Ezzel a matematikai programmal egy kettős rendszert lehet megoldani lineáris egyenletek két változóval a helyettesítési módszerrel és az összeadás módszerével.
A program nem csak választ ad a problémára, hanem ad is részletes megoldás a megoldási lépések kétféle magyarázatával: a helyettesítési módszerrel és az összeadás módszerével.
Ez a program hasznos lehet középiskolások számára középiskolák előkészítése során tesztek valamint vizsgák, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzés során a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának ellenőrzésére. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.
Ily módon Ön saját és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén növekszik a képzettség.
Az egyenletek bevitelének szabályai
Bármely latin betű működhet változóként.
Például: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) stb.
Egyenletek beírásakor használhat zárójelet. Ebben az esetben először az egyenleteket egyszerűsítjük. Az egyszerűsítések utáni egyenleteknek lineárisnak kell lenniük, pl. az ax+by+c=0 alakú elemsorrend pontosságával.
Például: 6x+1 = 5(x+y)+2
Az egyenletekben nemcsak egész számokat, hanem törteket is használhat tizedesjegyek és közönséges törtek formájában.
A tizedes törtek bevitelének szabályai.
Egész és tört részek be tizedesjegyek ponttal vagy vesszővel elválasztható.
Például: 2,1n + 3,5m = 55
A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.
A nevező nem lehet negatív.
Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
A teljes részt az és jel választja el a törttől: &
Példák.
-1 és 2/3 év + 5/3x = 55
2,1 p + 55 = -2/7 (3,5 p - 2 és 1/8q)
Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.
Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...
Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.
Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:
A műveletsor a lineáris egyenletrendszer helyettesítési módszerrel történő megoldása során:
1) a rendszer valamely egyenletéből egy változót egy másikkal kifejezve;
2) a kapott kifejezést e változó helyett a rendszer egy másik egyenletébe cserélje be;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$
Fejezzük ki y-t x-szel az első egyenletből: y = 7-3x. A második egyenletbe y helyett a 7-3x kifejezést behelyettesítve a rendszert kapjuk:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$
Könnyen kimutatható, hogy az első és a második rendszerben ugyanaz a megoldás. A második rendszerben a második egyenlet csak egy változót tartalmaz. Oldjuk meg ezt az egyenletet:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Jobbra -5x+14-6x=3 \Jobbra -11x=-11 \Jobbra x=1 $$
Ha az y=7-3x egyenlőségbe x helyett 1-et cserélünk, megkapjuk az y megfelelő értékét:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Pár (1;4) - a rendszer megoldása
A két változóból álló egyenletrendszereket, amelyeknek ugyanaz a megoldása, nevezzük egyenértékű. A megoldásokkal nem rendelkező rendszerek is egyenértékűnek minősülnek.
Nézzük meg a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy másik módját - az összeadás módszerét. A rendszerek ilyen módon történő megoldásakor, valamint a helyettesítéssel történő megoldáskor ebből a rendszerből egy másik, ekvivalens rendszerbe lépünk át, amelyben az egyik egyenlet csak egy változót tartalmaz.
A műveletsor a lineáris egyenletrendszer összeadási módszerrel történő megoldása során:
1) szorozzuk meg a rendszer egyenleteit tagonként, olyan tényezőket választva, hogy az egyik változó együtthatói ellentétes számokká váljanak;
2) adja hozzá a rendszeregyenletek bal és jobb oldalát tagonként;
3) oldja meg a kapott egyenletet egy változóval;
4) keresse meg a második változó megfelelő értékét.
Példa. Oldjuk meg az egyenletrendszert:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Ennek a rendszernek az egyenleteiben az y együtthatói ellentétes számok. Az egyenletek bal és jobb oldalát tagonként összeadva egy 3x=33 változós egyenletet kapunk. Cseréljük le a rendszer egyik egyenletét, például az elsőt, a 3x=33 egyenlettel. Vegyük a rendszert
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
A 3x=33 egyenletből azt kapjuk, hogy x=11. Ezt az x értéket az \(x-3y=38\) egyenletbe behelyettesítve egy y változóval rendelkező egyenletet kapunk: \(11-3y=38\). Oldjuk meg ezt az egyenletet:
\(-3y=27 \Jobbra y=-9 \)
Így az egyenletrendszer megoldását összeadással találtuk meg: \(x=11; y=-9\) vagy \((11;-9)\)
Kihasználva azt a tényt, hogy a rendszer egyenleteiben az y együtthatók ellentétes számok, megoldását egy ekvivalens rendszer megoldására redukáltuk (az eredeti rendszer egyenleteinek mindkét oldalát összegezve), amelyben az egyik az egyenletek közül csak egy változót tartalmaz.
Könyvek (tankönyvek) Az egységes államvizsga és az egységes államvizsga online tesztek kivonata Játékok, rejtvények Funkciógrafikonok rajzolása Orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szlengszótár Orosz iskolák katalógusa Oroszország középfokú oktatási intézményeinek katalógusa Orosz egyetemek katalógusa feladatokrólEzzel a videóval az egyenletrendszerekkel foglalkozó leckesorozatot kezdem. Ma a lineáris egyenletrendszerek megoldásáról lesz szó összeadás módszere- ez az egyik legtöbb egyszerű módokon, ugyanakkor az egyik leghatékonyabb.
A hozzáadási módszer három egyszerű lépésből áll:
Ha mindent helyesen csináltunk, akkor a kimeneten egyetlen egyenletet kapunk egy változóval- nem lesz nehéz megoldani. Ezután már csak a talált gyökér behelyettesítése marad az eredeti rendszerbe, és megkapjuk a végső választ.
A gyakorlatban azonban nem minden ilyen egyszerű. Ennek több oka is van:
Ha választ szeretne kapni ezekre a kérdésekre, és egyúttal megérteni néhány további finomságot, amelyekben sok diák nem sikerül, nézze meg videóleckémet:
Ezzel a leckével egy előadássorozatot kezdünk, rendszereknek szentelt egyenletek. És ezek közül a legegyszerűbbekből indulunk ki, nevezetesen azokból, amelyek két egyenletet és két változót tartalmaznak. Mindegyik lineáris lesz.
A Systems 7. osztályos tananyag, de ez a lecke azoknak a középiskolásoknak is hasznos lesz, akik szeretnék felfrissíteni tudásukat ebben a témában.
Általában két módszer létezik az ilyen rendszerek megoldására:
Ma az első módszerrel fogunk foglalkozni - a kivonás és az összeadás módszerét fogjuk használni. Ehhez azonban meg kell értenie a következő tényt: ha már két vagy több egyenlete van, bármelyik kettőt felveheti, és összeadhatja őket. Tagonként adják hozzá őket, azaz. Az „X”-hez hozzáadódik az „X” és adjuk a hasonlókat, az „Y” az „Y-vel” ismét hasonló, és ami az egyenlőségjeltől jobbra van, az is hozzáadódik egymáshoz, és ott is adunk hasonlókat .
Az ilyen machinációk eredménye egy új egyenlet lesz, amelynek, ha vannak gyökerei, minden bizonnyal az eredeti egyenlet gyökerei között lesznek. Ezért az a feladatunk, hogy a kivonást vagy összeadást úgy végezzük, hogy vagy $x$ vagy $y$ eltűnjön.
Hogyan lehet ezt elérni és milyen eszközt kell használni ehhez - most erről fogunk beszélni.
Tehát megtanuljuk az összeadás módszerét két egyszerű kifejezés példáján keresztül.
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Vegye figyelembe, hogy $y$ együtthatója $-4$ az első egyenletben, és $+4$ a másodikban. Kölcsönösen ellentétesek, így logikus az a feltételezés, hogy ha összeadjuk őket, akkor a kapott összegben a „játékok” kölcsönösen megsemmisülnek. Add hozzá, és kapd meg:
Oldjuk meg a legegyszerűbb konstrukciót:
Remek, megtaláltuk az "x"-et. Most mit csináljunk vele? Jogunk van bármelyik egyenletbe behelyettesíteni. Cseréljük be az elsőt:
\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]
Válasz: $\left(2;-3 \right)$.
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Itt teljesen hasonló a helyzet, csak az „X”-ekkel. Adjuk össze őket:
Megvan a legegyszerűbb lineáris egyenlet, oldjuk meg:
Most keressük meg a $x$-t:
Válasz: $\left(-3;3 \right)$.
Tehát két egyszerű lineáris egyenletrendszert oldottunk meg az összeadás módszerével. A legfontosabb szempontok ismét:
A következő feladatokban megvizsgáljuk a kivonás technikáját, ha az együtthatók nem ellentétesek.
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Vegye figyelembe, hogy itt nincsenek ellentétes együtthatók, de vannak azonosak. Ezért az első egyenletből kivonjuk a másodikat:
Most behelyettesítjük a $x$ értéket bármelyik rendszeregyenletbe. Először menjünk:
Válasz: $\left(2;5\right)$.
\[\left\( \begin(igazítás)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Ismét ugyanazt az 5$-os együtthatót látjuk $x$-ra az első és a második egyenletben. Ezért logikus azt feltételezni, hogy ki kell vonni a másodikat az első egyenletből:
Kiszámoltunk egy változót. Most keressük meg a másodikat, például úgy, hogy a $y$ értéket behelyettesítjük a második konstrukcióba:
Válasz: $\left(-3;-2 \right)$.
Szóval mit látunk? A séma lényegében nem különbözik a korábbi rendszerek megoldásától. Az egyetlen különbség az, hogy az egyenleteket nem összeadjuk, hanem kivonjuk. Algebrai kivonást végzünk.
Más szóval, amint lát egy rendszert, amely két egyenletből áll két ismeretlenben, az első dolog, amit meg kell néznie, az együtthatók. Ha bárhol megegyeznek, akkor az egyenleteket kivonjuk, ha pedig ellentétesek, akkor az összeadás módszerét alkalmazzuk. Ez mindig úgy történik, hogy az egyik eltűnjön, és a végső egyenletben, amely a kivonás után megmarad, csak egy változó marad.
Persze ez még nem minden. Most megvizsgáljuk azokat a rendszereket, amelyekben az egyenletek általában inkonzisztensek. Azok. Nincsenek bennük azonos vagy ellentétes változók. Ebben az esetben az ilyen rendszerek megoldásához egy további technikát alkalmaznak, nevezetesen az egyes egyenleteket egy speciális együtthatóval megszorozzák. Hogyan lehet megtalálni és általában hogyan kell megoldani az ilyen rendszereket, most erről fogunk beszélni.
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Látjuk, hogy sem $x$, sem $y$ esetén az együtthatók nem csak ellentétesek egymással, de semmiképpen sem korrelálnak a másik egyenlettel. Ezek az együtthatók semmiképpen nem tűnnek el, még akkor sem, ha összeadjuk vagy kivonjuk az egyenleteket egymásból. Ezért szükséges a szorzás alkalmazása. Próbáljuk meg megszabadulni a $y$ változótól. Ehhez megszorozzuk az első egyenletet a második egyenletből származó $y$ együtthatóval, a második egyenletet pedig az első egyenletből származó $y$ együtthatóval anélkül, hogy az előjelet érintené. Szorozunk és új rendszert kapunk:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Nézzük meg: $y$-nál az együtthatók ellentétesek. Ilyen helyzetben az összeadás módszerét kell használni. Tegyük hozzá:
Most meg kell találnunk $y$-t. Ehhez cserélje be a $x$ értéket az első kifejezésbe:
\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]
Válasz: $\left(4;-2 \right)$.
\[\left\( \begin(igazítás)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Ismét egyetlen változó együtthatója sem konzisztens. Szorozzuk meg $y$ együtthatóival:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
A miénk új rendszer ekvivalens az előzővel, azonban $y$ együtthatói egymással ellentétesek, ezért itt könnyen alkalmazható az összeadás módszere:
Most keressük meg $y$-t úgy, hogy behelyettesítjük a $x$-t az első egyenletbe:
Válasz: $\left(-2;1 \right)$.
A kulcsfontosságú szabály itt a következő: mindig csak pozitív számokkal szorozunk - ez megóvja Önt az előjelváltással járó ostoba és sértő hibáktól. Általában a megoldási séma meglehetősen egyszerű:
De még egy ilyen egyszerű algoritmusnak is megvannak a maga finomságai, például az $x$ vagy $y$ együtthatói lehetnek törtek és más „csúnya” számok. Ezeket az eseteket most külön-külön megvizsgáljuk, mert bennük némileg másként is cselekedhet, mint a szokásos algoritmus szerint.
\[\left\( \begin(igazítás)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Először is figyelje meg, hogy a második egyenlet törteket tartalmaz. De vegye figyelembe, hogy 4 dollárt eloszthat 0,8 dollárral. 5 dollárt kapunk. Szorozzuk meg a második egyenletet 5$-ral:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Az egyenleteket kivonjuk egymástól:
Találtunk $n$-t, most számoljunk $m$-t:
Válasz: $n=-4;m=5$
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ jobb.\]
Az előző rendszerhez hasonlóan itt is vannak törtegyütthatók, de egyik változónál sem illeszkednek egymásba az együtthatók egész számú alkalommal. Ezért a szabványos algoritmust használjuk. Szabadulj meg a $p$-tól:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]
A kivonás módszerét használjuk:
Keressük meg a $p$-t úgy, hogy behelyettesítjük a $k$-t a második konstrukcióba:
Válasz: $p=-4;k=-2$.
Ennyi az optimalizálás. Az első egyenletben egyáltalán nem szoroztunk semmivel, hanem a második egyenletet szoroztuk 5$-ral. Ennek eredményeként az első változóra konzisztens, sőt azonos egyenletet kaptunk. A második rendszerben egy standard algoritmust követtünk.
De hogyan találja meg azokat a számokat, amelyekkel megszorozhatja az egyenleteket? Hiszen ha törtekkel szorozunk, új törteket kapunk. Ezért a törteket meg kell szorozni egy olyan számmal, amely új egész számot adna, majd a változókat a szabványos algoritmus szerint együtthatókkal kell szorozni.
Végezetül szeretném felhívni a figyelmet a válasz rögzítésének formátumára. Ahogy már mondtam, mivel itt nem $x$ és $y$, hanem más értékek vannak, a forma nem szabványos jelölését használjuk:
A mai oktatóvideó utolsó megjegyzéseként nézzünk meg néhány igazán összetett rendszert. Bonyolultságuk abban áll, hogy mind a bal, mind a jobb oldalon lesznek változóik. Ezért ezek megoldásához előfeldolgozást kell alkalmaznunk.
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \jobbra )-1=5\left(2x-1 \jobbra)+8 \\\vége(igazítás) \jobbra.\]
Minden egyenletnek van egy bizonyos összetettsége. Ezért tekintsünk minden kifejezést szabályos lineáris szerkezetként.
Összességében megkapjuk a végső rendszert, amely megegyezik az eredetivel:
\[\left\( \begin(igazítás)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Nézzük meg a $y$ együtthatóit: $3$ kétszer belefér $6$-ba, tehát szorozzuk meg az első egyenletet $2$-val:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
A $y$ együtthatói egyenlőek, ezért az első egyenletből kivonjuk a másodikat: $$
Most keressük meg a $y$-t:
Válasz: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(igazítás) \jobbra.\]
Alakítsuk át az első kifejezést:
Foglalkozzunk a másodikkal:
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Összességében a kezdeti rendszerünk a következő formában lesz:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Ha megnézzük az $a$ együtthatóit, azt látjuk, hogy az első egyenletet meg kell szorozni $2$-val:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Vonjuk ki a másodikat az első konstrukcióból:
Most keressük meg a $a$-t:
Válasz: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Ez minden. Remélem, ez az oktatóvideó segít megérteni ezt a nehéz témát, nevezetesen az egyszerű lineáris egyenletrendszerek megoldását. A jövőben még sok tanulság lesz ebben a témában: bonyolultabb példákat fogunk nézni, ahol több lesz a változó, és maguk az egyenletek is nemlineárisak lesznek. Viszlát!
Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. Csak a változó bonyolultságú egyenletrendszerek önálló megoldásával tanulja meg gyorsan meghatározni a megoldási módszereket bármely rendszerhez. Néha meglehetősen nehéz lehet megoldani a rendszert másodfokú egyenletek. Azonban ezen egyenletek megoldására a leggyakrabban használt módszer a helyettesítés/összeadás módszer.
Tegyük fel, hogy a következő egyenletrendszert kapjuk:
\[\left\(\begin(mátrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(mátrix)\jobbra.\]
Adjuk hozzá a rendszer egyenleteit:
\[\left\(\begin(mátrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(mátrix)\jobbra.\]
Oldjuk meg a kapott rendszert:
\[\left\(\begin(mátrix) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(mátrix)\jobbra.\]
\[(x - y) = -1 \] vagy \[(x - y) = 1\] - 2 egyenletből kapjuk
Helyettesítsük 1-et vagy -1-et 1-re:
\ vagy \
Mivel most már tudjuk az egyik ismeretlen értékét, megtaláljuk a másodikat:
\[-3 - y= -1\] vagy \
\ vagy \
Válasz: \[(-3; -2); (3; 4)\]
Ha egy 2 fokos és 1 lineáris rendszert kell megoldanunk, akkor a lineárisból 1 változót kifejezhetünk, és ezt az egyenletet behelyettesíthetjük másodfokúra.
Az egyenletrendszert online is meg tudja oldani a https://site weboldalunkon. Egy ingyenes online megoldó lehetővé teszi az egyenlet megoldását online bármelyik bonyolultság másodpercekben. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.
A diákok nagyon gyakran nehezen választják meg az egyenletrendszerek megoldásának módját.
Ebben a cikkben megvizsgáljuk a rendszerek megoldásának egyik módját - a helyettesítési módszert.
Ha megtalálják közös döntés két egyenlet, akkor ezek az egyenletek rendszert alkotnak. Egy egyenletrendszerben minden ismeretlen ugyanazt a számot jelenti az összes egyenletben. Annak bizonyítására, hogy adott egyenletek rendszert alkotnak, általában egymás alá írják őket, és például kapcsos kapcsos zárójellel kötik össze őket.
Megjegyezzük, hogy x = 15 és y = 5 esetén a rendszer mindkét egyenlete helyes. Ez a számpár az egyenletrendszer megoldása. Minden olyan ismeretlen értékpárt, amely egyidejűleg kielégíti a rendszer mindkét egyenletét, a rendszer megoldásának nevezzük.
Egy rendszernek lehet egy megoldása (mint a példánkban), végtelen sok megoldása vagy egyetlen megoldása sem.
Hogyan oldjunk meg rendszereket helyettesítési módszerrel? Ha mindkét egyenletben valamelyik ismeretlen együtthatója abszolút értékben egyenlő (ha nem egyenlő, akkor egyenlőséget adunk), akkor mindkét egyenlet összeadásával (vagy a másikból kivonva) egy ismeretlennel egyenletet kaphatunk. Ezután megoldjuk ezt az egyenletet. Meghatározunk egy ismeretlent. Az ismeretlen eredő értékét behelyettesítjük valamelyik rendszeregyenletbe (az első vagy a második). Találunk még egy ismeretlent. Nézzünk példákat ennek a módszernek az alkalmazására.
1. példa Oldja meg az egyenletrendszert!
Itt az y együtthatók abszolút értékben egyenlőek, de előjelben ellentétesek. Próbáljuk meg tagonként összeadni a rendszer egyenleteit.
A kapott x = 4 értéket behelyettesítjük a rendszer valamely egyenletébe (például az elsőbe), és megkeressük az y értéket:
2 *4 +y = 11, y = 11–8, y = 3.
A mi rendszerünknek van egy megoldása: x = 4, y = 3. Vagy a választ zárójelbe írhatjuk egy pont koordinátáiként, első helyen x, a második helyen y.
Válasz: (4; 3)
2. példa. Egyenletrendszer megoldása
Egyenlítsük ki az x változó együtthatóit, ehhez megszorozzuk az első egyenletet 3-mal, a másodikat pedig (-2-vel), így kapjuk
Legyen óvatos, amikor egyenleteket ad hozzá
Ekkor y = - 2. Helyettesítsük be a (-2) számot y helyett az első egyenletbe, és kapjuk
4x + 3(-2) = - 4. Oldja meg ezt az egyenletet: 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½.
Válasz: (1/2; - 2)
3. példa Oldja meg az egyenletrendszert!
Szorozzuk meg az első egyenletet (-2)
A rendszer megoldása
0 = - 13-at kapunk.
A rendszernek nincs megoldása, mivel 0 nem egyenlő (-13).
Válasz: nincsenek megoldások.
4. példa Oldja meg az egyenletrendszert!
Észrevesszük, hogy a második egyenlet minden együtthatója osztható 3-mal,
osszuk el a második egyenletet hárommal, és egy olyan rendszert kapunk, amely két azonos egyenletből áll.
Ennek a rendszernek végtelen sok megoldása van, hiszen az első és a második egyenlet megegyezik (csak egy egyenletet kaptunk két változóval). Hogyan képzeljük el ennek a rendszernek a megoldását? Fejezzük ki az y változót az x + y = 5 egyenletből. Azt kapjuk, hogy y = 5 – x.
Akkor válaszígy lesz írva: (x; 5-x), x – tetszőleges szám.
Megnéztük az egyenletrendszerek megoldását az összeadás módszerével. Ha kérdésed van, vagy valami nem tiszta, jelentkezz egy leckére, és minden problémát megoldunk veled.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Ebben a leckében folytatjuk az egyenletrendszerek megoldási módszerének tanulmányozását, nevezetesen az algebrai összeadás módszerét. Először nézzük meg ennek a módszernek az alkalmazását a lineáris egyenletek példáján és annak lényegét. Emlékezzünk arra is, hogyan kell kiegyenlíteni az együtthatókat az egyenletekben. És számos problémát megoldunk ezzel a módszerrel.
Témakör: Egyenletrendszerek
Lecke: Algebrai összeadás módszere
Mérlegeljük algebrai összeadás módszere lineáris rendszerek példájával.
Példa 1. Oldja meg a rendszert
Ha ezt a két egyenletet összeadjuk, akkor y érvénytelenít, és egy egyenlet marad x-re.
Ha kivonjuk a másodikat az első egyenletből, akkor az x-ek kioltják egymást, és egy egyenletet kapunk y-ra. Ez az algebrai összeadás módszerének jelentése.
Megoldottuk a rendszert és emlékeztünk az algebrai összeadás módszerére. Ismételjük meg a lényegét: összeadhatunk és kivonhatunk egyenleteket, de ügyelnünk kell arra, hogy csak egy ismeretlent tartalmazó egyenletet kapjunk.
Példa 2. Oldja meg a rendszert
A kifejezés mindkét egyenletben megtalálható, így az algebrai összeadás módszere kényelmes. Vonjuk ki a másodikat az első egyenletből.
Válasz: (2; -1).
Így az egyenletrendszer elemzése után láthatja, hogy ez alkalmas az algebrai összeadás módszerére, és alkalmazható.
Nézzünk egy másik lineáris rendszert.
Példa 3. Oldja meg a rendszert
Meg akarunk szabadulni y-tól, de y együtthatói különböznek a két egyenletben. Egyenlítsük ki őket; ehhez szorozzuk meg az első egyenletet 3-mal, a másodikat 4-gyel.
Példa 4. Oldja meg a rendszert 
Egyenlítsük ki x együtthatóit
Megteheti másként is - kiegyenlíti az y együtthatóit.
A rendszert az algebrai összeadás módszerének kétszeri alkalmazásával oldottuk meg.
Az algebrai összeadás módszere nemlineáris rendszerek megoldására is alkalmazható.
Példa 5. Oldja meg a rendszert
Adjuk össze ezeket az egyenleteket, és megszabadulunk y-tól.
Ugyanez a rendszer megoldható az algebrai összeadás módszerének kétszeri alkalmazásával. Adjunk össze és vonjunk ki egy egyenletből a másikat.
6. példa Oldja meg a rendszert 
Válasz: 
7. példa Oldja meg a rendszert 
Az algebrai összeadás módszerével megszabadulunk az xy tagtól. Az első egyenletet szorozzuk meg -vel.
Az első egyenlet változatlan marad, a második helyett az algebrai összeget írjuk.
Válasz: 
8. példa Oldja meg a rendszert
Szorozzuk meg a második egyenletet 2-vel a tökéletes négyzet izolálásához.
Feladatunk négy egyszerű rendszer megoldására csökkent.
Az algebrai összeadás módszerét lineáris és nemlineáris rendszerek megoldásának példáján vizsgáltuk. A következő leckében az új változók bevezetésének módszerét tekintjük át.
1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. évfolyam: Tankönyv. Általános műveltségre Intézmények.- 4. sz. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4. kiadás. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. évfolyam: oktatási. általános iskolai tanulók számára. intézmények / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. 9. osztály. 16. kiadás - M., 2011. - 287 p.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. osztály. 2 óra alatt 1. rész Tankönyv az általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. kiadás, törölve. - M.: 2010. - 224 p.: ill.
6. Algebra. 9. osztály. 2 részben 2. rész Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina és mások; Szerk. A. G. Mordkovich. — 12. kiadás, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.
1. Főiskolai tagozat. ru a matematikában.
2. „Feladatok” internetes projekt.
3. Oktatási portál"MEGOLDOM A FELHASZNÁLÁST."
1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4. kiadás. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 125-127 sz.
Le kell töltened egy óratervet a témában » Algebrai összeadás módszere?
