Ebben a részben felidézzük (vagy tanulmányozzuk - ahogy bárki szereti) a legelemibb egyenleteket. Tehát mi az egyenlet? Emberi értelemben ez egyfajta matematikai kifejezés, ahol van egyenlőségjel és egy ismeretlen. Amit általában betűvel jelölnek "X". oldja meg az egyenletet olyan x-értékeket kell találni, amelyekre behelyettesítéskor a kezdeti kifejezés megadja a helyes identitást. Hadd emlékeztesselek arra, hogy az identitás olyan kifejezés, amely még a matematikai tudással egyáltalán nem terhelt emberben sem kelt kétségeket. Például 2=2, 0=0, ab=ab stb. Tehát hogyan oldja meg az egyenleteket? Találjuk ki.
Mindenféle egyenlet létezik (meglepődtem, igaz?). De minden végtelen változatosságuk csak négy típusra osztható.
4. Egyéb.)
A többit természetesen leginkább igen...) Ide tartozik a köbös, az exponenciális, a logaritmikus és a trigonometrikus, és minden más. Szorosan együttműködünk velük a megfelelő részekben.
Azonnal meg kell mondanom, hogy néha az első három típus egyenlete annyira fel van csavarva, hogy nem ismeri fel őket ... Semmi. Megtanuljuk, hogyan oldjuk meg őket.
És miért van szükségünk erre a négy típusra? És akkor mi van lineáris egyenletek egyféleképpen oldják meg négyzet mások tört racionális - a harmadik, a pihenés egyáltalán nincs megoldva! Nos, nem arról van szó, hogy egyáltalán nem döntenek, hiába sértettem meg a matematikát.) Csak megvannak a saját speciális technikáik és módszereik.
De bármely (ismétlem - számára Bármi!) egyenletek megbízható és problémamentes megoldási alapot jelentenek. Mindenhol és mindig működik. Ez az alap - Ijesztően hangzik, de a dolog nagyon egyszerű. És nagyon (nagyon!) fontos.
Valójában az egyenlet megoldása ugyanazokból a transzformációkból áll. 99%-ban. Válasz a kérdésre: " Hogyan lehet egyenleteket megoldani?"csak ezekben az átalakulásokban rejlik. Világos a célzás?)
NÁL NÉL bármilyen egyenlet az ismeretlen megtalálásához szükséges az eredeti példa átalakítása és egyszerűsítése. Sőt úgy, hogy váltáskor megjelenés az egyenlet lényege nem változott. Az ilyen transzformációkat ún azonos vagy azonos.
Vegye figyelembe, hogy ezek az átalakítások csak az egyenletekért. A matematikában még mindig vannak azonos transzformációk kifejezéseket. Ez egy másik téma.
Most megismételjük az all-all-all basic egyenletek azonos transzformációi.
Alapvető, mert rájuk lehet alkalmazni Bármi egyenletek - lineáris, másodfokú, tört, trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus stb. stb.
Az első azonos átalakítás: bármely egyenlet mindkét oldala összeadható (kivonható) Bármi(de ugyanaz!) szám vagy kifejezés (beleértve az ismeretlen kifejezést is!). Az egyenlet lényege nem változik.
Egyébként állandóan ezt a transzformációt használtad, csak arra gondoltál, hogy az egyenlet egyik részéből a másikba viszel át néhány tagot előjelváltással. Típus:
Ismerős a dolog, jobbra mozgatjuk a kettőt, és azt kapjuk:
Tulajdonképpen te elvitték az egyenlet két oldaláról kettő. Az eredmény ugyanaz:
x+2 - 2 = 3 - 2
A kifejezések balra-jobbra átvitele előjelváltással egyszerűen az első azonos transzformáció rövidített változata. És miért van szükségünk ilyen mély tudásra? - kérdezed. Semmi az egyenletekben. Mozgasd, az isten szerelmére. Csak ne felejtse el megváltoztatni a jelet. De az egyenlőtlenségekben az átvitel szokása zsákutcához vezethet....
Második identitásátalakítás: az egyenlet mindkét oldala szorozható (osztható) ugyanazzal nem nulla szám vagy kifejezés. Már itt is megjelenik egy érthető korlát: nullával szorozni hülyeség, osztani viszont egyáltalán nem lehet. Ezt az átalakítást használod, amikor valami klassz dologról döntesz
Érthetően, x= 2. De hogyan találtad meg? Kiválasztás? Vagy csak világít? Ahhoz, hogy ne vedd fel és ne várj a betekintésre, meg kell értened, hogy igazságos vagy ossza el az egyenlet mindkét oldalát 5-tel. A bal oldal felosztásakor (5x) az ötöst csökkentettük, így tiszta X maradt. Amire szükségünk volt. És amikor a (10) jobb oldalát elosztottuk öttel, természetesen kettősnek bizonyult.
Ez minden.
Vicces, de ez a két (csak két!) egyforma átalakítás alapozza meg a megoldást a matematika összes egyenlete. Hogyan! Érdemes példákat nézni arra, hogy mit és hogyan, nem?)
Kezdjük azzal első azonos átalakulás. Mozgás balra-jobbra.
Példa a kicsiknek.)
Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő egyenletet:
3-2x=5-3x
Emlékezzünk a varázslatra: "X-szel - balra, X nélkül - jobbra!" Ez a varázslat az első azonosságtranszformáció alkalmazására szolgál.) Mi az a kifejezés, ahol a jobb oldalon van az x? 3x? A válasz rossz! A jobb oldalunkon - 3x! Mínusz három x! Ezért balra váltáskor a jel pluszra változik. Kap:
3-2x+3x=5
Tehát az X-eket összerakták. Végezzük el a számokat. Három a bal oldalon. Milyen jel? A "nincs" választ nem fogadjuk el!) A hármas előtt valóban semmi sem rajzolódik ki. És ez azt jelenti, hogy a hármas előtt van egy plusz. Tehát a matematikusok egyetértettek. Nincs leírva semmi, szóval egy plusz. Ezért a hármas átkerül a jobb oldalra mínuszával. Kapunk:
-2x+3x=5-3
Maradtak üres helyek. A bal oldalon - hasonlókat adjon meg, a jobb oldalon - számoljon. A válasz azonnal:
Ebben a példában egy azonos transzformáció elég volt. A másodikra nem volt szükség. Hát rendben.)
Példa az idősebbeknek.)
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)
függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.
I. ax 2 \u003d 0 – befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0, c=0 ). Megoldás: x=0. Válasz: 0.
Egyenletek megoldása.
2x·(x+3)=6x-x 2.
Megoldás. Bontsa ki a zárójeleket szorzással 2x minden zárójelben lévő kifejezéshez:
2x2 +6x=6x-x2 ; a kifejezések áthelyezése a jobb oldalról a bal oldalra:
2x2 +6x-6x+x2=0; Itt vannak hasonló kifejezések:
3x2 =0, tehát x=0.
Válasz: 0.
II. ax2+bx=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (s=0 ). Megoldás: x (ax+b)=0 → x 1 =0 vagy ax+b=0 → x 2 =-b/a. Válasz: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
Megoldás. Vegye ki a közös tényezőt x zárójelekhez:
x(5x-26)=0; minden tényező nulla lehet:
x=0 vagy 5x-26=0→ 5x=26, ossza el az egyenlőség mindkét oldalát 5 és kapjuk: x \u003d 5.2.
Válasz: 0; 5,2.
3. példa 64x+4x2=0.
Megoldás. Vegye ki a közös tényezőt 4x zárójelekhez:
4x(16+x)=0. Három tényezőnk van, 4≠0 tehát, ill x=0 vagy 16+x=0. Az utolsó egyenlőségből x=-16-ot kapunk.
Válasz: -16; 0.
4. példa(x-3) 2 +5x=9.
Megoldás. A két kifejezés különbségének négyzetére vonatkozó képlet alkalmazásával nyissuk meg a zárójeleket:
x 2 -6x+9+5x=9; átalakítani a következő alakra: x 2 -6x+9+5x-9=0; Itt vannak hasonló kifejezések:
x2-x=0; elviselni x a zárójeleken kívül a következőt kapjuk: x (x-1)=0. Innen ill x=0 vagy x-1=0→ x=1.
Válasz: 0; 1.
III. ax2+c=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0 ); Megoldás: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
Ha egy (-c/a)<0 , akkor nincsenek igazi gyökerek. Ha egy (-s/a)>0
5. példa x 2 -49=0.
Megoldás.
x 2 \u003d 49, innen x=±7. Válasz:-7; 7.
6. példa 9x2-4=0.
Megoldás.
Gyakran meg kell találni a négyzetek összegét (x 1 2 + x 2 2) vagy a kockák összegét (x 1 3 + x 2 3) másodfokú egyenlet, ritkábban - a gyöknégyzetek reciprokainak összege vagy az aritmetikai összeg négyzetgyök a másodfokú egyenlet gyökereiből:
Vieta tétele segíthet ebben:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Expressz keresztül pés q:
1) az egyenlet gyökeinek négyzetösszege x2+px+q=0;
2) az egyenlet gyökeinek kockáinak összege x2+px+q=0.
Megoldás.
1) Kifejezés x 1 2 + x 2 2 az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével kapjuk x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; nyissa ki a zárójeleket: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; kifejezzük a kívánt mennyiséget: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Van egy hasznos egyenletünk: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Kifejezés x 1 3 + x 2 3ábrázolja a kockák összegének képletét a következő formában:
(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).
Egy másik hasznos egyenlet: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Példák.
3) x 2 -3x-4=0. Az egyenlet megoldása nélkül számítsa ki a kifejezés értékét! x 1 2 + x 2 2.
Megoldás.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3,és a munka x 1 ∙x 2 \u003d q \u003daz 1. példában) egyenlőség:
x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Nekünk van -o=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Akkor x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Válasz: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Számítsd ki: x 1 3 +x 2 3 .
Megoldás.
Vieta tétele szerint ennek a redukált másodfokú egyenletnek a gyökeinek összege x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2,és a munka x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d- négy. Alkalmazzuk amit kaptunk ( a 2. példában) egyenlőség: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4+12) = 2 16 = 32.
Válasz: x 1 3 + x 2 3 =32.
Kérdés: mi van, ha nem redukált másodfokú egyenletet adunk? Válasz: mindig „csökkenthető”, ha tagonként elosztjuk az első együtthatóval.
5) 2x2 -5x-7=0. Megoldás nélkül számítsa ki: x 1 2 + x 2 2.
Megoldás. Kapunk egy teljes másodfokú egyenletet. Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel (az első együttható), és kapjuk a következő másodfokú egyenletet: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
Vieta tétele szerint a gyökök összege: 2,5 ; a gyökerek terméke az -3,5 .
Ugyanúgy oldjuk meg, mint egy példa 3) az egyenlőséget használva: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Válasz: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0. Megtalálja:
Alakítsuk át ezt az egyenlőséget, és a gyökök összegét helyettesítsük a Vieta-tétel értelmében, -o, és a szorzat a gyökerek keresztül q, újabb hasznos képletet kapunk. A képlet levezetésénél az 1-es egyenlőséget használtuk: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
Példánkban x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Helyettesítse be ezeket az értékeket a kapott képletbe:
7) x 2 -13x+36=0. Megtalálja:
Alakítsuk át ezt az összeget, és kapjunk egy képletet, amellyel egy másodfokú egyenlet gyökéből meg lehet találni a számtani négyzetgyök összegét.
Nekünk van x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Helyettesítse ezeket az értékeket a származtatott képletbe:
Tanács : mindig ellenőrizze a másodfokú egyenlet gyökeinek megfelelő megtalálásának lehetőségét, mert 4 áttekintette hasznos képletek lehetővé teszi a feladat gyors elvégzését, mindenekelőtt olyan esetekben, amikor a diszkrimináns „kényelmetlen” szám. Minden egyszerű esetben keresse meg a gyökereket, és operálja meg őket. Például az utolsó példában a gyököket a Vieta-tétel segítségével választjuk ki: a gyökök összegének egyenlőnek kell lennie 13 , és a gyökerek szorzata 36 . Mik ezek a számok? Természetesen, 4 és 9. Most számítsa ki ezeknek a számoknak a négyzetgyökének összegét: 2+3=5. Ez az!
I. Vieta tétele a redukált másodfokú egyenlethez.
A redukált másodfokú egyenlet gyökeinek összege x 2 +px+q=0 egyenlő az ebből vett második együtthatóval ellentétes jel, és a gyökök szorzata egyenlő a szabad taggal:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Keresse meg az adott másodfokú egyenlet gyökereit Vieta tételével!
1. példa) x 2 -x-30=0. Ez a redukált másodfokú egyenlet ( x 2 +px+q=0), a második együttható p=-1, és a szabad kifejezés q=-30. Először győződjön meg arról, hogy az adott egyenletnek vannak gyökei, és hogy a gyököket (ha vannak) egész számokként kell kifejezni. Ehhez elegendő, ha a diszkrimináns egy egész szám teljes négyzete.
A diszkrimináns megtalálása D=b 2-4ac=(-1) 2-4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Most a Vieta-tétel szerint a gyökök összegének egyenlőnek kell lennie a második együtthatóval, amelyet ellenkező előjellel vettünk, azaz. ( -o), a szorzat pedig egyenlő a szabad kifejezéssel, azaz. ( q). Akkor:
x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Olyan két számot kell választanunk, hogy a szorzatuk egyenlő legyen -30 , és az összeg Mértékegység. Ezek a számok -5 és 6 . Válasz: -5; 6.
2. példa) x 2 +6x+8=0. Megvan a redukált másodfokú egyenlet a második együtthatóval p=6és ingyenes tagja q=8. Győződjön meg arról, hogy vannak egész gyökök. Keressük a diszkriminánst D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . A D 1 diszkrimináns a szám tökéletes négyzete 1 , tehát ennek az egyenletnek a gyökei egész számok. A gyököket a Vieta-tétel szerint választjuk ki: a gyökök összege egyenlő –p=-6, és a gyökerek szorzata az q=8. Ezek a számok -4 és -2 .
Valójában: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Válasz: -4; -2.
3. példa) x 2 +2x-4=0. Ebben a redukált másodfokú egyenletben a második együttható p=2, és a szabad kifejezés q=-4. Keressük a diszkriminánst D1, mivel a második együttható páros szám. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. A diszkrimináns nem egy szám tökéletes négyzete, így tesszük következtetés: ennek az egyenletnek a gyökerei nem egész számok, és nem találhatók meg Vieta tételével. Tehát ezt az egyenletet a szokásos módon megoldjuk a képletek szerint (in ez az eset képletek). Kapunk:
4. példa).Írj fel egy másodfokú egyenletet a gyökeivel, ha x 1 \u003d -7, x 2 = 4.
Megoldás. A kívánt egyenlet a következő formában lesz felírva: x 2 +px+q=0, ráadásul a Vieta-tétel alapján –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel: x2 +3x-28=0.
5. példa).Írjon fel egy másodfokú egyenletet a gyökeivel, ha:
II. Vieta tétele a teljes másodfokú egyenlethez ax2+bx+c=0.
A gyökerek összege mínusz b osztva a, a gyökerek szorzata az Val vel osztva a:
x 1 + x 2 \u003d -b/a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
6. példa). Határozzuk meg egy másodfokú egyenlet gyökeinek összegét! 2x2 -7x-11=0.
Megoldás.
Meggyőződésünk, hogy ennek az egyenletnek lesznek gyökerei. Ehhez elegendő egy kifejezést írni a diszkriminánshoz, és anélkül, hogy kiszámolná, csak ellenőrizze, hogy a diszkrimináns nagyobb-e nullánál. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . És most használjuk tétel Vieta teljes másodfokú egyenletekhez.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
7. példa). Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökeinek szorzatát! 3x2 +8x-21=0.
Megoldás.
Keressük a diszkriminánst D1, mivel a második együttható ( 8 ) páros szám. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . A másodfokú egyenletnek van 2 gyök, a Vieta-tétel szerint a gyökök szorzata x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0 egy általános másodfokú egyenlet
Megkülönböztető D=b 2-4ac.
Ha egy D>0, akkor két valódi gyökerünk van:
Ha egy D=0, akkor egyetlen gyökünk van (vagy két egyenlő gyökünk) x=-b/(2a).
Ha D<0, то действительных корней нет.
Példa 1) 2x2 +5x-3=0.
Megoldás. a=2; b=5; c=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 igazi gyökér.
4x2 +21x+5=0.
Megoldás. a=4; b=21; c=5.
D=b 2-4ac=21 2-4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 igazi gyökér.
II. ax2+bx+c=0 – speciális másodfokú egyenlet egy páros másodpercig
együttható b
Példa 3) 3x2 -10x+3=0.
Megoldás. a=3; b\u003d -10 (páros szám); c=3.
4. példa) 5x2-14x-3=0.
Megoldás. a=5; b= -14 (páros szám); c=-3.
5. példa) 71x2 +144x+4=0.
Megoldás. a=71; b=144 (páros szám); c=4.
6. példa) 9x2 -30x+25=0.
Megoldás. a=9; b\u003d -30 (páros szám); c=25.
III. ax2+bx+c=0 – másodfokú egyenlet magán típusú, feltéve: a-b+c=0.
Az első gyökér mindig mínusz egy, a második gyökér mínusz Val vel osztva a:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
7. példa) 2x2+9x+7=0.
Megoldás. a=2; b=9; c=7. Ellenőrizzük az egyenlőséget: a-b+c=0. Kapunk: 2-9+7=0 .
Akkor x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a = -7 / 2 = -3,5. Válasz: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – egy adott alak másodfokú egyenlete a feltétel alatt : a+b+c=0.
Az első gyök mindig egyenlő eggyel, a második gyök pedig egyenlő Val vel osztva a:
x 1 \u003d 1, x 2 = c / a.
8. példa) 2x2 -9x+7=0.
Megoldás. a=2; b=-9; c=7. Ellenőrizzük az egyenlőséget: a+b+c=0. Kapunk: 2-9+7=0 .
Akkor x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 = 3.5. Válasz: 1; 3,5.
1/1 oldal 1
1. A rendszer megoldása helyettesítési módszerrel.
2. A rendszer megoldása a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadásával (kivonásával).
Az egyenletrendszer megoldása érdekében helyettesítési módszer egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1. Kifejezzük. Bármely egyenletből egy változót fejezünk ki.
2. Helyettesítő. A kifejezett változó helyett egy másik egyenletben helyettesítjük a kapott értéket.
3. A kapott egyenletet egy változóval oldjuk meg. Megoldást találunk a rendszerre.
Megoldani rendszer tagonkénti összeadással (kivonás) szükség:
1. Válasszunk ki egy változót, amelyre ugyanazokat az együtthatókat készítjük.
2. Összeadjuk vagy kivonjuk az egyenleteket, ennek eredményeként egy változós egyenletet kapunk.
3. Megoldjuk a kapott lineáris egyenletet. Megoldást találunk a rendszerre.
A rendszer megoldása a függvény grafikonjainak metszéspontjai.
Tekintsük részletesen a rendszerek megoldását példákon keresztül.
1. példa:
2x+5y=1 (1 egyenlet)
x-10y=3 (2. egyenlet)
1. Expressz
Látható, hogy a második egyenletben van egy x változó, amelynek együtthatója 1, így kiderül, hogy a második egyenletből a legkönnyebb az x változót kifejezni.
x=3+10y
2. Kifejezés után az első egyenletben az x változó helyett 3 + 10y-t helyettesítünk.
2(3+10y)+5y=1
3. A kapott egyenletet egy változóval oldjuk meg.
2(3+10y)+5y=1 (nyitott zárójelek)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25 év = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Az egyenletrendszer megoldása a gráfok metszéspontjai, ezért meg kell keresnünk x-et és y-t, mert a metszéspont x-ből és y-ból áll Keressük meg x-et, ahol az első bekezdésben ahol kifejeztük, ott y-t helyettesítünk.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Szokásos első helyre pontokat írni, az x változót, a második helyre az y változót írjuk.
Válasz: (1; -0,2)
2. példa:
3x-2y=1 (1 egyenlet)
2x-3y=-10 (2. egyenlet)
1. Válasszunk ki egy változót, tegyük fel, hogy x-et választunk. Az első egyenletben az x változó együtthatója 3, a másodikban - 2. Az együtthatókat azonosnak kell tennünk, ehhez jogunk van az egyenleteket szorozni vagy elosztani tetszőleges számmal. Az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat pedig 3-mal, és 6-ot kapunk.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Az első egyenletből vonja ki a másodikat, hogy megszabaduljon az x változótól.. Oldja meg a lineáris egyenletet!
__6x-4y=2
5 év = 32 | :5
y=6,4
3. Keresse meg x-et. Bármelyik egyenletben behelyettesítjük a talált y-t, mondjuk az első egyenletben.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
A metszéspont x=4,6 lesz; y=6,4
Válasz: (4,6; 6,4)
Szeretnél ingyenesen felkészülni a vizsgákra? Oktató online ingyenes. Nem viccelek.
A 7. osztályos matematika szakon találkoznak először a két változós egyenletek, de csak két ismeretlennel rendelkező egyenletrendszerrel összefüggésben tanulmányozzák őket. Ez az oka annak, hogy számos probléma kiesik a szemünk elől, amelyekben bizonyos feltételeket vezetnek be az egyenlet együtthatóira, amelyek korlátozzák azokat. Emellett figyelmen kívül hagyják az olyan problémák megoldási módszereit is, mint az „Egyenlet megoldása természetes vagy egész számokban”, bár az ilyen jellegű problémákkal egyre gyakrabban találkozunk a USE anyagokban és a felvételi vizsgákon.
Melyik egyenletet nevezzük kétváltozós egyenletnek?
Így például az 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 vagy xy = 12 egyenletek kétváltozós egyenletek.
Tekintsük a 2x - y = 1 egyenletet. Igaz egyenlőséggé alakul x = 2 és y = 3 esetén, tehát ez a változó értékpár a megoldása a vizsgált egyenletre.
Így bármely két változós egyenlet megoldása a rendezett párok halmaza (x; y), azoknak a változóknak az értékei, amelyeket ez az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé alakít.
Két ismeretlent tartalmazó egyenlet:
a) van egy megoldás. Például az x 2 + 5y 2 = 0 egyenletnek van egyetlen döntés (0; 0);
b) több megoldás is van. Például (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0-nak 4 megoldása van: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
ban ben) nincsenek megoldásai. Például az x 2 + y 2 + 1 = 0 egyenletnek nincs megoldása;
G) végtelenül sok megoldása van. Például x + y = 3. Ennek az egyenletnek a megoldásai olyan számok lesznek, amelyek összege 3. Ennek az egyenletnek a megoldási halmaza felírható így (k; 3 - k), ahol k bármely valós szám.
A kétváltozós egyenletek megoldásának fő módszerei a faktorálási kifejezéseken alapuló, a teljes négyzetet kiemelő, másodfokú egyenlet tulajdonságait, korlátos kifejezéseket és kiértékelési módszereket használó módszerek. Az egyenlet általában olyan formává alakul, amelyből az ismeretlenek megtalálására szolgáló rendszer nyerhető.
Faktorizáció
1. példa
Oldja meg az egyenletet: xy - 2 = 2x - y.
Megoldás.
A faktorálási feltételeket csoportosítjuk:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Vegye ki a közös tényezőt minden zárójelből:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. Van:
y = 2, x bármely valós szám vagy x = -1, y bármely valós szám.
Ily módon a válasz az összes (x; 2), x € R és (-1; y), y € R alakú pár.
Nemnegatív számok nullával való egyenlősége
2. példa
Oldja meg az egyenletet: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Megoldás.
Csoportosítás:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Most minden zárójel összecsukható a négyzetes különbség képletével.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
Két nemnegatív kifejezés összege csak akkor nulla, ha 3x - 2 = 0 és 2y - 3 = 0.
Tehát x = 2/3 és y = 3/2.
Válasz: (2/3; 3/2).
Értékelési módszer
3. példa
Oldja meg az egyenletet: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Megoldás.
Mindegyik zárójelben válassza ki a teljes négyzetet:
((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Becslés 
a zárójelben lévő kifejezések jelentését.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 és (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, akkor az egyenlet bal oldala mindig legalább 2. Az egyenlőség akkor lehetséges, ha:
(x + 1) 2 + 1 = 1 és (y - 2) 2 + 2 = 2, tehát x = -1, y = 2.
Válasz: (-1; 2).
Ismerkedjünk meg egy másik módszerrel két másodfokú változójú egyenletek megoldására. Ez a módszer az, hogy az egyenletet úgy tekintjük négyzet valamilyen változóhoz képest.
4. példa
Oldja meg az egyenletet: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Megoldás.
Oldjuk meg az egyenletet másodfokúként x-hez képest. Keressük a diszkriminánst:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16 y - 16 = -4 (√y - 2) 2 . Az egyenletnek csak akkor lesz megoldása, ha D = 0, azaz ha y = 4. Az y értékét behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és azt találjuk, hogy x = 3.
Válasz: (3; 4).
Gyakran az egyenletekben két ismeretlen jelzi változókra vonatkozó korlátozások.
5. példa
Oldja meg az egyenletet egész számokkal: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Megoldás.
Írjuk át az egyenletet a következőképpen: x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Jobb rész az eredményül kapott egyenlet, ha elosztjuk 5-tel, 2 maradékot ad. Ezért x 2 nem osztható 5-tel. De egy 5-tel nem osztható szám négyzete 1 vagy 4 maradékot ad. Így az egyenlőség lehetetlen és nincsenek megoldások.
Válasz: nincs gyökere.
6. példa
Oldja meg az egyenletet: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Megoldás.
Jelöljük ki a teljes négyzeteket minden zárójelben:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Az egyenlet bal oldala mindig nagyobb vagy egyenlő, mint 3. Az egyenlőség akkor lehetséges, ha |x| – 2 = 0 és y + 3 = 0. Így x = ± 2, y = -3.
Válasz: (2; -3) és (-2; -3).
7. példa
Minden negatív egész (x; y) párra, amelyek kielégítik az egyenletet
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, számítsa ki az összeget (x + y). Válaszoljon a legkisebb összegre.
Megoldás.
Válassza ki a teljes négyzeteket:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Mivel x és y egész számok, négyzeteik is egész számok. Két egész szám négyzetösszegét, amely 37, akkor kapjuk, ha 1 + 36-ot összeadunk.
(x - y) 2 = 36 és (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 és (y + 2) 2 = 36.
Ezeket a rendszereket megoldva, és figyelembe véve, hogy x és y negatív, a következő megoldásokat találjuk: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Válasz: -17.
Ne essen kétségbe, ha nehézségei vannak a két ismeretlennel rendelkező egyenletek megoldása során. Egy kis gyakorlással bármilyen egyenletet elsajátíthatsz.
Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell két változós egyenleteket megoldani?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
matematikát megoldani. Keresse meg gyorsan matematikai egyenlet megoldása módban online. A www.site weboldal lehetővé teszi oldja meg az egyenletet szinte minden adott algebrai, trigonometrikus vagy transzcendentális egyenlet online. Amikor a matematika szinte bármely szakaszát különböző szakaszokban tanulja, döntenie kell egyenletek online. Ahhoz, hogy azonnal választ kapjon, és ami a legfontosabb, hogy pontos választ kapjon, olyan erőforrásra van szüksége, amely lehetővé teszi ezt. Köszönet a www.site-nek egyenleteket online megoldani eltart néhány percig. A www.site fő előnye matematikai megoldások során egyenletek online- a kiadott válasz gyorsasága és pontossága. Az oldal bármelyiket képes megoldani algebrai egyenletek online, trigonometrikus egyenletek online, transzcendentális egyenletek online, szintén egyenletek ismeretlen paraméterekkel módban online. Egyenletek erős matematikai berendezésként szolgálnak megoldásokat gyakorlati feladatokat. Segítséggel matematikai egyenletek lehetséges olyan tényeket és összefüggéseket kifejezni, amelyek első pillantásra zavarosnak és összetettnek tűnhetnek. ismeretlen mennyiségek egyenletek a probléma megfogalmazásával lehet megtalálni matematikai nyelv a formában egyenletekés döntsd el módban a kapott feladatot online a www.site weboldalon. Bármi algebrai egyenlet, trigonometrikus egyenlet vagy egyenletek tartalmazó transzcendentális funkciókat könnyedén döntsd el online, és megkapja a megfelelő választ. A természettudományok tanulmányozása során az ember elkerülhetetlenül találkozik a szükséglettel egyenletek megoldása. Ebben az esetben a válasznak pontosnak kell lennie, és azonnal meg kell kapnia a módban online. Ezért a megoldani a matematikai egyenleteket online ajánljuk a www.site oldalt, amely nélkülözhetetlen számológépe lesz megoldásokat algebrai egyenletek online, trigonometrikus egyenletek online, szintén transzcendentális egyenletek online vagy egyenletek ismeretlen paraméterekkel. A különféle gyökerek megtalálásának gyakorlati problémáira matematikai egyenletek forrás www.. Megoldás egyenletek online saját magának, célszerű a kapott választ a segítségével ellenőrizni online megoldás egyenletek a www.site weboldalon. Az egyenletet helyesen kell felírni, és azonnal megkapni online megoldás, ezután már csak össze kell hasonlítani a választ az egyenlet megoldásával. A válasz ellenőrzése nem tart tovább egy percnél, elég oldja meg az egyenletet onlineés hasonlítsa össze a válaszokat. Ez segít elkerülni a hibákat döntésés időben javítsa ki a választ egyenletek online megoldása vajon algebrai, trigonometrikus, transzcendens vagy az egyenlet ismeretlen paraméterekkel.
