Az első részben a megtalálás módja inverz mátrix algebrai összeadások segítségével. Itt egy másik módszert írunk le az inverz mátrixok megtalálására: a Gauss és Gauss-Jordan transzformációt. Az inverz mátrix megtalálásának ezt a módszerét gyakran elemi transzformációk módszerének nevezik.
A módszer alkalmazásához a megadott $A$ mátrixot és a $E$ azonosságmátrixot egy mátrixba írjuk, azaz. $(A|E)$ alakú mátrixot alkotnak (ezt a mátrixot kiterjesztett mátrixnak is nevezik). Ezt követően a kiterjesztett mátrix soraival végrehajtott elemi transzformációk segítségével a sortól balra lévő mátrix egységgé válik, a kiterjesztett mátrix pedig $\left(E| A^(-1) \right alakot ölt. )$. Ebben a helyzetben az elemi átalakítások a következő műveleteket foglalják magukban:
Ezeket az elemi transzformációkat többféleképpen lehet alkalmazni. Általában a Gauss módszert vagy a Gauss-Jordan módszert választják. Általában a Gauss és a Gauss-Jordan módszereket lineáris rendszerek megoldására tervezték algebrai egyenletek, nem inverz mátrixok keresésére. A „Gauss-módszer alkalmazása a mátrix inverzének meghatározására” kifejezést itt úgy kell érteni, mint „a Gauss-módszerben rejlő műveletek alkalmazása a mátrix inverzének meghatározására”.
A példák számozása az első résztől folytatódott. A példákban és a Gauss-módszer használatát az inverz mátrix megtalálására, a példákban pedig a Gauss-Jordan módszert elemzik. Megjegyzendő, hogy ha a megoldás során a mátrix valamely sorának vagy oszlopának a vonal előtti összes eleme nullára van állítva, akkor az inverz mátrix nem létezik.
5. példa
Keresse meg a $A^(-1)$ mátrixot, ha $A=\left(\begin(array) (cccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\jobbra)$.
Ebben a példában az inverz mátrixot a Gauss-módszerrel találjuk meg. Kibővített mátrix, benne általános eset forma $(A|E)$, in ezt a példát a következő formában lesz: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Cél: elemi transzformációkkal hozza a kiterjesztett mátrixot $\left(E|A^(-1) \right)$ alakba. Ugyanazokat a műveleteket alkalmazzuk, mint a megoldási rendszerekben lineáris egyenletek Gauss módszer. A Gauss-módszer alkalmazása kényelmes, ha a kiterjesztett mátrix első sorának első eleme egy. Ennek eléréséhez felcseréljük a kiterjesztett mátrix első és harmadik sorát, ami a következő lesz: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(tömb) \jobbra)$.
Most pedig térjünk rá a megoldásra. A Gauss-módszer két szakaszra oszlik: előre és hátra ( Részletes leírás az egyenletrendszerek megoldásának ezt a módszerét a vonatkozó témakör példái tartalmazzák). Ugyanezt a két lépést alkalmazzuk az inverz mátrix megtalálásának folyamatában.
Első lépés
Az első sor segítségével visszaállítjuk az első sor alatt található első oszlop elemeit:
Hadd kommentáljak egy kicsit, amit tettem. A $II-2\cdot I$ jelölés azt jelenti, hogy az első sor megfelelő elemeit előzőleg kettővel megszorozva kivontuk a második sor elemeiből. Ez a művelet a következőképpen írható külön:
A $III-7\cdot I$ művelet pontosan ugyanígy történik. Ha nehézségekbe ütközik ezeknek a műveleteknek a végrehajtása, akkor azokat külön is végre lehet hajtani (hasonlóan a fent látható $II-2\cdot I$ művelethez), majd az eredmény bekerül a kiterjesztett mátrixba.
Második lépés
A második sor segítségével visszaállítjuk a második oszlop elemét, amely a második sor alatt található:
Osszuk el a harmadik sort 5-tel:
Az egyenes futásnak vége. A mátrix főátlója alatt a vonalig elhelyezkedő összes elemet nullára állítottuk.
Első lépés
A harmadik sor segítségével visszaállítjuk a harmadik sor felett található harmadik oszlop elemeit:
Mielőtt továbblépne a következő lépésre, ossza el a második sort $7$-al:
Második lépés
A második sor segítségével visszaállítjuk a második oszlop második sor feletti elemeit:
A transzformációk befejeződnek, az inverz mátrixot a Gauss-módszerrel találjuk meg: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \right)$. Az ellenőrzést, ha szükséges, az előző példákhoz hasonlóan végezhetjük el. Ha az összes magyarázatot kihagyja, akkor a megoldás a következő formában jelenik meg:
Válasz: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & -27/5 \end(array) \right)$.
6. példa
Keresse meg a $A^(-1)$ mátrixot, ha $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.
Az inverz mátrix megtalálásához ebben a példában ugyanazokat a műveleteket fogjuk használni, amelyeket a Gauss-módszerrel lineáris egyenletrendszerek megoldásánál használunk. Részletes magyarázatot adunk, de itt csak rövid megjegyzésekre szorítkozunk. Írjuk fel a kiterjesztett mátrixot: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Cserélje fel a mátrix első és negyedik sorát: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.
Az előre futtatott átalakítások befejeződtek. A mátrix főátlója alatt, a vonaltól balra található összes elem nullára van állítva.
Gauss inverze talált, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ end( tömb)\right)$. Az ellenőrzést, ha szükséges, a 2. és 3. példában leírtakhoz hasonlóan hajtjuk végre.
Válasz: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ jobbra)$.
7. példa
Keresse meg a $A^(-1)$ mátrixot, ha $A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\jobbra)$.
Az inverz mátrix megtalálásához alkalmazzuk a műveleteket a módszerre jellemző Gauss-Jordánia. A különbség a Gauss-módszertől, amelyet az előző és a példákban vizsgáltunk, az, hogy a megoldást egy lépésben hajtják végre. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a Gauss-módszer 2 szakaszra oszlik: az előrelépésre („nullákat csinálunk” a mátrix főátlója alatt a rúdra) és a visszafelé mozgásra (az elemeket a mátrix főátlója fölé állítjuk vissza) a bárba). Az inverz mátrix Gauss-Jordan módszerrel történő kiszámításához nincs szükség két megoldási szakaszra. Először készítsünk egy kiterjesztett mátrixot: $(A|E)$:
$$ (A|E)=\left(\begin(array) (cccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end(tömb) \jobbra) $$
Első lépés
Állítsa az első oszlop minden elemét nullára, egy kivételével. Az első oszlopban minden elem nem nulla, így bármelyik elemet kiválaszthatjuk. Vegyük például a $(-4)$:
A kiválasztott $(-4)$ elem a harmadik sorban van, ezért a harmadik sort használjuk az első oszlop kijelölt elemeinek nullázására:
Tegyük egyenlővé a harmadik sor első elemét eggyel. Ehhez elosztjuk a kiterjesztett mátrix harmadik sorának elemeit $(-4)$-val:
Most kezdjük el nullázni az első oszlop megfelelő elemeit:
A további lépésekben a harmadik sort már nem lehet majd használni, mert azt már az első lépésben alkalmaztuk.
Második lépés
Válasszunk a második oszlop egy nem nulla elemét, és a második oszlop összes többi elemét állítsuk nullára. Két elem közül választhatunk: $\frac(11)(2)$ vagy $\frac(39)(4)$. A $\left(-\frac(5)(4) \right)$ elem nem választható ki, mert a harmadik sorban található, amit az előző lépésben használtunk. Jelöljük ki a $\frac(11)(2)$ elemet, ami az első sorban található. Változtassuk meg a $\frac(11)(2)$ értékét eggyel az első sorban:
Most állítsuk a második oszlop megfelelő elemeit nullára:
A további érvelés során az első sor nem használható.
Harmadik lépés
A harmadik oszlop összes elemét egy kivételével vissza kell állítani. Ki kell választanunk a harmadik oszlop valamelyik nullától eltérő elemét. Azonban nem vehetjük át a $\frac(6)(11)$ vagy a $\frac(13)(11)$, mert ezek az elemek a korábban használt első és harmadik sorban vannak. A választék kicsi: csak a $\frac(2)(11)$ elem marad meg, ami a második sorban található. Osszuk el a második sor összes elemét $\frac(2)(11)$-val:
Most állítsuk a harmadik oszlop megfelelő elemeit nullára:
A Gauss-Jordan módszerrel végzett átalakítások befejeződtek. Már csak az marad, hogy a mátrixot a vonalig egységgé alakítsuk. Ehhez meg kell változtatni a sorok sorrendjét. Először cserélje fel az első és a harmadik sort:
$$ \left(\begin(array) (cccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(tömb) \jobbra) $$
Most cseréljük fel a második és a harmadik sort:
$$ \left(\begin(array) (cccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(tömb) \jobbra) $$
Tehát $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. A megoldás természetesen más módon is végrehajtható, a főátlón lévő elemek kiválasztásával. Általában pontosan ezt teszik, mert ebben az esetben a megoldás végén nem kell felcserélni a sorokat. Az előző megoldást egyetlen célból adtam meg: hogy megmutassam, hogy az egyes lépéseknél a sor kiválasztása nem alapvető. Ha minden lépésnél átlós elemeket választunk, akkor a megoldás a következő lesz.
Ez a téma az egyik leggyűlöltebb a diákok körében. Ami még rosszabb, valószínűleg csak a meghatározók.
A trükk az, hogy maga az inverz elem fogalma (és most nem csak a mátrixokról beszélek) a szorzás műveletére utal. Még be is iskolai tananyag szorzást veszik figyelembe bonyolult művelet, a mátrixok szorzása pedig általában egy külön téma, aminek egy egész bekezdést és egy oktatóvideót szentelek neki.
Ma nem megyünk bele a mátrixszámítások részleteibe. Ne feledje: hogyan jelöljük a mátrixokat, hogyan szorozzuk őket, és mi következik ebből.
Először is állapodjunk meg a jelölésben. A $\left[ m\times n \right]$ méretű $A$ mátrix egyszerűen egy számtáblázat pontosan $m$ sorral és $n$ oszloppal:
\=\zárójel(\left[ \begin(mátrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(mátrix) \jobbra])_(n)\]
Hogy véletlenül ne keverjük össze helyenként a sorokat és az oszlopokat (hidd el, a vizsgán össze lehet keverni egyet a kettessel - mit is mondhatnánk ott néhány sorról), csak vessünk egy pillantást a képre:
Mátrixsejtek indexeinek meghatározása Mi történik? Ha az $OXY$ szabványos koordinátarendszert a bal felső sarokba helyezzük, és a tengelyeket úgy irányítjuk, hogy azok lefedjék a teljes mátrixot, akkor ennek a mátrixnak minden cellája egyedileg társítható a $\left(x;y \right) koordinátákkal. $ - ez lesz a sorszám és az oszlop száma.
Miért van a koordinátarendszer pontosan a bal felső sarokban? Igen, mert onnan kezdünk el olvasni bármilyen szöveget. Nagyon könnyű megjegyezni.
Miért mutat a $x$ tengely lefelé, és miért nem jobbra? Megint egyszerű: vegyük a szabványos koordináta-rendszert (az $x$ tengely jobbra, a $y$ tengely felfelé megy), és forgassa el úgy, hogy bezárja a mátrixot. Ez egy 90 fokos elforgatás az óramutató járásával megegyező irányban – ennek eredményét látjuk a képen.
Általában kitaláltuk, hogyan határozzuk meg a mátrixelemek indexeit. Most foglalkozzunk a szorzással.
Meghatározás. A $A=\left[ m\times n \right]$ és a $B=\left[ n\times k \right]$ mátrixok, amikor az első oszlopok száma megegyezik a második sorainak számával következetesnek nevezik.
Ebben a sorrendben. Lehet kétértelmű, és azt mondhatjuk, hogy a $A$ és a $B$ mátrixok egy $\left(A;B \right)$ rendezett párt alkotnak: ha konzisztensek ebben a sorrendben, akkor egyáltalán nem szükséges, hogy $B $ és $A$, azok. a $\left(B;A \right)$ pár is konzisztens.
Csak konzisztens mátrixok szorozhatók.
Meghatározás. A $A=\left[ m\times n \right]$ és a $B=\left[ n\times k \right]$ konzisztens mátrixok szorzata az új $C=\left[ m\times k \right mátrix ]$ , melynek $((c)_(ij))$ elemeit a következő képlet számítja ki:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Más szavakkal: ahhoz, hogy megkapjuk a $C=A\cdot B$ mátrix $((c)_(ij))$ elemét, az első mátrix $i$-sorát kell venni, a $j$ a második mátrix -edik oszlopát, majd szorozzuk meg párban az ebből a sorból és oszlopból származó elemeket. Adja össze az eredményeket.
Igen, ez kemény meghatározás. Ebből azonnal több tény is következik:
A szorzás eloszlását külön kellett leírni a bal és a jobb oldali szorzóösszegre, már csak a szorzási művelet kommutativatlansága miatt is.
Ha ennek ellenére kiderül, hogy $A\cdot B=B\cdot A$, az ilyen mátrixokat permutálhatónak nevezzük.
Az összes mátrix között, amelyek megszorozódnak valamivel, vannak speciálisak – azok, amelyek bármely $A$ mátrixszal megszorozva ismét $A$-t adnak:
Meghatározás. A $E$ mátrixot azonosságnak nevezzük, ha $A\cdot E=A$ vagy $E\cdot A=A$. $A$ négyzetmátrix esetén ezt írhatjuk:
Az identitásmátrix gyakori vendég a megoldásban mátrixegyenletek. És általában gyakori vendég a mátrixok világában. :)
És emiatt a $E$ miatt valaki kitalálta a következő játékot.
Mivel a mátrixszorzás nagyon időigényes művelet (egy csomó sort és oszlopot meg kell szorozni), az inverz mátrix fogalma sem a legtriviálisabb. És ehhez némi magyarázat kell.
Nos, ideje megtudni az igazságot.
Meghatározás. A $B$ mátrixot a $A$ mátrix inverzének nevezzük, ha
Az inverz mátrixot $((A)^(-1))$ jelöli (nem tévesztendő össze a fokozattal!), így a definíció így átírható:
Úgy tűnik, hogy minden rendkívül egyszerű és világos. De egy ilyen meghatározás elemzésekor számos kérdés azonnal felmerül:
Ami a számítási algoritmusokat illeti - erről egy kicsit később fogunk beszélni. De a többi kérdésre most válaszolunk. Rendezzük őket külön állítások-lemmák formájában.
Kezdjük azzal, hogyan kell kinéznie a $A$ mátrixnak, hogy $((A)^(-1))$ legyen. Most megbizonyosodunk arról, hogy mindkét mátrixnak négyzet alakúnak és azonos méretűnek kell lennie: $\left[ n\times n \right]$.
1. lemma. Adott egy $A$ mátrix és annak inverze $((A)^(-1))$. Ekkor mindkét mátrix négyzet alakú, és azonos sorrendű $n$.
Bizonyíték. Minden egyszerű. Legyen a $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ mátrix. Mivel a $A\cdot ((A)^(-1))=E$ szorzat definíció szerint létezik, a $A$ és $((A)^(-1))$ mátrixok következetesek ebben a sorrendben:
\[\begin(igazítás) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( igazítsa)\]
Ez egyenes következménye a mátrixszorzó algoritmusnak: az $n$ és $a$ együtthatók "tranzit" és egyenlőnek kell lenniük.
Ugyanakkor az inverz szorzás is definiálva van: $((A)^(-1))\cdot A=E$, így a $((A)^(-1))$ és $A$ mátrixok következetes is ebben a sorrendben:
\[\begin(igazítás) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( igazítsa)\]
Így az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. A $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ definíciója szerint azonban a mátrixok méretei pontosan megegyeznek:
\[\begin(igazítás) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(igazítás)\]
Így kiderül, hogy mindhárom mátrix - $A$, $((A)^(-1))$ és $E$ - négyzet alakú $\left[ n\times n \right]$. A lemma bevált.
Hát ez már jó. Látjuk, hogy csak a négyzetmátrixok invertálhatók. Most győződjünk meg arról, hogy az inverz mátrix mindig ugyanaz.
2. lemma. Adott egy $A$ mátrix és annak inverze $((A)^(-1))$. Akkor ez az inverz mátrix egyedi.
Bizonyíték. Kezdjük az ellenkezőjével: legyen az $A$ mátrixnak legalább két inverze - $B$ és $C$. Ekkor a definíció szerint a következő egyenlőségek igazak:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(igazítás)\]
Az 1. lemmából arra a következtetésre jutunk, hogy mind a négy $A$, $B$, $C$ és $E$ mátrix azonos sorrendű négyzet: $\left[ n\times n \right]$. Ezért a termék meghatározása:
Mivel a mátrixszorzás asszociatív (de nem kommutatív!), ezt írhatjuk:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Jobbra B=C. \\ \end(igazítás)\]
Az egyetlen lehetséges opciót kaptuk: az inverz mátrix két másolata egyenlő. A lemma bevált.
A fenti érvelés szinte szó szerint megismétli az inverz elem egyediségének bizonyítását mindenki számára valós számok$b\ne 0$. Az egyetlen jelentős kiegészítés a mátrixok dimenziójának figyelembevétele.
Arról azonban továbbra sem tudunk semmit, hogy van-e ilyen négyzetmátrix visszafordítható. Itt a determináns jön a segítségünkre – ez minden négyzetmátrix kulcsjellemzője.
3. lemma. Adott egy $A$ mátrix. Ha létezik vele fordított $((A)^(-1))$ mátrix, akkor az eredeti mátrix determinánsa nem nulla:
\[\bal| A \right|\ne 0\]
Bizonyíték. Azt már tudjuk, hogy a $A$ és a $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ méretű négyzetmátrixok. Ezért mindegyikre ki lehet számítani a determinánst: $\left| A \right|$ és $\left| ((A)^(-1)) \jobbra|$. A szorzat determinánsa azonban egyenlő a determinánsok szorzatával:
\[\bal| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \jobbra|\Jobbra \balra| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \jobbra|\]
De a $A\cdot ((A)^(-1))=E$ definíciója szerint, és a $E$ determinánsa mindig egyenlő 1-gyel, tehát
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\jobbra|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \jobbra|=1. \\ \end(igazítás)\]
Két szám szorzata csak akkor egyenlő eggyel, ha mindegyik szám különbözik nullától:
\[\bal| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \jobbra|\ne 0.\]
Így kiderül, hogy $\left| A \right|\ne 0$. A lemma bevált.
Valójában ez a követelmény teljesen logikus. Most elemezzük az inverz mátrix megtalálásának algoritmusát - és teljesen világossá válik, hogy elvileg miért nem létezhet inverz mátrix nulla determinánssal.
De először fogalmazzunk meg egy "kiegészítő" definíciót:
Meghatározás. A degenerált mátrix egy $\left[ n\x n \right]$ méretű négyzetmátrix, amelynek determinánsa nulla.
Így kijelenthetjük, hogy bármely invertálható mátrix nem degenerált.
Most megvizsgálunk egy univerzális algoritmust az inverz mátrixok megtalálására. Általában két általánosan elfogadott algoritmus létezik, és ma a másodikkal is foglalkozunk.
A most figyelembe vett mátrix nagyon hatékony a $\left[ 2\x 2 \right]$ és - részben - a $\left[ 3\x 3 \right]$ méretű mátrixok esetén. De a $\left[ 4\x 4 \right]$ mérettől kezdve jobb, ha nem használod. Miért – most mindent meg fog érteni.
Készülj fel. Most fájdalom lesz. Nem, ne aggódj: egy gyönyörű nővér szoknyában, csipkés harisnyában nem jön be, és nem ad be injekciót a fenékbe. Minden sokkal prózaibb: az algebrai kiegészítések és Őfelsége, az „Union Matrix” jönnek Önhöz.
Kezdjük a fővel. Legyen egy $A=\left[ n\times n \right]$ méretű négyzetmátrix, melynek elemei a $((a)_(ij))$ nevet kapják. Ezután minden ilyen elemhez definiálhatunk egy algebrai komplementet:
Meghatározás. A $((A)_(ij))$ algebrai komplementer a $((a)_(ij))$ elemhez a $i$-edik sorában és a $j$-edik oszlopában a $A=\left mátrixban Az [ n \times n \right]$ az űrlap konstrukciója
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Ahol $M_(ij)^(*)$ az eredeti $A$-ból ugyanazon $i$-edik sor és $j$-edik oszlop törlésével kapott mátrix determinánsa.
Újra. A $\left(i;j \right)$ koordinátákkal rendelkező mátrixelem algebrai kiegészítését $((A)_(ij))$-ként jelöljük, és a következő séma szerint számítjuk ki:
Magát a $M_(ij)^(*)$ mátrixot a $((a)_(ij))$ elem komplementer minorjának nevezzük. És ebben az értelemben az algebrai komplementer fenti definíciója egy több speciális esete összetett meghatározás- amit a determinánsról szóló leckében figyelembe vettünk.
Fontos jegyzet. Valójában a "felnőtt" matematikában az algebrai összeadások meghatározása a következő:
- Négyzetmátrixban $k$ sorokat és $k$ oszlopokat veszünk. A metszéspontjuknál egy $\left[ k\x k \right]$ méretű mátrixot kapunk – determinánsát $k$ rendű minornak nevezzük, és $((M)_(k))$-val jelöljük.
- Ezután áthúzzuk ezeket a "kiválasztott" $k$ sorokat és $k$ oszlopokat. Ismét kapunk egy négyzetes mátrixot - a determinánsát komplementer minornak nevezzük, és $M_(k)^(*)$-val jelöljük.
- Szorozzuk meg $M_(k)^(*)$ értékét $((\left(-1 \right))^(t))$-val, ahol $t$ (figyelem!) az összes kijelölt sor számának összege és oszlopok . Ez lesz az algebrai összeadás.
Vessen egy pillantást a harmadik lépésre: valójában 2 000 dolláros kifejezések összege van! A másik dolog, hogy $k=1$-ra csak 2 tagot kapunk - ezek ugyanazok lesznek a $i+j$ - a $((a)_(ij))$ elem "koordinátái", amelyre mi algebrai kiegészítést keres.
Tehát ma egy kissé leegyszerűsített definíciót használunk. De mint később látni fogjuk, ez bőven elég lesz. Sokkal fontosabb a következő:
Meghatározás. A $S$ uniómátrix a $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrixhoz egy új $\left[ n\times n \right]$ méretű mátrix, amelyet $A$-ból kapunk. a $(( a)_(ij))$ helyére a $((A)_(ij))$ algebrai kiegészítőkkel:
\\Jobbra S=\left[ \begin(mátrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(mátrix) \jobbra]\]
Az első gondolat, ami a definíció felismerésének pillanatában felmerül: „ennyit kell összesen számolni!” Nyugi: számolni kell, de nem annyira. :)
Nos, ez mind nagyon szép, de miért van erre szükség? De miért.
Menjünk vissza egy kicsit. Ne feledje, a 3. lemma kimondta, hogy egy $A$ invertálható mátrix mindig nem szinguláris (vagyis a determinánsa nem nulla: $\left| A \right|\ne 0$).
Tehát fordítva is igaz: ha az $A$ mátrix nem degenerált, akkor mindig invertálható. És van még egy keresési séma is $((A)^(-1))$. Nézd meg:
Inverz mátrix tétel. Legyen adott egy $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrix, amelynek determinánsa nem nulla: $\left| A \right|\ne 0$. Ekkor létezik a $((A)^(-1))$ inverz mátrix, és a következő képlettel számítjuk ki:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
És most - mindegy, de jól olvasható kézírással. Az inverz mátrix megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
És ez az! Megtalálható a $((A)^(-1))$ inverz mátrix. Nézzünk példákat:
\[\left[ \begin(mátrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(mátrix) \right]\]
Megoldás. Ellenőrizzük a megfordíthatóságot. Számítsuk ki a determinánst:
\[\bal| A \right|=\left| \begin(mátrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(mátrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
A determináns különbözik a nullától. Tehát a mátrix megfordítható. Hozzunk létre egy szakszervezeti mátrixot:
Számítsuk ki az algebrai összeadásokat:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\jobbra|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\jobbra|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \jobbra|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]
Figyeld: |2|, |5|, |1| meghatározó tényezők és |3| a $\left[ 1\x 1 \right]$ méretű mátrixok meghatározói, nem pedig a modulok. Azok. ha negatív számok voltak a determinánsokban, akkor nem szükséges eltávolítani a "mínuszt".
Összességében a szakszervezeti mátrixunk így néz ki:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tömb)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(tömb) \jobbra]\]
Rendben, most mindennek vége. Probléma megoldódott.
Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Egy feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
Megoldás. Ismét figyelembe vesszük a meghatározót:
\[\begin(align) & \left| \begin(tömb)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(tömb) \right|=\begin(mátrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\bal (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(mátrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
A determináns különbözik a nullától - a mátrix invertálható. De most ez lesz a legapróbb: 9 (kilenc, a fenébe!) algebrai összeadást is meg kell számolni. És mindegyik tartalmazza a $\left[ 2\times 2 \right]$ minősítőt. Repült:
\[\begin(mátrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(mátrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(mátrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(mátrix) \right|=2; \\ \end(mátrix)\]
Röviden, a szakszervezeti mátrix így fog kinézni:
Ezért az inverz mátrix a következő lesz:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(mátrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(mátrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]
Nos, ez minden. Itt a válasz.
Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
Mint látható, minden példa végén ellenőrzést végeztünk. Ezzel kapcsolatban egy fontos megjegyzés:
Ne légy lusta ellenőrizni. Szorozzuk meg az eredeti mátrixot a talált inverzsel - $E$-t kell kapnia.
Sokkal egyszerűbb és gyorsabb elvégezni ezt az ellenőrzést, mint hibát keresni a további számításoknál, amikor például egy mátrixegyenletet old meg.
Ahogy mondtam, az inverz mátrixtétel jól működik a $\left[ 2\x 2 \right]$ és a $\left[ 3\x 3 \right]$ méreteknél (utóbbi esetben nem olyan "szép" többé). ”), hanem mátrixokhoz nagy méretek szomorúság kezdődik.
De ne aggódj: van egy alternatív algoritmus, amivel nyugodtan meg lehet találni az inverzt még a $\left[ 10\x 10 \right]$ mátrix esetében is. De, ahogy ez gyakran lenni szokott, ennek az algoritmusnak a figyelembevételéhez szükségünk van egy kis elméleti háttérre.
A mátrix különféle transzformációi között több speciális is van - ezeket eleminek nevezik. Pontosan három ilyen átalakulás létezik:
Miért nevezik ezeket a transzformációkat eleminek (nagy mátrixoknál nem tűnnek olyan eleminek), és miért csak három van belőlük - ezek a kérdések túlmutatnak a mai lecke keretein. Ezért nem megyünk bele a részletekbe.
Egy másik fontos dolog: mindezeket a perverziókat a kapcsolódó mátrixon kell végrehajtanunk. Igen, igen, jól hallottad. Most lesz még egy meghatározás – a mai leckében az utolsó.
Bizonyára az iskolában egyenletrendszereket oldottatok meg az összeadás módszerével. Nos, vonjon ki egy másikat egy sorból, szorozzon meg egy sort egy számmal - ez minden.
Tehát: most minden a régiben lesz, de már „felnőtt módon”. Kész?
Meghatározás. Legyen adott a $A=\left[ n\times n \right]$ mátrix és identitásmátrix A $E$ mérete megegyezik a $n$ méretével. Ezután a kapcsolódó mátrix $\left[ A\left| E\jobbra. A \right]$ egy új $\left[ n\times 2n \right]$ mátrix, amely így néz ki:
\[\left[ A\left| E\jobbra. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\]
Röviden: vesszük az $A$ mátrixot, jobb oldalon hozzárendeljük a kívánt méretű $E$ identitásmátrixot, a szépség kedvéért függőleges sávval választjuk el őket - itt a mellékelt. :)
Mi a fogás? És itt van:
Tétel. Legyen az $A$ mátrix invertálható. Tekintsük a $\left[ A\left| adjungált mátrixot E\jobbra. \jobbra]$. Ha használ elemi karakterlánc transzformációk hozza a $\left[ E\left| alakba Fényes. \right]$, azaz a sorok szorzásával, kivonásával és átrendezésével $A$-ból megkapjuk a jobb oldali $E$ mátrixot, majd a bal oldalon kapott $B$ mátrix a $A$ inverze:
\[\left[ A\left| E\jobbra. \jobbra]\balra[ E\left| Fényes. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
Ez ennyire egyszerű! Röviden, az inverz mátrix megtalálásának algoritmusa így néz ki:
Természetesen sokkal könnyebb mondani, mint megtenni. Lássunk tehát néhány példát: a $\left[ 3\x 3 \right]$ és a $\left[ 4\x 4 \right]$ méretekhez.
Egy feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Megoldás. Összeállítjuk a mellékelt mátrixot:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 és 1 \\\end(tömb) \jobbra]\]
Mivel az eredeti mátrix utolsó oszlopa egyesekkel van kitöltve, vonja ki az első sort a többiből:
\[\begin(igazítás) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(mátrix)\to \\ & \to \balra [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra] \\ \end(igazítás)\]
Nincs több egység, kivéve az első sort. De nem nyúlunk hozzá, különben az újonnan eltávolított egységek elkezdenek "szaporodni" a harmadik oszlopban.
De a második sort kétszer is kivonhatjuk az utolsóból - a bal alsó sarokban egy mértékegységet kapunk:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(mátrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra] \\ \end(igazítás)\]
Most kivonhatjuk az utolsó sort az elsőből és kétszer a másodikból - így „nullázzuk” az első oszlopot:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(mátrix)\to \\ & \ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Szorozzuk meg a második sort -1-gyel, majd vonjuk ki 6-szor az elsőből, és adjunk 1-szer az utolsóhoz:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -6 \\ \felfelé nyíl \\ +1 \\\end (mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Csak az 1. és 3. sort kell felcserélni:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]
Kész! A jobb oldalon található a szükséges inverz mátrix.
Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Egy feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:
\[\left[ \begin(mátrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(mátrix) \jobbra]\]
Megoldás. Ismét összeállítjuk a mellékeltet:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Kérjünk kölcsön egy kicsit, törődjünk azzal, hogy mennyit kell most számolnunk... és kezdjünk el számolni. Kezdetben „nullázzuk” az első oszlopot úgy, hogy kivonjuk az 1. sort a 2. és 3. sorból:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Túl sok "mínuszt" figyelünk meg a 2-4. Szorozzuk meg mindhárom sort -1-gyel, majd égessük ki a harmadik oszlopot úgy, hogy a 3. sort kivonjuk a többiből:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -2 \\ -1 \\ \felfelé nyíl \\ -2 \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(tömb)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Itt az ideje, hogy "sütjük" az eredeti mátrix utolsó oszlopát: vonjuk ki a 4. sort a többiből:
\[\begin(igazítás) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(tömb ) \jobbra]\begin(mátrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
Utolsó dobás: "égesse ki" a második oszlopot úgy, hogy kivonja a 2. sort az 1. és 3. sorból:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( tömb) \jobbra]\begin(mátrix) 6 \\ \felfelé nyíl \\ -5 \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]
És megint az identitásmátrix a bal oldalon, tehát az inverz a jobb oldalon. :)
Válasz. $\left[ \begin(mátrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(mátrix) \right]$
Az adott mátrix inverz mátrixa egy olyan mátrix, az eredeti szorzata, amellyel identitásmátrixot ad: Az inverz mátrix jelenlétének kötelező és elégséges feltétele az eredeti mátrix determinánsának egyenlőtlensége (amely viszont azt jelenti, hogy a mátrixnak négyzetesnek kell lennie). Ha egy mátrix determinánsa egyenlő nullával, akkor degeneráltnak nevezzük, és egy ilyen mátrixnak nincs inverze. NÁL NÉL felsőbb matematika az inverz mátrixok rendelkeznek fontosságátés számos probléma megoldására használják. Például on az inverz mátrix megtalálása egyenletrendszerek megoldására mátrixos módszert készítenek. Szervizoldalunk lehetővé teszi mátrix inverz kiszámítása online két módszer: a Gauss-Jordan módszer és az algebrai összeadások mátrixának használata. Az első arra utal nagyszámú elemi transzformációk a mátrixon belül, a második - a determináns és az algebrai összeadások kiszámítása az összes elemhez. Egy mátrix determinánsának online kiszámításához használhatja másik szolgáltatásunkat - Mátrix determinánsának online kiszámítása
.weboldal lehetővé teszi, hogy megtalálja inverz mátrix online gyors és ingyenes. Az oldalon a számításokat szervizünk végzi, és az eredményt megjeleníti részletes megoldás hely szerint inverz mátrix. A szerver mindig csak a pontos és helyes választ ad. Feladatokban definíció szerint inverz mátrix online, szükséges, hogy a determináns mátrixok különben különbözött a nullától weboldal jelenteni fogja az inverz mátrix megtalálásának lehetetlenségét, mivel az eredeti mátrix determinánsa egyenlő nullával. Feladat keresése inverz mátrix a matematika számos ágában megtalálható, az algebra egyik legalapvetőbb fogalma és matematikai eszköz az alkalmazott problémák megoldásában. Független inverz mátrix definíció jelentős erőfeszítést, sok időt, számításokat és nagy körültekintést igényel, hogy ne csússzon vagy csússzon el egy kis hiba a számításokban. Ezért szolgáltatásunk az inverz mátrix megtalálása online nagyban megkönnyíti a feladatát, és nélkülözhetetlen eszköze lesz a matematikai problémák megoldásának. Még ha te keresse meg az inverz mátrixot saját magának, javasoljuk, hogy ellenőrizze a megoldást a szerverünkön. Adja meg eredeti mátrixát a Calculate Inverse Matrix Online oldalunkon, és ellenőrizze válaszát. Rendszerünk soha nem téved, és talál inverz mátrix adott dimenzió a módban online azonnal! Az oldalon weboldal karakter bejegyzések megengedettek az elemekben mátrixok, ebben az esetben inverz mátrix onlineáltalános szimbolikus formában kerül bemutatásra.
Módszerek az inverz mátrix megtalálására,. Tekintsünk egy négyzetmátrixot
Jelölje Δ = det A.
Az A négyzetmátrixot ún nem degenerált, vagy nem különleges ha a determinánsa nem nulla, és elfajzott, vagy különleges, haΔ = 0.
Létezik egy B négyzetmátrix egy azonos rendű A négyzetmátrixhoz, ha a szorzatuk A B = B A = E, ahol E az A és B mátrixokkal azonos rendű azonosságmátrix.
Tétel . Ahhoz, hogy az A mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen.
Inverz mátrix az A mátrixhoz, A-val jelöljük- 1, tehát B = A - 1 és a képlet alapján számítják ki
, (1)
ahol А i j - az A mátrix a i j elemeinek algebrai komplementerei.
Az A -1 kiszámítása az (1) képlettel magas rendű mátrixokra nagyon munkaigényes, ezért a gyakorlatban célszerű megtalálni az A -1-et az elemi transzformációk (EP) módszerével. Bármely nem szinguláris A mátrix csak oszlopok (vagy csak sorok) EP-jével redukálható az E identitásmátrixra. Ha az A mátrixon végrehajtott EP-ket ugyanabban a sorrendben alkalmazzuk az E identitásmátrixra, akkor az eredmény: egy inverz mátrix. Kényelmes egy EP-t az A és E mátrixokon egyszerre végrehajtani, mindkét mátrixot egymás mellé írva a vonalon keresztül. Még egyszer megjegyezzük, hogy a mátrix kanonikus formájának keresésekor sorok és oszlopok transzformációit használhatjuk annak megtalálásához. Ha meg kell találnia az inverz mátrixot, akkor csak sorokat vagy csak oszlopokat használjon az átalakítási folyamatban.
2.10. példa. Mátrixhoz 
találd meg az A -1-et.
Megoldás.Először megtaláljuk az A mátrix determinánsát 
tehát létezik az inverz mátrix, és a következő képlettel találhatjuk meg: 
, ahol A i j (i,j=1,2,3) - az eredeti mátrix a i j elemeinek algebrai komplementerei. 
Ahol 
.
Példa 2.11. Az elemi transzformációk módszerével keressünk A -1 mátrixot: A=.
Megoldás.A jobb oldali eredeti mátrixhoz azonos sorrendű identitásmátrixot rendelünk: 
. Az elemi oszloptranszformációk segítségével a bal „felet” az azonosságra redukáljuk, egyidejűleg pontosan ilyen transzformációkat hajtunk végre a jobb oldali mátrixon.
Ehhez cserélje fel az első és a második oszlopot: 
~
. Az elsőt hozzáadjuk a harmadik oszlophoz, és az elsőt -2-vel megszorozva a másodikhoz: 
. Az első oszlopból kivonjuk a megduplázott másodikat, a harmadikból pedig a másodikat 6-tal szorozva; 
. Adjuk hozzá a harmadik oszlopot az elsőhöz és a másodikhoz: 
. Szorozzuk meg az utolsó oszlopot -1-gyel: 
. A függőleges sávtól jobbra kapott négyzetmátrix az adott A mátrix inverz mátrixa.
.
1. definíció: Egy mátrixot degeneráltnak nevezünk, ha a determinánsa nulla.
2. definíció: Egy mátrixot nem szingulárisnak nevezünk, ha a determinánsa nem egyenlő nullával.
Az "A" mátrixot hívják inverz mátrix, ha az A*A-1 = A-1 *A = E (identitásmátrix) feltétel teljesül.
A négyzetmátrix csak akkor invertálható, ha nem szinguláris.
Az inverz mátrix számítási sémája:
1) Számítsa ki az "A" mátrix determinánsát, ha! ∆ A = 0, akkor az inverz mátrix nem létezik.
2) Keresse meg az "A" mátrix összes algebrai komplementerét!
3) Algebrai összeadások mátrixának összeállítása (Aij )
4) Transzponálja az algebrai komplementerek mátrixát (Aij )T!
5) Szorozzuk meg a transzponált mátrixot a mátrix determinánsának reciprokával.
6) Futtasson ellenőrzést:
Első pillantásra úgy tűnhet, hogy nehéz, de valójában minden nagyon egyszerű. Minden megoldás egyszerű aritmetikai műveleteken alapul, a megoldásnál az a lényeg, hogy ne keveredjünk össze a „-” és „+” jelekkel, és ne veszítsük el őket.
És most oldjunk meg veled együtt egy gyakorlati feladatot az inverz mátrix kiszámításával.
Feladat: keresse meg az alábbi képen látható "A" inverz mátrixot:
1. Első lépésként meg kell találni az "A" mátrix determinánsát:
Magyarázat:
A fő funkcióinak felhasználásával leegyszerűsítettük a meghatározónkat. Először a 2. és 3. sorba adtuk az első sor elemeit egy számmal megszorozva.
Másodszor megváltoztattuk a determináns 2. és 3. oszlopát, illetve tulajdonságainak megfelelően az előtte lévő jelet.
Harmadszor kivettük a második sor közös tényezőjét (-1), ezzel ismét előjelet váltva, és pozitív lett. Ugyanúgy egyszerűsítettük a 3. sort is, mint a példa legelején.
Van egy háromszögdeterminánsunk, amelyben az átló alatti elemek nullával egyenlőek, a 7. tulajdonság szerint pedig egyenlő az átló elemeinek szorzatával. Ennek eredményeként megkaptuk ∆ A = 26, tehát létezik az inverz mátrix.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. A következő lépés a mátrix összeállítása a kapott kiegészítésekből:
5. Ezt a mátrixot megszorozzuk a determináns reciprokával, azaz 1/26-tal:
6. Nos, most csak ellenőriznünk kell:
Az ellenőrzés során személyazonossági mátrixot kaptunk, így teljesen korrekt döntés született.
2 módszer az inverz mátrix kiszámítására.
1. Mátrixok elemi transzformációja
2. Inverz mátrix elemi konverteren keresztül.
Az elemi mátrix transzformáció a következőket tartalmazza:
1. Karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal.
2. Hozzáadás egy másik sor bármely sorához, számmal szorozva.
3. A mátrix sorainak felcserélése.
4. Elemi transzformációk láncolatát alkalmazva egy másik mátrixot kapunk.
DE -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. A -1*A=E
Fontolja meg gyakorlati példa valós számokkal.
Gyakorlat: Keresse meg az inverz mátrixot.
Megoldás:
Nézzük meg:
Egy kis magyarázat a megoldáshoz:
Először felcseréltük a mátrix 1. és 2. sorát, majd az első sort megszoroztuk (-1)-gyel.
Ezt követően az első sort megszoroztuk (-2)-vel, és hozzáadtuk a mátrix második sorához. Ezután a 2. sort megszoroztuk 1/4-gyel.
Az átalakítás utolsó szakasza a második sor 2-vel való szorzása és az elsőből való összeadás volt. Ennek eredményeként van egy identitásmátrixunk a bal oldalon, ezért az inverz mátrix a jobb oldali mátrix.
Az ellenőrzés után meggyőződtünk a döntés helyességéről.
Amint látja, az inverz mátrix kiszámítása nagyon egyszerű.
Az előadás zárásaként egy ilyen mátrix tulajdonságaira is szeretnék egy kis időt szentelni.
