A homogén rendszer oldatai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek. Ha a vektor = (α 1 , α 2 ,... , α n) a (15.14) rendszer megoldása, akkor tetszőleges számra k vektor k = (kα 1 , ka 2 ,..., kα n) lesz a megoldás erre a rendszerre. Ha a (15.14) rendszer megoldása az = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ vektor n), majd az összeget + ennek a rendszernek a megoldása is lesz. Ebből következik tehát egy homogén rendszer megoldásainak tetszőleges lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása is.
Mint a 12.2. szakaszból tudjuk, bármely rendszer n-dimenziós vektorok, amelyek több mint P vektorok, lineárisan függ. Így a (15.14) homogén rendszer megoldásvektorainak halmazából választhatunk egy bázist, azaz. az adott rendszer bármely megoldásvektora ennek a bázisnak a vektorainak lineáris kombinációja lesz. Minden ilyen alapot nevezünk alapvető döntési rendszer homogén lineáris egyenletrendszer. A következő tétel igaz, amit bizonyítás nélkül mutatunk be.
4. TÉTEL. Ha a rendszer r rangja homogén egyenletek (15.14) kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor a rendszer bármely alapvető megoldási rendszere (15.14) n - r megoldásból áll.
Mutassunk most egy módszert az alapvető megoldási rendszer (FSR) megtalálására. Legyen rangja a (15.14) homogén egyenletrendszernek r< п. Aztán, ahogy Cramer szabályaiból következik, ennek a rendszernek az alapvető ismeretlenségei x 1 , x 2 , … x r lineárisan fejezik ki szabad változókkal x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:
A homogén rendszer (15.14) egyes megoldásait a következő elv szerint különítjük el. Az első 1. megoldásvektor megtalálásához beállítjuk x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Ekkor megtaláljuk a második megoldást 2: elfogadjuk x r+2 = 1 és a többi r- 1 szabad változó nullára van állítva. Más szóval, minden szabad változóhoz szekvenciálisan egyetlen értéket rendelünk, a többit nullára állítjuk. Így a megoldások alapvető rendszere vektor formában, figyelembe véve az elsőt r bázisváltozók (15.15) alakja
Az FSR (15.16) a homogén rendszer (15.14) egyik alapvető megoldási halmaza.
1. példa Keressen megoldást és FSR-t egy homogén egyenletrendszerre
Megoldás. Ezt a rendszert Gauss-módszerrel fogjuk megoldani. Mivel a rendszeregyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, feltételezzük x 1 , x 2 , x 3 alapvető ismeretlen, és x 4 , X 5 , x 6 - szabad változók. Állítsuk össze a rendszer kiterjesztett mátrixát, és hajtsuk végre azokat a műveleteket, amelyek a metódus közvetlen menetét alkotják.
A Gauss-módszernek számos hátránya van: nem lehet tudni, hogy a rendszer konzisztens-e vagy sem, amíg a Gauss-módszerben szükséges összes transzformációt el nem végeztük; a Gauss-módszer nem alkalmas betűegyütthatós rendszerekre.
Tekintsünk más módszereket a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Ezek a módszerek a mátrix rangjának fogalmát használják, és csökkentik bármelyik megoldását ízületi rendszer egy olyan rendszer megoldására, amelyre Cramer szabálya vonatkozik.
1. példa megtalálja közös döntés a következő lineáris egyenletrendszer, amely a redukált homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét és az inhomogén rendszer egy speciális megoldását használja.
1. Készítünk egy mátrixot Aés a rendszer kiterjesztett mátrixa (1)
2. Fedezze fel a rendszert (1) a kompatibilitás érdekében. Ehhez megkeressük a mátrixok rangsorait Aés https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ha kiderül, hogy , akkor a rendszer (1) összeegyeztethetetlen. Ha ezt megkapjuk , akkor ez a rendszer konzisztens és mi megoldjuk. (A konzisztencia vizsgálat a Kronecker-Capelli tételen alapul).
a. Találunk rA.
Megtalálni rA, akkor a mátrix első, második stb. Aés az őket körülvevő kiskorúak.
M1=1≠0 (1 a mátrix bal felső sarkából származik DE).
Határos M1 ennek a mátrixnak a második sora és második oszlopa. 
. Tovább haladunk a határon M1 a második sor és a harmadik oszlop..gif" width="37" height="20 src=">. Most szegélyezzük a nem nulla kisebbet М2′ másodrendű.
Nekünk van: 
(mert az első két oszlop ugyanaz)
(mert a második és a harmadik sor arányos).
Ezt látjuk rA=2, és a mátrix alapmollja A.
b. Találunk .
Kellően alapvető moll М2′ mátrixok A határolja a szabad tagok oszlopával és az összes sorral (csak az utolsó sorunk van).
. Ebből az következik М3′′ továbbra is a mátrix alapmollja marad https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Mert М2′- a mátrix alapmoll A rendszerek (2) , akkor ez a rendszer egyenértékű a rendszerrel (3) , amely a rendszer első két egyenletéből áll (2) (mert М2′ az A mátrix első két sorában található).
(3)
Mivel az alap minor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Ebben a rendszerben két szabad ismeretlen ( x2 és x4 ). Ezért FSR rendszerek (4) két megoldásból áll. Megtalálásukhoz szabad ismeretleneket rendelünk hozzá (4) az értékek először x2=1 , x4=0 , és akkor - x2=0 , x4=1 .
Nál nél x2=1 , x4=0 kapunk:
.
Ez a rendszer már megvan Az egyetlen dolog megoldás (megtalálható Cramer szabályával vagy bármilyen más módszerrel). Az első egyenletet kivonva a második egyenletből a következőt kapjuk:
Az ő döntése lesz x1= -1 , x3=0 . Adott az értékek x2 és x4 , amelyet megadtunk, megkapjuk a rendszer első alapvető megoldását (2) : .
Most beletesszük (4) x2=0 , x4=1 . Kapunk:
.
Ezt a rendszert Cramer tételével oldjuk meg:
.
Megkapjuk a rendszer második alapvető megoldását (2) : .
Megoldások β1 , β2 és sminkeljük FSR rendszerek (2) . Akkor az általános megoldása lesz
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Itt C1 , C2 tetszőleges állandók.
4. Keress egyet magán megoldás heterogén rendszer(1) . Mint a bekezdésben 3 , a rendszer helyett (1) fontolja meg az egyenértékű rendszert (5) , amely a rendszer első két egyenletéből áll (1) .
(5)
A szabad ismeretleneket átvisszük a jobb oldalra x2és x4.
(6)
Adjunk szabadon ismeretleneket x2 és x4 tetszőleges értékek, pl. x2=2 , x4=1 és dugja be őket (6) . Vegyük a rendszert
Ennek a rendszernek van egyetlen döntés(mert a meghatározó М2′0). Megoldva (a Cramer-tétellel vagy a Gauss-módszerrel) megkapjuk x1=3 , x3=3 . Tekintettel a szabad ismeretlenek értékeire x2 és x4 , kapunk egy inhomogén rendszer sajátos megoldása(1)α1=(3,2,3,1).
5. Most van hátra az írás inhomogén rendszer α általános megoldása(1) : egyenlő az összeggel magándöntés ez a rendszer és redukált homogén rendszerének általános megoldása (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Ez azt jelenti, hogy: 
(7)
6. Vizsgálat. Annak ellenőrzésére, hogy helyesen oldotta-e meg a rendszert (1) , általános megoldásra van szükségünk (7) helyettesíti be (1) . Ha minden egyenlet azonossággá válik ( C1 és C2 meg kell semmisíteni), akkor a megoldás helyesen található.
helyettesítjük (7) például csak a rendszer utolsó egyenletében (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
A következőt kapjuk: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Ahol -1=-1. Megvan az identitásunk. Ezt tesszük a rendszer összes többi egyenletével (1) .
Megjegyzés. Az ellenőrzés általában meglehetősen nehézkes. A következő "részleges ellenőrzést" tudjuk javasolni: a rendszer átfogó megoldásában (1) rendeljen hozzá néhány értéket tetszőleges állandókhoz, és a kapott konkrét megoldást csak az elvetett egyenletekbe (azaz a (1) amelyek nem szerepelnek benne (5) ). Ha megkapod az identitásokat, akkor legvalószínűbb, a rendszer megoldása (1) helyesen talált (de egy ilyen ellenőrzés nem ad teljes garanciát a helyességre!). Például, ha be (7) tegye C2=- 1 , C1=1, akkor kapjuk: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Az (1) rendszer utolsó egyenletébe behelyettesítve a következőket kapjuk: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , azaz –1=–1. Megvan az identitásunk.
2. példa Keressen általános megoldást egy lineáris egyenletrendszerre! (1) , amely a fő ismeretleneket szabadon fejezi ki.
Megoldás. Mint a példa 1, mátrixok összeállítása Aés https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ezen mátrixok közül. Most csak a rendszer egyenleteit hagyjuk (1) , amelyek együtthatói ebben az alapmollban szerepelnek (azaz megvan az első két egyenlet), és tekintsük a belőlük álló rendszert, amely ekvivalens az (1) rendszerrel.
Vigyük át a szabad ismeretleneket ezen egyenletek jobb oldalára.
rendszer (9) Gauss-módszerrel oldjuk meg, a megfelelő részeket szabad tagoknak tekintve.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
2. lehetőség.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
4. lehetőség.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
5. lehetőség.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
6. lehetőség.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
1. példa. Keressen egy általános megoldást és néhány alapvető megoldási rendszert a rendszer számáraMegoldás számológéppel keresse meg. A megoldási algoritmus ugyanaz, mint a lineáris inhomogén egyenletrendszereknél.
Csak sorokkal operálva megtaláljuk a mátrix rangját, az alapmollt; függő és szabad ismeretleneket deklarálunk, és megtaláljuk az általános megoldást.
.
; .
, a második - 
.
2. példa. Keresse meg az általános megoldást és a rendszer alapvető megoldási rendszerét! 
Megoldás.
,
ebből következik, hogy a mátrix rangja 3 és egyenlő a számmal ismeretlen. Ez azt jelenti, hogy a rendszerben nincsenek szabad ismeretlenek, ezért van egy egyedi megoldása - egy triviális.
Gyakorlat . Lineáris egyenletrendszer feltárása és megoldása.
4. példa
Gyakorlat . Keressen általános és egyedi megoldásokat minden rendszerhez.
Megoldás. Felírjuk a rendszer fő mátrixát:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x2 | x4 | x 3 | x5 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Egy feladat . Találja meg a megoldások alapvető halmazát egy homogén lineáris egyenletrendszerre.
Mátrix adatok
Keresse meg: 1) aA - bB,
Megoldás: 1) A mátrix számmal való szorzására és mátrixok összeadására vonatkozó szabályokat használva szekvenciálisan megtaláljuk a ..
2. Keresse meg az A*B-t, ha
Megoldás: Használja a mátrixszorzási szabályt
Válasz: 
3. Adott mátrixhoz keressük meg a minor M 31-et, és számítsuk ki a determinánst.
Megoldás: A kisebb M 31 az A-ból kapott mátrix determinánsa
a 3. sor és az 1. oszlop törlése után. Keresse meg
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Alakítsuk át az A mátrixot a determináns megváltoztatása nélkül (tegyünk nullákat az 1. sorban)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Most kiszámítjuk az A mátrix determinánsát az 1. sor mentén történő kiterjesztéssel
Válasz: M 31 = 0, detA = 0
Oldja meg a Gauss módszerrel és a Cramer módszerrel.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x1 + x2 + 2x3 = 5
Megoldás: Nézzük meg
Használhatja Cramer módszerét
Rendszermegoldás: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
A Gauss-módszert alkalmazzuk.
A rendszer kiterjesztett mátrixát háromszög alakúra redukáljuk.
A számítások megkönnyítése érdekében felcseréljük a sorokat:
Szorozzuk meg a 2. sort ezzel (k = -1 / 2 = -1 / 2 ), és a 3.-hoz add hozzá:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Szorozzuk meg az 1. sort ezzel (k = -2 / 2 = -1 ), és a másodikhoz adjuk hozzá:
Most az eredeti rendszer így írható:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
A 2. sorból fejezzük ki
Az 1. sorból fejezzük ki
A megoldás ugyanaz.
Válasz: (2; -5; 3)
Keresse meg a rendszer és az FSR általános megoldását
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Megoldás: Alkalmazza a Gauss-módszert. A rendszer kiterjesztett mátrixát háromszög alakúra redukáljuk.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Szorozzuk meg az 1. sort (-11)-el. Szorozzuk meg a 2. sort (13-mal). Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:
| -2 | -2 | -3 | ||
Szorozzuk meg a 2. sort (-5)-tel. Szorozzuk meg a 3. sort (11-gyel). Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:
Szorozzuk meg a 3. sort (-7)-tel. Szorozzuk meg a 4. sort (5-tel). Adjuk hozzá a negyedik sort a harmadikhoz:
A második egyenlet a többi lineáris kombinációja
Keresse meg a mátrix rangját!
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
A kiválasztott moll a legmagasabb rendű (az összes lehetséges moll közül), és nem nulla (egyenlő a reciprok átlón lévő elemek szorzatával), ezért rang(A) = 2.
Ez a minor alap. Ismeretlen x 1, x 2 együtthatóit tartalmaz, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 1, x 2 függő (alap), az x 3, x 4, x 5 pedig szabad.
A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5
7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével azt találjuk közös döntés:
x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét (FSR), amely (n-r) megoldásokból áll. Esetünkben n=5, r=2, ezért a megoldások alaprendszere 3 megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük.
Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből összeállított mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 3-mal.
A szabad ismeretleneknek elegendő x 3 ,x 4 ,x 5 értéket megadni a 3. rendű determináns nullától eltérő soraiból, és kiszámolni x 1 ,x 2 -t.
A legegyszerűbb nem nulla determináns az azonosságmátrix.
De itt kényelmesebb venni
Az általános megoldást használva találjuk:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
I FSR döntés: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
II. FSR döntés: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
határozat III FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0; 6)
6. Adott: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Keresse meg: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Megoldás: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Válasz: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i
Szolgálati megbízás. Az online számológépet úgy tervezték, hogy egy nem triviális és alapvető megoldást találjon az SLAE-hez. Az eredményül kapott megoldás Word fájlba kerül (lásd a megoldási példát).
Utasítás. Válassza ki a mátrix méretét:
Tétel. Az m=n esetben a rendszernek akkor és csak akkor van nem triviális megoldása, ha ennek a rendszernek a determinánsa nulla.
Tétel. A megoldások bármely lineáris kombinációja egy rendszerre egyben megoldás is a rendszerre.
Meghatározás. A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak halmazát ún alapvető döntési rendszer ha ez a gyűjtemény lineárisan független megoldásokból áll és a rendszer bármely megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja.
Tétel. Ha a rendszermátrix r rangja kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor létezik egy alapvető megoldási rendszer, amely (n-r) megoldásokból áll.
Példa. Keresse meg a vektorrendszer alapját (a 1 , a 2 ,...,a m), rangsorolja és fejezze ki a vektorokat bázissal! Ha a 1 =(0,0,1,-1) és 2 =(1,1,2,0) és 3 =(1,1,1,1) és 4 =(3,2,1 ,4) és 5 =(2,1,0,3).
Felírjuk a rendszer fő mátrixát:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
