ahol x* - az inhomogén rendszer (2) egyik megoldása (például (4)), (E−A + A) a mátrix magját (nulla terét) alkotja A.
Készítsük el a mátrix vázszerkezeti dekompozícióját (E−A + A):
E−A + A=Q S
ahol K n×n-r- rang mátrix (Q)=n-r, S n−r×n-rang mátrix (S)=n-r.
Ekkor a (13) a következő formában írható fel:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .
ahol k=Sz.
Így, általános megoldási eljárás rendszerek lineáris egyenletek pszeudo-inverz mátrix használatával a következő formában ábrázolható:
x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .
Az online számológép segítségével részletes magyarázatokkal megtalálhatja egy lineáris egyenletrendszer általános megoldását.
Az egyenletrendszereket széles körben alkalmazzák a gazdasági iparban különféle folyamatok matematikai modellezésére. Például termelésirányítási és tervezési, logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy berendezések elhelyezési problémáinak megoldásakor.
Az egyenletrendszereket nemcsak a matematika, hanem a fizika, a kémia és a biológia területén is alkalmazzák a populáció méretének meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.
A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet kifejezése, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.
Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Az egyenlet megoldása a grafikonjának ábrázolásával egy egyenesnek fog kinézni, amelynek minden pontja a polinom megoldása.
A legegyszerűbbek a két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek példái.
F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.
Egyenletrendszer megoldása - azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer valódi egyenlőséggé válik, vagy annak megállapítását, hogy nincs megfelelő x és y értéke.
A pontkoordinátákként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.
Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.
A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az "egyenlőség" jel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer nem homogén.
A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.
A rendszerekkel szembesülve az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőlegesen sok lehet belőlük.
Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikus módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. NÁL NÉL iskolai tanfolyam matematika, olyan módszerek, mint a permutáció, algebrai összeadás, helyettesítés, valamint a grafikus ill mátrix módszer, megoldás Gauss-módszerrel.
A megoldási módszerek tanításának fő feladata a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és cselekvéseit, hanem megértsük egy adott módszer alkalmazásának alapelveit.
Példák megoldása a program 7. osztályának lineáris egyenletrendszereire középiskola elég egyszerű és nagyon részletesen elmagyarázva. Bármely matematikai tankönyvben erre a részre kellő figyelmet fordítanak. A lineáris egyenletrendszerek példáinak Gauss és Cramer módszerével történő megoldását a felsőoktatási intézmények első kurzusai részletesebben tanulmányozzák.
A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikon keresztül fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egyetlen változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően
Adjunk példát egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre helyettesítési módszerrel:
Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Megoldás ezt a példát nem okoz nehézséget és lehetővé teszi az Y érték megszerzését Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.
Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha több mint 3 ismeretlen van a rendszerben, a helyettesítési megoldás sem praktikus.
Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:
Amikor az összeadás módszerével megoldást keresünk a rendszerekre, akkor az egyenletek tagonkénti összeadását és szorzását különböző számokkal hajtják végre. A matematikai műveletek végső célja egy változós egyenlet.
Alkalmazásokhoz ez a módszer gyakorlást és megfigyelést igényel. Nem könnyű egy lineáris egyenletrendszert az összeadás módszerével megoldani, ha a változók száma 3 vagy több. Az algebrai összeadás akkor hasznos, ha az egyenletek törteket és decimális számokat tartalmaznak.
Megoldás műveleti algoritmusa:
Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszernek legfeljebb két egyenletre kell megoldást találnia, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több kettőnél.
A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a beírt ismeretlenre vonatkozóan oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.
A példából látható, hogy egy új t változó bevezetésével a rendszer 1. egyenletét le lehetett redukálni egy standard négyzetes trinomikusra. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.
Meg kell találni a diszkrimináns értékét a jól ismert képlet segítségével: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom szorzói. Az adott példában a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor csak egy megoldás van: x= -b / 2*a.
A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.
Alkalmas 3 egyenletet tartalmazó rendszerekhez. A módszer abból áll, hogy a rendszerben szereplő minden egyenlet grafikonját a koordinátatengelyen ábrázoljuk. A görbék és lesz a metszéspontjainak koordinátái közös megoldás rendszerek.
A grafikus módszernek számos árnyalata van. Vegyünk néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.
Amint a példából látható, minden sorhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon megjelöltük és egy vonallal összekötöttük.
A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.
A következő példában meg kell találni a lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.
Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.
A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy a rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükség van egy gráf felépítésére.
A mátrixok egy lineáris egyenletrendszer rövid leírására szolgálnak. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.
A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy egyoszlopos mátrix, amelynek végtelen számú sora van. Az egyik átló mentén egységeket és a többi nulla elemet tartalmazó mátrixot azonosságnak nevezzük.
Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel megszorozva az eredeti egységgé alakul, ilyen mátrix csak az eredeti négyzetre létezik.
Az egyenletrendszerek esetében az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait a mátrix számaiként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.
Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem egyenlő nullával. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.
A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.
Egy mátrix szorzásakor az összes mátrixelemet szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.
Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 az inverz mátrix és |K| - mátrix meghatározó. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.
A determináns könnyen kiszámítható egy kétszeres mátrixra, csak az elemeket átlósan kell megszorozni egymással. A "háromszor három" opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy ne feledje, hogy minden sorból és minden oszlopból ki kell venni egy elemet, hogy az elemek oszlop- és sorszámai ne ismétlődjenek a szorzatban.
A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes jelölések csökkentését a rendszer megoldása során nagy mennyiség változók és egyenletek.
A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n a változók, és b n a szabad tagok.
NÁL NÉL felsőbb matematika a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezeket a módszereket arra használják, hogy megtalálják rendszerváltozók sok lineáris egyenlettel.
A Gauss-módszer nagyon hasonlít a helyettesítéseket alkalmazó megoldásokhoz és algebrai összeadás hanem szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-féle megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz alakúra hozza. Algebrai transzformációkkal és behelyettesítésekkel egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet egy kifejezés 2 ismeretlennel, és 3 és 4 - 3, illetve 4 változóval.
Miután a rendszert a leírt formába hozzuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.
A 7. osztályos iskolai tankönyvekben a Gauss-féle megoldás példáját a következőképpen írják le:
Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.
A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.
A Gauss-módszer nehezen érthető a középiskolások számára, de ez az egyik leginkább érdekes módokon a matematika és fizika osztályok emelt szintű képzési programjába beiratkozott gyerekek találékonyságának fejlesztésére.
A rögzítési számítások megkönnyítése érdekében a következőket szokás tenni:
Az egyenletegyütthatókat és a szabad tagokat mátrix formájában írjuk fel, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobb oldaltól. A római számok a rendszer egyenletek számát jelölik.
Először felírják a mátrixot, amellyel dolgozni kell, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és folytassa a szükséges algebrai műveletek végrehajtását az eredmény eléréséig.
Ennek eredményeként olyan mátrixot kell kapni, amelyben az egyik átló 1, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egyetlen formára redukálódik. Nem szabad megfeledkeznünk az egyenlet mindkét oldalának számozásáról sem.
Ez a jelölés kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.
Bármilyen megoldási mód ingyenes alkalmazása körültekintést és bizonyos tapasztalatot igényel. Nem minden módszert alkalmaznak. A megoldások megtalálásának bizonyos módjai előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások tanulási céllal léteznek.
Lineáris rendszerek megoldása algebrai egyenletek(SLAE) kétségtelenül a lineáris algebra kurzus legfontosabb témája. A matematika minden ágából származó feladatok nagy száma a lineáris egyenletrendszerek megoldására redukálódik. Ezek a tényezők magyarázzák a cikk létrehozásának okát. A cikk anyaga úgy van megválogatva és felépített, hogy segítségével Ön is meg tudja tenni
A cikk anyagának rövid ismertetése.
Először megadjuk az összes szükséges definíciót, fogalmat, és bevezetünk néhány jelölést.
Ezután megvizsgáljuk azokat a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgáló módszereket, amelyekben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával, és amelyek egyetlen döntés. Először a Cramer-módszerre fogunk összpontosítani, másodszor bemutatjuk az ilyen egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrix módszert, harmadszor pedig a Gauss-módszert (a módszert) szekvenciális kizárás ismeretlen változók). Az elmélet megszilárdítása érdekében mindenképpen megoldunk több SLAE-t különböző utak.
Ezt követően térjünk át a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Általános nézet, amelyben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával vagy a rendszer fő mátrixa degenerált. Megfogalmazzuk a Kronecker-Capelli tételt, amely lehetővé teszi az SLAE-k kompatibilitásának megállapítását. Elemezzük a rendszerek megoldását (kompatibilitásuk esetén) egy mátrix base moll fogalmával. Megfontoljuk a Gauss-módszert is, és részletesen leírjuk a példák megoldásait.
Ügyeljen arra, hogy foglalkozzon a homogén és inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek általános megoldásának szerkezetével. Adjuk meg az alapvető megoldási rendszer fogalmát, és mutassuk meg, hogyan íródik le az SLAE általános megoldása az alapvető megoldási rendszer vektorai segítségével. A jobb megértés érdekében nézzünk meg néhány példát.
Végezetül figyelembe vesszük a lineárisra redukált egyenletrendszereket, valamint különféle problémákat, amelyek megoldásában SLAE-k merülnek fel.
Oldalnavigáció.
P lineáris algebrai egyenletekből álló rendszereket fogunk figyelembe venni n ismeretlen változóval (p egyenlő lehet n ) alakú
Ismeretlen változók, - együtthatók (néhány valós ill komplex számok), - szabad tagok (valós vagy komplex számok is).
A SLAE ezen formáját hívják koordináta.
NÁL NÉL mátrix forma ennek az egyenletrendszernek az alakja,
ahol 
- a rendszer főmátrixa, - az ismeretlen változók mátrixoszlopa, - a szabad tagok mátrixoszlopa.
Ha az A mátrixhoz (n + 1)-edik oszlopként hozzáadjuk a szabad tagok mátrixoszlopát, akkor megkapjuk az ún. kiterjesztett mátrix lineáris egyenletrendszerek. Általában a kibővített mátrixot T betűvel jelöljük, és a szabad tagok oszlopát függőleges vonal választja el a többi oszloptól, azaz 
Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával Ismeretlen változók értékkészletének nevezzük, amely a rendszer összes egyenletét azonossággá alakítja. Az ismeretlen változók adott értékeihez tartozó mátrixegyenlet is azonossággá alakul.
Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös.
Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ún összeegyeztethetetlen.
Ha egy SLAE-nek egyedi megoldása van, akkor azt hívják bizonyos; ha több megoldás létezik, akkor - bizonytalan.
Ha a rendszer összes egyenletének szabad tagja nulla 
, akkor a rendszer meghívásra kerül homogén, másképp - heterogén.
Ha a rendszeregyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen SLAE-ket hívjuk. alapvető. Az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldásuk van, és homogén rendszer esetén minden ismeretlen változó nullával egyenlő.
Az ilyen SLAE-ket ben kezdtük el tanulmányozni Gimnázium. Megoldásukkor vettünk egy egyenletet, egy ismeretlen változót a többiekkel kifejeztünk és behelyettesítettünk a többi egyenletbe, majd vettük a következő egyenletet, kifejeztük a következő ismeretlen változót és behelyettesítettük más egyenletekkel stb. Vagy az összeadás módszerét alkalmazták, vagyis két vagy több egyenletet adtak hozzá néhány ismeretlen változó kiküszöbölésére. Ezekkel a módszerekkel nem foglalkozunk részletesen, mivel ezek lényegében a Gauss-módszer módosításai.
Az elemi lineáris egyenletrendszerek megoldásának fő módszerei a Cramer-módszer, a mátrix-módszer és a Gauss-módszer. Tegyük rendbe őket.
Meg kell oldanunk egy lineáris algebrai egyenletrendszert 
amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával és a rendszer főmátrixának determinánsa nullától eltérő, azaz.
Legyen a rendszer főmátrixának determinánsa, és 
olyan mátrixok determinánsai, amelyeket A-ból cserével kapunk 1., 2., …, n-edik oszlop, illetve a szabad tagok oszlopa: 
Ilyen jelöléssel az ismeretlen változókat a Cramer-féle as módszer képleteivel számítjuk ki 
. Így találjuk meg a Cramer-módszerrel egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását.
Példa.
Cramer módszer 
.
Megoldás.
A rendszer fő mátrixának van formája 
. Számítsa ki a meghatározóját (ha szükséges, lásd a cikket): 
Mivel a rendszer főmátrixának determinánsa nem nulla, a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg.
Állítsa össze és számítsa ki a szükséges determinánsokat! 
(a determinánst úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix első oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, a determinánst - ha a második oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, - az A mátrix harmadik oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük ): 
Ismeretlen változók keresése képletekkel 
:
Válasz:
A Cramer-módszer fő hátránya (ha hátránynak nevezhető) a determinánsok kiszámításának bonyolultsága, ha a rendszeregyenletek száma több mint három.
Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix formában, ahol az A mátrix mérete n x n, determinánsa pedig nem nulla.
Mivel , akkor az A mátrix invertálható, azaz van inverz mátrix. Ha az egyenlőség mindkét részét megszorozzuk a bal oldalon, akkor egy képletet kapunk az ismeretlen változók oszlopmátrixának megkeresésére. Így megkaptuk a lineáris algebrai egyenletrendszer mátrix módszerrel történő megoldását.
Példa.
Lineáris egyenletrendszer megoldása mátrix módszer.
Megoldás.
Írjuk át az egyenletrendszert mátrix alakban: 
Mert
akkor az SLAE mátrix módszerrel megoldható. Az inverz mátrix segítségével ennek a rendszernek a megoldása a következőképpen kereshető 
.
Építsünk inverz mátrixot az A mátrix elemeinek algebrai komplementereinek mátrixával (ha szükséges, lásd a cikket): 
Ki kell számítani - az ismeretlen változók mátrixát az inverz mátrix szorzásával 
a szabad tagok mátrixoszlopán (ha szükséges, lásd a cikket): 
Válasz:
vagy más jelöléssel x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
A lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrix módszerrel történő megoldásának fő problémája az inverz mátrix megtalálásának bonyolultsága, különösen négyzetes mátrixok sorrendben magasabb, mint a harmadik.
Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk egy n lineáris egyenletrendszerre n ismeretlen változóval 
amelynek főmátrixának determinánsa nullától eltérő.
A Gauss-módszer lényege ismeretlen változók egymást követő kizárásából áll: először x 1 ki van zárva a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, majd x 2 ki van zárva minden egyenletből, a harmadiktól kezdve, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változóig x n az utolsó egyenletben marad. A rendszer egyenleteinek egy ilyen transzformációját az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésére az ún. közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrefutásának befejezése után az utolsó egyenletből x n, az utolsó előtti egyenletből x n-1 kerül kiszámításra ezzel az értékkel, és így tovább, x 1 az első egyenletből. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. fordított Gauss-módszer.
Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.
Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Az ismeretlen x 1 változót kizárjuk a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve. Ehhez adjuk hozzá az első egyenletet szorozva a rendszer második egyenletéhez, adjuk hozzá az első szorzatot a harmadik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá az első egyenletet szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel 
hol egy 
.
Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha x 1-et más ismeretlen változókkal fejeznénk ki a rendszer első egyenletében, és a kapott kifejezést behelyettesítenénk az összes többi egyenletbe. Így az x 1 változót a másodiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.
Ezután hasonlóan járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk 
Ehhez adjuk hozzá a másodikat szorozva a rendszer harmadik egyenletéhez, adjuk hozzá a másodikat szorozva a negyedik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá a másodikat szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel 
hol egy 
. Így az x 2 változót a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.
Ezután továbblépünk az ismeretlen x 3 kiküszöbölésére, miközben hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel 
Folytatjuk tehát a Gauss-módszer közvetlen menetét, amíg a rendszer fel nem veszi a formát 
Ettől a pillanattól kezdve elkezdjük a Gauss-módszer fordított lefolyását: az utolsó egyenletből kiszámoljuk x n-t, a kapott x n érték felhasználásával az utolsó előtti egyenletből x n-1-et, és így tovább, az első egyenletből x 1-et. egyenlet.
Példa.
Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-módszer.
Megoldás.
Zárjuk ki az ismeretlen x 1 változót a rendszer második és harmadik egyenletéből. Ehhez a második és a harmadik egyenlet mindkét részéhez hozzáadjuk az első egyenlet megfelelő részét, szorozva ezzel: 
Most kizárjuk az x 2-t a harmadik egyenletből úgy, hogy a bal és jobb részéhez hozzáadjuk a második egyenlet bal és jobb oldali részét, megszorozva: 
Ezen a Gauss-módszer előremenete befejeződött, elkezdjük a fordított pályát.
A kapott egyenletrendszer utolsó egyenletéből x 3-at találunk: 
A második egyenletből azt kapjuk, hogy .
Az első egyenletből megtaláljuk a fennmaradó ismeretlen változót, és ezzel teljessé válik a Gauss-módszer fordított menete.
Válasz:
X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
NÁL NÉL általános eset a p rendszeregyenletek száma nem egyezik az n ismeretlen változók számával:
Az ilyen SLAE-knek nincs megoldása, egyetlen megoldásuk van, vagy végtelen sok megoldásuk van. Ez az állítás azokra az egyenletrendszerekre is vonatkozik, amelyek fő mátrixa négyzetes és degenerált.
Mielőtt megoldást találnánk egy lineáris egyenletrendszerre, meg kell állapítani annak kompatibilitását. Arra a kérdésre, hogy mikor kompatibilis az SLAE, és mikor nem kompatibilis, megadja a választ Kronecker–Capelli tétel:
ahhoz, hogy egy p egyenletrendszer n ismeretlennel (p egyenlő n-nel) konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer főmátrixának rangja legyen ranggal egyenlő kiterjesztett mátrix, azaz Rank(A)=Rang(T) .
Példaként tekintsük a Kronecker-Cappelli tétel alkalmazását lineáris egyenletrendszer kompatibilitásának meghatározására.
Példa.
Nézze meg, hogy a lineáris egyenletrendszer rendelkezik-e 
megoldásokat.
Megoldás.
. Használjuk a kiskorúak határolásának módszerét. Másodrendű minor 
különbözik a nullától. Nézzük a körülötte lévő harmadrendű kiskorúakat: 
Mivel az összes szomszédos harmadrendű kiskorú nulla, a főmátrix rangja kettő.
Viszont a kiterjesztett mátrix rangja 
egyenlő hárommal, mivel a harmadrendű moll 
különbözik a nullától.
Ily módon Rang(A) , ezért a Kronecker-Capelli-tétel szerint azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti lineáris egyenletrendszer inkonzisztens.
Válasz:
Nincs megoldási rendszer.
Tehát megtanultuk megállapítani a rendszer inkonzisztenciáját a Kronecker-Capelli tétel segítségével.
De hogyan találjuk meg az SLAE megoldását, ha a kompatibilitás megvan?
Ehhez szükségünk van a mátrix base moll fogalmára és a mátrix rangjára vonatkozó tételre.
Az A mátrix nullától eltérő legmagasabb rendű mollját hívjuk alapvető.
A base moll definíciójából következik, hogy sorrendje megegyezik a mátrix rangjával. Egy nem nulla A mátrixhoz több alapmoll is lehet, mindig van egy alapmoll.
Vegyük például a mátrixot 
.
Ennek a mátrixnak minden harmadrendű minorja nulla, mivel a mátrix harmadik sorának elemei az első és a második sor megfelelő elemeinek összege.
A következő másodrendű minorok alapvetőek, mivel nem nullák 
Kiskorúak 
nem alapvetőek, mivel egyenlők nullával.
Mátrix rangtétel.
Ha egy p-rendű mátrix rangja r, akkor a mátrix sorainak (és oszlopainak) minden olyan eleme, amely nem képezi a választott bázis-mollt, lineárisan a sorok (és oszlopok) megfelelő elemeivel van kifejezve. ), amelyek a minor alapját képezik.
Mit ad nekünk a mátrix rangtétel?
Ha a Kronecker-Capelli tétellel megállapítottuk a rendszer kompatibilitását, akkor a rendszer főmátrixának bármely alapmollját választjuk (sorrendje egyenlő r-vel), és kizárunk a rendszerből minden olyan egyenletet, amely nem alkotják a választott alapmollt. Az így kapott SLAE ekvivalens lesz az eredetivel, mivel az elvetett egyenletek továbbra is redundánsak (a mátrix rangtétel szerint a fennmaradó egyenletek lineáris kombinációja).
Ennek eredményeként a rendszer túlzott egyenleteinek elvetése után két eset lehetséges.
Ha a kapott rendszerben az r egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor ez határozott lesz, és az egyetlen megoldást a Cramer módszerrel, a mátrix módszerrel vagy a Gauss módszerrel találhatjuk meg.
Példa.
.
Megoldás.
A rendszer főmátrixának rangja 
egyenlő kettővel, mivel a másodrendű moll 
különbözik a nullától. Kiterjesztett mátrix rang 
is egyenlő kettővel, mivel a harmadrendű egyetlen moll egyenlő nullával 
és a fent vizsgált másodrendű moll nullától eltérő. A Kronecker-Capelli tétel alapján megállapítható az eredeti lineáris egyenletrendszer kompatibilitása, mivel Rank(A)=Rank(T)=2 .
Alapnak kisebbet vesszük . Az első és a második egyenlet együtthatói alkotják: 
A rendszer harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért a mátrix rangtétel alapján kizárjuk a rendszerből: 
Így kaptunk egy elemi lineáris algebrai egyenletrendszert. Oldjuk meg Cramer módszerével: 
Válasz:
x 1 \u003d 1, x 2 = 2.
Ha az eredményül kapott SLAE-ben az r egyenletek száma kisebb, mint az n ismeretlen változók száma, akkor az alap-mollt alkotó tagokat az egyenletek bal oldali részeiben hagyjuk, a fennmaradó tagokat pedig átvisszük az egyenletek jobb oldali részébe. ellentétes előjelű rendszer.
Az egyenletek bal oldalán maradó ismeretlen változókat (r darab van belőlük) ún. fő-.
A jobb oldalon kötött ismeretlen változókat (n - r van belőlük) hívjuk ingyenes.
Most feltételezzük, hogy a szabad ismeretlen változók tetszőleges értéket vehetnek fel, míg az r fő ismeretlen változót egyedi módon fejezzük ki a szabad ismeretlen változókkal. Kifejezésüket a kapott SLAE Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel történő megoldásával találhatjuk meg.
Vegyünk egy példát.
Példa.
Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása 
.
Megoldás.
Keresse meg a rendszer főmátrixának rangját! 
határos kiskorúak módszerével. Vegyünk egy 1 1 = 1-et nem nulla elsőrendű mollnak. Kezdjünk el keresni egy nem nulla másodrendű mollot, amely körülveszi ezt a minort: 
Így találtunk egy nem nulla másodrendű mollot. Kezdjük el keresni egy nem nulla határos harmadrendű mollot: 
Így a fő mátrix rangja három. A kiterjesztett mátrix rangja szintén három, vagyis a rendszer konzisztens.
A talált, harmadrendű nem nulla moll alapnak számít.
Az érthetőség kedvéért bemutatjuk azokat az elemeket, amelyek a minor alapját képezik: 
Az alapmollban részt vevő kifejezéseket a rendszer egyenleteinek bal oldalán hagyjuk, a többit pedig ellentétes jelek jobb oldalra: 
A szabad ismeretlen változóknak x 2 és x 5 tetszőleges értéket adunk, vagyis veszünk 
, ahol tetszőleges számok vannak. Ebben az esetben a SLAE a formát veszi fel 
A kapott elemi lineáris algebrai egyenletrendszert Cramer módszerrel oldjuk meg: 
Következésképpen, .
A válaszban ne felejtse el megadni a szabad ismeretlen változókat.
Válasz:
Hol vannak tetszőleges számok.
Összesít.
Egy általános formájú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához először a Kronecker-Capelli-tétel segítségével megtudjuk annak kompatibilitását. Ha a fő mátrix rangja nem egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens.
Ha a főmátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor az alapmollt választjuk, és elvetjük a rendszer azon egyenleteit, amelyek nem vesznek részt a választott alapmoll kialakításában.
Ha a sorrend az alap kiskorú egyenlő a számmal ismeretlen változókat, akkor az SLAE egyedi megoldással rendelkezik, amely bármely általunk ismert módszerrel megtalálható.
Ha az alapmoll sorrendje kisebb, mint az ismeretlen változók száma, akkor a fő ismeretlen változókkal rendelkező tagokat a rendszer egyenleteinek bal oldalán hagyjuk, a fennmaradó tagokat áthelyezzük a jobb oldalra, és tetszőleges értékeket adunk hozzá. a szabad ismeretlen változókhoz. A kapott lineáris egyenletrendszerből a fő ismeretlen változókat Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel találjuk meg.
A Gauss-módszerrel bármilyen típusú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldható anélkül, hogy előzetes kompatibilitási vizsgálatokat végeznénk. Az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésének folyamata lehetővé teszi mind az SLAE kompatibilitására, mind inkonzisztenciájára vonatkozó következtetések levonását, és ha létezik megoldás, akkor azt megtalálni.
A számítási munka szempontjából a Gauss-módszer előnyösebb.
Nézd Részletes leírásés példákat elemzett a Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására című cikkben.
Ebben a részben a végtelen számú megoldással rendelkező lineáris algebrai egyenletek együttes homogén és inhomogén rendszereire összpontosítunk.
Először foglalkozzunk a homogén rendszerekkel.
Alapvető döntési rendszer Egy p lineáris algebrai egyenletekből álló, n ismeretlen változós homogén rendszer ennek a rendszernek (n – r) lineárisan független megoldásainak halmaza, ahol r a rendszer főmátrixának alapmoll sorrendje.
Ha egy homogén SLAE lineárisan független megoldásait X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) mátrixoszlopoknak jelöljük 1 ) , akkor ennek a homogén rendszernek az általános megoldását a megoldások alaprendszerének tetszőleges vektorainak lineáris kombinációjaként ábrázoljuk . állandó együtthatókС 1 , С 2 , …, С (n-r) , azaz .
Mit jelent a homogén lineáris algebrai egyenletrendszer (oroslau) általános megoldása?
A jelentés egyszerű: a képlet megadja az eredeti SLAE összes lehetséges megoldását, vagyis a C 1 , C 2 , ..., C (n-r) tetszőleges konstansok értékeinek tetszőleges halmazát figyelembe véve a képlet szerint az eredeti homogén SLAE egyik megoldását kapja majd.
Így ha azt találjuk alapvető rendszer megoldásokat, akkor ennek a homogén SLAE-nek minden megoldását beállíthatjuk .
Mutassuk meg a homogén SLAE alapvető megoldási rendszerének felépítésének folyamatát.
Az eredeti lineáris egyenletrendszer alapmollját választjuk, minden más egyenletet kizárunk a rendszerből, és az ellentétes előjelű rendszer egyenleteinek jobb oldalára visszük át az összes szabad ismeretlen változót tartalmazó tagot. Adjuk meg a szabad ismeretlen változóknak az 1,0,0,…,0 értékeket, és számítsuk ki a fő ismeretleneket úgy, hogy a kapott elemi lineáris egyenletrendszert bármilyen módon, például Cramer-módszerrel megoldjuk. Így X (1) lesz – az alaprendszer első megoldása. Ha a szabad ismeretleneknek megadjuk a 0,1,0,0,…,0 értékeket és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (2)-t kapunk. Stb. Ha a szabad ismeretlen változóknak 0,0,…,0,1 értékeket adunk, és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (n-r) -t kapunk. Így épül fel a homogén SLAE alapvető megoldási rendszere és írható fel általános megoldása a formába.
Inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek esetén az általános megoldást a következőképpen ábrázoljuk
Nézzünk példákat.
Példa.
Keresse meg az alapvető megoldási rendszert és egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer általános megoldását 
.
Megoldás.
A homogén lineáris egyenletrendszerek főmátrixának rangja mindig megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Határozzuk meg a főmátrix rangját a kiskorúak szegélyezésének módszerével. Elsőrendű nem nulla mollként a rendszer főmátrixának a 1 1 = 9 elemét vesszük. Keresse meg a másodrendű nem-nulla moll határvonalát: 
A nullától eltérő másodrendű moll található. Nézzük végig a vele határos harmadrendű kiskorúakat, keresve egy nem nulla egyet: 
A harmadik rendű összes szomszédos kiskorú nulla, ezért a fő és a kiterjesztett mátrix rangja kettő. Vegyük az alap minort. Az érthetőség kedvéért megjegyezzük a rendszer elemeit, amelyek azt alkotják: 
Az eredeti SLAE harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért kizárható: 
A fő ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket az egyenletek jobb oldalán hagyjuk, a szabad ismeretleneket tartalmazó tagokat pedig átvisszük a jobb oldalra:
Alkossunk egy alapvető megoldási rendszert az eredeti homogén lineáris egyenletrendszerre. Ennek az SLAE-nek az alapvető megoldási rendszere két megoldásból áll, mivel az eredeti SLAE négy ismeretlen változót tartalmaz, az alapmoll sorrendje pedig kettő. Az X (1) megtalálásához a szabad ismeretlen változóknak az x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 értékeket adjuk meg, majd az egyenletrendszerből megtaláljuk a fő ismeretleneket. 
.
A rendszer ún közös, vagy megoldható ha van legalább egy megoldása. A rendszer ún összeegyeztethetetlen, vagy oldhatatlan ha nincs megoldása.
Határozott, határozatlan SLAE.
Ha egy SLAE-nek van megoldása, és egyedi, akkor hívják bizonyosés ha a megoldás nem egyedi, akkor bizonytalan.
MÁTRIX EGYENLETEK
A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:
Tekintsük a rendszer mátrixát 
valamint az ismeretlen és szabad tagok mátrixoszlopai 
Keressük meg a terméket 
azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ekkor a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer így írható fel
vagy rövidebb A∙X=B.
Itt a mátrixok Aés B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert. elemei ennek a rendszernek a megoldása. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.
Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A = Eés E∙X=X, akkor megkapjuk a megoldást mátrix egyenlet mint X = A -1 B .
Megjegyzendő, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra található, a mátrixmódszer csak azokat a rendszereket tudja megoldani, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával.
Cramer képletei
Cramer módszere szerint egymás után megtaláljuk fő rendszerazonosító, azaz az A mátrix determinánsa: D = det (a i j) és n segédhatározók D i (i= ), amelyeket a D determinánsból kapunk úgy, hogy az i-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.
A Cramer-képletek így néznek ki: D × x i = D i (i = ).
Ebből következik a Cramer-szabály, amely kimerítő választ ad a rendszer kompatibilitásának kérdésére: ha a rendszer fő meghatározója nem nulla, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a következő képletek határoznak meg: x i = D i / D.
Ha a D rendszer fődeterminánsa és az összes segéddetermináns D i = 0 (i= ), akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ha a rendszer fő determinánsa D = 0, és legalább egy segéddetermináns különbözik nullától, akkor a rendszer inkonzisztens.
Tétel (Cramer-szabály): Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és 
Bizonyítás: Tekintsünk tehát egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét ezzel algebrai összeadás A 11 elem egy 11, 2. egyenlet - be A21és 3. - on A 31:
Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:
Tekintsük az egyes zárójeleket és jobb oldal ezt az egyenletet. A determináns kiterjesztésének tétele szerint az 1. oszlop elemei szerint.
Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .
Végül is ezt könnyű belátni 
Így megkapjuk az egyenlőséget: . Következésképpen, .
A és egyenlőségeket hasonlóan származtatjuk, ahonnan a tétel állítása következik.
Kronecker-Capelli tétel.
Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával.
Bizonyíték: Két szakaszra bomlik.
1. Legyen a rendszernek megoldása. Mutassuk meg azt.
Legyen a számok halmaza 
a megoldás a rendszerre. Jelölje a mátrix -edik oszlopával, 
. Ekkor , vagyis a szabad tagok oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Hadd . Tegyünk úgy, mintha 
. Aztán által 
. Alap mollban választunk . Rend van nála. A szabad tagok oszlopának ezen a minoron kell áthaladnia, különben ez lesz a mátrix alapmollja. A moll szabad kifejezések oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. A determináns tulajdonságai alapján hol az a determináns, amelyet a minorból kapunk, ha a szabad kifejezések oszlopát az oszlopra cseréljük. Ha az oszlop áthaladt a kis M-en, akkor -ben két egyforma oszlop lesz, és ezért . Ha az oszlop nem ment át a mollon, akkor csak az oszlopok sorrendjében fog eltérni a mátrix r + 1 rendű molljától. Azóta . Így ami ellentmond a base minor meghatározásának. Ezért hamis az a feltevés, hogy .
2. Hagyjuk . Mutassuk meg, hogy a rendszernek van megoldása. Mivel tehát a mátrix alapmollja a mátrix alapmollja. Hagyja, hogy az oszlopok átmenjenek a minoron 
. Ekkor a mátrix alap-moll tétele alapján a szabad tagok oszlopa a jelzett oszlopok lineáris kombinációja:
| (1) |
Beállítjuk , , , , és a fennmaradó ismeretleneket nullával egyenlőnek vesszük. Akkor ezekért az értékekért kapunk
Az (1) egyenlőség értelmében. Az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy a számok halmaza 
a megoldás a rendszerre. A megoldás megléte bebizonyosodott.
A fent tárgyalt rendszerben 
, és a rendszer konzisztens. A rendszerben , , és a rendszer inkonzisztens.
Megjegyzés: Bár a Kronecker-Capelli tétel lehetővé teszi a rendszer konzisztensségének meghatározását, meglehetősen ritkán használják, főleg elméleti tanulmányokban. Ennek az az oka, hogy a mátrix rangjának megállapítása során végzett számítások alapvetően megegyeznek a rendszer megoldása során végzett számításokkal. Ezért általában a és megtalálása helyett megoldást keresünk a rendszerre. Ha megtalálható, akkor megtanuljuk, hogy a rendszer konzisztens, és egyben megkapjuk a megoldását is. Ha nem találunk megoldást, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens.
Algoritmus egy tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldására (Gauss-módszer)
Legyen adott egy lineáris egyenletrendszer ismeretlenekkel. Meg kell találni annak általános megoldását, ha konzisztens, vagy megállapítani az inkonzisztenciát. Az ebben a részben bemutatott módszer közel áll a determináns számítási módszeréhez és a mátrix rangjának meghatározásához. A javasolt algoritmust ún Gauss módszer vagy az ismeretlenek egymást követő kiküszöbölésének módszere.
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát
A következő mátrixos műveleteket elemi műveleteknek nevezzük:
1. vonalak permutációja;
2. egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;
3. egy karakterlánc összeadása egy másik karakterlánccal, szorozva egy számmal.
Vegyük észre, hogy egy egyenletrendszer megoldásánál a determináns kiszámításával és a rang megállapításával ellentétben nem lehet oszlopokkal operálni. Ha az elemi műveletből kapott mátrixból visszaállítjuk az egyenletrendszert, akkor új rendszer egyenlő lesz az eredetivel.
Az algoritmus célja elemi műveletek sorozatának a mátrixra történő alkalmazásával annak biztosítása, hogy minden sor, kivéve talán az elsőt, nullákkal kezdődjön, és minden következőben a nullák száma az első nem nulla elemig. sor nagyobb, mint az előzőben.
Az algoritmus lépése a következő. Keresse meg a mátrix első nullától eltérő oszlopát. Legyen ez egy oszlop számmal. Találunk benne egy nem nulla elemet, és ezzel az elemmel felcseréljük a sort az első sorral. Annak érdekében, hogy ne halmozódjunk fel további jelölésekkel, feltételezzük, hogy a mátrixban ilyen sorváltás már megtörtént, azaz . Ezután a második sorba az elsőt a számmal szorozva adjuk, a harmadik sorba az elsőt a számmal szorozva stb. Ennek eredményeként megkapjuk a mátrixot
(Az első null oszlopok általában hiányoznak.)
Ha a mátrixnak van egy k számú sora, amelyben minden elem egyenlő nullával, és , akkor leállítjuk az algoritmus végrehajtását, és arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens. Valóban, ha a kiterjesztett mátrixból visszaállítjuk az egyenletrendszert, azt kapjuk, hogy a -edik egyenlet alakja lesz 
Ez az egyenlet nem felel meg egyetlen számkészletnek sem 
.
A mátrix felírható így 
A mátrix vonatkozásában az algoritmus leírt lépését hajtjuk végre. Szerezd meg a mátrixot
ahol , . Ez a mátrix ismét felírható így
és az algoritmus fenti lépését ismét alkalmazzuk a mátrixra.
A folyamat leáll, ha a következő lépés végrehajtása után az új redukált mátrix csak nullákból áll, vagy ha az összes sor kimerült. Vegye figyelembe, hogy a rendszer inkompatibilitására vonatkozó következtetés még korábban is megállíthatja a folyamatot.
Ha nem redukálnánk a mátrixot, akkor végül a forma mátrixához jutnánk
Ezt követően a Gauss-módszer úgynevezett reverse pass-ját hajtjuk végre. A mátrix alapján egyenletrendszert állítunk össze. A bal oldalon meghagyjuk az ismeretleneket minden sorban az első nem nulla elemnek megfelelő számokkal, azaz . Vedd észre, hogy. A fennmaradó ismeretlenek átkerülnek a jobb oldalra. Ha a jobb oldali ismeretleneket fix mennyiségnek tekintjük, a bal oldalon lévő ismeretleneket könnyű kifejezni velük.
Most tetszőleges értékeket adva a jobb oldali ismeretleneknek, és kiszámítva a bal oldalon lévő változók értékét, meg fogjuk találni különféle megoldások eredeti rendszer Ax=b. Az általános megoldás felírásához szükséges a jobb oldalon lévő ismeretleneket betűkkel tetszőleges sorrendben jelölni 
, beleértve azokat az ismeretleneket is, amelyek a nulla együtthatók miatt nincsenek kifejezetten a jobb oldalon kiírva, majd az ismeretlenek oszlopa felírható oszlopként, ahol minden elem tetszőleges értékek lineáris kombinációja 
(különösen csak egy tetszőleges érték ). Ez a bejegyzés lesz a rendszer általános megoldása.
Ha a rendszer homogén volt, akkor megkapjuk a homogén rendszer általános megoldását. Az általános megoldás oszlopának minden elemében felvett együtthatók alkotják az alapvető megoldási rendszerből az első megoldást, az együtthatókat, a második megoldást stb.
2. módszer: Egy homogén rendszer alapvető megoldási rendszere más módon is előállítható. Ehhez az egyik, jobb oldalra átvitt változóhoz 1 értéket kell rendelni, a többihez pedig nullákat. A bal oldali változók értékét kiszámítva egy megoldást kapunk az alaprendszerből. Ha a jobb oldali másik változóhoz 1 értéket, a többihez nullát adunk, megkapjuk az alaprendszerből a második megoldást, és így tovább.
Meghatározás: a rendszert együttesen hívják th, ha van legalább egy megoldása, és inkonzisztens - egyébként, vagyis abban az esetben, ha a rendszernek nincs megoldása. Az a kérdés, hogy egy rendszernek van-e megoldása, nem csak az egyenletek számának és az ismeretlenek számának az arányával függ össze. Például egy három egyenletrendszer két ismeretlennel
 |
megoldása van, sőt végtelen sok megoldása van, de két egyenletrendszere három ismeretlennel.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Ez a rendszer mindig konzisztens, mivel van egy triviális megoldása x 1 =…=x n =0
A nem triviális megoldások létezéséhez szükséges és elegendő ez
feltételek r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
Th Az SLAE megoldások halmaza lineáris dimenziójú (n-r) teret alkot. Ez azt jelenti, hogy megoldásának egy számmal való szorzata, valamint véges számú megoldásának összege és lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása. Bármely SLAE lineáris megoldástere az R n tér altere.
Az SLAE bármely (n-r) lineárisan független megoldásának halmaza (amely bázis a megoldási térben) az ún. alapvető megoldáskészlet (FSR).
Legyen х 1 ,…,х r alapvető ismeretlenek, х r +1 ,…,х n szabad ismeretlenek. Sorra a következő értékeket adjuk a szabad változóknak:
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Egy S lineáris teret (megoldások terét) képez, amely R n alterét jelenti (n az ismeretlenek száma), és dims=k=n-r, ahol r a rendszer rangja. Az (x (1) ,…, x (k) ) megoldási térben lévő bázist a megoldások alapvető rendszerének nevezzük, és az általános megoldásnak van formája:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R
Felsőfokú matematika » Lineáris algebrai egyenletrendszerek » Alapfogalmak. Mátrix jelölés.
Alatt lineáris algebrai egyenletrendszer(SLAE) rendszert jelent
\begin(egyenlet) \left \( \begin(igazított) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ lpont \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(igazított) \jobbra.\end(egyenlet)
Az $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) paraméterek az ún. együtthatók, és $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - ingyenes tagok SLAU. Néha az egyenletek és ismeretlenek számának hangsúlyozására azt mondják, hogy "$m\x n$ lineáris egyenletrendszer" - jelezve ezzel, hogy az SLAE $m$ egyenletet és $n$ ismeretlent tartalmaz.
Ha az összes szabad kifejezés $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), akkor az SLAE ún. homogén. Ha a szabad tagok között van legalább egy nullától eltérő, akkor az SLAE meghívásra kerül heterogén.
SLAU határozat(1) bármely rendezett számgyűjtemény ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) meghívásra kerül, ha ennek a gyűjteménynek az elemei adott sorrendben helyettesítve vannak a $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ismeretlenekkel , minden SLAE-egyenletet azonossá fordít.
Minden homogén SLAE-nek van legalább egy megoldása: nulla(más terminológiával - triviális), i.e. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
Ha az SLAE-nek (1) van legalább egy megoldása, akkor azt hívják közös ha nincsenek megoldások, összeegyeztethetetlen. Ha egy közös SLAE-nek pontosan egy megoldása van, akkor azt ún bizonyos, ha végtelen számú megoldás - bizonytalan.
1. példa
Vegye figyelembe a SLAE-t
\begin(egyenlet) \left \( \begin(igazított) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4=6 0.\\ \end(igazított)\jobbra.\end(egyenlet)
Van egy lineáris algebrai egyenletrendszerünk, amely $3$ egyenleteket és $5$ ismeretleneket tartalmaz: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Azt mondhatjuk, hogy egy $3\x5$ lineáris egyenletrendszer adott.
A (2) rendszer együtthatói az ismeretlenek előtti számok. Például az első egyenletben ezek a számok: $3,-4,1,7,-1$. A rendszer ingyenes tagjait a $11,-65.0$ számok jelölik. Mivel a szabad tagok között van legalább egy, amely nem egyenlő nullával, ezért az SLAE (2) inhomogén.
A megrendelt $(4;-11;5;-7;1)$ gyűjtemény a megoldás erre az SLAE-re. Ez könnyen ellenőrizhető, ha behelyettesíti a $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ az adott rendszer egyenleteibe:
\begin(igazított) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(igazított)
Természetesen felmerül a kérdés, hogy vajon az ellenőrzött megoldás az egyetlen. Az SLAE megoldások számának kérdését a vonatkozó témakörben tárgyaljuk.
2. példa
Vegye figyelembe a SLAE-t
\begin(egyenlet) \left \( \begin(igazított) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(igazított) \jobbra.\end(egyenlet)
A (3) rendszer egy SLAE, amely $5$ egyenleteket és $3$ ismeretleneket tartalmaz: $x_1,x_2,x_3$. Mivel ennek a rendszernek minden szabad tagja nulla, ezért az SLAE (3) homogén. Könnyen ellenőrizhető, hogy a $(0;0;0)$ gyűjtemény az adott SLAE megoldása. Ha például a (3) rendszer első egyenletébe behelyettesítjük az $x_1=0, x_2=0,x_3=0$ értékeket, a megfelelő egyenlőséget kapjuk: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . A más egyenletekre való behelyettesítés hasonló módon történik.
Minden SLAE-hez több mátrix társítható; sőt maga az SLAE is felírható mátrixegyenletként. Az SLAE (1) esetében vegye figyelembe a következő mátrixokat:
Az $A$ mátrixot hívjuk rendszermátrix. Ennek a mátrixnak az elemei az adott SLAE együtthatói.
A $\widetilde(A)$ mátrixot hívjuk kiterjesztett mátrix rendszer. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a rendszermátrixhoz hozzáadunk egy $b_1,b_2,…,b_m$ szabad tagokat tartalmazó oszlopot. Általában ezt az oszlopot függőleges vonal választja el - az áttekinthetőség érdekében.
A $B$ oszlopmátrixot hívjuk szabad kifejezések mátrixa, és a $X$ oszlopmátrix - ismeretlenek mátrixa.
A fent bemutatott jelöléssel az SLAE (1) felírható mátrixegyenlet formájában: $A\cdot X=B$.
jegyzet
A rendszerhez tartozó mátrixok többféleképpen is felírhatók: minden a vizsgált SLAE változóinak és egyenleteinek sorrendjétől függ. De mindenesetre az ismeretlenek sorrendjének egy adott SLAE minden egyenletében azonosnak kell lennie (lásd a 4. példát).
3. példa
Írja be: SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(igazított) \right.$ mátrix formában, és adja meg a rendszer kiterjesztett mátrixát.
Négy ismeretlenünk van, amelyek minden egyenletben a következő sorrendben következnek: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Az ismeretlenek mátrixa a következő lesz: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.
Ennek a rendszernek a szabad tagjait a $-5,0,-11$ számok fejezik ki, ezért a szabad tagok mátrixának alakja: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.
Térjünk át a rendszer mátrixának összeállítására. Ennek a mátrixnak az első sora tartalmazza az első egyenlet együtthatóit: $2.3,-5.1$.
A második sorba írjuk a második egyenlet együtthatóit: $4.0,-1.0$. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a második egyenletben szereplő $x_2$ és $x_4$ változókkal rendelkező rendszer együtthatói nullával egyenlőek (mivel ezek a változók hiányoznak a második egyenletből).
A rendszer mátrixának harmadik sorába írjuk a harmadik egyenlet együtthatóit: $0.14.8.1$. Figyelembe vesszük az együttható nullával való egyenlőségét a $x_1$ változónál (ez a változó hiányzik a harmadik egyenletből). A rendszermátrix így fog kinézni:
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$
A rendszermátrix és maga a rendszer közötti kapcsolat egyértelműbbé tétele érdekében felírom egymás mellé az adott SLAE-t és annak rendszermátrixát:
Mátrix formában az adott SLAE így fog kinézni: $A\cdot X=B$. A kibővített bejegyzésben:
$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(tömb) \jobbra) $$
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát. Ehhez a rendszermátrixhoz $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ adjon hozzá egy oszlopot a szabad kifejezésekből (azaz $-5,0,-11$). A következőt kapjuk: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(tömb) \jobbra) $.
4. példa
Írja be a következőt: SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ mátrix formában, és adja meg a rendszer kiterjesztett mátrixát.
Amint láthatja, az ismeretlenek sorrendje az SLAE egyenleteiben eltérő. Például a második egyenletben a sorrend: $a,y,c$, de a harmadik egyenletben: $c,y,a$. Mielőtt az SLAE-t mátrix formában írnánk fel, minden egyenletben azonosra kell tenni a változók sorrendjét.
A változókat egy adott SLAE egyenleteiben rendezheti különböző utak(három változó elrendezésének módjainak száma $3!=6$). Az ismeretlenek sorrendjének két módját fogom megvizsgálni.
1. számú módszer
Vezessük be a következő sorrendet: $c,y,a$. Írjuk át a rendszert, az ismeretleneket a kívánt sorrendbe helyezve: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25; \\ & -c+5a=-4.\end(igazított)\jobbra.$
Az érthetőség kedvéért a következőképpen írom le a SLAE-t: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(igazított)\jobbra.$
A rendszermátrix a következő: $ A=\left(\begin(array) (cccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( tömb) \jobbra) $. Szabad tagmátrix: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Az ismeretlenek mátrixának felírásakor ne felejtsük el az ismeretlenek sorrendjét: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Tehát az adott SLAE mátrix alakja a következő: $A\cdot X=B$. Kiterjesztett:
$$ \left(\begin(array) (cccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tömb) \jobbra) $$
A kiterjesztett rendszermátrix a következő: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.
2. számú módszer
Vezessük be a következő sorrendet: $a,c,y$. Írjuk át a rendszert úgy, hogy az ismeretleneket a kívánt sorrendbe tesszük: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(igazított)\jobbra.$
Az érthetőség kedvéért a következőképpen írom le a SLAE-t: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ vége(igazított)\jobbra.$
A rendszermátrix a következő: $ A=\left(\begin(array) (cccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( tömb)\right)$. Szabad tagmátrix: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Az ismeretlenek mátrixának felírásakor emlékezzünk az ismeretlenek sorrendjére: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Tehát az adott SLAE mátrix alakja a következő: $A\cdot X=B$. Kiterjesztett:
$$ \left(\begin(array) (cccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tömb) \jobbra) $$
A kiterjesztett rendszermátrix a következő: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(tömb) \jobbra) $.
Mint látható, az ismeretlenek sorrendjének megváltoztatása egyenértékű a rendszermátrix oszlopainak átrendezésével. De bármi legyen is az ismeretlenek elrendezése, egy adott SLAE minden egyenletében meg kell egyeznie.
Lineáris egyenletek- egy viszonylag egyszerű matematikai téma, amely gyakran megtalálható az algebrai feladatokban.
Nézzük meg, mi ez, és hogyan oldják meg a lineáris egyenleteket.
Általában, lineáris egyenlet egy ax + c = 0 alakú egyenlet, ahol a és c tetszőleges számok vagy együtthatók, x pedig egy ismeretlen szám.
Például egy lineáris egyenlet a következő lenne:
A lineáris egyenletek megoldása meglehetősen egyszerű. Ehhez matematikai technikát alkalmaznak, mint pl identitás-átalakítás. Találjuk ki, mi az.
Legyen ax + c = 10, ahol a = 4, c = 2.
Így a 4x + 2 = 10 egyenletet kapjuk.
A könnyebb és gyorsabb megoldás érdekében az azonos transzformáció első módszerét alkalmazzuk, vagyis az összes számot átvisszük az egyenlet jobb oldalára, az ismeretlent pedig 4x hagyjuk a bal oldalon.
Kap:
Így az egyenlet egy nagyon egyszerű feladattá redukálódik a kezdők számára. Csak az azonos átalakítás második módszerét kell használni - az egyenlet bal oldalán hagyva x-et, és a számokat a jobb oldalra kell vinni. Kapunk:
Vizsgálat:
4x + 2 = 10, ahol x = 2.
A válasz helyes.
Kétváltozós lineáris egyenletek megoldásánál gyakran alkalmazzák az ábrázolási módszert is. Az a tény, hogy az ax + wy + c \u003d 0 formájú egyenletnek általában sok megoldása van, mert sok szám illeszkedik a változók helyére, és az egyenlet minden esetben igaz marad.
Ezért a feladat megkönnyítése érdekében egy lineáris egyenlet grafikonját építjük fel.
Ennek felépítéséhez elegendő egy változó értékpárt venni - és a koordinátasíkon lévő pontokkal megjelölve egyenes vonalat húzni rajtuk. Ezen az egyenesen minden pont az egyenletünkben szereplő változók változata lesz.
Kifejezések, kifejezéskonverzió
A numerikus, literális és változókat tartalmazó kifejezések rekordjukban különféle aritmetikai műveletek jeleit tartalmazhatják. A kifejezések konvertálásakor és a kifejezések értékének kiszámításakor a műveleteket egy bizonyos sorrendben hajtják végre, más szóval figyelni kell a cselekvések sorrendje.
Ebben a cikkben kitaláljuk, mely műveleteket kell először végrehajtani, és melyeket utánuk. Kezdjük a legegyszerűbb esetekkel, amikor a kifejezés csak számokat vagy változókat tartalmaz, amelyeket plusz, mínusz, szorzás és osztás köt össze. Ezután elmagyarázzuk, hogy a műveletek végrehajtásának milyen sorrendjét kell követni a zárójeles kifejezésekben. Végezetül vegye figyelembe a műveletek végrehajtásának sorrendjét a hatványokat, gyököket és egyéb funkciókat tartalmazó kifejezésekben.
Az iskola a következőket biztosítja egy szabály, amely meghatározza a műveletek végrehajtásának sorrendjét a zárójel nélküli kifejezésekben:
A kimondott szabályt egészen természetesen érzékeljük. A balról jobbra haladó sorrendben történő műveletek végrehajtása azzal magyarázható, hogy nálunk általában balról jobbra haladva vezetünk nyilvántartást. És azt a tényt, hogy a szorzást és az osztást az összeadás és kivonás előtt hajtják végre, azzal a jelentéssel magyarázható, amelyet ezek a műveletek magukban hordoznak.
Nézzünk néhány példát ennek a szabálynak az alkalmazására. Példákként a legegyszerűbb numerikus kifejezéseket vesszük, hogy a számítások ne vonják el a figyelmünket, hanem a műveletek végrehajtásának sorrendjére összpontosítsunk.
Kövesse a 7-3+6 lépéseket.
Az eredeti kifejezés nem tartalmaz zárójelet, és nem tartalmaz szorzást és osztást sem. Ezért az összes műveletet balról jobbra kell végrehajtani, azaz először 7-ből kivonunk 3-at, 4-et kapunk, majd a kapott 4-es különbséghez hozzáadunk 6-ot, és 10-et kapunk.
A megoldást röviden a következőképpen írhatjuk fel: 7−3+6=4+6=10.
Jelölje be a műveletek végrehajtásának sorrendjét a 6:2·8:3 kifejezésben.
A probléma kérdésének megválaszolásához térjünk át arra a szabályra, amely jelzi a műveletek végrehajtásának sorrendjét a zárójel nélküli kifejezésekben. Az eredeti kifejezés csak a szorzás és osztás műveleteit tartalmazza, és a szabály szerint ezeket balról jobbra sorrendben kell végrehajtani.
Először osszuk el 6-ot 2-vel, szorozzuk meg ezt a hányadost 8-cal, végül osszuk el az eredményt 3-mal.
Számítsa ki a 17−5 6:3−2+4:2 kifejezés értékét!
Először is határozzuk meg, milyen sorrendben kell végrehajtani az eredeti kifejezésben szereplő műveleteket. Ez magában foglalja a szorzást és osztást, valamint az összeadást és kivonást is.
Először balról jobbra kell végrehajtania a szorzást és az osztást. Tehát 5-öt megszorozunk 6-tal, 30-at kapunk, ezt a számot elosztjuk 3-mal, 10-et kapunk. Most 4-et osztunk 2-vel, 2-t kapunk. Az eredeti kifejezésben 5 helyett 6:3 helyettesítjük a talált értéket 10, és a 4: 2 helyett a 2 értéke 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Az így kapott kifejezésben már nincs szorzás és osztás, így marad a többi műveletet balról jobbra sorrendben végrehajtani: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.
17−5 6:3−2+4:2=7.
Először, hogy ne keverjük össze a műveletek végrehajtásának sorrendjét egy kifejezés értékének kiszámításakor, célszerű számokat elhelyezni a műveletek előjelei felett, amelyek megfelelnek a végrehajtás sorrendjének. Az előző példa esetében ez így nézne ki: 
.
Ugyanezt a műveleti sorrendet - először szorzást és osztást, majd összeadást és kivonást - kell követni a szó szerinti kifejezésekkel végzett munka során.
Lap teteje
Egyes matematikai tankönyvekben az aritmetikai műveleteket az első és a második lépés műveleteire osztják. Foglalkozzunk ezzel.
Ezekben a feltételekben az előző bekezdésből származó szabály, amely meghatározza a műveletek végrehajtásának sorrendjét, a következőképpen lesz írva: ha a kifejezés nem tartalmaz zárójeleket, akkor balról jobbra sorrendben a második szakasz műveletei ( szorzás és osztás), majd az első szakasz műveleteit (összeadás és kivonás).
Lap teteje
A kifejezések gyakran tartalmaznak zárójeleket, amelyek jelzik a műveletek végrehajtásának sorrendjét. Ebben az esetben egy szabály, amely meghatározza a műveletek végrehajtásának sorrendjét a zárójeles kifejezésekben, a következőképpen fogalmazódik meg: először a zárójelben lévő műveleteket hajtjuk végre, miközben a szorzást és az osztást is balról jobbra, majd az összeadást és a kivonást.
Tehát a zárójelben lévő kifejezéseket az eredeti kifejezés összetevőinek tekintjük, és a cselekvések általunk már ismert sorrendje megmarad bennük. Tekintsük a példák megoldásait a nagyobb érthetőség érdekében.
Hajtsa végre a jelzett lépéseket 5+(7-2 3) (6-4):2.
A kifejezés zárójeleket tartalmaz, ezért először hajtsuk végre a műveleteket a zárójelekbe zárt kifejezésekben. Kezdjük a 7−2 3 kifejezéssel. Ebben először a szorzást kell végrehajtani, és csak azután a kivonást, 7−2 3=7−6=1. A 6–4 zárójelben lévő második kifejezésre térünk át. Itt csak egy művelet van - kivonás, ezt 6−4=2-vel hajtjuk végre.
A kapott értékeket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. A kapott kifejezésben először balról jobbra szorzást és osztást, majd kivonást hajtunk végre, így 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 kapunk. Ezen az összes művelet befejeződött, a következő végrehajtási sorrendet tartottuk be: 5+(7−2 3) (6−4):2.
Írjunk egy rövid megoldást: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
5+(7−2 3)(6−4):2=6.
Előfordul, hogy egy kifejezés zárójeleket tartalmaz zárójelben. Ettől nem kell félnie, csak következetesen alkalmaznia kell a hangos szabályt a zárójeles kifejezésekben végzett műveletek végrehajtására. Mutassunk egy példamegoldást.
Hajtsa végre a műveleteket a 4+(3+1+4 (2+3)) kifejezésben.
Ez egy zárójeles kifejezés, ami azt jelenti, hogy a műveletek végrehajtását zárójelben lévő kifejezéssel kell kezdeni, azaz 3 + 1 + 4 (2 + 3) kifejezéssel.
Ez a kifejezés zárójeleket is tartalmaz, ezért először azokban kell végrehajtania a műveleteket. Tegyük így: 2+3=5. A talált értéket behelyettesítve 3+1+4 5-öt kapunk. Ebben a kifejezésben először szorzást, majd összeadást hajtunk végre, 3+1+4 5=3+1+20=24. A kezdeti érték ennek az értéknek a behelyettesítése után 4+24 alakot vesz fel, és már csak a műveletek elvégzése marad hátra: 4+24=28.
4+(3+1+4 (2+3))=28.
Általában, ha egy kifejezésben zárójelek vannak a zárójelben, gyakran célszerű a belső zárójelekkel kezdeni, és a külső zárójelek felé haladni.
Tegyük fel például, hogy műveleteket kell végrehajtanunk a (4+(4+(4−6:2))−1)−1 kifejezésben. Először belső zárójelben hajtjuk végre a műveleteket, mivel 4−6:2=4−3=1, majd ezt követően az eredeti kifejezés (4+(4+1)−1)−1 alakot ölt. Ismét a belső zárójelben hajtjuk végre a műveletet, mivel 4+1=5, így a következő (4+5−1)−1 kifejezéshez jutunk. Ismét zárójelben hajtjuk végre a műveleteket: 4+5−1=8, miközben a 8−1 különbséghez jutunk, ami 7-tel egyenlő.
Lap teteje
Ha a kifejezés hatványokat, gyököket, logaritmusokat, szinuszokat, koszinuszokat, érintőket és kotangenseket, valamint egyéb függvényeket tartalmaz, akkor ezek értékét a program az egyéb műveletek végrehajtása előtt számítja ki, figyelembe véve az előző bekezdések szabályait is, amelyek meghatározzák a a műveletek végrehajtásának sorrendje. Vagyis a felsorolt dolgokat durván zárójelbe tettnek tekinthetjük, és tudjuk, hogy a zárójelben szereplő műveleteket hajtjuk végre először.
Nézzünk példákat.
Hajtsa végre a műveleteket a (3+1) 2+6 2:3−7 kifejezésben.
Ez a kifejezés 6 2 hatványt tartalmaz, értékét a többi lépés végrehajtása előtt ki kell számítani. Tehát hatványozást hajtunk végre: 6 2 \u003d 36. Ezt az értéket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe, ez (3+1) 2+36:3−7 alakot ölt.
Ekkor minden világos: zárójelben végezzük a műveleteket, ami után egy zárójel nélküli kifejezés marad, amelyben balról jobbra haladva először szorzást és osztást, majd összeadást és kivonást hajtunk végre. Van (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.
(3+1) 2+6 2:3−7=13.
Másokat, beleértve a gyökökkel, fokokkal stb. rendelkező kifejezésekben végzett műveletek bonyolultabb példáit, a kifejezések értékeinek kiszámításáról szóló cikkben láthatja.
Lap teteje
Első lépések cselekvéseiösszeadásnak és kivonásnak, szorzásnak és osztásnak nevezzük második lépés lépései.
Írja fel általános formában a lineáris algebrai egyenletrendszert!
Mi az a SLAE megoldás?
Egy egyenletrendszer megoldása n számból álló halmaz,
Ha melyiket behelyettesítjük a rendszerbe, minden egyenlet azonossággá válik.
Milyen rendszert nevezünk ízületnek (nem ízületnek)?
Egy egyenletrendszert akkor nevezünk konzisztensnek, ha van legalább egy megoldása.
Egy rendszert inkonzisztensnek nevezünk, ha nincs megoldása.
Melyik rendszert nevezzük határozottnak (határozatlannak)?
Egy közös rendszert határozottnak nevezünk, ha egyedi megoldása van.
Egy közös rendszert határozatlannak nevezünk, ha egynél több megoldása van.
Egyenletrendszer felírásának mátrix formája
A vektorrendszer rangja
Egy vektorrendszer rangja a lineárisan független vektorok maximális száma.
Mátrix rang és megtalálásának módjai
Mátrix rang- ennek a mátrixnak a minorjainak a legmagasabb rendje, amelynek determinánsa nullától eltérő.
Az első módszer, a szegélyezési módszer a következő:
Ha minden kiskorú I. rendű, i.e. mátrixelemek egyenlőek nullával, akkor r=0 .
Ha az 1. rendű mollok közül legalább egy nem egyenlő nullával, és az összes 2. rendű moll egyenlő nullával, akkor r=1.
Ha a 2. rendű kiskorú nem nulla, akkor a 3. rendű kiskorúakat vizsgáljuk. Ily módon megkeresik a k-edik rendű minort, és ellenőrzik, hogy a k+1-edik rendű mollok nem egyenlőek-e nullával.
Ha minden k+1 rendű minor egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő a k számmal. Az ilyen k+1 rendű mollokat általában a k-rendű moll "szélezésével" találjuk meg.
A második módszer a mátrix rangjának meghatározására az, hogy a mátrix elemi transzformációit alkalmazzuk, amikor átlós alakra emeljük. Egy ilyen mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő átlós elemek számával.
Inhomogén lineáris egyenletrendszer általános megoldása, tulajdonságai.
1. tulajdonság. A lineáris egyenletrendszer bármely megoldásának és a megfelelő homogén rendszer bármely megoldásának összege a lineáris egyenletrendszer megoldása.
2. tulajdonság.
Egy inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely két megoldásának különbsége a megfelelő homogén rendszer megoldása.
Gauss módszer az SLAE megoldására
Sorozat:
1) összeállítjuk az egyenletrendszer kiterjesztett mátrixát
2) elemi transzformációk segítségével a mátrixot lépcsős formára redukáljuk
3) meghatározzák a rendszer kiterjesztett mátrixának és a rendszer mátrixának rangját, és megállapítják a rendszer kompatibilitási vagy inkompatibilitásának egyezményét
4) kompatibilitás esetén az ekvivalens egyenletrendszert írjuk fel
5) megtaláljuk a rendszer megoldását. A fő változókat szabadon fejezzük ki
Kronecker-Capelli tétel
Kronecker - Capelli tétel- a lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitási kritériuma:
Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha főmátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, és a rendszernek egyedi megoldása van, ha a rang egyenlő az ismeretlenek számával, és egy végtelen számú megoldás, ha a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma.
Ahhoz, hogy egy lineáris rendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával.
Mikor nincs megoldása a rendszernek, mikor egyetlen megoldása van, sok megoldása van?
Ha a rendszeregyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával, és főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldása van, homogén rendszer esetén pedig minden ismeretlen változók egyenlőek nullával.
Egy olyan lineáris egyenletrendszert, amelynek legalább egy megoldása van, konzisztensnek nevezzük. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor inkonzisztensnek nevezzük.
A lineáris egyenleteket konzisztensnek nevezzük, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldás. A 14. példában a rendszer kompatibilis, az oszlop a megoldása:
Ez a megoldás mátrixok nélkül is felírható: x = 2, y = 1.
Egy egyenletrendszert határozatlannak nevezünk, ha egynél több megoldása van, és határozottnak, ha a megoldás egyedi.
15. példa A rendszer határozatlan. Például ... a megoldásai. Az olvasó sok más megoldást is találhat erre a rendszerre.
Tanuljuk meg először a lineáris egyenletrendszerek megoldását egy adott esetben. Az AX = B egyenletrendszert Cramer-félenek nevezzük, ha А főmátrixa négyzet alakú és nem degenerált. Más szóval, a crameri rendszerben az ismeretlenek száma egybeesik az egyenletek számával és |A| = 0.
6. Tétel (Cramer-szabály). A Cramer lineáris egyenletrendszer egyedi megoldást kínál a következő képletekkel:
ahol Δ = |A| a fő mátrix determinánsa, Δi az A-ból kapott determináns, ha az i-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.
A bizonyítást n = 3 esetén hajtjuk végre, mivel általános esetben az érvek hasonlóak.
Tehát van egy Cramer rendszer:
Először tegyük fel, hogy a rendszernek létezik megoldása, azaz vannak
Szorozzuk meg az elsőt. egyenlőség az algebrai kiegészítésen az aii elemhez, a második egyenlőség - az A2i-n, a harmadik - az A3i-n, és hozzáadjuk a kapott egyenlőségeket:
Lineáris egyenletrendszer ~ Rendszermegoldás ~ Konzisztens és inkonzisztens rendszerek ~ Homogén rendszer ~ Homogén rendszer konzisztenciája ~ A rendszermátrix rangja ~ A nem triviális kompatibilitás feltétele ~ Megoldások alapvető rendszere. Általános megoldás ~ Homogén rendszer vizsgálata
Fontolja meg a rendszert m lineáris algebrai egyenletek tekintetében n ismeretlen
x 1 , x 2 , …, x n :
Döntés rendszert totalitásnak nevezzük n ismeretlen értékek
x 1 \u003d x' 1, x 2 \u003d x' 2, ..., x n \u003d x' n,
amelyek behelyettesítésekor a rendszer összes egyenlete azonossággá változik.
A lineáris egyenletrendszer felírható mátrix formában:
ahol A- rendszermátrix, b- jobb oldali rész, x- kívánt megoldás Ap - kiterjesztett mátrix rendszerek:
.
Az olyan rendszert, amelynek legalább egy megoldása van, ún közös; rendszer, amelyre nincs megoldás összeegyeztethetetlen.
A homogén lineáris egyenletrendszer olyan rendszer, amelynek jobb oldala nulla:
Egy homogén rendszer mátrixnézete: ax=0.
Egy homogén rendszer mindig konzisztens, mivel minden homogén lineáris rendszernek van legalább egy megoldása:
x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n \u003d 0.
Ha egy homogén rendszernek egyedi megoldása van, akkor ez az egyedi megoldás nulla, és a rendszert ún triviálisan közös. Ha egy homogén rendszernek több megoldása is van, akkor ezek között vannak nem nulla megoldások is, és ebben az esetben a rendszer ún. nem triviális ízület.
Bebizonyosodott, hogy at m=n a nem triviális rendszerkompatibilitás érdekében szükséges és elégséges hogy a rendszer mátrixának determinánsa egyenlő legyen nullával.
1. PÉLDA Egy homogén lineáris egyenletrendszer nem triviális kompatibilitása négyzetmátrixszal.
A Gauss-eliminációs algoritmust a rendszermátrixra alkalmazva a rendszermátrixot lépésformára redukáljuk
.
Szám r nem nulla sorokat egy mátrix lépéses formájában hívják mátrix rang, jelöli
r=rg(A) vagy r=Rg(A).
A következő állítás igaz.
Ahhoz, hogy egy homogén rendszer nem triviálisan konzisztens legyen, szükséges és elégséges, hogy a rang r rendszermátrix kisebb volt, mint az ismeretlenek száma n.
2. PÉLDA Három, négy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlet homogén rendszerének nem triviális kompatibilitása.
Ha egy homogén rendszer nem triviálisan konzisztens, akkor végtelen számú megoldása van, és a rendszer tetszőleges megoldásainak lineáris kombinációja a megoldása is.
Bebizonyosodott, hogy egy homogén rendszer végtelen megoldáshalmaza között pontosan n-r lineárisan független megoldások.
Összesített n-r egy homogén rendszer lineárisan független megoldásait ún alapvető döntési rendszer. A rendszer bármely megoldása lineárisan fejeződik ki az alaprendszerben. Így ha a rang r mátrixok A homogén lineáris rendszer ax=0 kevesebb az ismeretlen nés vektorok
e 1 , e 2 , …, e n-r kialakítja alapvető megoldási rendszerét ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), akkor bármilyen megoldás x rendszerek ax=0 formába írható
x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,
ahol c 1, c 2, …, c n-r tetszőleges állandók. Az írott kifejezést ún közös megoldás homogén rendszer .
Kutatás
A homogén rendszer azt jelenti, hogy megállapítjuk, hogy nem triviálisan konzisztens-e, és ha igen, akkor találjunk egy alapvető megoldási rendszert, és írjunk le egy kifejezést a rendszer általános megoldására.
Homogén rendszert vizsgálunk Gauss-módszerrel.
a vizsgált homogén rendszer mátrixa, melynek rangja az r< n .
Az ilyen mátrixot a Gauss-elimináció lépcsős formává redukálja
.
A megfelelő ekvivalens rendszernek van alakja
Innen könnyű kifejezéseket szerezni a változókhoz x 1, x 2, …, x r keresztül x r+1, xr+2, …, x n. Változók
x 1, x 2, …, x r hívott alapvető változókés változók x r+1, xr+2, …, x n - szabad változók.
A szabad változókat a jobb oldalra áthelyezve megkapjuk a képleteket
amelyek meghatározzák a rendszer átfogó megoldását.
Állítsuk egymás után egyenlőnek a szabad változók értékeit
és számítsa ki az alapváltozók megfelelő értékeit. Megkapta n-r A megoldások lineárisan függetlenek, és ezért a vizsgált homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét alkotják:
Homogén rendszer kompatibilitási vizsgálata Gauss módszerrel.
