A lineáris, négyzetes és törtegyenlőtlenségek megoldására szolgáló program nemcsak a problémára ad választ, hanem elvezet részletes megoldás magyarázatokkal, pl. megjeleníti a megoldás folyamatát a matematikai és/vagy algebrai ismeretek ellenőrzése érdekében.
Sőt, ha az egyik egyenlőtlenség megoldása során például egy másodfokú egyenletet kell megoldani, akkor annak részletes megoldása is megjelenik (a spoilerben benne van).
Ez a program hasznos lehet középiskolás diákok számára a felkészülés során ellenőrzési munka, a szülők, hogy ellenőrizzék az egyenlőtlenségek gyermekeik általi megoldását.
Ez a program hasznos lehet középiskolások számára a tesztekre, vizsgákra való felkészülésben, az Egységes Államvizsga előtti tudásfelmérés során, a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak azt szeretné, hogy minél hamarabb elkészüljön? házi feladat matematika vagy algebra? Ebben az esetben részletes megoldással is használhatja programjainkat.
Így saját és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a megoldandó feladatok területén az oktatás színvonala emelkedik.
Az egyenlőtlenségek beírásának szabályai
Bármely latin betű működhet változóként.
Például: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) stb.
A számok egész vagy törtként is megadhatók.
Ezenkívül a törtszámok nem csak tizedes, hanem közönséges tört formájában is beírhatók.
A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes törtekben a tört részt az egész számtól ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani.
Például beléphet tizedesjegyek tehát: 2,5x - 3,5x^2
A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.
A nevező nem lehet negatív.
Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
Az egész részt egy és jel választja el a törttől: &
Bemenet: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Eredmény: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
A kifejezések beírásakor zárójelek használhatók. Ebben az esetben az egyenlőtlenség megoldása során először a kifejezéseket egyszerűsítjük.
Például: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Válassza ki kívánt jel egyenlőtlenségeket, és írjon be polinomokat az alábbi mezőkbe.
Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét! Azt találtuk, hogy egyes, a feladat megoldásához szükséges szkriptek nem töltődnek be, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.
Mert Sokan vannak, akik szeretnék megoldani a problémát, kérése sorban áll.
Néhány másodperc múlva a megoldás megjelenik alább.
Kérlek várj mp...
Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor a Visszajelzési űrlapon írhatsz róla.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.
Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:
7. osztályban megismerkedtél a rendszer fogalmával, és megtanultad a két ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldását. Ezután az egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenség rendszereit vizsgáljuk meg. Az egyenlőtlenségrendszerek megoldáshalmazai intervallumok (intervallumok, félintervallumok, szakaszok, sugarak) segítségével írhatók fel. Megismerheti a numerikus intervallumok jelölését is.
Ha a \(4x > 2000 \) és \(5x \leq 4000 \) egyenlőtlenségekben az ismeretlen x szám azonos, akkor ezeket az egyenlőtlenségeket együtt tekintjük, és azt mondjuk, hogy egyenlőtlenségrendszert alkotnak: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
A kapcsos kapcsos zárójel azt mutatja, hogy meg kell találni az x olyan értékeit, amelyekre a rendszer mindkét egyenlőtlensége valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik. Ez a rendszer egy példa egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenségek rendszerére.
Egy ismeretlennel való egyenlőtlenségrendszer megoldása az ismeretlennek az az értéke, amelynél a rendszer összes egyenlőtlensége valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk ennek a rendszernek az összes megoldását, vagy megállapítjuk, hogy nincs ilyen.
A \(x \geq -2 \) és \(x \leq 3 \) egyenlőtlenségek kettős egyenlőtlenségként írhatók fel: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Az egy ismeretlennel való egyenlőtlenségrendszerek megoldásai sokfélék számkészletek. Ezeknek a készleteknek neve van. Tehát a valós tengelyen az x számok halmazát úgy, hogy \(-2 \leq x \leq 3 \) egy olyan szakasz képviseli, amelynek vége a -2 és 3 pontban van.
| -2 | 3 |
Ha \(a egy szegmens, és [a; b]
Ha \(intervallum és (a; b)
A \(x \) számhalmazok, amelyek félintervallumokkal kielégítik az \(a \leq x egyenlőtlenségeket, és amelyeket [a; b) és (a; b]) jelölünk
Szegmenseket, intervallumokat, félintervallumokat és sugarakat nevezünk numerikus intervallumok.
Így a numerikus intervallumok egyenlőtlenségek formájában adhatók meg.
A két ismeretlennel rendelkező egyenlőtlenség megoldása egy számpár (x; y), amely ezt az egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtatja. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldás halmazát. Tehát az x > y egyenlőtlenség megoldásai például (5; 3), (-1; -1) számpárok lesznek, mivel \(5 \geq 3 \) és \(-1 \geq - 1\)
Már megtanultad megoldani a lineáris egyenlőtlenségeket egy ismeretlennel. Tudja, mi az egyenlőtlenségek rendszere és a rendszer megoldása. Ezért az egyenlőtlenségrendszerek egy ismeretlennel való megoldásának folyamata nem okoz nehézséget.
És mégis felidézzük: egy egyenlőtlenségrendszer megoldásához minden egyenlőtlenséget külön kell megoldani, majd meg kell találni a megoldások metszéspontját.
Például az eredeti egyenlőtlenségrendszert a következőre redukáltuk:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Ennek az egyenlőtlenségrendszernek a megoldásához jelölje meg az egyes egyenlőtlenségek megoldását a valós tengelyen, és keresse meg a metszéspontjukat:
| -2 | 3 |
A metszéspont a [-2; 3] - ez az eredeti egyenlőtlenségrendszer megoldása.
Óra témája: Lineáris egyenlőtlenségrendszer megoldása egy változóval
Dátum: _______________
osztály: 6a, 6b, 6c
Az óra típusa:új anyagok elsajátítása és az elsődleges konszolidáció.
Didaktikai cél: feltételeket teremteni az új oktatási információblokk megértéséhez és megértéséhez.
Célok: 1) Oktatási: fogalmak bevezetése: egyenlőtlenségi rendszerek megoldása, ekvivalens egyenlőtlenségi rendszerek és tulajdonságaik; megtanítani, hogyan kell alkalmazni ezeket a fogalmakat a legegyszerűbb, egy változós egyenlőtlenségrendszerek megoldása során.
2) Fejlesztés: elősegíteni a tanulók kreatív, önálló tevékenységének elemeinek fejlődését; fejleszti a beszédet, a gondolkodási, elemzési, összefoglaló képességet, a gondolatok világos, tömör kifejezését.
3) Oktatási: az egymás iránti tiszteletteljes magatartás és a nevelő-oktató munka iránti felelősségteljes hozzáállás elősegítése.
Feladatok:
ismételje meg az elméletet a numerikus egyenlőtlenségek és numerikus rések témakörében;
mondjon példát olyan problémára, amelyet egyenlőtlenségek rendszere old meg;
vegyünk példákat az egyenlőtlenségi rendszerek megoldására;
önálló munkát végezni.
Szervezeti formák tanulási tevékenységek: - frontális - kollektív - egyéni.
Mód: magyarázó - szemléltető.
Tanterv:
1. Szervezési momentum, motiváció, cél kitűzése
2. A téma tanulmányozásának aktualizálása
3. Új anyag elsajátítása
4. Elsődleges rögzítés és új anyag alkalmazása
5. Végrehajtás önálló munkavégzés
7. A lecke összegzése. Visszaverődés.
Az órák alatt:
1. Szervezési mozzanat
Az egyenlőtlenség jó segítség lehet. Csak tudnia kell, mikor kell segítséget hívnia. Az egyenlőtlenségek nyelvezetét gyakran használják problémák megfogalmazására a matematika számos alkalmazásában. Például sok gazdasági probléma a lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek tanulmányozására redukálódik. Ezért fontos, hogy meg tudjuk oldani az egyenlőtlenségi rendszereket. Mit jelent „megoldani az egyenlőtlenségek rendszerét”? Erről fogunk beszélni a mai leckében.
2. A tudás aktualizálása.
szóbeli munka az osztállyal három diák egyéni kártyákon dolgozik.
Az "Egyenlőtlenségek és tulajdonságaik" témakör elméletének megismétléséhez tesztelést végzünk, majd tesztet és beszélgetést folytatunk a téma elméletéről. Minden tesztfeladat tartalmazza a választ „Igen” – egy ábra, „Nem” – egy ábra ____
A teszt eredményeként valamilyen adatot kell kapni.
(válasz: ).
Állapítsa meg az egyenlőtlenség és a numerikus különbség közötti összefüggést
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"A matematika megtanít bennünket a nehézségek leküzdésére és a saját hibáink kijavítására." Keressen hibát az egyenlőtlenség megoldásában, magyarázza el a hiba okát, írja le a helyes megoldást a füzetébe!
2x<8-6
x>-1
3. Új anyag elsajátítása.
Mit gondolsz, mit neveznek az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásának?
(Egy változós egyenlőtlenségrendszer megoldása annak a változónak az értéke, amelyre a rendszer minden egyenlőtlensége igaz)
Mit jelent az "egyenlőtlenségrendszer megoldása"?
(Egy egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek megoldások)
Mit kell tenni a következő kérdés megválaszolásához: „A megadott szám
megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére?
(Helyettesítsük be ezt a számot a rendszer mindkét egyenlőtlenségében, ha helyes egyenlőtlenségeket kapunk, akkor az adott szám az egyenlőtlenségrendszer megoldása, ha hibás egyenlőtlenségeket kapunk, akkor az adott szám nem megoldás az egyenlőtlenségrendszerre)
Fogalmazzon meg egy algoritmust egyenlőtlenségi rendszerek megoldására!
1. Oldja meg a rendszer minden egyenlőtlenségét!
2. Rajzolja grafikusan az egyes egyenlőtlenségek megoldásait a koordinátaegyenesre!
3. Keresse meg az egyenlőtlenségek megoldásainak metszéspontját a koordinátaegyenesen!
4. Írja le a választ numerikus intervallumként!
Vegye figyelembe a példákat:
Válasz: 
Válasz: nincs megoldás
4. A téma rögzítése.
Munka a 1016., 1018., 1022. sz. tankönyvvel
5. Önálló munkavégzés opciók szerint (Kártyák-feladatok diákoknak az asztalokon)
Önálló munkavégzés
1.opció
Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét:
Az óra témája "Egyenlőtlenségek és rendszereik megoldása" (matematika 9. osztály)
Az óra típusa: ismeretek és készségek rendszerezésének és általánosításának órája
Az óra technológia: fejlesztési technológia kritikus gondolkodás, differenciált tanulás, IKT technológiák
Az óra célja: ismételje meg és rendszerezze az egyenlőtlenségek tulajdonságairól és megoldási módszereiről szóló ismereteket, teremtsen feltételeket a készségek kialakulásához, hogy ezeket az ismereteket a standard és kreatív problémák megoldásában alkalmazza.
Feladatok.
Nevelési:
elősegíteni a tanulók képességeinek fejlődését a megszerzett ismeretek összegzésére, elemzésére, szintetizálására, összehasonlítására, a szükséges következtetések levonására
megszervezni a tanulók tevékenységét a megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazására
a megszerzett ismeretek nem szabványos körülmények között történő alkalmazásához szükséges készségek fejlődésének elősegítése
Fejlesztés:
folytassa az alakítást logikus gondolkodás, figyelem és memória;
az elemzési, rendszerezési, általánosítási készségek fejlesztése;
olyan feltételek megteremtése, amelyek biztosítják a tanulókban az önkontroll képességek kialakulását;
elősegíti az önálló tanulási tevékenységhez szükséges készségek elsajátítását.
Nevelési:
a fegyelem és a higgadtság, a felelősség, a függetlenség, az önmaga iránti kritikus hozzáállás, a figyelmesség nevelése.
Tervezett oktatási eredmények.
Személyes: felelősségteljes hozzáállás a tanuláshoz és kommunikációs kompetencia a kommunikációban és a folyamat során a társakkal való együttműködésben oktatási tevékenységek.
Kognitív: képesség fogalmak meghatározására, általánosítások létrehozására, az osztályozás alapjainak és kritériumainak önálló megválasztására, logikus érvelés felépítésére, következtetések levonására;
Szabályozó: képes azonosítani a lehetséges nehézségeket egy oktatási és kognitív feladat megoldásában, és eszközöket találni ezek megszüntetésére, eredményeik értékelésére
Kommunikatív: képesség arra, hogy matematikai kifejezésekkel és fogalmakkal ítéletet fogalmazzon meg, kérdéseket és válaszokat fogalmazzon meg a feladat során, tudásmegosztást a csoporttagok között a hatékony közös döntések meghozatalához.
Alapfogalmak, fogalmak: lineáris egyenlőtlenség, másodfokú egyenlőtlenség, egyenlőtlenségrendszer.
Felszerelés
Projektor, tanári laptop, több netbook diákoknak;
Bemutatás;
Alapismereteket és készségeket tartalmazó kártyák az óra témájában (1. melléklet);
Kártyák önálló munkával (2. melléklet).
Tanterv
| Az órák alatt |
|||
| Technológiai szakaszok. Cél. | Tanári tevékenység | Diák tevékenységek | |
| Bevezető-motivációs komponens |
|||
| 1.Szervezeti Cél: pszichológiai felkészítés a kommunikációhoz. | Szia. Jó látni titeket. Ülj le. Ellenőrizze, hogy minden készen áll-e a leckére. Ha minden rendben, akkor nézz rám. | Szia. Ellenőrizze a tartozékokat. Felkészülés a munkára. | Személyes. Kialakul a felelősségteljes magatartás a tanítás iránt. |
| 2. Ismeretek frissítése (2 perc) Cél: a témával kapcsolatos ismeretek egyéni hiányosságainak azonosítása | Óránk témája: "Egyenlőtlenségek megoldása egy változóval és rendszereik". (1. dia) Itt található a témával kapcsolatos alapvető ismeretek és készségek listája. Mérje fel tudását és készségeit. Rendezze el a megfelelő ikonokat. (2. dia) | Felmérjék saját tudásukat és készségeiket. (1. melléklet) | Szabályozó Tudásainak és készségeinek önértékelése |
| 3. Motiváció (2 perc) Cél: tevékenységek biztosítása az óra céljainak meghatározásához . | Az OGE matematikai munkájában az első és a második rész több kérdése is meghatározza az egyenlőtlenségek megoldásának képességét. Mit kell megismételnünk a leckében, hogy sikeresen megbirkózzunk ezekkel a feladatokkal? | Beszéljétek meg, hívjatok fel kérdéseket ismétlésre. | Kognitív. Határozzon meg és fogalmazzon meg egy kognitív célt. |
| Reflexiós szakasz (tartalmi komponens) |
|||
| 4.Önértékelés és pályaválasztás (1-2 perc) | Attól függően, hogy hogyan értékelte tudását és készségeit a témában, válassza ki az óra munkaformáját. Velem dolgozhatsz az egész osztállyal. Dolgozhattok egyénileg netbookokon, tanácsaim alapján, vagy párban, egymást segítve. | Egyéni tanulási út határozza meg. Szükség esetén cserélje ki. | Szabályozó azonosítani a lehetséges nehézségeket az oktatási és kognitív feladatok megoldásában, és megoldást találni ezek megszüntetésére |
| 5-7 Munka párban vagy egyénileg (25 perc) | A tanár tanácsot ad a tanulóknak az önálló munkára. | A témát jól ismerő tanulók egyénileg vagy párban dolgoznak prezentációval (4-10. dia) Feladatokat hajtanak végre (6.9. dia). | kognitív fogalmak meghatározásának, általánosítások létrehozásának, logikai lánc felépítésének képessége Szabályozó a cselekvések meghatározásának képessége a nevelési és kognitív feladattal összhangban Kommunikatív az oktatási együttműködés és közös tevékenységek megszervezésének képessége, az információforrással való munka Személyes felelősségteljes hozzáállás a tanuláshoz, felkészültség és képesség az önfejlesztésre és önképzésre |
| 5. Lineáris egyenlőtlenségek megoldása. (10 perc) | Milyen tulajdonságait használjuk fel az egyenlőtlenségek megoldására? Tud különbséget tenni a lineáris, másodfokú egyenlőtlenségek és rendszereik között? (5. dia) Hogyan lehet megoldani a lineáris egyenlőtlenséget? Hajtsa végre a megoldást. (6. dia) A tanár követi a döntést a táblánál. Ellenőrizze, hogy a megoldás helyes-e. | Megnevezik az egyenlőtlenségek tulajdonságait, válaszadás után vagy nehézség esetén a tanár kinyitja a 4. diát. hívják jellemzők egyenlőtlenségek. Az egyenlőtlenségek tulajdonságainak felhasználása. Egy tanuló a táblánál oldja meg az 1. számú egyenlőtlenséget. A többi füzetekben van, a válaszadó döntése alapján. A 2. és 3. számú egyenlőtlenséget egymástól függetlenül hajtjuk végre. Ellenőrizze az elkészített válasszal. | kognitív Kommunikatív |
| 6. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása. (10 perc) | Hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenséget? Mi ez az egyenlőtlenség? Milyen módszerekkel oldják meg a másodfokú egyenlőtlenségeket? Idézzük fel a parabola-módszert (7. dia) A tanár felidézi egy egyenlőtlenség megoldásának lépéseit. Az intervallum módszert a második vagy több egyenlőtlenség megoldására használják magas fokok. (8. dia) A másodfokú egyenlőtlenségek megoldásához kiválaszthatja az Önnek megfelelő módszert. Oldja meg az egyenlőtlenségeket. (9. dia). A tanár figyelemmel kíséri a megoldás előrehaladását, felidézi a hiányos megoldási módokat másodfokú egyenletek. A tanár tanácsot ad az egyénileg dolgozó tanulóknak. | Válasz: Négyzetes egyenlőtlenség parabola módszerrel vagy intervallum módszerrel oldjuk meg. A hallgatók követik a döntést az előadás során. A táblánál a tanulók felváltva oldják meg az 1. és 2. számú egyenlőtlenségeket. Ellenőrizze a választ. (a 2. számú ideg-va megoldásához emlékezni kell a hiányos másodfokú egyenletek megoldására). A 3. számú egyenlőtlenséget önállóan oldjuk meg, a válasszal ellenőrizzük. | kognitív a képesség fogalmak meghatározására, általánosítások létrehozására, az érvelés általános mintákból a konkrét megoldások felé történő felépítésére Kommunikatív szóbeli előadói képesség és írás saját tevékenység részletes terve; |
| 7. Egyenlőtlenségrendszerek megoldása (4-5 perc) | Idézzük fel az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásának lépéseit! A rendszer megoldása (10. dia) | Nevezze meg a megoldás szakaszait! A tanuló a táblánál dönt, a dián lévő megoldással ellenőrzi. | |
| Reflektív-értékelő szakasz |
|||
| 8. Az ismeretek ellenőrzése és igazolása (10 perc) Cél: az anyag asszimilációs minőségének meghatározása. | Teszteljük tudásunkat a témában. Oldja meg a feladatokat önállóan. A tanár az elkészített válaszok alapján ellenőrzi az eredményt. | Önálló munka elvégzése az opciókon (2. melléklet) A munka elvégzése után a tanuló ezt jelenti a tanárnak. A tanuló a szempontok szerint határozza meg az osztályzatát (11. dia). A munka sikeres elvégzése után folytathat egy további feladatot (11. dia) | Kognitív.Építsen fel logikai érvelési láncokat. |
| 9. Reflexió (2 perc) Cél: megfelelő önértékelés kialakítása saját képességeiről, képességeiről, előnyeiről és korlátairól | Van javulás az eredményekben? Ha továbbra is kérdései vannak, olvassa el az otthoni tankönyvet (120. o.) | Ugyanazon papírlapon értékelik saját tudásukat és készségeiket (1. melléklet). Hasonlítsa össze az önértékeléssel az óra elején, vonjon le következtetéseket. | Szabályozó Eredményeinek önértékelése |
| 10. Házi feladat (2 perc) Cél: a tanult anyag konszolidálása. | Határozza meg a házi feladatot az önálló munka eredménye alapján (13. dia) | Egyéni feladat meghatározása és rögzítése | Kognitív.Építsen fel logikai érvelési láncokat. Az információk elemzése és átalakítása. |
Felhasznált irodalom jegyzéke: Algebra. Tankönyv 9. évfolyamnak. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Felvilágosodás, 2014
Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény
"Átlagos általános iskola №26
az egyes tantárgyak elmélyült tanulmányozásával"
Nizhnekamsk városa, Tatár Köztársaság
A matematika óra összefoglalója
8. osztályban
Egyenlőtlenségek megoldása egy változóval
és rendszereik
előkészített
matematika tanár
első minősítési kategória
Kungurova Gulnaz Rafaelovna
Nyizsnekamsk 2014
Vázlatos terv lecke
Tanár: Kungurova G.R.
Tantárgy: matematika
Téma: "Egy változós lineáris egyenlőtlenségek és rendszereik megoldása."
évfolyam: 8B
Időpont: 2014.10.04
Az óra típusa: a tanult anyag általánosításának és rendszerezésének órája.
Az óra célja: gyakorlati készségek és készségek konszolidációja az egyváltozós egyenlőtlenségek és azok rendszerei, a modul jele alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek megoldásában.
Az óra céljai:
Oktatóanyagok:
a tanulók tudásának általánosítása és rendszerezése az egyenlőtlenségek egy változóval történő megoldásáról;
az egyenlőtlenségek típusának kiterjesztése: kettős egyenlőtlenségek, moduljel alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségi rendszerek;
interdiszciplináris kapcsolat kialakítása a matematika, az orosz nyelv, a kémia között.
Fejlesztés:
a figyelem aktiválása, a mentális aktivitás, a matematikai beszéd fejlesztése, a kognitív érdeklődés a tanulók körében;
az önértékelés és önkontroll módszereinek, kritériumainak elsajátítása.
Nevelési:
önállóságra, pontosságra, csapatmunkára való nevelés
A leckében használt főbb módszerek: kommunikatív, magyarázó-szemléltető, reproduktív, programozott irányítás módszere.
Felszerelés:
egy számítógép
számítógépes bemutató
monoblokkok (egyéni online teszt végrehajtása)
segédanyagok (többszintű egyéni feladatok);
önellenőrző lapok;
Tanterv:
1. Szervezési mozzanat.
4. Önálló munkavégzés
5. Reflexió
6. Az óra eredményei.
Az órák alatt:
1. Szervezési mozzanat.
(A tanár elmondja a tanulóknak az óra céljait és célkitűzéseit.).
Ma nagyon fontos feladat előtt állunk. Össze kell foglalnunk ezt a témát. Ismét nagyon gondosan ki kell dolgozni az elméleti kérdéseket, számításokat kell végezni, meg kell fontolni ennek a témának a gyakorlati alkalmazását. Mindennapi élet. És soha nem szabad elfelejtenünk, hogyan érvelünk, elemzünk, építünk logikai láncok. Beszédünknek mindig írástudónak és helyesnek kell lennie.
Mindannyiótoknak van egy önellenőrző lapja az asztalán. Az óra során ne felejtse el „+” jellel megjelölni hozzájárulását ehhez a leckéhez.
A tanár kiadja a házi feladatot, kommentálja azt:
№1026(a,b), No. 1019(c,d); továbbá - No. 1046 (a)
2. Ismeretek, készségek, készségek aktualizálása
1) Mielőtt hozzáfognánk a gyakorlati feladatokhoz, térjünk át az elméletre.
A tanár bejelenti a meghatározás kezdetét, a tanulóknak pedig ki kell egészíteniük a megfogalmazást
a) Az egyváltozós egyenlőtlenség ax>b, ax alakú egyenlőtlenség<в;
b) Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy minden megoldást megtalálunk, vagy bebizonyítjuk, hogy nincs megoldás;
c) Egy változós egyenlőtlenség megoldása annak a változónak az értéke, amely valódi egyenlőtlenséggé változtatja;
d) Az egyenlőtlenségeket ekvivalensnek nevezzük, ha azonos megoldáskészlettel rendelkeznek. Ha nincs megoldásuk, akkor ekvivalensnek is nevezzük őket
2) A táblán egy változós egyenlőtlenségek, egy oszlopba rendezve. Mellette pedig egy másik oszlopban numerikus intervallumok formájában vannak felírva a megoldásaik. A tanulók feladata az egyenlőtlenségek és a megfelelő hiányosságok közötti megfelelés megállapítása.
Hozzon létre megfeleltetést az egyenlőtlenségek és a numerikus intervallumok között:
1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]
2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)
3. 4x > 3 c) (2; + ∞)
4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)
3) Praktikus munkaönellenőrző füzetben.
A táblára a tanulók felírnak egy lineáris egyenlőtlenséget egy változóval. Elvégzése után melyik tanuló hangot ad döntésének és kijavítja az elkövetett hibákat)
Oldja meg az egyenlőtlenséget:
4 (2x - 1) - 3 (x + 6) > x;
8x - 4 - 3x - 18 > x;
8x - 3x - x\u003e 4 + 18;
4x > 22;
x > 5,5.
Válasz. (5,5 ; +∞)
3. Gyakorlati használat egyenlőtlenségek a mindennapi életben (kémiai kísérlet)
A mindennapi életünkben tapasztalható egyenlőtlenségek jó segítők lehetnek. És emellett természetesen elválaszthatatlan kapcsolat van az iskolai tantárgyak között. A matematika nemcsak az orosz nyelvvel jár, hanem a kémiával is.
(Minden asztalon van egy referencia skála a pH-hoz, 0 és 12 között)
Ha az érték 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;
ha pH = 7, akkor a közeg semleges;
ha a mutató 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
A tanár 3 színtelen oldatot önt különböző kémcsövekbe. A kémia tantárgyból arra kérik a hallgatókat, hogy emlékezzenek az oldatos közeg fajtáira (savas, semleges, lúgos). Továbbá empirikusan, a hallgatók bevonásával meghatározzák mindhárom megoldás környezetét. Ehhez minden megoldásba egy univerzális mutatót engednek le. A következő történik: minden indikátor a megfelelő színre festett. A színséma szerint pedig a referenciaskálának köszönhetően a hallgatók beállítják a környezetet a javasolt megoldások mindegyikéhez.
Következtetés:
1 indikátor pirosra vált, értéke 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 az indikátor zöldre vált, pH = 7, ami azt jelenti, hogy a második oldat közege semleges, azaz víz volt a 2-es kémcsőben
A 3 jelzőfény kékre vált, a 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
A pH-mutató határainak ismeretében meghatározhatja a talaj, a szappan és sok kozmetikum savasságának szintjét.
Az ismeretek, készségek és képességek folyamatos frissítése.
1) A tanár ismét elkezdi megfogalmazni a definíciókat, és a tanulóknak ki kell egészíteniük azokat
A meghatározások folytatása:
a) A lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy minden megoldást megtalálunk, vagy bebizonyítjuk, hogy nincs ilyen
b) Egy változós egyenlőtlenségrendszer megoldása annak a változónak az értéke, amelyre minden egyenlőtlenség igaz
c) Egy változós egyenlőtlenségrendszer megoldásához minden egyenlőtlenségre megoldást kell találni, és meg kell találni ezen intervallumok metszéspontját.
A tanár ismét emlékezteti a tanulókat, hogy a lineáris egyenlőtlenségek egy változóval és rendszereivel való megoldásának képessége az alapja, alapja a bonyolultabb egyenlőtlenségek tanulmányozásának az idősebb évfolyamokon. A tudás alapjainak lerakása folyamatban van, melynek erősségét a 9. évfolyam után az OGE-n kell megerősíteni matematikából.
A tanulók füzetbe írnak, hogy megoldják az egyváltozós lineáris egyenlőtlenségrendszereket. (2 tanuló ezeket a feladatokat a táblán oldja meg, magyarázza el a megoldást, hangoztatja a rendszerek megoldásánál használt egyenlőtlenségek tulajdonságait).
№1012(d). Lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldása
0,3 x+1< 0,4х-2;
1,5x-3 > 1,3x-1. Válasz. (30; +∞).
№1028(g). Oldjunk meg egy kettős egyenlőtlenséget, és jelöljük meg az összes megoldást tartalmazó egész számot
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) A modul jele alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek megoldása.
A gyakorlat azt mutatja, hogy a modul jele alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek szorongást és önbizalomhiányt okoznak a hallgatókban. És gyakran a diákok egyszerűen nem veszik fel az ilyen egyenlőtlenségeket. Ennek pedig a rosszul lerakott alap az oka. A tanár úgy állítja be a tanulókat, hogy időben dolgozzanak magukon, következetesen tanulják meg az egyenlőtlenségek sikeres beteljesülésének minden lépését.
Van szóbeli munka. (Első felmérés)
Modul jele alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek megoldása:
1. Az x szám modulja az origó és az x koordinátájú pont távolsága.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Oldja meg az egyenlőtlenségeket:
a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)
b) | x | > 2. Válasz. (-∞; -2) U (2; +∞)
Ezen egyenlőtlenségek megoldásának előrehaladása a képernyőn részletesen megjelenik, és a modul jele alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek megoldási algoritmusa elhangzik.
4. Önálló munkavégzés
A téma asszimilációs fokának ellenőrzése érdekében 4 diák foglal helyet a monoblokkban, és tematikus online tesztelésnek vetik alá magát. Tesztidő 15 perc. A kitöltést követően öntesztet végeznek mind pontban, mind százalékban.
A többi tanuló az iskolapadban önállóan önálló munkát végez.
Önálló munkavégzés (futási idő 13 perc)
1.opció
2. lehetőség
1. Oldja meg az egyenlőtlenségeket:
a) 6+x< 3 - 2х;
b) 0,8 (x-3) - 3,2 ≤ 0,3 (2 - x).
3 (x+1) - (x-2)< х,
2 > 5x - (2x-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
négy*. (Ráadásul)
Oldja meg az egyenlőtlenséget:
| 2-2x | ≤ 1
1. Oldja meg az egyenlőtlenségeket:
a) 4+x< 1 - 2х;
b) 0,2 (3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3 (4-3x).
2. Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét:
2 (x+3) - (x - 8)< 4,
6x > 3(x+1) -1.
3. Oldja meg a kettős egyenlőtlenséget:
-1 < 3х - 1 < 2
négy*. (Ráadásul)
Oldja meg az egyenlőtlenséget:
| 6x-1 | ≤ 1
Az önálló munka elvégzése után a tanulók füzeteket adnak le ellenőrzésre. A monoblokkon dolgozó diákok a jegyzetfüzeteket is átadják a tanárnak ellenőrzésre.
5. Reflexió
A tanár emlékezteti a tanulókat az önellenőrző lapokra, amelyeken a „+” jellel kellett értékelniük a munkájukat az órán, annak különböző szakaszaiban.
Ám a tanulóknak csak most, egy ősi példabeszéd elhangzása után kell megtenniük tevékenységük fő értékelését.
Példázat.
Egy bölcs ember sétált, és 3 ember ment feléje. A forró napsütésben kövekkel megrakott szekereket vittek a templom építéséhez.
A bölcs megállította őket, és megkérdezte:
- Mit csináltál egész nap?
- Átkozott köveket hordott, - válaszolta az első.
– Lelkiismeretesen végeztem a munkámat – válaszolta a második.
- És részt vettem a templom építésében - válaszolta büszkén a harmadik.
Az önellenőrző lapokon a 3. bekezdésben a tanulóknak olyan kifejezést kell beírniuk, amely megfelel a leckében végzett tevékenységeiknek.
Önellenőrző lap __________________________________________________
№ P / P
Az óra szakaszai
Az oktatási tevékenységek értékelése
Szóbeli munka az órán
Gyakorlati rész:
Egyenlőtlenségek megoldása egy változóval;
egyenlőtlenségi rendszerek megoldása;
kettős egyenlőtlenségek megoldása;
egyenlőtlenségek megoldása moduljellel
Visszaverődés
Az 1. és 2. bekezdésben jelölje „+” jellel a leckében a helyes válaszokat;
a 3. bekezdésben az instrukciók szerint értékelje a leckében végzett munkáját
6. Az óra eredményei.
A tanár az órát összegezve feljegyzi azokat a sikeres pillanatokat és problémákat, amelyeken további munkát kell végezni.
A tanulókat felkérik, hogy önellenőrző lapok alapján értékeljék munkájukat, az önálló munka eredménye alapján pedig még egy jegyet kapnak.
Az óra végén a tanár Blaise Pascal francia tudós szavaira hívja fel a diákok figyelmét: "Az ember nagyszerűsége a gondolkodási képességében rejlik."
Bibliográfia:
1 . Algebra. 8. évfolyam. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neshkov, I. E. Feoktistov.-M.:
Mnemosyne, 2012
2. Algebra.8 osztály. Didaktikai anyagok. Irányelvek/ I.E. Feoktistov.
2. kiadás., Ster.-M.: Mnemosyne, 2011
3. Ellenőrző és mérőanyagok Algebra: 8. évfolyam / Összeállította: L.I. Martyshova.-
M.: VAKO, 2010
Internetes források:
1. Az egyváltozós egyenlőtlenség fogalma
2. Egyenértékű egyenlőtlenségek. Ekvivalenciatételek egyenlőtlenségekre
3. Egyenlőtlenségek megoldása egy változóval
4. Egyváltozós egyenlőtlenségek grafikus megoldása
5. Modulusjel alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek
6. Főbb megállapítások
Egyenlőtlenségek egy változóval
Ajánlatok 2 x + 7 > 10-es, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> A 0-t egyváltozós egyenlőtlenségeknek nevezzük.
NÁL NÉL Általános nézet Ez a fogalom meghatározása a következő:
Meghatározás. Legyen f(x) és g(x) két kifejezés x változóval és X tartománnyal. Ekkor egy f(x) > g(x) vagy f(x) alakú egyenlőtlenség.< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Változó érték x sokaktól x, amely alatt az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik, annak nevezzük döntés. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk a megoldásai halmazát.
Így a 2. egyenlőtlenség megoldásával x + 7 > 10 -x, x? R a szám x= 5, mivel 2 5 + 7 > 10 - 5 valódi numerikus egyenlőtlenség. Megoldásainak halmaza pedig az (1, ∞) intervallum, amelyet az egyenlőtlenség transzformációjával kapunk meg: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Egyenértékű egyenlőtlenségek. Ekvivalenciatételek egyenlőtlenségekre
Az ekvivalencia fogalma az egyenlőtlenségek egy változós megoldásának hátterében áll.
Meghatározás. Két egyenlőtlenséget ekvivalensnek mondunk, ha a megoldáshalmazaik egyenlőek.
Például egyenlőtlenségek 2 x+ 7 > 10 és 2 x> 3 ekvivalens, mivel megoldáshalmazaik egyenlőek és a (2/3, ∞) intervallumot reprezentálják.
Az egyenlőtlenségek ekvivalenciájára és következményeikre vonatkozó tételek hasonlóak az egyenletek ekvivalenciájára vonatkozó megfelelő tételekhez. Bizonyításuk során a valódi numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait használjuk.
3. tétel. Legyen az egyenlőtlenség f(x) > g(x)állítsa be a forgatáson xés h(x) egy ugyanazon a halmazon definiált kifejezés. Aztán az egyenlőtlenségek f(x) > g(x) és f(x) + h(x) > g(x) + h(x) egyenértékűek a forgatáson x.
Ebből a tételből következnek, amelyeket gyakran használnak az egyenlőtlenségek megoldásában:
1) Ha az egyenlőtlenség mindkét oldala f(x) > g(x) adja hozzá ugyanazt a számot d, akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget f(x) + d > g(x) + d, egyenértékű az eredetivel.
2) Ha bármely tagot (numerikus kifejezést vagy változós kifejezést) az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba visszünk át, a tag előjelét az ellenkezőjére változtatva, akkor az adott egyenlőtlenséget kapjuk.
4. tétel. Legyen az egyenlőtlenség f(x) > g(x)állítsa be a forgatáson xés h(x x sokaktól x kifejezés h(x) pozitív értékeket vesz fel. Aztán az egyenlőtlenségek f(x) > g(x) és f(x) h(x) > g(x) h(x) egyenértékűek a forgatáson x.
f(x) > g(x) szorozzuk meg ugyanazzal a pozitív számmal d, akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget f(x) d > g(x) d, ezzel egyenértékű.
5. tétel. Legyen az egyenlőtlenség f(x) > g(x)állítsa be a forgatáson xés h(x) egy kifejezés, amely ugyanazon a halmazon van definiálva, és mindenre vonatkozik x sokaságukat x kifejezés h(x) negatív értékeket vesz fel. Aztán az egyenlőtlenségek f(x) > g(x) és f(x) h(x) > g(x) h(x) egyenértékűek a forgatáson x.
Ebből a tételből következik a következmény: ha az egyenlőtlenség mindkét oldala f(x) > g(x) szorozzuk meg ugyanazzal a negatív számmal dés megfordítva az egyenlőtlenség jelét, megkapjuk az egyenlőtlenséget f(x) d > g(x) d, ezzel egyenértékű.
Egyenlőtlenségek megoldása egy változóval
Oldjuk meg az 5. egyenlőtlenséget x - 5 < 2х - 16, x? R, és indokolja meg mindazokat az átalakításokat, amelyeket a megoldási folyamat során végrehajtunk.
Egyenlőtlenségi megoldás x < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5x - 5 < 2x + 16 az intervallum (-∞, 7).
Feladatok
1. Határozza meg, hogy a következő bejegyzések közül melyek egyváltozós egyenlőtlenségek:
a) -12 - 7 x< 3x+ 8; d) 12 x + 3(x- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12 8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. A 3-as szám megoldása az egyenlőtlenségre 6(2x + 7) < 15(x + 2), x? R? És a 4,25-ös szám?
3. Egyenértékűek-e a következő egyenlőtlenségpárok a valós számok halmazán:
a) -17 x< -51 и x > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 és 3 x-1>0;
c) 6-5 x>-4 és x<2?
4. Az alábbi állítások közül melyik igaz:
a) -7 x < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
ban ben) x< 6 => x< 20?
5. Oldja meg a 3. egyenlőtlenséget ( x - 2) - 4(x + 1) < 2(х - 3) - 2, és indokolja meg az összes transzformációt, amelyet ebben az esetben végrehajt.
6. Bizonyítsuk be, hogy az egyenlőtlenség megoldása 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2x) bármely valós szám.
7. Bizonyítsd be, hogy nem létezik valós szám, ami a 3(2 -) egyenlőtlenség megoldása lenne x) - 2 > 5 - 3x.
8. A háromszög egyik oldala 5 cm, a másik 8 cm Mekkora lehet a harmadik oldal hossza, ha a háromszög kerülete:
a) 22 cm-nél kisebb;
b) több mint 17 cm?
AZ EGYENLŐTLENSÉGEK GRAFIKUS MEGOLDÁSA EGY VÁLTOZÓVAL. Az egyenlőtlenség grafikus megoldásához f(x) > g(x) függvénygrafikonokat kell ábrázolnia
y = f(x) = g(x)és válassza ki az abszcissza tengely azon intervallumait, amelyeken a függvény grafikonja látható y = f(x) az y \u003d függvény grafikonja felett található g(x).
Példa 17.8. Oldjon meg grafikusan egy egyenlőtlenséget x 2- 4 > 3X.
| Y - x * - 4 |
Megoldás. Készítsünk függvénygráfokat egy koordinátarendszerben
y \u003d x 2 - 4 és y= Zx (17.5. ábra). Az ábráról látható, hogy a függvények grafikonjai nál nél= x 2- A 4 az y \u003d 3 függvény grafikonja felett található x nál nél x< -1 és x > 4, azaz az eredeti egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a halmaz
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Válasz: x O(-oo; -1) és ( 4; +oo).
menetrend másodfokú függvény nál nél= ax 2 + bx + c egy parabola, amelynek ágai felfelé mutatnak, ha a > 0, és lefelé, ha a< 0. Ebben az esetben három eset lehetséges: a parabola metszi a tengelyt Ó(azaz az egyenlet ah 2+ bx+ c = 0-nak két különböző gyökere van); a parabola érinti a tengelyt x(azaz az egyenlet ax 2 + bx+ c = 0-nak egy gyöke van); a parabola nem metszi a tengelyt Ó(azaz az egyenlet ah 2+ bx+ c = 0-nak nincs gyökere). Így a parabolának hat lehetséges pozíciója van, amely az y függvény grafikonjaként szolgál \u003d ah 2+b x + c(17.6. ábra). Ezen illusztrációk segítségével másodfokú egyenlőtlenségeket lehet megoldani.
Példa 17.9. Oldja meg az egyenlőtlenséget: a) 2 x r+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Megoldás, a) A 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 egyenletnek két gyöke van: x, \u003d -3, x 2 = 0.5. Egy függvény grafikonjaként szolgáló parabola nál nél= 2x 2+ 5x -3, az ábrán látható. a. Egyenlőtlenség 2x 2+ 5x -3 > 0 ezekre az értékekre kerül végrehajtásra X, amelyeknél a parabola pontjai a tengely felett helyezkednek el Ó:órakor lesz x< х х vagy mikor x> x r> azok. nál nél x< -3 vagy at x > 0.5. Ezért az eredeti egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a (- ¥; -3) és (0,5; + ¥) halmaz.
b) -Zx 2 + egyenlet 2x- 6 = 0-nak nincs valódi gyökere. Egy függvény grafikonjaként szolgáló parabola nál nél= - 3x 2 - 2x -ábrán látható a 6. ábra. 17.6 Egyenlőtlenség -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, amelyeknél a parabola pontjai a tengely alatt helyezkednek el Ó. Mivel a teljes parabola a tengely alatt van Ó, akkor az eredeti egyenlőtlenség megoldásainak halmaza az R halmaz .
A MODULUSJEL ALATT VÁLTOZÓT TARTALMAZÓ EGYENLŐTLENSÉGEK. Az egyenlőtlenségek megoldása során ne feledje, hogy:
|f(x) | =
f(x), ha f(x) ³ 0,
- f(x), ha f(x) < 0,
Ugyanakkor a terület megengedett értékek Az egyenlőtlenségeket intervallumokra kell felosztani, amelyek mindegyikén a modulusjel alatti kifejezések megtartják előjelüket. Ezután a modulok bővítésével (a kifejezések előjeleit figyelembe véve) meg kell oldani az egyenlőtlenséget minden intervallumon, és a kapott megoldásokat az eredeti egyenlőtlenség megoldási halmazává kell kombinálni.
Példa 17.10. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
|x -1| + |2-x| > 3+x.
Megoldás. Az x = 1 és x = 2 pontok a valós tengelyt (a (17.9) egyenlőtlenség ODZ-je) három intervallumra osztják: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Oldjuk meg mindegyiken ezt az egyenlőtlenséget. Ha x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; tehát |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Ezért a (17.9) egyenlőtlenség a következő alakot ölti: 1- x + 2 - x > 3 + x, azaz. x< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Ha 1 £ x 0,2 £, akkor x - 1 ³ 0 és 2 - x ³ 0; ezért | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 - x. .Tehát van egy rendszer:
x - 1 + 2 - x > 3 + x,
Az így létrejövő egyenlőtlenségrendszernek nincsenek megoldásai. Ezért a [ 1; 2], a (17.9) egyenlőtlenség megoldásainak halmaza üres.
Ha x > 2, akkor x - 1 > 0 és 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x - 2 > 3 + x,
x > 6 vagy
A (17.9) egyenlőtlenség ODZ minden részén talált megoldásokat összevonva megkapjuk a megoldását - a (-¥; 0) È (6; + oo) halmazt.
Néha hasznos egy valós szám modulusának geometriai értelmezését használni, amely szerint | a | a koordináta egyenes a pontjának távolságát jelenti az O origótól, és | a - b | a koordinátaegyenes a és b pontjai közötti távolságot jelenti. Alternatív megoldásként használhatja az egyenlőtlenség mindkét oldalának négyzetre emelésének módszerét.
17.5. Tétel. Ha kifejezések f(x) és g(x) tetszőleges x-hez csak nem negatív értékeket vegyünk, akkor az egyenlőtlenségeket f(x) > g(x)és f (x) ² > g (x) ² egyenértékűek.
58. Főbb következtetések 12. §
Ebben a részben a következőket határoztuk meg fogalmak:
Numerikus kifejezés;
Egy numerikus kifejezés értéke;
Egy kifejezés, aminek nincs értelme;
Kifejezés változó(k)kal;
Kifejezési hatókör;
azonosan egyenlő kifejezések;
Identitás;
Egy kifejezés identitástranszformációja;
Numerikus egyenlőség;
Numerikus egyenlőtlenség;
Egyenlet egy változóval;
Az egyenlet gyöke;
Mit jelent egy egyenlet megoldása;
egyenértékű egyenletek;
Egyenlőtlenség egy változóval;
Az egyenlőtlenség megoldása;
Mit jelent egy egyenlőtlenség megoldása;
Egyenértékű egyenlőtlenségek.
Ezenkívül figyelembe vettük az egyenletek és egyenlőtlenségek ekvivalenciájára vonatkozó tételeket, amelyek megoldásuk alapját képezik.
Az egyenletek és egyenlőtlenségek ekvivalenciájára vonatkozó fenti fogalmak és tételek definícióinak ismerete - szükséges feltétel módszeresen kompetens tanulmányozással fiatalabb diákok algebrai anyag.
