Az egyenletrendszereket széles körben alkalmazzák a gazdasági iparban különféle folyamatok matematikai modellezésére. Például termelésirányítási és tervezési, logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy berendezések elhelyezési problémáinak megoldásakor.
Az egyenletrendszereket nemcsak a matematika, hanem a fizika, a kémia és a biológia területén is alkalmazzák a populáció méretének meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.
rendszer lineáris egyenletek nevezzen meg két vagy több olyan több változós egyenletet, amelyekhez meg kell találni közös döntés. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.
Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Az egyenlet megoldása a grafikonjának ábrázolásával egy egyenesnek fog kinézni, amelynek minden pontja a polinom megoldása.
A legegyszerűbbek a két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek példái.
F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.
Egyenletrendszer megoldása - azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer valódi egyenlőséggé válik, vagy annak megállapítását, hogy nincs megfelelő x és y értéke.
A pontkoordinátákként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.
Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.
A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az "egyenlőség" jel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer nem homogén.
A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.
A rendszerekkel szembesülve az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőlegesen sok lehet belőlük.
Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikus módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. NÁL NÉL iskolai tanfolyam matematika, olyan módszerek, mint a permutáció, algebrai összeadás, helyettesítés, valamint a grafikus ill mátrix módszer, megoldás Gauss-módszerrel.
A megoldási módszerek tanításának fő feladata a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és cselekvéseit, hanem megértsük egy adott módszer alkalmazásának alapelveit.
Példák megoldása a program 7. osztályának lineáris egyenletrendszereire középiskola elég egyszerű és nagyon részletesen elmagyarázva. Bármely matematikai tankönyvben erre a részre kellő figyelmet fordítanak. A lineáris egyenletrendszerek példáinak Gauss és Cramer módszerével történő megoldását a felsőoktatási intézmények első kurzusai részletesebben tanulmányozzák.
A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikon keresztül fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egyetlen változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően
Adjunk példát egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre helyettesítési módszerrel:
Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Ennek a példának a megoldása nem okoz nehézséget és lehetővé teszi az Y érték megszerzését Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.
Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha több mint 3 ismeretlen van a rendszerben, a helyettesítési megoldás sem praktikus.
Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:
Amikor az összeadás módszerével megoldást keresünk a rendszerekre, akkor az egyenletek tagonkénti összeadását és szorzását különböző számokkal hajtják végre. A matematikai műveletek végső célja egy változós egyenlet.
Alkalmazásokhoz ez a módszer gyakorlást és megfigyelést igényel. Nem könnyű egy lineáris egyenletrendszert az összeadás módszerével megoldani, ha a változók száma 3 vagy több. Az algebrai összeadás akkor hasznos, ha az egyenletek törteket és decimális számokat tartalmaznak.
Megoldás műveleti algoritmusa:
Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszernek legfeljebb két egyenletre kell megoldást találnia, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több kettőnél.
A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a beírt ismeretlenre vonatkozóan oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.
A példából látható, hogy egy új t változó bevezetésével a rendszer 1. egyenletét le lehetett redukálni egy standard négyzetes trinomikusra. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.
Meg kell találni a diszkrimináns értékét a jól ismert képlet segítségével: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom szorzói. In for ezt a példát a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor csak egy megoldás van: x= -b / 2*a.
A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.
Alkalmas 3 egyenletet tartalmazó rendszerekhez. A módszer abból áll, hogy a rendszerben szereplő minden egyenlet grafikonját a koordinátatengelyen ábrázoljuk. A görbék metszéspontjainak koordinátái a rendszer általános megoldása lesz.
A grafikus módszernek számos árnyalata van. Vegyünk néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.
Amint a példából látható, minden sorhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon megjelöltük és egy vonallal összekötöttük.
A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.
A következő példában meg kell találni a lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.
Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.
A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy a rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükség van egy gráf felépítésére.
A mátrixok egy lineáris egyenletrendszer rövid leírására szolgálnak. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.
A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy egyoszlopos mátrix, amelynek végtelen számú sora van. Az egyik átló mentén egységeket és a többi nulla elemet tartalmazó mátrixot azonosságnak nevezzük.
Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel megszorozva az eredeti egységgé alakul, ilyen mátrix csak az eredeti négyzetre létezik.
Az egyenletrendszerek esetében az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait a mátrix számaiként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.
Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem egyenlő nullával. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.
A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.
Egy mátrix szorzásakor az összes mátrixelemet szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.
Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 - inverz mátrix, és |K| - mátrix meghatározó. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.
A determináns könnyen kiszámítható egy kétszeres mátrixra, csak az elemeket átlósan kell megszorozni egymással. A "háromszor három" opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy ne feledje, hogy minden sorból és minden oszlopból ki kell venni egy elemet, hogy az elemek oszlop- és sorszámai ne ismétlődjenek a szorzatban.
A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes jelölések csökkentését a rendszer megoldása során nagy mennyiség változók és egyenletek.
A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n a változók, és b n a szabad tagok.
NÁL NÉL felsőbb matematika a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezeket a módszereket arra használják, hogy megtalálják rendszerváltozók sok lineáris egyenlettel.
A Gauss-módszer nagyon hasonlít a helyettesítéseket alkalmazó megoldásokhoz és algebrai összeadás hanem szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-féle megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz alakúra hozza. Algebrai transzformációkkal és behelyettesítésekkel egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet egy kifejezés 2 ismeretlennel, és 3 és 4 - 3, illetve 4 változóval.
Miután a rendszert a leírt formába hozzuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.
A 7. osztályos iskolai tankönyvekben a Gauss-féle megoldás példáját a következőképpen írják le:
Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.
A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.
A Gauss-módszer nehezen érthető a tanulók számára Gimnázium, de az egyik legtöbb érdekes módokon a matematika és fizika osztályok emelt szintű képzési programjába beiratkozott gyerekek találékonyságának fejlesztésére.
A rögzítési számítások megkönnyítése érdekében a következőket szokás tenni:
Az egyenletegyütthatókat és a szabad tagokat mátrix formájában írjuk fel, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobb oldaltól. A római számok a rendszer egyenletek számát jelölik.
Először felírják a mátrixot, amellyel dolgozni kell, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és folytassa a szükséges végrehajtást algebrai műveletek az eredmény eléréséig.
Ennek eredményeként olyan mátrixot kell kapni, amelyben az egyik átló 1, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egyetlen formára redukálódik. Nem szabad megfeledkeznünk az egyenlet mindkét oldalának számozásáról sem.
Ez a jelölés kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.
Bármilyen megoldási mód ingyenes alkalmazása körültekintést és bizonyos tapasztalatot igényel. Nem minden módszert alkalmaznak. A megoldások megtalálásának bizonyos módjai előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások tanulási céllal léteznek.
Amint az ebből látszik Cramer tételei lineáris egyenletrendszer megoldása során három eset fordulhat elő:
Első eset: a lineáris egyenletrendszer rendelkezik egyetlen döntés
(a rendszer következetes és határozott)
Második eset: a lineáris egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van
(a rendszer konzisztens és határozatlan)
** 
,
azok. az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatói arányosak.
Harmadik eset: a lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása
(rendszer inkonzisztens)
Tehát a rendszer m lineáris egyenletek -val n változókat nevezzük összeegyeztethetetlen ha nincs megoldása, és közös ha van legalább egy megoldása. Olyan közös egyenletrendszert nevezünk, amelynek csak egy megoldása van bizonyos, és több bizonytalan.
Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel
Hagyja a rendszert
.
Cramer tétele alapján
………….
,
ahol 
-
rendszerazonosító. A fennmaradó determinánsokat úgy kapjuk meg, hogy az oszlopot a megfelelő változó (ismeretlen) együtthatóival szabad tagokkal helyettesítjük:
2. példa
.
Ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk a determinánsokat
A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:
Tehát (1; 0; -1) az egyetlen megoldás a rendszerre.
A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, döntő módszer Kramer.
Ha a lineáris egyenletrendszerben egy vagy több egyenletben nincsenek változók, akkor a determinánsban a hozzájuk tartozó elemek nullával egyenlők! Ez a következő példa.
3. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:
.
Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:
Nézze meg figyelmesen az egyenletrendszert és a rendszer determinánsát, és ismételje meg a választ arra a kérdésre, hogy mely esetekben egyenlő a determináns egy vagy több eleme nullával! Tehát a determináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait
A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:
Tehát a rendszer megoldása (2; -1; 1).
6. Általános rendszer lineáris algebrai egyenletek. Gauss módszer.
Emlékszünk rá, hogy a Cramer-szabály és a mátrix módszer nem alkalmas olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. Gauss módszer – a leghatékonyabb és legsokoldalúbb eszköz bármilyen lineáris egyenletrendszer megoldására, amely a minden esetben vezessen minket a válaszhoz! A módszer algoritmusa mindhárom esetben ugyanúgy működik. Ha a Cramer és a mátrix módszer a determinánsok ismeretét igényli, akkor a Gauss-módszer alkalmazása csak az aritmetikai műveletek ismeretét igényli, így az iskolások számára is elérhető Általános Iskola.
Először egy kicsit rendszerezzük a lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismereteket. Egy lineáris egyenletrendszer:
1) Legyen egyedi megoldása.
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Nincsenek megoldásai (legyen összeegyeztethetetlen).
A Gauss-módszer a leghatékonyabb és legsokoldalúbb eszköz a megoldás megtalálására Bármi lineáris egyenletrendszerek. Ahogy emlékszünk Cramer-szabály és mátrix módszer nem alkalmasak olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. Egy metódus szekvenciális kizárás ismeretlen akárhogyan is vezessen minket a válaszhoz! Ebben a leckében ismét megvizsgáljuk a Gauss-módszert az 1. esetre (a rendszer egyetlen megoldása), a cikk a 2-3. pontok helyzeteire van fenntartva. Megjegyzem, maga a metódus-algoritmus mindhárom esetben ugyanúgy működik.
Vissza a a legegyszerűbb rendszer a leckéből Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?
és a Gauss-módszerrel oldja meg.
Az első lépés az írás kiterjesztett mátrix rendszer:
. Azt hiszem, mindenki láthatja, hogy milyen elv alapján rögzítik az együtthatókat. A mátrixon belüli függőleges vonalnak nincs matematikai jelentése – ez csak egy áthúzás a könnyebb tervezés érdekében.
Referencia:Javaslom, hogy emlékezzen feltételeket lineáris algebra. Rendszermátrix egy mátrix, amely csak ismeretlenek együtthatóiból áll, ebben a példában a rendszer mátrixa: . Kiterjesztett rendszermátrix a rendszer ugyanazon mátrixa plusz egy szabad tagok oszlopa, in ez az eset: . A mátrixok bármelyike egyszerűen mátrixnak nevezhető a rövidség kedvéért.
A rendszer kibővített mátrixának felírása után végre kell hajtani vele néhány műveletet, amelyeket szintén hívunk elemi átalakulások.
A következő elemi átalakítások vannak:
1) Húrok mátrixok átrendezhető helyeken. Például a vizsgált mátrixban biztonságosan átrendezheti az első és a második sort: 
2) Ha a mátrix tartalmaz (vagy úgy tűnt) arányos (as különleges eset azonosak) karakterláncok, akkor ez következik töröl a mátrixból ezek a sorok egy kivételével. Vegyük például a mátrixot 
. Ebben a mátrixban az utolsó három sor arányos, így elég csak egyet hagyni belőlük: 
.
3) Ha az átalakítások során egy nulla sor jelent meg a mátrixban, akkor az is következik töröl. Természetesen nem fogok húzni, a nulla vonal az a vonal, amelyben csak nullák.
4) A mátrix sora lehet szorozni (osztani) bármilyen számhoz nem nulla. Vegyük például a mátrixot. Itt tanácsos az első sort -3-mal elosztani, a második sort pedig 2-vel megszorozni: 
. Ez a művelet nagyon hasznos, mivel leegyszerűsíti a mátrix további átalakításait.
5) Ez az átalakítás okozza a legtöbb nehézséget, de valójában nincs is semmi bonyolult. A mátrix sorához megteheti adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő. Tekintsük a mátrixunkat esettanulmány: . Először is részletesen leírom az átalakulást. Szorozzuk meg az első sort -2-vel: 
, és a második sorhoz hozzáadjuk az első sort -2-vel szorozva: 
. Most az első sor "vissza" osztható -2-vel: . Mint látható, a sor, amely HOZZÁADVA LI – nem változott. Mindig a sor megváltozott, HOGY HOZZÁADVA UT.
A gyakorlatban persze nem festenek ilyen részletesen, de rövidebben írják: 
Még egyszer: a második sorra hozzáadta az első sort -2-vel szorozva. A sort általában szóban vagy piszkozaton szorozzák, míg a számítások mentális menete a következő:
"Átírom a mátrixot és átírom az első sort: 
»
Először az első oszlop. Alul nullát kell kapnom. Ezért a fenti mértékegységet megszorzom -2:-vel, és az elsőt hozzáadom a második sorhoz: 2 + (-2) = 0. Az eredményt a második sorba írom: 
»
„Most a második oszlop. -1-szer felett -2: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: 1 + 2 = 3. Az eredményt a második sorba írom: 
»
– És a harmadik oszlop. -5 alkalommal -2 felett: . Hozzáadom az első sort a másodikhoz: -7 + 10 = 3. Az eredményt a második sorba írom: »
Kérjük, alaposan gondolja át ezt a példát, és értse meg a szekvenciális számítási algoritmust, ha ezt megérti, akkor a Gauss-módszer gyakorlatilag "a zsebében" van. De természetesen még dolgozunk ezen az átalakításon.
Az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását
! FIGYELEM: megfontolt manipulációk nem használható, ha olyan feladatot ajánlanak fel, ahol a mátrixok „maguktól” vannak megadva. Például a "klasszikus" kifejezéssel mátrixok semmi esetre sem szabad átrendezni valamit a mátrixokon belül!
Térjünk vissza a rendszerünkhöz. Gyakorlatilag darabokra tört.
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal redukáljuk vissza lépcsős nézet:
(1) Az első sort hozzáadtuk a második sorhoz, megszorozva -2-vel. És még egyszer: miért szorozzuk meg az első sort -2-vel? Annak érdekében, hogy nulla legyen az alján, ami azt jelenti, hogy megszabadulunk egy változótól a második sorban.
(2) Ossza el a második sort 3-mal.
Az elemi transzformációk célja –
konvertálja a mátrixot lépéses formává: 
. A feladat kialakításánál közvetlenül hangsúlyozzák egyszerű ceruzával"létra", és karikázza be a "lépcsőkön" található számokat is. Maga a "lépcsős nézet" kifejezés nem teljesen elméleti, a tudományos és oktatási szakirodalomban gyakran ún. trapéz alakú nézet vagy háromszög nézet.
Az elemi átalakítások eredményeként azt kaptuk egyenértékű eredeti egyenletrendszer:
Most "ki kell csavarni" a rendszert ellentétes irány alulról felfelé ezt a folyamatot ún fordított Gauss-módszer.
Az alsó egyenletben már megvan a kész eredmény: .
Tekintsük a rendszer első egyenletét, és helyettesítsük bele a már ismert „y” értékét:
Tekintsük a leggyakoribb helyzetet, amikor a Gauss-módszerre van szükség egy három lineáris egyenletrendszer megoldásához három ismeretlennel.
1. példa
Oldja meg az egyenletrendszert Gauss módszerrel: 
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát: 
Most azonnal lerajzolom az eredményt, amelyre a megoldás során eljutunk: 
És ismétlem, az a célunk, hogy a mátrixot elemi transzformációk segítségével lépcsőzetes formába hozzuk. Hol kezdjem a cselekvést?
Először nézze meg a bal felső számot: 
Szinte mindig itt kell lennie Mértékegység. Általánosságban elmondható, hogy a -1 (és néha más számok) is megfelelnek, de valahogy hagyományosan megtörtént, hogy egy egységet általában oda helyeznek. Hogyan szervezzünk egy egységet? Megnézzük az első oszlopot - kész egységünk van! Első átalakítás: cserélje fel az első és a harmadik sort: 
Most az első sor változatlan marad a megoldás végéig. Most jól.
A bal felső sarokban lévő egység szervezett. Most nullákat kell kapnia ezeken a helyeken: 
A nullákat csak egy "nehéz" transzformáció segítségével kapjuk meg. Először a második sorral (2, -1, 3, 13) foglalkozunk. Mit kell tenni, hogy nulla legyen az első pozícióban? Szükség a második sorhoz adjuk hozzá az első sort -2-vel szorozva. Mentálisan vagy piszkozaton az első sort megszorozzuk -2-vel: (-2, -4, 2, -18). És következetesen végrehajtjuk (ismét mentálisan vagy vázlatosan) kiegészítést, a második sorhoz hozzáadjuk az első sort, már -2-vel megszorozva:
Az eredményt a második sorba írjuk: 
Hasonlóan foglalkozunk a harmadik sorral (3, 2, -5, -1). Ahhoz, hogy nulla legyen az első pozícióban, szüksége van a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort -3-mal szorozva. Mentálisan vagy piszkozaton az első sort megszorozzuk -3-mal: (-3, -6, 3, -27). És a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort -3-mal szorozva:
Az eredményt a harmadik sorba írjuk:
A gyakorlatban ezeket a műveleteket általában szóban hajtják végre, és egy lépésben írják le: 
Nem kell mindent egyszerre és egyszerre számolni. A számítások sorrendje és az eredmények "beszúrása". következetesés általában így: először átírjuk az első sort, és csendesen pöffeszkedünk - KÖVETKEZTETESEN és GONDOSAN:
Magának a számításnak a mentális menetét pedig már fentebb megvizsgáltam.
Ebben a példában ez könnyen megtehető, a második sort elosztjuk -5-tel (mivel ott minden szám osztható 5-tel, maradék nélkül). Ugyanakkor a harmadik sort elosztjuk -2-vel, mert minél kisebb a szám, az könnyebb megoldás:
Az elemi átalakítások végső szakaszában itt még egy nullát kell kapni: 
Ezért a harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva -2-vel:
Próbálja meg saját maga elemezni ezt a műveletet - gondolatban szorozza meg a második sort -2-vel, és hajtsa végre az összeadást.
Az utolsó végrehajtott művelet az eredmény frizurája, a harmadik sort el kell osztani 3-mal.
Az elemi transzformációk eredményeként egy ekvivalens kezdeti lineáris egyenletrendszert kaptunk: 
Menő.
Most a Gauss-módszer fordított lefolyása lép életbe. Az egyenletek alulról felfelé "feloldódnak".
A harmadik egyenletben már megvan a kész eredmény:
Nézzük a második egyenletet: . A "z" jelentése már ismert, így:
És végül az első egyenlet: . "Y" és "Z" ismert, a dolog kicsi:
Válasz: 
Amint azt már többször elhangzott, bármely egyenletrendszernél lehetséges és szükséges ellenőrizni a megtalált megoldást, szerencsére ez nem nehéz és gyors.
2. példa
Ez egy példa az önálló megoldásra, egy minta a befejezéshez és egy válasz a lecke végén.
Meg kell jegyezni, hogy az Ön teendők lehet, hogy nem esik egybe az én cselekedetemmel, és ez a Gauss-módszer sajátossága. De a válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük!
3. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel! 
Felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal lépésformára hozzuk:
Nézzük a bal felső "lépést". Ott kellene egy egységünk. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincs senki, így a sorok átrendezésével semmit nem lehet megoldani. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Én csináltam:
(1) Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva -1-gyel. Vagyis gondolatban a második sort megszoroztuk -1-gyel, és végrehajtottuk az első és a második sor összeadását, míg a második sor nem változott.
Most balra fent a "mínusz egy", ami nekünk tökéletesen megfelel. Aki +1-et szeretne kapni, végrehajthat egy további mozdulatot: szorozza meg az első sort -1-gyel (változtassa meg az előjelét).
(2) Az első sort 5-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz.
(3) Az első sort -1-gyel szorozták, elvileg ez a szépség miatt van. A harmadik vonal jele is megváltozott és a második helyre került, így a második „lépésben meglett a kívánt egység.
(4) A második sort 2-vel szorozva hozzáadtuk a harmadikhoz.
(5) A harmadik sort 3-mal osztották.
A számítási hibára (ritkábban elírásra) utaló rossz jel a „rossz” lényeg. Vagyis ha kapunk valami olyasmit, mint lent, és ennek megfelelően 
, akkor nagy valószínűséggel állítható, hogy az elemi átalakítások során hiba történt.
A fordított mozgást számoljuk fel, a példák tervezésénél magát a rendszert sokszor nem írják át, az egyenleteket pedig „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. Emlékeztetlek, a fordított lépés alulról felfelé működik. Igen, itt az ajándék:
Válasz: 
.
4. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel! 
Ez egy példa egy független megoldásra, valamivel bonyolultabb. Nem baj, ha valaki összezavarodik. Teljes megoldás és tervminta az óra végén. Az Ön megoldása eltérhet az enyémtől.
Az utolsó részben megvizsgáljuk a Gauss-algoritmus néhány jellemzőjét.
Az első jellemző az, hogy néha néhány változó hiányzik a rendszer egyenleteiből, például: 
Hogyan kell helyesen felírni a rendszer kiterjesztett mátrixát? Erről a pillanatról már beszéltem a leckében. Cramer szabálya. Mátrix módszer. A rendszer kiterjesztett mátrixában a hiányzó változók helyére nullákat teszünk: 
Mellesleg eléggé könnyű példa, mivel az első oszlopban már van egy nulla, és kevesebb elemi transzformációt kell végrehajtani.
A második jellemző ez. Az összes vizsgált példában a „lépésekre” vagy –1-et vagy +1-et tettünk. Lehetnek más számok is? Bizonyos esetekben megtehetik. Fontolja meg a rendszert: 
.
Itt a bal felső "lépésben" van egy kettős. De észrevesszük azt a tényt, hogy az első oszlopban lévő összes szám maradék nélkül osztható 2-vel - és további kettővel és hattal. A bal felső sarokban lévő kettes pedig jó lesz nekünk! Az első lépésben a következő átalakításokat kell végrehajtania: a második sorhoz adja hozzá az első sort -1-gyel szorozva; a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort -3-mal szorozva. Így az első oszlopban megkapjuk a kívánt nullákat.
Vagy egy másik hipotetikus példa: 
. Itt a második „fokozat” hármasa is megfelel nekünk, hiszen a 12 (az a hely, ahol nullát kell kapnunk) maradék nélkül osztható 3-mal. A következő átalakítást kell végrehajtani: a harmadik sorhoz adjuk hozzá a második sort -4-gyel megszorozva, aminek eredményeként megkapjuk a szükséges nullát.
A Gauss-módszer univerzális, de van egy sajátossága. Magabiztosan tanulj meg rendszereket más módszerekkel megoldani (Cramer módszer, mátrix módszer) szó szerint lehet az első alkalom – van egy nagyon szigorú algoritmus. De ahhoz, hogy magabiztosan érezze magát a Gauss-módszerben, „töltse meg a kezét”, és legalább 5-10 rendszert kell megoldania. Ezért eleinte zűrzavar, számítási hibák adódhatnak, és nincs ebben semmi szokatlan vagy tragikus.
esős őszi időjárás az ablakon kívül .... Ezért mindenkinek egy összetettebb példa az önálló megoldásra:
5. példa
Oldjon meg egy négy lineáris egyenletrendszert négy ismeretlennel Gauss-módszerrel. 
Egy ilyen feladat a gyakorlatban nem is olyan ritka. Úgy gondolom, hogy még egy teáskanna is, aki részletesen tanulmányozta ezt az oldalt, intuitív módon megérti egy ilyen rendszer megoldásának algoritmusát. Alapvetően ugyanaz – csak több akció.
A leckében azokat az eseteket tárgyaljuk, amikor a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens), vagy végtelen sok megoldása van. Nem kompatibilis rendszerekés közös megoldással rendelkező rendszerek. Itt rögzítheti a Gauss-módszer figyelembe vett algoritmusát.
Sok sikert kívánok!
Megoldások és válaszok:
2. példa: Megoldás: Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát és elemi transzformációk segítségével hozzuk lépcsőzetes formába.
Elvégzett elemi átalakítások:
(1) Az első sort hozzáadtuk a második sorhoz, megszorozva -2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva -1-gyel. Figyelem! Itt csábító lehet az elsőt kivonni a harmadik sorból, határozottan nem javaslom a kivonást - a hibaveszély jelentősen megnő. Csak hajtogatjuk!
(2) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A második és a harmadik sor felcserélődött. jegyzet hogy a „lépcsőkön” nem csak eggyel, hanem -1-gyel is elégedettek vagyunk, ami még kényelmesebb.
(3) A harmadik sorhoz adja hozzá a második sort 5-tel megszorozva.
(4) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A harmadik sort 14-gyel osztották.
Fordított mozgás:
Válasz: 
.
4. példa: Megoldás: Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát és elemi transzformációk segítségével hozzuk lépésformába:
Végrehajtott konverziók:
(1) A második sort hozzáadtuk az első sorhoz. Így a kívánt egység a bal felső „lépésben” van elrendezve.
(2) Az első sort 7-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 6-tal szorozva a harmadikhoz.
A második "lépéssel" minden rosszabb, a "jelöltek" a 17-es és a 23-as számok, és vagy egy vagy -1 kell. A (3) és (4) átalakítások célja a kívánt egység elérése
(3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva -1-gyel.
(4) A harmadik sort -3-mal szorozva hozzáadtuk a második sorhoz.
A második lépésben megérkezik a szükséges dolog
.
(5) A harmadik sorhoz hozzáadjuk a másodikat, megszorozva 6-tal.
Az órákon belül Gauss módszerés Nem kompatibilis rendszerek/rendszerek közös megoldással mérlegeltük inhomogén lineáris egyenletrendszerek, ahol ingyenes tag(ami általában a jobb oldalon van) legalább egy az egyenletek közül nullától eltérő volt.
És most, egy jó bemelegítés után mátrix rang, folytatjuk a technika csiszolását elemi átalakulások a homogén rendszer lineáris egyenletek.
Az első bekezdések szerint az anyag unalmasnak és hétköznapinak tűnik, de ez a benyomás megtévesztő. A technikai módszerek továbbfejlesztése mellett sok lesz új információ, ezért kérjük, ne hagyja figyelmen kívül a cikkben szereplő példákat.
Megoldás csináld számológéppel. Kiírjuk a kiterjesztett és fő mátrixokat: 
Az A főmátrixot szaggatott vonal választja el, felülről az ismeretlen rendszereket írjuk, szem előtt tartva a rendszer egyenleteiben szereplő tagok lehetséges permutációját. A kiterjesztett mátrix rangját meghatározva egyidejűleg megtaláljuk a fő rangját is. A B mátrixban az első és a második oszlop arányos. A két arányos oszlopból csak egy eshet az alap-mollba, ezért mozgassuk át például az első oszlopot a szaggatott vonalon túl az ellenkező előjellel. A rendszer számára ez azt jelenti, hogy a tagokat x 1-ről áthelyezzük ide jobb oldal egyenletek. 
A mátrixot háromszög alakúra hozzuk. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel ha egy mátrixsort nullától eltérő számmal megszorozunk, és egy másik sort adunk hozzá a rendszerhez, akkor az egyenletet meg kell szorozni ugyanazzal a számmal, és hozzáadni egy másik egyenlethez, ami nem változtatja meg a rendszer megoldását. . Munka az első sorral: szorozza meg a mátrix első sorát (-3)-mal, és adja hozzá a második és harmadik sorhoz. Ezután az első sort megszorozzuk (-2)-vel, és hozzáadjuk a negyedikhez. 
A második és a harmadik sor arányos, ezért az egyik, például a második áthúzható. Ez egyenértékű a rendszer második egyenletének törlésével, mivel ez a harmadik egyenlet következménye. 
Most a második sorral dolgozunk: szorozzuk meg (-1)-gyel, és adjuk hozzá a harmadikhoz. 
A szaggatott moll a legmagasabb rendű (az összes lehetséges moll közül), és nem nulla (egyenlő a főátló elemeinek szorzatával), és ez a moll a főmátrixhoz és a kiterjesztetthez is tartozik, ezért rangA = cseng B = 3 .
Kisebb 
alapvető. Tartalmazza az ismeretlen x 2, x 3, x 4 együtthatóit, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 2, x 3, x 4 függő, x 1, x 5 pedig szabad.
Átalakítjuk a mátrixot úgy, hogy csak az alap moll marad a bal oldalon (ami megfelel a fenti megoldási algoritmus 4. pontjának). 
Ennek a mátrixnak az együtthatóival rendelkező rendszer egyenértékű az eredeti rendszerrel, és a formája van
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével a következőket találjuk: 
, ,
Kaptunk x 2, x 3, x 4 függő változókat kifejező relációkat szabad x 1 és x 5 között, azaz általános megoldást találtunk: 
Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, tetszőleges számú konkrét megoldást kapunk. Keressünk két konkrét megoldást:
1) legyen x 1 = x 5 = 0, akkor x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) tedd fel x 1 = 1, x 5 = -1, majd x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Így két megoldást találtunk: (0,1, -3,3,0) - egy megoldás, (1,4, -7,7, -1) - egy másik megoldás.
2. példa. Vizsgálja meg a kompatibilitást, keresse meg a rendszer általános és egy konkrét megoldását 
Megoldás. Rendezzük át az első és a második egyenletet úgy, hogy az első egyenletben legyen egy egység, és írjuk fel a B mátrixot. 
A negyedik oszlopban nullákat kapunk, az első sorban működve: 
Most kapja meg a nullákat a harmadik oszlopban a második sor használatával: 
A harmadik és a negyedik sor arányos, így az egyik a rang megváltoztatása nélkül áthúzható:
Szorozzuk meg a harmadik sort (-2)-vel, és adjuk hozzá a negyedikhez: 
Látjuk, hogy a fő és a kiterjesztett mátrixok rangja 4, és a rang egybeesik az ismeretlenek számával, ezért a rendszernek van egy egyedi megoldása:
;
x 4 = 10-3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
3. példa. Vizsgálja meg a rendszer kompatibilitását, és keressen megoldást, ha létezik. 
Megoldás. Összeállítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát. 
Rendezd át az első két egyenletet úgy, hogy a bal felső sarokban 1 legyen:
Az első sort (-1) megszorozva hozzáadjuk a harmadikhoz: 
Szorozzuk meg a második sort (-2)-vel, és adjuk hozzá a harmadikhoz: 
A rendszer inkonzisztens, mivel a főmátrix kapott egy nullákból álló sort, amelyet a rang megtalálásakor áthúzunk, és az utolsó sor marad a kiterjesztett mátrixban, azaz r B > r A .
Gyakorlat. Vizsgálja meg ennek az egyenletrendszernek a kompatibilitását, és oldja meg mátrixszámítással.
Megoldás
Példa. Igazolja egy lineáris egyenletrendszer kompatibilitását és oldja meg kétféleképpen: 1) Gauss-módszerrel; 2) Cramer-módszer. (írja be a választ a következő formában: x1,x2,x3)
Megoldás :doc :doc :xls
Válasz: 2,-1,3.
Példa. Adott egy lineáris egyenletrendszer. Bizonyítsa be a kompatibilitását. Keresse meg a rendszer általános és egy konkrét megoldását.
Megoldás
Válasz: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Gyakorlat. Keressen általános és egyedi megoldásokat minden rendszerhez.
Megoldás. Ezt a rendszert a Kronecker-Capelli-tétel segítségével vizsgáljuk.
Kiírjuk a kiterjesztett és fő mátrixokat:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Gyakorlat. Oldja meg az egyenletrendszert!
Válasz:x 2 = 2 - 1,67x3 + 0,67x4
x 1 = 5 – 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, tetszőleges számú konkrét megoldást kapunk. A rendszer az bizonytalan
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
I. A probléma megfogalmazása.
II. Homogén és heterogén rendszerek kompatibilitása.
III. Rendszer t egyenletek t ismeretlen. Cramer szabálya.
IV. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldására.
V. Gauss-módszer.
I. A probléma megfogalmazása.
rendszernek nevezik m lineáris egyenletek -val n ismeretlen 
. Ennek a rendszernek az egyenleteinek együtthatói mátrix formájában vannak felírva
hívott rendszermátrix (1).
Az egyenletek jobb oldalán lévő számok alakulnak ki ingyenes tagok rovata {B}:
.
Ha oszlop ( B}={0 ), akkor az egyenletrendszert nevezzük homogén. Ellenkező esetben amikor ( B}≠{0 ) - rendszer heterogén.
Az (1) lineáris egyenletrendszer felírható mátrix alakban
[A]{x}={B}. (2)
Itt 
- ismeretlenek oszlopa.
Az (1) egyenletrendszer megoldása a halmaz megtalálását jelenti n
számok 
úgy, hogy amikor behelyettesítjük az (1) rendszerbe az ismeretlen helyett 
a rendszer minden egyenlete azonossággá válik. Számok 
egyenletrendszer megoldásának nevezzük.
,
végtelen számú megoldása lehet
vagy egyáltalán nincsenek megoldásai
.
Olyan egyenletrendszereket nevezünk, amelyeknek nincs megoldásuk összeegyeztethetetlen. Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös. Az egyenletrendszert ún bizonyos ha egyedi megoldása van, és bizonytalan ha végtelen számú megoldása van.
II. Homogén és heterogén rendszerek kompatibilitása.
Az (1) lineáris egyenletrendszer kompatibilitási feltétele a következőben van megfogalmazva Kronecker-Capelli tétel: egy lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van legalább egy megoldása, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával: 
.
A rendszer kiterjesztett mátrixa az a mátrix, amelyet a rendszer mátrixából kapunk úgy, hogy jobb oldalon hozzárendelünk egy szabad tagok oszlopát:
.
Ha Rg A
A Kronecker-Capelli tételnek megfelelő homogén lineáris egyenletrendszerek mindig kompatibilisek. Tekintsük egy homogén rendszer esetét, amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, azaz. m=n. Ha egy ilyen rendszer mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, azaz. 
, a homogén rendszernek egyedi megoldása van, ami triviális (nulla). A homogén rendszereknek végtelen számú megoldása van, ha a rendszer egyenletei között vannak lineárisan függő egyenletek, pl. 
.
Példa. Tekintsünk egy három lineáris egyenletből álló homogén rendszert három ismeretlennel:
és vizsgálja meg a megoldásai számának kérdését. Mindegyik egyenlet az origón áthaladó sík egyenletének tekinthető ( D=0 ). Az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, ha mindhárom sík egy pontban metszi egymást. Ráadásul normálvektoraik nem egysíkúak, és ezért a feltétel
.
A rendszer megoldása ebben az esetben x=0, y=0, z=0 .
Ha a három sík közül legalább kettő, például az első és a második párhuzamos, pl. , akkor a rendszer mátrixának determinánsa nulla, és a rendszernek végtelen számú megoldása van. Sőt, a megoldások a koordináták lesznek x, y, z egy egyenes összes pontja
Ha mindhárom sík egybeesik, akkor az egyenletrendszer egy egyenletre redukálódik
,
és a megoldás az ezen a síkon található összes pont koordinátája lesz.
Az inhomogén lineáris egyenletrendszerek vizsgálatakor a kompatibilitás kérdését a Kronecker-Capelli tétel segítségével oldjuk meg. Ha egy ilyen rendszerben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, ha a determinánsa nem egyenlő nullával. Ellenkező esetben a rendszer vagy inkonzisztens, vagy végtelen számú megoldása van.
Példa. Két egyenlet inhomogén rendszerét vizsgáljuk két ismeretlennel
.
,
. Ebben az esetben a rendszermátrix rangja 1:Rg A=1
, mert 
,
míg a kiterjesztett mátrix rangja 
egyenlő kettővel, mivel ehhez a harmadik oszlopot tartalmazó másodrendű moll választható alapmollnak.
A vizsgált esetben Rg A
Ha a vonalak egybeesnek, pl. , akkor az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van: az egyenes pontjainak koordinátái 
. Ebben az esetben Rg A=
Rg A *
=1.
A rendszernek egyedi megoldása van, amikor a vonalak nem párhuzamosak, pl. 
. Ennek a rendszernek a megoldása az egyenesek metszéspontjának koordinátái 
III. Rendszert egyenletekett ismeretlen. Cramer szabálya.
Tekintsük a legegyszerűbb esetet, amikor a rendszeregyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, azaz. m= n. Ha a rendszer mátrixának determinánsa nem nulla, akkor a rendszer megoldását a Cramer-szabály segítségével találhatjuk meg:
(3)
Itt 
- rendszermátrix meghatározó,
- a [ A] csere én oszlopból a szabad tagok oszlopába:
.
Példa. Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!
Megoldás :
1) keresse meg a rendszer meghatározóját
2) keresse meg a segéddeterminánsokat
3) találjon megoldást a rendszerre a Cramer-szabály szerint:
A megoldás eredménye az egyenletrendszerbe való behelyettesítéssel ellenőrizhető
Megtörténik a megfelelő személyazonosság.
IV. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldására.
[A]{x}={B}
és szorozzuk meg a (2) reláció jobb és bal részét balról a mátrixszal [ A -1 ], a rendszermátrix inverze:
[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)
Az inverz mátrix definíciója szerint a szorzat [ A -1 ][A]=[E], és az identitásmátrix tulajdonságai alapján [ E]{x}={x). Ekkor a (2") relációból kapjuk
{x}=[A -1 ]{B}. (4)
A (4) reláció a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrixmódszer alapja: meg kell találni a rendszer mátrixával inverz mátrixot, és meg kell szorozni vele a rendszer jobb oldali részeinek oszlopvektorát.
Példa. Az előző példában vizsgált egyenletrendszert mátrix módszerrel oldjuk meg.
Rendszermátrix 
annak meghatározó det A==183
.
.A mátrix megtalálásához [ A -1 ], keresse meg a [ A]:
vagy 
Az inverz mátrix kiszámításának képlete tartalmazza 
, akkor
Most találhatunk megoldást a rendszerre
Aztán végre megkapjuk 
.
V. Gauss-módszer.
Nagyszámú ismeretlen esetén az egyenletrendszer Cramer-módszerrel vagy mátrix-módszerrel történő megoldása magasrendű determinánsok számításával vagy nagy mátrixok megfordításával jár együtt. Ezek az eljárások még a modern számítógépek számára is nagyon fáradságosak. Ezért a nagyszámú egyenletrendszer megoldásához gyakrabban használják a Gauss-módszert.
A Gauss-módszer az ismeretlenek egymást követő eliminálásából áll a rendszer kiterjesztett mátrixának elemi transzformációjával. Az elemi mátrixtranszformációk közé tartozik a sorok permutációja, a sorok összeadása, a sorok szorzása a nullától eltérő számokkal. Az átalakítások eredményeként a rendszer mátrixa lecsökkenthető egy felső háromszög alakúra, amelynek főátlóján egységek vannak, a főátló alatt pedig nullák. Ez a Gauss-módszer közvetlen lépése. A módszer fordított menete az ismeretlenek közvetlen meghatározásából áll, az utolsótól kezdve.
Szemléltessük a Gauss-módszert az egyenletrendszer megoldásának példáján
Az előrelépés első lépésénél biztosított, hogy az együttható 
Az átalakult rendszerből egyenlővé vált 1
, és az együtthatók 
és 
nullára fordult. Ehhez meg kell szorozni az első egyenletet 1/10
, szorozd meg a második egyenletet 10
és add hozzá az elsőhöz, szorozd meg a harmadik egyenletet ezzel -10/2
és add hozzá az elsőhöz. Ezen átalakítások után azt kapjuk
A második lépésben biztosítjuk, hogy a transzformációk után az együttható 
egyenlővé vált 1
, és az együttható 
. Ehhez elosztjuk a második egyenletet 42
, és szorozd meg a harmadik egyenletet -42/27
és add hozzá a másodikhoz. Egyenletrendszert kapunk
A harmadik lépés az együttható megszerzése 
. Ehhez elosztjuk a harmadik egyenletet (37 - 84/27)
; kapunk
Itt ér véget a Gauss-módszer közvetlen lefolyása, mert a rendszer mátrixa a felső háromszög alakúra redukálódik:
Ebben a leckében egy lineáris egyenletrendszer megoldási módszereit vizsgáljuk meg. A felsőbb matematika során lineáris egyenletrendszereket kell megoldani mind különálló feladatok formájában, mint például "Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel", mind más feladatok megoldása során. A magasabb matematika szinte minden ágában foglalkozni kell lineáris egyenletrendszerekkel.
Először is egy kis elmélet. Mit jelent ebben az esetben a „lineáris” matematikai szó? Ez azt jelenti, hogy a rendszer egyenleteiben összes változók szerepelnek első fokon: semmi olyan divatos cucc 
stb., amelyektől csak a matematikai olimpiák résztvevői örülnek.
A felsőbb matematikában nemcsak a gyermekkorból ismert betűket használjuk a változók jelölésére.
Egy meglehetősen népszerű lehetőség a változók indexekkel: .
Vagy a latin ábécé kezdőbetűi, kicsik és nagyok:
Nem is olyan ritka a görög betűk: - sokak számára jól ismert "alfa, béta, gamma". És egy készlet indexekkel, mondjuk "mu" betűvel:
Egyik vagy másik betűkészlet használata a magasabb matematika azon ágától függ, amelyben lineáris egyenletrendszerrel állunk szemben. Így például az integrálok, differenciálegyenletek megoldása során előforduló lineáris egyenletrendszerekben hagyományosan a jelölést szokás használni.
De akárhogyan is jelöljük a változókat, a lineáris egyenletrendszer megoldásának elvei, módszerei és módszerei ettől nem változnak. Így, ha valami szörnyű dologgal találkozik, ne rohanjon félve becsukni a problémakönyvet, elvégre ehelyett rajzolhatja a napot, helyette - egy madarat, és helyette - egy (tanári) arcot. És furcsa módon egy lineáris egyenletrendszer is megoldható ezekkel a jelölésekkel.
Valami olyan előérzetem van, hogy a cikk elég hosszú lesz, szóval egy kis tartalomjegyzék. Tehát a szekvenciális "lekérdezés" a következő lesz:
– Lineáris egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel („iskola módszer”);
– A rendszer megoldása a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadásával (kivonásával);
– A rendszer megoldása Cramer-képletekkel;
– A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével;
– A rendszer Gauss-módszeres megoldása.
Az iskolai matematika tantárgyból mindenki ismeri a lineáris egyenletrendszereket. Valójában az ismétléssel kezdjük.
Ezt a módszert „iskolamódszernek” vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerének is nevezhetjük. Képletesen szólva "félkész Gauss-módszernek" is nevezhető.
1. példa
Itt van egy két egyenletrendszer két ismeretlennel. Vegye figyelembe, hogy a szabad tagok (5-ös és 7-es számok) az egyenlet bal oldalán találhatók. Általánosságban elmondható, hogy mindegy, hogy hol vannak, a bal vagy a jobb oldalon, csak a felsőbb matematikai feladatokban gyakran így helyezkednek el. És egy ilyen rekord nem lehet zavaró, ha szükséges, a rendszer mindig "szokás szerint" írható:. Ne felejtse el, hogy amikor egy kifejezést részről részre visz át, meg kell változtatnia annak előjelét.
Mit jelent lineáris egyenletrendszer megoldása? Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk a megoldásai halmazát. A rendszer megoldása a benne szereplő összes változó értékkészlete, ami a rendszer MINDEN egyenletét valódi egyenlőséggé változtatja. Ezen kívül a rendszer lehet összeegyeztethetetlen (nincs megoldás).Ne szégyellje magát, ez egy általános definíció =) Csak egy "x" és egy "y" értékünk lesz, amelyek kielégítik a mi egyenleteket.
A rendszer megoldására létezik egy grafikus módszer, amely a leckében található. A legegyszerűbb problémák egyenes vonallal. Ott beszéltem geometriai érzék két lineáris egyenletrendszer két ismeretlennel. De most az udvaron az algebra, és a számok-számok, cselekvések-cselekmények korszaka.
Mi döntünk: az első egyenletből ezt fejezzük ki:
A kapott kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe:
Megnyitjuk a zárójeleket, hasonló kifejezéseket adunk, és megtaláljuk az értéket: 
Ezután felidézzük, miből táncoltak:
Már ismerjük az értéket, még meg kell találni:
Válasz:
Miután BÁRMELY egyenletrendszert BÁRMILYEN módon megoldottunk, erősen javaslom az ellenőrzést (szóban, vázlaton vagy számológépen). Szerencsére ez gyorsan és egyszerűen megtörténik.
1) Helyettesítsd be az első egyenletben talált választ:
- a megfelelő egyenlőség létrejön.
2) A talált választ behelyettesítjük a második egyenletbe: 
- a megfelelő egyenlőség létrejön.
Vagy egyszerűbben fogalmazva: "minden összejött"
A vizsgált megoldási mód nem az egyetlen, az első egyenletből ki lehetett fejezni , de nem.
Fordítva is lehet - kifejezni valamit a második egyenletből, és behelyettesíteni az első egyenletbe. Egyébként vegye figyelembe, hogy a négy módszer közül a leghátrányosabb a második egyenletből történő kifejezés:
Törteket kapunk, de miért? Van racionálisabb megoldás is.
Néhány esetben azonban a törtek még mindig nélkülözhetetlenek. Ezzel kapcsolatban felhívom a figyelmet arra, HOGYAN írtam a kifejezést. Nem így: és semmiképpen sem így: 
.
Ha a felsőbb matematikában törtszámokkal van dolgod, akkor próbálj meg minden számítást közönséges helytelen törtekben elvégezni.
Pontosan nem vagy!
A vessző csak alkalmanként használható, különösen akkor, ha - ez a végső válasz valamilyen problémára, és ezzel a számmal nem kell további műveleteket végrehajtani.
Sok olvasó valószínűleg azt gondolta, hogy „miért ilyen részletes magyarázat, mint egy korrekciós osztálynál, és minden világos”. Semmi ilyesmi, olyan egyszerű iskolapéldának tűnik, de mennyi NAGYON fontos következtetés! Itt van még egy:
Minden feladatot törekedni kell a legracionálisabb módon végrehajtani.. Már csak azért is, mert időt és idegeket takarít meg, és csökkenti a hibázás valószínűségét is.
Ha egy felsőbb matematikai feladatban két lineáris egyenletből álló rendszerrel találkozik két ismeretlennel, akkor mindig használhatja a helyettesítési módszert (hacsak nincs jelezve, hogy a rendszert más módszerrel kell megoldani) ".
Sőt, bizonyos esetekben célszerű a helyettesítési módszert használni nagyobb számú változóval.
2. példa
Oldjon meg három ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert!
Hasonló egyenletrendszer gyakran felmerül az úgynevezett határozatlan együtthatók módszerének alkalmazásakor, amikor egy racionális törtfüggvény integrálját találjuk meg. A kérdéses rendszert én onnan vettem.
Amikor megtaláljuk az integrált - a célt gyors találja meg az együtthatók értékeit, és ne legyen bonyolult a Cramer-képletekkel, az inverz mátrix módszerrel stb. Ezért ebben az esetben a helyettesítési módszer megfelelő.
Bármilyen egyenletrendszer megadásakor mindenekelőtt kívánatos kideríteni, de lehetséges-e valahogy AZONNAL egyszerűsíteni? A rendszer egyenleteit elemezve észrevesszük, hogy a rendszer második egyenlete osztható 2-vel, amit meg is teszünk:
Referencia: a matematikai szimbólum azt jelenti, hogy "ebből ez következik", gyakran használják a feladatok megoldása során.
Most elemezzük az egyenleteket, a többien keresztül ki kell fejeznünk valamilyen változót. Melyik egyenletet válasszam? Valószínűleg már sejtette, hogy erre a célra a legegyszerűbb módja a rendszer első egyenletének felvétele:
Itt nem mindegy, hogy melyik változót fejezzük ki, ugyanúgy kifejezhetjük vagy .
Ezután behelyettesítjük a kifejezést a rendszer második és harmadik egyenletébe: 
Nyissa meg a zárójeleket, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket: 
A harmadik egyenletet elosztjuk 2-vel: 
A második egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a harmadik egyenletbe:
Szinte minden készen van, a harmadik egyenletből ezt találjuk:
A második egyenletből: 
Az első egyenletből:
Ellenőrzés: Helyettesítse be a változók talált értékeit a rendszer minden egyenlete bal oldalán:
1)
2)
3)
Az egyenletek megfelelő jobb oldalait megkapjuk, így a megoldás helyesen található.
3. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert 4 ismeretlennel!
Ez egy példa az önálló megoldásra (válasz a lecke végén).
A lineáris egyenletrendszerek megoldása során nem az „iskolamódszert” kell alkalmazni, hanem a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadását (kivonását). Miért? Ez időt takarít meg és leegyszerűsíti a számításokat, de most már világosabb lesz.
4. példa
Oldja meg a lineáris egyenletrendszert: 
Ugyanazt a rendszert vettem, mint az első példában.
Az egyenletrendszert elemezve azt látjuk, hogy a változó együtthatói abszolút értékben azonosak, előjelben pedig ellentétesek (–1 és 1). Ebben a helyzetben az egyenleteket tagonként hozzáadhatjuk: 
A pirossal bekarikázott cselekvéseket MENTÁLISAN hajtják végre.
Amint látja, a termwise összeadás eredményeként elvesztettük a változót. Ez valójában így van a módszer lényege az egyik változótól való megszabadulás.
