Minden tanuló tudja, hogy a hipotenusz négyzete mindig egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyike négyzetes. Ezt az állítást Pitagorasz-tételnek nevezzük. Ez az egyik leghíresebb tétel a trigonometriában és általában a matematikában. Tekintsük részletesebben.
Mielőtt rátérnénk a Pitagorasz-tételre, amelyben a hipotenusz négyzete egyenlő a négyzetre emelt lábak összegével, meg kell vizsgálnunk a derékszögű háromszög fogalmát és tulajdonságait, amelyre a tétel érvényes.
A háromszög egy lapos alak, amelynek három szöge és három oldala van. A derékszögű háromszögnek, ahogy a neve is sugallja, van egy derékszöge, vagyis ez a szög 90 o.
Tól től közös tulajdonságok minden háromszögre ismert, hogy ennek az ábrának mindhárom szögének összege 180 o, ami azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögnél két nem derékszögű szög összege 180 o - 90 o = 90 o. Utolsó tény azt jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármely szöge, amely nem derékszög, mindig kisebb lesz 90o-nál.
Az az oldal, amelyik ellen fekszik derékszög, az úgynevezett hipotenusz. A másik két oldal a háromszög lábai, lehetnek egyenlőek egymással, vagy különbözhetnek is. A trigonometriából ismeretes, hogy minél nagyobb a szög, amellyel az oldal befekszik a háromszögben, az hosszabb ez az oldal. Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben a hipotenusz (a 90 o-os szöggel szemben helyezkedik el) mindig nagyobb lesz, mint bármelyik szár (a szögekkel szemben helyezkedik el)< 90 o).
Ez a tétel kimondja, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyikét előzőleg négyzetre vetették. Ennek a megfogalmazásnak a matematikai felírásához tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelyben az a, b és c oldalak a két láb, illetve a befogó. Ebben az esetben a tétel, amely úgy van megfogalmazva, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, a következő képlettel ábrázolható: c 2 \u003d a 2 + b 2. Innen további, a gyakorlat szempontjából fontos képletek is beszerezhetők: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) és c \u003d √ (a 2 + b 2).
Ne feledje, hogy egy derékszögű egyenlő oldalú háromszög, azaz a \u003d b esetén a megfogalmazás: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyike négyzetes, matematikailag a következőképpen van felírva: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, amelyből az egyenlőség következik: c = a√2.
A Pitagorasz-tételt, amely kimondja, hogy a lábak összege, amelyek mindegyike négyzetes, egyenlő a hipotenusz négyzetével, már jóval azelőtt ismert volt, hogy a híres görög filozófus felhívta volna rá a figyelmet. Sok papirusz Az ókori Egyiptom, valamint a babilóniai agyagtáblák megerősítik, hogy ezek a népek egy derékszögű háromszög oldalainak megemlített tulajdonságát használták. Például az egyik első egyiptomi piramis, a Khafre piramis, amelynek építése a Kr.e. 26. századra nyúlik vissza (2000 évvel Pitagorasz élete előtt), a képarány ismerete alapján épült egy 3x4x5-ös derékszögű háromszögben.
Akkor most miért viseli a tétel görög nevét? A válasz egyszerű: Pythagoras az első, aki matematikailag bizonyítja ezt a tételt. A fennmaradt babiloni és egyiptomi írott források csak a használatáról beszélnek, de matematikai bizonyítékkal nem szolgálnak.
Úgy gondolják, hogy Pythagoras a vizsgált tételt hasonló háromszögek tulajdonságainak felhasználásával igazolta, amelyet úgy kapott, hogy egy derékszögű háromszögben egy magasságot rajzolt a hipotenuszhoz képest 90 o-os szögből.
Tekintsünk egy egyszerű problémát: meg kell határozni egy ferde lépcső L hosszát, ha tudjuk, hogy magassága H = 3 méter, és a faltól való távolság, amelyen a lépcső támaszkodik, a lábától P = 2,5 méter.
NÁL NÉL ez az eset H és P a lábak, és L a hipotenusz. Mivel a hipotenusz hossza megegyezik a lábak négyzeteinek összegével, a következőt kapjuk: L 2 \u003d H 2 + P 2, ahonnan L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2,5 2) \u003d 3,905 méter vagy 3 m és 90, 5 cm
A kreativitás lehetőségét általában a bölcsészettudományoknak tulajdonítják, meghagyva a képletek és számok természettudományos elemzését, gyakorlatias megközelítését és száraz nyelvezetét. A matematika nem sorolható a humán tárgyak közé. De a "minden tudomány királynőjében" kreativitás nélkül nem megy messzire - az emberek ezt régóta tudják. Püthagorasz kora óta például.
Az iskolai tankönyvek sajnos általában nem magyarázzák el, hogy a matematikában nem csak tételek, axiómák és képletek zsúfolása fontos. Fontos megérteni és átérezni az alapvető elveit. És közben próbálja meg felszabadítani elméjét a kliséktől és az elemi igazságoktól – csak ilyen körülmények között születik minden nagy felfedezés.
Ilyen felfedezések közé tartozik az is, amelyet ma Pitagorasz-tételként ismerünk. Segítségével megpróbáljuk megmutatni, hogy a matematika nem csak tud, de szórakoztató is kell legyen. És hogy ez a kaland nem csak a vastag szemüveges nebulóknak szól, hanem mindenkinek, aki erős elmében és erős lélekben.
Szigorúan véve, bár a tételt "Pitagorasz-tételnek" nevezik, maga Pythagoras nem fedezte fel. A derékszögű háromszöget és speciális tulajdonságait már jóval előtte tanulmányozták. Ebben a kérdésben két sarkos nézőpont létezik. Az egyik változat szerint Pythagoras volt az első, aki teljes bizonyítást talált a tételre. Egy másik szerint a bizonyítás nem Püthagorasz szerzőségéhez tartozik.
Ma már nem tudod ellenőrizni, hogy kinek van igaza és kinek nincs igaza. Csak annyit tudunk, hogy Pythagoras bizonyítéka, ha valaha is létezett, nem maradt fenn. Vannak azonban olyan felvetések, hogy az Euklidész elemeiből származó híres bizonyíték Pythagorasé lehet, és Eukleidész csak feljegyezte.
Ma az is ismert, hogy a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák I. Amenemhet fáraó idejéből származó egyiptomi forrásokban, Hammurapi király uralkodása idejéből származó babiloni agyagtáblákon, a Sulva Sutra című ősi indiai értekezésben és a Zhou című ősi kínai műben találhatók. -bi suan jin.
Amint láthatja, a Pitagorasz-tétel ősidők óta foglalkoztatja a matematikusok elméjét. Körülbelül 367 különféle ma létező bizonyíték szolgál megerősítésként. Ebben a tekintetben semmilyen más tétel nem versenyezhet vele. A figyelemre méltó bizonyítékok szerzői többek között Leonardo da Vinci és az Egyesült Államok 20. elnöke, James Garfield. Mindez e tétel rendkívüli fontosságáról beszél a matematika számára: a geometria tételeinek többsége ebből származik, vagy így vagy úgy kapcsolódik hozzá.
Az iskolai tankönyvek többnyire algebrai bizonyítást adnak. De a tétel lényege a geometriában van, ezért először is vegyük figyelembe a híres tétel azon bizonyításait, amelyek ezen a tudományon alapulnak.
A Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögre vonatkozó legegyszerűbb bizonyításához ideális feltételeket kell felállítani: legyen a háromszög ne csak derékszögű, hanem egyenlő szárú is. Okkal feltételezhető, hogy az ókori matematikusok eredetileg egy ilyen háromszögnek számítottak.
Nyilatkozat "egy derékszögű háromszög befogójára épített négyzet egyenlő a lábaira épített négyzetek összegével." az alábbi rajzzal szemléltethető:
Nézze meg az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszöget: Az AC hipotenuzon négy háromszögből álló négyzetet építhet, amely megegyezik az eredeti ABC-vel. És a négyzetre épített AB és BC lábakon, amelyek mindegyike két hasonló háromszöget tartalmaz.
Ez a rajz egyébként számos anekdota és rajzfilm alapját képezte, amelyeket a Pitagorasz-tételnek szenteltek. Talán a leghíresebb az "A Pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő":
Ez a módszer ötvözi az algebrát és a geometriát, és Bhaskari matematikus ősi indiai bizonyítékának egy változatának tekinthető.
Szerkesszünk derékszögű háromszöget oldalakkal a, b és c(1. ábra). Ezután építsünk két négyzetet, amelyek oldalai megegyeznek a két láb hosszának összegével - (a+b). Mindegyik négyzetben készítsen konstrukciókat a 2. és 3. ábrán látható módon.
Az első négyzetbe építsen négy ugyanolyan háromszöget, mint az 1. ábrán. Ennek eredményeként két négyzetet kapunk: az egyiknek a oldala, a másodiknak oldala b.
A második négyzetben négy hasonló háromszög alkot egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő a befogóval c.
A 2. ábrán megszerkesztett négyzetek területeinek összege megegyezik a 3. ábrán a c oldallal megszerkesztett négyzet területével. Ez könnyen ellenőrizhető az ábra négyzeteinek területeinek kiszámításával. 2 a képlet szerint. A beírt négyzet területe pedig a 3. ábrán úgy, hogy a négyzetbe írt négy egyenlő derékszögű háromszög területét kivonjuk egy oldalsó nagy négyzet területéből. (a+b).
Mindezt leírva a következőket kapjuk: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Bontsa ki a zárójeleket, végezze el az összes szükséges algebrai számítást, és kapja meg azt a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ugyanakkor a 3. ábrán beírt terület területe. négyzet a hagyományos képlettel is kiszámítható S=c2. Azok. a2+b2=c2 Bebizonyítottad a Pitagorasz-tételt.
Ugyanezt az ősi indiai bizonyítékot írja le a 12. században „A tudás koronája” („Siddhanta Shiromani”) című értekezésben, és fő érvként a szerző a hallgatók matematikai tehetségére és megfigyelőképességére irányuló felhívást használ. követői: „Nézd!”.
De ezt a bizonyítékot részletesebben elemezzük:
A négyzet belsejében építs négy derékszögű háromszöget a rajz szerint. A nagy négyzet oldalát, amely egyben a befogó is, jelöljük Val vel. Nevezzük a háromszög lábait aés b. A rajz szerint a belső négyzet oldala az (a-b).
Használja a négyzetterület képletét S=c2 a külső négyzet területének kiszámításához. És ugyanakkor számítsa ki ugyanazt az értéket a belső négyzet területének és a négy derékszögű háromszög területének összeadásával: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Mindkét lehetőséget használhatja egy négyzet területének kiszámításához, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ugyanazt az eredményt adják. És ez jogot ad arra, hogy ezt leírd c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. A megoldás eredményeként megkapjuk a Pitagorasz-tétel képletét c2=a2+b2. A tétel bizonyítást nyert.
Ezt a különös ősi kínai bizonyítékot „menyasszonyi széknek” nevezték el – az összes építményből származó székszerű alak miatt:
A második próba során a 3. ábrán már látott rajzot használja. A c oldalú belső négyzet pedig ugyanúgy van megszerkesztve, mint a fentebb megadott ősi indiai bizonyításban.
Ha gondolatban levágunk két zöld derékszögű háromszöget az 1. ábra rajzából, áthelyezzük őket a c oldalú négyzet ellentétes oldalaira, és a befogókat a lila háromszögek befogóihoz rögzítjük, akkor egy „menyasszonyi szék” nevű figurát kapunk. ” (2. ábra). Az egyértelműség kedvéért ugyanezt megteheti papír négyzetekkel és háromszögekkel. Látni fogja, hogy a "menyasszonyi szék" két négyzetből áll: kicsik, amelyeknek oldala van bés nagy oldalával a.
Ezek a konstrukciók lehetővé tették az ókori kínai matematikusok és az őket követők számára, hogy arra a következtetésre jutottak c2=a2+b2.
Ez egy másik módja annak, hogy geometrián alapuló megoldást találjunk a Pitagorasz-tételre. Ezt Garfield-módszernek hívják.
Szerkesszünk derékszögű háromszöget ABC. Ezt be kell bizonyítanunk BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Ehhez folytassa a lábát ACés építs fel egy szegmenst CD, amely a egyenlő a lábával AB. Alsó merőleges HIRDETÉS vonalszakasz ED. Szegmensek EDés AC egyenlőek. összekötni a pontokat Eés NÁL NÉL, szintén Eés TÓL TŐLés kap egy rajzot, mint az alábbi képen:
A torony bizonyításához ismét a már kipróbált módszerhez folyamodunk: kétféleképpen keressük meg a kapott figura területét, és egyenlővé tesszük a kifejezéseket.
Keresse meg egy sokszög területét EGY ÁGY megtehető az azt alkotó három háromszög területeinek összeadásával. És egyikük ERU, nemcsak téglalap alakú, hanem egyenlő szárú is. Ne feledkezzünk meg arról sem AB=CD, AC=EDés BC=CE- ez lehetővé teszi számunkra, hogy leegyszerűsítsük a felvételt, és ne terheljük túl. Így, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy EGY ÁGY egy trapéz. Ezért a területét a következő képlet segítségével számítjuk ki: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Számításainkhoz kényelmesebb és áttekinthetőbb a szegmens ábrázolása HIRDETÉS mint a szegmensek összege ACés CD.
Írjuk fel mindkét módszert az ábra területének kiszámítására úgy, hogy egyenlőségjelet teszünk közéjük: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Az egyszerűsítéshez a már általunk ismert és fentebb leírt szegmensek egyenlőségét használjuk jobb oldal bejegyzés: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. És most kinyitjuk a zárójeleket, és átalakítjuk az egyenlőséget: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Az összes átalakítás után pontosan azt kapjuk, amire szükségünk van: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. A tételt bebizonyítottuk.
Természetesen a bizonyítékok listája még korántsem teljes. A Pitagorasz-tétel vektorok, komplex számok, differenciálegyenletek, sztereometria stb. És még a fizikusok is: ha például folyadékot öntünk a rajzokon láthatóhoz hasonló négyzet és háromszög alakú térfogatokba. Folyadék öntésével igazolható a területek egyenlősége és ennek eredményeként maga a tétel.
Ezt a kérdést az iskolai tanterv kevéssé vagy egyáltalán nem vizsgálja. Eközben nagyon érdekes és van nagyon fontos a geometriában. A Pitagorasz-hármasokat számos matematikai probléma megoldására használják. Ezek ötlete hasznos lehet a továbbképzésben.
Tehát mik azok a Pitagorasz-hármasok? Így hívják egész számok, hármasban gyűjtjük, amelyek közül kettő négyzeteinek összege egyenlő a négyzet harmadik számával.
A Pitagorasz-hármasok lehetnek:
Az ókori egyiptomiakat már korszakunk előtt is lenyűgözte a Pitagorasz-hármasok számmániája: a feladatokban egy derékszögű háromszöget vettek figyelembe, amelynek oldalai 3,4 és 5 egységnyiek. Egyébként minden olyan háromszög, amelynek oldalai megegyeznek a Pitagorasz-hármasból származó számokkal, alapértelmezés szerint téglalap alakú.
Példák a Pythagorean-hármasokra: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) stb.
A Pitagorasz-tétel nemcsak a matematikában, hanem az építészetben és az építőiparban, a csillagászatban, sőt az irodalomban is alkalmazható.
Először is a konstrukcióról: a Pitagorasz-tétel széleskörű alkalmazást talál benne problémákban különböző szinteken nehézségek. Például nézze meg a román stílusú ablakot:
Jelöljük az ablak szélességét mint b, akkor a nagy félkör sugarát így jelölhetjük Rés kifejezni keresztül b: R=b/2. A kisebb félkörök sugara kifejezhető kifejezésekkel is b: r=b/4. Ebben a feladatban minket az ablak belső körének sugara érdekel (nevezzük p).
A Pitagorasz-tétel csak jól jön a számításhoz R. Ehhez egy derékszögű háromszöget használunk, amelyet az ábrán pontozott vonal jelöl. A háromszög hipotenusza két sugárból áll: b/4+p. Az egyik láb egy sugár b/4, egy másik b/2-p. A Pitagorasz-tétel segítségével ezt írjuk: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Ezután kinyitjuk a zárójeleket, és megkapjuk b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Alakítsuk át ezt a kifejezést a következőre bp/2=b 2 /4-bp. És akkor felosztjuk az összes kifejezést b, hasonlókat adunk kapni 3/2*p=b/4. És a végén azt találjuk p=b/6- amire szükségünk volt.
A tétel segítségével kiszámíthatja a szarufák hosszát egy nyeregtetőhöz. Határozza meg a torony magasságát mobil kommunikáció szükséges a jel eléréséhez helység. És még stabilan is telepíthető karácsonyfa a város főterén. Mint látható, ez a tétel nem csak a tankönyvek lapjain él, hanem gyakran hasznos a való életben is.
Ami az irodalmat illeti, a Pitagorasz-tétel már az ókor óta ihlette az írókat, és így van ez ma is. Például a tizenkilencedik századi német írónőt, Adelbert von Chamissót ő ihlette meg egy szonett megírására:
Az igazság fénye nem oszlik el egyhamar,
De miután ragyogott, nem valószínű, hogy eloszlik
És mint több ezer évvel ezelőtt,
Nem okoz kétségeket és vitákat.
A legbölcsebb, ha megérinti a szemet
Az igazság fénye, hála az isteneknek;
És száz bika, leszúrva, hazudik -
A szerencsés Pythagoras viszonzási ajándéka.
Azóta a bikák kétségbeesetten üvöltenek:
Örökre felkeltette a bika törzset
itt említett esemény.
Azt hiszik, itt az ideje
És ismét feláldozzák őket
Valami nagyszerű tétel.
(fordította: Viktor Toporov)
A huszadik században pedig Jevgenyij Veltisztov szovjet író "Az elektronika kalandjai" című könyvében egy egész fejezetet szentelt a Pitagorasz-tétel bizonyításának. És egy fél fejezet a történetből a kétdimenziós világról, amely létezhetne, ha a Pitagorasz-tétel egyetlen világ alaptörvényévé, sőt vallásává válna. Sokkal könnyebb lenne benne élni, de sokkal unalmasabb is: ott például senki sem érti a „kerek” és a „bolyhos” szavak jelentését.
A „The Adventures of Electronics” című könyvben pedig a szerző Taratara matematikatanár száján keresztül ezt mondja: „A matematikában a legfontosabb a gondolatok mozgása, az új ötletek.” Ez a kreatív gondolatmenet generálja a Pitagorasz-tételt – nem hiába van annyi sokféle bizonyítéka. Segít túllépni a megszokotton, és új szemmel nézni az ismerős dolgokat.
Ezt a cikket azért hoztuk létre, hogy a matematika iskolai tantervén túl nézhessen, és ne csak a Pitagorasz-tétel azon bizonyításait tanulja meg, amelyek a „Geometria 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) és a „Geometry 7-11” tankönyvekben találhatók. ” (A.V. Pogorelov), hanem más furcsa módokat is a híres tétel bizonyítására. És lásson példákat arra is, hogyan alkalmazható a Pitagorasz-tétel a mindennapi életben.
Először is, ez az információ lehetővé teszi, hogy magasabb pontszámokat szerezzen a matematika órákon – a témával kapcsolatos további forrásokból származó információkat mindig nagyra értékeljük.
Másodszor, segíteni akartunk Önnek abban, hogy átérezhesse a matematikát érdekes tudomány. Győződjön meg róla konkrét példák hogy mindig van hely a kreativitásnak. Reméljük, hogy a Pitagorasz-tétel és ez a cikk ösztönözni fogja Önt saját kutatásaira és izgalmas felfedezéseire a matematika és más tudományok területén.
Mondja el nekünk a megjegyzésekben, ha érdekesnek találta a cikkben bemutatott bizonyítékokat. Hasznosnak találta ezeket az információkat tanulmányai során? Ossza meg velünk, mit gondol a Pitagorasz-tételről és erről a cikkről – mindezt szívesen megbeszéljük Önnel.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
(a Berlini Múzeum 6619. számú papirusza szerint). Cantor szerint a harpedonapts vagy "húrfeszítők" derékszöget építettek a 3-as, 4-es és 5-ös oldalú derékszögű háromszögekkel.
Nagyon könnyű reprodukálni az építési módjukat. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet, és kössük rá egy színes csík mentén az egyik végétől 3 m-re, a másik végétől 4 méter távolságra. A 3 és 4 méter hosszú oldalak között derékszöget zárnak be. Kifogásolható a Harpedonapts, hogy építési módszerük feleslegessé válik, ha például az összes asztalos által használt fa négyzetet használják. Valójában ismertek egyiptomi rajzok, amelyeken ilyen eszköz található - például egy asztalosműhelyt ábrázoló rajzok.
A babilóniaiaknál valamivel többet tudunk a Pitagorasz-tételről. Az egyik szövegben, amely Hammurapi idejére nyúlik vissza, azaz ie 2000-ig. e. , egy derékszögű háromszög befogójának közelítő számítását adjuk meg. Ebből arra következtethetünk, hogy Mezopotámiában derékszögű háromszögekkel is tudtak számításokat végezni, legalábbis bizonyos esetekben. Egyrészt az egyiptomi és babiloni matematika jelenlegi tudásszintje, másrészt a görög források kritikai tanulmányozása alapján van der Waerden (holland matematikus) arra a következtetésre jutott, hogy nagy a valószínűsége annak, hogy a A hipotenusz négyzettételt Indiában már a Kr. e. 18. század körül ismerték. e.
Kr.e. 400 körül. azaz Proklosz szerint Platón módszert adott a Pitagorasz-hármasok megtalálására, az algebra és a geometria kombinálására. Kr.e. 300 körül. e. Az Euklidész elemei a Pitagorasz-tétel legrégebbi axiomatikus bizonyítékát tartalmazza.
Geometriai összetétel:
A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:
Algebrai megfogalmazás:
Ez azt jelenti, hogy jelöli a háromszög befogójának hosszát, és az átmenő lábak hosszát és:
A tétel mindkét megfogalmazása ekvivalens, de a második megfogalmazás elemibb, nem igényli a terület fogalmát. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről, és csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérjük meg.
Inverz Pitagorasz-tétel:
Jelenleg ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a Pitagorasz-tétel az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítást tartalmaz. Egy ilyen változatosság csak a tétel geometria szempontjából való alapvető jelentőségével magyarázható.
Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. Ezek közül a leghíresebbek: területbizonyítások, axiomatikus és egzotikus bizonyítások (pl. differenciál egyenletek).
Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a közvetlenül az axiómákból felépített bizonyítások közül a legegyszerűbb. Különösen nem használja a figura terület fogalmát.
Hadd ABC van egy derékszögű háromszög C. Rajzoljunk magasságot Cés jelölje az alapját H. Háromszög ACH háromszöghöz hasonló ABC két sarkán. Hasonlóképpen a háromszög CBH hasonló ABC. A jelölés bemutatása
kapunk
Mi az egyenértékű
Hozzáadva megkapjuk
, amit bizonyítani kellettA következő bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindegyik a terület tulajdonságait használja, amelyek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.
Q.E.D.
Eukleidész bizonyításának gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele, majd a a nagy és a két kis négyzet egyenlő.
Tekintsük a bal oldali rajzot. Egy derékszögű háromszög oldalaira négyzeteket építettünk rá és a C derékszögű csúcsból s sugarat rajzoltunk az AB hipotenuszra merőlegesen, ez a befogóra épített ABIK négyzetet két téglalapra - BHJI és HAKJ - vágja. , ill. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével.
Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. Ehhez egy segédmegfigyelést használunk: A megadottal azonos magasságú és bázisú háromszög területe téglalap egyenlő az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe egyenlő az AHK háromszög területével (nincs ábrázolva), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével.
Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe megegyezik a fenti tulajdonsággal a négyzet területének felével). Ez az egyenlőség nyilvánvaló: a háromszögek két oldala és a köztük lévő szög egyenlő. Ugyanis - AB=AK, AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: forgassuk el a CAK háromszöget 90°-kal az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a két vizsgált háromszög megfelelő oldalai egybeesnek. (annak köszönhetően, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°).
A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségére vonatkozó érv teljesen analóg.
Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeinek összege. A bizonyíték mögött meghúzódó gondolatot tovább szemlélteti a fenti animáció.
A bizonyítás fő elemei a szimmetria és a mozgás.
Tekintsük a rajzot, amint az a szimmetriából látható, a szegmens a négyzetet két azonos részre vágja (mivel a háromszögek és a háromszögek felépítésükben egyenlőek).
Az óramutató járásával ellentétes irányú 90 fokos elforgatással a pont körül látjuk az árnyékolt ábrák egyenlőségét és a .
Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe egyenlő a kis négyzetek (a lábakra épített) területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a nagy négyzet (a hipotenuszra épített) és az eredeti háromszög területének felével. Így a kis négyzetek területének fele egyenlő a nagy négyzet területének felével, ezért a lábakra épített négyzetek területeinek összege egyenlő a megépített négyzet területével a hipotenuszon.
A következő, differenciálegyenleteket használó bizonyítást gyakran a híres angol matematikusnak, Hardynak tulajdonítják, aki a 20. század első felében élt.
Az ábrán látható rajz figyelembevételével és az oldal változásának megfigyelésével a, a következő összefüggést írhatjuk fel infinitezimális oldalnövekményekre Val velés a(hasonló háromszögekkel):
A változók szétválasztásának módszerével azt találjuk
Általánosabb kifejezés a hipotenusz megváltoztatására mindkét láb növekménye esetén
Ezt az egyenletet integrálva és a kezdeti feltételek felhasználásával megkapjuk
Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz
Amint jól látható, a végső képletben a másodfokú függés a háromszög oldalai és a növekmény közötti lineáris arányosságból adódik, míg az összeg a különböző lábak növekményéből származó független hozzájárulásokból adódik.
Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik láb nem tapasztal növekedést (jelen esetben a láb). Ekkor az integrációs állandóhoz kapjuk
Általánosítás hasonló háromszögekre, a zöld ábrák területe A + B = a kék C területe
Pitagorasz-tétel hasonló derékszögű háromszögek felhasználásával
A Pitagorasz-tétel általánosítását Eukleidész tette munkájában Kezdetek, az oldalsó négyzetek területeinek kiterjesztése hasonló geometriai formájú területekre:
Ha egy derékszögű háromszög oldalaira hasonló geometriai alakzatokat (lásd euklideszi geometria) építünk, akkor a két kisebb alak összege megegyezik a nagyobb alak területével.
Ennek az általánosításnak az a fő gondolata, hogy egy ilyen geometriai alakzat területe arányos bármely alakjának négyzetével. lineáris dimenzióés különösen bármely oldal hosszának négyzete. Ezért hasonló számadatokhoz területekkel A, Bés C oldalra épített hosszúsággal a, bés c, nekünk van:
De a Pitagorasz-tétel szerint a 2 + b 2 = c 2, akkor A + B = C.
Megfordítva, ha ezt be tudjuk bizonyítani A + B = C három hasonló geometriai alakra a Pitagorasz-tétel használata nélkül, akkor magát a tételt tudjuk bizonyítani, áttérve ellentétes irány. Például a kezdő középső háromszög újra felhasználható háromszögként C a hipotenuszon, és két hasonló derékszögű háromszög ( Aés B) a másik két oldalra épült, amelyek a középső háromszög magasságával való elosztása eredményeként jönnek létre. A háromszögek két kisebb területének összege ekkor nyilvánvalóan egyenlő a harmadik területével, tehát A + B = Cés az előző bizonyítást követve fordított sorrendben, megkapjuk a Pitagorasz-tételt a 2 + b 2 = c 2 .
A Pitagorasz-tétel az különleges esetáltalánosabb koszinusztétel, amely egy tetszőleges háromszög oldalainak hosszát viszonyítja:
ahol θ az oldalak közötti szög aés b.
Ha θ 90 fok, akkor cos θ = 0 és a képlet a szokásos Pitagorasz-tételre egyszerűsödik.
Egy tetszőleges oldalakkal rendelkező háromszög választott sarkához a, b, c egy egyenlő szárú háromszöget úgy írunk be, hogy a θ alapjában egyenlő szögek egyenlők a választott szöggel. Tegyük fel, hogy a választott θ szög a jelzett oldallal szemben helyezkedik el c. Ennek eredményeként egy θ szögű ABD háromszöget kaptunk, amely az oldallal szemben helyezkedik el aés partik r. A második háromszöget az oldallal szemközti θ szög alkotja bés partik Val vel hosszú s, ahogy a képen is látszik. Thabit Ibn Korra kijelentette, hogy e három háromszög oldalai a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz:
Ahogy a θ szög megközelíti a π/2-t, az egyenlő szárú háromszög alapja csökken, és a két r és s oldal egyre kevésbé fedi egymást. Ha θ = π/2, az ADB derékszögű háromszöggé változik, r + s = cés megkapjuk a kezdeti Pitagorasz-tételt.
Nézzük az egyik érvet. Az ABC háromszögnek ugyanazok a szögei, mint az ABD háromszögnek, de fordított sorrendben. (A két háromszögnek közös a szöge a B csúcsnál, mindkettő szöge θ, és a harmadik szöge is megegyezik a háromszög szögeinek összegével.) Ennek megfelelően az ABC hasonló a DBA háromszög ABD visszaverődéséhez, amint az ábrán látható. az alsó ábrán. Írjuk fel a közötti összefüggést ellentétes oldalakés a θ szög mellett,
Így van ez egy másik háromszög tükörképe is,
Szorozzuk meg a törteket, és adjuk hozzá ezt a két arányt:
Q.E.D.
Általánosítás tetszőleges háromszögekre,
zöld terület telek = terület kék
A fenti ábrán látható tézis bizonyítása
Tegyünk egy további általánosítást nem téglalap alakú háromszögekre, négyzetek helyett paralelogrammákat használva három oldalon. (a négyzetek speciális esetek.) A felső ábra azt mutatja, hogy hegyesszögű háromszög esetén a paralelogramma területe a hosszú oldalon egyenlő a másik két oldalon lévő paralelogramma összegével, feltéve, hogy a paralelogramma a hosszú oldalt az ábrán látható módon építjük fel (a nyilakkal jelölt méretek megegyeznek és az alsó paralelogramma oldalait határozzák meg). A négyzetek paralelogrammákkal való helyettesítése egyértelmű hasonlóságot mutat a kezdeti Pitagorasz-tétellel, és úgy vélik, hogy az alexandriai Pappus fogalmazta meg i.sz. 4-ben. e.
Az alsó ábra a bizonyítás menetét mutatja. Nézzük a háromszög bal oldalát. A bal oldali zöld paralelogramma területe megegyezik a kék paralelogramma bal oldalával, mert ugyanaz az alapja bés magasság h. Ezenkívül a bal oldali zöld mezőnek ugyanaz a területe, mint a felső képen a bal oldali zöld mezőnek, mivel közös alapjuk van (a felső bal oldal háromszög) és a teljes magasság, amely merőleges a háromszög oldalára. Hasonlóan érvelve a háromszög jobb oldalára, bebizonyítjuk, hogy az alsó paralelogramma területe megegyezik a két zöld paralelogrammával.
A Pitagorasz-tételt a derékszögű koordinátarendszer két pontja közötti távolság meghatározására használják, és ez a tétel minden igaz koordinátára igaz: távolság: s két pont között ( a, b) és ( c, d) egyenlő
Nincs probléma a képlettel, ha a komplex számokat valós komponensű vektorokként kezeljük x + én y = (x, y). . Például a távolság s 0 + 1 között énés 1 + 0 én kiszámítja a vektor modulusát (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), vagy
Az összetett koordinátákkal rendelkező vektorokkal végzett műveleteknél azonban szükség van a Pitagorasz-képlet bizonyos javítására. Pontok közötti távolság -val komplex számok (a, b) és ( c, d); a, b, c, és d minden összetett, abszolút értékeket használva fogalmazzuk meg. Távolság s vektorkülönbség alapján (a − c, b − d) a következő formában: legyen a különbség a − c = p+i q, ahol p ez a különbség valódi része, q a képzetes rész, és i = √(−1). Ugyanígy hagyjuk b − d = r+i s. Akkor:
hol van a komplex konjugátuma. Például a pontok közötti távolság (a, b) = (0, 1) és (c, d) = (én, 0) , számolja ki a különbséget (a − c, b − d) = (−én, 1) és az eredmény 0 lenne, ha nem használnánk komplex konjugátumokat. Ezért a javított képlet segítségével azt kapjuk
A modul meghatározása a következő:
A Pitagorasz-tétel háromdimenziós térre vonatkozó jelentős általánosítása de Gua tétele, amelyet J.-P. de Gua: ha egy tetraéder derékszögű (mint egy kockában), akkor a derékszöggel ellentétes lap területének négyzete egyenlő a másik három lap területének négyzeteinek összegével. Ezt a következtetést a következőképpen lehet összefoglalni: n-dimenziós Pitagorasz-tétel":
Pythagoras tétele háromdimenziós tér az AD átlót három oldallal köti össze.
Egy másik általánosítás: A Pitagorasz-tétel a következő formában alkalmazható a sztereometriára. Fontolgat kocka alakú, ahogy a képen is látszik. Keresse meg a BD átló hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével:
ahol három oldal derékszögű háromszöget alkot. Használja a BD vízszintes átlót és az AB függőleges élt az AD átló hosszának meghatározásához, ismét a Pitagorasz-tétel segítségével:
vagy ha minden egy egyenletben van felírva:
Ez az eredmény egy 3D-s kifejezés a vektor nagyságának meghatározására v(átló AD) merőleges összetevőiben kifejezve ( v k) (három egymásra merőleges oldal):
Ez az egyenlet a Pitagorasz-tétel többdimenziós térre vonatkozó általánosításának tekinthető. Az eredmény azonban valójában nem más, mint a Pitagorasz-tétel ismételt alkalmazása derékszögű háromszögek sorozatára egymás után merőleges síkban.
Ortogonális vektorrendszer esetén egy egyenlőség lép fel, amelyet Pitagorasz-tételnek is neveznek:
Ha - ezek a vektor vetületei a koordináta tengelyekre, akkor ez a képlet egybeesik az euklideszi távolsággal - és azt jelenti, hogy a vektor hossza egyenlő az összetevői négyzetösszegének négyzetgyökével.
Ennek az egyenlőségnek analógját egy végtelen vektorrendszer esetén Parseval-egyenlőségnek nevezzük.
A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria axiómáiból származik, és valójában nem érvényes a nem euklideszi geometriára, abban a formában, ahogyan fentebb írtuk. (Azaz a Pitagorasz-tétel egyfajta ekvivalensnek bizonyul Euklidész párhuzamossági posztulátumával) Más szóval, a nem-euklideszi geometriában a háromszög oldalainak aránya szükségszerűen a Pitagorasz-tételtől eltérő formában lesz. . Például a gömbgeometriában egy derékszögű háromszög mindhárom oldala (mondjuk a, bés c), amelyek az egységgömb oktánsát (egy nyolcadát) kötötték, π/2 hosszúságúak, ami ellentmond a Pitagorasz-tételnek, mert a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Tekintsük itt a nem euklideszi geometria két esetét – a gömbi és hiperbolikus geometriát; mindkét esetben, ami a derékszögű háromszögek euklideszi terét illeti, a Pitagorasz-tételt helyettesítő eredmény a koszinusztételből következik.
A Pitagorasz-tétel azonban érvényben marad a hiperbolikus és elliptikus geometriára, ha azt a követelményt, hogy a háromszög derékszögű, felváltjuk azzal a feltétellel, hogy a háromszög két szögének összegének egyenlőnek kell lennie a harmadikkal, mondjuk A+B = C. Ekkor az oldalak közötti arány így néz ki: az átmérőjű körök területének összege aés b egyenlő egy átmérőjű kör területével c.
Bármely derékszögű háromszögre egy sugarú gömbön R(például ha a háromszögben a γ szög derékszögű) oldalakkal a, b, c a felek közötti kapcsolat így fog kinézni:
Ez az egyenlőség így származtatható speciális eset gömb-koszinusz tétel, amely minden gömbháromszögre érvényes:
ahol cosh a hiperbolikus koszinusz. Ez a képlet a hiperbolikus koszinusz tétel speciális esete, amely minden háromszögre érvényes:
ahol γ az a szög, amelynek csúcsa az oldallal szemben van c.
ahol g ij metrikus tenzornak nevezzük. Ez lehet pozíciófüggvény. Ilyen görbe vonalú terek közé tartozik a Riemann-féle geometria, mint általános példa. Ez a megfogalmazás az euklideszi térben is megfelelő görbevonalas koordináták használatakor. Például poláris koordinátákhoz:
A Pitagorasz-tétel összekapcsolja a vektorszorzat nagyságának két kifejezését. A keresztszorzat meghatározásának egyik megközelítése megköveteli, hogy teljesítse a következő egyenletet:
ez a képlet a pontszorzatot használja. Az egyenlet jobb oldalát a Gram-determinánsnak nevezzük aés b, amely egyenlő a két vektor által alkotott paralelogramma területével. Ez a követelmény, valamint az a követelmény, hogy a vektorszorzat merőleges legyen az összetevőire aés b ebből következik, hogy a 0- és 1-dimenziós tér triviális eseteit leszámítva a vektorszorzat csak három és hét dimenzióban van definiálva. Az in szög definícióját használjuk n- dimenziós tér:
a vektorszorzat ezen tulajdonsága a következő formában adja meg értékét:
Az alapvetően keresztül trigonometrikus azonosság Pythagoras, az értékét más formában írjuk:
A kereszttermék meghatározásának egy alternatív megközelítése egy kifejezést használ annak nagyságára. Ezután fordított sorrendben érvelve kapunk egy kapcsolatot skaláris szorzat:
Átlagos szint
Problémák esetén a derékszög egyáltalán nem szükséges - a bal alsó, ezért meg kell tanulnia, hogyan ismerje fel a derékszögű háromszöget ebben a formában,
és ilyenekben
és ilyenekben 
Mi a jó egy derékszögű háromszögben? Nos... először is vannak különlegesek szép nevek az oldalaiért.
Figyelem a rajzra!
Ne feledje és ne keverje össze: lábak - kettő, és a hypotenus - csak egy(az egyetlen, egyedi és leghosszabb)!
Nos, megbeszéltük a neveket, most a legfontosabbat: a Pitagorasz-tételt.
Ez a tétel a kulcsa számos derékszögű háromszöggel kapcsolatos probléma megoldásának. Pythagoras bizonyította már egészen időtlen időkben, és azóta is sok hasznot hozott az ismerőknek. És az a legjobb benne, hogy egyszerű.
Így, Pitagorasz tétel:
Emlékszel a viccre: „A pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő!”?
Rajzoljuk le ezeket a nagyon pitagoraszai nadrágokat, és nézzük meg. 
Tényleg rövidnadrágnak tűnik? Nos, melyik oldalon és hol egyenlők? Miért és honnan jött a vicc? És ez a vicc pontosan a Pitagorasz-tételhez kapcsolódik, pontosabban azzal, ahogyan maga Pythagoras megfogalmazta tételét. És így fogalmazta meg:
"Összeg négyzetek területe, a lábakra épített, egyenlő négyzet alakú terület a hipotenuszra épült.
Nem hangzik egy kicsit másképp, nem? És így, amikor Pythagoras lerajzolta tételének kijelentését, egy ilyen kép derült ki.
Ezen a képen a kis négyzetek területeinek összege megegyezik a nagy négyzet területével. És hogy a gyerekek jobban emlékezzenek arra, hogy a lábak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével, valaki szellemes kitalálta ezt a viccet a Pythagorean nadrágról.
Miért most fogalmazzuk meg a Pitagorasz-tételt
Pythagoras szenvedett, és beszélt a négyzetekről?
Látod, az ókorban nem volt... algebra! Nem voltak jelek és így tovább. Nem voltak feliratok. El tudod képzelni, milyen szörnyű volt a szegény ókori diákoknak mindent szavakkal megjegyezni??! És örülhetünk, hogy megvan a Pitagorasz-tétel egyszerű megfogalmazása. Ismételjük meg, hogy jobban emlékezzünk:
Most már könnyűnek kell lennie:
| A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. |
Nos, szóba került a derékszögű háromszög legfontosabb tétele. Ha érdekli, hogyan bizonyítható, olvassa el az elmélet következő szintjeit, és most menjünk tovább ... a trigonometria sötét erdejébe! A szörnyű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens szavakra.
Valójában egyáltalán nem minden olyan félelmetes. Természetesen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens "igazi" definícióját érdemes megnézni a cikkben. De tényleg nem akarod, igaz? Örülhetünk: a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák megoldásához egyszerűen töltse ki a következő egyszerű dolgokat:
Miért a sarokról szól az egész? Hol van a sarok? Ennek megértéséhez tudnia kell, hogy az 1-4 állítások hogyan íródnak szavakkal. Nézd, értsd és emlékezz!
1.
Valójában így hangzik:
Mi a helyzet a szöggel? Van-e olyan láb, amely a sarokkal szemben van, vagyis a másik láb (a sarok számára)? Természetesen van! Ez egy katéta!
De mi a helyzet a szöggel? Nézd meg alaposan. Melyik láb szomszédos a sarokkal? Természetesen a macska. Tehát a szögnél a láb szomszédos, és
És most figyelem! Nézd, mit kaptunk:
Nézze meg, milyen nagyszerű:
Most térjünk át az érintőre és a kotangensre.
Hogyan kell ezt most szavakba önteni? Milyen a láb a sarokhoz képest? Természetesen szemben - a sarokkal szemben "fekszik". És a katét? A sarokkal szomszédos. Szóval mit kaptunk?
Látod, hogyan cserélődik fel a számláló és a nevező?
És most megint a sarkok és a csere:
Röviden írjuk le, mit tanultunk.
 |
Pitagorasz tétel: |
A fő derékszögű háromszög tétel a Pitagorasz-tétel.
Egyébként jól emlékszel, mik a lábak és a hypotenus? Ha nem, akkor nézze meg a képet - frissítse tudását
Lehetséges, hogy már sokszor használta a Pitagorasz-tételt, de elgondolkozott már azon, hogy miért igaz egy ilyen tétel? Hogyan bizonyítanád? Tegyünk úgy, mint az ókori görögök. Rajzoljunk egy négyzetet oldallal.
Látod, milyen ravaszul osztottuk oldalait hosszúságú szegmensekre és!
Most kössük össze a megjelölt pontokat
Itt azonban mást is megjegyeztünk, de te magad nézd meg a képet, és gondold át, miért.
Mekkora a nagyobb négyzet területe? Helyesen,. Mi a helyzet a kisebb területtel? Természetesen, . A négy sarok összterülete megmarad. Képzeld el, hogy vettünk belőlük kettőt, és hipotenusokkal dőltünk egymásnak. Mi történt? Két téglalap. Tehát a "dugványok" területe egyenlő.
Most rakjuk össze az egészet.
Alakítsuk át:
Meglátogattuk tehát Pythagorast – ősi módon bebizonyítottuk tételét.
Derékszögű háromszög esetén a következő összefüggések érvényesek:
Egy hegyesszög szinusza megegyezik az ellentétes láb és a hypotenus arányával
Egy hegyesszög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával.
Egy hegyesszög érintője megegyezik az ellenkező láb és a szomszédos láb arányával.
Egy hegyesszög kotangense egyenlő a szomszédos láb és az ellenkező láb arányával.
És mindezt még egyszer egy tányér formájában:
Nagyon kényelmes!
I. Két lábon
II. Lábon és hypotenuson keresztül
III. Hipotenúza és hegyesszög szerint
IV. A lábszár és hegyesszög mentén
a) 
b) 
Figyelem! Itt nagyon fontos, hogy a lábak "megfelelőek legyenek". Például, ha ez így megy:
AKKOR A HÁROMSZÖGEK NEM EGYENLŐK, annak ellenére, hogy egy hegyesszögük azonos.
Kell mindkét háromszögben a láb szomszédos volt, vagy mindkettőben - szemben.
Észrevetted, hogy a derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei miben térnek el a háromszögek szokásos egyenlőségének jeleitől? Nézze meg a témát „és figyeljen arra, hogy a „közönséges” háromszögek egyenlőségéhez szükség van három elemük egyenlőségére: két oldal és egy közöttük lévő szög, két szög és egy oldal, vagy három oldal. De a derékszögű háromszögek egyenlőségéhez csak két megfelelő elem elegendő. Ez nagyszerű, igaz?
Körülbelül ugyanaz a helyzet derékszögű háromszögek hasonlóságának jeleivel.
I. Akut sarok
II. Két lábon
III. Lábon és hypotenuson keresztül
Miért van ez így?
Tekintsünk egy egész téglalapot derékszögű háromszög helyett.
Rajzoljunk egy átlót, és vegyünk egy pontot - az átlók metszéspontját. Mit kell tudni a téglalap átlóiról?
És mi következik ebből?
Szóval ez történt
Emlékezz erre a tényre! Sokat segít!
Ami még meglepőbb, hogy fordítva is igaz.
Mi haszna származhat abból, hogy a befogóhoz húzott medián a hipotenusz felével egyenlő? Nézzük a képet
Nézd meg alaposan. Megvan: , azaz a pont és a háromszög mindhárom csúcsa közötti távolság egyenlőnek bizonyult. De egy háromszögben csak egy pont van, a távolságok, amelyektől a háromszög körülbelül mindhárom csúcsa egyenlő, és ez a leírt KÖR KÖZÉPJE. Szóval mi történt?
Kezdjük tehát ezzel a "ráadásul...".
Nézzük az i-t.
De hasonló háromszögekben minden szög egyenlő!
Ugyanez elmondható az és
Most rajzoljuk le együtt:
Mi haszna származhat ebből a "hármas" hasonlóságból.
Hát például... két képlet egy derékszögű háromszög magasságára.
Felírjuk a megfelelő felek kapcsolatait:
A magasság megállapításához megoldjuk az arányt és kapjuk első képlet "Magasság derékszögű háromszögben":
Tehát alkalmazzuk a hasonlóságot: .
Mi lesz most?
Ismét megoldjuk az arányt, és megkapjuk a második képletet:
Mindkét képletet nagyon jól meg kell jegyezni, és azt, amelyik kényelmesebb alkalmazni. Írjuk le őket újra.
Pitagorasz tétel:
Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével:.
A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:
A derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei:
Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben
Derékszögű háromszög magassága: vagy.
Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott medián egyenlő a befogó felével: .
Egy derékszögű háromszög területe:
Pitagorasz tétel
Hasonlóképpen, a CBH háromszög hasonló az ABC-hez. A jelölés bemutatása 
1. Rendezzünk el négy egyenlő derékszögű háromszöget az ábra szerint! 
Eukleidész bizonyításának gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele, majd a a nagy és a két kis négyzet egyenlő. Tekintsük a bal oldali rajzot. Egy derékszögű háromszög oldalaira négyzeteket építettünk rá és a C derékszögű csúcsból s sugarat rajzoltunk az AB hipotenuszra merőlegesen, ez a befogóra épített ABIK négyzetet két téglalapra - BHJI és HAKJ - vágja. , ill. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével. Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. Ehhez egy segédmegfigyelést használunk: A megadottal azonos magasságú és bázisú háromszög területe téglalap egyenlő az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe egyenlő az AHK háromszög területével (nincs ábrázolva), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével. Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe megegyezik a fenti tulajdonsággal a négyzet területének felével). Ez az egyenlőség nyilvánvaló, a háromszögek két oldala és a köztük lévő szög egyenlő. Ugyanis - AB=AK,AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: forgassuk el a CAK háromszöget 90°-kal az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a vizsgált két háromszög megfelelő oldalai egybeesik (annak a ténynek köszönhető, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°). A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségére vonatkozó érv teljesen analóg. Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeinek összege. 
Tekintsük a rajzot, ahogy a szimmetriából is látszik, a CI szakasz az ABHJ négyzetet két azonos részre vágja (mivel az ABC és a JHI háromszög felépítése egyenlő). Az óramutató járásával ellentétes 90 fokos forgatást használva láthatjuk a CAJI és a GDAB árnyékolt ábrák egyenlőségét. Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a hipotenuzusra épített négyzet területének felével, plusz az eredeti háromszög területével. A bizonyítás utolsó lépését az olvasóra bízzuk.
