1. definíció. parabola a sík összes pontjának halmaza, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van egy adott ponttól, ún fókusz, és egy adott ponton át nem haladó egyenesből hívjuk igazgatónő.
Állítsd össze egy parabola egyenletét egy adott pontra fókuszálva! Fés amelynek irányítópontja a vonal d, nem halad át F. Egy téglalap alakú koordinátarendszert a következőképpen választunk: a tengely Óáthalad a fókuszon F merőleges a direktrixre d felőli irányban d nak nek F,és az eredet O középre helyezzük a fókusz és a direktrix közé (1. ábra).
2. definíció. Távolság a fókusztól F igazgatónőnek d hívott parabola paraméter és jelöli p(o> 0).
ábrából. 1 ezt mutatja p = FK, ezért a fókusznak vannak koordinátái F(p/2; 0), és a direktrix egyenlet alakja x= – p/2, vagy
Hadd M(x; y) a parabola tetszőleges pontja. Kössük össze a pontot M Val vel Fés meg is fogjuk MN d. Közvetlenül a Fig. 1 ezt mutatja
és a két pont távolságának képletével
A parabola definíciója szerint MF=MN (1)
Következésképpen, 
(2)
A (2) egyenlet a szükséges parabola egyenlet. A (2) egyenlet egyszerűsítésére a következőképpen alakítjuk át:
azok.,
Koordináták xés nál nél pontokat M a parabolák teljesítik az (1) feltételt és ennek következtében a (3) egyenletet.
3. definíció. A (3) egyenletet nevezzük a parabola kanonikus egyenlete.
2. A parabola alakjának vizsgálata az egyenlete szerint. Határozzuk meg a parabola alakját a (3) kanonikus egyenlettel.
1) Pontkoordináták O(0; 0) teljesíti a (3) egyenletet, ezért az egyenlet által meghatározott parabola átmegy az origón.
2) Mivel a (3) egyenletben a változó nál nél csak páros hatvány esetén fordul elő, akkor a parabola y 2 = 2 képpont szimmetrikus az x tengelyre.
3) Azóta p > 0, akkor a (3)-ból x ≥ 0 következik, ezért a parabola y 2 = 2 képpont a tengelytől jobbra található OU.
4) Növekvő abszcissza mellett x tól től 0 +∞ ordinátáig nál nél től változik 0 előtt ± ∞, azaz a parabola pontjai korlátlanul távolodnak mindkét tengelytől Ó, és a tengelyről OU.
Parabola y 2 = 2 képpontábrán látható alakja van. 2.
4. definíció. Tengely Ó hívott a parabola szimmetriatengelye. Pont O(0; 0) a parabola metszéspontját a szimmetriatengellyel ún a parabola teteje. Vonalszakasz FM hívott fókuszsugár pontokat M.
Megjegyzés. Forma parabola egyenletének összeállítása y 2 = 2 képpont téglalap alakú koordinátarendszert választottunk speciális módon (lásd 1. fejezet). Ha a koordinátarendszert más módon választjuk meg, akkor a parabola-egyenlet is más formát kap.
a
Így például ha irányítja a tengelyt Ó fókuszból irányítópontba (3. ábra, a
y 2 \u003d -2px. (4)
F(–р/2; 0), és a rendező d egyenlet adja meg x = p/2.
Ha a tengely OUáthalad a fókuszon F d felőli irányban d nak nek F, és az eredet O középre helyezzük a fókusz és a direktrix közé (3. ábra, b), akkor a parabola egyenlet egy példa az alakra
x 2 \u003d 2ru . (5)
Egy ilyen parabola fókuszának vannak koordinátái F(0; p/2), és a rendező d egyenlet adja meg y=-p/2.
Ha a tengely OUáthalad a fókuszon F merőleges a rendezőre d felőli irányban F nak nek d(3. ábra, ban ben), akkor a parabola egyenlete felveszi a formát
x 2 \u003d -2ru (6)
A fókusz koordinátái a következők lesznek F (0; –p/2), és a direktrix egyenlet d lesz y = p/2.
A (4), (5), (6) egyenletek a legegyszerűbb formájúak.
3. Parabola párhuzamos fordítása. Legyen adott egy pontban csúcsos parabola O "(a; b), amelynek szimmetriatengelye párhuzamos a tengellyel OU, és az ágak felfelé irányulnak (4. ábra). Fel kell írni a parabola egyenletét.
(9)
5. definíció. A (9) egyenletet nevezzük az eltolt csúcsú parabola egyenlete.
Alakítsuk át ezt az egyenletet a következőképpen:
Elhelyezés 
lesz 
(10)
Ezt bárkinek könnyű megmutatni A, B, C a (10) négyzethármas grafikonja az 1. definíció értelmében parabola. Egy (10) alakú parabola egyenletét tanulmányoztuk iskolai tanfolyam algebra.
GYAKORLATOK A FÜGGETLEN MEGOLDÁSHOZ
1. sz. Írd fel a kör egyenletet:
a. középpontjában az origó és a sugár 7;
b. középpontjában a pont (-1;4) és a sugár 2.
Ábrázolja a kör adatait derékszögű derékszögű koordinátarendszerben.
2. sz. Állítsa össze a csúcsokkal rendelkező ellipszis kanonikus egyenletét!
és trükkök 
3. szám. Szerkesszünk meg egy ellipszist a kanonikus egyenlet alapján:
1) 2) 
4. sz. Állítsa össze a csúcsokkal rendelkező ellipszis kanonikus egyenletét!
és trükkök 
5. sz. Állítsa össze a csúcsokkal rendelkező hiperbola kanonikus egyenletét!
és trükkök
6. sz. Írja fel a hiperbola kanonikus egyenletét, ha:
1. távolság a fókuszok és a csúcsok között
2. valós féltengely és excentricitás;
3. trükkök a tengelyen, a valós tengely 12, a képzeletbeli 8.
7. sz. Szerkesszünk egy hiperbolát a kanonikus egyenlettel:
1) 2) 
.
8. sz. Írja fel a kanonikus parabola egyenletet, ha:
1) a parabola a jobb oldali félsíkban szimmetrikusan helyezkedik el a tengely és a paramétere körül;
2) a parabola a bal félsíkban a tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el és paramétere .
Szerkessze meg ezeket a parabolákat, azok fókuszait és irányvonalait.
9. sz. Határozza meg a vonal típusát, ha az egyenlete:
ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK
1. Vektorok a térben.
1.1. Mi az a vektor?
1.2. Mi a vektor abszolút értéke?
1.3. Milyen típusú vektorokat ismer a térben?
1.4. Milyen intézkedéseket lehet tenni velük?
1.5. Mik azok a vektorkoordináták? Hogyan lehet megtalálni őket?
2. Műveletek a koordinátáikkal megadott vektorokon.
2.1. Milyen műveleteket lehet végrehajtani koordináta formában megadott vektorokkal (szabályok, egyenlőségek, példák); hogyan találjuk meg egy ilyen vektor abszolút értékét.
2.2. Tulajdonságok:
2.2.1 kollineáris;
2.2.2 merőleges;
2.2.3 egysíkú;
2.2.4 egyenlő vektorok.
(formulációk, egyenlőségek).
3. Egy egyenes egyenlete. Alkalmazott feladatok.
3.1. Milyen típusú egyenes egyenleteket ismer (tudjon írni és értelmezni a rekordból);
3.2. Hogyan vizsgáljuk meg a párhuzamosságot - két egyenes merőlegességét, egyenletek által adott Val vel lejtési tényező vagy általános egyenletek?
3.3. Hogyan találjuk meg a távolságot egy ponttól egy egyenesig, két pont között?
3.4. Hogyan találjuk meg az általános egyenesegyenletekkel vagy meredekségi egyenletekkel megadott egyenesek közötti szöget?
3.5. Hogyan lehet megtalálni egy szakasz felezőpontjának koordinátáit és a szakasz hosszát?
4. Sík egyenlet. Alkalmazott feladatok.
4.1. Milyen típusú síkegyenleteket ismer (tud a rekordból írni és értelmezni)?
4.2. Hogyan vizsgáljuk a párhuzamosságot - az egyenesek térbeli merőlegességét?
4.3. Hogyan találjuk meg egy pont és egy sík távolságát és a síkok közötti szöget?.
4.4. Hogyan lehet felfedezni kölcsönös megegyezés vonal és sík a térben?
4.5. A térbeli egyenes egyenletének típusai: általános, kanonikus, parametrikus, két adott ponton áthaladó.
4.6. Hogyan lehet megtalálni az egyenesek közötti szöget és a pontok távolságát a térben?
5. Másodrendű sorok.
5.1. Ellipszis: definíció, fókuszok, csúcsok, nagy- és melléktengelyek, fókuszsugarak, excentricitás, direktrix egyenletek, legegyszerűbb (vagy kanonikus) ellipszis egyenletek; rajz.
5.2. Hiperbola: definíció, fókuszok, csúcsok, valós és képzeletbeli tengelyek, fókuszsugarak, excentricitás, direktrix egyenletek, legegyszerűbb (vagy kanonikus) hiperbola egyenletek; rajz.
5.3. Parabola: definíció, fókusz, direktrix, csúcs, paraméter, szimmetriatengely, legegyszerűbb (vagy kanonikus) parabola egyenletek; rajz.
Megjegyzés a 4.1., 4.2., 4.3. ponthoz: A 2. rend minden sorához legyen képes a konstrukció leírására.
ÖNTESZTRE VONATKOZÓ FELADATOK
1. Pontok járnak: 
, ahol N a listán szereplő tanuló száma.
3) keresse meg az M pont és a P sík távolságát.
4. Szerkesszünk meg egy másodrendű egyenest a kanonikus egyenletével:
.
IRODALOM
1. felsőbb matematika közgazdászoknak - Tankönyv egyetemeknek, szerk. N.Sh. Kremer és mások, - Moszkva, UNITI, 2003.
2. Barkovszkij V.V., Barkovska N.V. - Vishcha matematika közgazdászoknak - Kijev, TsUL, 2002.
3. Suvorov I.F. - Felsőfokú matematika tanfolyam. - M., elvégezni az iskolát, 1967.
4. Tarasov N.P. - Felsőfokú matematika szak technikumoknak. - M.; Tudomány, 1969.
5. Zaicev I.L. - Felsőfokú matematika elemei technikumoknak. - M.; Tudomány, 1965.
6. Valutse N.N., Diligul G.D. - Matematika műszaki iskoláknak. - M.; Tudomány, 1990.
7. Shipachev V.S. - Felsőfokú matematika. Tankönyv egyetemeknek - M .: Felsőiskola, 2003.
A parabola egy adott F ponttól egyenlő távolságra lévő síkban lévő pontok helye, és egy adott d egyenes, amely nem megy át egy adott ponton. Ez a geometriai meghatározás kifejezi parabola könyvtártulajdonság.
Az F pontot a parabola fókuszának nevezzük, a d egyenest a parabola irányítójának, a fókuszból az irányítóba esett merőleges O felezőpontja a parabola csúcsa, a p távolság a fókusztól az irányítóponthoz a parabola paramétere, és a parabola csúcsától a fókuszig mért távolság \frac(p)(2) - fókusztávolság (3.45. ábra, a). A direktrixre merőleges és a fókuszon áthaladó egyenest a parabola tengelyének (a parabola fókusztengelyének) nevezzük. A parabola tetszőleges M pontját a fókuszával összekötő FM szakaszt az M pont fókuszsugarának nevezzük. A parabola két pontját összekötő szakaszt a parabola húrjának nevezzük.
A parabola tetszőleges pontja esetén a fókusz távolságának és az irányítópont távolságának aránya eggyel egyenlő. Összehasonlítva az ellipszis, a hiperbola és a parabola könyvtártulajdonságait, arra a következtetésre jutunk parabola excentricitás definíció szerint egyenlő eggyel (e=1) .
A parabola geometriai meghatározása, amely a könyvtártulajdonságát fejezi ki, ekvivalens az analitikai definíciójával - a parabola kanonikus egyenlete által adott egyenessel:
Valóban, vezessünk be egy derékszögű koordinátarendszert (3.45. ábra, b). Vegyük a parabola O csúcsát a koordinátarendszer origójának; az irányítópontra merőleges fókuszon áthaladó egyenest az abszcissza tengelynek vesszük (pozitív irány rajta az O ponttól az F pontig); az abszcissza tengelyére merőleges és a parabola csúcsán áthaladó egyenest fogjuk ordinátatengelynek (az ordináta tengelyen lévő irányt úgy választjuk meg, hogy téglalap alakú rendszer koordináták Oxynak igaza volt).
Állítsuk össze egy parabola egyenletét annak geometriai definíciójával, amely kifejezi a parabola irányító tulajdonságát. A kiválasztott koordinátarendszerben meghatározzuk a fókusz koordinátáit F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right)és az x=-\frac(p)(2) direktrix egyenlet. Egy parabolához tartozó tetszőleges M(x,y) pontra a következőt kapjuk:
FM=MM_d,
ahol M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- az M(x,y) pont ortogonális vetülete az irányítóra. Ezt az egyenletet koordináta alakban írjuk fel:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Ha hasonló feltételeket hozunk, azt kapjuk kanonikus parabola egyenlet
Y^2=2\cdot p\cdot x, azok. a választott koordinátarendszer kanonikus.
Belegondolva fordított sorrendben, kimutatható, hogy minden olyan pont, amelynek koordinátái kielégítik a (3.51) egyenletet, és csak azok tartoznak a pontok helyéhez, amelyet parabolának nevezünk. Így a parabola analitikus definíciója egyenértékű a geometriai definíciójával, amely a parabola könyvtártulajdonságát fejezi ki.
A parabola egyenlet az Fr \ varphi polárkoordináta-rendszerben (3.45. ábra, c) alakja
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), ahol p a parabola paramétere és e=1 az excentricitása.
Valójában a poláris koordináta-rendszer pólusaként a parabola F fókuszát választjuk, poláris tengelyként pedig egy olyan sugarat, amelynek origója az F pontban van, merőleges az irányítóra, és nem keresztezi azt (3.45. ábra, c). Ekkor egy parabolához tartozó tetszőleges M(r,\varphi) pontra a parabola geometriai definíciója (iránytulajdonsága) szerint MM_d=r . Mert a MM_d=p+r\cos\varphi, megkapjuk a parabola egyenletet koordináta alakban:
P+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. Vegye figyelembe, hogy a polárkoordinátákban az ellipszis, a hiperbola és a parabola egyenletei egybeesnek, de különböző egyeneseket írnak le, mivel excentricitásukban különböznek ( 0\leqslant e<1 для эллипса, e=1 для параболы, e>1 a hiperbolára).
Magyarázzuk el a paraméter geometriai jelentése p be kanonikus egyenlet parabolák. Az x=\frac(p)(2)-t behelyettesítve a (3.51) egyenletbe, azt kapjuk, hogy y^2=p^2 , azaz. y=\pm p . Ezért a p paraméter a parabola tengelyére merőleges fókuszán áthaladó parabola húr hosszának fele.
A parabola fókuszparamétere, valamint ellipszis és hiperbola esetében a fókusztengelyre merőlegesen átmenő húr hosszának felének nevezzük (lásd 3.45. ábra, c). A parabola egyenletből a polárkoordinátákban at \varphi=\frac(\pi)(2) r=p-t kapunk, azaz. parabola paraméter egybeesik a fókuszparaméterével.
Megjegyzések 3.11.
1. A parabola p paramétere jellemzi az alakját. Minél több p, minél szélesebbek a parabola ágai, minél közelebb van p a nullához, annál keskenyebbek a parabola ágai (3.46. ábra).
2. Az y^2=-2px egyenlet (p>0 esetén) egy parabolát határoz meg, amely az y tengelytől balra helyezkedik el (3.47. ábra, a). Ezt az egyenletet a kanonikusra redukáljuk az x tengely irányának megváltoztatásával (3.37). ábrán. 3.47,a az adott Oxy koordinátarendszert és a kanonikus Ox"y" koordinátarendszert mutatja.
3. Egyenlet (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 definiál egy O "(x_0, y_0) csúcsú parabolát, amelynek tengelye párhuzamos az abszcissza tengellyel (3.47.6. ábra). Ezt az egyenletet párhuzamos fordítással (3.36) a kanonikusra redukáljuk.
Az egyenlet (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, definiál egy O "(x_0, y_0) csúcsú parabolát is, amelynek tengelye párhuzamos az ordináta tengellyel (3.47. ábra, c). Ezt az egyenletet párhuzamos fordítással (3.36) és átnevezéssel a kanonikusra redukáljuk. a koordinátatengelyek (3.38) A 3.47, b, c ábrán az adott Oxy koordinátarendszerek és az Ox "y" kanonikus koordinátarendszerek láthatók.
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 egy parabola, amelynek csúcsa a pontban van O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel, a parabola ágai felfelé (a>0 esetén) vagy lefelé (egy<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
Y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
amely a kanonikus alakra redukálódik (y")^2=2px" , ahol p=\left|\frac(1)(2a)\right|, y"=x+\frac(b)(2a) és x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
Az előjelet úgy választjuk meg, hogy megfeleljen az a vezető együttható előjelének. Ez a helyettesítés megfelel a következő összetételnek: párhuzamos fordítás (3.36) x_0=-\frac(b)(2a) és y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), a koordinátatengelyek átnevezése (3.38), valamint a esetén<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 és a<0 соответственно.
5. A kanonikus koordinátarendszer abszcissza tengelye az a parabola szimmetriatengelye, mivel az y változó -y-ra váltása nem változtatja meg a (3.51) egyenletet. Más szóval, a parabolához tartozó M (x, y) pont koordinátái és az M pontra az abszcissza tengely körül szimmetrikus M "(x, -y) pont koordinátái kielégítik a (3.) egyenletet. S1). A kanonikus koordináta-rendszer tengelyeit ún a parabola fő tengelyei.
Példa 3.22. Rajzoljunk y^2=2x parabolát az Oxy kanonikus koordinátarendszerbe. Keresse meg a fókuszparamétert, a fókuszkoordinátákat és az irányítóegyenletet.
Megoldás. Egy parabolát építünk, figyelembe véve az abszcissza tengely körüli szimmetriáját (3.49. ábra). Ha szükséges, meghatározzuk a parabola egyes pontjainak koordinátáit. Például, ha x=2-t behelyettesítünk a parabola egyenletbe, azt kapjuk y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Ezért a (2;2),\,(2;-2) koordinátájú pontok a parabolához tartoznak.
A megadott egyenletet a kanonikus egyenlettel (3.S1) összevetve meghatározzuk a fókuszparamétert: p=1 . Fókusz koordináták x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, azaz F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Összeállítjuk az x=-\frac(p)(2) direktrix egyenletet, azaz. x=-\frac(1)(2) .
1. A könyvtártulajdonság használható ellipszis, hiperbola, parabola egyetlen definíciójaként (lásd 3.50. ábra): azon pontok helye a síkban, amelyeknél az adott F pont távolságának (fókusz) és egy adott ponton át nem haladó d egyenes távolságának (irányelv) távolságának aránya állandó és egyenlő az e excentricitást:
a) ellipszis, ha 0\leqslant e<1 ;
b) hiperbola, ha e>1;
c) parabola, ha e=1.
2. Ellipszist, hiperbolát, parabolát egy körkúp metszeteiben kapunk síkokkal, ezért ún. kúpos szakaszok. Ez a tulajdonság egy ellipszis, hiperbola, parabola geometriai definíciójaként is szolgálhat.
3. Az ellipszis, a hiperbola és a parabola közös tulajdonságai közé tartozik felező tulajdonságérintőik. Alatt tangens az egyeneshez annak valamely K pontjában a KM szekáns határhelyzetét értjük, amikor az M pont a vizsgált egyenesen maradva a K pont felé tart. Az érintővonalra merőleges és az érintkezési ponton átmenő egyenest nevezzük Normál erre a sorra.
Az ellipszis, a hiperbola és a parabola érintőinek (és normáljainak) felezőtulajdonsága a következőképpen van megfogalmazva: az ellipszis vagy hiperbola érintője (normál) egyenlő szöget zár be az érintőpont fókuszsugarával(3.51. ábra, a, b); a parabola érintője (normál) egyenlő szöget zár be az érintőpont fókuszsugarával és az abból az irányítópontra esett merőlegessel(3.51. ábra, c). Más szóval, az ellipszis érintője a K pontban a háromszög F_1KF_2 külső szögének felezőpontja (a normál pedig a háromszög belső szögének F_1KF_2 felezőpontja); a hiperbola érintője az F_1KF_2 háromszög belső szögének felezője (a normál pedig a külső szög felezője); a parabola érintője az FKK_d háromszög belső szögének felezője (a normál pedig a külső szög felezője). A parabola érintőjének felező tulajdonsága ugyanúgy megfogalmazható, mint egy ellipszis és egy hiperbola esetében, ha feltételezzük, hogy a parabolának van egy második fókusza a végtelenben.
4. A biszektoriális tulajdonságok azt jelentik az ellipszis, a hiperbola és a parabola optikai tulajdonságai, elmagyarázza a "fókusz" kifejezés fizikai jelentését. Képzeljünk el egy ellipszis, hiperbola vagy parabola fókusztengely körüli forgásával kialakuló felületeket. Ha ezekre a felületekre fényvisszaverő bevonatot viszünk fel, akkor elliptikus, hiperbolikus és parabolikus tükröket kapunk. Az optika törvénye szerint a tükörre eső fénysugár beesési szöge megegyezik a visszaverődés szögével, azaz. a beeső és a visszavert sugarak egyenlő szöget zárnak be a felület normáljával, és mindkét sugár és a forgástengely ugyanabban a síkban van. Ebből a következő tulajdonságokat kapjuk:
- ha a fényforrás az elliptikus tükör egyik fókuszában van, akkor a tükörről visszaverődő fénysugarak egy másik fókuszban gyűlnek össze (3.52. ábra, a);
- ha a fényforrás a hiperbolikus tükör egyik fókuszában van, akkor a tükörről visszaverődő fénysugarak úgy térnek el egymástól, mintha egy másik fókuszból származnának (3.52. ábra, b);
- ha a fényforrás egy parabolatükör fókuszában van, akkor a tükörről visszaverődő fénysugarak párhuzamosan haladnak a fókusztengellyel (3.52. ábra, c).
5. Átmérős tulajdonság Az ellipszis, a hiperbola és a parabola a következőképpen fogalmazható meg:
– az ellipszis párhuzamos húrjainak felezőpontjai (hiperbola) ugyanazon az egyenes vonalon helyezkednek el, amely áthalad az ellipszis középpontján (hiperbola);
– a parabola párhuzamos húrjainak felezőpontjai a parabola szimmetriatengelyéhez képest egy egyenesen fekszenek.
Az ellipszis összes párhuzamos húrja (hiperbola, parabola) felezőpontjának helyét ún. ellipszis átmérő (hiperbolák, parabolák) konjugáljon ezekhez az akkordokhoz.
Ez az átmérő szűk értelemben vett meghatározása (lásd a 2.8. példát). Korábban az átmérő definíciója tág értelemben volt megadva, ahol az ellipszis, a hiperbola, a parabola és más másodrendű vonalak átmérője olyan egyenes, amely az összes párhuzamos húr felezőpontját tartalmazza. Szűk értelemben az ellipszis átmérője bármely húr, amely áthalad a középpontján (3.53. ábra, a); a hiperbola átmérője bármely egyenes, amely a hiperbola középpontján áthalad (az aszimptoták kivételével), vagy egy ilyen egyenes része (3.53.6. ábra); a parabola átmérője bármely olyan sugár, amely a parabola valamely pontjából indul ki, és a szimmetriatengellyel egy vonalban van (3.53. ábra, c).
Két átmérőt, amelyek mindegyike felezi az összes húrt a másik átmérővel párhuzamosan, konjugáltnak nevezzük. A 3.53. ábrán félkövér vonalak mutatják egy ellipszis, hiperbola és parabola konjugált átmérőjét.
Az ellipszis érintője (hiperbola, parabola) a K pontban az M_1M_2 párhuzamos szekánsok határhelyzeteként definiálható, amikor a vizsgált egyenesen maradó M_1 és M_2 pontok a K pontra hajlanak. Ebből a definícióból az következik, hogy a húrokkal párhuzamos érintő átmérőjű konjugált végén átmegy ezekhez a húrokhoz.
6. Az ellipszis, a hiperbola és a parabola a fentieken kívül számos geometriai tulajdonsággal és fizikai alkalmazással rendelkezik. Például a 3.50. ábra szemlélteti az F vonzási középpont közelében elhelyezkedő űrobjektumok mozgási pályáit.
A Javascript le van tiltva a böngészőjében.A többi olvasó számára azt javaslom, hogy a parabolával és a hiperbolával kapcsolatos iskolai ismereteiket jelentősen kiegészítsék. Hiperbola és parabola – egyszerű? … Ne várj =)
Az anyag bemutatásának általános felépítése az előző bekezdéshez fog hasonlítani. Kezdjük a hiperbola általános fogalmával és felépítésének problémájával.
A hiperbola kanonikus egyenlete alakja , ahol pozitív valós számok. Vegye figyelembe, hogy ellentétben ellipszis, a feltétel itt nincs beállítva, vagyis az "a" értéke kisebb lehet, mint a "be" érték.
Meg kell mondanom, egészen váratlanul... az „iskolai” hiperbola egyenlete még csak nem is hasonlít a kanonikus rekordra. De erre a rejtvényre még várni kell, de most vakarjuk meg a tarkónkat, és emlékezzünk arra, hogy milyen jellegzetességei vannak a vizsgált görbének? Terítsük szét képzeletünk képernyőjén függvénygrafikon ….
A hiperbolának két szimmetrikus ága van.
Jó előrelépést! Bármely hiperbola rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, és most őszinte csodálattal nézzük ennek a vonalnak a nyakkivágását:
4. példa
Szerkesszen meg egy hiperbolát, amelyet az egyenlet adott
Megoldás: az első lépésben ezt az egyenletet a kanonikus alakba visszük. Kérjük, emlékezzen a tipikus eljárásra. A jobb oldalon egy „egyet” kell kapnia, ezért az eredeti egyenlet mindkét részét elosztjuk 20-zal: 
Itt mindkét frakciót csökkentheti, de optimálisabb mindegyiket elkészíteni háromemeletes:
És csak ezt követően hajtsa végre a csökkentést:
Kiválasztjuk a négyzeteket a nevezőkben:
Miért jobb az átalakításokat így végrehajtani? Végül is a bal oldal frakciói azonnal csökkenthetők és megkaphatók. A helyzet az, hogy a vizsgált példában egy kis szerencsénk volt: a 20-as szám osztható 4-gyel és 5-tel is. Általános esetben egy ilyen szám nem működik. Tekintsük például az egyenletet. Itt az oszthatósággal minden szomorúbb és anélkül háromemeletes törtek többé nem szükséges: 
Használjuk tehát munkánk gyümölcsét – a kanonikus egyenletet:
Kétféle megközelítés létezik a hiperbola felépítésére: geometriai és algebrai.
Gyakorlati szempontból az iránytűvel való rajzolás ... akár utópisztikusnak is mondanám, így sokkal kifizetődőbb, ha ismét egyszerű számításokat hoz a segítség.
Célszerű betartani a következő algoritmust, először a kész rajzot, majd a megjegyzéseket:
A gyakorlatban gyakran előfordul egy hiperbola tetszőleges szögben történő elforgatásának és párhuzamos transzlációjának kombinációja. Ezt a helyzetet tárgyaljuk a leckében. A 2. rendű egyenes egyenlet redukálása kanonikus formára.
Kész! Ő a legtöbb. Készen áll arra, hogy felfedjen sok titkot. A parabola kanonikus egyenlete alakja , ahol egy valós szám. Könnyen belátható, hogy standard helyzetében a parabola "oldalt fekszik", csúcsa pedig az origóban van. Ebben az esetben a függvény ennek a sornak a felső, a függvény pedig az alsó ágát állítja be. Nyilvánvaló, hogy a parabola szimmetrikus a tengelyre. Valójában mit kell fürdeni:
6. példa
Építs egy parabolát
Megoldás: a csúcs ismert, keressünk további pontokat. Az egyenlet 
meghatározza a parabola felső ívét, az egyenlet az alsó ívet.
A rekord lerövidítése érdekében „ugyanazon ecset alatt” számításokat végzünk: 
A kompakt jelöléshez az eredményeket táblázatban összegezhetjük.
Az elemi pontonkénti rajz végrehajtása előtt megfogalmazunk egy szigorú
A parabola egy síkban lévő összes olyan pont halmaza, amely egy adott ponttól egyenlő távolságra van, és egy adott egyenes, amely nem megy át a ponton.
A lényeg az ún fókusz parabolák, egyenes vonal igazgatónő (egy "es"-vel írva) parabolák. A kanonikus egyenlet állandó "pe"-jét nevezzük fókusz paraméter, ami egyenlő a fókusz és a direktix távolságával. Ebben az esetben . Ebben az esetben a fókusznak vannak koordinátái, és a direktrixet az egyenlet adja meg.
Példánkban: 
A parabola meghatározása még könnyebben érthető, mint az ellipszis és a hiperbola meghatározása. A parabola bármely pontjában a szakasz hossza (a fókusz és a pont távolsága) egyenlő a merőleges hosszával (a pont és az irányító távolsága):
Gratulálunk! Sokan közületek igazi felfedezést tettek ma. Kiderült, hogy a hiperbola és a parabola egyáltalán nem "közönséges" függvények grafikonjai, hanem kifejezett geometriai eredetük van.
Nyilvánvaló, hogy a fókuszparaméter növekedésével a grafikon ágai felfelé és lefelé „terjednek”, és végtelenül közelednek a tengelyhez. A "pe" értékének csökkenésével zsugorodni és nyúlni kezdenek a tengely mentén
Bármely parabola excentricitása eggyel egyenlő:
A parabola az egyik leggyakoribb vonal a matematikában, és nagyon gyakran kell megépíteni. Ezért kérjük, fordítson különös figyelmet a lecke utolsó bekezdésére, ahol elemzem a görbe elhelyezkedésének tipikus lehetőségeit.
! jegyzet : az előző görbékhez hasonlóan helyesebb a koordinátatengelyek elforgatásáról és párhuzamos fordításáról beszélni, de a szerző az előadás egyszerűsített változatára szorítkozik, hogy az olvasónak elemi elképzelése legyen a ezeket az átalakításokat.
1. definíció
A parabola olyan pontok geometriai halmaza által alkotott görbe, amelyek egy bizonyos $F$ ponttól azonos távolságra vannak, amelyet fókusznak neveznek, és nem fekszenek sem ezen a görbén, sem a $d$ egyenesen.
Ez azt jelenti, hogy a parabola tetszőleges pontjától a fókuszig és ugyanattól a ponttól a direktrixig terjedő távolságok aránya mindig eggyel egyenlő, ezt az arányt excentricitásnak nevezik.
Az "excentricitás" kifejezést hiperbolákra és ellipszisekre is használják.
Az $F$ pontot a parabola fókuszának, a $d$ egyenest pedig a direktrixének nevezzük.
A parabola szimmetriatengelye egy egyenes, amely átmegy a $O$ parabolacsúcson és annak $F$ fókuszán úgy, hogy derékszöget zár be a $d$ iránnyal.
A parabola csúcsa az a pont, ahonnan az irányítópont távolsága minimális. Ez a pont felosztja a fókusz és az irányvonal távolságát.
2. definíció
A parabola kanonikus egyenlete meglehetősen egyszerű, könnyen megjegyezhető, és a következő alakja van:
$y^2 = 2px$, ahol $p$ nagyobbnak kell lennie nullánál.
Az egyenletben szereplő $p$ számot "fókuszparaméternek" nevezzük.
Ez a parabolaegyenlet, vagy inkább a magasabb matematikában leggyakrabban használt képlet akkor alkalmazható, ha a parabola tengelye egybeesik a $OX$ tengellyel, vagyis a parabola úgy helyezkedik el, mintha az oldalán lenne.
A $x^2 = 2py$ egyenlettel leírt parabola olyan parabola, amelynek tengelye egybeesik a $OY$ tengellyel, az iskolában megszoktuk az ilyen parabolákat.
És a parabola, amelynek mínusza van az egyenlet második része előtt ($y^2 = - 2px$), 180°-kal elforgatjuk a kanonikus parabolához képest.
A parabola a 2. rendű görbe speciális esete, ezért általában a parabola egyenlete pontosan ugyanúgy néz ki, mint az összes ilyen görbe esetében, és minden esetre alkalmas, és nem csak akkor, ha a parabola párhuzamos a $-val. OX$.
Ebben az esetben a $B^2 – 4AC$ képlettel kiszámított diszkrimináns nulla, maga az egyenlet pedig így néz ki: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\ cdot y + F = 0 $
1. ábra A kanonikus parabola egyenlet grafikonja és levezetése
A cikkben fentebb megadott definícióból egyenletet fogunk alkotni egy parabolára, amelynek csúcsa a koordinátatengelyek metszéspontjában található.
A meglévő gráf segítségével meghatározzuk belőle a $x$ és a $y$ $F$ pontokat a fenti parabolikus görbe definíciójából, $x = \frac(p)(2)$ és $y = 0$.
Először készítsünk egyenletet a $d$ egyenesre, és írjuk fel: $x = - \frac(p)(2)$.
Egy tetszőleges M pontra, amely a görbénkön fekszik, a definíció szerint a következő összefüggés igaz:
$FM$ = $MM_d$ (1), ahol $M_d$ a $M$ pontból a $d$ irányvonalú merőleges metszéspontja.
Ennek a pontnak X és y értéke $\frac(p)(2)$ $y$.
Az (1) egyenletet koordináta alakban írjuk fel:
$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$
Most, hogy megszabaduljon a gyökértől, négyzetre kell emelnie az egyenlet mindkét oldalát:
$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$
Egyszerűsítés után megkapjuk a parabola kanonikus egyenletét: $y^2 = px$.
A parabolát leíró egyenlet, amelynek csúcsa a grafikonon bárhol található, és nem feltétlenül esik egybe a koordinátatengelyek metszéspontjával, így néz ki:
$y = ax^2 + bx + c$.
Egy ilyen parabola csúcsának $x$ és $y$ kiszámításához a következő képleteket kell használni:
$x_A = - \frac(b)(2a)$
$y_A = - \frac(D)(4a)$, ahol $D = b^2 – 4ac$.
1. példa
Példa a parabola klasszikus egyenletének összeállítására
Egy feladat. A fókuszpont helyének ismeretében írja fel a parabola kanonikus egyenletét! A fókuszpont koordinátái $F$ $(4; 0)$.
Mivel egy olyan paraboláról beszélünk, amelynek gráfját a kanonikus egyenlet adja meg, ezért a $O$ csúcsa az x és y tengely metszéspontjában található, így a fókusz és a csúcs távolsága $\frac(1) (2)$ a fókuszparaméter $\frac(p )(2) = 4$. Egyszerű számításokkal megkapjuk, hogy maga a fókuszparaméter $p = 8$.
Miután behelyettesítettük a $p$ értékét az egyenlet kanonikus alakjába, az egyenletünk a következő alakot ölti: $y^2 = 16x$.
2. példa
2. ábra. Kanonikus egyenlet parabolagráfhoz és példa a megoldásra
Először ki kell választani a függvényünk grafikonjához tartozó $M$ pontot, és abból a merőlegeseket az $OX$ és $OY$ tengelyekre ejtve felírni annak x és y pontját, esetünkben a pont $M$ a $(2;2) $.
Most be kell cserélnünk az erre a pontra kapott $x$ és $y$ értéket a $y^2 = px$ parabola kanonikus egyenletébe, így kapjuk:
$2^2 = 2 \cdot 2p$
Csökkentve a következő $y^2 = 2 \cdot x$ parabolaegyenletet kapjuk.
III szint
3.1. A hiperbola érinti az 5. sorokat x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Írja fel a hiperbola egyenletét, feltéve, hogy a tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel!
3.2. Írja fel a hiperbola érintőinek egyenleteit!
1) áthalad egy ponton A(4, 1), B(5, 2) és C(5, 6);
2) párhuzamos egy egyenessel 10 x – 3y + 9 = 0;
3) a 10. egyenesre merőlegesen x – 3y + 9 = 0.
parabola a síkban azon pontok helye, amelyek koordinátái kielégítik az egyenletet
Parabola paraméterek:
Pont F(p/2, 0) hívják fókusz parabolák, nagyságrend p – paraméter , pont O(0, 0) – csúcstalálkozó . Ugyanakkor a közvetlen NAK,-NEK, amelyre a parabola szimmetrikus, meghatározza ennek a görbének a tengelyét.
 |
Érték 
ahol M(x, y) a parabola tetszőleges pontja, ún fókuszsugár
, egyenes D: x = –p/2 – igazgatónő
(nem metszi a parabola belsejét). Érték 
a parabola excentricitásának nevezzük.
A parabola fő jellemző tulajdonsága: a parabola minden pontja egyenlő távolságra van az irányítótól és a fókusztól (24. ábra).
A kanonikus parabola egyenletnek más formái is léteznek, amelyek a koordinátarendszerben az elágazások más irányait is meghatározzák (25. ábra):
 |
Mert parabola parametrikus meghatározása paraméterként t a parabola pontjának ordinátájának értéke felvehető:
ahol t egy tetszőleges valós szám.
1. példa Határozza meg a parabola paramétereit és alakját a kanonikus egyenletéből:
Megoldás. 1. Egyenlet y 2 = –8x olyan parabolát határoz meg, amelynek csúcsa egy pontban van O Ökör. Ágai balra irányulnak. Összehasonlítva ezt az egyenletet az egyenlettel y 2 = –2px, azt találjuk: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Ezért a fókusz a ponton van F(–2; 0), direktrix egyenlet D: x= 2 (26. ábra).
 |
2. Egyenlet x 2 = –4y olyan parabolát határoz meg, amelynek csúcsa egy pontban van O(0; 0), szimmetrikus a tengelyre Oy. Ágai lefelé irányulnak. Összehasonlítva ezt az egyenletet az egyenlettel x 2 = –2py, azt találjuk: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Ezért a fókusz a ponton van F(0; –1), direktrix egyenlet D: y= 1 (27. ábra).
2. példa Határozza meg a paramétereket és a görbe típusát x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Készítsen rajzot.
Megoldás. Az egyenlet bal oldalát a teljes négyzetes módszerrel transzformáljuk:
x 2 + 8x– 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
Ennek eredményeként azt kapjuk
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Ez egy parabola kanonikus egyenlete, amelynek csúcsa a (–4; –3) pontban van, a paraméter p= 8, felfelé mutató ágak (), tengely x= -4. A fókusz a ponton van F(–4; –3 + p/2), azaz F(–4; 1) Igazgatónő D egyenlet adja meg y = –3 – p/2 ill y= -7 (28. ábra).
4. példaÁllítsd össze egy parabola egyenletét egy pontban csúcsponttal! V(3; –2), és fókuszáljon a pontra F(1; –2).
Megoldás. Ennek a parabolának a csúcsa és fókusza a tengellyel párhuzamos egyenesen fekszik Ökör(ugyanazok az ordináták), a parabola ágai balra irányulnak (a fókusz abszcisszája kisebb, mint a csúcs abszcisszán), a fókusz és a csúcs távolsága p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Tehát a kívánt egyenlet
(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) vagy ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Önálló megoldási feladatok
én szintet
1.1. Határozza meg a parabola paramétereit, és állítsa össze:
1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;
3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.
1.2. Írja fel egy parabola egyenletét, amelynek csúcsa az origóban van, ha tudja, hogy:
1) a parabola a bal félsíkban, a tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el Ökörés p = 4;
2) a parabola szimmetrikusan helyezkedik el a tengely körül Oyés áthalad a ponton M(4; –2).
3) a direktrixet a 3. egyenlet adja meg y + 4 = 0.
1.3. Írjon fel egyenletet egy görbére, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van a (2; 0) ponttól és az egyenestől x = –2.
II szint
2.1. Határozza meg a görbe típusát és paramétereit.
