Rendszer m lineáris egyenletek n ismeretlennel formarendszernek nevezzük
Ahol a ijÉs b i (én=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij első index én jelöli az egyenlet számát, és a második j– az ismeretlen száma, amelyen ez az együttható áll.
Az ismeretlenek együtthatóit mátrix formájában írjuk fel , amit majd hívunk a rendszer mátrixa.
Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívják ingyenes tagok.
Totalitás n számok c 1 ,…,c n hívott döntés egy adott rendszerre, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.
A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet állhat elő:
Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelynek legalább egy megoldása van közös. Ellenkező esetben pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún nem ízületi.
Nézzük meg, hogyan lehet megoldást találni a rendszerre.
MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA
A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:
Tekintsük a rendszermátrixot 
valamint ismeretlen és szabad kifejezések mátrixoszlopait 
Keressük a munkát
azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer a formába írható
vagy rövidebb A∙X=B.
Itt vannak a mátrixok AÉs B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert... elemei jelentik a megoldást erre a rendszerre. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.
Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Akkor mátrix egyenlet a következőképpen van megoldva. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A = EÉs E∙X = X, akkor a mátrixegyenlet megoldását kapjuk a formában X = A -1 B .
Figyeljük meg, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixoknál található, akkor mátrix módszer csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos rögzítése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem lesz négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.
Példák. Egyenletrendszerek megoldása.
CRAMER SZABÁLYA
Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:
A rendszermátrixnak megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,
hívott a rendszer meghatározója.
Állítsunk össze három további determinánst a következőképpen: cseréljük le egymás után a D determináns 1, 2 és 3 oszlopát egy szabad tagokból álló oszlopra.
Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani.
Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és
Bizonyíték. Tehát vegyünk egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet – be A 21és 3. – on A 31:
Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:
Nézzük meg ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. Az 1. oszlop elemeiben a determináns kiterjesztésének tételével
Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .
Végül is ezt könnyű észrevenni 
Így megkapjuk az egyenlőséget: .
Ennélfogva, .
Hasonlóan származnak a és egyenlőségek, amiből a tétel állítása következik.
Megjegyezzük tehát, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszer rendelkezik egyetlen döntésés vissza. Ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, akkor a rendszernek vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs megoldása, pl. összeegyeztethetetlen.
Példák. Egyenletrendszer megoldása
GAUSS MÓDSZER
A korábban tárgyalt módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Ez az ismeretlenek következetes kiiktatásából áll a rendszer egyenleteiből.
Tekintsünk ismét egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:
.
Az első egyenletet változatlanul hagyjuk, a 2. és 3. egyenlettől pedig kizárjuk a x 1. Ehhez el kell osztani a második egyenletet A 21 és szorozzuk meg – A 11, majd add hozzá az 1. egyenlethez. Hasonlóképpen elosztjuk a harmadik egyenletet A 31 és szorozzuk meg – A 11, majd add hozzá az elsőhöz. Ennek eredményeként az eredeti rendszer a következő formában lesz:
Most az utolsó egyenletből kiküszöböljük a tartalmazó kifejezést x 2. Ehhez osszuk el a harmadik egyenletet, szorozzuk meg és adjuk össze a másodikkal. Ekkor lesz egy egyenletrendszerünk:
Innen az utolsó egyenletből könnyű megtalálni x 3, majd a 2. egyenletből x 2és végül 1-től - x 1.
A Gauss-módszer használatakor az egyenletek szükség esetén felcserélhetők.
Gyakran írás helyett új rendszer egyenletek, a rendszer kiterjesztett mátrixának kiírására korlátozódnak:
majd elemi transzformációk segítségével hozza háromszög vagy átló formába.
NAK NEK elemi átalakulások A mátrixok a következő transzformációkat tartalmazzák:
Példák: Egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.
Így a rendszernek végtelen számú megoldása van.
A online számológép lineáris egyenletrendszert old meg a mátrix módszerrel. Nagyon adott részletes megoldás. Lineáris egyenletrendszer megoldásához válassza ki a változók számát. Válasszon számítási módszert inverz mátrix. Ezután írja be az adatokat a cellákba, és kattintson a "Számítás" gombra.
×
Törli az összes cellát?
Bezárás Törlés
Adatbeviteli utasítások. A számok egész számok (például 487, 5, -7623 stb.), tizedesjegyek (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtek formájában kerülnek megadásra. A törtet a/b formában kell megadni, ahol a és b egész számok ill decimális számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.
Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert:
Adva az inverz mátrix definícióját, megvan A −1 A=E, Ahol E- identitásmátrix. Ezért a (4) a következőképpen írható fel:
Így az (1) (vagy (2)) lineáris egyenletrendszer megoldásához elegendő az inverzét megszorozni. A mátrix kényszervektoronként b.
1. példa Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszert a mátrix módszerrel:
Határozzuk meg az A mátrix inverzét a Jordan-Gauss módszerrel. A mátrix jobb oldalán Aírjuk le identitásmátrix:
A főátló alatti mátrix 1. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 2,3 sorokat az 1-es sorral, szorozva -1/3-mal, -1/3-mal:
A főátló alatti mátrix 2. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 3. sort a 2. sor szorzatához -24/51-gyel:
A mátrix 2. oszlopának főátló feletti elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá az 1. sort a 2. sor szorzatához -3/17-tel:
Válasszuk el a mátrix jobb oldalát. A kapott mátrix az inverz mátrix A :
Lineáris egyenletrendszer felírásának mátrix formája: Ax=b, Ahol
Számítsuk ki a mátrix összes algebrai komplementerét A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Az inverz mátrixot a következő kifejezésből számítjuk ki.
Mátrix módszer SLAU megoldások olyan egyenletrendszerek megoldására alkalmazzák, amelyekben az egyenletek száma megfelel az ismeretlenek számának. A módszer a legalkalmasabb alacsony rendű rendszerek megoldására. A lineáris egyenletrendszerek megoldásának mátrixmódszere a mátrixszorzás tulajdonságainak alkalmazásán alapul.
Ez a módszer más szóval inverz mátrix módszer,úgy hívják, mert a megoldás egy közönséges mátrixegyenletre redukálódik, amelynek megoldásához meg kell találni az inverz mátrixot.
Mátrix megoldási módszer A nullánál nagyobb vagy kisebb determinánssal rendelkező SLAE a következő:
Tegyük fel, hogy létezik egy SLE (lineáris egyenletrendszer) azzal n ismeretlen (tetszőleges mező felett):
Ez azt jelenti, hogy könnyen mátrix formájúvá alakítható:
AX=B, Ahol A— a rendszer fő mátrixa, BÉs x— a rendszer szabad kifejezéseinek és megoldásainak oszlopai:
Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet ezzel A−1— inverz mátrixról mátrixra A: A −1 (AX)=A −1 B.
Mert A −1 A=E, azt jelenti, X=A −1 B. Jobb rész egyenlet adja a kezdeti rendszer megoldásoszlopát. A mátrix módszer alkalmazhatóságának feltétele a mátrix nem degeneráltsága A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix determinánsa ne legyen egyenlő nullával A:
detA≠0.
Mert homogén lineáris egyenletrendszer, azaz ha vektor B=0, előadták fordított szabály: a rendszernél AX=0 nem triviális (azaz nem nullával egyenlő) megoldás csak akkor létezik detA=0. Ezt a kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között ún Fredholm alternatíva.
Így az SLAE megoldása mátrix módszerrel a képlet szerint történik 
. Vagy az SLAE megoldását a használatával találják meg inverz mátrix A−1.
Ismeretes, hogy négyzetmátrix A rendelés n tovább n van egy inverz mátrix A−1 csak akkor, ha a determinánsa nem nulla. Így a rendszer n lineáris algebrai egyenletek Val vel n Az ismeretleneket csak akkor oldjuk meg mátrix módszerrel, ha a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával.
Annak ellenére, hogy egy ilyen módszer alkalmazásának korlátai vannak, és számítási nehézségek merülnek fel, amikor nagy értékek együtthatók és magasrendű rendszerek, a módszer könnyen megvalósítható számítógépen.
Először is ellenőrizzük, hogy az ismeretlen SLAE-k együtthatómátrixának determinánsa nem egyenlő-e nullával.
Most megtaláljuk szakszervezeti mátrix , transzponálja és helyettesítse be a képletbe az inverz mátrix meghatározásához.
Helyettesítsd be a változókat a képletbe:
Most az inverz mátrix és a szabad tagok oszlopának megszorzásával találjuk meg az ismeretleneket.
Így, x=2; y=1; z=4.
Amikor az SLAE szokásos alakjáról a mátrix alakra térünk át, ügyeljünk az ismeretlen változók sorrendjére a rendszer egyenleteiben. Például:
NEM LEHET így írni:
Először is meg kell rendezni az ismeretlen változókat a rendszer minden egyenletében, és csak ezután kell folytatni a mátrix jelölést:
Ezenkívül óvatosnak kell lennie az ismeretlen változók kijelölésével x 1, x 2, …, x n lehetnek más betűk is. Például:
mátrix formában így írjuk:
A mátrix módszer alkalmasabb olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlen változók számával, és a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával. Ha egy rendszerben 3-nál több egyenlet van, az inverz mátrix megtalálása több számítási erőfeszítést igényel, ezért ebben az esetben célszerű a Gauss-módszert használni a megoldáshoz.
Az inverz mátrix módszer az különleges eset mátrix egyenlet
Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!
Megoldás: A rendszert mátrix alakban írjuk fel A rendszer megoldását a képlet segítségével találjuk meg (lásd az utolsó képletet)
Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.
Először nézzük a meghatározót:
Itt a determináns az első sorban bővül.
Figyelem! Ha, akkor az inverz mátrix nem létezik, és a rendszer mátrix módszerrel megoldhatatlan. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésével (Gauss-módszer) oldjuk meg.
Most ki kell számítanunk 9 kiskorút, és be kell írnunk a minors mátrixba 
Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy annak a sornak a száma, amelyben az elem található. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található: 
Azaz a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, és például az elem a 3 sorban, 2 oszlopban van.
A megoldás során célszerű részletesen leírni a kiskorúak számítását, bár némi tapasztalattal meg lehet szokni a szóbeli hibás számításokat.
A kiskorúak számítási sorrendje teljesen lényegtelen, itt soronként balról jobbra számoltam őket. A kiskorúakat oszlopok szerint lehetett számolni (ez még kényelmesebb).
És így:
– a mátrix megfelelő elemeinek minor mátrixa.
– algebrai összeadások mátrixa.
– algebrai összeadások transzponált mátrixa.
Ismétlem, a leckében részletesen megbeszéltük az elvégzett lépéseket. Hogyan találjuk meg a mátrix inverzét?
Most írjuk fel az inverz mátrixot:
Semmilyen körülmények között ne írjuk be a mátrixba, ez komolyan megnehezíti a további számításokat. Az osztást akkor kell végrehajtani, ha a mátrixban lévő összes szám maradék nélkül osztható 60-zal. De adjunk hozzá egy mínuszt a mátrixhoz ebben az esetben Ez nagyon szükséges, éppen ellenkezőleg, leegyszerűsíti a további számításokat.
Már csak a mátrixszorzást kell végrehajtani. Az órán megtanulhatod a mátrixok szorzását. Műveletek mátrixokkal. Egyébként pontosan ugyanezt a példát elemzik ott.
Vegye figyelembe, hogy a 60-zal való osztás megtörtént legvégül.
Előfordulhat, hogy nem válik el teljesen, pl. „rossz” törteket eredményezhet. Már elmondtam, hogy mit kell ilyen esetekben tenni, amikor megvizsgáltuk Cramer szabályát.
Válasz: 
12. példa
Oldja meg a rendszert az inverz mátrix segítségével! 
Ez egy példa egy független megoldásra (minta a végső tervből és a válasz a lecke végén).
A rendszer megoldásának leguniverzálisabb módja az ismeretlenek kiküszöbölésének módszere (Gauss-módszer). Nem olyan egyszerű világosan elmagyarázni az algoritmust, de megpróbáltam!
Sok sikert!
Válaszok:
3. példa:
6. példa:
8. példa: , . Megtekintheti vagy letöltheti a példa mintamegoldását (az alábbi link).
10., 12. példa: 
Továbbra is figyelembe vesszük a lineáris egyenletrendszereket. Ez a lecke a harmadik a témában. Ha van homályos elképzelése arról, hogy mi a lineáris egyenletrendszer általában, ha úgy érzi, mint egy teáskanna, akkor azt javaslom, hogy kezdje az alapokkal a Következő oldalon, hasznos tanulmányozni a leckét.
A Gauss-módszer egyszerű! Miért? A híres német matematikus, Johann Carl Friedrich Gauss még életében kapott elismerést legnagyobb matematikus minden idők zsenije, sőt „a matematika királyának” beceneve is. És minden zseniális, mint tudod, egyszerű! Egyébként nem csak a balekok kapnak pénzt, hanem a zsenik is - Gauss portréja a 10 német márkás bankjegyen volt (az euró bevezetése előtt), Gauss pedig még mindig titokzatosan mosolyog a németekre a közönséges postai bélyegekről.
A Gauss-módszer annyiban egyszerű, hogy elsajátításához ELÉG EGY ÖTÖDÉLYES TANULÓ TUDÁSA. Tudnia kell összeadni és szorozni! Nem véletlen, hogy a módszer szekvenciális elimináció az ismeretleneket gyakran figyelembe veszik a tanárok a választható iskolai matematikai tárgyakon. Paradoxon, de a hallgatók a Gauss-módszert tartják a legnehezebbnek. Semmi meglepő - minden a módszertanról szól, és megpróbálok hozzáférhető formában beszélni a módszer algoritmusáról.
Először is rendszerezzünk egy kis ismeretet a lineáris egyenletrendszerekről. Egy lineáris egyenletrendszer:
1) Legyen egyedi megoldása.
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Nincsenek megoldásai (legyen nem ízületi).
A Gauss-módszer a legerősebb és leguniverzálisabb eszköz a megoldás megtalálására Bármi lineáris egyenletrendszerek. Ahogy emlékszünk, Cramer-szabály és mátrix módszer nem alkalmasak olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. És az ismeretlenek szekvenciális megszüntetésének módszere Akárhogyan is elvezet minket a válaszhoz! Ebben a leckében ismét megvizsgáljuk a Gauss-módszert az 1. esetre (a rendszer egyetlen megoldása), egy cikket szentelünk a 2-3. pontok helyzeteinek. Megjegyzem, maga a módszer algoritmusa mindhárom esetben ugyanúgy működik.
Térjünk vissza a legegyszerűbb rendszer osztályból Hogyan lehet lineáris egyenletrendszert megoldani?
és a Gauss-módszerrel oldja meg.
Az első lépés az írás kiterjesztett rendszermátrix:
. Szerintem mindenki látja, hogy milyen elv alapján írják az együtthatókat. A mátrixon belüli függőleges vonalnak nincs matematikai jelentése – ez egyszerűen áthúzás a könnyebb tervezés érdekében.
Referencia: Azt javaslom, emlékezzenfeltételeket lineáris algebra.Rendszermátrix egy mátrix, amely csak ismeretlenek együtthatóiból áll, in ebben a példában rendszermátrix: . Kiterjesztett rendszermátrix – ez a rendszer ugyanazon mátrixa plusz egy szabad kifejezések oszlopa, ebben az esetben: . A rövidség kedvéért bármelyik mátrixot egyszerűen mátrixnak nevezhetjük.
A kiterjesztett mátrixrendszer felírása után végre kell hajtani vele néhány műveletet, amelyeket szintén ún elemi átalakulások.
A következő elemi transzformációk léteznek:
1) Húrok mátrixok átrendezhető néhány helyen. Például a vizsgált mátrixban fájdalommentesen átrendezheti az első és a második sort: 
2) Ha a mátrixban vannak (vagy jelentek meg) arányos (különleges esetben - azonos) sorok, akkor töröl a mátrixból ezek a sorok egy kivételével. Vegyük például a mátrixot 
. Ebben a mátrixban az utolsó három sor arányos, így elég csak egyet hagyni belőlük: 
.
3) Ha a transzformációk során egy nulla sor jelenik meg a mátrixban, akkor annak is lennie kell töröl. Természetesen nem húzom, a nulla vonal az a vonal, amelyben csupa nulla.
4) A mátrix sor lehet szorozni (osztani) tetszőleges számra nem nulla. Vegyük például a mátrixot. Itt célszerű az első sort –3-mal elosztani, a második sort pedig 2-vel megszorozni: 
. Ez a művelet nagyon hasznos, mert leegyszerűsíti a mátrix további átalakításait.
5) Ez az átalakítás okozza a legtöbb nehézséget, de valójában nincs is semmi bonyolult. Egy mátrix sorához lehet adjunk hozzá egy másik karakterláncot egy számmal szorozva, nullától eltérő. Tekintsük a mátrixunkat gyakorlati példa: . Először részletesen leírom az átalakulást. Szorozzuk meg az első sort -2-vel: 
, És a második sorhoz hozzáadjuk az első sort –2-vel szorozva: . Most az első sor „vissza” osztható –2-vel: . Mint látható, a sor, amely HOZZÁADVA LI – nem változott. Mindig megváltozik az a sor, HOGY HOZZÁADVA UT.
A gyakorlatban persze nem írják le ilyen részletesen, hanem röviden: 
Még egyszer: a második sorra hozzáadta az első sort –2-vel szorozva. Egy sort rendszerint szóban vagy piszkozaton szoroznak meg, a mentális számítási folyamat a következőképpen zajlik:
"Átírom a mátrixot és átírom az első sort: "
„Első oszlop. Az alján nullát kell kapnom. Ezért a felül lévőt megszorzom –2-vel: , és az elsőt a második sorba adom: 2 + (–2) = 0. Az eredményt a második sorba írom: 
»
„Most a második oszlop. Felül a -1-et megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: 1 + 2 = 3. Az eredményt a második sorba írom: "
– És a harmadik oszlop. Felül a -5-öt megszorzom -2-vel: . Az elsőt hozzáadom a második sorhoz: –7 + 10 = 3. Az eredményt a második sorba írom: »
Kérjük, alaposan értelmezze ezt a példát, és értse meg a szekvenciális számítási algoritmust, ha ezt megérti, akkor a Gauss-módszer gyakorlatilag a zsebében van. De természetesen még dolgozunk ezen az átalakításon.
Az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását
! FIGYELEM: megfontolt manipulációk nem használható, ha olyan feladatot ajánlanak fel Önnek, amelyben a mátrixok „maguktól” vannak megadva. Például a „klasszikus” kifejezéssel műveletek mátrixokkal Semmilyen körülmények között ne rendezzen át semmit a mátrixokon belül!
Térjünk vissza a rendszerünkhöz. Majdnem megoldódott.
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal redukáljuk le lépcsős nézet:
(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Egyébként miért szorozzuk meg az első sort –2-vel? Annak érdekében, hogy nulla legyen az alján, ami azt jelenti, hogy megszabadulunk egy változótól a második sorban.
(2) Osszuk el a második sort 3-mal.
Az elemi transzformációk célja–
csökkentse a mátrixot lépésenkénti formára: 
. A feladatlapon egyértelműen szerepel, hogy egyszerű ceruzával„lépcső”, és karikázza be a „lépcsőkön” található számokat is. Maga a „lépcsős nézet” kifejezés nem teljesen elméleti, a tudományos és oktatási irodalomban gyakran nevezik trapéz alakú nézet vagy háromszög nézet.
Az elemi átalakítások eredményeként azt kaptuk egyenértékű eredeti egyenletrendszer:
Most a rendszert „le kell tekerni”. ellentétes irány– alulról felfelé ezt a folyamatot ún a Gauss-módszer inverze.
Az alsó egyenletben már van egy kész eredményünk: .
Tekintsük a rendszer első egyenletét, és cseréljük be a már ismert „y” értékét:
Tekintsük a leggyakoribb helyzetet, amikor a Gauss-módszer három, három ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszer megoldását igényli.
1. példa
Oldja meg az egyenletrendszert Gauss módszerrel:
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:
Most azonnal lerajzolom az eredményt, amelyre a megoldás során eljutunk:
És ismétlem, az a célunk, hogy a mátrixot elemi transzformációk segítségével lépésenkénti formába hozzuk. Hol kezdjem?
Először nézze meg a bal felső számot: 
Szinte mindig itt kell lennie Mértékegység. Általánosságban elmondható, hogy a –1 (és néha más számok is) megteszik, de valahogy hagyományosan megtörtént, hogy egyet általában oda helyeznek. Hogyan szervezzünk egy egységet? Megnézzük az első oszlopot - kész egységünk van! Első átalakítás: cserélje fel az első és a harmadik sort: 
Most az első sor változatlan marad a megoldás végéig. Most jól.
A bal felső sarokban lévő egység rendezett. Most nullákat kell kapnia ezeken a helyeken: 
Egy „nehéz” transzformáció segítségével nullákat kapunk. Először a második sorral (2, –1, 3, 13) foglalkozunk. Mit kell tenni, hogy nulla legyen az első pozícióban? Kell a második sorhoz adjuk hozzá az első sort –2-vel szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –2-vel: (–2, –4, 2, –18). És következetesen végrehajtjuk (ismét mentálisan vagy vázlatosan) kiegészítést, a második sorhoz hozzáadjuk az első sort, már –2-vel megszorozva:
Az eredményt a második sorba írjuk: 
Ugyanígy foglalkozunk a harmadik sorral is (3, 2, –5, –1). Ahhoz, hogy az első pozícióban nullát kapjon, szüksége van a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Gondolatban vagy piszkozatban szorozza meg az első sort –3-mal: (–3, –6, 3, –27). ÉS a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort –3-mal szorozva:
Az eredményt a harmadik sorba írjuk:
A gyakorlatban ezeket a műveleteket általában szóban hajtják végre, és egy lépésben írják le: 
Nem kell mindent egyszerre és egyszerre számolni. A számítások sorrendje és az eredmények „beírása”. következetesés általában ez így van: először átírjuk az első sort, és lassan pöffeszkedünk magunkra - KÖVETKEZTETESEN és FIGYELMESEN:
Magának a számításnak a mentális folyamatát pedig már fentebb tárgyaltam.
Ebben a példában ez könnyen megtehető: a második sort elosztjuk –5-tel (mivel minden szám osztható 5-tel, maradék nélkül). Ugyanakkor a harmadik sort elosztjuk –2-vel, mert minél kisebbek a számok, annál egyszerűbb a megoldás:
Az elemi átalakítások végső szakaszában itt egy másik nullát kell kapnia: 
Ezért a harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sort –2-vel szorozva:
Próbáld meg kitalálni ezt a műveletet – gondolatban szorozd meg a második sort –2-vel, és hajtsd végre az összeadást.
Az utolsó végrehajtott művelet az eredmény frizurája, a harmadik sort el kell osztani 3-mal.
Az elemi transzformációk eredményeként egy ekvivalens lineáris egyenletrendszert kaptunk: 
Menő.
Most a Gauss-módszer fordítottja lép életbe. Az egyenletek alulról felfelé „letekernek”.
A harmadik egyenletben már van egy kész eredmény:
Nézzük a második egyenletet: . A "zet" jelentése már ismert, így:
És végül az első egyenlet: . Az „Igrek” és a „zet” ismert, csak apróságokról van szó:
Válasz: 
Amint már többször megjegyeztük, bármely egyenletrendszernél lehetséges és szükséges a megtalált megoldás ellenőrzése, szerencsére ez egyszerűen és gyorsan történik.
2. példa
Ez egy példa egy független megoldásra, egy minta a végleges tervből és egy válasz a lecke végén.
Meg kell jegyezni, hogy az Ön a döntés előrehaladását lehet, hogy nem esik egybe a döntési folyamatommal, és ez a Gauss-módszer sajátossága. De a válaszoknak ugyanazoknak kell lenniük!
3. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:
Nézzük a bal felső „lépést”. Nekünk kellene egy ott. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincsenek egységek, így a sorok átrendezése nem old meg semmit. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Ezt csináltam: (1) Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort –1-gyel megszorozva. Vagyis a második sort gondolatban megszoroztuk –1-gyel, és összeadtuk az első és a második sort, míg a második sor nem változott.
Most a bal felső sarokban a -1, ami nekünk pont megfelel. Aki szeretne +1-et kapni, további mozgást végezhet: az első sort szorozza meg –1-gyel (változtassa előjelét).
(2) Az első sort 5-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 3-mal szorozva a harmadikhoz.
(3) Az első sort –1-gyel szoroztuk, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jelzése is megváltozott, és a második helyre került, így a második „lépcsőn” megvolt a szükséges egység.
(4) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 2-vel.
(5) A harmadik sort elosztottuk 3-mal.
A számítási hibára (ritkábban elgépelésre) utaló rossz jel a „rossz” lényeg. Vagyis ha valami olyasmit kapunk, mint , lent, és ennek megfelelően 
, akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy az elemi átalakítások során hiba történt.
Mi fordítva terheljük, a példák tervezésénél sokszor nem magát a rendszert írják át, hanem az egyenleteket „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. A fordított lépés, emlékeztetlek, működik, alulról felfelé:
Igen, itt az ajándék:
Válasz: 
.
4. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel! 
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania, ez valamivel bonyolultabb. Nem baj, ha valaki összezavarodik. Teljes megoldás és mintaterv az óra végén. Az Ön megoldása eltérhet az én megoldásomtól.
Az utolsó részben a Gauss-algoritmus néhány jellemzőjét tekintjük át.
Az első jellemző, hogy néha néhány változó hiányzik a rendszeregyenletekből, például: 
Hogyan kell helyesen írni a kiterjesztett rendszermátrixot? Erről már beszéltem az órán. Cramer szabálya. Mátrix módszer. A rendszer kiterjesztett mátrixában a hiányzó változók helyére nullákat teszünk: 
Mellesleg ez szép könnyű példa, mivel az első oszlopban már van egy nulla, és kevesebb elemi konverziót kell végrehajtani.
A második jellemző ez. Az összes vizsgált példában a „lépésekre” vagy –1-et vagy +1-et tettünk. Lehetnek ott más számok is? Bizonyos esetekben megtehetik. Fontolja meg a rendszert: .
Itt a bal felső „lépésben” van egy kettőnk. De észrevesszük azt a tényt, hogy az első oszlopban lévő összes szám maradék nélkül osztható 2-vel - a másik pedig kettő és hat. És a bal felső sarokban lévő kettő megfelel nekünk! Első lépésben a következő átalakításokat kell végrehajtania: a második sorhoz adja hozzá az első sort –1-gyel szorozva; a harmadik sorhoz adjuk hozzá az első sort –3-mal szorozva. Így az első oszlopban megkapjuk a szükséges nullákat.
Vagy egy másik hagyományos példa: 
. Itt a második „lépésben” a három is megfelel nekünk, hiszen a 12 (az a hely, ahol nullát kell kapnunk) maradék nélkül osztható 3-mal. A következő átalakítást kell végrehajtani: a harmadik sorhoz adjuk hozzá a második sort –4-gyel megszorozva, aminek eredményeként megkapjuk a szükséges nullát.
Gauss módszere univerzális, de van egy sajátossága. Magabiztosan megtanulhatja megoldani a rendszereket más módszerekkel (Cramer módszer, mátrix módszer) szó szerint az első alkalommal - nagyon szigorú algoritmusuk van. De ahhoz, hogy magabiztosan érezze magát a Gauss-módszerben, „be kell fognia”, és legalább 5-10 tíz rendszert kell megoldania. Ezért eleinte zűrzavar és számítási hibák adódhatnak, és ebben nincs semmi szokatlan vagy tragikus.
Esős őszi időjárás ablakon kívül... Ezért mindenkinek, aki összetettebb példát szeretne önállóan megoldani:
5. példa
Oldjon meg egy 4 lineáris egyenletrendszert négy ismeretlennel Gauss módszerrel! 
Egy ilyen feladat nem olyan ritka a gyakorlatban. Azt hiszem, még egy teáskanna is, aki alaposan áttanulmányozta ezt az oldalt, meg fogja érteni egy ilyen rendszer intuitív megoldásának algoritmusát. Alapvetően minden ugyanaz – csak több művelet van.
A leckében azokat az eseteket tárgyaljuk, amikor a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens), vagy végtelen sok megoldása van. Nem kompatibilis rendszerek és rendszerek ezzel általános döntés . Itt rögzítheti a Gauss-módszer figyelembe vett algoritmusát.
Sok sikert!
Megoldások és válaszok:
2. példa: Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába.
Elvégzett elemi átalakítások:
(1) Az első sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel.Figyelem!
Itt kísértést érezhet, hogy kivonja az elsőt a harmadik sorból; erősen ajánlom, hogy ne vonja ki - a hiba kockázata jelentősen megnő. Csak hajtsd össze!
(2) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A második és a harmadik sor felcserélődött.jegyzet
, hogy a „lépcsőkön” nem csak eggyel elégszünk meg, hanem –1-gyel is, ami még kényelmesebb.
(3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 5-tel.
(4) A második sor előjele megváltozott (-1-gyel szorozva). A harmadik sort 14-gyel osztották.
Fordított:
Válasz: 
.
4. példa: Írjuk fel a rendszer kibővített mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:
Végrehajtott konverziók:
(1) Az első sorhoz egy második sor került. Így a kívánt egység a bal felső „lépésben” van elrendezve.
(2) Az első sort 7-tel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz, az első sort 6-tal szorozva a harmadikhoz.
A második „lépéssel” minden rosszabb lesz , a „jelöltek” a 17-es és a 23-as számok, és vagy egy vagy –1 kell. A (3) és (4) átalakítások célja a kívánt egység elérése
(3) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva –1-gyel.
(4) A harmadik sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva –3-mal.
A második lépéshez szükséges tétel megérkezett.
.
(5) A második sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva 6-tal.
(6) A második sort –1-gyel, a harmadikat –83-mal szoroztuk. Nyilvánvaló, hogy a síkot három különböző pont határozza meg egyértelműen, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ezért a síkok hárombetűs megjelölései meglehetősen népszerűek - a hozzájuk tartozó pontok szerint, például ; .Ha szabad tagok
Az egyenletek általában, a lineáris algebrai egyenletek és rendszereik, valamint a megoldásukra szolgáló módszerek különleges helyet foglalnak el a matematikában, mind elméleti, mind alkalmazott értelemben.
Ez annak köszönhető, hogy a fizikai, gazdasági, műszaki, sőt pedagógiai problémák túlnyomó többsége sokféle egyenlet és rendszerük segítségével leírható és megoldható. A közelmúltban a matematikai modellezés különös népszerűségre tett szert a kutatók, tudósok és gyakorlati szakemberek körében szinte minden tématerületen, ami azzal magyarázható, hogy nyilvánvaló előnyei vannak a különböző természetű objektumok tanulmányozásának más jól ismert és bevált módszereivel szemben, különösen az ún. rendszerek. A matematikai modellnek nagyon sokféle definíciója létezik a tudósok által különböző időpontokban, de véleményünk szerint a legsikeresebb a következő állítás. Matematikai modell egy egyenlettel kifejezett elképzelés. Így az egyenletek és rendszereik összeállításának és megoldásának képessége a modern szakember szerves jellemzője.
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására a leggyakrabban használt módszerek a Cramer, a Jordan-Gauss és a mátrix módszer.
A mátrixmegoldási módszer egy nem nulla determinánsú lineáris algebrai egyenletrendszer inverz mátrix segítségével történő megoldására szolgáló módszer.
Ha az A mátrixba írjuk ki az xi ismeretlen mennyiségek együtthatóit, az X vektoroszlopba gyűjtjük az ismeretlen mennyiségeket, a B vektoroszlopba pedig a szabad tagokat, akkor a lineáris algebrai egyenletrendszer felírható a következő A · X = B mátrixegyenlet, amelynek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem egyenlő nullával. Ebben az esetben meg lehet találni a megoldást az egyenletrendszerre a következő módon x = A-1 · B, Ahol A-1 az inverz mátrix.
A mátrix megoldási módszer a következő.
Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert azzal n ismeretlen:
Átírható mátrix formában: FEJSZE = B, Ahol A- a rendszer fő mátrixa, BÉs x- a rendszer szabad kifejezéseinek és megoldásainak oszlopai:
Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet ezzel A-1 - mátrix mátrix inverze A: A -1 (FEJSZE) = A -1 B
Mert A -1 A = E, kapunk x=A -1 B. Ennek az egyenletnek a jobb oldala adja meg az eredeti rendszer megoldási oszlopát. Alkalmazhatóság feltétele ez a módszer(valamint általában a megoldás megléte homogén rendszer lineáris egyenletek számos egyenlettel, számával egyenlő ismeretlenek) a mátrix nem-degeneráltsága A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix determinánsa ne legyen egyenlő nullával A:det A≠ 0.
Egy homogén lineáris egyenletrendszerre, vagyis amikor a vektor B = 0 , sőt az ellenkező szabály: a rendszer FEJSZE = A 0-nak csak akkor van nem triviális (vagyis nem nulla) megoldása, ha det A= 0. Az ilyen kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között Fredholm-alternatívának nevezzük.
Példa inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásai.
Győződjön meg arról, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló mátrix determinánsa nem egyenlő nullával.
A következő lépés az ismeretlenek együtthatóiból álló mátrix elemeinek algebrai komplementereinek kiszámítása. Szükség lesz rájuk az inverz mátrix megtalálásához.
