Definição: números naturais são chamados de números que são usados para contar objetos (1, 2, 3, 4, 5, ...) [O número 0 não é natural. Ele também tem sua própria história separada na história da matemática e apareceu muito depois dos números naturais.]
O conjunto de todos os números naturais (1, 2, 3, 4, 5, ...) é denotado pela letra N.
Com a adição, tudo fica claro: somando quaisquer dois números naturais, como resultado, sempre obtemos o mesmo número natural. Mas na subtração, descobrimos que não podemos subtrair o maior do menor para que o resultado seja um número natural. (3 − 5 = o quê?) É aqui que entra a ideia de números negativos. (Números negativos não são mais naturais)
Na fase de ocorrência de números negativos (e eles apareceram depois dos fracionários) havia também seus oponentes que os consideravam um absurdo. (Três objetos podem ser mostrados nos dedos, dez podem ser mostrados, mil objetos podem ser representados por analogia. E o que é "menos três bolsas"? - Naquela época, embora os números já fossem usados \u200b\u200bpor conta própria, separadamente de objetos específicos, cujo número eles designam, ainda estavam na mente de pessoas muito mais próximas a esses assuntos específicos do que hoje.) Mas, como as objeções, o principal argumento a favor dos números negativos veio da prática: os números negativos tornaram possível para acompanhar convenientemente as dívidas. 3 - 5 = -2 - Eu tinha 3 moedas, gastei 5. Portanto, não apenas fiquei sem moedas, mas também devo 2 moedas a alguém. Se eu retornar um, a dívida mudará para −2+1=−1, mas também pode ser representada como um número negativo.
Como resultado, números negativos apareceram na matemática, e agora temos um número infinito de números naturais (1, 2, 3, 4, ...) e há o mesmo número de seus opostos (−1, −2, − 3, −4 , ...). Vamos adicionar a eles outro 0. E o conjunto de todos esses números será chamado de inteiros.
Definição: Os números naturais, seus opostos e o zero formam o conjunto dos inteiros. É indicado pela letra Z.
Quaisquer dois números inteiros podem ser subtraídos um do outro ou adicionados para obter um número inteiro como resultado.
A ideia de soma inteira já sugere a possibilidade de multiplicação, pois simplesmente mais via rápida realizando adição. Se tivermos 7 sacos de 6 quilos cada, podemos somar 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (soma 6 à soma atual sete vezes), ou podemos simplesmente lembrar que tal operação sempre resultará em 42. Como a adição de seis setes, 7+7+7+7+7+7 também sempre dará 42.
Os resultados da operação de adição certo números consigo mesmo certo o número de vezes para todos os pares de números de 2 a 9 são escritos e compõem a tabela de multiplicação. Para multiplicar inteiros maiores que 9, uma regra de multiplicação é inventada em uma coluna. (O que também se aplica a decimais e será abordado em um dos artigos a seguir.) Quaisquer dois números inteiros multiplicados um pelo outro sempre resultarão em um número inteiro.
Quando tínhamos 7 sacos de 6 quilos, usando a multiplicação, facilmente calculamos que o peso total do conteúdo dos sacos é de 42 quilos. Imagine que despejamos todo o conteúdo de todas as sacolas em uma pilha comum de 42 quilos. E então eles mudaram de ideia e quiseram distribuir o conteúdo de volta para 7 sacolas. Quantos quilogramas cairão em uma sacola se distribuirmos igualmente? - Obviamente 6.
E se quisermos distribuir 42 quilos em 6 sacos? Aqui pensamos no que seriam os mesmos 42 quilos se despejássemos 6 sacos de 7 quilos em uma pilha. E isso significa que ao dividir 42 quilos em 6 sacos igualmente, obtemos 7 quilos em um saco.
E se você dividir 42 quilos igualmente em 3 sacos? E aqui também começamos a selecionar um número que, multiplicado por 3, daria 42. Para valores de "tabela", como no caso de 6 7=42 => 42:6=7, realizamos a operação de divisão , simplesmente lembrando a tabuada. Para mais casos difíceis divisão de colunas é usada, o que será discutido em um dos artigos a seguir. No caso de 3 e 42, pode-se lembrar por "seleção" que 3 · 14 = 42. Portanto, 42:3=14. Cada saco terá 14 quilos.
Agora vamos tentar dividir 42 quilos igualmente em 5 sacos. 42:5=?
Notamos que 5 8=40 (pequeno) e 5 9=45 (muitos). Ou seja, nem 8 quilos em uma sacola, nem 9 quilos, de 5 sacolas não conseguiremos 42 quilos de forma alguma. Ao mesmo tempo, é claro que na realidade nada nos impede de dividir qualquer quantidade (cereais, por exemplo) em 5 partes iguais.
A operação de divisão de números inteiros entre si não resulta necessariamente em um número inteiro. Então chegamos ao conceito de fração. 42:5 \u003d 42/5 \u003d 8 inteiro 2/5 (se contado em frações ordinárias) ou 42:5 \u003d 8,4 (se contado em frações decimais).
As frações comuns são boas porque, para representar o resultado da divisão de quaisquer dois números inteiros como uma fração, você só precisa escrever o dividendo no numerador da fração e o divisor no denominador. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Depois, se possível, reduza a fração e/ou destaque a parte inteira (essas operações com frações ordinárias serão discutido em detalhes nos artigos a seguir). O problema é que realizar operações aritméticas (adição, subtração) com frações comuns não é mais tão conveniente quanto com números inteiros.
Por conveniência de notação (em uma linha) e por conveniência de cálculos (com a possibilidade de cálculos em uma coluna, como para números inteiros comuns), exceto para frações ordinárias frações decimais também foram inventadas. Uma fração decimal é uma fração ordinária escrita de uma maneira especial com um denominador de 10, 100, 1000, etc. Por exemplo, a fração comum 7/10 é igual à fração decimal 0,7. (8/100 = 0,08; 2 inteiros 3/10=2,3; 7 inteiros 1/1000 = 7,001). Um artigo separado será dedicado à conversão de frações comuns em decimais e vice-versa. Operações com decimais- outros artigos.
Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração comum com denominador 1. (5=5/1; −765=−765/1).
Definição: Todos os números que podem ser representados como uma fração comum são chamados de números racionais. O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q.
Ao dividir quaisquer dois números inteiros um pelo outro (exceto ao dividir por 0), sempre obtemos um número racional como resultado. Para frações comuns, existem regras para adição, subtração, multiplicação e divisão, que permitem realizar a operação correspondente com quaisquer duas frações e também obter um número racional (fração ou número inteiro) como resultado.
O conjunto dos números racionais é o primeiro dos conjuntos que consideramos, no qual você pode somar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto para dividir por 0) sem nunca ir além desse conjunto (isto é, sempre obtendo um número racional como um resultado).
Parece que não existem outros números, todos os números são racionais. Mas também não é assim.
Quais são esses números? Ainda não consideramos a operação de exponenciação. Por exemplo, 4 2 \u003d 4 4 \u003d 16. 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Assim como a multiplicação é uma forma mais conveniente de notação e cálculo de adição, a exponenciação é uma forma de notação para multiplicar o mesmo número por si mesmo um certo número de vezes.
Mas agora considere a operação, o inverso de elevar a uma potência - extrair a raiz. A raiz quadrada de 16 é o número que ao quadrado dá 16, que é 4. A raiz quadrada de 9 é 3. E aqui Raiz quadrada de 5 ou de 2, por exemplo, não pode ser representado por um número racional. (A prova desta afirmação, outros exemplos de números irracionais e sua história podem ser encontrados, por exemplo, na Wikipédia)
No GIA do 9º ano, há uma tarefa para determinar se um número que contém uma raiz em sua entrada é racional ou irracional. A tarefa é tentar converter esse número para uma forma que não contenha uma raiz (usando as propriedades das raízes). Se a raiz não pode ser eliminada, então o número é irracional.
Outro exemplo de número irracional é o número π, familiar a todos da geometria e trigonometria.
Definição: Os números racionais e irracionais juntos são chamados de números reais (ou reais). muitos de todos numeros reais representado pela letra R.
Nos números reais, ao contrário dos números racionais, podemos expressar a distância entre quaisquer dois pontos em uma linha ou plano.
Se você desenhar uma linha reta e escolher dois pontos arbitrários nela, ou escolher dois pontos arbitrários em um plano, pode acontecer que a distância exata entre esses pontos não possa ser expressa por um número racional. (Exemplo - a hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas 1 e 1, de acordo com o teorema de Pitágoras, será igual à raiz de dois - ou seja, um número irracional. Isso também inclui o comprimento exato da diagonal de uma célula tétrada (o comprimento da diagonal de qualquer quadrado ideal com lados inteiros).)
E no conjunto dos números reais, quaisquer distâncias em linha reta, no plano ou no espaço podem ser expressas pelo número real correspondente.
Número- o conceito matemático mais importante que mudou ao longo dos séculos.
As primeiras ideias sobre o número surgiram da contagem de pessoas, animais, frutas, diversos produtos, etc. O resultado são os números naturais: 1, 2, 3, 4, ...
Historicamente, a primeira extensão do conceito de número é a adição de números fracionários a um número natural.
Tomada chamado de parte (ação) de uma unidade ou várias partes iguais dela.
Designado: , onde m,n- números inteiros;
Frações com denominador 10 n, Onde né um número inteiro, eles são chamados decimal: .
Entre as frações decimais, um lugar especial é ocupado por frações periódicas: - fração periódica pura, 
- fração periódica mista.
A expansão adicional do conceito de número já é causada pelo desenvolvimento da própria matemática (álgebra). Descartes no século XVII apresenta o conceito número negativo.
Números inteiros (positivos e negativos), fracionários (positivos e negativos) e zero são chamados números racionais. Qualquer número racional pode ser escrito como uma fração finita e periódica.
Para estudar variáveis que mudam continuamente, tornou-se necessário expandir o conceito de número - a introdução de números reais (reais) - adicionando números irracionais a números racionais: números irracionais são frações não periódicas decimais infinitas.
Números irracionais apareceram ao medir segmentos incomensuráveis (lado e diagonal de um quadrado), em álgebra - ao extrair raízes, um exemplo de número irracional transcendental é π, e .
Números natural(1, 2, 3,...), todo(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racional(representado como uma fração) e irracional(não representável como uma fração ) formar um conjunto real (real) números.
Separadamente na matemática, os números complexos são distinguidos.
Números complexos surgem em conexão com o problema de resolver quadrados para o caso D< 0 (здесь Dé o discriminante da equação quadrática). Por muito tempo, esses números não encontraram uso físico, por isso foram chamados de números "imaginários". No entanto, agora eles são amplamente utilizados em vários campos da física e da tecnologia: engenharia elétrica, hidro e aerodinâmica, teoria da elasticidade, etc.
Números complexos são escritas como: z= uma+ bi. Aqui uma e b – numeros reais, uma eu – unidade imaginária.e. eu 2 = -1. Número uma chamado abscissa, uma b-ordenar número complexo uma+ bi. Dois números complexos uma+ bi e a-bi chamado conjugado números complexos.
Propriedades:
1. Número real uma também pode ser escrito como um número complexo: uma+ 0eu ou uma - 0eu. Por exemplo 5 + 0 eu e 5 - 0 eu significa o mesmo número 5 .
2. Número complexo 0 + bi chamado puramente imaginário número. Gravação bi significa o mesmo que 0 + bi.
3. Dois números complexos uma+ bi e c+ di são considerados iguais se uma= c e b= d. Por outro lado números complexos não igual.
Ações:
Adição. A soma dos números complexos uma+ bi e c+ dié chamado de número complexo ( uma+ c) + (b+ d)eu. Nesse caminho, ao adicionar números complexos, suas abscissas e ordenadas são adicionadas separadamente.
Subtração. A diferença entre dois números complexos uma+ bi(reduzido) e c+ di(subtraído) é chamado de número complexo ( a-c) + (b-d)eu. Nesse caminho, ao subtrair dois números complexos, suas abscissas e ordenadas são subtraídas separadamente.
Multiplicação. O produto de números complexos uma+ bi e c+ dié chamado de número complexo.
(ac-bd) + (de Anúncios+ bc)eu. Esta definição decorre de dois requisitos:
1) números uma+ bi e c+ di deve multiplicar como binômios algébricos,
2) número eu tem como propriedade principal: eu 2 = –1.
EXEMPLO ( a + bi)(a-bi)= um 2 +b 2 . Consequentemente, trabalharde dois números complexos conjugados é igual a um número real positivo.
Divisão. Dividir um número complexo uma+ bi(divisível) para outro c+ di (divisor) - significa encontrar o terceiro número e+ fi(chat), que, quando multiplicado por um divisor c+ di, o que resulta no dividendo uma+ bi. Se o divisor não for zero, a divisão é sempre possível.
EXEMPLO Encontrar (8+ eu) : (2 – 3eu) .
Solução. Vamos reescrever essa proporção como uma fração:
Multiplicando seu numerador e denominador por 2 + 3 eu e fazendo todas as transformações, obtemos:
Tarefa 1: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir z 1 para z 2
Extraindo a raiz quadrada: Resolva a equação x 2 = -uma. Para resolver esta equação somos forçados a usar um novo tipo de número - números imaginários . Nesse caminho, imaginário o número é chamado cuja segunda potência é um número negativo. De acordo com esta definição de números imaginários, podemos definir e imaginário unidade:
Então para a equação x 2 = - 25 temos dois imaginário raiz:
Tarefa 2: Resolva a equação:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Representação geométrica de números complexos. Os números reais são representados por pontos na reta numérica:
Aqui está o ponto UMA significa número -3, ponto Bé o número 2, e O-zero. Em contraste, os números complexos são representados por pontos no plano coordenado. Para isso, escolhemos coordenadas retangulares (cartesianas) com as mesmas escalas em ambos os eixos. Então o número complexo uma+ bi será representado por um ponto P com abcissauma e ordenarb. Este sistema de coordenadas é chamado plano complexo .
módulo número complexo é chamado de comprimento do vetor OP, representando um número complexo na coordenada ( integrado) avião. Módulo de número complexo uma+ bi denotado por | uma+ bi| ou) carta r e é igual a:
Os números complexos conjugados têm o mesmo módulo.
As regras para traçar um desenho são quase as mesmas de um desenho em um sistema de coordenadas cartesianas. Ao longo dos eixos, você precisa definir a dimensão, observe:
e 
unidade ao longo do eixo real; Rez
unidade imaginária ao longo do eixo imaginário. eu sou z
Tarefa 3. Construa os seguintes números complexos no plano complexo: , , , , , , ,
1. Os números são exatos e aproximados. Os números que encontramos na prática são de dois tipos. Alguns dão o valor real da quantidade, outros apenas aproximam. O primeiro é chamado exato, o segundo - aproximado. Na maioria das vezes, é conveniente usar um número aproximado em vez de um número exato, especialmente porque em muitos casos o número exato não pode ser encontrado.
Então, se eles dizem que há 29 alunos na classe, então o número 29 é exato. Se dizem que a distância de Moscou a Kyiv é de 960 km, então aqui o número 960 é aproximado, pois, por um lado, nossos instrumentos de medição não são absolutamente precisos, por outro, as próprias cidades têm alguma extensão.
O resultado de operações com números aproximados também é um número aproximado. Ao realizar algumas operações em números exatos (dividir, extrair a raiz), você também pode obter números aproximados.
A teoria dos cálculos aproximados permite:
1) conhecendo o grau de precisão dos dados, avalie o grau de precisão dos resultados;
2) obter dados com um grau de precisão apropriado, suficiente para garantir a precisão exigida do resultado;
3) racionalizar o processo de cálculo, liberando-o daqueles cálculos que não afetarão a precisão do resultado.
2. Arredondamento. Uma fonte de números aproximados é o arredondamento. Arredonde os números aproximados e exatos.
Arredondar um determinado número para alguns de seus dígitos é a substituição dele por um novo número, que é obtido a partir do dado descartando todos os seus dígitos escritos à direita do dígito desse dígito, ou substituindo-os por zeros. Esses zeros geralmente são sublinhados ou escritos em tamanho menor. Para garantir a maior proximidade do número arredondado para o arredondado, as seguintes regras devem ser utilizadas: para arredondar o número para um de determinado dígito, você deve descartar todos os dígitos após o dígito desse dígito e substituí-los com zeros no número inteiro. Isso leva em consideração o seguinte:
1) se o primeiro (à esquerda) dos dígitos descartados for menor que 5, então o último dígito restante não é alterado (arredondado para baixo);
2) se o primeiro dígito descartado for maior que 5 ou igual a 5, então o último dígito restante é aumentado em um (arredondamento para cima).
Vamos mostrar isso com exemplos. Arredondar para cima:
a) até às décimas de 12.34;
b) até centésimos de 3,2465; 1038.785;
c) até milésimos de 3,4335.
d) até 12375 milhares; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Erros absolutos e relativos. A diferença entre o número exato e seu valor aproximado é chamada de erro absoluto do número aproximado. Por exemplo, se o número exato 1,214 for arredondado para décimos, obtemos um número aproximado de 1,2. NO este caso o erro absoluto do número aproximado 1,2 é 1,214 - 1,2, ou seja, 0,014.
Mas na maioria dos casos valor exato valor considerado é desconhecido, mas apenas aproximado. Então o erro absoluto também é desconhecido. Nestes casos, indique o limite que não ultrapassa. Este número é chamado de erro absoluto marginal. Eles dizem que o valor exato de um número é igual ao seu valor aproximado com um erro menor que o erro de limite. Por exemplo, o número 23,71 é o valor aproximado do número 23,7125 com precisão de 0,01, pois o erro de aproximação absoluto é 0,0025 e menor que 0,01. Aqui, o erro absoluto do limite é igual a 0,01 * .
Erro absoluto de limite do número aproximado uma denotado pelo símbolo Δ uma. Gravação
x≈uma(±Δ uma)
deve ser entendido da seguinte forma: o valor exato da quantidade x está no meio uma– Δ uma e uma+ Δ uma, que são chamados de limites inferior e superior, respectivamente. x e denotar NG x VG x.
Por exemplo, se x≈ 2,3 (±0,1), então 2,2<x< 2,4.
Por outro lado, se 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). O erro absoluto absoluto ou marginal não caracteriza a qualidade da medição. O mesmo erro absoluto pode ser considerado significativo e insignificante, dependendo do número que expressa o valor medido. Por exemplo, se medirmos a distância entre duas cidades com precisão de um quilômetro, essa precisão é suficiente para essa mudança, enquanto, ao mesmo tempo, ao medir a distância entre duas casas na mesma rua, essa precisão será inaceitável. Portanto, a precisão do valor aproximado de uma grandeza depende não apenas da magnitude do erro absoluto, mas também do valor da grandeza medida. Portanto, a medida de precisão é o erro relativo.
O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor do número aproximado. A razão entre o erro absoluto do limite e o número aproximado é chamada de erro relativo do limite; denotar assim: Os erros relativos relativos e de limite são geralmente expressos como uma porcentagem. Por exemplo, se as medições mostrarem que a distância x entre dois pontos é superior a 12,3 km, mas inferior a 12,7 km, então a média aritmética desses dois números é tomada como um valor aproximado, ou seja, sua meia-soma, então o erro absoluto de limite é igual à meia-diferença desses números. Nesse caso x≈ 12,5 (±0,2). Aqui, o erro absoluto do limite é de 0,2 km e o relativo do limite
A análise matemática é um ramo da matemática que trata do estudo de funções com base na ideia de uma função infinitesimal.
Os conceitos básicos da análise matemática são quantidade, conjunto, função, função infinitesimal, limite, derivada, integral.
Valor tudo o que pode ser medido e expresso por um número é chamado.
muitosé uma coleção de alguns elementos unidos por alguma característica comum. Os elementos de um conjunto podem ser números, figuras, objetos, conceitos, etc.
Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os elementos de um conjunto por letras minúsculas. Os elementos do conjunto são colocados entre chaves.
Se elemento x pertence ao conjunto x, então escreva x∈x (∈
- pertence).
Se o conjunto A faz parte do conjunto B, então escreva A ⊂ B (⊂
- Está contido).
Um conjunto pode ser definido de duas maneiras: por enumeração e por uma propriedade definidora.
Por exemplo, a enumeração define os seguintes conjuntos:O conjunto (-∞;+∞) é chamado linha numérica, e qualquer número é um ponto desta linha. Seja a um ponto arbitrário na reta real e δ um número positivo. O intervalo (a-δ; a+δ) é chamado δ-vizinhança do ponto a.
O conjunto X é limitado por cima (por baixo) se existe tal número c que para qualquer x ∈ X a desigualdade x≤с (x≥c) é satisfeita. O número c neste caso é chamado borda superior (inferior) conjuntos X. Um conjunto limitado acima e abaixo é chamado limitado. A menor (maior) das faces superiores (inferiores) do conjunto é chamada rosto superior (inferior) exato este conjunto.
| N | (1,2,3,...,n) O conjunto de todos |
| Z | (0, ±1, ±2, ±3,...) Definir números inteiros. O conjunto dos inteiros inclui o conjunto dos números naturais. |
| Q |
Vários números racionais. Além dos números inteiros, também existem as frações. Uma fração é uma expressão da forma , onde pé um inteiro, q- naturais. Decimais também podem ser escritos como . Por exemplo: 0,25 = 25/100 = 1/4. Os inteiros também podem ser escritos como . Por exemplo, na forma de uma fração com denominador "um": 2 = 2/1. Assim, qualquer número racional pode ser escrito como uma fração decimal - finita ou infinitamente periódica. |
| R |
muitos de todos numeros reais. Números irracionais são frações não periódicas infinitas. Esses incluem: Juntos, dois conjuntos (números racionais e irracionais) formam o conjunto dos números reais (ou reais). |
Se um conjunto não contém elementos, então ele é chamado conjunto vazio e gravado Ø .
A notação ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
quantificadorAo escrever expressões matemáticas, os quantificadores são frequentemente usados.
quantificadoré chamado de símbolo lógico que caracteriza os elementos que o seguem em termos quantitativos.
Dois os conjuntos A e B são iguais(A=B) se forem compostos pelos mesmos elementos.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) então A=B.
União (soma) conjuntos A e B é chamado de conjunto A ∪ B, cujos elementos pertencem a pelo menos um desses conjuntos.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), então A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
Interseção (produto) conjuntos A e B é chamado de conjunto A ∩ B, cujos elementos pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), então A ∩ B = (2,4)
diferença conjuntos A e B é chamado de conjunto AB, cujos elementos pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), então AB = (1,2)
diferença simétrica conjuntos A e B é chamado de conjunto A Δ B, que é a união das diferenças dos conjuntos AB e BA, ou seja, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Por exemplo, se A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), então A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Para comparar quaisquer dois conjuntos A e B, uma correspondência é estabelecida entre seus elementos.
Se esta correspondência for biunívoca, então os conjuntos são chamados de equivalentes ou equivalentes, A B ou B A.
Exemplo 1O conjunto de pontos da perna BC e a hipotenusa AC do triângulo ABC são de igual potência.
Definição de números naturais são inteiros positivos. Os números naturais são usados para contar objetos e para muitas outras finalidades. Aqui estão os números:
Esta é uma série natural de números.
Zero é um número natural? Não, o zero não é um número natural.
Quantos números naturais existem? Existe um conjunto infinito de números naturais.
Qual é o menor número natural? Um é o menor número natural.
Qual é o maior número natural? Não pode ser especificado, porque existe um conjunto infinito de números naturais.
A soma dos números naturais é um número natural. Assim, a adição dos números naturais a e b:
O produto dos números naturais é um número natural. Assim, o produto dos números naturais a e b:
c é sempre um número natural.
Diferença de números naturais Nem sempre há um número natural. Se o minuendo for maior que o subtraendo, então a diferença de números naturais é um número natural, caso contrário não é.
O quociente dos números naturais Nem sempre existe um número natural. Se para números naturais a e b
onde c é um número natural, significa que a é divisível por b. Neste exemplo, a é o dividendo, b é o divisor, c é o quociente.
O divisor de um número natural é o número natural pelo qual o primeiro número é igualmente divisível.
Todo número natural é divisível por 1 e por ele mesmo.
Números naturais simples são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Aqui queremos dizer completamente dividido. Exemplo, números 2; 3; 5; 7 só é divisível por 1 e por ele mesmo. Estes são números naturais simples.
Um não é considerado um número primo.
Os números maiores que um e que não são primos são chamados de números compostos. Exemplos de números compostos:
Um não é considerado um número composto.
O conjunto dos números naturais consiste em um, números primos e números compostos.
O conjunto dos números naturais é denotado pela letra latina N.
Propriedades da adição e da multiplicação dos números naturais:
propriedade comutativa de adição
propriedade associativa da adição
(a + b) + c = a + (b + c);
propriedade comutativa da multiplicação
propriedade associativa da multiplicação
(ab)c = a(bc);
propriedade distributiva da multiplicação
A(b + c) = ab + ac;
Números inteiros são números naturais, zero e o oposto dos números naturais.
Números opostos aos números naturais são inteiros negativos, por exemplo:
1; -2; -3; -4;...
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra latina Z.
Números racionais são inteiros e frações.
Qualquer número racional pode ser representado como uma fração periódica. Exemplos:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Pode ser visto nos exemplos que qualquer número inteiro é uma fração periódica com um período de zero.
Qualquer número racional pode ser representado como uma fração m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos representar o número 3,(6) do exemplo anterior como uma fração.
Número é uma abstração usada para quantificar objetos. Os números surgiram na sociedade primitiva em conexão com a necessidade de as pessoas contarem objetos. Com o tempo, com o desenvolvimento da ciência, o número tornou-se o conceito matemático mais importante.
Para resolver problemas e provar vários teoremas, você precisa entender quais são os tipos de números. Os principais tipos de números incluem: números naturais, números inteiros, números racionais, números reais.
inteiros- são os números obtidos com a contagem natural dos objetos, ou melhor, com a sua numeração ("primeiro", "segundo", "terceiro" ...). O conjunto dos números naturais é denotado pela letra latina N (pode ser lembrado com base na palavra inglesa natural). Pode-se dizer que N ={1,2,3,....}
Números inteiros são números do conjunto (0, 1, -1, 2, -2, ....). Este conjunto consiste em três partes - números naturais, inteiros negativos (o oposto dos números naturais) e o número 0 (zero). Números inteiros são denotados por uma letra latina Z . Pode-se dizer que Z ={1,2,3,....}.
Números racionais são números que podem ser representados como uma fração, onde m é um número inteiro e n é um número natural. A letra latina é usada para denotar números racionais Q . Todos os números naturais e inteiros são racionais.
Números reais (reais)é um número que é usado para medir quantidades contínuas. O conjunto dos números reais é representado pela letra latina R. Os números reais incluem números racionais e números irracionais. Números irracionais são números obtidos realizando várias operações em números racionais (por exemplo, extração de uma raiz, cálculo de logaritmos), mas não são racionais ao mesmo tempo.
1. Sistemas numéricos.
Um sistema numérico é uma maneira de nomear e escrever números. Dependendo do método de representação de números, ele é dividido em decimal posicional e romano não posicional.
O PC usa sistemas numéricos de 2, 8 e 16.
Diferenças: a entrada do número no 16º sistema numérico é muito mais curta em comparação com a outra entrada, ou seja, requer menos profundidade de bits.
Em um sistema numérico posicional, cada dígito retém seu valor constante, independentemente de sua posição no número. No sistema de numeração posicional, cada dígito determina não apenas seu valor, mas depende da posição que ocupa no número. Cada sistema numérico é caracterizado por uma base. A base é o número de dígitos diferentes usados para escrever números em um determinado sistema numérico. A base mostra quantas vezes o valor do mesmo dígito muda ao mover para uma posição adjacente. O computador usa um sistema de 2 números. A base do sistema pode ser qualquer número. As operações aritméticas em números em qualquer posição são realizadas de acordo com as regras semelhantes ao 10º sistema numérico. Para o sistema de 2 números, é usada aritmética binária, que é implementada em um computador para realizar cálculos aritméticos.
Adição binária:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10
Subtrair:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1
Multiplicação:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1
O computador usa amplamente o 8º sistema numérico e o 16º sistema numérico. Eles são usados para encurtar números binários.
2. O conceito de conjunto.
O conceito de "conjunto" é um conceito fundamental da matemática e não tem definição. A natureza da geração de qualquer conjunto é diversa, em particular, os objetos circundantes, a vida selvagem, etc.
Definição 1: Os objetos a partir dos quais o conjunto é formado são chamados elementos deste conjunto. Para designar um conjunto, são utilizadas letras maiúsculas do alfabeto latino: por exemplo, X, Y, Z, e entre chaves, separadas por vírgulas, seus elementos são escritos em letras minúsculas, por exemplo: (x, y, z) .
Um exemplo da designação de um conjunto e seus elementos:
X = (x 1 , x 2 ,…, x n ) é um conjunto composto por n elementos. Se um elemento x pertence ao conjunto X, então deve-se escrever: xОX, caso contrário o elemento x não pertence ao conjunto X, que se escreve: xПX. Os elementos de um conjunto abstrato podem ser, por exemplo, números, funções, letras, formas e assim por diante. Em matemática, em qualquer seção, o conceito de conjunto é usado. Em particular, alguns conjuntos concretos de números reais podem ser dados. O conjunto dos números reais x satisfazendo as desigualdades:
a ≤ x ≤ b é chamado segmento e é denotado por ;
a ≤ x< b или а < x ≤ b называется meio segmento e é denotado: ;
· uma< x < b называется intervalo e denotado por (a,b).
Definição 2: Um conjunto que possui um número finito de elementos é chamado de finito. Exemplo. X \u003d (x 1, x 2, x 3).
Definição 3: O conjunto é chamado sem fim se tiver um número infinito de elementos. Por exemplo, o conjunto de todos os números reais é infinito. Exemplo de gravação. X \u003d (x 1, x 2, ...).
Definição 4: Um conjunto no qual não há elemento é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo símbolo Æ.
Uma característica de um conjunto é o conceito de cardinalidade. Potência é o número de seus elementos. O conjunto Y=(y 1 , y 2 ,...) tem a mesma cardinalidade que o conjunto X=(x 1 , x 2 ,...) se houver uma correspondência bijetiva y= f(x ) entre os elementos desses conjuntos. Esses conjuntos têm a mesma cardinalidade ou são equivalentes em cardinalidade. O conjunto vazio tem cardinalidade zero.
3. Métodos de especificação de conjuntos.
Considera-se que o conjunto é definido por seus elementos, ou seja, conjunto é dado, se qualquer objeto pode ser dito se pertence a este conjunto ou não. Você pode definir um conjunto das seguintes maneiras:
1) Se um conjunto é finito, ele pode ser especificado listando todos os seus elementos. Então, se o conjunto MAS consiste em elementos 2, 5, 7, 12 , então eles escrevem A = (2, 5, 7, 12). Número de elementos do conjunto MASé igual a 4 , Escreva n(A) = 4.
Mas se o conjunto é infinito, então seus elementos não podem ser enumerados. É difícil definir um conjunto por enumeração e um conjunto finito com um grande número de elementos. Nesses casos, uma forma diferente de especificar o conjunto é usada.
2) Um conjunto pode ser definido especificando uma propriedade característica de seus elementos. propriedade característica- esta é uma propriedade que todo elemento pertencente ao conjunto possui, e não possui um único elemento que não pertença a ele. Considere, por exemplo, um conjunto X de números de dois dígitos: a propriedade que cada elemento desse conjunto possui é "ser um número de dois dígitos". Esta propriedade característica permite decidir se um objeto pertence ou não ao conjunto X. Por exemplo, o número 45 está contido neste conjunto, porque é de dois valores, e o número 4 não pertence ao conjunto X, porque é um-para-um e não de dois valores. Acontece que um mesmo conjunto pode ser especificado pela especificação de diferentes propriedades características de seus elementos. Por exemplo, um conjunto de quadrados pode ser definido como um conjunto de retângulos com lados iguais e como um conjunto de losangos com ângulo reto.
Nos casos em que a propriedade característica dos elementos do conjunto pode ser representada de forma simbólica, uma notação correspondente é possível. Se o conjunto NO consiste em todos os números naturais menores que 10, eles escrevem B = (x N| x<10}.
O segundo método é mais geral e permite especificar conjuntos finitos e infinitos.
4. Conjuntos numéricos.
Numérico - um conjunto cujos elementos são números. Os conjuntos numéricos são dados no eixo dos números reais R. Neste eixo, escolha a escala e indique a origem e direção. Os conjuntos de números mais comuns:
- conjunto de números naturais;
- conjunto de inteiros;
- conjunto de números racionais ou fracionários;
· é o conjunto dos números reais.
5. Potência do conjunto. Dê exemplos de conjuntos finitos e infinitos.
Os conjuntos são chamados equipotentes, equivalentes, se houver uma correspondência um-para-um ou um-para-um entre eles, ou seja, uma correspondência pareada. quando cada elemento de um conjunto está associado a um único elemento de outro conjunto e vice-versa, enquanto diferentes elementos de um conjunto estão associados a vários elementos de outro.
Por exemplo, vamos pegar um grupo de alunos de trinta pessoas e emitir tíquetes de exame, um tíquete para cada aluno de uma pilha contendo 30 tíquetes, tal correspondência de pares de 30 alunos e 30 tíquetes será um para um.
Dois conjuntos que são equivalentes ao mesmo terceiro conjunto são equivalentes. Se os conjuntos M e N são equivalentes, então os conjuntos de todos os subconjuntos de cada um desses conjuntos M e N também são equivalentes.
Um subconjunto de um determinado conjunto é um conjunto, cada elemento do qual é um elemento do conjunto dado. Assim, o conjunto de carros e o conjunto de caminhões serão subconjuntos do conjunto de carros.
A potência do conjunto dos números reais é chamada de potência do continuum e é denotada pela letra "aleph" א . A menor região infinita é a cardinalidade do conjunto dos números naturais. A potência do conjunto de todos os números naturais é geralmente denotada (aleph-zero).
As potências costumam ser chamadas de números cardinais. Este conceito foi introduzido pelo matemático alemão G. Kantor. Se os conjuntos são denotados por letras simbólicas M, N, então os números cardinais são denotados por m, n. G. Kantor provou que o conjunto de todos os subconjuntos de um dado conjunto M tem uma cardinalidade maior que o próprio conjunto M.
Um conjunto que é equivalente ao conjunto de todos os números naturais é chamado de contável.
6. Subconjuntos do conjunto especificado.
Se selecionarmos vários elementos do nosso conjunto e os agruparmos separadamente, este será um subconjunto do nosso conjunto. Existem muitas combinações das quais um subconjunto pode ser obtido, o número de combinações depende apenas do número de elementos do conjunto original.
Vamos ter dois conjuntos A e B. Se cada elemento do conjunto B é um elemento do conjunto A, então o conjunto B é chamado um subconjunto de A. Denotado: B ⊂ A. Exemplo.
Quantos subconjuntos do conjunto A=1;2;3.
Solução. Subconjuntos que consistem nos elementos do nosso conjunto. Então temos 4 opções para o número de elementos no subconjunto:
O subconjunto pode consistir em 1 elemento, 2, 3 elementos e pode estar vazio. Vamos anotar nossos elementos sequencialmente.
Subconjunto de 1 elemento: 1,2,3
Um subconjunto de 2 elementos: 1,2,1,3,2,3.
Subconjunto de 3 elementos:1;2;3
Não vamos esquecer que o conjunto vazio também é um subconjunto do nosso conjunto. Então obtemos que temos 3+3+1+1=8 subconjuntos.
7. Operações sobre conjuntos.
Certas operações podem ser realizadas em conjuntos, semelhantes em alguns aspectos às operações em números reais em álgebra. Portanto, podemos falar sobre a álgebra dos conjuntos.
Associação(conexão) de conjuntos MAS e NOé chamado de conjunto (simbolicamente é denotado por ), consistindo de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos MAS ou NO. Na forma de x união de conjuntos é escrita como
A entrada diz: "Unificação MAS e NO" ou " MAS combinado com NO».
As operações em conjuntos são representadas graficamente usando círculos de Euler (às vezes o termo "diagramas de Venn-Euler" é usado). Se todos os elementos do conjunto MAS será centrado dentro do círculo MAS, e os elementos do conjunto NO- dentro de um círculo NO, então a operação de união usando círculos de Euler pode ser representada da seguinte forma
Exemplo 1. união do conjunto MAS= (0, 2, 4, 6, 8) dígitos pares e conjuntos NO= (1, 3, 5, 7, 9) dígitos ímpares é o conjunto = = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) de todos os dígitos decimais.
8. Representação gráfica de conjuntos. Diagramas de Euler-Venn.
Os diagramas de Euler-Venn são representações geométricas de conjuntos. A construção do diagrama consiste na imagem de um grande retângulo representando o conjunto universal você, e dentro dele - círculos (ou algumas outras figuras fechadas) representando conjuntos. As figuras devem se cruzar no caso mais geral exigido no problema e devem ser rotuladas de acordo. Pontos localizados dentro de diferentes áreas do diagrama podem ser considerados como elementos dos conjuntos correspondentes. Com o diagrama construído, é possível sombrear certas áreas para indicar conjuntos recém-formados.
As operações de conjunto são consideradas para obter novos conjuntos a partir dos existentes.
Definição. Associação os conjuntos A e B são chamados de conjuntos que consistem em todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A, B (Fig. 1):
Definição. cruzando os conjuntos A e B é chamado de conjunto que consiste em todos aqueles e somente aqueles elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B (Fig. 2):
Definição. diferença conjuntos A e B é o conjunto de todos aqueles e apenas aqueles elementos de A que não estão contidos em B (Fig. 3):
Definição. diferença simétrica conjuntos A e B é o conjunto de elementos desses conjuntos que pertencem apenas ao conjunto A ou apenas ao conjunto B (Fig. 4):
Produto cartesiano (ou direto) de conjuntosUMA e B tal conjunto resultante de pares da forma ( x,y) construído de tal forma que o primeiro elemento do conjunto UMA, e o segundo elemento do par é do conjunto B. Notação comum:
UMA× B={(x,y)|x∈UMA,y∈B}
Os produtos de três ou mais conjuntos podem ser construídos da seguinte forma:
UMA× B× C={(x,y,z)|x∈UMA,y∈B,z∈C}
produtos do formulário UMA× UMA,UMA× UMA× UMA,UMA× UMA× UMA× UMA etc. É costume escrever em forma de diploma: UMA 2 ,UMA 3 ,UMA 4 (a base do grau é um multiplicador, o indicador é o número de produtos). Eles lêem uma entrada como “quadrado cartesiano” (cubo, etc.). Existem outras opções de leitura para os conjuntos principais. Por exemplo, R n costuma-se ler como "er ennoe".
Propriedades
Considere várias propriedades do produto cartesiano:
1. Se UMA,B são conjuntos finitos, então UMA× B- final. E vice-versa, se um dos conjuntos multiplicadores for infinito, o resultado de seu produto é um conjunto infinito.
2. O número de elementos do produto cartesiano é igual ao produto dos números de elementos dos conjuntos multiplicadores (se forem finitos, claro): | UMA× B|=|UMA|⋅|B| .
3. Um np ≠(Um) p- no primeiro caso, convém considerar o resultado do produto cartesiano como uma matriz de dimensões 1× np, no segundo - como uma matriz de tamanhos n× p .
4. A lei comutativa não se cumpre, porque os pares de elementos do resultado do produto cartesiano são ordenados: UMA× B≠B× UMA .
5. A lei de associação não é cumprida: ( UMA× B)× C≠UMA×( B× C) .
6. Há distributividade com relação a operações básicas em conjuntos: ( UMA∗B)× C=(UMA× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}
10. O conceito de enunciado. Declarações elementares e compostas.
declaraçãoé uma afirmação ou sentença declarativa que pode ser considerada verdadeira (T-1) ou falsa (L-0), mas não ambas ao mesmo tempo.
Por exemplo, "Está chovendo hoje", "Ivanov concluiu o trabalho de laboratório nº 2 em física".
Se tivermos várias declarações iniciais, a partir delas usando uniões lógicas ou partículas podemos formar novos enunciados cujo valor de verdade depende apenas dos valores de verdade dos enunciados originais e das conjunções e partículas específicas que participam da construção do novo enunciado. As palavras e expressões "e", "ou", "não", "se...então", "portanto", "se e só então" são exemplos de tais conjunções. As declarações originais são chamadas simples , e novas declarações construídas a partir deles com a ajuda de certas uniões lógicas - constituinte . Claro, a palavra "simples" não tem nada a ver com a essência ou estrutura das declarações originais, que podem ser bastante complexas. Neste contexto, a palavra "simples" é sinônimo da palavra "original". O importante é que se supõe que os valores de verdade de proposições simples sejam conhecidos ou dados; em qualquer caso, eles não são discutidos de forma alguma.
Embora uma afirmação como "Hoje não é quinta-feira" não seja composta de duas afirmações simples diferentes, para uniformidade de construção ela também é considerada composta, pois seu valor de verdade é determinado pelo valor de verdade de outra afirmação "Hoje é quinta-feira". "
Exemplo 2 As seguintes declarações são tratadas como declarações compostas:
Eu li Moskovsky Komsomolets e li Kommersant.
Se ele disse isso, então é verdade.
O sol não é uma estrela.
Se estiver sol e a temperatura passar dos 25 0 , chegarei de trem ou carro
Enunciados simples incluídos em enunciados compostos podem ser completamente arbitrários. Em particular, eles próprios podem ser compostos. Os tipos básicos de instruções compostas descritas abaixo são definidos independentemente das instruções simples que as formam.
11. Operações sobre declarações.
1. operação de negação.
A negação da afirmação MAS ( lê "não MAS"," não é verdade que MAS"), o que é verdade quando MAS falso e falso quando MAS- verdadeiro.
Afirmações negativas MAS e chamado oposto.
2. operação de conjunção.
conjunção declarações MAS e NOé chamado de declaração A B(ler " MAS e NO”), cujos verdadeiros significados são determinados se e somente se ambas as declarações MAS e NO verdadeiro.
A conjunção de proposições é chamada de produto lógico e muitas vezes é denotada AB.
Deixe a declaração MAS– “em março, a temperatura do ar de 0 С para + 7C» e dizendo NO- "Está chovendo em Vitebsk." Então A B será a seguinte: “em março, a temperatura do ar de 0 С para + 7C e está chovendo em Vitebsk." Esta conjunção será verdadeira se houver declarações MAS e NO verdadeiro. Se acontecer que a temperatura era menor 0 С ou não havia chuva em Vitebsk, então A B será falso.
3 . operação de disjunção.
disjunção declarações MAS e NOé chamado de declaração A B (MAS ou NO), que é verdadeira se e somente se pelo menos uma das afirmações for verdadeira e falsa - quando ambas as afirmações forem falsas.
A disjunção de proposições também é chamada de soma lógica A+B.
A declaração " 4<5 ou 4=5 ' é verdade. Desde a declaração " 4<5 " é verdadeiro, e a afirmação " 4=5 ' é falso, então A Bé uma afirmação verdadeira 4 5 ».
4 . operação de implicação.
implicação declarações MAS e NOé chamado de declaração A B("E se MAS, então NO", "a partir de MAS deve NO”), cujo valor é falso se e somente se MAS verdade, e NO falso.
na implicação A B declaração MAS chamado Fundação, ou envio, e a declaração NO – consequência, ou conclusão.
12. Tabelas da verdade das afirmações.
Uma tabela verdade é uma tabela que estabelece uma correspondência entre todos os conjuntos possíveis de variáveis lógicas incluídas em uma função lógica e os valores da função.
As tabelas verdade são usadas para:
Calculando a verdade de declarações complexas;
Estabelecer a equivalência das declarações;
Definições de tautologias.
