Módszer algebrai összeadás
Meg lehet oldani egy egyenletrendszert két ismeretlennel különböző utak- grafikus módszer vagy változó helyettesítési módszer.
Ebben a leckében a rendszerek megoldásának egy másik módszerével ismerkedünk meg, amely biztosan tetszeni fog - ez az algebrai összeadás módszere.
És honnan jött az ötlet – beletenni valamit a rendszerekbe? Rendszerek megoldásánál fő probléma két változó jelenléte, mert nem tudunk két változóval egyenleteket megoldani. Tehát valamelyiket valamilyen jogi úton ki kell zárni. És ilyenek jogi eszközökkel matematikai szabályok és tulajdonságok.
Az egyik tulajdonság így hangzik: az ellentétes számok összege nulla. Ez azt jelenti, hogy ha az egyik változóra ellentétes együtthatók vannak, akkor ezek összege nulla lesz, és ezt a változót ki tudjuk zárni az egyenletből. Nyilvánvaló, hogy nincs jogunk ahhoz, hogy csak a szükséges változót tartalmazó kifejezéseket adjuk hozzá. Szükséges az egyenleteket összességében összeadni, i.e. külön adjon hozzá hasonló kifejezéseket a bal oldalon, majd a jobb oldalon. Ennek eredményeként egy új egyenletet kapunk, amely csak egy változót tartalmaz. Nézzünk konkrét példákat.
Látjuk, hogy az első egyenletben van egy y változó, a másodikban pedig az ellentétes szám y. Tehát ez az egyenlet az összeadás módszerével megoldható.
Az egyik egyenletet úgy hagyjuk, ahogy van. Bármelyik, amelyik a legjobban tetszik.
De a második egyenletet úgy kapjuk meg, hogy ezt a két egyenletet tagonként összeadjuk. Azok. Adjon hozzá 3x-ot 2-hez, y-t -y-hoz, 8-at 7-hez.
Egyenletrendszert kapunk
Ennek a rendszernek a második egyenlete egy egyszerű egyenlet egy változóval. Ebből azt találjuk, hogy x \u003d 3. Az első egyenletben a talált értéket behelyettesítve azt kapjuk, hogy y \u003d -1.
Válasz: (3; - 1).
Tervezési minta:
Oldja meg az egyenletrendszert algebrai összeadással!
Ebben a rendszerben nincsenek ellentétes együtthatójú változók. De tudjuk, hogy az egyenlet mindkét oldalát meg lehet szorozni ugyanazzal a számmal. Szorozzuk meg a rendszer első egyenletét 2-vel.
Ekkor az első egyenlet a következő alakot veszi fel:
Most látjuk, hogy az x változóval ellentétes együtthatók vannak. Tehát ugyanúgy járunk el, mint az első példában: az egyik egyenletet változatlanul hagyjuk. Például 2y + 2x \u003d 10. És a másodikat összeadva kapjuk.
Most van egy egyenletrendszerünk:
Könnyen megtaláljuk a második egyenletből y = 1, majd az első egyenletből x = 4.
Tervezési minta:
Összefoglaljuk:
Megtanultuk megoldani a két rendszert lineáris egyenletek kettővel ismeretlen módszer algebrai összeadás. Így ma már három fő módszert ismerünk az ilyen rendszerek megoldására: a grafikus módszert, a változómódosítási módszert és az összeadás módszerét. Szinte minden rendszer megoldható ezekkel a módszerekkel. Többben nehéz esetek ezeknek a módszereknek a kombinációjával.
A felhasznált irodalom listája:
Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az egyenleteket az ember ősidők óta használja, és azóta használatuk csak nőtt. Csak a különböző bonyolultságú egyenletrendszerek önálló megoldásával tanulhatja meg, hogyan lehet gyorsan meghatározni bármely rendszer megoldásának módszereit. Néha meglehetősen nehéz lehet megoldani a rendszert másodfokú egyenletek. Azonban ezen egyenletek megoldására a leggyakrabban használt módszer a helyettesítés/összeadás módszer.
Tegyük fel, hogy a következő egyenletrendszert kapjuk:
\[\left\(\begin(mátrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(mátrix)\jobbra.\]
Adjuk hozzá a rendszer egyenleteit:
\[\left\(\begin(mátrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(mátrix)\jobbra.\]
Oldjuk meg a kapott rendszert:
\[\left\(\begin(mátrix) x(x - y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(mátrix)\jobbra.\]
\[(x - y) = -1 \] vagy \[(x - y) = 1\] - 2 egyenletből kapjuk
Helyettesítsd be az 1 egyenletet 1 vagy -1 egyenletbe:
\ vagy \
Mivel most már tudjuk egy ismeretlen értékét, megtaláljuk a 2. értéket:
\[-3 - y= -1\] vagy \
\ vagy \
Válasz: \[(-3; -2); (3; 4)\]
Ha egy 2 fokos és 1 lineáris rendszert kell megoldani, akkor egy lineárisból kifejezhet 1 változót, és behelyettesítheti ezt az egyenletet másodfokúra.
Az egyenletrendszert online megoldhatja a https: // weboldalunkon. Ingyenes online megoldó megoldja az egyenletet online bármelyik bonyolultság másodpercekben. Csak annyit kell tennie, hogy beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon megtekintheti a videós útmutatót és megtanulhatja, hogyan kell megoldani az egyenletet. És ha bármilyen kérdése van, felteheti őket a Vkontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.
A diákok nagyon gyakran nehezen választanak egyenletrendszerek megoldási módszerét.
Ebben a cikkben megvizsgáljuk a rendszerek megoldásának egyik módját - a helyettesítési módszert.
Ha két egyenlet közös megoldását találjuk, akkor ezek az egyenletek rendszert alkotnak. Egy egyenletrendszerben minden ismeretlen ugyanazt a számot jelenti az összes egyenletben. Annak bizonyítására, hogy ezek az egyenletek egy rendszert alkotnak, általában egymás alá írják őket, és például göndör zárójellel kombinálják őket.
Megjegyezzük, hogy x = 15 és y = 5 esetén a rendszer mindkét egyenlete helyes. Ez a számpár az egyenletrendszer megoldása. Minden olyan ismeretlen értékpárt, amely egyidejűleg kielégíti a rendszer mindkét egyenletét, a rendszer megoldásának nevezzük.
Egy rendszernek lehet egy megoldása (mint a példánkban), végtelen sok megoldása lehet, és egyetlen megoldás sem.
Hogyan oldjunk meg rendszereket helyettesítési módszerrel? Ha mindkét egyenletben valamelyik ismeretlen együtthatója abszolút értékben egyenlő (ha nem egyenlők, akkor kiegyenlítjük), akkor mindkét egyenletet összeadva (vagy a másikból kivonva) egy egyenletet kaphatunk az egyik ismeretlennel. Ezután megoldjuk ezt az egyenletet. Meghatározunk egy ismeretlent. Az ismeretlen kapott értékét behelyettesítjük a rendszer valamelyik egyenletébe (az elsőben vagy a másodikban). Találunk még egy ismeretlent. Nézzünk példákat ennek a módszernek az alkalmazására.
1. példa Egyenletrendszer megoldása
Itt az y-ben lévő együtthatók abszolút értékben egyenlőek, de az előjelben ellentétesek. Próbáljuk meg kifejezésenként összeadni a rendszer egyenleteit.
A kapott x \u003d 4 értéket behelyettesítjük a rendszer valamely egyenletébe (például az elsőbe), és megkeressük y értékét:
2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.
A mi rendszerünknek van egy megoldása: x = 4, y = 3. Vagy a válasz zárójelbe írható, egy pont koordinátájaként, első helyen x, a második helyen y.
Válasz: (4; 3)
2. példa. Egyenletrendszer megoldása
Kiegyenlítjük az x változó együtthatóit, ehhez megszorozzuk az első egyenletet 3-mal, a másodikat pedig (-2-vel), így kapjuk
Legyen óvatos, amikor egyenleteket ad hozzá
Ekkor y \u003d - 2. Az első egyenletben y helyett a (-2) számot helyettesítjük, így kapjuk
4x + 3 (-2) \u003d - 4. Megoldjuk ezt az egyenletet 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.
Válasz: (1/2; - 2)
3. példa Egyenletrendszer megoldása
Szorozzuk meg az első egyenletet (-2)
A rendszer megoldása
0 = - 13-at kapunk.
Nincs megoldási rendszer, mivel 0 nem egyenlő (-13).
Válasz: Nincsenek megoldások.
4. példa Egyenletrendszer megoldása
Vegye figyelembe, hogy a második egyenlet összes együtthatója osztható 3-mal,
osszuk el a második egyenletet hárommal, és egy olyan rendszert kapunk, amely két azonos egyenletből áll.
Ennek a rendszernek végtelen sok megoldása van, hiszen az első és a második egyenlet megegyezik (csak egy egyenletet kaptunk két változóval). Hogyan kell bemutatni ennek a rendszernek a megoldását? Fejezzük ki az y változót az x + y = 5 egyenletből. Azt kapjuk, hogy y = 5 - x.
Akkor válaszígy lesz írva: (x; 5-x), x bármely szám.
Egyenletrendszerek összeadásos módszerrel történő megoldását vettük figyelembe. Ha bármilyen kérdése van, vagy valami nem világos, jelentkezzen be egy leckére, és minden problémát megoldunk Önnel.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
A lineáris egyenletrendszer két ismeretlenben két vagy több lineáris egyenlet, amelyekhez mindegyiket meg kell találni általános megoldások. Tekintsünk két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel. Általános forma két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenlet rendszere látható az alábbi ábrán:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Itt x és y ismeretlen változók, a1, a2, b1, b2, c1, c2 néhány valós szám. A két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer megoldása egy számpár (x, y) úgy, hogy ha ezeket a számokat behelyettesítjük a rendszer egyenleteibe, akkor a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé alakul. A lineáris egyenletrendszer megoldásának többféle módja van. Tekintsük a lineáris egyenletrendszer megoldásának egyik módját, nevezetesen az összeadás módszerét.
Algoritmus lineáris egyenletrendszer megoldására két ismeretlen összeadási módszerrel.
1. Ha szükséges, ekvivalens transzformációkkal egyenlítse ki mindkét egyenletben az egyik ismeretlen változó együtthatóit.
2. Az eredményül kapott egyenletek összeadása vagy kivonása egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlethez
3. Oldja meg a kapott egyenletet egy ismeretlennel, és keresse meg az egyik változót!
4. Helyettesítsük be a kapott kifejezést a rendszer két egyenletének bármelyikébe, és oldjuk meg ezt az egyenletet, így megkapjuk a második változót.
5. Ellenőrizze az oldatot.
A nagyobb áttekinthetőség érdekében az alábbi lineáris egyenletrendszert oldjuk meg két ismeretlennel az összeadás módszerével:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Mivel egyik változónak sem ugyanaz az együtthatója, ezért az y változó együtthatóit kiegyenlítjük. Ehhez szorozzuk meg az első egyenletet hárommal, a második egyenletet pedig kettővel.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Kap a következő egyenletrendszer:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Most vonjuk ki az elsőt a második egyenletből. Hasonló kifejezéseket mutatunk be, és megoldjuk a kapott lineáris egyenletet.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
A kapott értéket behelyettesítjük az eredeti rendszerünk első egyenletébe, és megoldjuk a kapott egyenletet.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
Az eredmény egy számpár x=6 és y=14. Ellenőrizzük. Cserét végzünk.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Amint látja, két valódi egyenlőséget kaptunk, ezért megtaláltuk a megfelelő megoldást.
Ebben a leckében folytatjuk az egyenletrendszerek megoldási módszerének tanulmányozását, nevezetesen: az algebrai összeadás módszerét. Először nézzük meg ennek a módszernek az alkalmazását a lineáris egyenletek példáján és annak lényegét. Emlékezzünk arra is, hogyan kell kiegyenlíteni az együtthatókat az egyenletekben. És számos problémát meg fogunk oldani ennek a módszernek az alkalmazásával.
Téma: Egyenletrendszerek
Lecke: Algebrai összeadás módszere
Fontolgat algebrai összeadás módszere lineáris rendszerek példáján.
Példa 1. Oldja meg a rendszert
Ha ezt a két egyenletet összeadjuk, akkor az y-k kioltják egymást, így az egyenlet x-re marad.
Ha kivonjuk a második egyenletet az első egyenletből, akkor x kioltja egymást, és egy egyenletet kapunk y-re. Ez az algebrai összeadás módszerének jelentése.
Megoldottuk a rendszert és emlékeztünk az algebrai összeadás módszerére. Lényegét megismételve: összeadhatunk és kivonhatunk egyenleteket, de gondoskodnunk kell arról, hogy csak egy ismeretlent tartalmazó egyenletet kapjunk.
Példa 2. Oldja meg a rendszert
A kifejezés mindkét egyenletben megtalálható, így az algebrai összeadás módszere kényelmes. Vonjuk ki a másodikat az első egyenletből.
Válasz: (2; -1).
Így az egyenletrendszer elemzése után belátható, hogy alkalmas az algebrai összeadás módszerére, és alkalmazható.
Tekintsünk egy másik lineáris rendszert.
Példa 3. Oldja meg a rendszert
Meg akarunk szabadulni y-tól, de a két egyenletnek más együtthatója van y-ra. Kiegyenlítjük őket, ehhez megszorozzuk az első egyenletet 3-mal, a másodikat 4-gyel.
Példa 4. Oldja meg a rendszert 
Egyenlítse ki az együtthatókat x-szel
Megteheti másként is - kiegyenlíti az együtthatókat y-nál.
A rendszert az algebrai összeadás módszerének kétszeri alkalmazásával oldottuk meg.
Az algebrai összeadás módszere nemlineáris rendszerek megoldásában is alkalmazható.
Példa 5. Oldja meg a rendszert
Adjuk össze ezeket az egyenleteket, és megszabadulunk y-tól.
Ugyanez a rendszer megoldható az algebrai összeadás módszerének kétszeri alkalmazásával. Adjunk össze és vonjunk ki egy egyenletből egy másikat.
6. példa Oldja meg a rendszert 
Válasz: 
7. példa Oldja meg a rendszert 
Az algebrai összeadás módszerével megszabadulunk az xy kifejezéstől. Szorozzuk meg az első egyenletet -vel.
Az első egyenlet változatlan marad, a második helyett az algebrai összeget írjuk fel.
Válasz: 
8. példa Oldja meg a rendszert
Szorozzuk meg a második egyenletet 2-vel, hogy megtaláljuk a tökéletes négyzetet.
Feladatunk négy egyszerű rendszer megoldására csökkent.
Az algebrai összeadás módszerét a lineáris és nemlineáris rendszerek megoldásának példáján vettük figyelembe. A következő leckében megvizsgáljuk az új változók bevezetésének módszerét.
1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. osztály: Proc. Általános műveltségre Intézmények – 4. kiadás. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.
2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. évfolyam: Feladatfüzet oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. kiadás. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. évfolyam: tankönyv. általános iskolai tanulók számára. intézmények / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. kiadás, Rev. és további - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin és Yu. V. Sidorov, Algebra. 9. évfolyam 16. kiadás - M., 2011. - 287 p.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. évfolyam 14 órakor 1. rész. Tankönyv oktatási intézmények hallgatói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. kiadás, törölve. — M.: 2010. — 224 p.: ill.
6. Algebra. 9. évfolyam 2 óránál 2. rész Feladatfüzet oktatási intézmények diákjainak / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina és mások; Szerk. A. G. Mordkovich. - 12. kiadás, Rev. — M.: 2010.-223 p.: ill.
1. Főiskolai tagozat. ru a matematikában.
2. „Feladatok” internetes projekt.
3. Oktatási portál"MEGOLDOM A FELHASZNÁLÁST".
1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. évfolyam: Feladatfüzet oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. kiadás. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 125-127 sz.
Le kell töltenie a témához tartozó óravázlatot » Algebrai összeadás módszere?
