Az első részben megvizsgáltuk néhány elméleti anyagot, a helyettesítési módszert, valamint a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásának módszerét. Mindenkinek, aki ezen az oldalon keresztül jutott el az oldalra, javaslom, hogy olvassa el az első részt. Lehet, hogy egyes látogatók túl egyszerűnek találják az anyagot, de a lineáris egyenletrendszerek megoldása során számos nagyon fontos észrevételt és következtetést tettem a matematikai problémák általános megoldására vonatkozóan.
És most elemezzük a Cramer-szabályt, valamint egy lineáris egyenletrendszer megoldását a inverz mátrix(mátrix módszer). Az összes anyagot egyszerűen, részletesen és áttekinthetően mutatjuk be, szinte minden olvasó képes lesz megtanulni a rendszerek megoldását a fenti módszerekkel.
Először megvizsgáljuk Cramer szabályát egy két ismeretlenben lévő két lineáris egyenletrendszerre. Minek? - Végül a legegyszerűbb rendszer iskolamódszerrel, tanévkiegészítéssel oldható meg!
A helyzet az, hogy még ha néha, de van egy ilyen feladat - megoldani egy két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel Cramer képletei segítségével. Másodszor, egy egyszerűbb példa segít megérteni, hogyan használhatja többre a Cramer-szabályt nehéz eset– három egyenletrendszer három ismeretlennel.
Ezen kívül léteznek két változós lineáris egyenletrendszerek, melyeket célszerű pontosan a Cramer-szabály szerint megoldani!
Tekintsük az egyenletrendszert
Első lépésben kiszámítjuk a determinánst, ezt nevezzük a rendszer fő meghatározója.
Gauss módszer.
Ha , akkor a rendszer rendelkezik egyetlen döntés, és a gyökök megtalálásához további két determinánst kell kiszámítanunk:
és
A gyakorlatban a fenti minősítőket latin betűvel is jelölhetjük.
Az egyenlet gyökereit a következő képletekkel találjuk meg:
,
7. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!
Megoldás: Látjuk, hogy az egyenlet együtthatói elég nagyok, a jobb oldalon ott vannak tizedesjegyek vesszővel. A vessző meglehetősen ritka vendég a matematikai gyakorlati feladatokban, ezt a rendszert egy ökonometriai feladatból vettem.
Hogyan lehet megoldani egy ilyen rendszert? Megpróbálhatja az egyik változót egy másikkal kifejezni, de ebben az esetben biztosan kapsz rettenetesen divatos törteket, amelyekkel rendkívül kényelmetlen dolgozni, és a megoldás kialakítása borzasztóan fog kinézni. A második egyenletet megszorozhatja 6-tal, és tagonként kivonhatja, de itt ugyanazok a törtek jelennek meg.
Mit kell tenni? Ilyen esetekben a Cramer-féle képletek segítenek.
;
;
Válasz: ,
Mindkét gyökérnek végtelen a vége, és megközelítőleg megtalálható, ami meglehetősen elfogadható (sőt közhely) ökonometriai problémák esetén.
Itt nincs szükség megjegyzésekre, mivel a feladatot kész képletek szerint oldják meg, azonban van egy figyelmeztetés. Ennek a módszernek a használatakor kötelező A feladat töredéke a következő: "tehát a rendszernek egyedi megoldása van". Ellenkező esetben a bíráló megbüntetheti Önt Cramer tételének figyelmen kívül hagyása miatt.
Nem lesz felesleges ellenőrizni, ami kényelmesen elvégezhető egy számológépen: a közelítő értékeket a rendszer minden egyenlete bal oldalán helyettesítjük. Ennek eredményeként kis hibával a jobb oldalon lévő számokat kell megkapni.
8. példa
Válaszát közönséges helytelen törtekkel fejezze ki! Ellenőrizd.
Ez egy példa egy önálló megoldásra (példa finom tervezésre és válasz a lecke végén).
Rátérünk a Cramer-szabályra egy három egyenletrendszerre, három ismeretlennel: 
Megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját: 
Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van, vagy inkonzisztens (nincs megoldása). Ebben az esetben a Cramer-szabály nem segít, a Gauss-módszert kell használni.
Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökerek megtalálásához további három determinánst kell kiszámítanunk: 
, 
, 
És végül a választ a következő képletekkel számítjuk ki: 
Mint látható, a „háromszor három” eset alapvetően nem különbözik a „kettő-kettő” esettől, a szabad kifejezések oszlopa egymás után balról jobbra „sétál” a fődetermináns oszlopai mentén.
9. példa
Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel! 
Megoldás: Oldjuk meg a rendszert Cramer képleteivel. 
, így a rendszer egyedi megoldást kínál.
Válasz: 
.
Igazából itt megint nincs mit különösebben kommentálni, tekintettel arra, hogy kész képletek alapján születik a döntés. De van egy-két megjegyzés.
Előfordul, hogy a számítások eredményeként „rossz” irreducibilis törteket kapunk, például: .
A következő "kezelési" algoritmust ajánlom. Ha nincs kéznél számítógép, a következőképpen járunk el:
1) Hiba lehet a számításokban. Amint „rossz” lövéssel találkozik, azonnal ellenőriznie kell, hogy van-e helyesen van-e átírva a feltétel. Ha a feltételt hibák nélkül írják át, akkor a determinánsokat újra kell számolni egy másik sorban (oszlopban) lévő bővítéssel.
2) Ha az ellenőrzés eredményeként nem találtak hibát, akkor nagy valószínűséggel elírás történt a feladat állapotában. Ilyenkor higgadtan és ÓVATOSAN oldja meg a feladatot a végéig, majd feltétlenül ellenőrizzeés a határozat meghozatala után tiszta másolaton készítse el. Természetesen a töredékes válasz ellenőrzése kellemetlen feladat, de lefegyverző érv lesz a tanár számára, aki nos, nagyon szeret mínuszt adni minden rosszra, mint pl. A törtekkel való kezelés módját a 8. példa válasza részletezi.
Ha van kéznél számítógépe, akkor azt egy automata programmal ellenőrizheti, amely az óra elején ingyenesen letölthető. Egyébként a legelőnyösebb, ha azonnal (még a megoldás elindítása előtt) használod a programot, azonnal látni fogod azt a köztes lépést, amelynél hibáztál! Ugyanez a számológép automatikusan kiszámolja a rendszer megoldását mátrix módszer.
Második megjegyzés. Időről időre vannak olyan rendszerek, amelyek egyenletéből hiányzik néhány változó, például: 
Itt az első egyenletben nincs változó, a másodikban nincs változó. Ilyen esetekben nagyon fontos, hogy helyesen és Óvatosan írjuk le a fő meghatározót: 
– a hiányzó változók helyére nullák kerülnek.
Egyébként ésszerű a determinánsokat nullával nyitni abban a sorban (oszlopban), amelyben a nulla található, mivel észrevehetően kevesebb a számítás.
10. példa
Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel! 
Ez egy példa az önálló megoldásra (minta és válasz a lecke végén).
Egy 4 egyenletből álló rendszer esetén 4 ismeretlennel a Cramer-képleteket hasonló elvek szerint írjuk fel. Élő példát láthat a Meghatározó tulajdonságok leckében. A determináns sorrendjének csökkentése - öt 4. rendű determináns eléggé megoldható. Bár a feladat már nagyon emlékeztet egy szerencsés diák mellkasán lévő professzori cipőre.
Az inverz mátrix módszer lényegében az különleges eset mátrix egyenlet(Lásd a megadott lecke 3. példáját).
Ennek a szakasznak a tanulmányozásához képesnek kell lennie a determinánsok kiterjesztésére, az inverz mátrix megkeresésére és a mátrixszorzás végrehajtására. A megfelelő linkeket a magyarázat előrehaladtával adjuk meg.
11. példa
Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel! 
Megoldás: A rendszert mátrix formában írjuk:
, ahol 
Kérjük, nézze meg az egyenletrendszert és a mátrixokat. Hogy milyen elv alapján írunk mátrixokba elemeket, azt gondolom mindenki érti. Az egyetlen megjegyzés: ha néhány változó hiányzik az egyenletekből, akkor a mátrix megfelelő helyére nullákat kell tenni.
Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.
Először is foglalkozzunk a determinánssal:
Itt a determináns az első sorral bővül.
Figyelem! Ha , akkor az inverz mátrix nem létezik, és a rendszer mátrix módszerrel nem megoldható. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésével oldják meg (Gauss-módszer).
Most ki kell számítania 9 kiskorút, és be kell írnia a kiskorúak mátrixába 
Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy a sor száma, amelyben az elem található. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található: 
Vagyis a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, míg például az elem a 3. sorban, a 2. oszlopban van.
Legyen a lineáris egyenletrendszer annyi egyenletet, ahány független változó, azaz. van formája
Az ilyen lineáris egyenletrendszereket másodfokúnak nevezzük. A rendszer független változóinak együtthatóiból összeállított determinánst (1.5) a rendszer fődeterminánsának nevezzük. A görög D betűvel fogjuk jelölni.
. (1.6)
Ha a fő determinánsban egy tetszőleges ( j th) oszlopot, cserélje ki a rendszer szabad tagjainak oszlopára (1.5), akkor többet kaphatunk n segédhatározók:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Cramer szabálya másodfokú lineáris egyenletrendszerek megoldása a következő. Ha az (1.5) rendszer D fődeterminánsa nem nulla, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a következő képletekkel találhatunk meg:
(1.8)
1.5. példa. Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!
.
Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját:
D¹0 óta a rendszernek van egy egyedi megoldása, amely az (1.8) képletekkel kereshető meg:
Ily módon
1. Mátrix szorzása számmal. A mátrix számmal való szorzásának műveletét a következőképpen definiáljuk.
2. Ahhoz, hogy egy mátrixot megszorozzon egy számmal, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Azaz
. (1.9)
Példa 1.6. 
.
Ezt a műveletet csak azonos sorrendű mátrixoknál vezetjük be.
Két mátrix hozzáadásához hozzá kell adni a másik mátrix megfelelő elemeit az egyik mátrix elemeihez:
(1.10)
A mátrixösszeadás művelete az asszociativitás és a kommutativitás tulajdonságaival rendelkezik.
Példa 1.7. 
.
Ha a mátrixoszlopok száma DE megegyezik a mátrix sorok számával NÁL NÉL, akkor az ilyen mátrixokhoz bevezetjük a szorzás műveletét:
2 
Így a mátrix szorzásakor DE méretek m´ n mátrixhoz NÁL NÉL méretek n´ k mátrixot kapunk TÓL TŐL méretek m´ k. Ebben az esetben a mátrix elemei TÓL TŐL a következő képletekkel számítják ki:
Probléma 1.8. Ha lehetséges, keresse meg a mátrixok szorzatát ABés BA:
Megoldás. 1) Munkát találni AB, mátrixsorokra van szüksége A szorozzuk meg mátrixoszlopokkal B:
2) Műalkotás BA nem létezik, mert a mátrix oszlopainak száma B nem egyezik a mátrix sorok számával A.
Mátrix A- Az 1-et négyzetmátrix inverzének nevezzük DE ha az egyenlőség fennáll:
hol keresztül én jelöljük identitásmátrix ugyanaz a sorrend, mint a mátrix DE:
.
Ahhoz, hogy egy négyzetmátrixnak legyen inverze, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen. Az inverz mátrixot a következő képlet határozza meg:
, (1.13)
ahol A ij - algebrai összeadások az elemekhez aij mátrixok DE(jegyezzük meg, hogy algebrai összeadások a mátrix soraihoz DE az inverz mátrixban megfelelő oszlopok formájában vannak elrendezve).
Példa 1.9. Inverz mátrix keresése A- 1 a mátrixhoz
.
Az inverz mátrixot az (1.13) képlettel találjuk meg, amely az esetre n= 3 így néz ki:
.
Keressünk det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Mivel az eredeti mátrix determinánsa eltér nullától, akkor létezik az inverz mátrix.
1) Keressen algebrai összeadásokat! A ij:
Az inverz mátrix megtalálásának kényelme érdekében az eredeti mátrix soraihoz az algebrai összeadásokat a megfelelő oszlopokba helyeztük.
A kapott algebrai összeadásokból összeállítunk egy új mátrixot és elosztjuk a det determinánssal A. Így kapjuk az inverz mátrixot:
A nem nulla fődeterminánsú lineáris egyenletrendszerek másodfokú egyenletrendszerei megoldhatók inverz mátrix segítségével. Ehhez az (1.5) rendszert mátrix formában írjuk fel:
ahol 
A bal oldali egyenlőség mindkét oldalát (1,14) megszorozva ezzel A- 1 , megkapjuk a rendszer megoldását:
, ahol
Így annak érdekében, hogy megoldást találjunk négyzetes rendszer, meg kell találni a rendszer főmátrixának inverz mátrixát, és meg kell szorozni a jobb oldalon a szabad tagok oszlopmátrixával.
1.10. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!
inverz mátrix segítségével.
Megoldás. A rendszert mátrix formában írjuk: ,
ahol 
a rendszer fő mátrixa, az ismeretlenek oszlopa és a szabad kifejezések oszlopa. Mivel a rendszer fő meghatározója 
, akkor a rendszer fő mátrixa DE inverz mátrixa van DE-egy. Megtalálni az inverz mátrixot DE-1 , számítsa ki a mátrix összes elemének algebrai komplementereit DE:
A kapott számokból mátrixot állítunk össze (sőt algebrai összeadásokat a mátrix soraihoz DEírja be a megfelelő oszlopokba), és ossza el a D determinánssal. Így megkaptuk az inverz mátrixot:
A rendszer megoldását az (1.15) képlet találja meg:
Ily módon
Adjunk meg egy tetszőleges (nem feltétlenül négyzetes) lineáris egyenletrendszert:
(1.16)
Megoldást kell találni a rendszerre, pl. olyan változóhalmaz, amely kielégíti az (1.16) rendszer összes egyenlőségét. NÁL NÉL általános eset Az (1.16) rendszernek nem csak egy megoldása lehet, hanem végtelen számú megoldása is lehet. Az is előfordulhat, hogy egyáltalán nincsenek megoldásai.
Az ilyen problémák megoldásában a közismert iskolai tanfolyam az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere, amelyet a közönséges Jordan eliminációk módszerének is neveznek. lényeg ez a módszer abban rejlik, hogy az (1.16) rendszer egyik egyenletében az egyik változót más változókkal fejezzük ki. Ezután ezt a változót behelyettesítjük a rendszer más egyenletébe. Az eredmény egy olyan rendszer, amely egy egyenletet és eggyel kevesebb változót tartalmaz, mint az eredeti rendszer. Emlékszik az egyenletre, amelyből a változót kifejezték.
Ezt a folyamatot addig ismételjük, amíg egy utolsó egyenlet nem marad a rendszerben. Az ismeretlenek kiküszöbölése során egyes egyenletek például valódi azonossággá alakulhatnak. Az ilyen egyenletek ki vannak zárva a rendszerből, mivel a változók bármely értékére érvényesek, és ezért nem befolyásolják a rendszer megoldását. Ha az ismeretlenek kiküszöbölése során legalább egy egyenlet olyan egyenlőséggé válik, amely nem teljesíthető a változók egyik értékére sem (például ), akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszernek nincs megoldása.
Ha a megoldás során inkonzisztens egyenletek nem merültek fel, akkor a benne maradt változók egyikét az utolsó egyenletből találjuk meg. Ha csak egy változó marad az utolsó egyenletben, akkor azt számként fejezzük ki. Ha más változók az utolsó egyenletben maradnak, akkor azokat paramétereknek tekintjük, és a rajtuk keresztül kifejezett változó ezeknek a paramétereknek a függvénye lesz. Ezután megtörténik az úgynevezett "fordított mozgás". A talált változót behelyettesítjük az utolsó memorizált egyenletbe, és megtaláljuk a második változót. Ezután a két talált változót behelyettesítjük az utolsó előtti memorizált egyenletbe, és megtaláljuk a harmadik változót, és így tovább, egészen az első memorizált egyenletig.
Ennek eredményeként megkapjuk a rendszer megoldását. Ez a megoldás lesz az egyetlen, ha a talált változók számok. Ha az első talált változó, majd az összes többi a paraméterektől függ, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása lesz (minden paraméterkészlet egy új megoldásnak felel meg). Azokat a képleteket, amelyek egy adott paraméterkészlettől függően megoldást találnak a rendszerre, a rendszer általános megoldásának nevezzük.
Példa 1.11.
x
Az első egyenlet memorizálása után 
és hasonló kifejezéseket hozva a második és harmadik egyenletbe, eljutunk a rendszerhez:
Expressz y a második egyenletből, és cserélje be az első egyenletbe:
Emlékezzen a második egyenletre, és az elsőből megtaláljuk z:
Megfordítva, egymás után találjuk meg yés z. Ehhez először behelyettesítjük az utolsó memorizált egyenletbe, amelyből megtaláljuk y:
.
Ezután behelyettesítjük és az első memorizált egyenletbe honnan találjuk x:
1.12. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:
. (1.17)
Megoldás. Fejezzük ki az első egyenletből származó változót xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:
.
Emlékezzen az első egyenletre 
Ebben a rendszerben az első és a második egyenlet ellentmond egymásnak. Valóban, kifejezve y 
, azt kapjuk, hogy 14 = 17. Ez az egyenlőség a változók egyik értékére sem teljesül x, y, és z. Következésképpen az (1.17) rendszer inkonzisztens, azaz nincs megoldása.
Az olvasókat felkérjük, hogy függetlenül ellenőrizzék, hogy az eredeti rendszer fő meghatározója (1.17) egyenlő-e nullával.
Tekintsünk egy olyan rendszert, amely csak egy szabad taggal különbözik az (1.17) rendszertől.
1.13. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:
. (1.18)
Megoldás. Mint korábban, az első egyenletből származó változót fejezzük ki xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:
.
Emlékezzen az első egyenletre a második és harmadik egyenletben pedig hasonló kifejezéseket mutatunk be. Megérkezünk a rendszerhez:
kifejezve y az első egyenletből, és behelyettesítjük a második egyenletbe , a 14 = 14 azonosságot kapjuk, ami nem befolyásolja a rendszer megoldását, ezért kizárható a rendszerből.
Az utolsó memorizált egyenlőségben a változó z paraméternek tekintendő. Hisszük . Akkor
Helyettes yés z az első memorizált egyenlőségbe és megtalálni x:
.
Így az (1.18) rendszernek végtelen megoldáskészlete van, és az (1.19) képletekből tetszőleges megoldás megtalálható a paraméter tetszőleges értékének kiválasztásával. t:
(1.19)
Így a rendszer megoldásai például a következő változók (1; 2; 0), (2; 26; 14) stb. Az (1.19) képletek az (1.18) rendszer általános (bármely) megoldását fejezik ki ).
Abban az esetben, ha az eredeti rendszer (1.16) elegendő nagyszámú egyenletek és ismeretlenek, a szokásos jordán eliminációs módszer nehézkesnek tűnik. Azonban nem. Elegendő egy algoritmust levezetni a rendszer együtthatóinak egy lépésben történő újraszámítására Általános nézetés formalizálja a probléma megoldását speciális Jordan-táblázatok formájában.
Legyen adott egy lineáris alakzat (egyenlet) rendszer:
, (1.20)
ahol x j- független (kívánt) változók, aij- állandó együtthatók
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). A rendszer jobb részei y i (i = 1, 2,…, m) lehet változó (függő) és állandó is. Erre a rendszerre megoldást kell találni az ismeretlenek kiiktatásával.
Tekintsük a következő műveletet, a továbbiakban: "a szokásos jordán kivételek egy lépése". Egy önkényes ( r th) egyenlőség, tetszőleges változót ( x s) és helyettesíti az összes többi egyenlőséggel. Ez persze csak akkor lehetséges, ha egy rs¹ 0. Együttható egy rs feloldó (néha irányító vagy fő) elemnek nevezzük.
A következő rendszert kapjuk:
. (1.21)
Tól től s rendszer egyenlősége (1.21), akkor ezt követően megtaláljuk a változót x s(miután más változókat találtunk). S A th-edik sort megjegyzi, és ezt követően kizárja a rendszerből. A fennmaradó rendszer egy egyenletet és egy kevésbé független változót fog tartalmazni, mint az eredeti rendszer.
Számítsuk ki a kapott rendszer (1.21) együtthatóit az eredeti rendszer (1.20) együtthatóival! Kezdjük azzal r egyenlet, amely a változó kifejezése után x s a többi változón keresztül így fog kinézni:
Így az új együtthatók r az egyenletet a következő képletekkel számítjuk ki:
(1.23)
Most számoljuk ki az új együtthatókat b ij(én¹ r) egy tetszőleges egyenlet. Ehhez behelyettesítjük az (1.22)-ben kifejezett változót. x s ban ben én rendszer egyenlete (1.20):
Hasonló kifejezések megadása után a következőket kapjuk:
(1.24)
Az (1.24) egyenlőségből olyan képleteket kapunk, amelyekkel kiszámítjuk az (1.21) rendszer fennmaradó együtthatóit (kivéve r egyenlet):
(1.25)
A lineáris egyenletrendszerek transzformációját a közönséges jordán eliminációk módszerével táblázatok (mátrixok) formájában mutatjuk be. Ezeket a táblázatokat "jordániai tábláknak" nevezik.
Így az (1.20) probléma a következő Jordan-táblázathoz kapcsolódik:
1.1. táblázat
| x 1 | x 2 | … | x j | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | aij | a is | a be | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | a r 1 | a r 2 | egy rj | egy rs | egy rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | a m 1 | a m 2 | egy mj | a ms | amn |
Az 1.1-es Jordan tábla tartalmazza a bal oldali fejoszlopot, amelybe a rendszer jobb oldali részei (1.20), valamint a felső fejsort, amelybe a független változókat írják.
A táblázat többi eleme alkotja az (1.20) rendszer együtthatóinak fő mátrixát. Ha a mátrixot megszorozzuk DE a felső fejlécsor elemeiből álló mátrixhoz, akkor megkapjuk a bal oldali fejlécoszlop elemeiből álló mátrixot. Azaz lényegében a Jordan-tábla egy lineáris egyenletrendszer felírásának mátrixa: . Ebben az esetben a következő Jordan-tábla az (1.21) rendszernek felel meg:
1.2. táblázat
| x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b az | kuka | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
Megengedő elem egy rs félkövérrel kiemeljük. Emlékezzünk vissza, hogy a Jordan-kivételek egy lépésének megvalósításához a feloldó elemnek nullától eltérőnek kell lennie. A permisszív elemet tartalmazó táblázatsort megengedő sornak nevezzük. Az engedélyezési elemet tartalmazó oszlopot engedélyezés oszlopnak nevezzük. Amikor egy adott tábláról a következő táblára lépünk, egy változó ( x s) a táblázat felső fejlécsorából a bal oldali fejléc oszlopba kerül, és fordítva, a rendszer egyik szabad tagja ( y r) a táblázat bal fejlécoszlopából a felső fejlécsorba kerül.
Ismertesse az (1.2) és (1.25) képletekből következően az (1.1) Jordan táblából az (1.2) táblázatba való átmenet együtthatók újraszámításának algoritmusát.
1. Az engedélyező elem helyére a fordított szám kerül:
2. A megengedő sor többi elemét elosztjuk a megengedő elemmel, és az ellenkező előjelet változtatjuk: 
3. Az engedélyező oszlop többi eleme fel van osztva az engedélyező elemre: 
4. A feloldó sorban és a feloldó oszlopban nem szereplő elemek újraszámítása a következő képletek szerint történik: 
Az utolsó képlet könnyen megjegyezhető, ha észreveszi, hogy az elemek, amelyek a tört 
, a kereszteződésben vannak én-ja és r-edik sorok és jés s-edik oszlopok (feloldó sor, feloldó oszlop és az a sor és oszlop, amelynek metszéspontjában az újraszámítandó elem található). Pontosabban a képlet memorizálásánál 
a következő diagramot használhatja:
A jordán kivételek első lépését végrehajtva az 1.3. táblázat oszlopaiban található bármely eleme x 1 ,…, x 5 (az összes megadott elem nem egyenlő nullával). Nem csak az utolsó oszlopban érdemes az engedélyező elemet kiválasztani, mert független változókat kell találni x 1 ,…, x 5. Például az együtthatót választjuk 1 változóval x 3 az 1.3 táblázat harmadik sorában (az engedélyező elem félkövéren van szedve). Az 1.4 táblázatra lépve a változó x A felső fejlécsor 3-a felcserélődik a bal oldali fejlécoszlop (harmadik sor) konstans 0-jával. Ugyanakkor a változó x 3 a fennmaradó változókkal van kifejezve.
húr x 3 (1.4. táblázat) – előzetes emlékezet után – kihagyható az 1.4. táblázatból. Az 1.4. táblázat nem tartalmazza azt a harmadik oszlopot is, amelynek felső fejlécében nulla szerepel. A lényeg az, hogy ennek az oszlopnak az együtthatóitól függetlenül b i 3 az egyes 0 egyenletek hozzá tartozó összes tagját b i 3 rendszer nulla lesz. Ezért ezeket az együtthatókat nem lehet kiszámítani. Egy változó kiküszöbölése x 3 és az egyik egyenletre emlékezve az 1.4 táblázatnak megfelelő rendszerhez jutunk (a vonal áthúzva x 3). Az 1.4 táblázatban feloldó elemként választva b 14 = -5, ugorjon az 1.5 táblázathoz. Az 1.5 táblázatban megjegyezzük az első sort, és kizárjuk a táblázatból a negyedik oszloppal együtt (nulla a tetején).
1.5. táblázat 1.6
Az utolsó 1.7 táblázatból a következőket találjuk: x 1 = - 3 + 2x 5 .
A már megtalált változókat szekvenciálisan behelyettesítve a memorizált sorokba, megtaláljuk a fennmaradó változókat:
Így a rendszernek végtelen számú megoldása van. változó x 5 , tetszőleges értékeket rendelhet hozzá. Ez a változó paraméterként működik x 5 = t. Bebizonyítottuk a rendszer kompatibilitását és megtaláltuk közös döntés:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Paraméter megadása t különféle jelentések, végtelen számú megoldást kapunk az eredeti rendszerre. Így például a rendszer megoldása a következő változóhalmaz (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Tekintsünk egy három egyenletből álló rendszert három ismeretlennel
Harmadrendű determinánsok felhasználásával egy ilyen rendszer megoldása ugyanolyan formában írható fel, mint egy két egyenletrendszer esetében, azaz.
(2.4)
ha 0. Itt
Ez Cramer szabálya egy három lineáris egyenletrendszer megoldása három ismeretlenben.
2.3. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer-szabály segítségével:
Megoldás . A rendszer főmátrixának determinánsának megkeresése
Mivel 0, akkor a rendszer megoldásához alkalmazhatja a Cramer-szabályt, de először számítson ki három további determinánst:
Vizsgálat:
Ezért a megoldás helyesen található.
A 2. és 3. rendű lineáris rendszerekre kapott Cramer-szabályok azt sugallják, hogy ugyanazok a szabályok bármilyen rendű lineáris rendszerekre is megfogalmazhatók. tényleg megtörténik
Cramer tétele. Lineáris egyenletrendszer másodfokú egyenletrendszere a rendszer főmátrixának nullától eltérő determinánsával (0) egy és csak egy megoldása van, és ezt a megoldást a képletek számítják ki
(2.5)
ahol – fő mátrix meghatározó, én – mátrix meghatározó, főből, pótlásból származtatjákénth oszlop szabad tagok rovata.
Vegye figyelembe, hogy ha =0, akkor a Cramer-szabály nem alkalmazható. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek vagy egyáltalán nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása van.
A Cramer-tétel megfogalmazása után természetesen felmerül a magasabb rendű determinánsok számításának kérdése.
További kiskorú M ij elem a ij az adottból törléssel kapott determinánsnak nevezzük én-edik sor és j-adik oszlop. Algebrai összeadás A ij elem a ij ennek az elemnek a molljának nevezzük, a (–1) jellel együtt én + j, azaz A ij = (–1) én + j M ij .
Keressük például az elemek molljait és algebrai kiegészítéseit a 23 és a 31 meghatározó
Kapunk
Az algebrai komplement fogalmát felhasználva megfogalmazhatjuk a determináns kiterjesztési tételn- sor vagy oszlop szerinti sorrend.
Tétel 2.1. Mátrix meghatározóAegyenlő egy sor (vagy oszlop) összes elemének és algebrai komplementereinek szorzatával:
(2.6)
Ez a tétel alapozza meg a determinánsok számításának egyik fő módszerét, az ún. rendeléscsökkentési módszer. A determináns bővülésének eredményeként n sorrendben bármely sorban vagy oszlopban n determinánst kapunk ( n–1)-edik rend. Annak érdekében, hogy kevesebb ilyen determináns legyen, célszerű azt a sort vagy oszlopot kiválasztani, amelyben a legtöbb nulla szerepel. A gyakorlatban a determináns bővítési képlete általában a következőképpen írható:
azok. Az algebrai összeadásokat kifejezetten mollokra írjuk.
Példák 2.4. Számítsa ki a determinánsokat úgy, hogy először bontsa ki őket bármelyik sorban vagy oszlopban. Általában ilyen esetekben azt az oszlopot vagy sort kell kiválasztani, amelyben a legtöbb nulla található. A kiválasztott sort vagy oszlopot nyíl jelzi.
A determinánst bármely sorban vagy oszlopban kiterjesztve n determinánst kapunk ( n–1)-edik rend. Ezután mindegyik meghatározó ( n–1)-edik sorrend is felbontható determinánsok összegére ( n–2) sorrend. Ezt a folyamatot folytatva el lehet jutni az 1. rendű determinánsokhoz, pl. a mátrix azon elemeire, amelyek determinánsát számítjuk. Tehát a 2. rendű determinánsok kiszámításához két tag összegét kell kiszámítania, a 3. rendű determinánsokhoz - 6 tag összegét, a 4. rendű determinánsokhoz - 24 tagot. A kifejezések száma meredeken növekszik a determináns sorrendjének növekedésével. Ez azt jelenti, hogy a nagyon magas fokú determinánsok kiszámítása meglehetősen fáradságos feladattá válik, még egy számítógép erejét is meghaladja. A determinánsokat azonban más módon is ki lehet számítani, a determinánsok tulajdonságait felhasználva.
1. tulajdonság . A determináns nem változik, ha sorokat és oszlopokat cserélünk benne, pl. mátrix transzponálásakor:
.
Ez a tulajdonság a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét jelzi. Más szóval, egy determináns oszlopaira vonatkozó bármely állítás igaz a soraira, és fordítva.
2. tulajdonság . A determináns előjelet vált, ha két sort (oszlopot) felcserélünk.
Következmény . Ha a determinánsnak két egyforma sora (oszlopa) van, akkor egyenlő nullával.
3. tulajdonság . Bármely sor (oszlop) összes elemének közös tényezője kivehető a determináns előjeléből.
Például,
Következmény . Ha a determináns valamely sorának (oszlopának) minden eleme egyenlő nullával, akkor maga a determináns nulla.
4. tulajdonság . A determináns nem változik, ha az egyik sor (oszlop) elemeit hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) elemeihez, megszorozva valamilyen számmal.
Például,
5. ingatlan . A mátrixszorzat determinánsa megegyezik a mátrixdeterminánsok szorzatával:
Az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával a mátrix fődeterminánsával, amely nem egyenlő nullával, a rendszer együtthatóival (ilyen egyenletekre van megoldás, és csak egy).
Cramer tétele.
Ha egy négyzetrendszer mátrixának determinánsa nem nulla, akkor a rendszer kompatibilis és egy megoldása van, és ez a Cramer képletei:
ahol Δ - rendszermátrix meghatározó,
Δ én- a rendszer mátrixának determinánsa, melyben ahelyett én th oszlop a jobb oldali részek oszlopa.
Ha a rendszer determinánsa nulla, akkor a rendszer konzisztenssé vagy inkonzisztenssé válhat.
Ezt a módszert általában kis rendszereknél alkalmazzák térfogatszámítással, és ha az ismeretlenek közül egyet kell meghatározni. A módszer bonyolultsága abban rejlik, hogy sok determinánst kell kiszámítani.
Van egy egyenletrendszer:
Egy 3 egyenletből álló rendszer Cramer módszerével oldható meg, amit fentebb 2 egyenletrendszernél tárgyaltunk.
A determinánst az ismeretlenek együtthatóiból állítjuk össze:
Ez lesz rendszerminősítő. Mikor D≠0, tehát a rendszer konzisztens. Most 3 további meghatározót fogunk összeállítani:
,
,
A rendszert úgy oldjuk meg Cramer képletei:
1. példa.
Adott rendszer:
Oldjuk meg Cramer módszerével.
Először ki kell számítania a rendszer mátrixának determinánsát:
Mert Δ≠0, tehát Cramer tétele alapján a rendszer kompatibilis, és egy megoldása van. További determinánsokat számolunk. A Δ 1 determinánst a Δ determinánsból kapjuk úgy, hogy az első oszlopát egy szabad együtthatók oszlopára cseréljük. Kapunk:
Ugyanígy megkapjuk a Δ 2 determinánst a rendszer mátrixának determinánsából, a második oszlopot szabad együtthatók oszlopával helyettesítve:
Cramer módszere a determinánsok felhasználásán alapul lineáris egyenletrendszerek megoldásában. Ez nagymértékben felgyorsítja a megoldás folyamatát.
A Cramer-módszerrel annyi lineáris egyenletből álló rendszert lehet megoldani, ahány egyenletben ismeretlen van. Ha a rendszer determinánsa nem egyenlő nullával, akkor Cramer módszere használható a megoldásban, ha egyenlő nullával, akkor nem. Ezenkívül a Cramer-módszer használható olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására is, amelyek egyedi megoldással rendelkeznek.
Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst a rendszer determinánsának nevezzük, és (delta) jelöljük.
Meghatározók
úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő ismeretleneknél lévő együtthatókat szabad kifejezésekkel helyettesítjük:
;
.
Cramer tétele. Ha a rendszer determinánsa nem nulla, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, és az ismeretlen egyenlő a determinánsok arányával. A nevező a rendszer determinánsa, a számláló pedig az a determináns, amelyet a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy az együtthatókat az ismeretlennel szabad tagokkal helyettesítjük. Ez a tétel tetszőleges sorrendű lineáris egyenletrendszerre érvényes.
1. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert:
Alapján Cramer tétele nekünk van:
Tehát a (2) rendszer megoldása:
online számológép, döntő módszer Kramer.
Amint az ebből látszik Cramer tételei lineáris egyenletrendszer megoldása során három eset fordulhat elő:
Első eset: a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van
(a rendszer következetes és határozott)
Második eset: a lineáris egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van
(a rendszer konzisztens és határozatlan)
** 
,
azok. az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatói arányosak.
Harmadik eset: a lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása
(rendszer inkonzisztens)
Tehát a rendszer m lineáris egyenletek -val n változókat nevezzük összeegyeztethetetlen ha nincs megoldása, és közös ha van legalább egy megoldása. ízületi rendszer nevezzük azokat az egyenleteket, amelyeknek csak egy megoldása van bizonyos, és több bizonytalan.
Hagyja a rendszert
.
Cramer tétele alapján
………….
,
ahol 
-
rendszerazonosító. A fennmaradó determinánsokat úgy kapjuk meg, hogy az oszlopot a megfelelő változó (ismeretlen) együtthatóival szabad tagokkal helyettesítjük:
2. példa
.
Ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk a determinánsokat
A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:
Tehát (1; 0; -1) az egyetlen megoldás a rendszerre.
A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.
Ha a lineáris egyenletrendszerben egy vagy több egyenletben nincsenek változók, akkor a determinánsban a hozzájuk tartozó elemek nullával egyenlők! Ez a következő példa.
3. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:
.
Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:
Nézze meg figyelmesen az egyenletrendszert és a rendszer determinánsát, és ismételje meg a választ arra a kérdésre, hogy mely esetekben egyenlő a determináns egy vagy több eleme nullával! Tehát a determináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait
A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:
Tehát a rendszer megoldása (2; -1; 1).
A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.
Mint már említettük, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, és az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, akkor a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Szemléltessük a következő példával.
6. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:
Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:
A rendszer determinánsa nulla, ezért a lineáris egyenletrendszer vagy inkonzisztens és határozott, vagy inkonzisztens, azaz nincs megoldása. Az egyértelműség kedvéért kiszámítjuk az ismeretlenek meghatározóit
Az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, ezért a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása.
A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.
A lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos feladatokban vannak olyanok is, ahol a változókat jelölő betűk mellett más betűk is vannak. Ezek a betűk valamilyen számot jelölnek, leggyakrabban valós számot. A gyakorlatban az ilyen egyenletek és egyenletrendszerek keresési problémákhoz vezetnek közös tulajdonságok bármilyen jelenség vagy tárgy. Vagyis te találtál ki valamit új anyag vagy egy eszközt, és annak leírásához, amelyek a példányszámtól és mérettől függetlenül általánosak, olyan lineáris egyenletrendszert kell megoldani, ahol a változók együtthatói helyett betűk vannak. Nem kell messzire keresni a példákat.
A következő példa egy hasonló problémára vonatkozik, csak a valós számot jelölő egyenletek, változók és betűk száma nő.
8. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:
Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:
Determinánsok keresése ismeretlenekre
