Meghatározás: A természetes számokat olyan számoknak nevezzük, amelyek az objektumok megszámlálására szolgálnak (1, 2, 3, 4, 5, ...) [A 0 nem természetes. Külön története is van a matematika történetében, és sokkal később jelent meg, mint a természetes számok.]
A természetes számok halmazát (1, 2, 3, 4, 5, ...) N betűvel jelöljük.
Az összeadásnál minden világos: tetszőleges két természetes számot összeadva mindig ugyanazt a természetes számot kapjuk. De a kivonás során azt tapasztaljuk, hogy nem tudjuk kivonni a nagyobbat a kisebbből úgy, hogy az eredmény természetes szám legyen. (3 − 5 = mi?) Itt jön a képbe a negatív számok ötlete. (A negatív számok már nem természetesek)
A negatív számok előfordulásának szakaszában (és később jelentek meg, mint a töredékesek) voltak ellenfeleik is, akik ostobaságnak tartották őket. (Három tárgy mutatható az ujjakon, tíz, ezer tárgy ábrázolható hasonlattal. És mi az, hogy „mínusz három zacskó”? - Akkoriban, bár a számokat már önmagukban is használták, a számoktól elszigetelten az általuk megjelölt konkrét objektumok még mindig sokkal közelebb jártak ezekhez a specifikus témákhoz, mint manapság.) De az ellenvetésekhez hasonlóan a negatív számok melletti fő érv a gyakorlatból származott: a negatív számok lehetővé tették. a tartozások kényelmes nyomon követéséhez. 3 - 5 = -2 - 3 érmém volt, 5-öt elköltöttem. Tehát nem csak, hogy kifogytam, hanem tartozom is valakinek 2 érmével. Ha egyet adok vissza, akkor az adósság −2+1=−1-re változik, de negatív számként is ábrázolható.
Ennek eredményeként negatív számok jelentek meg a matematikában, és most végtelen sok természetes szám van (1, 2, 3, 4, ...) és ugyanannyi az ellentétük (−1, −2, −). 3, -4 , ...). Adjunk hozzájuk még egy 0. És ezeknek a számoknak a halmazát egész számoknak nevezzük.
Meghatározás: A természetes számok, ellentéteik és nulla alkotják az egész számok halmazát. Z betűvel jelöljük.
Bármely két egész szám kivonható egymástól, vagy összeadható, így egész számot kaphatunk.
Az egész számok összeadásának ötlete már a szorzás lehetőségét sugallja, mint egyszerűen több gyors útösszeadás végrehajtása. Ha van 7 darab, egyenként 6 kilogrammos zacskónk, akkor összeadhatunk 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6-ot (hétszer hozzáadhatunk 6-ot az aktuális összeghez), vagy egyszerűen emlékezhetünk arra, hogy egy ilyen művelet mindig 42. Hat hetes összeadásához hasonlóan a 7+7+7+7+7+7 is mindig 42-t ad.
Az összeadási művelet eredményei bizonyos számokat önmagával bizonyos az összes számpár 2-től 9-ig kiírt alkalmak száma, és így a szorzótábla jön létre. A 9-nél nagyobb egész számok szorzásához egy szorzási szabályt találunk ki egy oszlopban. (Ami a tizedesjegyekre is vonatkozik, és erről a következő cikkek egyikében lesz szó.) Bármely két egész szám egymással szorozva mindig egész számot eredményez.
Amikor 7 db 6 kilogrammos zacskónk volt, szorzással könnyen kiszámoltuk, hogy a zsákok tartalmának össztömege 42 kilogramm. Képzelje el, hogy az összes zacskó teljes tartalmát egy közös, 42 kilogramm tömegű kupacba öntöttük. Aztán meggondolták magukat, és vissza akarták osztani a tartalmat 7 zacskóba. Hány kilogramm esik egy zacskóba, ha egyenlően osztjuk el? - Nyilvánvalóan 6.
És ha 42 kilogrammot akarunk elosztani 6 zsákba? Itt arra gondolunk, hogy mennyi is lehetne ugyanaz a 42 kilogramm, ha 6 zsák 7 kilogrammost öntünk egy kupacba. Ez pedig azt jelenti, hogy 42 kilogrammot 6 zsákra egyenlő arányban elosztva egy zsákba 7 kilogrammot kapunk.
És ha 42 kilogrammot egyenlően osztasz 3 zsákra? És itt is elkezdünk kiválasztani egy számot, amelyet 3-mal megszorozva 42-t adunk. A „táblázat” értékeknél, mint a 6 7=42 => 42:6=7 esetén, az osztási műveletet hajtjuk végre , egyszerűen emlékezve a szorzótáblára. Többért nehéz esetek oszlopfelosztást használunk, amelyről a következő cikkek egyikében lesz szó. 3 és 42 esetén „kiválasztással” vissza lehet idézni, hogy 3 · 14 = 42. Tehát 42:3=14. Egy zsák 14 kilogrammot tartalmaz.
Most próbáljunk meg 42 kilogrammot egyenlően elosztani 5 zsákra. 42:5=?
Észrevesszük, hogy 5 8=40 (kicsi), és 5 9=45 (sok). Vagyis se 8 kilogramm zsákban, se 9 kilogramm, 5 zsákból sehogyan sem fogunk 42 kilogrammot kapni. Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy a valóságban semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy bármilyen mennyiséget (például gabonaféléket) 5 egyenlő részre osszunk.
Az egész számok egymással való elosztásának művelete nem feltétlenül eredményez egész számot. Így jutottunk el a tört fogalmához. 42:5 \u003d 42/5 \u003d 8 egész 2/5 (ha közönséges törtekben számoljuk) vagy 42:5 \u003d 8,4 (ha tizedes törtben számoljuk).
A közönséges törtek azért jók, mert ahhoz, hogy bármely két egész szám elosztásának eredményét ilyen törtként ábrázoljuk, csak az osztalékot kell a tört számlálójába, az osztót pedig a nevezőbe írni. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Ezután lehetőség szerint csökkentse a törtet és/vagy jelölje ki az egész részt (ezek a közönséges törtekkel végzett műveletek a következő cikkekben részletesen tárgyaljuk). A probléma az, hogy az aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás) végrehajtása közönséges törtekkel már nem olyan kényelmes, mint egész számokkal.
A jelölés (egy sorban) és a számítások megkönnyítése érdekében (oszlopos számítási lehetőséggel, mint a közönséges egész számoknál), kivéve a közönséges törtek a tizedes törteket is feltalálták. A tizedes tört egy speciális módon írt közönséges tört, amelynek nevezője 10, 100, 1000 stb. Például a 7/10 közönséges tört megegyezik a 0,7 tizedes törttel. (8/100 = 0,08; 2 egész szám 3/10=2,3; 7 egész szám 1/1000 = 7,001). Külön cikket fogunk szentelni a közönséges törtek tizedesjegyekké alakításának és fordítva. Műveletek a tizedesjegyek- egyéb cikkek.
Bármely egész szám ábrázolható közös törtként 1-es nevezővel. (5=5/1; −765=−765/1).
Meghatározás: Minden olyan számot, amely közönséges törtként ábrázolható, racionális számoknak nevezzük. A racionális számok halmazát Q betű jelöli.
Bármely két egész szám osztásakor (kivéve 0-val) mindig racionális számot kapunk. A közönséges törteknél vannak szabályok az összeadásra, kivonásra, szorzásra és osztásra, amelyek lehetővé teszik, hogy bármelyik két törttel elvégezzük a megfelelő műveletet, és ennek eredményeként racionális számot (tört vagy egész) is kapjunk.
A racionális számok halmaza az általunk vizsgált halmazok közül az első, amelyben összeadhat, kivonhat, szorozhat és oszthat (kivéve a 0-val való osztást) anélkül, hogy túllépne ezen a halmazon (vagyis mindig kapna egy racionális számot eredmény).
Úgy tűnik, hogy nincs más szám, minden szám racionális. De ez sem így van.
Mik ezek a számok? Még nem vettük figyelembe a hatványozási műveletet. Például 4 2 \u003d 4 4 \u003d 16. 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Ahogy a szorzás a jelölés és az összeadás kiszámításának kényelmesebb formája, úgy a hatványozás egy olyan jelölési forma, amellyel ugyanazt a számot önmagával meg kell szorozni bizonyos számú alkalommal.
De most vegyük a műveletet, a hatványra emelés fordítottját – a gyökér kivonását. A 16 négyzetgyöke az a szám, amely négyzetre vetve 16-ot ad, ami 4. 9 négyzetgyöke 3. És itt Négyzetgyök 5-ből vagy 2-ből például nem ábrázolható racionális számmal. (Ennek az állításnak a bizonyítéka, más példák az irracionális számokra és azok történetére megtalálhatók például a Wikipédián)
A 9. osztályos GIA-ban van egy feladat annak megállapítására, hogy egy gyököt tartalmazó szám racionális vagy irracionális-e. A feladat az, hogy ezt a számot próbáljuk meg olyan formává alakítani, amely nem tartalmaz gyökért (a gyökök tulajdonságait felhasználva). Ha a gyökér nem küszöbölhető ki, akkor a szám irracionális.
Egy másik példa az irracionális számra a π szám, amely mindenki számára ismerős a geometriából és a trigonometriából.
Meghatározás: A racionális és irracionális számokat együtt valós (vagy valós) számoknak nevezzük. Sok minden közül valós számok R betűvel jelölve.
Valós számokban a racionális számokkal ellentétben egy egyenes vagy sík tetszőleges két pontja közötti távolságot kifejezhetjük.
Ha húzunk egy egyenest, és kiválasztunk rajta két tetszőleges pontot, vagy kiválasztunk két tetszőleges pontot egy síkon, akkor kiderülhet, hogy ezeknek a pontoknak a távolsága nem fejezhető ki racionális számmal. (Példa - az 1-es és 1-es szárú derékszögű háromszög befogója a Pitagorasz-tétel szerint egyenlő lesz kettő gyökével - azaz egy irracionális szám. Ez magában foglalja a tetrad cella átlójának pontos hosszát is (bármely ideális négyzet átlójának hossza egész oldalakkal).
A valós számok halmazában pedig bármely egyenes, sík vagy térbeli távolság kifejezhető a megfelelő valós számmal.
Szám- a legfontosabb matematikai fogalom, amely az évszázadok során változott.
A számokkal kapcsolatos első ötletek az emberek, állatok, gyümölcsök, különféle termékek stb. számlálásából fakadtak. Az eredmény természetes számok: 1, 2, 3, 4, ...
Történelmileg a számfogalom első kiterjesztése a törtszámok természetes számokhoz való hozzáadása.
Lövés az egység egy részének (részvényének) vagy annak több egyenlő részének nevezzük.
Kijelölve: , hol m,n- egész számok;
10-es nevezőjű törtek n, ahol n egy egész szám, ezeket hívják decimális: .
A tizedes törtek között különleges helyet foglal el periodikus törtek: - tiszta periodikus tört, 
- vegyes periodikus tört.
A számfogalom további bővülését már maga a matematika (algebra) fejlődése okozza. Descartes a 17. században bemutatja a fogalmat negatív szám.
Az egész (pozitív és negatív), a tört (pozitív és negatív) és a nulla számokat hívják racionális számok. Bármely racionális szám felírható véges és periodikus törtként.
A folyamatosan változó változók tanulmányozásához szükségesnek bizonyult a számfogalom kiterjesztése - a valós (valós) számok bevezetése - a racionális számokhoz irracionális számok hozzáadásával: irracionális számok végtelen tizedes nem periodikus törtek.
Irracionális számok jelentek meg összemérhetetlen szakaszok (négyzet oldala és átlója) mérésénél, algebrában - gyökök kinyerésekor a transzcendentális, irracionális számra példa a π, e .
Számok természetes(1, 2, 3,...), egész(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionális(törtként ábrázolva) és irracionális(nem ábrázolható törtként ) halmazt alkotnak igazi (igazi) számok.
A matematikában külön-külön megkülönböztetik a komplex számokat.
Komplex számok felmerülnek az eset négyzeteinek megoldásának problémájával kapcsolatban D< 0 (здесь D a másodfokú egyenlet diszkriminánsa). Ezek a számok sokáig nem találtak fizikai hasznot, ezért is nevezték "képzetes" számoknak. Jelenleg azonban nagyon széles körben használják a fizika és a technológia különböző területein: elektrotechnikában, hidro- és aerodinamika, rugalmasságelmélet stb.
Komplex számok így írjuk: z= a+ kettős. Itt aés b – valós számok, a én – képzeletbeli egység.e. én 2 = -egy. Szám a hívott abszcissza, a b-ordinátaösszetett szám a+ kettős. Két komplex szám a+ kettősés a-bi hívott konjugált komplex számok.
Tulajdonságok:
1. Valós szám a komplex számként is felírható: a+ 0én vagy a - 0én. Például 5 + 0 énés 5-0 én ugyanazt az 5-ös számot jelenti.
2. Komplex szám 0 + kettős hívott pusztán képzeletbeli szám. Felvétel kettős ugyanazt jelenti, mint a 0 + kettős.
3. Két komplex szám a+ kettősés c+ di egyenlőnek tekintendők, ha a= cés b= d. Másképp komplex számok nem egyenlő.
Műveletek:
Kiegészítés. Komplex számok összege a+ kettősés c+ di komplex számnak nevezzük ( a+ c) + (b+ d)én. Ily módon komplex számok összeadásakor az abszcisszáikat és ordinátáikat külön adjuk hozzá.
Kivonás. Két komplex szám különbsége a+ kettős(csökkentett) és c+ di(kivont) komplex számnak nevezzük ( a-c) + (b-d)én. Ily módon két komplex szám kivonásakor az abszcisszáikat és az ordinátáikat külön-külön vonjuk ki.
Szorzás. Komplex számok szorzata a+ kettősés c+ di komplex számnak nevezzük.
(ac-bd) + (hirdetés+ időszámításunk előtt)én. Ez a meghatározás két követelményből ered:
1) számok a+ kettősés c+ diúgy kell szorozni, mint az algebrai binomiálisoknak,
2) szám én fő tulajdonsága van: én 2 = –1.
PÉLDA ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . Következésképpen, munkakét konjugált komplex szám egyenlő egy pozitív valós számmal.
Osztály. Ossz el egy komplex számot a+ kettős(osztható) másikra c+ di (osztó) - a harmadik szám megtalálását jelenti e+ fi(csevegés), amely osztóval szorozva c+ di, ami osztalékot eredményez a+ kettős. Ha az osztó nem nulla, az osztás mindig lehetséges.
PÉLDA Find (8+ én) : (2 – 3én) .
Megoldás. Írjuk át ezt az arányt törtté:
A számlálóját és a nevezőjét megszorozzuk 2 + 3-mal énés az összes átalakítást végrehajtva a következőket kapjuk:
1. feladat: Összeadás, kivonás, szorzás és osztás 1 a z 2
A négyzetgyök kinyerése: Oldja meg az egyenletet x 2 = -a. Ennek az egyenletnek a megoldására kénytelenek vagyunk új típusú számokat használni - képzeletbeli számok . Ily módon képzeletbeli hívják a számot amelynek második hatványa egy negatív szám. Az imaginárius számok ezen definíciója szerint definiálhatunk és képzeletbeli Mértékegység:
Aztán az egyenlethez x 2 = - 25 kettőt kapunk képzeletbeli gyökér:
2. feladat: Oldja meg az egyenletet:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Komplex számok geometriai ábrázolása. A valós számokat a számegyenesen lévő pontok jelölik:
Itt van a lényeg A jelentése -3, pont B a 2-es szám, és O-nulla. Ezzel szemben a komplex számokat a koordinátasíkon lévő pontok képviselik. Ehhez téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex szám a+ kettős ponttal lesz jelölve P abszcisszaa és ordináljab. Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík .
modul komplex számot a vektor hosszának nevezzük OP, amely egy komplex számot ábrázol a koordinátán ( integrált) repülőgép. Komplex számmodulus a+ kettős jelöli | a+ kettős| vagy) levél rés egyenlő:
A konjugált komplex számok modulusa azonos.
A rajz elkészítésének szabályai majdnem ugyanazok, mint a derékszögű koordinátarendszerben. A tengelyek mentén be kell állítani a méretet, megjegyzés:
e 
egység a valós tengely mentén; Rez
képzeletbeli egység a képzeletbeli tengely mentén. im z
3. feladat Szerkessze meg a következő komplex számokat a komplex síkon! , , , , , , ,
1. A számok pontosak és közelítőek. A gyakorlatban tapasztalt számok kétfélék. Egyesek a mennyiség valódi értékét adják meg, mások csak hozzávetőlegesen. Az elsőt pontosnak, a másodikat hozzávetőlegesnek nevezik. Leggyakrabban célszerű hozzávetőleges számot használni a pontos szám helyett, különösen azért, mert sok esetben a pontos szám egyáltalán nem található.
Tehát ha azt mondják, hogy 29 tanuló van az osztályban, akkor a 29 pontos szám. Ha azt mondják, hogy Moszkva és Kijev távolsága 960 km, akkor itt a 960-as szám hozzávetőleges, mivel egyrészt a mérőműszereink nem teljesen pontosak, másrészt maguk a városok is rendelkeznek bizonyos mértékkel.
A közelítő számokkal végzett műveletek eredménye is hozzávetőleges szám. A pontos számokon végrehajtott egyes műveletek (osztás, gyökér kinyerése) segítségével hozzávetőleges számokat is kaphatunk.
A közelítő számítások elmélete lehetővé teszi:
1) az adatok pontosságának fokának ismeretében értékelje az eredmények pontosságának mértékét;
2) megfelelő fokú pontosságú adatfelvétel, amely elegendő az eredmény megkívánt pontosságának biztosításához;
3) racionalizálja a számítási folyamatot, megszabadítva azoktól a számításoktól, amelyek nem befolyásolják az eredmény pontosságát.
2. Kerekítés. A hozzávetőleges számok egyik forrása a kerekítés. Kerekítse a hozzávetőleges és pontos számokat.
Egy adott szám néhány számjegyére kerekítése azt jelenti, hogy egy új számmal helyettesítjük, amelyet az adott számjegyből úgy kapunk meg, hogy a számjegytől jobbra írt összes számjegyét eldobjuk, vagy nullákkal helyettesítjük. Ezeket a nullákat általában aláhúzzák vagy kisebbre írják. A kerekített szám és a kerekített szám lehető legnagyobb közelségének biztosítása érdekében a következő szabályokat kell követni: ha a számot egy bizonyos számjegy valamelyikére szeretné kerekíteni, akkor a számjegy utáni összes számjegyet el kell dobni, és ki kell cserélni. nullákkal az egész számban. Ez a következőket veszi figyelembe:
1) ha az elvetett számjegyek közül az első (bal) kisebb, mint 5, akkor az utolsó megmaradt számjegy nem változik (lefelé kerekítés);
2) ha az első eldobott számjegy nagyobb, mint 5 vagy egyenlő 5-tel, akkor az utolsó megmaradt számjegyet eggyel növeljük (felfelé kerekítés).
Mutassuk meg ezt példákkal. Felhajt:
a) 12.34 tizedéig;
b) 3,2465 századig; 1038,785;
c) 3,4335 ezredrészéig.
d) 12375 ezerig; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.
3. Abszolút és relatív hibák. A pontos szám és a hozzávetőleges érték közötti különbséget a közelítő szám abszolút hibájának nevezzük. Például, ha a pontos 1,214-et tizedekre kerekítjük, akkor hozzávetőlegesen 1,2-t kapunk. NÁL NÉL ez az eset a közelítő 1,2 szám abszolút hibája 1,214 - 1,2, azaz. 0,014.
De a legtöbb esetben pontos érték a figyelembe vett érték ismeretlen, de csak hozzávetőleges. Ekkor az abszolút hiba sem ismert. Ezekben az esetekben jelezze azt a határt, amelyet nem léphet túl. Ezt a számot abszolút határhibának nevezzük. Azt mondják, hogy egy szám pontos értéke egyenlő a hozzávetőleges értékével, a határhibánál kisebb hibával. Például a 23,71 szám a 23,7125 szám hozzávetőleges értéke 0,01-es pontossággal, mivel az abszolút közelítési hiba 0,0025 és kisebb, mint 0,01. Itt a határ abszolút hiba egyenlő 0,01 * .
A közelítő szám határ abszolút hibája aΔ szimbólummal jelöljük a. Felvétel
x≈a(±Δ a)
így kell érteni: a mennyiség pontos értéke x között van a– Δ aés a+ Δ a, amelyeket alsó és felső határnak nevezünk. xés jelöli az NG-t x VG x.
Például ha x≈ 2,3 (±0,1), majd 2,2<x< 2,4.
Ezzel szemben, ha a 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). Abszolút vagy határ abszolút hiba nem jellemzi a mérés minőségét. Ugyanaz az abszolút hiba tekinthető jelentősnek és jelentéktelennek a mért értéket kifejező számtól függően. Például, ha egy kilométeres pontossággal mérjük meg két város távolságát, akkor ez a pontosság teljesen elegendő ehhez a változáshoz, ugyanakkor az azonos utcában lévő két ház távolságának mérésekor ez a pontosság elfogadhatatlan. Ezért egy mennyiség közelítő értékének pontossága nemcsak az abszolút hiba nagyságától, hanem a mért mennyiség értékétől is függ. Ezért a pontosság mértéke a relatív hiba.
A relatív hiba az abszolút hiba és a közelítő szám értékének aránya. A határ abszolút hibájának a közelítő számhoz viszonyított arányát határrelatív hibának nevezzük; jelölje így: A relatív és a határrelatív hibákat általában százalékban fejezik ki. Például, ha a mérések azt mutatják, hogy a távolság x két pont között több mint 12,3 km, de kevesebb, mint 12,7 km, akkor ennek a két számnak a számtani középértékét vesszük közelítő értéknek, i.e. félösszegük, akkor a határ abszolút hiba egyenlő ezeknek a számoknak a fele-különbségével. Ebben az esetben x≈ 12,5 (±0,2). Itt a határ abszolút hiba 0,2 km, a határ relatív
A matematikai elemzés a matematikának egy olyan ága, amely a függvények tanulmányozásával foglalkozik az infinitezimális függvény gondolata alapján.
A matematikai elemzés alapfogalmai a mennyiség, halmaz, függvény, infinitezimális függvény, határérték, derivált, integrál.
Érték nevezzük mindazt, ami számmal mérhető és kifejezhető.
sok néhány elem gyűjteménye, amelyeket valamilyen közös vonás egyesít. Egy halmaz elemei lehetnek számok, figurák, tárgyak, fogalmak stb.
A halmazokat nagybetűkkel, a halmaz elemeit kisbetűkkel jelöljük. A készletelemek göndör kapcsos zárójelekbe vannak zárva.
Ha elem x a készlethez tartozik x, akkor írj x∈x (∈
- tartozik).
Ha az A halmaz része a B halmaznak, akkor írjon A ⊂ B (⊂
- tartalmazza).
Egy halmaz kétféleképpen határozható meg: felsorolással és egy definiáló tulajdonsággal.
Például a felsorolás a következő halmazokat határozza meg:A (-∞;+∞) halmazt hívjuk számsor, és tetszőleges szám ennek az egyenesnek a pontja. Legyen a egy tetszőleges pont a valós egyenesen, δ pedig egy pozitív szám. Az intervallumot (a-δ; a+δ) nevezzük δ-a pont szomszédsága a.
Az X halmaz felülről (alulról) korlátos, ha van olyan c szám, hogy bármely x ∈ X esetén teljesül az x≤с (x≥c) egyenlőtlenség. A c számot ebben az esetben hívjuk felső (alsó) él halmazok X. A fent és lent is korlátos halmazt hívjuk korlátozott. A halmaz felső (alsó) lapjai közül a legkisebb (legnagyobb) ún pontos felső (alsó) arc ezt a készletet.
| N | (1,2,3,...,n) Az összes halmaza |
| Z | (0, ±1, ±2, ±3,...) Beállítás egész számok. Az egész számok halmaza magában foglalja a természetes számok halmazát. |
| K |
Sok racionális számok. Az egész számok mellett vannak törtek is. A tört az alak kifejezése, ahol p egy egész szám, q- természetes. A tizedesek úgy is felírhatók, hogy . Például: 0,25 = 25/100 = 1/4. Az egész számokat úgy is felírhatjuk, hogy . Például tört formájában „egy” nevezővel: 2 = 2/1. Így bármely racionális szám felírható tizedes törtként – véges vagy végtelen periodikus. |
| R |
Sok minden közül valós számok. Az irracionális számok végtelen nem periódusos törtek. Ezek tartalmazzák: Két halmaz (racionális és irracionális számok) együtt alkotja a valós (vagy valós) számok halmazát. |
Ha egy halmaz nem tartalmaz elemeket, akkor meghívásra kerül üres készletés rögzítették Ø .
A ∀x jelölés: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
kvantorMatematikai kifejezések írásakor gyakran használnak kvantorokat.
kvantor logikai szimbólumnak nevezzük, amely az őt követő elemeket mennyiségileg jellemzi.
Két Az A és B halmaz egyenlő(A=B), ha azonos elemekből állnak.
Például, ha A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), akkor A=B.
Unió (összeg) Az A és B halmazt A ∪ B halmaznak nevezzük, amelynek elemei ezen halmazok legalább egyikéhez tartoznak.
Például, ha A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), akkor A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
kereszteződés (termék) az A és B halmazt A ∩ B halmaznak nevezzük, melynek elemei mind az A, mind a B halmazhoz tartoznak.
Például, ha A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), akkor A ∩ B = (2,4)
különbség az A és B halmazt AB halmaznak nevezzük, melynek elemei az A halmazhoz tartoznak, de nem tartoznak a B halmazhoz.
Például, ha A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), akkor AB = (1,2)
Szimmetrikus különbség az A és B halmazt A Δ B halmaznak nevezzük, amely az AB és BA halmazok különbségeinek uniója, azaz A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Például, ha A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), akkor A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Bármely két A és B halmaz összehasonlításához megfeleltetést hozunk létre elemeik között.
Ha ez a megfeleltetés egy az egyhez, akkor a halmazokat ekvivalensnek vagy ekvivalensnek nevezzük, A B vagy B A.
1. példaA BC láb és az ABC háromszög AC hipotenuszának ponthalmaza egyenlő erősségű.
A természetes számok meghatározása pozitív egész számok. A természetes számokat tárgyak számlálására és sok más célra használják. Íme a számok:
Ez egy természetes számsor.
A nulla természetes szám? Nem, a nulla nem természetes szám.
Hány természetes szám van? A természetes számoknak végtelen halmaza van.
Mi a legkisebb természetes szám? Az egyik a legkisebb természetes szám.
Mi a legnagyobb természetes szám? Nem adható meg, mert a természetes számoknak végtelen halmaza van.
A természetes számok összege természetes szám. Tehát az a és b természetes számok összeadása:
A természetes számok szorzata természetes szám. Tehát az a és b természetes számok szorzata:
c mindig természetes szám.
A természetes számok különbsége Nem mindig létezik természetes szám. Ha a minuend nagyobb, mint a részrész, akkor a természetes számok különbsége természetes szám, egyébként nem.
A természetes számok hányadosa Nem mindig van természetes szám. Ha a és b természetes számokra
ahol c természetes szám, ez azt jelenti, hogy a egyenlően osztható b-vel. Ebben a példában a az osztó, b az osztó, c a hányados.
A természetes szám osztója az a természetes szám, amellyel az első szám egyenletesen osztható.
Minden természetes szám osztható 1-gyel és önmagával.
Az egyszerű természetes számok csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Itt teljesen megosztottra gondolunk. Példa, számok 2; 3; 5; A 7 csak 1-gyel és önmagával osztható. Ezek egyszerű természetes számok.
Az egyet nem tekintjük prímszámnak.
Azokat a számokat, amelyek nagyobbak egynél, és amelyek nem prímszámok, összetett számoknak nevezzük. Példák összetett számokra:
Az egyet nem tekintjük összetett számnak.
A természetes számok halmaza egyesből, prímszámokból és összetett számokból áll.
A természetes számok halmazát a latin N betű jelöli.
A természetes számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai:
összeadás kommutatív tulajdonsága
összeadás asszociatív tulajdonsága
(a + b) + c = a + (b + c);
a szorzás kommutatív tulajdonsága
szorzás asszociatív tulajdonsága
(ab)c = a(bc);
szorzás elosztó tulajdonsága
A (b + c) = ab + ac;
Az egész számok természetes számok, nullák és a természetes számok ellentéte.
A természetes számokkal ellentétes számok negatív egészek, például:
1; -2; -3; -4;...
Az egész számok halmazát a latin Z betű jelöli.
A racionális számok egészek és törtek.
Bármely racionális szám ábrázolható periodikus törtként. Példák:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
A példákból látható, hogy bármely egész szám egy periodikus tört, amelynek periódusa nulla.
Bármely racionális szám ábrázolható m/n törtként, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Az előző példában szereplő 3,(6) számot ábrázoljuk ilyen törtként.
A szám az objektumok számszerűsítésére használt absztrakció. A számok a primitív társadalomban azzal kapcsolatban merültek fel, hogy az embereknek meg kellett számolniuk a tárgyakat. Idővel a tudomány fejlődésével a szám a legfontosabb matematikai fogalommá vált.
A problémák megoldásához és a különféle tételek bizonyításához meg kell értenie, hogy milyen típusú számok vannak. A számok fő típusai a következők: természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok.
Egész számok- ezek a számok az objektumok természetes számlálásával, vagy inkább számozásukkal ("első", "második", "harmadik" ...). A természetes számok halmazát latin betűvel jelöljük N (az angol natural szó alapján megjegyezhető). Azt lehet mondani N ={1,2,3,....}
Egész számok számok a halmazból (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ez a halmaz három részből áll - természetes számokból, negatív egész számokból (a természetes számok ellentéte) és a 0-ból (nulla). Az egész számokat latin betűvel jelöljük Z . Azt lehet mondani Z ={1,2,3,....}.
Racionális számok törtként ábrázolható számok, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. A latin betű a racionális számok jelölésére szolgál K . Minden természetes és egész szám racionális.
Valós (valós) számok egy szám, amelyet folyamatos mennyiségek mérésére használnak. A valós számok halmazát a latin R betű jelöli. A valós számok racionális számokat és irracionális számokat tartalmaznak. Az irracionális számok olyan számok, amelyeket a racionális számokon végrehajtott különféle műveletek (például gyök kinyerése, logaritmusok kiszámítása) során kapunk, ugyanakkor nem racionálisak.
1. Számrendszerek.
A számrendszer a számok elnevezésének és írásának egyik módja. A számábrázolás módjától függően pozicionális-tizedes és nem pozíciós-római csoportokra oszlik.
A PC 2, 8 és 16 számrendszert használ.
Különbségek: a 16-os számrendszerben a számbevitel jóval rövidebb a másik bejegyzéshez képest, pl. kisebb bitmélységet igényel.
Pozíciós számrendszerben minden számjegy megtartja állandó értékét, függetlenül a számban elfoglalt helyétől. A helyzetszámrendszerben minden számjegy nemcsak az értékét határozza meg, hanem attól is függ, hogy a számban milyen pozíciót foglal el. Minden számrendszert egy alap jellemez. Az alap az adott számrendszerben számok írásához használt különböző számjegyek száma. A bázis azt mutatja meg, hogy egy szomszédos pozícióba kerülve hányszor változik ugyanazon számjegy értéke. A számítógép 2 számrendszert használ. A rendszer alapja tetszőleges szám lehet. A tetszőleges pozíciójú számok aritmetikai műveleteit a 10. számrendszerhez hasonló szabályok szerint hajtjuk végre. A 2 számrendszerhez bináris aritmetikát használnak, amelyet számítógépben valósítanak meg számtani számítások elvégzésére.
Bináris összeadás:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10
Kivonás:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1
Szorzás:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1
A számítógép széles körben használja a 8-as és a 16-os számrendszert. A bináris számok lerövidítésére szolgálnak.
2. A halmaz fogalma.
A „halmaz” fogalma a matematika alapvető fogalma, és nincs definíciója. Bármely halmaz generációjának jellege változatos, különösen a környező tárgyak, a vadon élő állatok stb.
1. definíció: Az objektumok, amelyekből a halmaz keletkezik, meghívásra kerülnek elemei ennek a készletnek. Egy halmaz megjelölésére a latin ábécé nagybetűit használják: például X, Y, Z, és göndör zárójelben, vesszővel elválasztva, elemeit kisbetűkkel írják, például: (x, y, z) .
Példa egy halmaz és elemeinek kijelölésére:
X = (x 1 , x 2 ,…, x n ) egy n elemből álló halmaz. Ha egy x elem az X halmazhoz tartozik, akkor a következőt kell írni: xОX, ellenkező esetben az x elem nem tartozik az X halmazhoz, amely így van írva: xПX. Egy absztrakt halmaz elemei lehetnek például számok, függvények, betűk, alakzatok stb. A matematikában bármely szakaszban a halmaz fogalmát használják. Különösen a valós számok néhány konkrét halmaza adható meg. Az x valós számok halmaza, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket:
a ≤ x ≤ b nevezzük szegmensés jelölése ;
a ≤ x< b или а < x ≤ b называется félszegmensés jelölése: ;
· a< x < b называется intervallumés (a,b)-vel jelöljük.
2. definíció: Azt a halmazt, amelynek véges számú eleme van, végesnek nevezzük. Példa. X \u003d (x 1, x 2, x 3).
3. definíció: A készlet ún végtelen ha végtelen sok eleme van. Például az összes valós szám halmaza végtelen. Felvételi példa. X \u003d (x 1, x 2, ...).
4. definíció: Azt a halmazt, amelyben nincs elem, üres halmaznak nevezzük, és Æ szimbólummal jelöljük.
A halmaz jellemzője a kardinalitás fogalma. A hatalom elemeinek száma. Az Y=(y 1 , y 2 ,...) halmaznak ugyanaz a számossága, mint az X=(x 1 , x 2 ,...) halmaznak, ha van egy az egyhez y= f(x) megfelelés ) e halmazok elemei között. Az ilyen halmazok kardinalitása azonos, vagy kardinalitásukban egyenértékűek. Az üres halmaz nulla kardinalitású.
3. Halmazok megadásának módszerei.
Úgy tekintjük, hogy a halmazt elemei határozzák meg, pl. készlet adott, ha bármely tárgyról meg lehet mondani, hogy ebbe a halmazba tartozik-e vagy sem. Egy halmazt a következő módokon határozhat meg:
1) Ha egy halmaz véges, akkor az összes elemének felsorolásával megadható. Tehát, ha a készlet DE elemekből áll 2, 5, 7, 12 , akkor írnak A = (2, 5, 7, 12). A halmaz elemeinek száma DE egyenlő 4 , ír n(A) = 4.
De ha a halmaz végtelen, akkor elemei nem sorolhatók fel. Nehéz meghatározni egy halmazt felsorolással és egy véges halmazt, amelyben sok elem van. Ilyen esetekben a halmaz megadásának más módját alkalmazzák.
2) Egy halmaz definiálható elemeinek egy jellemző tulajdonságának megadásával. jellemző tulajdonság- ez egy olyan tulajdonság, amivel minden halmazhoz tartozó elem rendelkezik, és egyetlen olyan elem sem, amely nem tartozik hozzá. Vegyünk például egy kétjegyű számokból álló X halmazt: ennek a halmaznak az a tulajdonsága, hogy „kétjegyű szám legyen”. Ez a jellemző tulajdonság lehetővé teszi annak eldöntését, hogy egy objektum az X halmazba tartozik-e vagy sem. Például a 45-ös számot tartalmazza ez a halmaz, mert kétértékű, és a 4-es szám nem tartozik az X halmazhoz, mert ez egy az egyhez és nem kétértékű. Előfordul, hogy egy és ugyanaz a halmaz megadható elemeinek különböző jellemző tulajdonságainak megadásával. Például egy négyzethalmaz definiálható egyenlő oldalú téglalapok halmazaként és derékszögű rombuszok halmazaként.
Azokban az esetekben, amikor a halmaz elemeinek jellemző tulajdonsága szimbolikus formában ábrázolható, lehetséges ennek megfelelő jelölés. Ha a készlet NÁL NÉL minden kisebb természetes számból áll 10, ők írnak B = (x N| x<10}.
A második módszer általánosabb, és lehetővé teszi véges és végtelen halmazok megadását is.
4. Numerikus halmazok.
Numerikus - olyan halmaz, amelynek elemei számok. A numerikus halmazok az R valós számtengelyen vannak megadva. Ezen a tengelyen válassza ki a skálát, és jelölje meg az origót és az irányt. A leggyakoribb számkészletek:
- természetes számok halmaza;
- egész számok halmaza;
- racionális vagy törtszámok halmaza;
· a valós számok halmaza.
5. A halmaz teljesítménye. Mondjon példát véges és végtelen halmazokra!
A halmazokat ekvipotensnek, ekvivalensnek nevezzük, ha van köztük egy-egy vagy egy-egy megfelelés, vagyis ilyen páronkénti megfelelés. amikor az egyik halmaz minden eleme egy másik halmaz egyetlen eleméhez kapcsolódik, és fordítva, míg az egyik halmaz különböző elemei egy másik halmaz különböző elemeihez kapcsolódnak.
Vegyünk például egy harmincfős diákcsoportot, és adjunk ki vizsgajegyeket, egy harminc jegyet tartalmazó kötegből minden diáknak egy jegyet, ilyen 30 diák és 30 jegy páros levelezése egy az egyhez lesz.
Két olyan halmaz, amelyek egyenértékűek ugyanannak a harmadik halmaznak, egyenértékűek. Ha az M és N halmazok ekvivalensek, akkor ezeknek az M és N halmazoknak az összes részhalmaza is egyenértékű.
Egy adott halmaz részhalmaza egy halmaz, amelynek minden eleme az adott halmaz eleme. Tehát az autók halmaza és a teherautók halmaza az autók halmazának részhalmazai lesznek.
A valós számok halmazának hatványát a kontinuum hatványának nevezzük, és "aleph" betűvel jelöljük. א . A legkisebb végtelen régió a természetes számok halmazának kardinalitása. A természetes számok halmazának hatványát általában (aleph-nulla) jelöljük.
A hatványokat gyakran bíborszámoknak nevezik. Ezt a fogalmat G. Kantor német matematikus vezette be. Ha a halmazokat szimbolikus M, N betűkkel jelöljük, akkor a kardinális számokat m, n jelöli. G. Kantor bebizonyította, hogy egy adott M halmaz összes részhalmazának számossága nagyobb, mint magának az M halmaznak.
Az összes természetes szám halmazával egyenértékű halmazt megszámlálható halmaznak nevezzük.
6. A megadott halmaz részhalmazai.
Ha a halmazunkból több elemet kiválasztunk és külön csoportosítunk, akkor ez a halmazunk egy részhalmaza lesz. Sok olyan kombináció létezik, amelyekből részhalmazt kaphatunk, a kombinációk száma csak az eredeti halmaz elemeinek számától függ.
Legyen két A és B halmazunk. Ha a B halmaz minden eleme az A halmaz eleme, akkor B halmazt A halmaz részhalmazának nevezzük. Jelöljük: B ⊂ A. Példa.
Az A=1;2;3 halmaz hány részhalmaza.
Megoldás. Halmazunk elemeiből álló részhalmazok. Ezután 4 lehetőségünk van az alhalmaz elemeinek számára:
Az alhalmaz állhat 1 elemből, 2, 3 elemből és lehet üres is. Írjuk fel egymás után az elemeinket.
1 elemből álló részhalmaz: 1,2,3
2 elemből álló részhalmaz: 1,2,1,3,2,3.
3 elemből álló részhalmaz:1;2;3
Ne felejtsük el, hogy az üres halmaz is a mi halmazunk részhalmaza. Ekkor azt kapjuk, hogy 3+3+1+1=8 részhalmazunk van.
7. Műveletek halmazokon.
Bizonyos műveletek végrehajthatók halmazokon, bizonyos tekintetben hasonlóak az algebra valós számokkal végzett műveleteihez. Ezért beszélhetünk halmazok algebrájáról.
Egyesület halmazok (összekapcsolása). DEés NÁL NÉL halmaznak nevezzük (szimbolikusan jelöli), amely mindazon elemekből áll, amelyek a halmazok legalább egyikéhez tartoznak DE vagy NÁL NÉL. Formájában x halmazok unióját így írjuk
A bejegyzés a következő: „Egyesülés DEés NÁL NÉL"vagy" DE társítva valamivel NÁL NÉL».
A halmazokon végzett műveleteket grafikusan ábrázolják Euler-körök segítségével (néha a "Venn-Euler diagramok" kifejezést használják). Ha a halmaz összes eleme DE a kör közepén lesz DE, és a halmaz elemei NÁL NÉL- egy körön belül NÁL NÉL, akkor az Euler-köröket használó egyesülési művelet a következő formában ábrázolható
1. példa. A készlet egyesítése DE= (0, 2, 4, 6, 8) páros számjegyek és halmazok NÁL NÉL= (1, 3, 5, 7, 9) páratlan számjegy az összes tizedesjegy = = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) halmaza.
8. Halmazok grafikus ábrázolása. Euler-Venn diagramok.
Az Euler-Venn diagramok halmazok geometriai ábrázolásai. A diagram felépítése az univerzális halmazt ábrázoló nagy téglalap képéből áll U, és azon belül - körök (vagy más zárt figurák), amelyek halmazokat ábrázolnak. Az ábráknak a feladatban megkívánt legáltalánosabb esetben kell egymást metszeni, és ennek megfelelően kell őket címkézni. A diagram különböző területein belül elhelyezkedő pontok a megfelelő halmazok elemeinek tekinthetők. A felépített diagrammal lehetőség van bizonyos területek árnyékolására az újonnan kialakult halmazok jelzésére.
A halmazműveletek a meglévőkből új halmazokat gyűjtenek.
Meghatározás. Egyesület Az A és B halmazt olyan halmaznak nevezzük, amely mindazon elemekből áll, amelyek az A, B halmazok legalább egyikéhez tartoznak (1. ábra):
Meghatározás. átkelés Az A és B halmazt olyan halmaznak nevezzük, amely mindazokból és csak azokból az elemekből áll, amelyek egyszerre tartoznak az A és B halmazhoz (2. ábra):
Meghatározás. különbség Az A és B halmazok A és csak azon elemeinek halmaza, amelyek nem szerepelnek B-ben (3. ábra):
Meghatározás. Szimmetrikus különbség készletek A és B ezen halmazok azon elemeinek halmaza, amelyek vagy csak az A halmazhoz, vagy csak a B halmazhoz tartoznak (4. ábra):
Halmazok derékszögű (vagy közvetlen) szorzataAés B a ( x,y) úgy van megszerkesztve, hogy a halmaz első eleme A, és a pár második eleme a halmazból származik B. Közös jelölés:
A× B={(x,y)|x∈A,y∈B}
Három vagy több készlet termékei az alábbiak szerint állíthatók össze:
A× B× C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}
A forma termékei A× A,A× A× A,A× A× A× A stb. Oklevél formájában szokás írni: A 2 ,A 3 ,A 4 (a diploma alapja egy szorzó, a mutató a termékek száma). Olyan bejegyzést olvasnak, hogy „derékszögű négyzet” (kocka stb.). Vannak más olvasási lehetőségek is a fő készletekhez. Például R n"er ennoe"-ként szokás olvasni.
Tulajdonságok
Vegye figyelembe a derékszögű termék számos tulajdonságát:
1. Ha A,B akkor véges halmazok A× B- végső. És fordítva, ha a szorzóhalmazok egyike végtelen, akkor a szorzatuk eredménye egy végtelen halmaz.
2. A derékszögű szorzat elemeinek száma megegyezik a szorzóhalmazok elemszámának szorzatával (természetesen ha végesek): | A× B|=|A|⋅|B| .
3. Egy np ≠(A n) p- az első esetben a derékszögű szorzat eredményét célszerű egy 1×-es méretű mátrixnak tekinteni np, a másodikban - méretmátrixként n× p .
4. A kommutatív törvény nem teljesül, mert a derékszögű szorzat eredményének elempárjai sorrendben vannak: A× B≠B× A .
5. Az egyesületi törvény nem teljesül: ( A× B)× C≠A×( B× C) .
6. Eloszlás van a halmazok alapvető műveletei tekintetében: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}
10. A megnyilatkozás fogalma. Elemi és összetett állítások.
mondás olyan állítás vagy kijelentő mondat, amelyről elmondható, hogy igaz (T-1) vagy hamis (L-0), de nem mindkettő egyszerre.
Például: "Ma esik az eső", "Ivanov elvégezte a 2. számú laboratóriumi munkát a fizikából."
Ha több kiindulási állításunk van, akkor ezekből használva logikai egyesülések vagy részecskék olyan új állításokat alkothatunk, amelyek igazságértéke csak az eredeti állítások igazságértékeitől, valamint az új állítás felépítésében részt vevő konkrét kötőszavaktól és partikuláktól függ. Az "és", "vagy", "nem", "ha...akkor", "ezért", "ha és csak akkor" szavak és kifejezések példák az ilyen kötőszavakra. Az eredeti állításokat ún egyszerű , és az ezekből konstruált új állítások bizonyos logikai uniók segítségével - alkotó . Természetesen az "egyszerű" szónak semmi köze az eredeti állítások lényegéhez vagy szerkezetéhez, amelyek maguk is meglehetősen összetettek lehetnek. Ebben az összefüggésben az „egyszerű” szó az „eredeti” szó szinonimája. Az a fontos, hogy az egyszerű állítások igazságértékei ismertek vagy adottak; mindenesetre semmilyen módon nem kerülnek szóba.
Bár egy olyan állítás, mint a "ma nem csütörtök" nem két különböző egyszerű állításból áll, a konstrukció egységessége miatt összetettnek is tekinthető, mivel az igazságértékét egy másik állítás igazságértéke határozza meg "Ma csütörtök van" "
2. példa A következő állításokat összetett állításként kezeljük:
Olvastam a Moszkovszkij Komszomolecet és a Kommerszantot.
Ha ő mondta, akkor igaz.
A nap nem csillag.
Ha süt a nap és a hőmérséklet meghaladja a 25 0 fokot, akkor vonattal vagy autóval érkezem
Az összetett megnyilatkozásokban szereplő egyszerű megnyilatkozások maguk is teljesen önkényesek lehetnek. Különösen maguk lehetnek összetettek. Az alábbiakban ismertetett összetett állítások alapvető típusait az őket alkotó egyszerű állításoktól függetlenül határozzuk meg.
11. Műveletek kimutatásokon.
1. tagadó művelet.
Az állítás tagadása DE (így szól: „nem DE"," ez nem igaz DE"), ami akkor igaz, amikor DE hamis és hamis mikor DE- igaz.
Negatív kijelentések DEés hívott szemben.
2. konjunkció művelet.
kötőszó nyilatkozatok DEés NÁL NÉL kijelentésnek nevezzük A B(olvas " DEés NÁL NÉL”), amelyek valódi jelentése akkor és csak akkor határozható meg, ha mindkét állítás DEés NÁL NÉL igaz.
Az állítások konjunkcióját logikai terméknek nevezik, és gyakran jelölik AB.
Legyen az állítás DE– „márciusban a levegő hőmérséklete tól 0 С hogy + 7 C» és mondván NÁL NÉL- "Vityebszkben esik az eső." Akkor A B a következő lesz: „márciusban a levegő hőmérséklete tól 0 С hogy + 7 Cés esik az eső Vitebszkben." Ez a kötőszó akkor lesz igaz, ha vannak állítások DEés NÁL NÉL igaz. Ha kiderül, hogy a hőmérséklet alacsonyabb volt 0 С vagy Vitebszkben akkor nem esett az eső A B hamis lesz.
3 . diszjunkciós művelet.
diszjunkció nyilatkozatok DEés NÁL NÉL kijelentésnek nevezzük A B (DE vagy NÁL NÉL), ami akkor és csak akkor igaz, ha legalább az egyik állítás igaz és hamis – ha mindkét állítás hamis.
Az állítások diszjunkcióját logikai összegnek is nevezik A+B.
Az állítás " 4<5 vagy 4=5 ' igaz. Mivel a kijelentés " 4<5 "igaz, és az állítás" 4=5 ' akkor hamis A B igaz állítás 4 5 ».
4 . implikációs művelet.
következmény nyilatkozatok DEés NÁL NÉL kijelentésnek nevezzük A B("ha DE, akkor NÁL NÉL", "tól től DE kellene NÁL NÉL”), amelynek értéke akkor és csak akkor hamis DE igaz, és NÁL NÉL hamis.
Az implikációban A B nyilatkozat DE hívott Alapítvány, vagy küldés, és a nyilatkozat NÁL NÉL – következmény, vagy következtetés.
12. Az állítások igazságtartalmának táblázatai.
Az igazságtábla egy olyan táblázat, amely megfeleltetést hoz létre a logikai függvényben szereplő összes lehetséges logikai változóhalmaz és a függvény értékei között.
Az igazságtáblázatokat a következőkre használják:
Összetett állítások igazságának kiszámítása;
Az állítások egyenértékűségének megállapítása;
A tautológiák definíciói.
