Szám- a legfontosabb matematikai fogalom, amely az évszázadok során változott.
A számokkal kapcsolatos első ötletek az emberek, állatok, gyümölcsök, különféle termékek stb. számlálásából fakadtak. Az eredmény természetes számok: 1, 2, 3, 4, ...
Történelmileg a számfogalom első kiterjesztése a törtszámok természetes számokhoz való hozzáadása.
Lövés az egység egy részének (részvényének) vagy annak több egyenlő részének nevezzük.
Kijelölve: , hol m,n- egész számok;
10-es nevezőjű törtek n, ahol n egy egész szám, ezeket hívják decimális: .
A tizedes törtek között különleges helyet foglal el periodikus törtek: - tiszta periodikus tört, 
- vegyes periodikus tört.
A számfogalom további bővülését már maga a matematika (algebra) fejlődése okozza. Descartes a 17. században bemutatja a fogalmat negatív szám.
Az egész (pozitív és negatív), a tört (pozitív és negatív) és a nulla számokat hívják racionális számok. Bármely racionális szám felírható véges és periodikus törtként.
A folyamatosan változó változók tanulmányozásához szükségesnek bizonyult a számfogalom kiterjesztése - a valós (valós) számok bevezetése - a racionális számokhoz irracionális számok hozzáadásával: irracionális számok végtelen tizedes nem periodikus törtek.
Irracionális számok jelentek meg összemérhetetlen szakaszok (négyzet oldala és átlója) mérésénél, algebrában - gyökök kinyerésekor a transzcendentális, irracionális számra példa a π, e .
Számok természetes(1, 2, 3,...), egész(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionális(törtként ábrázolva) és irracionális(nem ábrázolható törtként ) készletet alkotnak igazi (igazi) számok.
A matematikában külön-külön megkülönböztetik a komplex számokat.
Komplex számok felmerülnek az eset négyzeteinek megoldásának problémájával kapcsolatban D< 0 (здесь D a másodfokú egyenlet diszkriminánsa). Ezek a számok sokáig nem találtak fizikai hasznot, ezért is nevezték "képzetes" számoknak. Jelenleg azonban nagyon széles körben használják a fizika és a technológia különböző területein: elektrotechnikában, hidro- és aerodinamika, rugalmasságelmélet stb.
Komplex számok így írjuk: z= a+ kettős. Itt aés b – valós számok, a én – képzeletbeli egység.e. én 2 = -egy. Szám a hívott abszcissza, a b-ordinátaösszetett szám a+ kettős. Két komplex szám a+ kettősés a-bi hívott konjugált komplex számok.
Tulajdonságok:
1. Valós szám a komplex számként is felírható: a+ 0én vagy a - 0én. Például 5 + 0 énés 5-0 én ugyanazt az 5-ös számot jelenti.
2. Komplex szám 0 + kettős hívott pusztán képzeletbeli szám. Felvétel kettős ugyanazt jelenti, mint a 0 + kettős.
3. Két komplex szám a+ kettősés c+ di egyenlőnek tekintendők, ha a= cés b= d. Másképp komplex számok nem egyenlő.
Műveletek:
Kiegészítés. Komplex számok összege a+ kettősés c+ di komplex számnak nevezzük ( a+ c) + (b+ d)én. Ily módon komplex számok összeadásakor az abszcisszáikat és ordinátáikat külön adjuk hozzá.
Kivonás. Két komplex szám különbsége a+ kettős(csökkentett) és c+ di(kivont) komplex számnak nevezzük ( a-c) + (b-d)én. Ily módon két komplex szám kivonásakor az abszcisszáikat és az ordinátáikat külön-külön vonjuk ki.
Szorzás. Komplex számok szorzata a+ kettősés c+ di komplex számnak nevezzük.
(ac-bd) + (hirdetés+ időszámításunk előtt)én. Ez a meghatározás két követelményből ered:
1) számok a+ kettősés c+ diúgy kell szorozni, mint az algebrai binomiálisoknak,
2) szám én fő tulajdonsága van: én 2 = –1.
PÉLDA ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . Következésképpen, munkakét konjugált komplex szám egyenlő egy pozitív valós számmal.
Osztály. Ossz el egy komplex számot a+ kettős(osztható) másikra c+ di (osztó) - a harmadik szám megtalálását jelenti e+ fi(csevegés), amely osztóval szorozva c+ di, ami osztalékot eredményez a+ kettős. Ha az osztó nem nulla, az osztás mindig lehetséges.
PÉLDA Find (8+ én) : (2 – 3én) .
Megoldás. Írjuk át ezt az arányt törtté:
A számlálóját és a nevezőjét megszorozzuk 2 + 3-mal énés az összes átalakítást végrehajtva a következőket kapjuk:
1. feladat: Összeadás, kivonás, szorzás és osztás 1 a z 2
A négyzetgyök kinyerése: Oldja meg az egyenletet x 2 = -a. Ennek az egyenletnek a megoldására kénytelenek vagyunk új típusú számokat használni - képzeletbeli számok . Ily módon képzeletbeli hívják a számot amelynek második hatványa egy negatív szám. Az imaginárius számok ezen definíciója szerint definiálhatunk és képzeletbeli Mértékegység:
Aztán az egyenlethez x 2 = - 25 kettőt kapunk képzeletbeli gyökér:
2. feladat: Oldja meg az egyenletet:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Komplex számok geometriai ábrázolása. A valós számokat a számegyenesen lévő pontok jelölik:
Itt van a lényeg A jelentése -3, pont B a 2-es szám, és O-nulla. Ezzel szemben a komplex számokat a koordinátasíkon lévő pontok képviselik. Ehhez téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex szám a+ kettős ponttal lesz jelölve P abszcisszaa és ordináljab. Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík .
modult komplex számot a vektor hosszának nevezzük OP, amely egy komplex számot ábrázol a koordinátán ( integrált) repülőgép. Komplex számmodulus a+ kettős jelölése | a+ kettős| vagy) levél rés egyenlő:
A konjugált komplex számok modulusa azonos.
A rajz elkészítésének szabályai majdnem ugyanazok, mint a derékszögű koordinátarendszerben. A tengelyek mentén be kell állítani a méretet, megjegyzés:
e 
egység a valós tengely mentén; Rez
képzeletbeli egység a képzeletbeli tengely mentén. im z
3. feladat Szerkessze meg a következő komplex számokat a komplex síkon! , , , , , , ,
1. A számok pontosak és közelítőek. A gyakorlatban tapasztalt számok kétfélék. Egyesek a mennyiség valódi értékét adják meg, mások csak hozzávetőlegesen. Az elsőt pontosnak, a másodikat hozzávetőlegesnek nevezik. Leggyakrabban célszerű hozzávetőleges számot használni a pontos szám helyett, különösen azért, mert sok esetben a pontos szám egyáltalán nem található.
Tehát ha azt mondják, hogy 29 tanuló van az osztályban, akkor a 29 pontos szám. Ha azt mondják, hogy Moszkva és Kijev távolsága 960 km, akkor itt a 960-as szám hozzávetőleges, mivel egyrészt a mérőműszereink nem teljesen pontosak, másrészt maguk a városok is rendelkeznek bizonyos mértékkel.
A közelítő számokkal végzett műveletek eredménye is hozzávetőleges szám. A pontos számokon végrehajtott egyes műveletek (osztás, gyökér kinyerése) segítségével hozzávetőleges számokat is kaphatunk.
A közelítő számítások elmélete lehetővé teszi:
1) az adatok pontosságának fokának ismeretében értékelje az eredmények pontosságának mértékét;
2) megfelelő fokú pontosságú adatfelvétel, amely elegendő az eredmény megkívánt pontosságának biztosításához;
3) racionalizálja a számítási folyamatot, megszabadítva azoktól a számításoktól, amelyek nem befolyásolják az eredmény pontosságát.
2. Kerekítés. A hozzávetőleges számok egyik forrása a kerekítés. Kerekítse a hozzávetőleges és pontos számokat.
Egy adott szám néhány számjegyére kerekítése azt jelenti, hogy egy új számmal helyettesítjük, amelyet az adott számjegyből úgy kapunk meg, hogy a számjegytől jobbra írt összes számjegyét eldobjuk, vagy nullákkal helyettesítjük. Ezeket a nullákat általában aláhúzzák vagy kisebbre írják. A kerekített szám és a kerekített szám lehető legnagyobb közelségének biztosítása érdekében a következő szabályokat kell követni: ha a számot egy bizonyos számjegy valamelyikére szeretné kerekíteni, akkor a számjegy utáni összes számjegyet el kell dobni, és ki kell cserélni. nullákkal az egész számban. Ez a következőket veszi figyelembe:
1) ha az elvetett számjegyek közül az első (bal) kisebb, mint 5, akkor az utolsó megmaradt számjegy nem változik (lefelé kerekítés);
2) ha az első eldobott számjegy nagyobb, mint 5 vagy egyenlő 5-tel, akkor az utolsó megmaradt számjegyet eggyel növeljük (felfelé kerekítés).
Mutassuk meg ezt példákkal. Felhajt:
a) 12.34 tizedéig;
b) 3,2465 századig; 1038,785;
c) 3,4335 ezredrészéig.
d) 12375 ezerig; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.
3. Abszolút és relatív hibák. A pontos szám és a hozzávetőleges érték közötti különbséget a közelítő szám abszolút hibájának nevezzük. Például, ha a pontos 1,214-et tizedekre kerekítjük, akkor hozzávetőlegesen 1,2-t kapunk. NÁL NÉL ez az eset a közelítő 1,2 szám abszolút hibája 1,214 - 1,2, azaz. 0,014.
De a legtöbb esetben pontos érték a figyelembe vett érték ismeretlen, de csak hozzávetőleges. Ekkor az abszolút hiba sem ismert. Ezekben az esetekben jelezze azt a határt, amelyet nem léphet túl. Ezt a számot abszolút határhibának nevezzük. Azt mondják, hogy egy szám pontos értéke egyenlő a hozzávetőleges értékével, a határhibánál kisebb hibával. Például a 23,71 szám a 23,7125 szám hozzávetőleges értéke 0,01-es pontossággal, mivel az abszolút közelítési hiba 0,0025 és kisebb, mint 0,01. Itt a határ abszolút hiba egyenlő 0,01 * .
A közelítő szám határ abszolút hibája aΔ szimbólummal jelöljük a. Felvétel
x≈a(±Δ a)
így kell érteni: a mennyiség pontos értéke x között van a– Δ aés a+ Δ a, amelyeket alsó és felső határnak nevezünk. xés jelöli az NG-t x VG x.
Például ha x≈ 2,3 (±0,1), majd 2,2<x< 2,4.
Ezzel szemben, ha a 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). Abszolút vagy határ abszolút hiba nem jellemzi a mérés minőségét. Ugyanaz az abszolút hiba tekinthető jelentősnek és jelentéktelennek a mért értéket kifejező számtól függően. Például, ha egy kilométeres pontossággal mérjük meg két város távolságát, akkor ez a pontosság teljesen elegendő ehhez a változáshoz, ugyanakkor az azonos utcában lévő két ház távolságának mérésekor ez a pontosság elfogadhatatlan. Ezért egy mennyiség közelítő értékének pontossága nemcsak az abszolút hiba nagyságától, hanem a mért mennyiség értékétől is függ. Ezért a pontosság mértéke a relatív hiba.
A relatív hiba az abszolút hiba és a közelítő szám értékének aránya. A határ abszolút hibájának a közelítő számhoz viszonyított arányát határrelatív hibának nevezzük; jelölje így: A relatív és a határrelatív hibákat általában százalékban fejezik ki. Például, ha a mérések azt mutatják, hogy a távolság x két pont között több mint 12,3 km, de kevesebb mint 12,7 km, akkor ennek a két számnak a számtani középértékét vesszük közelítő értéknek, i.e. félösszegük, akkor a határ abszolút hiba egyenlő ezeknek a számoknak a fele-különbségével. Ebben az esetben x≈ 12,5 (±0,2). Itt a határ abszolút hiba 0,2 km, a határ relatív
) pozitív vagy negatív előjelű (egész és tört) és nulla számok. Pontosabb koncepció racionális számok, így hangzik:
racionális szám- egy szám, amelyet egyszerű tört jelent m/n, ahol a számláló m egész számok és a nevező n- egész számok, például 2/3.
A végtelen nem periodikus törtek NEM szerepelnek a racionális számok halmazában.
a/b, ahol a∈ Z (a egész számokhoz tartozik) b∈ N (b a természetes számokhoz tartozik).
NÁL NÉL való élet a racionális számok halmaza néhány egész osztható objektum részeinek megszámlálására szolgál, például, sütemények vagy más élelmiszerek, amelyeket fogyasztás előtt darabokra vágnak, vagy a kiterjesztett tárgyak térbeli kapcsolatainak durva becslésére.
A racionális számok alapvető tulajdonságai.
1. rend aés b van egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyedileg azonosítsa őket, de csak egyet a 3 reláció közül: "<», «>" vagy "=". Ez a szabály - rendelési szabályés így fogalmazd meg:
∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)
2. Összeadás művelet. Minden racionális számra aés b van összegzési szabály, ami egy bizonyos racionális számmal illeszti őket c. Maga a szám azonban c- ez összeg számok aés bés úgy emlegetik (a+b) összegzés.
Összegzési szabályígy néz ki:
m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).
∀ a,b∈ K∃ !(a+b)∈ K
3. szorzási művelet. Minden racionális számra aés b van szorzási szabály, egy bizonyos racionális számhoz társítja őket c. A c számot hívják munka számok aés bés jelöljük (a⋅b), és ennek a számnak a megtalálásának folyamatát hívják szorzás.
szorzási szabályígy néz ki: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. A sorrendi viszony tranzitivitása. Bármely három racionális számra a, bés c ha a Kevésbé bés b Kevésbé c, akkor a Kevésbé c, mi van ha a egyenlő bés b egyenlő c, akkor a egyenlő c.
∀ ABC∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Összeadás kommutativitása. A racionális kifejezések helyének változásától az összeg nem változik.
∀ a,b∈ Qa+b=b+a
6. Az összeadás asszociativitása. 3 racionális szám összeadásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt.
∀ ABC∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Nulla jelenléte. Létezik egy 0 racionális szám, az összes többi racionális számot összeadva megőrzi.
∃ 0 ∈ K∀ a∈ Qa+0=a
8. Ellentétes számok jelenléte. Minden racionális számnak van ellentétes racionális száma, ezeket összeadva 0 lesz.
∀ a∈ K∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0
9. A szorzás kommutativitása. A racionális tényezők helyének megváltoztatásával a szorzat nem változik.
∀ a,b∈ K a⋅ b=b⋅ a
10. A szorzás asszociativitása. 3 racionális szám szorzási sorrendje nem befolyásolja az eredményt.
∀ ABC∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Egy egység elérhetősége. Létezik 1-es racionális szám, ez minden más racionális számot megőrz a szorzás során.
∃ 1 ∈ K∀ a∈ K a⋅ 1=a
12. Reciprok jelenléte. Minden nullától eltérő racionális számnak van egy inverz racionális száma, amelyet megszorozva 1-et kapunk .
∀ a∈ K∃ a−1∈ K a⋅ a−1=1
13. A szorzás eloszlása az összeadás tekintetében. A szorzási művelet az elosztási törvény alapján történő összeadáshoz kapcsolódik:
∀ ABC∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. A rendelési viszony összekapcsolása az összeadási művelettel. balra és megfelelő részek a racionális egyenlőtlenségek ugyanazt a racionális számot adják hozzá.
∀ ABC∈ K a ⇒ a+c
15. A sorrendi összefüggés kapcsolata a szorzás műveletével. Egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldala megszorozható ugyanazzal a nemnegatív racionális számmal.
∀ ABC∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c
16. Arkhimédész axiómája. Bármi legyen is a racionális szám a, könnyű annyi egységet venni, hogy azok összege nagyobb legyen a.
A racionális számok meghatározása:
A racionális szám olyan szám, amely törtként ábrázolható. Egy ilyen tört számlálója az egész számok halmazához, a nevező pedig a természetes számok halmazához tartozik.
Latinul a „ratio” (arány) arányt jelent. A racionális számok arányként ábrázolhatók, azaz. más szóval törtként.
A 2/3 szám racionális szám. Miért? Ezt a számot törtként ábrázoljuk, melynek számlálója az egész számok halmazához, nevezője pedig a természetes számok halmazához tartozik.
A racionális számokra vonatkozó további példákért lásd a cikket.
Különböző törtek képviselhetik ugyanazt a racionális számot.
Tekintsük a 3/5 racionális számot. Ez a racionális szám egyenlő
Csökkentse a számlálót és a nevezőt egy közös 2-es tényezővel:
| 6 | = | 2 * 3 | = | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 * 5 | 5 |
3/5-öt kaptunk, ami azt jelenti
Ebben a leckében megismerkedünk a racionális számok halmazával. Elemezzük a racionális számok alapvető tulajdonságait, megtanuljuk, hogyan kell lefordítani a tizedes törteket közönségessé és fordítva.
A természetes és egész számok halmazairól már szóltunk. A természetes számok halmaza az egész számok részhalmaza.
Most megtanultuk, mik azok a törtek, megtanultuk, hogyan kell velük dolgozni. A tört például nem egész szám. Ez azt jelenti, hogy le kell írni egy új számkészletet, amely minden törtet tartalmazni fog, és ennek a halmaznak névre, világos definícióra és megnevezésre van szüksége.
Kezdjük a névvel. A latin ratio szót aránynak, törtnek fordítják oroszra. Az új halmaz "racionális számok" neve ebből a szóból származik. Vagyis a "racionális számok" lefordíthatók "törtszámoknak".
Nézzük meg, milyen számokból áll ez a készlet. Feltételezhető, hogy minden törtből áll. Például az ilyen -. De egy ilyen meghatározás nem lenne teljesen helyes. A tört nem maga a szám, hanem egy számírási forma. Az alábbi példában két különböző tört ugyanazt a számot jelöli:
Akkor pontosabb lesz azt mondani, hogy a racionális számok azok a számok, amelyek törtként ábrázolhatók. És ez valójában majdnem ugyanaz, mint a matematikában.
Ezt a halmazt a betű jelöli. És hogyan kapcsolódnak a természetes és egész számok halmazai a racionális számok új halmazához? Egy természetes szám törtként végtelen sokféleképpen írható fel. És mivel törtként is ábrázolható, racionális is.
Hasonló a helyzet a negatív egész számokkal is. Bármely negatív egész szám kifejezhető törtként 
. Leírható-e a nulla törtként? Természetesen megteheti, szintén végtelen sokféleképpen. 
.
Így minden természetes szám és minden egész szám egyben racionális szám is. A természetes és egész számok halmazai a racionális számok halmazának () részhalmazai.
A halmazok lezárása az aritmetikai műveletek tekintetében
Az új számok – egészek, majd racionális számok – bevezetésének szükségessége nem csak a valós életből származó problémákkal magyarázható. Maguk az aritmetikai műveletek mondják el ezt. Adjunk hozzá két természetes számot: . Ismét természetes számot kapunk.
Azt mondják, hogy a természetes számok halmaza az összeadás művelete alatt zárt (összeadás alatt zárt). Gondolja végig, hogy a természetes számok halmaza zárt-e a szorzás alatt.
Amint megpróbálunk kivonni egy vele egyenlő vagy nagyobb számból, akkor nincs elég természetes számunk. A nulla és negatív egész számok bevezetése javítja a helyzetet:
Az egész számok halmaza a kivonás alatt zárva van. Bármilyen egész számot összeadhatunk és kivonhatunk anélkül, hogy félnénk attól, hogy nem lesz számunk az eredmény felírásához (az összeadás és kivonás alatt zárva).
Az egész számok halmaza zárva van a szorzás alatt? Igen, bármely két egész szám szorzata egész számot eredményez (az összeadás, kivonás és szorzás alatt).
Még egy akció van hátra – a felosztás. Az egész számok halmaza osztás alatt zárt? A válasz egyértelmű: nem. Osszuk el -vel. Az egész számok közé nincs, aki felírja a választ: .
De törtszámot használva szinte mindig felírhatjuk az egész szám egy másikkal való osztásának eredményét. Miért majdnem? Emlékezzünk vissza, hogy definíció szerint nem lehet nullával osztani.
Így a racionális számok halmaza (amely a törtek bevezetéséből adódik) mind a négy aritmetikai művelet alatt zárt halmaznak számít.
Nézzük meg.
Vagyis a racionális számok halmaza összeadás, kivonás, szorzás és osztás alatt zárva van, kivéve a nullával való osztást. Ebben az értelemben azt mondhatjuk, hogy a racionális számok halmaza "jobban" van elrendezve, mint a természetes és egész számok korábbi halmazai. Ez azt jelenti, hogy a racionális számok az általunk vizsgált utolsó számok? Nem. Ezt követően lesznek további számaink, amelyeket nem lehet törtként felírni, például irracionálisak.
A számok mint eszköz
A számok olyan eszköz, amelyet az ember szükség szerint hozott létre.
Rizs. 1. Természetes számok használata
Továbbá, amikor pénzbeli számításokat kellett végezni, plusz vagy mínusz jeleket kezdtek el a szám elé tenni, jelezve, hogy szükséges-e növelni vagy csökkenteni az eredeti értéket. Tehát voltak negatív és pozitív számok. Az új halmazt egész számok halmazának ().
Rizs. 2. Törtszámok használata
Ezért megjelenik egy új eszköz, új számok - törtek. Különböző ekvivalens módon írjuk őket: közönséges és tizedes törtként ( 
).
Az összes számot - "régi" (egész) és "új" (tört) - egy halmazba egyesítették, és racionális számok halmazának nevezték el (- racionális számok).
Tehát a racionális szám egy olyan szám, amely így ábrázolható közönséges tört. De ez a matematikai meghatározás még mindig egy kicsit pontosabb. Bármely racionális szám ábrázolható törtként pozitív nevezővel, azaz egy egész szám természetes számhoz viszonyított arányával: 
.
Ekkor megkapjuk a definíciót: egy számot racionálisnak nevezünk, ha egy egész számlálóval és egy természetes nevezővel törtként ábrázolható ( 
).
A közönséges törtek mellett tizedesjegyeket is használunk. Nézzük meg, hogyan kapcsolódnak ezek a racionális számok halmazához.
A tizedes törteknek három típusa van: véges, periodikus és nem periodikus.
Végtelen nem periódusos törtek: az ilyen törtek is végtelen számú számjegyet tartalmaznak a tizedesvessző után, de pont nincs. Példa erre a PI szám decimális jelölése: 
Bármilyen döntő decimális definíció szerint ez egy nevezővel rendelkező közönséges tört, és így tovább.
Hangosan felolvassuk a tizedes törtet, és közönséges:, alakban írjuk.
A közönséges tört formában történő írásról a tizedestörtre való fordított átmenet során végső tizedestörteket vagy végtelen periodikus törteket kaphatunk.
Váltás törtről tizedesre
A legegyszerűbb eset az, amikor egy tört nevezője tíz hatványa: és így tovább. Ezután a tizedes tört definícióját használjuk:
Vannak törtek, amelyekben a nevező könnyen visszavezethető erre a formára: . Ilyen jelölésre akkor lehet menni, ha a nevező bővítésében csak kettesek és ötösök szerepelnek.
A nevező három kettősből és egy ötösből áll. Mindegyik egy tízest alkot. Tehát kettő hiányzik. Szorozzuk meg a számlálóval és a nevezővel is:
Lehetett volna másképp is csinálni. Oszd el egy oszlopot ezzel (lásd 1. ábra).
Rizs. 2. Hosszú osztás
A c esetén a nevezőt nem lehet bitszámmá vagy más bitszámmá alakítani, mivel a kiterjesztése egy hármast tartalmaz. Már csak egy út van hátra – az oszlopra osztás (lásd a 2. ábrát).
Az ilyen osztás minden lépésben megadja a maradékot és a hányadost. Ez a folyamat végtelen. Vagyis egy végtelen periodikus törtet kaptunk egy ponttal
Gyakoroljunk. A közönséges törtek tizedesjegyekké alakítása.
Mindezekben a példákban a végső tizedes törtet kaptuk, mivel a nevező bővítésében csak kettesek és ötösök voltak.
(ellenőrizzük magunkat táblázatba bontással – lásd 3. ábra).
Rizs. 3. Hosszú osztás
Rizs. 4. Hosszú osztás
(lásd 4. ábra)
A nevező kiterjesztése tartalmaz egy hármast, ami azt jelenti, hogy a nevezőt formába kell vinni stb. nem fog működni. -vel osztunk egy oszlopra. A helyzet megismétlődik. Az eredményrekordban végtelen számú tripla lesz. Ily módon,.
(lásd 5. ábra)
Rizs. 5. Hosszú osztás
Tehát bármely racionális szám ábrázolható közönséges törtként. Ez az ő meghatározása.
És bármely közönséges tört ábrázolható véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként.
A törtírás típusai:
tizedes tört írása közönséges alakban: ; 
;
közönséges tört írása tizedesként: (végtört); (végtelen periodikus).
Vagyis bármely racionális szám felírható véges vagy periodikus tizedes törtként. Ebben az esetben a végső tört nulla periódusú periodikusnak is tekinthető.
Néha egy racionális számnak éppen ilyen definíciót adnak: a racionális szám olyan szám, amely periodikus tizedes törtként írható fel.
Periodikus tört transzformáció
Tekintsünk először egy törtet, amelynek periódusa egy számjegyből áll, és nincs előpontja. Jelöljük ezt a számot . A módszer az, hogy egy másik számot kapunk ugyanazzal a periódussal:
Ezt úgy tehetjük meg, hogy az eredeti számot megszorozzuk -val. Tehát a számnak ugyanaz a periódusa. Vonja ki magából a számból:
Annak érdekében, hogy mindent jól csináltunk, térjünk át a következőre hátoldal, általunk már ismert módon - oszlopra osztva által (lásd 1. ábra).
Valójában egy számot az eredeti alakjában kapunk ponttal.
Tekintsünk egy pre- és egy hosszabb periódusú számot: . A módszer pontosan ugyanaz marad, mint az előző példában. Új számot kell szereznie, azonos periódussal és azonos hosszúságú előperiódussal. Ehhez az kell, hogy a vessző a pont hosszával jobbra mozduljon el, pl. két karakterre. Szorozzuk meg az eredeti számot a következővel:
Vonja ki az eredeti kifejezést a kapott kifejezésből:
Tehát mi a fordítási algoritmus? A periódusos törtet meg kell szorozni egy olyan alakszámmal stb., amelyben annyi nulla van, ahány számjegy a tizedes tört periódusában. Új folyóiratot kapunk. Például:
Egy periodikus törtből kivonunk egy másikat, megkapjuk a végső tizedes törtet:
Marad az eredeti periodikus tört közönséges alakban történő kifejezése.
Az önálló gyakorláshoz írjon fel néhány időszakos törtet. Ezzel az algoritmussal hozza őket közönséges tört alakba. A számológép ellenőrzéséhez ossza el a számlálót a nevezővel. Ha minden helyes, akkor megkapja az eredeti periodikus törtet
Tehát bármilyen véges vagy végtelen periodikus törtet felírhatunk közönséges törtként, természetes és egész számok arányaként. Azok. minden ilyen tört racionális szám.
Mi a helyzet a nem periódusos törtekkel? Kiderült, hogy a nem periodikus törtek nem ábrázolhatók közönséges törtként (ezt a tényt bizonyítás nélkül elfogadjuk). Tehát ezek nem racionális számok. Irracionálisnak nevezik őket.
Végtelen nem periódusos törtek
Ahogy már mondtuk, a racionális szám decimális jelölésben vagy véges, vagy periodikus tört. Tehát, ha fel tudunk építeni egy végtelen nem periodikus törtet, akkor egy nem racionális, azaz irracionális számot kapunk.
Ennek egy módja van: Ennek a számnak a tört része csak nullákból és egyesekből áll. Az egyesek közötti nullák száma -val nő. Itt lehetetlen ismétlődő részt kiemelni. Vagyis a tört nem periodikus.
Gyakorolja saját maga a nem periodikus tizedes törtek összeállítását, azaz irracionális számok
Egy általunk ismert irracionális számra példa a pi ( ). Ebben a bejegyzésben nincs időszak. De a pi mellett végtelenül sok más irracionális szám létezik. Az irracionális számokról később még szó lesz.
Házi feladat
Ebben a cikkben elkezdjük tanulmányozni racionális számok. Itt megadjuk a racionális számok definícióit, megadjuk a szükséges magyarázatokat és példákat a racionális számokra. Ezt követően arra összpontosítunk, hogyan határozzuk meg, hogy egy adott szám racionális-e vagy sem.
Oldalnavigáció.
Ebben az alfejezetben a racionális számok számos definícióját adjuk meg. A megfogalmazásbeli különbségek ellenére ezeknek a definícióknak ugyanaz a jelentése: a racionális számok egész számokat és törtszámokat egyesítenek, ahogyan az egészek a természetes számokat, azok ellentétes számait és a nulla számot. Más szóval, a racionális számok általánosítanak egész és tört számokat.
Kezdjük azzal racionális számok definíciói amelyet a legtermészetesebbnek tartanak.
A hangos definícióból az következik, hogy a racionális szám:
Az is világos, hogy bármely végtelen, nem ismétlődő tizedes NEM racionális szám, mivel nem ábrázolható közönséges törtként.
Most könnyen hozhatjuk példák racionális számokra. A 4, 903, 100 321 számok racionális számok, mivel természetes számok. Az 58 , −72 , 0 , −833 333 333 egész számok is a racionális számok példái. A 4/9, 99/3 közönséges törtek is példák a racionális számokra. A racionális számok is számok.
A fenti példák azt mutatják, hogy vannak pozitív és negatív racionális számok is, és a nulla racionális szám sem nem pozitív, sem nem negatív.
A racionális számok fenti definíciója rövidebb formában is megfogalmazható.
Meghatározás.
Racionális számok hívjunk fel z/n törtként felírható számokat, ahol z egész szám, n pedig természetes szám.
Bizonyítsuk be, hogy a racionális számoknak ez a definíciója ekvivalens az előző definícióval. Tudjuk, hogy a tört rúdját tekinthetjük az osztás jelének, akkor az egész számok osztó tulajdonságaiból és az egész számok osztására vonatkozó szabályokból a következő és . Ez tehát a bizonyíték.
Adjunk példákat racionális számokra, amelyek alapján ezt a meghatározást. A −5 , 0 , 3 , és számok racionális számok, mivel felírhatók törtként egy egész számlálóval, illetve az alak természetes nevezőjével.
A racionális számok definíciója a következő megfogalmazásban is megadható.
Meghatározás.
Racionális számok véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként felírható számok.
Ez a definíció is egyenértékű az első definícióval, mivel bármely közönséges tört véges vagy periodikus tizedes törtnek felel meg, és fordítva, és bármely egész szám társítható egy tizedes törthez, ahol a tizedesvessző után nullák állnak.
Például az 5 , 0 , -13 számok a racionális számok példái, mert a következő tizedesjegyekként írhatók fel: 5.0 , 0.0 , -13.0 , 0.8 és -7,(18) .
A szakasz elméletét a következő kijelentésekkel fejezzük be:
Az előző bekezdésben azt találtuk, hogy bármely természetes szám, egész szám, közönséges tört, bármilyen vegyes szám, bármilyen végső tizedes tört, valamint bármely periodikus tizedes tört racionális szám. Ez a tudás lehetővé teszi számunkra, hogy racionális számokat "felismerjünk" az írott számok halmazából.
De mi van akkor, ha a szám úgy van megadva, hogy valamilyen , vagy mint stb., hogyan válaszoljunk arra a kérdésre, hogy a megadott szám racionális-e? Sok esetben nagyon nehéz válaszolni rá. Mutassunk néhány irányt a gondolatmenethez.
Ha egy számot olyan numerikus kifejezésként adunk meg, amely csak racionális számokat és számtani előjeleket (+, −, · és:) tartalmaz, akkor ennek a kifejezésnek az értéke racionális szám. Ez a racionális számokkal végzett műveletek meghatározásából következik. Például a kifejezésben szereplő összes művelet végrehajtása után egy 18-as racionális számot kapunk.
Néha a kifejezések leegyszerűsítése után és így tovább összetett típus, lehetővé válik annak meghatározása, hogy egy adott szám racionális-e.
Menjünk tovább. A 2-es szám racionális szám, mivel bármely természetes szám racionális. Mi a helyzet a számmal? Vajon racionális? Kiderült, hogy nem - ez nem racionális szám, hanem irracionális szám (ennek a ténynek az ellentmondásos bizonyítását az algebra 8. osztályos tankönyve tartalmazza, az alábbi hivatkozási listában feltüntetve). Az is bebizonyosodott Négyzetgyök tól től természetes szám csak akkor racionális szám, ha a gyök olyan szám, amely valamely természetes szám tökéletes négyzete. Például a és racionális számok, mivel 81=9 2 és 1024=32 2 , a és számok pedig nem racionálisak, mivel a 7 és 199 nem tökéletes négyzetei a természetes számoknak.
Racionális a szám vagy sem? Ebben az esetben könnyen belátható, hogy ezért ez a szám racionális. Racionális a szám? Bebizonyosodott, hogy egy egész szám k-edik gyöke csak akkor racionális szám, ha a gyökjel alatti szám valamely egész szám k-edik hatványa. Ezért nem racionális szám, hiszen nincs olyan egész szám, amelynek ötödik hatványa 121 lenne.
Az ellentmondás módszere lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy egyes számok logaritmusai valamilyen okból nem racionális számok. Például bizonyítsuk be, hogy - nem racionális szám.
Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis tegyük fel, hogy ez egy racionális szám, és m/n közönséges törtként írható fel. Ezután és adja meg a következő egyenlőségeket: . Az utolsó egyenlőség lehetetlen, mert a bal oldalán ott van páratlan szám 5 n , a jobb oldalon pedig egy páros szám 2 m . Ezért a feltevésünk téves, tehát nem racionális szám.
Összegzésként érdemes hangsúlyozni, hogy a számok racionalitásának vagy irracionalitásának tisztázásakor tartózkodni kell a hirtelen következtetésektől.
Például nem szabad azonnal azt állítani, hogy a π és e irracionális számok szorzata irracionális szám, ez „mintha nyilvánvaló”, de nem bizonyított. Ez felveti a kérdést: „Miért lenne a szorzat racionális szám”? És miért ne, mert lehet példát mondani irracionális számokra, amelyek szorzata racionális számot ad:.
Az sem ismert, hogy a számok és sok más szám racionális-e vagy sem. Például vannak irracionális számok, amelyek irracionális hatványa racionális szám. Szemléltetésül adjuk meg az alak fokszámát, ennek a foknak az alapja és a kitevő nem racionális szám, hanem , és 3 egy racionális szám.
Bibliográfia.
