Valores válidos de variáveis,
incluído na expressão fracionária
Metas: para formar a capacidade de encontrar valores válidos de variáveis incluídas em expressões fracionárias.
Durante as aulas
I. Momento organizacional.
II. trabalho oral.
- Substitua qualquer número em vez de * e nomeie a fração resultante:
uma) ; b); dentro) ; G);
e); e); e) ; h).
III. Explicação do novo material.
A explicação do novo material se dá em três etapas:
1. Actualização do conhecimento dos alunos.
2. Consideração da questão de saber se uma fração racional sempre faz sentido.
3. Derivação da regra para encontrar valores admissíveis de variáveis incluídas em uma fração racional.
Ao atualizar o conhecimento, os alunos podem perguntar o seguinte
perguntas:
O que é uma fração racional?
Toda fração é uma expressão fracionária?
– Como encontrar o valor de uma fração racional para determinados valores das variáveis incluídas nela?
Para esclarecer a questão dos valores permitidos das variáveis incluídas em uma fração racional, você pode convidar os alunos a concluir a tarefa.
Tarefa. Encontre o valor da fração para os valores especificados da variável:
No X = 4; 0; 1.
Ao completar esta tarefa, os alunos compreendem que X= 1 é impossível encontrar o valor da fração. Isso permite que eles tirem a seguinte conclusão: uma fração racional não pode ser substituída por números que transformem seu denominador em zero (esta conclusão deve ser formulada e pronunciada em voz alta pelos próprios alunos).
Depois disso, o professor informa aos alunos que todos os valores de variáveis para os quais a expressão racional faz sentido são chamados de valores de variáveis admissíveis.
1) Se a expressão for um número inteiro, todos os valores das variáveis incluídas nela serão válidos.
2) Para encontrar os valores permitidos das variáveis de uma expressão fracionária, você precisa verificar para quais valores o denominador desaparece. Os números encontrados não serão valores válidos.
4. Formação de competências e habilidades.
1. № 10, № 11.
A resposta à pergunta sobre os valores permitidos das variáveis incluídas em uma expressão fracionária pode soar diferente. Por exemplo, considerando uma fração racional, pode-se dizer que os valores válidos de uma variável são todos números, exceto X= 4, ou que o valor da variável não inclui o número 4, ou seja, X ≠ 4.
Ambas as formulações estão corretas, o principal é monitorar a exatidão do design.
Para homens:
4X (X + 1) = 0
Responda: X≠ 0 e X≠ 1 (ou todos os números exceto 0 e -1).
3. Nº 14 (a, c), Nº 15.
Ao realizar essas tarefas, os alunos devem estar atentos à necessidade de levar em consideração os valores permitidos das variáveis.
G)
Responda: X = 0.
Siga o raciocínio para todos os raciocínios.
na aula com alto nível preparação, você também pode executar os números 18 e 20.
Solução
De todas as frações com o mesmo numerador positivo, aquela com o menor denominador será a maior. Ou seja, é necessário descobrir em que valor uma expressão uma 2 + 5 assume o menor valor.
Já que a expressão uma 2 não pode ser negativo para nenhum valor uma, então a expressão uma 2 + 5 terá o menor valor quando uma = 0.
Responda: uma = 0.
Argumentando da mesma forma, obtemos que é necessário encontrar o valor uma, onde a expressão ( uma– 3) 2 + 1 assume o menor valor.
Responda: uma = 3.
Solução
.
Para responder à pergunta, primeiro você precisa transformar a expressão no denominador da fração.
A fração levará valor mais alto, se a expressão (2 X +
+ no) 2 + 9 assume o menor valor. Desde (2 X + no) 2 não pode assumir valores negativos, então o menor valor da expressão (2 X + no) 2 + 9 é igual a 9.
Então o valor da fração original é = 2.
V. Os resultados da lição.
Perguntas
– Quais valores são chamados de valores válidos das variáveis incluídas na expressão?
– Quais são os valores válidos das variáveis de toda a expressão?
– Como encontrar os valores válidos das variáveis de uma expressão fracionária?
– Existem frações racionais para as quais todos os valores das variáveis são admissíveis? Dê exemplos dessas frações.
Trabalho de casa: Nº 12, Nº 14 (b, d), Nº 212.
\(\frac(x)(x-1)\) o valor da variável será igual a 1, a regra é violada: não pode dividir por zero. Portanto, aqui \(x\) não pode ser uma unidade, e a ODZ é escrita da seguinte forma: \(x\neq1\);Se na expressão \(\sqrt(x-2)\) o valor da variável for igual a \(0\), a regra é violada: expressão raiz não deve ser negativa. Então aqui \(x\) não pode ser \(0\), e também \(1, -3, -52,7\), etc. Ou seja, x deve ser maior ou igual a 2 e a ODZ será: \(x\geq2\);
Mas na expressão \(4x+1\) podemos substituir qualquer número em vez de x, e nenhuma regra será violada. Portanto, a área de valores admissíveis aqui é todo o eixo numérico. Nesses casos, a ODZ não é registrada porque não contém nenhuma informação útil.
Você pode encontrar todas as regras que devem ser seguidas.
É importante lembrar sobre o intervalo de valores permitidos ao resolver e , porque lá estamos apenas procurando os valores das variáveis e podemos acidentalmente encontrar aquelas que violam as regras da matemática.
Para entender a importância da ODZ, vamos comparar duas soluções da equação: com ODZ e sem ODZ.
Exemplo:
resolva a equação
Solução
:
| Sem ODZ: | COM ODZ: | |
| \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
| ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
| \(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
| \(D=(-1)^2-4 1 (-12)=49\) | \(D=(-1)^2-4 1 (-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - não se encaixa no ODZ | |
| Responda : \(4; -3\) | Responda : \(4\) |
Veja a diferença? Na primeira solução, um ! incorreto e supérfluo apareceu em nossa resposta! Por que infiel? E vamos tentar substituí-lo na equação original.
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
Veja, nós temos tanto à esquerda quanto à direita expressões não computáveis e sem sentido (afinal, você não pode dividir por zero). E o fato de serem iguais não importa mais, já que esses valores não existem. Assim, "\(-3\)" é uma raiz inadequada e estranha, e o intervalo de valores válidos nos protege de erros tão graves.
É por isso que, para a primeira solução, você receberá um empate e, para a segunda, cinco. E estes não são picuinhas chatas do professor, porque a não consideração do odz não é uma ninharia, mas um erro muito específico, o mesmo que um sinal perdido ou o uso da fórmula errada. Afinal, a resposta final está errada!
Encontrar o intervalo de valores aceitáveis geralmente leva à necessidade de resolver ou equações, portanto, você deve ser capaz de fazê-lo bem.
Exemplo : Encontre o escopo da expressão \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)
Solução : A expressão tem duas raízes, uma das quais está no denominador. Quem não se lembra das restrições impostas neste caso, isso. Quem lembra, anota que a expressão sob a primeira raiz é maior ou igual a zero, e sob a segunda - maior que zero. Você entende por que as restrições são do jeito que são?
Responda : \((-2;2,5]\)Sua privacidade é importante para nós. Por esse motivo, desenvolvemos uma Política de Privacidade que descreve como usamos e armazenamos suas informações. Por favor, leia nossa política de privacidade e deixe-nos saber se você tiver alguma dúvida.
Informações pessoais referem-se a dados que podem ser usados para identificar ou contatar uma pessoa específica.
Você pode ser solicitado a fornecer suas informações pessoais a qualquer momento quando entrar em contato conosco.
A seguir estão alguns exemplos dos tipos de informações pessoais que podemos coletar e como podemos usar essas informações.
Quais informações pessoais coletamos:
Como usamos suas informações pessoais:
Não divulgamos informações recebidas de você a terceiros.
Exceções:
Tomamos precauções - incluindo administrativas, técnicas e físicas - para proteger suas informações pessoais contra perda, roubo e uso indevido, bem como de acesso, divulgação, alteração e destruição não autorizados.
Para garantir que suas informações pessoais estejam seguras, comunicamos práticas de privacidade e segurança aos nossos funcionários e aplicamos rigorosamente as práticas de privacidade.
Ao resolver vários problemas, muitas vezes temos que realizar transformações idênticas de expressões. Mas acontece que algum tipo de transformação é permitido em alguns casos, mas não em outros. O DHS fornece uma assistência significativa em termos de monitoramento da admissibilidade das transformações em curso. Vamos nos debruçar sobre isso com mais detalhes.
A essência da abordagem é a seguinte: a ODZ das variáveis para a expressão original é comparada com a ODZ das variáveis para a expressão obtida como resultado da execução de transformações idênticas e, com base nos resultados da comparação, são tiradas conclusões apropriadas.
Em geral, transformações idênticas podem
Vamos explicar cada caso com um exemplo.
Considere a expressão x 2 +x+3·x , a ODZ da variável x para esta expressão é o conjunto R . Agora vamos fazer a seguinte transformação idêntica com esta expressão - vamos trazer termos semelhantes , como resultado, terá a forma x 2 +4 x . Obviamente, a variável ODZ x dessa expressão também é o conjunto R . Assim, a transformação não alterou a ODZ.
Vamos continuar. Tome a expressão x+3/x−3/x . Neste caso, a ODZ é determinada pela condição x≠0 , que corresponde ao conjunto (−∞, 0)∪(0, +∞) . Esta expressão também contém termos semelhantes, após a redução dos quais chegamos à expressão x, para a qual a ODZ é R. O que vemos: como resultado da transformação, a ODZ se expandiu (o número zero foi adicionado à ODZ da variável x para a expressão original).
Resta considerar um exemplo de estreitamento do intervalo de valores admissíveis após transformações. Pegue a expressão 
. A ODZ da variável x é determinada pela desigualdade (x−1) (x−3)≥0 , adequada para sua solução, por exemplo, como resultado temos (−∞, 1]∪∪; editado por S. A. Telyakovskii - 17- ed. - M.: Educação, 2008. - 240 pp.: ilustrações - ISBN 978-5-09-019315-3.
Qualquer expressão com uma variável tem seu intervalo de valores válidos, onde existir. O DHS deve sempre ser levado em consideração na decisão. Caso contrário, você pode obter um resultado incorreto.
Este artigo mostrará como encontrar corretamente o ODZ, use-o com exemplos. Também considerará a importância de especificar a ODZ na decisão.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Essa definição está relacionada aos valores permitidos da variável. Ao introduzir uma definição, vamos ver a que resultado ela levará.
A partir do 7º ano, começamos a trabalhar com números e expressões numéricas. As definições iniciais com variáveis saltam para o valor das expressões com variáveis selecionadas.
Quando há expressões com variáveis selecionadas, algumas delas podem não satisfazer. Por exemplo, uma expressão como 1: a, se \u003d 0, não faz sentido, pois é impossível dividir por zero. Ou seja, a expressão deve ter tais valores que se encaixem em qualquer caso e dêem a resposta. Em outras palavras, eles fazem sentido com as variáveis disponíveis.
Definição 1
Se houver uma expressão com variáveis, então só faz sentido se, ao substituí-las, o valor puder ser calculado.
Definição 2
Se houver uma expressão com variáveis, não faz sentido quando, com sua substituição, o valor não puder ser calculado.
Ou seja, a partir disso segue a definição completa
Definição 3
As variáveis válidas existentes são aqueles valores para os quais a expressão faz sentido. E se não fizer sentido, eles são considerados inválidos.
Para esclarecer o acima: se houver mais de uma variável, pode haver um par de valores adequados.
Exemplo 1
Por exemplo, considere uma expressão como 1 x - y + z , onde há três variáveis. Caso contrário, você pode escrever como x = 0 , y = 1 , z = 2 , enquanto a outra notação é (0 , 1 , 2) . Esses valores são chamados de válidos, o que significa que você pode encontrar o valor da expressão. Obtemos que 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . A partir daqui vemos que (1 , 1 , 2) são inválidos. A substituição resulta na divisão por zero, ou seja, 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .
Faixa válida - elemento importante ao avaliar expressões algébricas. Portanto, vale a pena prestar atenção a isso ao calcular.
Definição 4
Área ODZé o conjunto de valores permitidos para a expressão dada.
Vamos dar um exemplo de uma expressão.
Exemplo 2
Se tivermos uma expressão da forma 5 z - 3 , então a ODZ tem a forma (− ∞ , 3) ∪ (3 , + ∞) . Este é o intervalo de valores válidos que satisfaz a variável z para a expressão dada.
Se houver expressões da forma z x - y , fica claro que x ≠ y , z assume qualquer valor. Isso é o que é chamado de expressão ODZ. Deve ser levado em consideração para não obter uma divisão por zero ao substituir.
O intervalo de valores válidos e o domínio de definição têm o mesmo significado. Apenas o segundo deles é usado para expressões, e o primeiro é usado para equações ou desigualdades. Com a ajuda de DPV, a expressão ou desigualdade faz sentido. O domínio da definição da função coincide com o domínio dos valores admissíveis da variável x para a expressão f(x).
Encontrar ODZ significa encontrar todos os valores válidos adequados para determinada função ou desigualdades. Se essas condições não forem atendidas, um resultado incorreto pode ser obtido. Para encontrar a ODZ, muitas vezes é necessário passar por transformações em uma determinada expressão.
Existem expressões em que não podem ser avaliadas:
Tudo isso fala da importância de ter um DHS.
Exemplo 3
Encontre a expressão ODZ x 3 + 2 x y − 4 .
Solução
Qualquer número pode ser cubo. Esta expressão não tem uma fração, então x e y podem ser qualquer coisa. Ou seja, ODZ é qualquer número.
Responda: x e y são quaisquer valores.
Exemplo 4
Encontre a expressão ODZ 1 3 - x + 1 0 .
Solução
Pode-se ver que há uma fração, onde o denominador é zero. Isso significa que para qualquer valor de x, obteremos uma divisão por zero. Isso significa que podemos concluir que essa expressão é considerada indefinida, ou seja, não possui ODZ.
Responda: ∅ .
Exemplo 5
Encontre a ODZ da expressão dada x + 2 · y + 3 - 5 · x .
Solução
Disponibilidade raiz quadrada diz que esta expressão deve ser maior ou igual a zero. Se for negativo, não tem significado. Portanto, é necessário escrever uma desigualdade da forma x + 2 · y + 3 ≥ 0 . Ou seja, esta é a faixa desejada de valores aceitáveis.
Responda: conjunto de x e y , onde x + 2 y + 3 ≥ 0 .
Exemplo 6
Determine a expressão ODZ da forma 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .
Solução
Por condição, temos uma fração, portanto seu denominador não deve ser igual a zero. Obtemos que x + 1 - 1 ≠ 0 . A expressão radical sempre faz sentido quando maior ou igual a zero, ou seja, x + 1 ≥ 0 . Como tem logaritmo, sua expressão deve ser estritamente positiva, ou seja, x 2 + 3 > 0. A base do logaritmo também deve ser positiva e diferente de 1 , então somamos as condições x + 8 > 0 e x + 8 ≠ 1 . A partir disso, segue-se que a ODZ desejada terá a forma:
x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1
Em outras palavras, é chamado de sistema de desigualdades com uma variável. A solução levará a tal registro da ODZ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .
Responda: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
Para transformações idênticas, é importante encontrar a ODZ. Há casos em que a existência de ODZ não ocorre. Para entender se a solução tem uma determinada expressão, você precisa comparar a ODZ das variáveis da expressão original e a ODZ da expressão recebida.
Transformações de identidade:
Vejamos um exemplo.
Exemplo 7
Se tivermos uma expressão da forma x 2 + x + 3 · x , então sua ODZ é definida em todo o domínio de definição. Mesmo com a redução de termos semelhantes e simplificação da expressão, a ODZ não muda.
Exemplo 8
Se tomarmos o exemplo da expressão x + 3 x − 3 x , então as coisas são diferentes. Temos uma expressão fracionária. E sabemos que a divisão por zero não é permitida. Então a ODZ tem a forma (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Pode-se ver que zero não é uma solução, então adicionamos entre parênteses.
Considere um exemplo com a presença de uma expressão radical.
Exemplo 9
Se houver x - 1 · x - 3 , então você deve prestar atenção à ODZ, pois ela deve ser escrita como uma desigualdade (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . É possível resolver pelo método intervalar, então temos que a ODZ terá a forma (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Após transformar x - 1 · x - 3 e aplicar as propriedades das raízes, temos que a ODZ pode ser suplementada e escrita como um sistema de desigualdades da forma x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . Ao resolvê-lo, obtemos que [ 3 , + ∞) . Assim, a ODZ é escrita na íntegra da seguinte forma: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
Mudanças que estreitam o DHS devem ser evitadas.
Exemplo 10
Considere um exemplo da expressão x - 1 · x - 3 quando x = - 1 . Ao substituir, obtemos que - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Se essa expressão for transformada e trazida para a forma x - 1 x - 3, ao calcular, obtemos que 2 - 1 2 - 3 a expressão não faz sentido, pois a expressão radical não deve ser negativa.
Transformações idênticas devem ser seguidas, o que não alterará o DHS.
Se houver exemplos que o estendem, ele deve ser adicionado ao DPV.
Exemplo 11
Considere o exemplo de uma fração da forma x x 3 + x. Se reduzirmos em x , obtemos 1 x 2 + 1 . Então a ODZ se expande e se torna (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Além disso, ao calcular, já estamos trabalhando com a segunda fração simplificada.
Na presença de logaritmos, a situação é ligeiramente diferente.
Exemplo 12
Se houver uma expressão da forma ln x + ln (x + 3) , ela será substituída por ln (x (x + 3)) , com base na propriedade do logaritmo. Isso mostra que a ODZ de (0 , + ∞) a (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Portanto, para determinar a ODZ ln (x (x + 3)) é necessário realizar cálculos sobre a ODZ, ou seja, conjuntos (0 , + ∞).
Ao resolver, é sempre necessário prestar atenção à estrutura e forma da expressão dada pela condição. Se o domínio de definição for encontrado corretamente, o resultado será positivo.
Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter
