Ebben a cikkben a módszert lineáris egyenletrendszerek (SLAE) megoldási módszerének tekintjük. A módszer analitikus, azaz lehetővé teszi egy megoldási algoritmus beírását Általános nézet, majd helyettesítsd be az ott található konkrét példákból származó értékeket. A mátrixmódszerrel vagy a Cramer-képletekkel ellentétben lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során olyanokkal is dolgozhatunk, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Vagy egyáltalán nincs meg nekik.
Először is fel kell írnunk az egyenletrendszerünket a Így néz ki. Vegyük a rendszert:
Az együtthatók táblázat formájában, a szabad kifejezések pedig külön oszlopban a jobb oldalon. A szabad kifejezéseket tartalmazó oszlop a kényelem kedvéért el van különítve, az ezt az oszlopot tartalmazó mátrixot kiterjesztettnek nevezzük.
Ezután az együtthatókkal rendelkező fő mátrixot egy felső háromszög alakúra kell redukálni. Ez a fő pontja a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának. Egyszerűen fogalmazva, bizonyos manipulációk után a mátrixnak úgy kell kinéznie, hogy a bal alsó része csak nullákat tartalmazzon:
Ezután, ha az új mátrixot egyenletrendszerként újra felírja, észreveszi, hogy az utolsó sorban már szerepel az egyik gyök értéke, amelyet aztán behelyettesítünk a fenti egyenletbe, egy másik gyökér található, és így tovább.
Ez leginkább a Gauss-módszer szerinti megoldás leírása általános vázlat. Mi történik, ha hirtelen a rendszernek nincs megoldása? Vagy végtelenül sok van belőlük? Ezen és sok más kérdés megválaszolásához külön figyelembe kell venni a Gauss-módszer megoldásában használt összes elemet.
Egyik sem rejtett jelentése nem a mátrixban. Ez egyszerűen egy kényelmes módja az adatok rögzítésének a vele végzett későbbi műveletekhez. Még az iskolásoknak sem kell félniük tőlük.
A mátrix mindig téglalap alakú, mert kényelmesebb. Még a Gauss-módszerben is, ahol minden egy háromszög alakú mátrix megalkotásán múlik, egy téglalap jelenik meg a bejegyzésben, csak nullákkal azon a helyen, ahol nincsenek számok. Lehet, hogy a nullákat nem írják le, de beleértettek.
A mátrixnak van mérete. A „szélessége” a sorok száma (m), a „hossza” az oszlopok száma (n). Ekkor az A mátrix méretét (a latin nagybetűket szokták jelölni) A m×n-ként jelöljük. Ha m=n, akkor ez a mátrix négyzet, és m=n a sorrendje. Ennek megfelelően az A mátrix bármely eleme jelölhető sor- és oszlopszámaival: a xy ; x - sorszám, változások, y - oszlopszám, változások.
B nem a döntés lényege. Elvileg minden művelet közvetlenül végrehajtható magával az egyenletekkel, de a jelölés sokkal körülményesebb lesz, és sokkal könnyebb lesz összezavarodni benne.
A mátrixnak is van determinánsa. Ez egy nagyon fontos jellemző. Nem kell most kideríteni a jelentését, egyszerűen megmutathatja, hogyan számítják ki, majd megmondja, hogy a mátrix mely tulajdonságait határozza meg. A determináns megtalálásának legegyszerűbb módja az átlók segítségével. A mátrixba képzeletbeli átlókat rajzolnak; az mindegyiken elhelyezkedő elemeket megszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk: jobbra lejtős átlók - pluszjellel, balra lejtéssel - mínusz előjellel.
Rendkívül fontos megjegyezni, hogy a determináns csak négyzetmátrixra számítható. Téglalap alakú mátrix esetén a következőket teheti: válassza ki a legkisebbet a sorok és az oszlopok számából (legyen k), majd véletlenszerűen jelöljön ki a mátrixban k oszlopot és k sort. A kijelölt oszlopok és sorok metszéspontjában lévő elemek új négyzetmátrixot alkotnak. Ha egy ilyen mátrix determinánsa nem nulla szám, akkor az eredeti téglalap alakú mátrix alap-molljának nevezzük.
Mielőtt elkezdené egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldását, nem árt kiszámolni a determinánst. Ha kiderül, hogy nulla, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a mátrixnak vagy végtelen sok megoldása van, vagy nincs is. Ilyen szomorú esetben tovább kell menni, és megtudni a mátrix rangját.
Van olyan, hogy egy mátrix rangja. Ez a nem nulla determináns maximális sorrendje (ha emlékszünk az alap-mollra, akkor azt mondhatjuk, hogy egy mátrix rangja az alap-moll sorrendje).
A ranggal kapcsolatos helyzet alapján az SLAE a következőkre osztható:
A Gauss-módszer azért jó, mert a megoldás során vagy egyértelmû bizonyítást kapunk a rendszer inkonzisztenciájáról (anélkül, hogy nagy mátrixok determinánsait számolnánk), vagy egy végtelen számú megoldású rendszerre általános formájú megoldást kaphatunk.
Mielőtt közvetlenül a rendszer megoldásához kezdene, kevésbé nehézkessé és kényelmesebbé teheti a számításokat. Ezt elemi átalakításokkal érik el – úgy, hogy azok végrehajtása semmilyen módon nem változtatja meg a végső választ. Megjegyzendő, hogy a megadott elemi transzformációk egy része csak olyan mátrixokra érvényes, amelyek forrása az SLAE volt. Íme az átalakítások listája:
A könnyebb érthetőség érdekében érdemes ezt a folyamatot lépésről lépésre lebontani. Két sort vettünk a mátrixból:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Tegyük fel, hogy hozzá kell adni az elsőt a másodikhoz, meg kell szorozni a "-2" együtthatóval.
a" 21 = a 21 + -2 × a 11
a" 22 = a 22 + -2 × a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Ezután a mátrix második sora egy újra cserélődik, és az első változatlan marad.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Megjegyzendő, hogy a szorzási együtthatót úgy is meg lehet választani, hogy két sor összeadása következtében az új sor egyik eleme nullával egyenlő. Következésképpen lehetséges egy egyenlet egy olyan rendszerben, ahol eggyel kevesebb ismeretlen lesz. És ha két ilyen egyenletet kapunk, akkor a műveletet meg lehet ismételni, és egy olyan egyenletet kapunk, amely kettővel kevesebb ismeretlent tartalmaz. És ha minden alkalommal nullára fordítja az összes, az eredeti alatti sor egy együtthatóját, akkor a lépcsőkhöz hasonlóan lemehet a mátrix legaljára, és kaphat egy egyenletet egy ismeretlennel. Ezt a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának nevezzük.
Legyen rendszer. M egyenlete és n ismeretlen gyöke van. A következőképpen írhatod:
A fő mátrixot a rendszer együtthatóiból állítják össze. A kibővített mátrixhoz hozzáadunk egy szabad kifejezéseket tartalmazó oszlopot, és az egyszerűség kedvéért egy sor választja el őket.
Most ugyanazt az átalakítási sorozatot hajtják végre, csak az első és a harmadik sor érintett. Ennek megfelelően az algoritmus minden lépésében az a 21 elemet 31-re cseréljük. Ezután minden megismétlődik egy 41, ... egy m1-re. Az eredmény egy mátrix, ahol a sorok első eleme nulla. Most el kell felejtenie az első sort, és ugyanazt az algoritmust kell végrehajtania, a második sortól kezdve:
Az algoritmust addig kell ismételni, amíg a k = (-a m,m-1 /a mm) együttható meg nem jelenik. Ez azt jelenti, hogy be utoljára az algoritmust csak az alsó egyenletre végeztük el. Most a mátrix úgy néz ki, mint egy háromszög, vagy lépcsős alakú. Az alsó sorban ott van az a mn × x n = b m egyenlőség. Ismert az együttható és a szabad tag, ezeken keresztül fejeződik ki a gyök: x n = b m /a mn. Az eredményül kapott gyöket behelyettesítjük a felső sorba, hogy megtaláljuk x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. És így tovább analógia útján: minden következő sorban van egy új gyökér, és miután elérte a rendszer „tetejét”, sok megoldást találhat. Ez lesz az egyetlen.
Ha az egyik mátrixsorban a szabad tag kivételével minden elem nulla, akkor az ennek a sornak megfelelő egyenlet 0 = b. Nincs megoldása. És mivel egy ilyen egyenlet benne van a rendszerben, akkor az egész rendszer megoldásainak halmaza üres, azaz degenerált.
Előfordulhat, hogy az adott háromszögmátrixban nincsenek olyan sorok, amelyekben az egyenlet egy együttható eleme és egy szabad tagja lenne. Csak olyan sorok vannak, amelyek átírva két vagy több változót tartalmazó egyenletnek tűnnek. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válasz általános megoldás formájában adható meg. Hogyan kell csinálni?
A mátrix összes változója alap és szabad változókra van felosztva. Az alapvetőek azok, amelyek a lépésmátrixban a sorok „szélén” állnak. A többi ingyenes. BAN BEN általános döntés az alapváltozók szabadon keresztül íródnak.
A kényelem kedvéért a mátrixot először visszaírják egy egyenletrendszerbe. Aztán az utolsóban, ahol pontosan csak egy alapváltozó maradt, az egyik oldalon marad, és minden más átkerül a másikra. Ez minden egyenletre egy alapváltozóval történik. Ezután a többi egyenletben, ahol lehetséges, az alapváltozó helyett a rá kapott kifejezést helyettesítjük. Ha az eredmény ismét csak egy alapváltozót tartalmazó kifejezés, akkor onnantól ismét kifejeződik, és így tovább, amíg minden alapváltozót szabad változókkal rendelkező kifejezésként fel nem írunk. Ez a SLAE általános megoldása.
Megtalálhatja a rendszer alapmegoldását is - adjon meg tetszőleges értéket a szabad változóknak, majd erre a konkrét esetre számítsa ki az alapváltozók értékeit. Végtelen számú konkrét megoldás adható.
Itt van egy egyenletrendszer.
A kényelem érdekében jobb, ha azonnal létrehozza a mátrixát
Ismeretes, hogy Gauss-módszerrel megoldva az első sornak megfelelő egyenlet változatlan marad a transzformációk végén. Ezért jövedelmezőbb lesz, ha a mátrix bal felső eleme a legkisebb - akkor a műveletek után a fennmaradó sorok első elemei nullára fordulnak. Ez azt jelenti, hogy az összeállított mátrixban előnyös lesz az első sor helyére a második sort tenni.
második sor: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
harmadik sor: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Most, hogy ne keveredjen össze, fel kell írnia egy mátrixot a transzformációk közbenső eredményeivel.
Nyilvánvaló, hogy egy ilyen mátrix bizonyos műveletek segítségével kényelmesebbé tehető az észleléshez. Például eltávolíthatja az összes „mínuszt” a második sorból, ha minden elemet „-1”-gyel megszoroz.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy a harmadik sorban minden elem három többszöröse. Ezután lerövidítheti a karakterláncot ezzel a számmal, megszorozva minden elemet "-1/3"-mal (mínusz - ugyanakkor a negatív értékek eltávolításához).
Sokkal szebben néz ki. Most egyedül kell hagynunk az első sort, és dolgozni a másodikkal és a harmadikkal. A feladat az, hogy a második sort hozzá kell adni a harmadikhoz, megszorozva olyan együtthatóval, hogy az a 32 elem nullával egyenlő legyen.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ha egyes transzformációk során a válasz nem egész szám, akkor ajánlott a számítások pontosságának megőrzése a kilépéshez „ahogy van”, formában közönséges tört, és csak ezután, a válaszok beérkezése után döntse el, hogy kerekíti-e, és átváltja-e egy másik rögzítési formára)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
A mátrix újra új értékekkel íródik.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Mint látható, a kapott mátrixnak már van lépcsős formája. Ezért a rendszer további, Gauss-módszerrel történő átalakítása nem szükséges. Amit itt megtehet, az az, hogy eltávolítja a "-1/7" általános együtthatót a harmadik sorból.
Most minden gyönyörű. Nincs más hátra, mint a mátrix újraírása egyenletrendszer formájában, és a gyökök kiszámítása
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Azt az algoritmust, amellyel a gyököket most megtaláljuk, a Gauss-módszerben fordított mozgásnak nevezzük. A (3) egyenlet tartalmazza a z értéket:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
És az első egyenlet lehetővé teszi, hogy megtaláljuk x-et:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3
Jogunk van egy ilyen rendszert együttesnek, sőt határozottnak nevezni, vagyis egyedi megoldással. A választ a következő formában írjuk:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának változatát elemeztük, most azt az esetet kell figyelembe venni, ha a rendszer bizonytalan, vagyis végtelen sok megoldás található rá.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Már a rendszer megjelenése is riasztó, mert az ismeretlenek száma n = 5, és a rendszermátrix rangja már pontosan kisebb ennél, mert a sorok száma m = 4, azaz a determinánsnégyzet legnagyobb sorrendje 4. Ez azt jelenti, hogy végtelen sok megoldás létezik, és meg kell keresni az általános megjelenését. A lineáris egyenletek Gauss-módszere lehetővé teszi ezt.
Először, mint általában, egy kiterjesztett mátrixot állítanak össze.
Második sor: együttható k = (-a 21 /a 11) = -3. A harmadik sorban az első elem az átalakítások előtt van, tehát nem kell hozzányúlni semmihez, hanem úgy kell hagyni, ahogy van. Negyedik sor: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ha az első sor elemeit egymás után megszorozzuk az egyes együtthatóikkal, és hozzáadjuk a szükséges sorokhoz, a következő alakú mátrixot kapjuk:
Mint látható, a második, harmadik és negyedik sor egymással arányos elemekből áll. A második és a negyedik általában azonos, így az egyiket azonnal eltávolíthatjuk, a maradékot pedig megszorozzuk a „-1” együtthatóval, és megkapjuk a 3-as sort. És ismét két azonos sorból hagyjunk egyet.
Az eredmény egy ilyen mátrix. Bár a rendszert még nem írták le, itt meg kell határozni az alapvető változókat - az a 11 = 1 és a 22 = 1 együtthatónál állókat, illetve a szabadokat - a többit.
A második egyenletben csak egy alapváltozó van - x 2. Ez azt jelenti, hogy onnantól az x 3 , x 4 , x 5 változókon keresztül írva kifejezhető, amelyek szabadok.
A kapott kifejezést behelyettesítjük az első egyenletbe.
Az eredmény egy egyenlet, amelyben az egyetlen alapváltozó x 1. Tegyük meg vele ugyanazt, mint az x 2-vel.
Minden alapváltozó, amelyből kettő van, három szabad változóval van kifejezve, most már általános formában is felírhatjuk a választ.
Megadhatja a rendszer egy adott megoldását is. Ilyen esetekben általában nullákat választanak a szabad változók értékeként. Akkor ez lesz a válasz:
16, 23, 0, 0, 0.
Az inkompatibilis egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása a leggyorsabb. Azonnal véget ér, amint az egyik szakaszban olyan egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása. Vagyis a gyökerek kiszámításának szakasza, amely meglehetősen hosszú és fárasztó, megszűnik. A következő rendszert veszik figyelembe:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Szokás szerint a mátrix összeállítása:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
És lépésenkénti formára redukálódik:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Az első átalakítás után a harmadik sor tartalmazza a forma egyenlete
megoldás nélkül. Következésképpen a rendszer inkonzisztens, és a válasz az üres halmaz lesz.
Ha kiválasztja, hogy melyik módszert oldja meg az SLAE-k papíron egy tollal, akkor az ebben a cikkben tárgyalt módszer tűnik a legvonzóbbnak. Sokkal nehezebb összezavarodni az elemi transzformációkban, mintha kézzel kellene keresni egy determinánst vagy valamilyen trükkös inverz mátrixot. Ha azonban programokat használ az ilyen típusú adatokkal való munkavégzéshez, például táblázatokat, akkor kiderül, hogy az ilyen programok már tartalmaznak algoritmusokat a mátrixok fő paramétereinek - determináns, minor, inverz és így tovább - kiszámításához. És ha biztos abban, hogy a gép ezeket az értékeket maga számítja ki, és nem hibázik, akkor célszerűbb a mátrix módszert vagy a Cramer-képleteket használni, mert ezek alkalmazása a determinánsok kiszámításával kezdődik és végződik. inverz mátrixok.
Mivel a Gauss-féle megoldás egy algoritmus, a mátrix pedig valójában egy kétdimenziós tömb, programozásban használható. De mivel a cikk „a bábuknak” szóló útmutatónak tekinti magát, el kell mondanunk, hogy a módszert legegyszerűbben táblázatokba, például Excelbe lehet helyezni. Az Excel ismét kétdimenziós tömbnek tekinti a táblázatba mátrix formájában beírt SLAE-ket. A velük végzett műveletekhez pedig sok szép parancs létezik: összeadás (csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá!), szorzás számmal, mátrixok szorzása (bizonyos megkötésekkel is), az inverz és transzponált mátrixok megtalálása és ami a legfontosabb , a determináns kiszámítása. Ha ezt az időigényes feladatot egyetlen paranccsal helyettesítjük, sokkal gyorsabban meg lehet határozni a mátrix rangját, és így megállapítható a kompatibilitása vagy inkompatibilitása.
Legyen egy lineáris rendszer algebrai egyenletek, amelyet meg kell oldani (keresse meg az xi ismeretlenek olyan értékeit, amelyek a rendszer minden egyenletét egyenlőséggé alakítják).
Tudjuk, hogy egy lineáris algebrai egyenletrendszer képes:
1) Nincsenek megoldásai (legyen nem ízületi).
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Legyen egyetlen megoldása.
Emlékszünk rá, hogy a Cramer-szabály és a mátrix módszer nem alkalmas olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. Gauss módszer – a leghatékonyabb és legsokoldalúbb eszköz bármilyen lineáris egyenletrendszer megoldására, melyik minden esetben elvezet minket a válaszhoz! Maga a módszeralgoritmus mindhárom esetben ugyanúgy működik. Ha a Cramer és a mátrix módszerek determinánsok ismeretét igénylik, akkor a Gauss-módszer alkalmazásához csak az aritmetikai műveletek ismeretére van szükség, így az általános iskolások számára is elérhető.
Kiterjesztett mátrix transzformációk ( ez a rendszer mátrixa - egy mátrix, amely csak az ismeretlenek együtthatóiból, plusz egy szabad kifejezések oszlopából áll) Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Gauss-módszerben:
1) Val vel troki mátrixok Tud átrendezni néhány helyen.
2) ha arányosak jelentek meg (vagy léteznek) a mátrixban (mint különleges eset– azonos) sorok, akkor következik töröl Ezek a sorok egy kivételével a mátrixból származnak.
3) ha a transzformációk során egy nulla sor jelenik meg a mátrixban, akkor annak is lennie kell töröl.
4) a mátrix egy sora lehet szorozni (osztani) nullától eltérő számra.
5) a mátrix egy sorához adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő.
A Gauss-módszerben az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását.
A Gauss-módszer két szakaszból áll:
Ehhez hajtsa végre a következő lépéseket:
1) Tekintsük egy lineáris algebrai egyenletrendszer első egyenletét, és x 1 együtthatója egyenlő K-val. A második, harmadik stb. az egyenleteket a következőképpen alakítjuk át: minden egyenletet (az ismeretlenek együtthatói, beleértve a szabad tagokat is) elosztjuk az egyenletekben szereplő ismeretlen x 1 együtthatójával, és megszorozzuk K-val. Ezt követően kivonjuk az elsőt a második egyenletből ( ismeretlenek és szabad kifejezések együtthatói). A második egyenletben szereplő x 1-re a 0 együtthatót kapjuk. A harmadik transzformált egyenletből kivonjuk az első egyenletet, amíg az első kivételével minden egyenlet ismeretlen x 1 együtthatója 0 lesz.
2) Térjünk át a következő egyenletre. Legyen ez a második egyenlet és az x 2 együtthatója egyenlő M-mel. Az összes „alsó” egyenletet a fent leírtak szerint járjuk el. Így az ismeretlen x 2 „alatt” minden egyenletben nullák lesznek.
3) Lépjen tovább a következő egyenletre, és így tovább, amíg egy utolsó ismeretlen és a transzformált szabad tag marad.
Példa.
Oldjuk meg a lineáris egyenletrendszert Gauss-módszerrel, ahogy egyes szerzők tanácsolják:
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:
Nézzük a bal felső „lépést”. Nekünk kellene egy ott. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincsenek egységek, így a sorok átrendezése nem old meg semmit. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Csináljuk:
1 lépés
. Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort –1-gyel megszorozva. Vagyis a második sort gondolatban megszoroztuk –1-gyel, és összeadtuk az első és a második sort, míg a második sor nem változott.
Most a bal felső sarokban van a „mínusz egy”, ami nagyon jól áll nekünk. Bárki, aki +1-et szeretne kapni, végrehajthat egy további műveletet: az első sort szorozza meg –1-gyel (változtassa előjelét).
2. lépés . Az első sort 5-tel szorozva a második sorhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz adtuk.
3. lépés . Az első sort –1-gyel szorozták, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jelzése is megváltozott, és a második helyre került, így a második „lépcsőn” megvolt a szükséges egység.
4. lépés . A harmadik sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva 2-vel.
5. lépés . A harmadik sort 3-mal osztották.
A számítási hibára utaló jel (ritkábban elírás) „rossz” eredmény. Vagyis ha valami olyasmit kapunk, hogy (0 0 11 |23) alább, és ennek megfelelően 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy elemi hiba történt. átalakulások.
Tegyük meg fordítva: a példák tervezésénél magát a rendszert gyakran nem írják át, hanem az egyenleteket „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. Emlékeztetlek, a fordított lépés alulról felfelé működik. BAN BEN ebben a példában ajándéknak bizonyult:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, tehát x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Válasz:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Oldjuk meg ugyanezt a rendszert a javasolt algoritmussal. Kapunk
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
A második egyenletet elosztjuk 5-tel, a harmadikat 3-mal.
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
A második és a harmadik egyenletet 4-gyel megszorozva kapjuk:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Vonjuk ki az első egyenletet a második és a harmadik egyenletből, így kapjuk:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Osszuk el a harmadik egyenletet 0,64-gyel:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Szorozzuk meg a harmadik egyenletet 0,4-gyel
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Kivonva a másodikat a harmadik egyenletből, egy „lépcsős” kiterjesztett mátrixot kapunk:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Így a számítások során felhalmozott hiba miatt x 3 = 0,96 vagy megközelítőleg 1 kapunk.
x 2 = 3 és x 1 = –1.
Így megoldva soha nem fog összezavarodni a számításokban és a számítási hibák ellenére megkapja az eredményt.
A lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásának ez a módszere könnyen programozható, és nem veszi figyelembe sajátos jellemzők együtthatók ismeretlenekre, mert a gyakorlatban (közgazdasági és műszaki számításoknál) nem egész együtthatókkal kell számolni.
Sok sikert! Találkozunk az osztályban! Oktató Dmitrij Ajsztrakhanov.
weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Ma a Gauss-módszerrel foglalkozunk lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására. Hogy melyek ezek a rendszerek, arról az előző cikkben olvashat, amely ugyanazon SLAE-k Cramer-módszerrel történő megoldásával foglalkozott. A Gauss-módszer nem igényel speciális ismereteket, csak figyelmesség és következetesség. Annak ellenére, hogy matematikai szempontból az iskolai képzés elegendő az alkalmazásához, a tanulók gyakran nehezen tudják elsajátítani ezt a módszert. Ebben a cikkben megpróbáljuk ezeket semmivé redukálni!
M Gauss-módszer– a leguniverzálisabb módszer az SLAE-k megoldására (a nagyon nagy rendszerek kivételével). A korábban tárgyaltakkal ellentétben nemcsak olyan rendszerekre alkalmas, amelyeknek egyetlen megoldása van, hanem olyan rendszerekre is, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Itt három lehetőség van.
Tehát van egy rendszerünk (legyen egy megoldása), és a Gauss-módszerrel fogjuk megoldani. Hogyan működik?
A Gauss-módszer két szakaszból áll - előre és inverz.
Először is írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát. Ehhez adjunk hozzá egy oszlopot a szabad tagokból a fő mátrixhoz.
A Gauss-módszer lényege, hogy ezt a mátrixot elemi transzformációkkal lépcsőzetes (vagy ahogy szokták mondani, háromszög alakú) formába hozni. Ebben a formában a mátrix főátlója alatt (vagy felett) csak nullák lehetnek.
Amit megtehetsz:
Miután így átalakítottuk a rendszert, egy ismeretlen Xn ismertté válik, és megteheti fordított sorrendben keresse meg az összes fennmaradó ismeretlent úgy, hogy a már ismert x-eket behelyettesíti a rendszer egyenleteibe, egészen az elsőig.
Ha az internet mindig kéznél van, egy egyenletrendszert is megoldhat a Gauss-módszerrel online. Csak be kell írnia az együtthatókat az online számológépbe. De be kell vallani, sokkal kellemesebb ráébredni, hogy a példa nem oldódott meg számítógépes program, de a saját agyaddal.
És most - egy példa, hogy minden világos és érthető legyen. Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert, és ezt a Gauss-módszerrel kell megoldani:
Először írjuk fel a kiterjesztett mátrixot:
Most végezzük el az átalakításokat. Emlékezzünk arra, hogy el kell érnünk a mátrix háromszög alakú megjelenését. Az 1. sort szorozzuk meg (3-mal). Szorozd meg a 2. sort (-1)-gyel. Adja hozzá a 2. sort az 1. sorhoz, és kapja meg:
Ezután szorozza meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:
Az 1. sort szorozzuk meg (6-tal). Szorozzuk meg a 2. sort (13-mal). Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:
Voila - a rendszer a megfelelő formába kerül. Marad az ismeretlenek megtalálása:
A példában szereplő rendszer egyedi megoldást kínál. Egy külön cikkben foglalkozunk a végtelen számú megoldással rendelkező rendszerek megoldásával. Talán eleinte nem fogja tudni, hol kezdje el a mátrix átalakítását, de megfelelő gyakorlás után rájön, és a Gauss-módszerrel feltöri az SLAE-ket, mint a diót. És ha hirtelen olyan SLA-ra bukkan, amely túl kemény diónak bizonyul, forduljon szerzőinkhoz! megteheti, ha a Levelezési Irodában hagy egy kérést. Együtt minden problémát megoldunk!
Továbbra is figyelembe vesszük a lineáris egyenletrendszereket. Ez a lecke a harmadik a témában. Ha van homályos elképzelése arról, hogy mi a lineáris egyenletrendszer általában, ha úgy érzi, mint egy teáskanna, akkor azt javaslom, hogy kezdje az alapokkal a Következő oldalon, hasznos tanulmányozni a leckét.
A Gauss-módszer egyszerű! Miért? A híres német matematikus, Johann Carl Friedrich Gauss még életében kapott elismerést legnagyobb matematikus minden idők zsenije, sőt „a matematika királyának” beceneve is. És minden zseniális, mint tudod, egyszerű! Egyébként nem csak a balekok kapnak pénzt, hanem a zsenik is - Gauss portréja a 10 német márkás bankjegyen volt (az euró bevezetése előtt), Gauss pedig még mindig titokzatosan mosolyog a németekre a közönséges postai bélyegekről.
A Gauss-módszer annyiban egyszerű, hogy elsajátításához ELÉG EGY ÖTÖDÉLYES TANULÓ TUDÁSA. Tudnia kell összeadni és szorozni! Nem véletlen, hogy a tanárok gyakran fontolgatják az ismeretlenek szekvenciális kizárásának módszerét az iskolai matematika választható tantárgyaiban. Paradoxon, de a hallgatók a Gauss-módszert tartják a legnehezebbnek. Semmi meglepő - minden a módszertanról szól, és megpróbálok hozzáférhető formában beszélni a módszer algoritmusáról.
Először is rendszerezzünk egy kis ismeretet a lineáris egyenletrendszerekről. Egy lineáris egyenletrendszer:
1) Legyen egyedi megoldása. 2) Végtelen sok megoldásod legyen. 3) Nincsenek megoldásai (legyen nem ízületi).
A Gauss-módszer a legerősebb és leguniverzálisabb eszköz a megoldás megtalálására Bármi lineáris egyenletrendszerek. Ahogy emlékszünk, Cramer-szabály és mátrix módszer nem alkalmasak olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. És az ismeretlenek szekvenciális megszüntetésének módszere Akárhogyan is elvezet minket a válaszhoz! Ebben a leckében ismét megvizsgáljuk a Gauss-módszert az 1. esetre (az egyetlen megoldás a rendszerre), egy cikket szentelünk a 2-3. pontok helyzeteinek. Megjegyzem, maga a módszer algoritmusa mindhárom esetben ugyanúgy működik.
Térjünk vissza a legegyszerűbb rendszer osztályból Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?és a Gauss-módszerrel oldja meg.
Az első lépés az írás kiterjesztett rendszermátrix: . Szerintem mindenki látja, hogy milyen elv alapján írják az együtthatókat. A mátrixon belüli függőleges vonalnak nincs matematikai jelentése – ez egyszerűen áthúzás a könnyebb tervezés érdekében.
Referencia : Azt javaslom, emlékezzen feltételeket lineáris algebra. Rendszermátrix egy mátrix, amely csak ismeretlenek együtthatóiból áll, ebben a példában a rendszer mátrixa: . Kiterjesztett rendszermátrix – ez a rendszer ugyanazon mátrixa plusz egy szabad kifejezések oszlopa, ebben az esetben: . A rövidség kedvéért bármelyik mátrixot egyszerűen mátrixnak nevezhetjük.
A kiterjesztett rendszermátrix megírása után el kell végezni vele néhány műveletet, amelyeket szintén hívnak elemi átalakulások.
A következő elemi transzformációk léteznek:
1) Húrok mátrixok Tud átrendezni néhány helyen. Például a vizsgált mátrixban fájdalommentesen átrendezheti az első és a második sort: 
2) Ha a mátrixban vannak (vagy jelentek meg) arányos (különleges esetben - azonos) sorok, akkor töröl Ezek a sorok egy kivételével a mátrixból származnak. Vegyük például a mátrixot 
. Ebben a mátrixban az utolsó három sor arányos, így elég csak egyet hagyni belőlük: 
.
3) Ha a transzformációk során egy nulla sor jelenik meg a mátrixban, akkor annak is lennie kell töröl. Természetesen nem húzom, a nulla vonal az a vonal, amelyben csupa nulla.
4) A mátrix sor lehet szorozni (osztani) tetszőleges számra nem nulla. Vegyük például a mátrixot. Itt célszerű az első sort –3-mal elosztani, a második sort pedig 2-vel megszorozni: 
. Ez a művelet nagyon hasznos, mert leegyszerűsíti a mátrix további átalakításait.
5) Ez az átalakítás okozza a legtöbb nehézséget, de valójában nincs is semmi bonyolult. Egy mátrix sorához lehet adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő. Tekintsük a mátrixunkat gyakorlati példa: . Először részletesen leírom az átalakulást. Szorozzuk meg az első sort -2-vel: 
, És a második sorhoz hozzáadjuk az első sort –2-vel szorozva: 
. Most az első sor „vissza” osztható –2-vel: . Mint látható, a sor, amely HOZZÁADVA LI – nem változott. Mindig megváltozik az a sor, HOGY HOZZÁADVA UT.
A gyakorlatban persze nem írják le ilyen részletesen, hanem röviden: 
Még egyszer: a második sorra hozzáadta az első sort –2-vel szorozva. Egy sort rendszerint szóban vagy piszkozaton szoroznak meg, a mentális számítási folyamat a következőképpen zajlik:
"Átírom a mátrixot és átírom az első sort: 
»
„Első oszlop. Az alján nullát kell kapnom. Ezért a felül lévőt megszorzom –2-vel: , és az elsőt a második sorba adom: 2 + (–2) = 0. Az eredményt a második sorba írom: 
»
„Most a második oszlop. Felül a -1-et megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: 1 + 2 = 3. Az eredményt a második sorba írom: 
»
– És a harmadik oszlop. Felül a -5-öt megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: –7 + 10 = 3. Az eredményt a második sorba írom: 
»
Kérjük, figyelmesen értelmezze ezt a példát, és értse meg a szekvenciális számítási algoritmust, ha ezt megérti, akkor a Gauss-módszer gyakorlatilag a zsebében van. De természetesen még dolgozunk ezen az átalakításon.
Az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását
! FIGYELEM: megfontolt manipulációk nem használható, ha olyan feladatot ajánlanak fel Önnek, amelyben a mátrixok „maguktól” vannak megadva. Például a „klasszikus” kifejezéssel műveletek mátrixokkal Semmilyen körülmények között ne rendezzen át semmit a mátrixokon belül! Térjünk vissza a rendszerünkhöz. Gyakorlatilag darabokra szedik.
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal redukáljuk le lépcsős nézet:
(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. És még egyszer: miért szorozzuk meg az első sort –2-vel? Annak érdekében, hogy nulla legyen az alján, ami azt jelenti, hogy megszabadulunk egy változótól a második sorban.
(2) Osszuk el a második sort 3-mal.
Az elemi transzformációk célja
–
csökkentse a mátrixot lépésenkénti formára: 
. A feladat megtervezésekor csak egy egyszerű ceruzával jelölik ki a „lépcsőket”, és karikázzák be a „lépcsőkön” található számokat is. Maga a „lépcsős nézet” kifejezés nem teljesen elméleti, a tudományos és oktatási irodalomban gyakran nevezik trapéz alakú nézet vagy háromszög nézet.
Az elemi átalakítások eredményeként azt kaptuk egyenértékű eredeti egyenletrendszer:
Most a rendszert az ellenkező irányba kell „letekerni” - alulról felfelé ezt a folyamatot hívják a Gauss-módszer inverze.
Az alsó egyenletben már van egy kész eredményünk: .
Tekintsük a rendszer első egyenletét, és cseréljük be a már ismert „y” értékét:
Tekintsük a leggyakoribb helyzetet, amikor a Gauss-módszer három, három ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszer megoldását igényli.
1. példa
Oldja meg az egyenletrendszert Gauss módszerrel: 
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát: 
Most azonnal lerajzolom az eredményt, amelyre a megoldás során eljutunk: 
És ismétlem, az a célunk, hogy a mátrixot elemi transzformációk segítségével lépésenkénti formába hozzuk. Hol kezdjem?
Először nézze meg a bal felső számot: 
Szinte mindig itt kell lennie Mértékegység. Általánosságban elmondható, hogy a –1 (és néha más számok is) megteszik, de valahogy hagyományosan megtörtént, hogy egyet általában oda helyeznek. Hogyan szervezzünk egy egységet? Megnézzük az első oszlopot - kész egységünk van! Első átalakítás: cserélje fel az első és a harmadik sort: 
Most az első sor változatlan marad a megoldás végéig. Most jól.
A bal felső sarokban lévő egység rendezett. Most nullákat kell kapnia ezeken a helyeken: 
Egy „nehéz” transzformáció segítségével nullákat kapunk. Először a második sorral (2, –1, 3, 13) foglalkozunk. Mit kell tenni, hogy nulla legyen az első pozícióban? Kell a második sorhoz adjuk hozzá az első sort –2-vel szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –2-vel: (–2, –4, 2, –18). És következetesen végrehajtjuk (ismét mentálisan vagy vázlatosan) kiegészítést, a második sorhoz hozzáadjuk az első sort, már –2-vel megszorozva:
Az eredményt a második sorba írjuk: 
Ugyanígy foglalkozunk a harmadik sorral is (3, 2, –5, –1). Ahhoz, hogy az első pozícióban nullát kapjon, szüksége van a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –3-mal: (–3, –6, 3, –27). ÉS a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort –3-mal szorozva:
Az eredményt a harmadik sorba írjuk:
A gyakorlatban ezeket a műveleteket általában szóban hajtják végre, és egy lépésben írják le: 
Nem kell mindent egyszerre és egyszerre számolni. A számítások sorrendje és az eredmények „beírása”. következetesés általában ez így van: először átírjuk az első sort, és lassan pöffeszkedünk magunkra - KÖVETKEZTETESEN és FIGYELMESEN:
Magának a számításnak a mentális folyamatát pedig már fentebb tárgyaltam.
Ebben a példában ez könnyen megtehető: a második sort elosztjuk –5-tel (mivel minden szám osztható 5-tel, maradék nélkül). Ugyanakkor a harmadik sort elosztjuk –2-vel, mert minél kisebbek a számok, annál egyszerűbb a megoldás:
Az elemi átalakítások végső szakaszában itt egy másik nullát kell kapnia: 
Ezért a harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sort –2-vel szorozva:
Próbáld meg kitalálni ezt a műveletet – gondolatban szorozd meg a második sort –2-vel, és hajtsd végre az összeadást.
Az utolsó végrehajtott művelet az eredmény frizurája, a harmadik sort el kell osztani 3-mal.
Az elemi transzformációk eredményeként egy ekvivalens lineáris egyenletrendszert kaptunk: 
Menő.
Most a Gauss-módszer fordítottja lép életbe. Az egyenletek alulról felfelé „letekernek”.
A harmadik egyenletben már van egy kész eredmény:
Nézzük a második egyenletet: . A "zet" jelentése már ismert, így:
És végül az első egyenlet: . Az „Igrek” és a „zet” ismert, csak apróságokról van szó:
Válasz: 
Amint már többször megjegyeztük, bármely egyenletrendszernél lehetséges és szükséges a megtalált megoldás ellenőrzése, szerencsére ez egyszerűen és gyorsan történik.
2. példa
Ez egy példa egy független megoldásra, egy minta a végleges tervből és egy válasz a lecke végén.
Meg kell jegyezni, hogy az Ön a döntés előrehaladását lehet, hogy nem esik egybe a döntési folyamatommal, és ez a Gauss-módszer sajátossága. De a válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük!
3. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel! 
Nézzük a bal felső „lépést”. Nekünk kellene egy ott. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincsenek egységek, így a sorok átrendezése nem old meg semmit. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Ezt csináltam: (1) Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort –1-gyel megszorozva. Vagyis a második sort gondolatban megszoroztuk –1-gyel, és összeadtuk az első és a második sort, míg a második sor nem változott.
Most a bal felső sarokban van a „mínusz egy”, ami nagyon jól áll nekünk. Aki szeretne +1-et kapni, további mozgást végezhet: az első sort szorozza meg –1-gyel (változtassa előjelét).
(2) Az első sort 5-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz.
(3) Az első sort –1-gyel szoroztuk, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jelzése is megváltozott, és a második helyre került, így a második „lépcsőn” megvolt a szükséges egység.
(4) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 2-vel.
(5) A harmadik sort elosztottuk 3-mal.
A számítási hibára (ritkábban elgépelésre) utaló rossz jel a „rossz” lényeg. Vagyis ha valami olyasmit kapunk, mint , lent, és ennek megfelelően 
, akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy az elemi átalakítások során hiba történt.
Mi fordítva terheljük, a példák tervezésénél sokszor nem magát a rendszert írják át, hanem az egyenleteket „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. A fordított löket, emlékeztetem önöket, alulról felfelé működik. Igen, itt az ajándék:
Válasz: 
.
4. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel! 
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania, ez valamivel bonyolultabb. Nem baj, ha valaki összezavarodik. Teljes megoldás és mintaterv az óra végén. Az Ön megoldása eltérhet az én megoldásomtól.
Az utolsó részben a Gauss-algoritmus néhány jellemzőjét tekintjük át. Az első jellemző, hogy néha néhány változó hiányzik a rendszeregyenletekből, például: 
Hogyan kell helyesen írni a kiterjesztett rendszermátrixot? Erről már beszéltem az órán. Cramer szabálya. Mátrix módszer. A rendszer kiterjesztett mátrixában a hiányzó változók helyére nullákat teszünk: 
Mellesleg ez szép könnyű példa, mivel az első oszlopban már van egy nulla, és kevesebb elemi konverziót kell végrehajtani.
A második jellemző ez. Az összes vizsgált példában a „lépésekre” vagy –1-et vagy +1-et tettünk. Lehetnek ott más számok is? Bizonyos esetekben megtehetik. Fontolja meg a rendszert: 
.
Itt a bal felső „lépésben” van egy kettőnk. De észrevesszük azt a tényt, hogy az első oszlopban lévő összes szám maradék nélkül osztható 2-vel - a másik pedig kettő és hat. És a bal felső sarokban lévő kettő megfelel nekünk! Első lépésben a következő átalakításokat kell végrehajtania: a második sorhoz adja hozzá az első sort –1-gyel szorozva; a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Így az első oszlopban megkapjuk a szükséges nullákat.
Vagy egy másik hagyományos példa: 
. Itt a második „lépésben” a három is megfelel nekünk, hiszen a 12 (az a hely, ahol nullát kell kapnunk) maradék nélkül osztható 3-mal. A következő átalakítást kell végrehajtani: a harmadik sorhoz adjuk hozzá a második sort –4-gyel megszorozva, aminek eredményeként megkapjuk a szükséges nullát.
Gauss módszere univerzális, de van egy sajátossága. Magabiztosan tanulj meg rendszereket más módszerekkel megoldani (Cramer módszer, mátrix módszer) akkor szó szerint az első alkalommal - van egy nagyon szigorú algoritmus. De ahhoz, hogy magabiztosan érezze magát a Gauss-módszerben, „be kell fognia”, és legalább 5-10 tíz rendszert kell megoldania. Ezért eleinte zűrzavar és számítási hibák adódhatnak, és ebben nincs semmi szokatlan vagy tragikus.
Az ablakon kívül esős őszi idő.... Ezért mindenkinek, aki összetettebb példát szeretne önállóan megoldani:
5. példa
Oldjon meg egy 4 lineáris egyenletrendszert négy ismeretlennel Gauss módszerrel! 
Egy ilyen feladat nem olyan ritka a gyakorlatban. Azt hiszem, még egy teáskanna is, aki alaposan áttanulmányozta ezt az oldalt, meg fogja érteni egy ilyen rendszer intuitív megoldásának algoritmusát. Alapvetően minden ugyanaz – csak több művelet van.
A leckében azokat az eseteket tárgyaljuk, amikor a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens), vagy végtelen sok megoldása van. Inkompatibilis rendszerek és rendszerek közös megoldással. Itt rögzítheti a Gauss-módszer figyelembe vett algoritmusát.
Sok sikert!
Megoldások és válaszok:
2. példa:
Megoldás
:
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába.
Elvégzett elemi átalakítások:
(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel.
Figyelem!
Itt kísértést érezhet, hogy kivonja az elsőt a harmadik sorból; erősen ajánlom, hogy ne vonja ki - a hiba kockázata jelentősen megnő. Csak hajtsd össze!
(2) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A második és a harmadik sor felcserélődött.
jegyzet
, hogy a „lépcsőkön” nem csak eggyel elégszünk meg, hanem –1-gyel is, ami még kényelmesebb.
(3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 5-tel.
(4) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A harmadik sort 14-gyel osztották.
Fordított:
Válasz
:
.
4. példa:
Megoldás
:
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:
Végrehajtott konverziók: (1) Az első sorhoz egy második sor került. Így a kívánt egység a bal felső „lépésben” van elrendezve. (2) Az első sort 7-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 6-tal szorozva a harmadikhoz.
A második „lépéssel” minden rosszabb lesz , a „jelöltek” a 17-es és a 23-as számok, és vagy egy vagy –1 kell. A (3) és (4) átalakítások célja a kívánt egység elérése (3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel. (4) A harmadik sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –3-mal. A második lépéshez szükséges tétel megérkezett. . (5) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 6-tal. (6) A második sort –1-gyel, a harmadikat –83-mal szoroztuk.
Fordított:
Válasz :
5. példa:
Megoldás
:
Írjuk fel a rendszer mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:
Végrehajtott konverziók: (1) Az első és a második sor felcserélődött. (2) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a negyedikhez, megszorozva –3-mal. (3) A második sort hozzáadtuk a harmadik sorhoz, szorozva 4-gyel. A második sort hozzáadtuk a negyedik sorhoz, megszorozva –1-gyel. (4) A második sor jele megváltozott. A negyedik sort 3-mal osztották, és a harmadik sor helyére helyezték. (5) A harmadik sort hozzáadtuk a negyedikhez, megszorozva –5-tel.
Fordított:
Válasz :
A lineáris algebrai rendszerek megoldásának egyik univerzális és hatékony módszere az Gauss-módszer , amely az ismeretlenek szekvenciális megszüntetéséből áll.
Emlékezzünk vissza, hogy a két rendszer ún egyenértékű (egyenértékű), ha megoldásaik halmazai egybeesnek. Más szóval, a rendszerek ekvivalensek, ha az egyik megoldása a másik megoldása, és fordítva. Egyenértékű rendszereket kapunk, ha elemi átalakulások a rendszer egyenletei:
az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk egy nullától eltérő számmal;
egy egyenlethez hozzáadjuk egy másik egyenlet megfelelő részeit, megszorozva egy nullától eltérő számmal;
két egyenlet átrendezése.
Adjunk meg egy egyenletrendszert
Ennek a rendszernek a Gauss-módszerrel történő megoldásának folyamata két szakaszból áll. Az első szakaszban (közvetlen mozgás) a rendszer elemi transzformációkkal redukálódik lépésenként , vagy háromszög alakú formában, a második szakaszban (fordítva) pedig az utolsó változószámtól kezdődően szekvenciális az ismeretlenek meghatározása a kapott lépésrendszerből.
Tegyük fel, hogy ennek a rendszernek az együtthatója 
, egyébként a rendszerben az első sor bármely másik sorral felcserélhető úgy, hogy az együttható at 
különbözött a nullától.
Alakítsuk át a rendszert az ismeretlen kiiktatásával 
az első kivételével minden egyenletben. Ehhez meg kell szorozni az első egyenlet mindkét oldalát 
és tagonként adja hozzá a rendszer második egyenletét. Ezután szorozza meg az első egyenlet mindkét oldalát ezzel 
és add hozzá a rendszer harmadik egyenletéhez. Ezt a folyamatot folytatva megkapjuk az ekvivalens rendszert
Itt 
– az első lépés után kapott együtthatók és szabad kifejezések új értékei.
Hasonlóképpen, figyelembe véve a fő elemet 
, kizárja az ismeretlent 
a rendszer összes egyenletéből, kivéve az elsőt és a másodikat. Folytassuk ezt a folyamatot, ameddig csak lehet, és ennek eredményeként lépcsőzetes rendszert kapunk
,
Ahol 
,
,…,
– a rendszer fő elemei 
.
Ha a rendszer lépcsőzetes formára való redukálása során egyenletek, azaz a forma egyenlőségei jelennek meg 
, elvetik őket, mivel bármilyen számhalmaz kielégíti őket 
. Én Kövér 
Ha olyan alakú egyenlet jelenik meg, amelynek nincs megoldása, az a rendszer összeférhetetlenségét jelzi.
A fordított löket során az első ismeretlent a transzformált lépésrendszer utolsó egyenletéből fejezzük ki 
az összes többi ismeretlenen keresztül 
amelyeket úgy hívnak ingyenes
.
Ezután a változó kifejezés 
a rendszer utolsó egyenletéből behelyettesítjük az utolsó előtti egyenletbe és abból fejezzük ki a változót 
. A változók egymás utáni meghatározása hasonló módon történik 
. Változók 
, amelyeket szabad változókkal fejezünk ki, hívjuk alapvető
(függő). Az eredmény a lineáris egyenletrendszer általános megoldása.
Megtalálni privát megoldás
rendszerek, ingyenes ismeretlen 
az általános megoldásban tetszőleges értékeket rendelünk hozzá, és kiszámítjuk a változók értékeit 
.
Technikailag kényelmesebb, ha nem magukat a rendszeregyenleteket, hanem a rendszer kiterjesztett mátrixát vetjük alá elemi transzformációknak.
.
A Gauss-módszer egy univerzális módszer, amely lehetővé teszi nemcsak négyzet, hanem téglalap alakú rendszerek megoldását is, amelyekben az ismeretlenek száma 
nem egyenlő az egyenletek számával 
.
A módszer előnye az is, hogy a megoldás során egyidejűleg vizsgáljuk a rendszer kompatibilitását, mivel a kiterjesztett mátrix megadásával 
lépésenkénti formázáshoz, könnyű meghatározni a mátrix rangjait 
és kiterjesztett mátrix 
és jelentkezz Kronecker-Capelli tétel
.
2.1. példa Oldja meg a rendszert Gauss módszerrel!
Megoldás. Egyenletek száma 
és az ismeretlenek száma 
.
Hozzuk létre a rendszer kiterjesztett mátrixát úgy, hogy a mátrixtól jobbra együtthatókat rendelünk hozzá 
ingyenes tagok rovata 
.
Mutassuk be a mátrixot 
háromszög alakú nézethez; Ehhez elemi transzformációkkal a főátlón elhelyezkedő elemek alatt „0”-t kapunk.
Ahhoz, hogy az első oszlop második pozíciójában a „0” legyen, szorozza meg az első sort (-1)-gyel, és adja hozzá a második sorhoz.
Ezt a transzformációt számként (-1) írjuk az első sor elé, és az első sorból a második sorba mutató nyíllal jelöljük.
Ha „0”-t szeretne kapni az első oszlop harmadik pozíciójában, szorozza meg az első sort (-3)-mal, és adja hozzá a harmadik sorhoz; Mutassuk meg ezt a műveletet egy nyíllal az első sorból a harmadikba.
.
Az eredményül kapott mátrixban, amely a mátrixok láncában másodikként van írva, a harmadik helyen lévő második oszlopban „0”-t kapunk. Ehhez a második sort megszoroztuk (-4)-gyel, és hozzáadtuk a harmadikhoz. A kapott mátrixban szorozd meg a második sort (-1), a harmadikat pedig oszd el (-8)-al. Ennek a mátrixnak az átlós elemek alatt fekvő összes eleme nulla.
Mert , a rendszer együttműködő és definiált.
Az utolsó mátrixnak megfelelő egyenletrendszer háromszög alakú:
Az utolsó (harmadik) egyenletből 
. Helyettesítsd be a második egyenletbe, és kapd meg 
.
Cseréljük 
És 
az első egyenletbe, azt találjuk 
.
