A harmonikus rezgés valamely mennyiség periodikus változásának jelensége, amelyben az argumentumtól való függés szinusz- vagy koszinuszfüggvény jellegű. Például egy mennyiség, amely az alábbiak szerint változik, harmonikusan ingadozik:
ahol x a változó mennyiség értéke, t az idő, a fennmaradó paraméterek állandóak: A a rezgések amplitúdója, ω a rezgések ciklikus frekvenciája, a rezgések teljes fázisa, az oszcilláció kezdeti fázisa az oszcillációkat.
Általánosított harmonikus rezgés differenciális formában
(Bármilyen nem triviális megoldás erre differenciálegyenlet- ciklikus frekvenciájú harmonikus oszcilláció van)
A szabad rezgések a rendszer belső erőinek hatására jönnek létre, miután a rendszer kikerült az egyensúlyi helyzetből. Ahhoz, hogy a szabad rezgések harmonikusak legyenek, szükséges, hogy az oszcillációs rendszer lineáris legyen (lineáris mozgásegyenletekkel írja le), és ne legyen benne energiadisszipáció (ez utóbbi csillapítást okozna).
A kényszerrezgések külső periodikus erő hatására jönnek létre. Ahhoz, hogy harmonikusak legyenek, elegendő, ha az oszcillációs rendszer lineáris (lineáris mozgásegyenletekkel írható le), és maga a külső erő is idővel harmonikus rezgésként változik (azaz ennek az erőnek az időfüggése szinuszos) .
|
(1) egyenlet
|
megadja az S ingadozó érték t időtől való függését; ez a szabad harmonikus rezgések egyenlete explicit formában. Az oszcillációk egyenlete azonban általában ennek az egyenletnek egy másik, differenciális rekordját jelenti. A határozottság kedvéért az (1) egyenletet az alakba vesszük
Kétszer különböztesse meg az idő függvényében:
Látható, hogy a következő összefüggés áll fenn:
amelyet a szabad harmonikus rezgések egyenletének neveznek (differenciális formában). Az (1) egyenlet a (2) differenciálegyenlet megoldása. Mivel a (2) egyenlet egy másodrendű differenciálegyenlet, két kezdeti feltétel szükséges a teljes megoldáshoz (vagyis az (1) egyenletben szereplő A és állandók meghatározásához; például egy oszcillációs rendszer helyzete és sebessége t = 0-nál.
A matematikai inga egy oszcillátor, amely egy olyan anyagi pontból álló mechanikai rendszer, amely egy súlytalan, nyújthatatlan szálon vagy egy súlytalan rúdon helyezkedik el egyenletes gravitációs erőtérben. Egy l hosszúságú, egyenletes gravitációs térben mozdulatlanul felfüggesztett matematikai inga kis saját rezgéseinek periódusa g szabadesési gyorsulással egyenlő
és nem függ az inga amplitúdójától és tömegétől.
A fizikai inga egy oszcillátor, amely egy merev test, amely bármely erő mezejében olyan pont körül rezeg, amely nem ennek a testnek a tömegközéppontja, vagy egy rögzített tengely körül, amely merőleges az erők irányára, és nem halad át a testen. ennek a testnek a tömegközéppontja.
22. § HARMONIKUS OSZILLÁCIÓK
Tudva, hogy egy rezgő test gyorsulása és koordinátája hogyan függ össze, matematikai elemzés alapján meg lehet határozni a koordináta időfüggőségét.
A gyorsulás a koordináta második deriváltja az idő függvényében. A pont pillanatnyi sebessége, amint azt a matematikából tudja, a pont időbeli koordinátájának deriváltja. Egy pont gyorsulása a sebességének időhöz viszonyított deriváltja, vagy a koordinátának az időhöz viszonyított második deriváltja. Ezért a (3.4) egyenlet a következőképpen írható fel:
ahol x " a koordináta második deriváltja az idő függvényében. A (3.11) egyenlet szerint a szabad rezgések során az x koordináta idővel úgy változik, hogy a koordináta időbeli második deriváltja magával a koordinátával egyenesen arányos és ellentétes előjelű vele.
A matematika kurzusából ismert, hogy a szinusz és a koszinusz második deriváltja az argumentum szempontjából arányos magával a függvényekkel ellentétes jel. A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy más függvények nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Mindez alapos okkal állítja, hogy a szabad rezgéseket végző test koordinátája idővel a szinusz vagy pasine törvénye szerint változik. A 3.6. ábra egy pont koordinátájának időbeli változását mutatja a koszinusztörvény szerint.
Időszakos változások fizikai mennyiség az időtől függően, a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint fellépő, harmonikus rezgéseknek nevezzük.
Oszcillációs amplitúdó. A harmonikus rezgések amplitúdója a test egyensúlyi helyzetből való legnagyobb elmozdulásának modulja.
Az amplitúdó lehet különféle jelentések attól függően, hogy a kezdeti pillanatban mennyire mozdítjuk ki a testet az egyensúlyi helyzetből, vagy milyen sebességgel számolunk a testnek. Az amplitúdót a kezdeti feltételek, vagy inkább a testnek adott energia határozza meg. De a szinuszmodul és a koszinuszmodul maximális értéke eggyel egyenlő. Ezért a (3.11) egyenlet megoldása nem fejezhető ki egyszerűen szinuszos vagy koszinuszos. Az x m rezgési amplitúdó szinuszos vagy koszinuszos szorzatának alakja legyen.
A szabad rezgéseket leíró egyenlet megoldása. A (3.11) egyenlet megoldását a következő formában írjuk fel:
és a második származék a következő lesz:
Megkaptuk a (3.11) egyenletet. Ezért a (3.12) függvény az eredeti (3.11) egyenlet megoldása. Ennek az egyenletnek a megoldása is a függvény lesz
A (3.14) szerint a test koordinátájának időfüggőségének grafikonja koszinuszhullám (lásd 3.6. ábra).
A harmonikus rezgések periódusa és gyakorisága. A rezgések során a testmozgások időszakosan ismétlődnek. Az a T időintervallum, amely alatt a rendszer végrehajt egyet teljes ciklus az oszcillációt az oszcilláció periódusának nevezzük.
A periódus ismeretében meghatározhatja az oszcillációk gyakoriságát, azaz az időegységenkénti rezgések számát, például másodpercenként. Ha egy rezgés következik be a T időben, akkor a másodpercenkénti oszcillációk száma
A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a rezgések gyakorisága eggyel egyenlő, ha másodpercenként egy oszcilláció történik. A frekvencia mértékegységét G. Hertz német fizikus tiszteletére hertznek (rövidítve: Hz) nevezik.
Az oszcillációk száma 2 s alatt:
Érték - ciklikus vagy körkörös rezgések frekvenciája. Ha a (3.14) egyenletben a t idő egyenlő egy periódussal, akkor T = 2. Így, ha a t időpontban \u003d 0 x \u003d x m, akkor t időpontban \u003d T x \u003d x m, azaz egy periódusnak megfelelő időtartam, a rezgések megismétlődnek.
A szabad rezgések frekvenciáját az oszcillációs rendszer 1 sajátfrekvenciájával határozzuk meg.
A szabad rezgések gyakoriságának és periódusának függősége a rendszer tulajdonságaitól. Egy rugóra kapcsolt test rezgésének természetes frekvenciája a (3.13) egyenlet szerint egyenlő:
Minél nagyobb, minél nagyobb a k rugó merevsége, és minél kisebb, annál nagyobb az m testtömeg. Ez könnyen érthető: a merev rugó nagyobb gyorsulást ad a testnek, gyorsabban változtatja a test sebességét. És minél masszívabb a test, annál lassabban változtatja a sebességet az erő hatására. Az oszcillációs periódus a következő:
Különböző merevségű rugókészlettel és különböző tömegű testekkel, tapasztalatból könnyen igazolható, hogy a (3.13) és (3.18) képletek helyesen írják le u T k-tól és m-től való függésének természetét.
Figyelemre méltó, hogy a test rugón való rezgési periódusa és az inga kis elhajlási szögű lengési periódusa nem függ a lengési amplitúdótól.
Az inga lengéseit leíró (3.10) egyenletben a t gyorsulás és az x elmozdulás közötti arányossági együttható modulja a (3.11) egyenlethez hasonlóan a ciklikus frekvencia négyzete. Következésképpen a matematikai inga lengéseinek természetes frekvenciája a szál függőlegestől való kis eltérési szögeinél az inga hosszától és a szabadesési gyorsulástól függ:
Ezt a képletet először G. Huygens holland tudós szerezte meg és tesztelte, I. Newton kortársa. Csak a menet kis elhajlási szögeire érvényes.
1 A következőkben a rövidség kedvéért gyakran a ciklikus frekvenciát egyszerűen frekvenciának nevezzük. A ciklikus frekvenciát jelöléssel lehet megkülönböztetni a szokásos frekvenciától.
A lengés periódusa az inga hosszával növekszik. Nem függ az inga tömegétől. Ez könnyen ellenőrizhető különféle ingákkal végzett kísérletekkel. Megtalálható az oszcillációs periódus függése a szabadesési gyorsulástól is. Minél kisebb g, annál hosszabb az inga lengési periódusa, következésképpen annál lassabban jár az inga óra. Így egy rúdon lévő súly formájában ingával ellátott óra majdnem 3 másodperccel lemarad egy nap alatt, ha felemelik a pincéből a Moszkvai Egyetem felső szintjére (magasság 200 m). És ez csak a szabadesés gyorsulásának a magassággal való csökkenésének köszönhető.
Az inga lengési periódusának g értékétől való függését a gyakorlatban alkalmazzák. Az oszcilláció periódusának mérésével g nagyon pontosan meghatározható. A szabadesés gyorsulása től változik földrajzi szélesség. De még egy adott szélességi körön sem mindenhol egyforma. Hiszen a földkéreg sűrűsége nem mindenhol egyforma. Azokon a területeken, ahol sűrű kőzetek fordulnak elő, a g gyorsulás valamivel nagyobb. Ezt figyelembe veszik az ásványok felkutatása során.
Így a vasérc sűrűsége megnövekedett a hagyományos kőzetekhez képest. A Kurszk melletti gravitációs gyorsulás mérései, amelyeket A. A. Mikhailov akadémikus irányításával végeztek, lehetővé tették a gravitáció helyének tisztázását. vasérc. Először mágneses mérésekkel fedezték fel őket.
A mechanikai rezgések tulajdonságait a legtöbb elektronikus mérleg eszközei alkalmazzák. A lemérendő testet egy platformra helyezik, amely alá merev rugót szerelnek fel. Ennek eredményeként mechanikai rezgések lépnek fel, amelyek frekvenciáját egy megfelelő érzékelő méri. Az ehhez az érzékelőhöz csatlakoztatott mikroprocesszor az oszcillációs frekvenciát lefordítja a lemért test tömegére, mivel ez a frekvencia a tömegtől függ.
A kapott (3.18) és (3.20) képletek az oszcillációs periódusra azt jelzik, hogy a harmonikus rezgések periódusa a rendszer paramétereitől (rugó merevség, menethossz stb.) függ.
Myakishev G. Ya., fizika. 11. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények: alap és profil. szintek / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; szerk. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17. kiadás, átdolgozva. és további - M.: Oktatás, 2008. - 399 p.: ill.
A témák teljes listája osztályonként, naptári terv alapján iskolai tananyag fizikából online, fizikából videóanyag a 11. évfolyamhoz letöltés
Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári tervet az évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckékoszcilláló mozgás- egy test periodikus vagy csaknem periodikus mozgása, amelynek koordinátája, sebessége és gyorsulása szabályos időközönként megközelítőleg azonos értéket vesz fel.
Mechanikai oszcillációk akkor fordulnak elő, amikor egy test egyensúlyi helyzetéből kilépve olyan erő jelenik meg, amely a testet visszahozza.
Eltolás x - a test eltérése az egyensúlyi helyzettől.
A amplitúdó - a test maximális elmozdulásának modulja.
T rezgési periódus - egy rezgés ideje:
Oszcillációs frekvencia
A test által egységnyi idő alatt végrehajtott rezgések száma: A rezgések során a sebesség és a gyorsulás időszakosan változik. Egyensúlyi helyzetben a sebesség maximális, a gyorsulás nulla. A maximális elmozdulás pontjain a gyorsulás eléri a maximumot, és a sebesség eltűnik.
HARMÓNIKUS REZGÉSEK GRAFIKA
Harmonikus A szinusz vagy koszinusz törvénye szerint fellépő rezgéseket nevezzük:
ahol x(t) a rendszer elmozdulása t időpontban, A az amplitúdó, ω a ciklikus oszcillációs frekvencia.
Ha a test eltérését az egyensúlyi helyzettől a függőleges tengely mentén, az időt pedig a vízszintes tengely mentén ábrázoljuk, akkor az x = x(t) rezgés grafikonját kapjuk - a test elmozdulásának az időtől való függését. Szabad harmonikus rezgésekkel szinuszos vagy koszinuszos hullám. Az ábrán az x elmozdulás, a V x sebesség vetületek és az a x gyorsulás idő függvényében grafikonjai láthatók.
A grafikonokon látható, hogy a maximális x elmozdulásnál a rezgő test V sebessége nulla, az a gyorsulás, és ebből adódóan a testre ható erő maximális és az elmozdulással ellentétes irányban irányul. Egyensúlyi helyzetben az elmozdulás és a gyorsulás eltűnik, a sebesség maximális. A gyorsulási vetület mindig az elmozdulással ellentétes előjelű.
A REZGÉS MOZGÁS ENERGIÁJA
Az oszcilláló test teljes mechanikai energiája egyenlő kinetikai és potenciális energiáinak összegével, és súrlódás hiányában állandó marad:
Abban a pillanatban, amikor az elmozdulás eléri a maximumát x = A, a sebesség és vele együtt a mozgási energia is eltűnik.
Ebben az esetben a teljes energia egyenlő a potenciális energiával:
Az oszcilláló test teljes mechanikai energiája arányos rezgései amplitúdójának négyzetével.
Amikor a rendszer átlépi az egyensúlyi helyzetet, az elmozdulás és a potenciális energia nulla: x \u003d 0, E p \u003d 0. Ezért a teljes energia egyenlő a kinetikával:
Egy rezgő test teljes mechanikai energiája egyensúlyi helyzetben arányos sebességének négyzetével. Következésképpen:
MATEMATIKAI INGA
1. Matematikai inga egy súlytalan, nyújthatatlan menetre felfüggesztett anyagi pont.
Egyensúlyi helyzetben a gravitációs erőt a menet feszültsége kompenzálja. Ha az ingát eltérítjük és elengedjük, akkor a és erők megszűnnek kompenzálni egymást, és eredő erő lesz az egyensúlyi helyzetbe irányítva. Newton második törvénye:
Kis ingadozások esetén, amikor az x elmozdulás sokkal kisebb, mint l, az anyagpont majdnem a vízszintes x tengely mentén mozog. Ekkor a MAB háromszögből kapjuk:
Mert sin a \u003d x / l, akkor az eredő R erő vetülete az x tengelyre egyenlő
A mínusz jel azt jelzi, hogy az R erő mindig az x elmozdulás ellen irányul.
2. Tehát a matematikai inga lengései során, valamint a rugós inga lengései során a helyreállító erő arányos az elmozdulással és az ellenkező irányba irányul.
Hasonlítsuk össze a matematikai és a rugóinga visszaállító erejének kifejezéseit:
Látható, hogy mg/l a k analógja. K helyettesítése mg/l-rel a rugós inga időtartamára vonatkozó képletben
megkapjuk a matematikai inga periódusának képletét:
A matematikai inga kis rezgésének periódusa nem függ az amplitúdótól.
Matematikai ingát használnak az idő mérésére, a szabadesés gyorsulásának meghatározására egy adott helyen a földfelszínen.
A matematikai inga kis eltérítési szögű szabad rezgései harmonikusak. Ezek az eredő gravitációs erő és a menet feszültsége, valamint a terhelés tehetetlensége miatt fordulnak elő. Ezen erők eredője a helyreállító erő.
Példa. Határozzuk meg a szabadesés gyorsulását egy olyan bolygón, ahol egy 6,25 m hosszú inga szabad rezgési periódusa 3,14 s.
A matematikai inga lengési periódusa a menet hosszától és a szabadesés gyorsulásától függ:
Az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével a következőt kapjuk:
Válasz: a szabadesés gyorsulása 25 m/s 2.
Leckék: 3 Feladatok: 9 Feladat: 1
Harmonikus rezgések - a szinusz és a koszinusz törvényei szerint végrehajtott rezgések. A következő ábra egy pont koordinátájának időbeli változását mutatja be a koszinusz törvénye szerint.
kép
A harmonikus rezgés amplitúdóját ún legmagasabb érték a test elmozdulása az egyensúlyi helyzetből. Az amplitúdó különböző értékeket vehet fel. Ez attól függ, hogy a kezdeti pillanatban mennyire mozdítjuk ki a testet az egyensúlyi helyzetből.
Az amplitúdót a kezdeti feltételek határozzák meg, vagyis a kezdeti pillanatban a testnek adott energia. Mivel a szinusz és a koszinusz -1 és 1 közötti értékeket vehet fel, ezért az egyenletnek tartalmaznia kell az Xm tényezőt, amely a rezgések amplitúdóját fejezi ki. A harmonikus rezgések mozgásegyenlete:
x = Xm*cos(ω0*t).
Az oszcilláció periódusa az az idő, amely egy teljes rezgéshez szükséges. Az oszcilláció periódusát T betű jelöli. A periódus mértékegységei az időegységeknek felelnek meg. Azaz SI-ben másodperc.
Oszcillációs frekvencia - a rezgések száma egységnyi idő alatt. Az oszcillációs frekvenciát ν betűvel jelöljük. A rezgési frekvencia az oszcilláció periódusával fejezhető ki.
v = 1/T.
Frekvencia mértékegységei SI-ben 1/sec. Ezt a mértékegységet Hertznek hívják. Az oszcillációk száma 2 * pi másodperc alatt egyenlő lesz:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
Ezt az értéket ciklikus oszcillációs frekvenciának nevezzük. Egyes irodalomban megtalálható a körkörös frekvencia elnevezés. Az oszcillációs rendszer természetes frekvenciája a szabad rezgések frekvenciája.
A természetes rezgések gyakoriságát a következő képlettel számítjuk ki:
A természetes lengések gyakorisága az anyag tulajdonságaitól és a terhelés tömegétől függ. Minél nagyobb a rugó merevsége, annál nagyobb a természetes rezgések gyakorisága. Minél nagyobb a terhelés tömege, annál kisebb a természetes rezgések gyakorisága.
Ez a két következtetés nyilvánvaló. Minél merevebb a rugó, annál nagyobb gyorsulást kölcsönöz a testnek, ha a rendszer kiegyensúlyozatlan. Minél nagyobb a test tömege, annál lassabb lesz ennek a testnek a sebessége.
A szabad rezgések időszaka:
T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(m/k)
Figyelemre méltó, hogy kis elhajlási szögeknél a test rugón való rezgési periódusa és az inga lengési periódusa nem függ a rezgések amplitúdójától.
Írjuk fel a matematikai inga szabad rezgésének periódusának és gyakoriságának képleteit!
akkor az időszak lesz
T = 2*pi*√(l/g).
Ez a képlet csak kis elhajlási szögekre érvényes. A képletből azt látjuk, hogy a lengés periódusa az ingaszál hosszával nő. Minél hosszabb a hossza, annál lassabban fog rezegni a test.
A lengés időtartama nem függ a terhelés tömegétől. De ez a szabadesés gyorsulásától függ. A g csökkenésével az oszcillációs periódus nő. Ez az ingatlan széles körben használják a gyakorlatban. Például mérni pontos érték szabad gyorsulás.
Mechanikus harmonikus rezgés- ez egy egyenes vonalú nem egyenletes mozgás, amelyben egy rezgő test (anyagpont) koordinátái időtől függően a koszinusz vagy szinusz törvény szerint változnak.
E definíció szerint a koordináták időtől függő változásának törvénye a következőképpen alakul:
ahol wt a koszinusz vagy szinusz jel alatti érték; w- együttható, fizikai jelentése amelyeket alább felfedünk; A a mechanikai harmonikus rezgések amplitúdója.
A (4.1) egyenletek a mechanikai harmonikus rezgések fő kinematikai egyenletei.
Tekintsük a következő példát. Vegyük az Ox tengelyt (64. ábra). A 0 pontból rajzolunk egy R = A sugarú kört. Az 1. pozícióból induló M pont kezdjen el állandó sebességgel mozogni a körben v(vagy állandó szögsebességgel w, v = wA). Egy t idő elteltével a sugár egy szögben elfordul f: f=wt.
Ilyen mozgással az M pont kerülete mentén, az M x x tengelyre való vetülete az x tengely mentén mozog, amelynek x koordinátája egyenlő lesz x \u003d A cos f = = A kötözősaláta wt. Így ha egy anyagi pont egy A sugarú kör mentén mozog, amelynek középpontja egybeesik az origóval, akkor ennek a pontnak az x tengelyre (és az y tengelyre) történő vetülete harmonikus mechanikai rezgéseket fog végrehajtani.
Ha ismert a koszinusz előjel alatti wt érték és az A amplitúdó, akkor x is meghatározható a (4.1) egyenletben.
A koszinusz (vagy szinusz) előjel alatt lévő wt értéket, amely egyedileg határozza meg az oszcillációs pont koordinátáját egy adott amplitúdó mellett, ún. oszcillációs fázis. Egy kör mentén mozgó M pontnál a w érték a szögsebességét jelenti. Mi a fizikai jelentése a w értéknek a mechanikai harmonikus rezgéseket végző M x pontban? Az M x rezgőpont koordinátái egy adott időpontban t és (T +1) megegyeznek (a T periódus definíciójából), azaz A cos wt= A cos w (t + T), ami azt jelenti w(t + T) - wt = 2 PI(a koszinuszfüggvény periodicitási tulajdonságából). Ebből következik tehát
Ezért egy harmonikus mechanikai rezgéseket végrehajtó anyagi pontnál w értéke egy bizonyos oszcillációk számaként értelmezhető. ciklus idő egyenlő 2l. Ezért az érték w hívott ciklikus(vagy körkörös) frekvencia.
Ha az M pont nem az 1-es, hanem a 2-es pontból kezdi el mozgását, akkor a (4.1) egyenlet a következőképpen alakul:
az érték f 0 hívott kezdeti fázis.
Megtaláljuk az M x pont sebességét a koordináta időbeli deriváltjaként:
A harmonikus törvény szerint oszcilláló pont gyorsulását a sebesség deriváltjaként definiáljuk:
A (4.4) képletből látható, hogy a harmonikus rezgéseket végző pont sebessége is a koszinusztörvény szerint változik. De a fázissebesség a koordináta előtt van PI/2. A harmonikus rezgés közbeni gyorsulás a koszinusztörvény szerint változik, de fázisban megelőzi a koordinátát P. A (4.5) egyenlet felírható az x koordinátával:
A harmonikus rezgések során fellépő gyorsulás az ellenkező előjelű elmozdulással arányos. A (4.5) egyenlet jobb és bal részét megszorozzuk az oszcilláló anyag m pont tömegével, a következő összefüggéseket kapjuk:
Newton második törvénye szerint a kifejezés jobb oldalának fizikai jelentése (4.6) az F x erő vetülete, amely harmonikust biztosít. mechanikus mozgás:
F x értéke arányos az x elmozdulással, és azzal ellentétes irányban irányul. Ilyen erő például a rugalmas erő, amelynek nagysága arányos az alakváltozással, és azzal ellentétes irányban irányul (Hooke-törvény).
A gyorsulás elmozdulástól való függésének szabályossága, amely a (4.6) egyenletből következik, általunk a mechanikai harmonikus rezgésekre, általánosítható és alkalmazható egy másik rezgéseinek figyelembevételére. fizikai természet(például áramváltozás egy oszcillációs áramkörben, változás a töltésben, a feszültségben, az indukcióban mágneses mező stb.). Ezért a (4.8) egyenletet főegyenletnek nevezzük harmonikus rezgések dinamikája.
Tekintsük a rugó és a matematikai ingák mozgását.
Egy vízszintesen elhelyezkedő és a 0 pontban rögzített rugónak (63. ábra) legyen az egyik végére egy m tömegű test, amely súrlódás nélkül mozoghat az x tengely mentén. Legyen a rugóállandó egyenlő k-val. Hozzuk ki az m testet az egyensúlyi helyzetből egy külső erő hatására, és engedjük el. Ekkor az x tengely mentén csak a rugalmas erő hat a testre, ami Hooke törvénye szerint egyenlő lesz: F ypr = -kx.
Ennek a testnek a mozgásegyenlete így fog kinézni:
A (4.6) és (4.9) egyenleteket összehasonlítva két következtetést vonunk le:
A (4.2) és (4.10) képletekből levezetjük a rugó terhelésének rezgési periódusának képletét:
A matematikai inga egy elhanyagolható tömegű hosszú, nyújthatatlan szálon felfüggesztett m tömegű test. Egyensúlyi helyzetben a gravitációs erő és a menet rugalmas ereje hat erre a testre. Ezek az erők kiegyensúlyozzák egymást.
Ha a menet szögben elhajlik a az egyensúlyi helyzetből, ekkor ugyanazok az erők hatnak a testre, de már nem egyensúlyozzák egymást, és a test az ív érintője mentén irányított és mg sin egyenlő gravitációs komponens hatására az ív mentén mozogni kezd. a.
Az inga mozgásegyenlete a következőképpen alakul:
A jobb oldali mínusz jel azt jelenti, hogy az F x = mg sin a erő az elmozdulás ellen irányul. A harmonikus oszcilláció kis eltérési szögeknél fog fellépni, azaz a feltételek mellett egy 2* bűn a.
Cserélje ki a bűnt és be A (4.12) egyenlet alapján a következő egyenletet kapjuk.
