Carl Friedrich Gauss, legnagyobb matematikus hosszú ideje tétovázott, a filozófia és a matematika között választott. Talán éppen ez a gondolkodásmód tette lehetővé számára, hogy ilyen észrevehető „örökséget” szerezzen a világtudományban. Különösen a „Gauss-módszer” létrehozásával ...
Ezen az oldalon közel 4 éve foglalkoztak cikkek az iskolai neveléssel, elsősorban a filozófia, a gyerekek tudatába bevezetett (félre)értés alapelvei felől. Jön a konkrétumok, példák és módszerek ideje... Úgy gondolom, hogy pontosan ez a megközelítés a megszokott, zavaros ill. fontos az élet területei jobb eredményeket adnak.
Mi emberek úgy vagyunk megtervezve, hogy bármennyit is beszélünk absztrakt gondolkodás, De megértés Mindig példákon keresztül történik. Ha nincs példa, akkor nem lehet felfogni az alapelveket... Ahogy a hegy tetejére sem lehet feljutni, csak úgy, hogy a lábától a teljes lejtőt bejárjuk.
Ugyanez az iskolával: egyelőre élő történetek Nem elég, hogy ösztönösen továbbra is olyan helynek tekintjük, ahol a gyerekeket megtanítják megérteni.
Például a Gauss-módszer tanítása...
Azonnal hadd tegyek egy fenntartást: a Gauss-módszer sokkal szélesebb körben alkalmazható például a megoldásnál lineáris egyenletrendszerek. Amiről beszélni fogunk, az 5. osztályban történik. Ez elindult, miután megértette melyiket, sokkal könnyebb megérteni a „haladóbb lehetőségeket”. Ebben a cikkben arról beszélünk Gauss módszere (módszere) egy sorozat összegének meghatározására
Itt van egy példa, amit az iskolából hoztam kisebbik fia, egy moszkvai gimnázium 5. osztályába jár.
Matek tanár segítségével interaktív tábla (modern módszerek tréning) bemutatta a gyerekeknek a kis Gauss „módszer megalkotásának” történetét.
Az iskolai tanár megkorbácsolta a kis Karlt (elavult módszer, manapság nem használják az iskolákban), mert ő
az 1-től 100-ig terjedő számok egymás utáni összeadása helyett keresse meg az összegüket megjegyezte hogy egy aritmetikai sorozat éleitől egyenlő távolságra lévő számpárok összeadódnak ugyanannak a számnak. például 100 és 1, 99 és 2. Miután megszámolta az ilyen párok számát, a kis Gauss szinte azonnal megoldotta a tanár által javasolt problémát. Amiért az elképedt nyilvánosság előtt kivégezték. Hogy mások elkedvetlenítsék a gondolkodást.
Mit csinált a kis Gauss? fejlett számérzék? Megjegyezte valamilyen funkciótállandó lépésű számsorok (számtani progresszió). ÉS pontosan ezt később nagy tudóssá tette, akik tudják, hogyan kell észrevenni, amelynek érzés, megértés ösztöne.
Ezért értékes, fejlesztő a matematika látás képességeáltalános különösen - absztrakt gondolkodás. Ezért a legtöbb szülő és munkaadó ösztönösen fontos tudományágnak tekinti a matematikát ...
„A matematikát aztán tanítani kell, mert az rendet tesz az elmében.
M. V. Lomonoszov".
Azok követői azonban, akik botokkal megkorbácsolták a jövő zsenit, a Módszert az ellenkezőjére fordították. Ahogy a felettesem mondta 35 évvel ezelőtt: „A kérdés megtanult.” Vagy ahogy a legkisebb fiam mondta tegnap Gauss módszeréről: „Talán nem érdemes ebből nagy tudományt csinálni, mi?”
A „tudósok” kreativitásának következményei láthatóak a jelenlegi iskolai matematika színvonalán, oktatásának színvonalán és a „Tudományok Királynőjének” többségi megértésében.
Azonban folytassuk...
Egy moszkvai gimnázium matematika tanára, aki Vilenkin szerint magyarázta a Gauss-módszert, megnehezítette a feladatot.
Mi van akkor, ha egy aritmetikai sorozat különbsége (lépése) nem egy, hanem egy másik szám? Például 20.
A probléma, amit az ötödik osztályosoknak adott:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Mielőtt megismerkednénk a gimnáziumi módszerrel, vessünk egy pillantást az internetre: hogyan csinálják ezt az iskolai tanárok és a matektanárok?
Egy jól ismert oktató a YOUTUBE csatornáján a következő érvelést adja:
"Írjuk fel a számokat 1-től 100-ig a következőképpen:
először egy számsor 1-től 50-ig, és szigorúan alatta egy másik számsor 50-től 100-ig, de fordított sorrendben."
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Kérjük, vegye figyelembe: az egyes számpárok összege a felső és az alsó sorból azonos és 101! Számoljuk meg a párok számát, ez 50, és szorozzuk meg egy pár összegét a párok számával! Voila: A kész a válasz!"
„Ha nem értenéd, ne idegeskedj!” – ismételte meg háromszor a tanár a magyarázat során. – Ezt a módszert 9. osztályban fogod alkalmazni!
Egy másik, kevésbé ismert oktató (a megtekintések számából ítélve) tudományosabb megközelítést alkalmaz, 5 pontból álló megoldási algoritmust kínál, amelyet sorban kell kitölteni.
Az avatatlanok számára az 5 a hagyományosan varázslatos Fibonacci-számok egyike. Az 5 lépéses módszer mindig tudományosabb, mint például a 6 lépéses módszer. ...És ez aligha véletlen, nagy valószínűséggel a Szerző a Fibonacci-elmélet rejtett támogatója
Dana számtani progresszió: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Ugyanakkor emlékezni kell plusz egy szabály : a kapott hányadoshoz hozzá kell adnunk egyet: különben eggyel kisebb eredményt kapunk, mint a valódi párok száma: 42 + 1 = 43.
Ez a 4-től 256-ig tartó számtani progresszió szükséges összege 6-os különbséggel!
A sorozat összegének megtalálásának problémája a következőképpen oldható meg:
20+40+60+ ... +460+480+500
egy moszkvai gimnázium 5. osztályában, Vilenkin tankönyve (fiam szerint).
Az előadás bemutatása után a matematikatanár mutatott néhány példát Gauss-módszerrel, és azt a feladatot adta az osztálynak, hogy keresse meg a számok összegét egy sorozatban 20-as lépésekben.
Ehhez a következőkre volt szükség:
Mint látható, ez kompaktabb és hatékony technika: a 3-as szám is a Fibonacci-sorozat tagja
A nagy matematikus határozottan a filozófiát választotta volna, ha előre látta volna, mivé változtatják „módszerét” követői német tanár, aki botokkal megkorbácsolta Karlt. Látta volna a „tanárok” szimbolikáját, dialektikus spirálját és halhatatlan butaságát, próbálja mérni az élő matematikai gondolkodás harmóniáját a félreértés algebrájával ....
Apropó: tudtad. hogy oktatási rendszerünk a 18. és 19. századi német iskolában gyökerezik?
De Gauss a matematikát választotta.
Mi a módszerének lényege?
BAN BEN egyszerűsítés. BAN BEN megfigyelése és megragadása egyszerű számminták. BAN BEN száraz iskolai aritmetikává alakítva érdekes és izgalmas tevékenység , aktiválja az agyban a folytatási vágyat, ahelyett, hogy blokkolná a költséges mentális tevékenységet.
Lehetséges-e az adott „Gauss-módszer módosításainak” valamelyikével kiszámítani egy aritmetikai sorozat számainak összegét azonnal? Az „algoritmusok” szerint a kis Karl garantáltan elkerüli a fenekelést, idegenkedést alakít ki a matematika iránt, és már az elején elnyomja kreatív impulzusait.
Miért tanácsolta az oktató olyan kitartóan az ötödikeseknek, hogy „ne féljenek a módszer félreértésétől”, meggyőzve őket arról, hogy már 9. osztályban megoldják az „ilyen” problémákat? Pszichológiailag írástudatlan cselekvés. Jó lépés volt megjegyezni: "Találkozunk már 5. osztályban lehet oldja meg azokat a problémákat, amelyeket csak 4 év alatt fog megoldani! Milyen nagyszerű ember vagy!”
A Gauss-módszer használatához elegendő a 3. szint, amikor a normál gyerekek már tudják, hogyan kell összeadni, szorozni és osztani 2-3 jegyű számokat. A problémák abból adódnak, hogy az „érintetlen” felnőtt tanárok képtelenek normális emberi nyelven elmagyarázni a legegyszerűbb dolgokat, nem is beszélve a matematikáról... Képtelenek felkelteni az emberek érdeklődését a matematika iránt, és teljesen elkedvetlenítik még azokat is, akik „ képes."
Vagy ahogy a fiam kommentálta: „nagy tudományt csinálok belőle”.
Feleségemmel ezt a „módszert” elmagyaráztuk gyermekünknek, úgy tűnik, még iskola előtt...
"Nézd, itt vannak a számok 1-től 100-ig. Mit látsz?"
Nem az a lényeg, hogy a gyerek pontosan mit lát. A trükk az, hogy rávegyük, hogy megnézze.
– Hogyan tudod összerakni őket? A fiú rájött, hogy az ilyen kérdéseket nem „csak úgy” teszik fel, és a kérdést „valahogy másként, másként, mint általában” kell nézni.
Nem baj, ha a gyerek azonnal látja a megoldást, nem valószínű. Fontos, hogy ő megszűnt félni ránézni, vagy ahogy mondom: „áthelyezte a feladatot”. Ez a megértés útjának kezdete
"Mi a könnyebb: például 5 és 6 vagy 5 és 95 hozzáadása?" Vezető kérdés... De minden képzés abból adódik, hogy az embert a „válaszra” „vezetjük” – bármilyen, számára elfogadható módon.
Ebben a szakaszban már felmerülhetnek találgatások arról, hogyan lehet „megtakarítást” tenni a számításokon.
Csak utaltunk rá: nem a „frontális, lineáris” számolási módszer az egyetlen lehetséges. Ha egy gyerek ezt megérti, akkor később még sok ilyen módszert fog kitalálni, mert érdekes!!!És mindenképpen elkerüli a matematika „félreértéseit”, és nem fogja undorodni tőle. Megszerezte a győzelmet!
Ha gyermek fedezte fel hogy olyan számpárok összeadása, amelyek százat adnak össze, egy szelet torta "számtani progresszió 1 különbséggel"- elég sivár és érdektelen dolog egy gyerek számára - hirtelen életet talált számára . A rend a káoszból alakult ki, és ez mindig lelkesedést vált ki: így készülünk!
Megválaszolandó kérdés: miért kell a gyereket a kapott belátás után ismét a száraz algoritmusok keretei közé kényszeríteni, amelyek ebben az esetben funkcionálisan is haszontalanok?!
Miért kell a hülye átírásokat erőltetni? sorszámok egy füzetben: hogy még a rátermettnek se legyen egyetlen esélye a megértésre? Statisztikailag persze, de a tömegoktatás a „statisztika” felé irányul...
És mégis, a 100-at adó számok összeadása sokkal elfogadhatóbb az elme számára, mint azok, amelyek 101-et adnak...
A „Gauss iskolai módszer” pontosan ezt követeli meg: esztelenül hajtogatni a haladás középpontjától egyenlő távolságra lévő számpárok, Mindennek ellenére.
Mi van, ha megnézed?
Ennek ellenére a nulla az emberiség legnagyobb találmánya, amely több mint 2000 éves. A matematikatanárok pedig továbbra is figyelmen kívül hagyják őt.
Sokkal könnyebb egy 1-gyel kezdődő számsort 0-val kezdődő sorozattá alakítani. Az összeg nem fog változni, ugye? Abba kell hagynia a „tankönyvekben való gondolkodást”, és el kell kezdenie keresni...És nézze meg, hogy a 101-es összegű párok teljesen helyettesíthetők a 100-as összegű párokkal!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Hogy őszinte legyek, először attól a YouTube-oktatótól hallottam egy ilyen szabályról...
Mit tegyek, ha meg kell határoznom egy sorozat tagjainak számát?
Nézem a sorrendet:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
és ha teljesen elfáradt, akkor lépjen egy egyszerűbb sorra:
1, 2, 3, 4, 5
és úgy gondolom: ha 5-ből kivonsz egyet, akkor 4-et kapsz, de teljesen világos Látom 5 szám! Ezért hozzá kell adni egyet! A számérzék ben fejlődött ki Általános Iskola, azt sugallja: még ha van is egy egész Google a sorozat tagjaiból (10-től a századik hatványig), a minta ugyanaz marad.
Mi a fenének a szabályok?...
Hogy pár-három éven belül kitöltse a homloka és a tarkója közötti teret, és abbahagyja a gondolkodást? Hogyan keress kenyeret és vajat? Hiszen egyenletes sorokban haladunk a digitális gazdaság korszakába!
Nem véletlenül tettem fel egy képernyőképet a fiam notebookjából...
– Mi történt az osztályban?
„Nos, rögtön számoltam, felemeltem a kezem, de nem kérdezte, ezért, amíg a többiek számoltak, elkezdtem a házi feladatot, hogy ne veszítsem az időt (? ??), felhívott a fórumra, mondtam a választ."
– Így van, mutasd meg, hogyan oldottad meg – mondta a tanár. megmutattam. Azt mondta: "Rossz, úgy kell számolnod, ahogy mutattam!"
„Jó, hogy nem adott rossz jegyet, és a maguk módján írt be a füzetembe „a megoldás menetét”?
Aligha utána azt az eseményt Carl Gauss nagy tiszteletet tapasztalt iskolai matematika tanára iránt. De ha tudta hogyan annak a tanárnak a követői eltorzítja a módszer lényegét...ordítana felháborodva és keresztül világszervezet szellemi tulajdon A WIPO elérte, hogy betiltsák jó hírnevét az iskolai tankönyvekben!
Miben fő hiba iskolai megközelítés? Vagy ahogy én fogalmaztam, az iskolai matematikatanárok bűne a gyerekek ellen?
Mit csinálnak az iskolai módszertanosok, akiknek túlnyomó többsége nem tud gondolkodni?
Módszereket és algoritmusokat hoznak létre (lásd). Ez védekező reakció, amely megvédi a tanárokat a kritikától („Minden a szerint történik...”), a gyerekeket pedig a megértéstől. És így - a tanárok kritizálásának vágyától!(A bürokratikus „bölcsesség” második származéka, a probléma tudományos megközelítése). Aki nem érti a jelentést, az inkább a saját félreértését fogja okolni, mint az iskolarendszer ostobaságát.
Ez történik: a szülők a gyerekeiket hibáztatják, a tanárok pedig... ugyanezt teszik azokkal a gyerekekkel, akik „nem értenek a matematikához!”
Okos vagy?
Mit csinált a kis Karl?
Teljesen szokatlan megközelítés egy képletfeladathoz. Ez az Ő megközelítésének lényege. Ez a fő dolog, amit az iskolában meg kell tanítani, hogy ne a tankönyvekkel, hanem a fejeddel gondolkodj. Természetesen van egy hangszeres alkatrész is, ami használható... keresésére egyszerűbb és hatékony módszerek fiókok.
Az iskolában azt tanítják, hogy Gauss módszere az, hogy
Mit, ha a sorozat elemeinek száma páratlan, mint a fiamhoz rendelt problémában?...
A "fogás" ebben az esetben az találnia kell egy „extra” számot a sorozatbanés add hozzá a párok összegéhez. Példánkban ez a szám 260.
Hogyan lehet észlelni? Minden számpár másolása füzetbe!(Ezért tette rá a tanár a gyerekeket arra az ostoba munkára, hogy "kreativitást" próbálnak tanítani Gauss-módszerrel... És ezért egy ilyen "módszer" gyakorlatilag nem alkalmazható nagy adatsoroknál, ÉS ezért van az nem a Gauss-módszer.)
A fiú másként viselkedett.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nem nehéz, igaz?
De a gyakorlatban ez még könnyebbé válik, ami lehetővé teszi, hogy 2-3 percet szánjon az orosz távérzékelésre, míg a többi „számol”. Ezenkívül megtartja a módszer lépéseinek számát: 5, ami nem teszi lehetővé, hogy a megközelítést tudománytalanság miatt kritizálják.
Nyilvánvalóan ez a megközelítés egyszerűbb, gyorsabb és univerzálisabb, a Módszer stílusában. De... a tanárnő nemhogy nem dicsérte meg, hanem átírásra is kényszerítette" a megfelelő módon"(lásd a képernyőképet). Vagyis kétségbeesett kísérletet tett arra, hogy elfojtsa a kreatív impulzusokat és a matematika megértésének képességét a gyökerénél! Nyilván azért, hogy később felvegyék oktatónak... Rossz embert támadott meg. ..
Mindent, amit olyan hosszan és unalmasan leírtam, egy normális gyereknek maximum fél óra alatt el lehet magyarázni. Példákkal együtt.
És úgy, hogy soha nem felejti el.
És lesz is lépés a megértés felé...nem csak matematikusok.
Valld be: életedben hányszor tettél hozzá Gauss-módszerrel? És én sose tettem!
De a megértés ösztöne, amely a tanulás folyamatában alakul ki (vagy kialszik). matematikai módszerek az iskolában... Ó!.. Ez valóban pótolhatatlan dolog!
Különösen az egyetemes digitalizáció korában, amelybe csendesen beléptünk a párt és a kormány szigorú vezetése alatt.
Igazságtalan és helytelen az ilyen tanítási stílusért járó felelősséget kizárólag az iskolai tanárokra hárítani. A rendszer érvényben van.
Néhány a tanárok megértik, hogy mi történik, de mit tegyenek? Oktatási törvény, szövetségi állami oktatási szabványok, módszerek, technológiai térképek leckék... Mindent „a szerint és az alapján” kell csinálni, és mindent dokumentálni kell. Lépjen félre – sorban állt, hogy kirúgják. Ne legyünk álszentek: a moszkvai tanárok fizetése nagyon jó... Ha kirúgnak, hová menjen?
Ezért ez az oldal nem az oktatásról. Ő kb egyéni oktatás, csak lehetséges módja kilépni a tömegből Z generáció ...
1. Lineáris rendszer algebrai egyenletek
1.1 Lineáris algebrai egyenletrendszer fogalma
Az egyenletrendszer olyan feltétel, amely több egyenlet egyidejű végrehajtásából áll több változóra vonatkozóan. Az m egyenletet és n ismeretlent tartalmazó lineáris algebrai egyenletrendszert (a továbbiakban: SLAE) a következő formájú rendszernek nevezzük:
ahol az a ij számokat rendszeregyütthatóknak, a b i számokat szabad tagoknak nevezzük, a ijÉs b i(i=1,…, m; b=1,…, n) néhány ismert számot és x-et jelent 1 ,…, x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij az első i index az egyenlet számát jelöli, a második j pedig annak az ismeretlennek a száma, amelynél ez az együttható áll. Meg kell találni az x n számokat. Kényelmes egy ilyen rendszert kompakt mátrix formában írni: AX=B. Itt A a rendszeregyütthatók mátrixa, amelyet főmátrixnak nevezünk;
– ismeretlenek oszlopvektora xj. Az A*X mátrixok szorzata definiált, mivel az A mátrixban annyi oszlop van, ahány sor az X mátrixban (n darab).
Kiterjesztett a rendszer mátrixa a rendszer A mátrixának nevezzük, kiegészítve egy szabad kifejezések oszlopával
1.2 Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása
Az egyenletrendszer megoldása a számok (változók értéke) rendezett halmaza, amikor változók helyett helyettesítjük őket, a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé alakul.
Egy rendszer megoldása az x1=c1, x2=c2,…, xn=cn ismeretlenek n értéke, amelyek behelyettesítésével a rendszer összes egyenlete valódi egyenlőséggé válik. A rendszer bármely megoldása felírható oszlopmátrixként
Egy egyenletrendszert konzisztensnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása.
Egy konzisztens rendszert határozottnak nevezünk, ha egyetlen megoldása van, és határozatlannak, ha egynél több megoldása van. Ez utóbbi esetben mindegyik megoldását a rendszer egy adott megoldásának nevezzük. Az összes konkrét megoldás halmazát általános megoldásnak nevezzük.
Egy rendszer megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni, hogy kompatibilis-e vagy inkonzisztens. Ha a rendszer konzisztens, keresse meg közös döntés.
Két rendszert ekvivalensnek (ekvivalensnek) nevezünk, ha ugyanaz az általános megoldásuk. Más szóval, a rendszerek ekvivalensek, ha az egyik megoldása a másik megoldása, és fordítva.
Egyenértékű vagy ekvivalens transzformációnak nevezzük azt a transzformációt, amelynek alkalmazása egy rendszert az eredetivel egyenértékű új rendszerré alakít. Példák az ekvivalens transzformációkra a következő transzformációk: egy rendszer két egyenletének felcserélése, két ismeretlen felcserélése az összes egyenlet együtthatóival együtt, egy rendszer bármely egyenletének mindkét oldalát megszorozzuk egy nem nulla számmal.
Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tag egyenlő nullával:
Egy homogén rendszer mindig konzisztens, mivel x1=x2=x3=…=xn=0 a rendszer megoldása. Ezt a megoldást nullának vagy triviálisnak nevezzük.
2. Gauss eliminációs módszer
2.1 A Gauss-eliminációs módszer lényege
A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának klasszikus módszere a módszer szekvenciális elimináció ismeretlen – Gauss módszer(Gauss eliminációs módszernek is nevezik). Ez egy módszer a változók szekvenciális eliminálására, amikor elemi transzformációkkal egy egyenletrendszert egy lépéses (vagy háromszög alakú) ekvivalens rendszerré redukálunk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, az utolsótól kezdve szám) változók.
A Gauss-módszert alkalmazó megoldási folyamat két szakaszból áll: előre és hátra mozgásból.
1. Közvetlen löket.
Az első szakaszban az úgynevezett direkt mozgatást hajtják végre, amikor a sorok feletti elemi átalakításokkal a rendszert lépcsőzetes vagy háromszög alakúra hozzuk, vagy megállapítják, hogy a rendszer nem kompatibilis. Ugyanis a mátrix első oszlopának elemei közül válasszunk ki egy nullától eltérő egyet, mozgassuk a legfelső pozícióba a sorok átrendezésével, és az így kapott első sort az átrendezés után vonjuk ki a fennmaradó sorokból, szorozzuk meg egy értékkel. egyenlő az egyes sorok első elemének az első sor első eleméhez viszonyított arányával, nullázva ezzel az alatta lévő oszlopot.
Miután ezek az átalakítások befejeződtek, az első sort és az első oszlopot gondolatban áthúzzuk, és addig folytatjuk, amíg egy nulla méretű mátrix nem marad. Ha bármely iterációnál nincs nullától eltérő elem az első oszlop elemei között, akkor lépjen a következő oszlopra, és hajtson végre hasonló műveletet.
Az első szakaszban (közvetlen löket) a rendszer lépcsőzetes (különösen háromszög alakú) formára redukálódik.
Az alábbi rendszer lépcsőzetes formája van:
,
Az aii együtthatókat a rendszer fő (vezető) elemeinek nevezzük.
(ha a11=0, rendezze át a mátrix sorait úgy, hogy a 11 nem egyenlő 0-val. Ez mindig lehetséges, mert különben a mátrix nulla oszlopot tartalmaz, determinánsa nulla, és a rendszer inkonzisztens).Alakítsuk át a rendszert úgy, hogy az első kivételével minden egyenletből kiküszöböljük az ismeretlen x1-et (a rendszer elemi transzformációit használva). Ehhez meg kell szorozni az első egyenlet mindkét oldalát
és adjuk hozzá tagonként a rendszer második egyenletét (vagy a második egyenletből vonjuk ki tagonként az elsőt, szorozzuk meg -val). Ezután az első egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk és hozzáadjuk a rendszer harmadik egyenletéhez (vagy a harmadikból kivonjuk az első egyenletet szorozva). Így az első sort sorban megszorozzuk egy számmal, és hozzáadjuk én sor, for i= 2, 3, …,n.Ezt a folyamatot folytatva egy egyenértékű rendszert kapunk:
– az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatóinak új értékei a rendszer utolsó m-1 egyenleteiben, amelyeket a képletek határoznak meg: Így az első lépésben minden, az a 11 első vezető elem alatti együttható megsemmisül
0, a második lépésben megsemmisülnek a második vezetőelem alatt fekvő elemek a 22 (1) (ha a 22 (1) 0) stb. Ezt a folyamatot tovább folytatva végül az (m-1) lépésnél az eredeti rendszert háromszögrendszerré redukáljuk.Ha a rendszer lépcsőzetes formára redukálása során nulla egyenletek jelennek meg, pl. a 0=0 alakú egyenlőségeket el kell vetni. Ha megjelenik a forma egyenlete
akkor ez a rendszer inkompatibilitását jelzi. Itt ér véget a Gauss-módszer közvetlen fejlődése.
2. Fordított löket.
A második szakaszban az úgynevezett fordított mozgást hajtják végre, amelynek lényege, hogy az összes eredő alapváltozót nem alapváltozókkal fejezzük ki és konstruáljuk alapvető rendszer megoldásokat, vagy ha minden változó bázisos, akkor numerikusan fejezze ki a lineáris egyenletrendszer egyedi megoldását.
Ez az eljárás az utolsó egyenlettel kezdődik, amelyből a megfelelő alapváltozót kifejezzük (csak egy van benne), és behelyettesítjük az előző egyenletekbe, és így tovább, felfelé haladva a „lépéseket”.
Minden sor pontosan egy bázisváltozónak felel meg, így az utolsó (legfelső) kivételével minden lépésnél a helyzet pontosan megismétli az utolsó sor esetét.
Megjegyzés: a gyakorlatban kényelmesebb nem a rendszerrel dolgozni, hanem annak kiterjesztett mátrixával, az összes elemi transzformációt a sorain végrehajtva. Célszerű, ha az a11 együttható 1-gyel egyenlő (rendezzük át az egyenleteket, vagy osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a11-gyel).
Ebben a részben három különféle példák Mutassuk meg, hogyan oldja meg a Gauss-módszer az SLAE-t.
Példa 1. Oldjon meg egy 3. rendű SLAE-t.
Állítsuk vissza az együtthatókat a
a második és a harmadik sorban. Ehhez szorozza meg őket 2/3-mal és 1-gyel, és adja hozzá az első sorhoz:
A lineáris egyenletrendszer megoldásának egyik legegyszerűbb módja a determinánsok számításán alapuló technika ( Cramer szabálya). Előnye, hogy lehetővé teszi a megoldás azonnali rögzítését, különösen olyan esetekben kényelmes, amikor a rendszer együtthatói nem számok, hanem néhány paraméter. Hátránya a számítások nehézkessége nagyszámú egyenlet esetén, ráadásul a Cramer-szabály közvetlenül nem alkalmazható olyan rendszerekre, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlenek számával. Ilyen esetekben általában azt használják Gauss módszer.
Azonos megoldásokkal rendelkező lineáris egyenletrendszereket nevezzük egyenértékű. Nyilván sok megoldás lineáris rendszer nem változik, ha bármelyik egyenletet felcseréljük, vagy ha az egyenleteket megszorozzuk valamilyen nullától eltérő számmal, vagy ha egy egyenletet hozzáadunk a másikhoz.
Gauss módszer (az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere) az, hogy elemi transzformációk segítségével a rendszert egy lépés típusú ekvivalens rendszerré redukáljuk. Először az 1. egyenlet segítségével kiküszöböljük x a rendszer összes következő egyenlete közül 1. Ezután a 2. egyenlet segítségével kiküszöböljük x 2 a 3. és az összes azt követő egyenletből. Ezt a folyamatot, az ún közvetlen Gauss-módszer, addig folytatódik, amíg csak egy ismeretlen marad az utolsó egyenlet bal oldalán x n. Ezek után kész a Gauss-módszer inverze– az utolsó egyenletet megoldva azt találjuk x n; ezt követően ezt az értéket felhasználva az utolsó előtti egyenletből számolunk x n-1 stb. Megtaláljuk az utolsót x 1 az első egyenletből.
Kényelmes Gauss-transzformációkat végrehajtani úgy, hogy nem magukkal az egyenletekkel, hanem azok együtthatóinak mátrixaival hajtjuk végre a transzformációkat. Tekintsük a mátrixot:
hívott a rendszer kiterjesztett mátrixa, mert a rendszer főmátrixán kívül egy szabad kifejezések oszlopát is tartalmazza. A Gauss-módszer azon alapul, hogy a rendszer főmátrixát a rendszer kiterjesztett mátrixának elemi sortranszformációival (!) háromszög alakúra (vagy nem négyzetes rendszerek esetén trapéz alakúra) redukáljuk.
5.1. példa. Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel:
Megoldás. Írjuk ki a rendszer kibővített mátrixát, majd az első sor segítségével visszaállítjuk a fennmaradó elemeket:
az első oszlop 2., 3. és 4. sorában nullákat kapunk:
Most a 2. sor alatti második oszlopban lévő összes elemnek nullával kell egyenlőnek lennie. Ehhez megszorozhatja a második sort –4/7-tel, és hozzáadhatja a 3. sorhoz. Azonban, hogy ne foglalkozzunk törtekkel, hozzunk létre egy egységet a második oszlop 2. sorában, és csak
Most, hogy háromszög alakú mátrixot kapjunk, vissza kell állítani a 3. oszlop negyedik sorának elemét, megszorozhatjuk a harmadik sort 8/54-gyel, és hozzáadhatjuk a negyedikhez. Azonban, hogy ne foglalkozzunk a törtekkel, a 3. és 4. sort, valamint a 3. és 4. oszlopot felcseréljük, és csak ezután állítjuk vissza a megadott elemet. Vegye figyelembe, hogy az oszlopok átrendezésekor a megfelelő változók helyet cserélnek, és ezt emlékezni kell; egyéb oszlopos elemi transzformáció (összeadás és szorzás egy számmal) nem hajtható végre!
Az utolsó egyszerűsített mátrix az eredetivel egyenértékű egyenletrendszernek felel meg:
Innen a Gauss-módszer inverzét használva a negyedik egyenletből azt találjuk x 3 = –1; a harmadiktól x 4 = –2, a másodiktól x 2 = 2 és az első egyenletből x 1 = 1. Mátrix formában a választ a következőképpen írjuk fel
Azt az esetet vettük figyelembe, amikor a rendszer határozott, azaz. amikor csak egy megoldás létezik. Nézzük meg, mi történik, ha a rendszer inkonzisztens vagy bizonytalan.
5.2. példa. Fedezze fel a rendszert a Gauss-módszerrel:
Megoldás. Kiírjuk és átalakítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát
Egy egyszerűsített egyenletrendszert írunk fel:
Itt az utolsó egyenletből kiderül, hogy 0=4, azaz. ellentmondás. Ebből következően a rendszernek nincs megoldása, i.e. ő összeegyeztethetetlen. à
5.3. példa. Fedezze fel és oldja meg a rendszert a Gauss-módszerrel:
Megoldás. Kiírjuk és átalakítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát:
Az átalakítások eredményeként az utolsó sor csak nullákat tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy az egyenletek száma eggyel csökkent:
Így az egyszerűsítések után két egyenlet maradt, és négy ismeretlen, i.e. két ismeretlen "extra". Legyenek „feleslegesek”, vagy ahogy mondják, szabad változók, fog x 3 és x 4. Akkor
hinni x 3 = 2aÉs x 4 = b, kapunk x 2 = 1–aÉs x 1 = 2b–a; vagy mátrix formában
Az így írt megoldást ún Tábornok, mert, paraméterek megadása aÉs b különböző jelentések, a rendszer összes lehetséges megoldása leírható. a
Legyen adott a rendszer, ∆≠0. (1)A Gauss-módszer lényege, hogy az (1)-et egy háromszögmátrixú rendszerré alakítjuk, amelyből aztán szekvenciálisan (fordítva) megkapjuk az összes ismeretlen értékeit. Tekintsük az egyik számítási sémát. Ezt az áramkört egyosztós áramkörnek nevezzük. Tehát nézzük ezt a diagramot. Legyen egy 11 ≠0 (vezető elem) ossza el az első egyenletet 11-gyel. Kapunk
(2)
A (2) egyenlet segítségével könnyen kiküszöbölhető az x 1 ismeretlenek a rendszer fennmaradó egyenleteiből (ehhez elegendő minden egyenletből kivonni a (2) egyenletet, amelyet előzőleg megszoroztunk az x 1 megfelelő együtthatójával) , azaz első lépésben megkapjuk
.
Más szóval, az 1. lépésben a következő sorok minden eleme a másodiktól kezdve egyenlő az eredeti elem és az első oszlopra és az első (transzformált) sorra való „vetítésének” szorzata közötti különbséggel.
Ezt követően az első egyenletet magára hagyva hasonló transzformációt végzünk az első lépésben kapott rendszer többi egyenletein: kiválasztjuk közülük a vezető elemet tartalmazó egyenletet, és ennek segítségével kizárjuk a maradékból x 2-t. egyenletek (2. lépés).
N lépés után (1) helyett egy ekvivalens rendszert kapunk 
(3)
Így az első szakaszban egy háromszögrendszert kapunk (3). Ezt a szakaszt előre löketnek nevezik.
A második szakaszban (fordítva) a (3)-ból egymás után megtaláljuk az x n, x n -1, ..., x 1 értékeket.
Jelöljük a kapott megoldást x 0-val. Ekkor az ε=b-A x 0 különbség maradéknak nevezzük.
Ha ε=0, akkor az x 0 talált megoldás helyes.
A Gauss-módszerrel végzett számításokat két lépésben hajtják végre:
Példa egy megoldásra a Gauss-módszerrel
Oldjuk meg a rendszert: 
A könnyebb számítás érdekében cseréljük fel a sorokat: 
Szorozzuk meg a 2. sort (2-vel). Adja hozzá a 3. sort a 2. sorhoz 
Szorozd meg a 2. sort (-1)-gyel. Adja hozzá a 2. sort az 1-hez 
Az 1. sorból x 3-at fejezünk ki:
A 2. sorból x 2-t fejezünk ki:
A 3. sorból x 1-et fejezünk ki: 
Példa a Jordano-Gauss módszert alkalmazó megoldásra
Oldjuk meg ugyanezt a SLAE-t Jordano-Gauss módszerrel. 
Sorrendben kiválasztjuk az RE feloldóelemet, amely a mátrix főátlóján fekszik.
A felbontás elem egyenlő (1).
NE = DK - (A*B)/RE
RE - felbontó elem (1), A és B - mátrixelemek, amelyek téglalapot alkotnak STE és RE elemekkel.
Mutassuk be az egyes elemek számítását táblázat formájában:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha az összes megoldás halmaza egybeesik.
Az egyenletrendszer elemi transzformációi a következők:
- Triviális egyenletek törlése a rendszerből, pl. azok, amelyeknél minden együttható nulla;
- Bármely egyenlet szorzata nullától eltérő számmal;
- Bármely i-edik egyenlethez hozzáadva bármely j-edik egyenletet tetszőleges számmal megszorozva.
Egy x i változót szabadnak nevezünk, ha ez a változó nem engedélyezett, de a teljes egyenletrendszer megengedett.
Tétel. Az elemi transzformációk egy egyenletrendszert ekvivalenssé alakítanak át.
A Gauss-módszer jelentése az eredeti egyenletrendszer átalakítása és egy ekvivalens feloldott vagy ekvivalens inkonzisztens rendszer létrehozása.
Tehát a Gauss-módszer a következő lépésekből áll:
Ennek eredményeként néhány lépés után vagy egy megoldott rendszert kapunk (esetleg szabad változókkal), vagy egy inkonzisztens rendszert. Az engedélyezett rendszerek két esetre oszthatók:
Ez minden! Lineáris egyenletrendszer megoldva! Ez egy meglehetősen egyszerű algoritmus, és ahhoz, hogy elsajátítsa, nem kell felvennie a kapcsolatot egy felsőbb matematika tanárral. Nézzünk egy példát:
Feladat. Oldja meg az egyenletrendszert:
A lépések leírása:
Közös döntés ízületi rendszer a lineáris egyenletek új rendszer, ekvivalens az eredetivel, amelyben az összes megengedett változó szabadon van kifejezve.
Mikor lehet szükség általános megoldásra? Ha k-nál kevesebb lépést kell megtennie (k az, hogy hány egyenlet van). Azonban az okok, amelyek miatt a folyamat valamilyen l lépésnél véget ér< k , может быть две:
Fontos megérteni, hogy egy inkonzisztens egyenlet Gauss-módszerrel történő felbukkanása elegendő alap az inkonzisztenciához. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy az l-edik lépés eredményeként nem maradhatnak meg triviális egyenletek - ezek mind áthúzódnak a folyamat során.
A lépések leírása:
Tehát a rendszer inkonzisztens, mert egy inkonzisztens egyenletet fedeztek fel.
Feladat. Fedezze fel a kompatibilitást, és találjon általános megoldást a rendszerre:
A lépések leírása:
Tehát a rendszer konzisztens és határozatlan, mivel két megengedett változó (x 1 és x 2) és két szabad (x 3 és x 4) van.
