiként figyelembe vesszük:
A QS abszolút áteresztőképessége, i.e. az időegység alatt kiszolgált kérelmek átlagos száma;
Relatív áteresztőképesség, pl. a rendszer által kiszolgált bejövő kérések átlagos aránya;
A meghibásodás valószínűsége, i.e. azt a tényt, hogy a kérelem nem szolgáltatja ki a KPSZ-t;
A foglalt csatornák átlagos száma.
Tekintsük a klasszikus Erlang-problémát.
Vannak csatornák, amelyek intenzitással fogadják az alkalmazások áramlását. A szolgáltatások áramlásának intenzitása . Határozza meg a rendszerállapotok korlátozó valószínűségeit és hatékonyságának mutatóit!
A rendszer (QS) a következő állapotokkal rendelkezik (a rendszerben lévő ügyfelek száma szerint számozzuk őket):
A QS állapot grafikonja megfelel a halál és szaporodás folyamatának, és az ábrán látható.
A kérések áramlása szekvenciálisan, azonos intenzitással továbbítja a rendszert bármely bal oldali állapotból a szomszédos jobb oldali állapotba. A rendszert bármely jobb oldali állapotból egy szomszédos bal állapotba átvivő szolgáltatások áramlásának intenzitása állapottól függően folyamatosan változik. Valójában, ha a QS állapotban van (két csatorna foglalt), akkor átmehet az állapotba (egy csatorna foglalt), amikor akár az első, akár a második csatorna befejezi a kiszolgálást, vagyis a szolgáltatásfolyamaik teljes intenzitása. lesz . Hasonlóképpen, a QS-t az állapotból (három csatorna foglalt) a szolgáltatás teljes áramlása intenzitású lesz, azaz a három csatorna bármelyike szabaddá válhat, és így tovább.
A halál és szaporodás sémájához az állapot korlátozó valószínűségére kapjuk:
ahol a bővítés tagjai az at együtthatók lesznek a korlátozó valószínűségek kifejezéseiben. Érték
a kérések áramlásának csökkentett intenzitásának vagy a csatornaterhelés intenzitásának nevezzük. Egy kérés átlagos kiszolgálási idejére beérkező kérések átlagos számát fejezi ki. Most:
A határvalószínűségek utolsó képleteit Erlang-képleteknek nevezik a sorbanálláselmélet megalapítójának tiszteletére.
A QS meghibásodási valószínűsége annak a határvalószínűsége, hogy a rendszer minden csatornája foglalt lesz, azaz:
Relatív átviteli sebesség – az alkalmazás kiszolgálásának valószínűsége:
Abszolút sávszélesség:
A foglalt csatornák átlagos száma a foglalt csatornák számának matematikai elvárása:
hol vannak az állapotok korlátozó valószínűségei
A foglalt csatornák átlagos számát azonban egyszerűbben meg lehet találni, ha figyelembe vesszük, hogy a rendszer abszolút áteresztőképessége nem más, mint a rendszer által kiszolgált kérések áramlásának intenzitása (időegységenként). Mivel minden foglalt csatorna átlagosan (időegységenként) szolgál ki kéréseket, a foglalt csatornák átlagos száma:
Példa a probléma megoldására
A cég késztermékének ellenőrzését három kontroller végzi. Ha egy terméket akkor nyújtanak be ellenőrzésre, amikor az összes ellenőr a késztermékek ellenőrzésével van elfoglalva, akkor az ellenőrzés nélkül marad. A cég által gyártott termékek átlagos száma 20 darab/óra. Egy termék ellenőrzésének átlagos ideje 7 perc.
Határozza meg a műszaki ellenőrzési osztály teljesítménymutatóit. Hány vezérlőt kell telepíteni ahhoz, hogy a szolgáltatás valószínűsége legalább 97% legyen?
Egy vizsga vagy teszt probléma megoldása közben került erre az oldalra? Ha mégsem sikerült átmennie a vizsgán, legközelebb egyeztessen előre a honlapon kb Online segítség az optimális megoldási módszerekhez.
A vezérlés egy nyílt többcsatornás sorban állási rendszer szolgáltatásmegtagadással.
Vegyük az órát időegységnek. Feltételezzük, hogy a vezérlés állandósult állapotban működik. A feladatnak megfelelően
– a szolgáltatási csatornák száma
Termékek óránként - az alkalmazások áramlásának intenzitása
Tételek óránként – szolgáltatás áramlási sebessége
Számítsuk ki az állapotok közötti átmenetek relatív intenzitását:
Számoljunk:
Meghibásodás valószínűsége:
Szolgáltatási valószínűség
Abszolút rendszer sávszélesség:
a rendszer által kiszolgált alkalmazások átlagos száma időegységenként.
Az alkalmazásszolgáltatás által elfoglalt csatornák átlagos száma:
Számítsuk ki, hány vezérlőt kell telepíteni, hogy a szolgáltatás valószínűsége legalább 97% legyen:
Tehát ahhoz, hogy a szolgáltatási valószínűség legalább 97%, 6 vezérlőre van szükség.
Közepes az ellenőrzési munka megoldásának költsége 700-1200 rubel (de legalább 300 rubel a teljes megrendelésre). Az árat erősen befolyásolja a döntés sürgőssége (napoktól több óráig). Az online segítség költsége a vizsgán / teszten - 1000 rubeltől. a jegy megoldáshoz.
Az alkalmazás közvetlenül a chatben hagyható, előzetesen ledobva a feladatok állapotát és tájékoztatva a megoldási határidőkről. A válaszidő néhány perc.
Példák kapcsolódó feladatokra
CMO korlátlan sorral
Megadjuk a szükséges elméleti információkat és a probléma mintamegoldását a "Többcsatornás sorozási rendszer korlátlan sorral" témában, részletesen áttekintjük a szolgáltatásvárakoztatású többcsatornás sorbanállási rendszer (QS) mutatóit - az átlagosan elfoglalt csatornák számát. egy alkalmazás kiszolgálásával a sor hossza, a sorképzés valószínűsége, a rendszer valószínűségmentes állapota, az átlagos várakozási idő a sorban.
Az optimális erőforrás-allokáció problémája
Röviden ismertetjük a dinamikus programozás (dinamikus ütemezés) főbb elveit, áttekintjük a Bellman-egyenleteket. Az erőforrások vállalkozások közötti optimális elosztásának problémája részletesen megoldott.
Lagrange-szorzó módszer
Az oldal fontolóra veszi a feltételes szélsőség megtalálását a Lagrange-szorzók módszerével. A Lagrange függvény felépítését egy nemlineáris programozási feladat megoldásának példáján mutatjuk be. A megoldott problémát egy rövid elmélet előzi meg.
Végső fogyasztási vektor és bruttó kibocsátási vektor
A probléma megoldásának példáján a Leontiev interszektorális modellt vizsgáljuk. Megjelenik a közvetlen anyagköltségek együtthatóinak mátrixa, az "input-output" mátrix, a közvetett költségek együtthatóinak mátrixa, a végső fogyasztás és a bruttó kibocsátás vektorai.
