Tekintsünk egy másodrendű lineáris homogén egyenletet, azaz. az egyenlet
és megállapítsa megoldásainak néhány tulajdonságát.
1. tulajdonság
Ha egy lineáris homogén egyenlet megoldása, akkor C, ahol C- tetszőleges állandó, ugyanannak az egyenletnek a megoldása.
Bizonyíték.
Behelyettesítés a figyelembe vett egyenlet bal oldalába C, kapunk: ,
hanem azért, mert megoldása az eredeti egyenletre.
Következésképpen,
és ennek a tulajdonságnak az érvényessége bebizonyosodik.
2. tulajdonság
Egy lineáris homogén egyenlet két megoldásának összege ugyanannak az egyenletnek a megoldása.
Bizonyíték.
Legyen tehát és megoldásai a figyelembe vett egyenletnek
és .
A most + helyett a vizsgált egyenletben a következőket kapjuk:
, azaz + az eredeti egyenlet megoldása.
A bizonyított tulajdonságokból következik, hogy két konkrét megoldás és egy lineáris homogén egyenlet ismeretében másodrendű, találhatunk megoldást , két tetszőleges állandótól függően, azaz. annyi állandóból, amennyit a másodrendű egyenlet általános megoldásának tartalmaznia kell. De vajon általános lesz-e ez a megoldás, pl. Lehetséges-e tetszőleges állandók megválasztásával tetszőlegesen megadott kezdeti feltételek teljesítése?
A kérdés megválaszolásakor a függvények lineáris függetlenségének fogalmát fogjuk használni, amely a következőképpen definiálható.
A két függvényt és hívják lineárisan független valamilyen intervallumon, ha arányuk ezen az intervallumon nem állandó, pl. ha
.
Ellenkező esetben a függvények meghívásra kerülnek lineárisan függő.
Más szóval, két függvényt és lineárisan függőnek nevezünk valamilyen intervallumtól, ha a teljes intervallumon.
Példák
1. Funkciók y 1
=e x és y 2
=e -x lineárisan függetlenek x minden értékére, mert 
.
2. Funkciók y 1
=e x és y 2
= 5e x lineárisan függőek, hiszen 
.
1. tétel.
Ha a és függvények lineárisan függenek valamilyen intervallumtól, akkor a determináns, ún Vronszkij meghatározója ezen függvények közül ezen az intervallumon azonosan nullával egyenlő.
Bizonyíték.
Ha egy
,
hol , akkor és .
Következésképpen,
.
A tétel bizonyítást nyert.
Megjegyzés.
A vizsgált tételben megjelenő Vronszkij-determinánst általában betűvel jelöljük W vagy szimbólumok.
Ha a és függvények egy másodrendű lineáris homogén egyenlet megoldásai, akkor az alábbi inverz, sőt erősebb tétel érvényes rájuk.
2. tétel.
Ha a megoldásokra és egy másodrendű lineáris homogén egyenletre összeállított Wronsky-determináns legalább egy ponton eltűnik, akkor ezek a megoldások lineárisan függenek.
Bizonyíték.
Tűnjön el a Wronsky-determináns a pontban, azaz. =0,
és hagyjuk és .
Tekintsünk egy lineáris homogén rendszert 
tekintettel az ismeretlenekre és .
Ennek a rendszernek a determinánsa egybeesik a Vronszkij-determináns at értékével
x=, azaz egybeesik -vel, és ezért egyenlő nullával. Ezért a rendszernek van egy nem nulla megoldása és ( és nem egyenlők nullával). Használja ezeket az értékeket és vegye figyelembe a függvényt. Ez a függvény ugyanannak az egyenletnek a megoldása, mint az és függvények. Ezenkívül ez a függvény nulla kezdeti feltételt teljesít: , mert és .
Másrészt nyilvánvaló, hogy a nulla kezdeti feltételt kielégítő egyenlet megoldása a függvény y=0.
A megoldás egyedisége miatt a következőket kínáljuk: 
. Honnan következik az 
,
azok. függvények és lineárisan függenek. A tétel bizonyítást nyert.
Következmények.
1. Ha a tételekben megjelenő Wronsky-determináns valamilyen érték esetén nullával egyenlő x=, akkor bármely érték esetén egyenlő nullával xa figyelembe vett intervallumból.
2. Ha a és megoldások lineárisan függetlenek, akkor a Wronsky-determináns a vizsgált intervallum egyetlen pontján sem tűnik el.
3. Ha a Wronsky-determináns legalább egy pontban különbözik nullától, akkor a és a megoldások lineárisan függetlenek.
3. tétel.
Ha a és két lineárisan független megoldása egy másodrendű homogén egyenletnek, akkor a függvény, ahol és tetszőleges állandók, általános megoldása ennek az egyenletnek.
Bizonyíték.
Mint ismeretes, a függvény a figyelembe vett egyenlet megoldása a és bármely értékére. Most bizonyítsuk be, hogy bármilyenek is legyenek a kezdeti feltételek
és ,
tetszőleges állandók értékeit választhatjuk meg, és úgy, hogy a megfelelő konkrét megoldás megfeleljen az adott kezdeti feltételeknek.
A kezdeti feltételeket egyenlőségekbe behelyettesítve megkapjuk az egyenletrendszert 
.
Ebből a rendszerből meg lehet határozni és , mert meghatározója ennek a rendszernek 
a Wronsky-determináns x=és ezért nem egyenlő nullával (a és a megoldások lineáris függetlensége miatt).
;
.
Speciális megoldás a kapott értékekre, és megfelel az adott kezdeti feltételeknek. Így a tétel bizonyítva van.
Példák
1. példa
Az egyenlet általános megoldása a megoldás.
Igazán,
.
Következésképpen, sinx függvényekés cosx lineárisan függetlenek. Ezt az alábbi függvények kapcsolatának figyelembevételével ellenőrizhetjük:
2. példa
Megoldás y = C 1
e x + C 2
e -x az egyenlet általános, mert 
.
3. példa
Az egyenlet 
, melynek együtthatói és
folytonosak bármely intervallumon, amely nem tartalmazza az x = 0 pontot, bizonyos megoldásokat enged meg 
(helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető). Ezért általános megoldása a következő: 
.
Megjegyzés
Megállapítottuk, hogy egy másodrendű lineáris homogén egyenlet általános megoldása megkapható az egyenlet bármely két lineárisan független partikuláris megoldásának ismeretében. Nincsenek azonban általános módszerek arra, hogy a változó együtthatós egyenletek ilyen parciális megoldásait végső formában megtaláljuk. -val egyenletekhez állandó együtthatók létezik ilyen módszer, és a későbbiekben megfontoljuk.
Vagy a származékra vonatkozóan már megoldottak, vagy a származékra vonatkozóan megoldhatók 
.
Közös döntés típusú differenciálegyenletek az intervallumon x, amely adott, ennek az egyenlőségnek mindkét oldalának integrálját vesszük.
Kap 
.
Ha megnézzük a határozatlan integrál tulajdonságait, akkor megtaláljuk a kívánt általános megoldást:
y = F(x) + C,
ahol F(x)- az egyik antiderivatív funkciók f(x) közte x, a TÓL TŐL egy tetszőleges állandó.
Felhívjuk figyelmét, hogy a legtöbb feladatnál az intervallum x ne jelezze. Ez azt jelenti, hogy mindenki számára megoldást kell találni. x, amelyhez és a kívánt funkcióhoz y, és az eredeti egyenletnek van értelme.
Ha egy differenciálegyenlet egy adott megoldását kell kiszámítania, amely kielégíti a kezdeti feltételt y(x0) = y0, majd az általános integrál kiszámítása után y = F(x) + C, még mindig meg kell határozni az állandó értékét C=C0 a kezdeti feltétel felhasználásával. Vagyis egy állandó C=C0 egyenletből határozzuk meg F(x 0) + C = y 0, és a differenciálegyenlet kívánt konkrét megoldása a következő formában lesz:
y = F(x) + C0.
Vegyünk egy példát:
Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását, ellenőrizze az eredmény helyességét. Keressünk ennek az egyenletnek egy olyan megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt.
Megoldás:
Miután integráltuk a megadott differenciálegyenletet, a következőt kapjuk:
.
Ezt az integrált a részenkénti integráció módszerével vesszük:
Hogy., 
a differenciálegyenlet általános megoldása.
Ellenőrizzük, hogy az eredmény helyes-e. Ehhez a kapott megoldást behelyettesítjük az adott egyenletbe:
.
Azaz at 
az eredeti egyenlet azonossággá változik:
ezért a differenciálegyenlet általános megoldását helyesen határoztuk meg.
A megoldás, amit találtunk, a differenciálegyenlet általános megoldása az argumentum minden valós értékére x.
Ki kell számítani az ODE egy adott megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt. Más szóval, ki kell számítani az állandó értékét TÓL TŐL, amelynél az egyenlőség igaz lesz:
.
.
Aztán csere C = 2 az ODE általános megoldásába a differenciálegyenletnek egy olyan sajátos megoldását kapjuk, amely kielégíti a kezdeti feltételt:
.
Közönséges differenciálegyenlet 
megoldható a derivált tekintetében az egyenlet 2 részének elosztásával f(x). Ez az átalakítás egyenértékű lesz, ha f(x) egyiknél sem megy nullára x a differenciálegyenlet integrálási intervallumából x.
Valószínűek azok a helyzetek, amikor az érv bizonyos értékei esetében x ∈ x funkciókat f(x)és g(x) ugyanakkor nullára fordítani. Hasonló értékekre x a differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges függvény y, ami bennük meghatározott, mert .
Ha az érvelés egyes értékeire x ∈ x a feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy ebben az esetben az ODE-nek nincs megoldása.
Az összes többiért x intervallumból x a differenciálegyenlet általános megoldását a transzformált egyenletből határozzuk meg.
Nézzünk példákat:
1. példa
Keressük az ODE általános megoldását: 
.
Megoldás.
Az alapvető elemi függvények tulajdonságaiból egyértelmű, hogy a természetes logaritmus függvény az argumentum nem negatív értékeire van definiálva, ezért a kifejezés tartománya log(x+3) van egy intervallum x > -3 . Ezért az adott differenciálegyenletnek van értelme x > -3 . Az argumentum, a kifejezés ezen értékeivel x + 3 nem tűnik el, így az ODE-t a deriváltra vonatkozóan megoldhatjuk úgy, hogy a 2 részt elosztjuk vele x + 3.
Kapunk 
.
Ezután integráljuk az eredményül kapott differenciálegyenletet, amelyet a derivált alapján oldunk meg: 
. Ennek az integrálnak a felvételéhez a differenciál jele alatti összegezés módszerét használjuk.
I. Közönséges differenciálegyenletek
1.1. Alapfogalmak és definíciók
A differenciálegyenlet egy független változóra vonatkozó egyenlet x, a kívánt funkciót yés származékai vagy differenciáljai.
Szimbolikusan a differenciálegyenlet a következőképpen van felírva:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Egy differenciálegyenletet közönségesnek nevezünk, ha a kívánt függvény egy független változótól függ.
A differenciálegyenlet megoldásával olyan függvénynek nevezzük, amely ezt az egyenletet azonossággá alakítja.
A differenciálegyenlet sorrendje a legmagasabb derivált sorrendje ebben az egyenletben
Példák.
1. Tekintsük az elsőrendű differenciálegyenletet
Ennek az egyenletnek a megoldása az y = 5 ln x függvény. Sőt, helyettesítéssel y" az egyenletbe, kapunk - egy azonosságot.
Ez pedig azt jelenti, hogy az y = 5 ln x– függvény ennek a differenciálegyenletnek a megoldása.
2. Tekintsük a másodrendű differenciálegyenletet y" - 5y" + 6y = 0. A függvény ennek az egyenletnek a megoldása.
Igazán, .
Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az egyenletbe a következőt kapjuk: , - azonosság.
Ez pedig azt jelenti, hogy a függvény ennek a differenciálegyenletnek a megoldása.
Differenciálegyenletek integrálása a differenciálegyenletek megoldásának folyamata.
A differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvényének nevezzük 
, amely annyi független tetszőleges állandót tartalmaz, amennyi az egyenlet sorrendje.
A differenciálegyenlet részleges megoldása tetszőleges állandók különböző számértékeinek általános megoldásából kapott megoldásnak nevezzük. A tetszőleges állandók értékei az argumentum és a függvény bizonyos kezdeti értékeinél találhatók.
Egy differenciálegyenlet adott megoldásának grafikonját ún integrálgörbe.
Példák
1. Keressen egy adott megoldást egy elsőrendű differenciálegyenletre!
xdx + ydy = 0, ha y= 4 at x = 3.
Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát integrálva azt kapjuk
Megjegyzés. Az integráció eredményeként kapott tetszőleges C konstans bármilyen további transzformációhoz alkalmas formában ábrázolható. Ebben az esetben, figyelembe véve a kör kanonikus egyenletét, célszerű egy tetszőleges С állandót a formában ábrázolni.
a differenciálegyenlet általános megoldása.
Egy egyenlet sajátos megoldása, amely kielégíti a kezdeti feltételeket y = 4 at x = 3-at kapunk az általánosból, ha a kezdeti feltételeket behelyettesítjük az általános megoldásba: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
C=5-öt behelyettesítve az általános megoldásba, azt kapjuk x2+y2 = 5 2 .
Ez az általános megoldásból adott kezdeti feltételek mellett kapott differenciálegyenlet egy speciális megoldása.
2. Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
Ennek az egyenletnek a megoldása bármely formájú függvény, ahol C tetszőleges állandó. Valójában az egyenletekbe behelyettesítve a következőket kapjuk: , .
Ezért ennek a differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van, mivel a C állandó különböző értékeire az egyenlőség határozza meg különféle megoldások egyenletek.
Például közvetlen helyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a funkciók működnek 
egyenlet megoldásai.
Probléma, amelyben meg kell találni egy adott megoldást az egyenletre y" = f(x, y) kielégíti a kezdeti feltételt y(x0) = y0, az úgynevezett Cauchy-probléma.
Egyenlet megoldás y" = f(x, y), kielégíti a kezdeti feltételt, y(x0) = y0, a Cauchy-probléma megoldásának nevezik.
A Cauchy-probléma megoldásának egyszerű geometriai jelentése van. Valóban, e meghatározások szerint a Cauchy-probléma megoldására y" = f(x, y) azzal a feltétellel y(x0) = y0, az egyenlet integrálgörbéjének megtalálását jelenti y" = f(x, y) amely áthalad egy adott ponton M0 (x0,y 0).
II. Differenciál egyenletek első rendelés
2.1. Alapfogalmak
Az elsőrendű differenciálegyenlet a forma egyenlete F(x,y,y") = 0.
Az elsőrendű differenciálegyenlet tartalmazza az első deriváltot, és nem tartalmazza a magasabb rendű deriváltokat.
Az egyenlet y" = f(x, y) a deriváltra vonatkozóan megoldott elsőrendű egyenletnek nevezzük.
Egy elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása a forma függvénye, amely egy tetszőleges állandót tartalmaz.
Példa. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet.
Ennek az egyenletnek a megoldása a függvény.
Valóban, ha ezt az egyenletet az értékével helyettesítjük, azt kapjuk
vagyis 3x=3x
Ezért a függvény az egyenlet általános megoldása bármely C állandóra.
Keresse meg ennek az egyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt y(1)=1 A kezdeti feltételek helyettesítése x=1, y=1 az egyenlet általános megoldásába, honnan kapjuk C=0.
Így az általános megoldásból konkrét megoldást kapunk, ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük a kapott értéket C=0 ez magándöntés.
2.2. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal
Az elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet: y"=f(x)g(y) vagy differenciálokon keresztül, hol f(x)és g(y) funkciókat kapnak.
Azoknak y, amelyre , az egyenlet y"=f(x)g(y) egyenlő az egyenlettel 
amelyben a változó y csak a bal oldalon van jelen, az x változó pedig csak a jobb oldalon. Azt mondják: „az egyenletben y"=f(x)g(y elválasztva a változókat.
Típusegyenlet elválasztott változó egyenletnek nevezzük.
Az egyenlet mindkét részének integrálása után tovább x, kapunk G(y) = F(x) + C az egyenlet általános megoldása, ahol G(y)és F(x) néhány antiderivatíva, illetve a funkciók és f(x), C tetszőleges állandó.
Algoritmus elválasztható változókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenlet megoldására
1. példa
oldja meg az egyenletet y" = xy
Megoldás. Függvény származéka y" Cseréld ki
elválasztjuk a változókat
Integráljuk az egyenlőség mindkét részét:
2. példa
2yy" = 1-3x2, ha y 0 = 3 nál nél x0 = 1
Ez egy elválasztott változó egyenlet. Ábrázoljuk differenciálokban. Ehhez átírjuk ezt az egyenletet a formába 
Innen 
Az utolsó egyenlőség mindkét részét integrálva azt találjuk
Kezdő értékek helyettesítése x 0 = 1, y 0 = 3 megtalálja TÓL TŐL 9=1-1+C, azaz C = 9.
Ezért a kívánt parciális integrál lesz 
vagy 
3. példa
Írj egyenletet egy ponton átmenő görbére! M(2;-3)és lejtős érintővel rendelkezik
Megoldás. Az állapot szerint
Ez egy elválasztható változó egyenlet. A változókat elosztva a következőt kapjuk: 
Az egyenlet mindkét részét integrálva kapjuk: 
A kezdeti feltételeket felhasználva, x=2és y=-3 megtalálja C:
Ezért a kívánt egyenletnek megvan a formája 
2.3. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek
Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet a forma egyenlete y" = f(x)y + g(x)
ahol f(x)és g(x)- néhány megadott függvény.
Ha egy g(x)=0 akkor a lineáris differenciálegyenletet homogénnek nevezzük, és a következő alakja van: y" = f(x)y
Ha akkor az egyenlet y" = f(x)y + g(x) heterogénnek nevezzük.
Lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y képlettel megadva: hol TÓL TŐL egy tetszőleges állandó.
Különösen, ha C \u003d 0, akkor a megoldás az y=0 Ha a lineáris homogén egyenlet alakja y" = ky ahol k valamilyen konstans, akkor általános megoldása a következő alakú: .
Lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y + g(x) képlet adja meg 
,
azok. egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenlet általános megoldásának és ezen egyenlet konkrét megoldásának összegével.
A forma lineáris inhomogén egyenletére y" = kx + b,
ahol kés b- néhány szám és egy adott megoldás állandó függvény lesz. Ezért az általános megoldás alakja .
Példa. oldja meg az egyenletet y" + 2y +3 = 0
Megoldás. Az egyenletet a formában ábrázoljuk y" = -2y - 3 ahol k=-2, b=-3 Az általános megoldást a képlet adja meg.
Ezért ahol C tetszőleges állandó.
2.4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Bernoulli módszerrel
Általános megoldás megtalálása egy elsőrendű lineáris differenciálegyenletre y" = f(x)y + g(x) két differenciálegyenlet megoldására redukálódik elválasztott változókkal a helyettesítés segítségével y=uv, ahol ués v- ismeretlen függvények x. Ezt a megoldási módszert Bernoulli-módszernek nevezik.
Algoritmus elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására
y" = f(x)y + g(x)
1. Adjon meg egy helyettesítést y=uv.
2. Differenciáld ezt az egyenlőséget! y"=u"v + uv"
3. Helyettesítő yés y" ebbe az egyenletbe: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) vagy u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Csoportosítsa az egyenlet tagjait úgy, hogy u vedd ki a zárójelből:
5. A zárójelből, nullával egyenlővé téve keresse meg a függvényt
Ez egy elválasztható egyenlet: 
Osszuk el a változókat, és kapjuk: 
Ahol 
.
.
6. Cserélje be a kapott értéket v az egyenletbe (a 4. tételből):
és keresse meg a függvényt Ez egy elválasztható egyenlet:
7. Írja le az általános megoldást a következő formában: 
, azaz .
1. példa
Keressen egy adott megoldást az egyenletre y" = -2y +3 = 0 ha y=1 nál nél x=0
Megoldás. Oldjuk meg helyettesítéssel y=uv,.y"=u"v + uv"
Helyettesítés yés y" ebbe az egyenletbe kapjuk
Az egyenlet bal oldalán a második és harmadik tagot csoportosítva kivesszük a közös tényezőt u zárójelből
A zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlővé tesszük, és az eredményül kapott egyenlet megoldása után megtaláljuk a függvényt v = v(x)
Kaptunk egy egyenletet elválasztott változókkal. Ennek az egyenletnek mindkét részét integráljuk: Keresse meg a függvényt v:
Cserélje be a kapott értéket v az egyenletbe kapjuk:
Ez egy elválasztott változó egyenlet. Az egyenlet mindkét részét integráljuk: 
Keressük meg a függvényt u = u(x,c) 
Keressünk egy általános megoldást: 
Keressük az egyenletnek egy adott megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételeket y=1 nál nél x=0:
III. Magasabb rendű differenciálegyenletek
3.1. Alapfogalmak és definíciók
A másodrendű differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely másodrendűnél nem magasabb származékokat tartalmaz. NÁL NÉL általános eset a másodrendű differenciálegyenletet a következőképpen írjuk fel: F(x,y,y,y") = 0
Egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvénye, amely két tetszőleges állandót tartalmaz C1és C2.
A másodrendű differenciálegyenlet sajátos megoldása az általánosból kapott megoldás tetszőleges állandók bizonyos értékeire C1és C2.
3.2. Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek -val állandó arányok.
Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatókkal formaegyenletnek nevezzük y" + py" + qy = 0, ahol pés qállandó értékek.
Algoritmus konstans együtthatós másodrendű homogén differenciálegyenletek megoldására
1. Írja fel a differenciálegyenletet a következő formában: y" + py" + qy = 0.
2. Állítsa össze a karakterisztikus egyenletét, jelölve! y" keresztül r2, y" keresztül r, y 1-ben: r2 + pr +q = 0
Emlékezzünk vissza arra a problémára, amellyel a határozott integrálok keresésekor szembesültünk:
vagy dy = f(x)dx. Az ő megoldása:
és egy határozatlan integrál számítására redukálódik. A gyakorlatban gyakoribb a nehezebb feladat: egy függvény megtalálása y, ha ismert, hogy kielégít egy alak relációt
Ez az összefüggés a független változóra vonatkozik x, ismeretlen funkció yés származékai a sorrendig n inkluzív, hívják .
A differenciálegyenlet tartalmaz egy függvényt az egyik vagy másik rendű derivált (vagy differenciál) jele alatt. A legmagasabb sorrendet sorrendnek (9.1) nevezzük. .
Differenciál egyenletek:
- első rendelés
másodrendű,
- ötödik rend stb.
Egy adott differenciálegyenletet kielégítő függvényt megoldásának nevezzük , vagy integrál . Megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását. Ha a kívánt funkcióhoz y sikerült olyan képletet kapni, amely minden megoldást megad, akkor azt mondjuk, hogy megtaláltuk az általános megoldást , vagy általános integrál .
Közös döntés
tartalmaz n tetszőleges állandók 
és úgy néz ki
Ha olyan relációt kapunk, amely vonatkozik x, yés n tetszőleges állandók, olyan formában, amely nem megengedett y -
akkor az ilyen összefüggést a (9.1) egyenlet általános integráljának nevezzük.
Minden konkrét megoldást, azaz minden olyan specifikus függvényt, amely kielégít egy adott differenciálegyenletet, és nem függ tetszőleges állandóktól, konkrét megoldásnak nevezünk. , vagy privát integrál. Ahhoz, hogy konkrét megoldásokat (integrálokat) kapjunk az általános megoldásoktól, meghatározott számértékeket kell az állandókhoz csatolni.
Egy adott megoldás grafikonját integrálgörbének nevezzük. Az általános megoldás, amely az összes konkrét megoldást tartalmazza, az integrálgörbék családja. Egy elsőrendű egyenlet esetében ez a család egy tetszőleges állandótól függ; az egyenlet esetében n sorrendben - től n tetszőleges állandók.
A Cauchy-probléma az, hogy az egyenletre konkrét megoldást kell találni n sorrendben, kielégítő n kezdeti feltételek:
amelyek n állandót határoznak meg с 1, с 2,..., c n.
A derivált tekintetében fel nem oldott 1. rendű differenciálegyenlet alakja
vagy a megengedett viszonylag
3.46. példa. Keress általános megoldást az egyenletre!
Megoldás. Integrációt kapunk
ahol C tetszőleges állandó. Ha C-nek konkrét számértékeket adunk, akkor konkrét megoldásokat kapunk, pl.
3.47. példa. Fontolja meg a bankban elhelyezett pénz növekvő összegét, 100 r elhatárolása mellett kamatos kamat évente. Legyen Yo a kezdeti pénzösszeg, Yx pedig a lejárat után xévek. Ha évente egyszer számolunk kamatot, akkor kapunk
ahol x = 0, 1, 2, 3,... Ha a kamatot évente kétszer számoljuk, azt kapjuk
ahol x = 0, 1/2, 1, 3/2,... A kamat számításánál névente egyszer és ha x felveszi egymás után a 0, 1/n, 2/n, 3/n,... értékeket
Jelölje 1/n = h, akkor az előző egyenlőség így fog kinézni:
Korlátlan nagyítással n(nál nél 
) a limitben eljutunk a pénzmennyiség folyamatos kamatfelhalmozással történő növelésének folyamatához:
Így látható, hogy folyamatos változás mellett x a pénzkínálat változásának törvényét egy I. rendű differenciálegyenlet fejezi ki. ahol Y x egy ismeretlen függvény, x- független változó, r- állandó. Ezt az egyenletet megoldjuk, ehhez átírjuk a következőképpen:
ahol 
, vagy 
, ahol P jelentése e C .
Az Y(0) = Yo kezdeti feltételekből azt kapjuk, hogy P: Yo = Pe o, innen Yo = P. Ezért a megoldás így néz ki:
Tekintsük a második gazdasági problémát. A makroökonómiai modelleket I. rendű lineáris differenciálegyenletek is leírják, amelyek az Y jövedelem vagy kibocsátás változását írják le az idő függvényében.
3.48. példa. Növekszik az Y nemzeti jövedelem az értékével arányos mértékben:
és tegyük fel, hogy a kormányzati kiadások hiánya egyenesen arányos az Y bevétellel arányossági együtthatóval q. A kiadási hiány az államadósság növekedéséhez vezet D:
Kiindulási feltételek Y = Yo és D = Do, t = 0. Az első egyenletből Y= Yoe kt . Y-t behelyettesítve dD/dt = qYoe kt kapjuk. Az általános megoldásnak megvan a formája
D = (q/ k) Yoe kt +С, ahol С = const, amelyet a kezdeti feltételekből határozunk meg. A kezdeti feltételeket behelyettesítve Do = (q/k)Yo + C-t kapunk. Tehát végül,
D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),
ez azt mutatja, hogy az államadósság ugyanolyan relatív ütemben növekszik k, ami a nemzeti jövedelem.
Tekintsük a legegyszerűbb differenciálegyenleteket n sorrendben ezek a formaegyenletek
Általános megoldása a használatával érhető el n az integráció ideje.
3.49. példa. Tekintsük az y példát """ = cos x.
Megoldás. Integrálva találjuk
Az általános megoldásnak megvan a formája
A közgazdaságtanban nagy hasznuk van, gondoljuk meg az ilyen egyenletek megoldását. Ha a (9.1) alakja a következő:
akkor lineárisnak nevezzük, ahol po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) függvények adottak. Ha f(x) = 0, akkor (9.2)-t homogénnek, ellenkező esetben nemhomogénnek nevezzük. A (9.2) egyenlet általános megoldása megegyezik bármely konkrét megoldásának összegével y(x)és a hozzá tartozó homogén egyenlet általános megoldása:
Ha a p o (x), p 1 (x),..., p n (x) együtthatók állandók, akkor (9.2)
(9.4) lineáris differenciálegyenletnek nevezzük állandó sorrendű együtthatókkal n .
A (9.4) alakja a következő:
Beállíthatjuk az általánosság elvesztése nélkül p o = 1 és beírhatjuk a (9.5) alakba
A (9.6) megoldást y = e kx alakban fogjuk keresni, ahol k konstans. Nekünk van: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Helyettesítsük be a kapott kifejezéseket (9.6-ba), így lesz:
(9.7) igen algebrai egyenlet, az ismeretlen k, jellemzőnek nevezik. A karakterisztikus egyenletnek van foka nés n gyökerek, amelyek között több és összetett is lehet. Legyen k 1 , k 2 ,..., k n valós és megkülönböztethető 
egyedi megoldások (9.7), míg az általános
Tekintsünk egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletet állandó együtthatókkal:
Jellegzetes egyenlete megvan a formája
(9.9)
diszkriminánsa D = p 2 - 4q, D előjelétől függően három eset lehetséges.
1. Ha D>0, akkor a k 1 és k 2 (9.9) gyök valós és különböző, és az általános megoldás alakja:
Megoldás. Jellemző egyenlet: k 2 + 9 = 0, ahol k = ± 3i, a = 0, b = 3, az általános megoldás:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
A tanulmányban másodrendű lineáris differenciálegyenleteket használunk gazdasági modell pókháló típus árukészletekkel, ahol a P ár változásának mértéke a készlet nagyságától függ (lásd 10. bekezdés). Ha a kereslet és a kínálat az ár lineáris függvényei, akkor
a - a reakciósebességet meghatározó állandó, akkor az árváltozás folyamatát egy differenciálegyenlet írja le:
Egy adott megoldáshoz használhat egy állandót
aminek az egyensúlyi ár jelentése van. Eltérés 
eleget tesz homogén egyenlet
(9.10)
A jellemző egyenlet a következő lesz:
Abban az esetben, ha a kifejezés pozitív. Jelöli 
. A k 1,2 = ± i w karakterisztikus egyenlet gyökei, így a (9.10) általános megoldás a következőképpen alakul:
ahol C és tetszőleges állandók, azokat a kezdeti feltételekből határozzuk meg. Megkaptuk az ár időbeli változásának törvényét:
