Desde o início dos séculos XVI-XVIII, os matemáticos começaram a estudar intensamente as funções, graças às quais muita coisa mudou em nossas vidas. A tecnologia informática simplesmente não existiria sem esse conhecimento. Vários conceitos, teoremas e técnicas de solução foram criados para resolver problemas complexos, equações lineares e funções. Um desses métodos e técnicas universais e racionais para resolver equações lineares e seus sistemas tornaram-se o método gaussiano. Matrizes, sua classificação, determinantes - tudo pode ser calculado sem o uso de operações complexas.
Em matemática existe o conceito de SLAE - um sistema de linear equações algébricas. Como ela é? Este é um conjunto de m equações com as n quantidades desconhecidas necessárias, geralmente denotadas como x, y, z ou x 1, x 2 ... x n ou outros símbolos. Resolver um determinado sistema usando o método gaussiano significa encontrar todas as incógnitas desconhecidas. Se um sistema tiver o mesmo número de incógnitas e equações, então ele é chamado de sistema de enésima ordem.
Nas instituições de ensino do ensino secundário, são estudados vários métodos para resolver tais sistemas. Na maioria das vezes isso equações simples, consistindo em duas incógnitas, portanto, qualquer método existente para encontrar uma resposta para elas não levará muito tempo. Isto pode ser como um método de substituição, quando outro é derivado de uma equação e substituído na original. Ou o método de subtração e adição termo a termo. Mas o método Gauss é considerado o mais fácil e universal. Torna possível resolver equações com qualquer número de incógnitas. Por que esta técnica específica é considerada racional? É simples. Método matricial O bom é que não há necessidade de reescrever símbolos desnecessários várias vezes na forma de incógnitas, basta realizar operações aritméticas sobre os coeficientes - e você obterá um resultado confiável.
A solução para SLAEs são os pontos de intersecção das retas nos gráficos das funções. Em nossa era da informática de alta tecnologia, as pessoas intimamente associadas ao desenvolvimento de jogos e outros programas precisam saber como resolver tais sistemas, o que representam e como verificar a exatidão do resultado resultante. Na maioria das vezes, os programadores desenvolvem programas especiais de cálculo de álgebra linear, que também incluem um sistema de equações lineares. O método Gauss permite calcular todas as soluções existentes. Outras fórmulas e técnicas simplificadas também são utilizadas.
Tal sistema só pode ser resolvido se for compatível. Para maior clareza, vamos representar o SLAE na forma Ax=b. Tem uma solução se rang(A) for igual a rang(A,b). Neste caso, (A,b) é uma matriz de forma estendida que pode ser obtida da matriz A reescrevendo-a com termos livres. Acontece que resolver equações lineares usando o método gaussiano é bastante fácil.
Talvez alguns dos símbolos não sejam totalmente claros, por isso é necessário considerar tudo com um exemplo. Digamos que exista um sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Consiste em apenas duas equações, nas quais existem 2 incógnitas. O sistema terá solução somente se o posto de sua matriz for igual ao posto da matriz estendida. O que é classificação? Este é o número de linhas independentes do sistema. No nosso caso, a classificação da matriz é 2. A matriz A consistirá em coeficientes localizados próximos às incógnitas, e os coeficientes localizados atrás do sinal “=” também caberão na matriz estendida.
Com base no critério de compatibilidade de acordo com o comprovado teorema de Kronecker-Capelli, um sistema de equações algébricas lineares pode ser representado em forma de matriz. Usando o método da cascata gaussiana, você pode resolver a matriz e obter uma única resposta confiável para todo o sistema. Se a classificação de uma matriz comum for igual à classificação de sua matriz estendida, mas for menor que o número de incógnitas, então o sistema terá um número infinito de respostas.
Antes de prosseguir para a resolução de matrizes, você precisa saber quais ações podem ser executadas em seus elementos. Existem várias transformações elementares:
A essência da resolução de sistemas lineares homogêneos e equações não homogêneas O método gaussiano consiste em eliminar gradualmente as incógnitas. Digamos que temos um sistema de duas equações em que existem duas incógnitas. Para encontrá-los, você precisa verificar a compatibilidade do sistema. A equação é resolvida de forma muito simples pelo método de Gauss. É necessário anotar os coeficientes localizados próximos a cada incógnita em forma de matriz. Para resolver o sistema, você precisará escrever a matriz estendida. Se uma das equações contiver um número menor de incógnitas, então “0” deve ser colocado no lugar do elemento faltante. Todos os métodos de transformação conhecidos são aplicados à matriz: multiplicação, divisão por um número, adição dos elementos correspondentes da série entre si e outros. Acontece que em cada linha é necessário deixar uma variável com o valor “1”, o restante deve ser reduzido a zero. Para uma compreensão mais precisa, é necessário considerar o método de Gauss com exemplos.
Para começar, tomemos um sistema simples de equações algébricas, no qual haverá 2 incógnitas.
Vamos reescrevê-lo em uma matriz estendida.
Para resolver este sistema de equações lineares, são necessárias apenas duas operações. Precisamos trazer a matriz para a forma canônica para que haja unidades ao longo da diagonal principal. Assim, transferindo da forma matricial de volta para o sistema, obtemos as equações: 1x+0y=b1 e 0x+1y=b2, onde b1 e b2 são as respostas resultantes no processo de solução.
Como podemos ver, nosso sistema foi resolvido pelo método Jordan-Gauss. Nós o reescrevemos na forma exigida: x=-5, y=7.
Suponha que tenhamos um sistema mais complexo de equações lineares. O método Gauss permite calcular a resposta mesmo para o sistema aparentemente mais confuso. Portanto, para se aprofundar na metodologia de cálculo, você pode passar para um exemplo mais complexo com três incógnitas.
Como no exemplo anterior, reescrevemos o sistema na forma de uma matriz estendida e começamos a trazê-lo à sua forma canônica.
Para resolver este sistema, você precisará realizar muito mais ações do que no exemplo anterior.
Como você pode ver, resolver equações usando o método Gauss é bastante simples.
Alguns sistemas de equações mais complexos podem ser resolvidos pelo método gaussiano usando programas de computador. É necessário inserir os coeficientes das incógnitas nas células vazias existentes, e o próprio programa calculará passo a passo o resultado desejado, descrevendo detalhadamente cada ação.
Descrito abaixo instrução passo a passo soluções para este exemplo.
Na primeira etapa, coeficientes livres e números para incógnitas são inseridos em células vazias. Assim, obtemos a mesma matriz estendida que escrevemos manualmente.
E todas as operações aritméticas necessárias são realizadas para trazer a matriz estendida à sua forma canônica. É preciso entender que a resposta a um sistema de equações nem sempre são números inteiros. Às vezes, a solução pode vir de números fracionários.
O método Jordan-Gauss permite verificar a exatidão do resultado. Para saber se os coeficientes foram calculados corretamente, basta substituir o resultado no sistema de equações original. Lado esquerdo a equação deve corresponder ao lado direito atrás do sinal de igual. Se as respostas não corresponderem, será necessário recalcular o sistema ou tentar aplicar a ele outro método de resolução de SLAEs que você conhece, como substituição ou subtração e adição termo a termo. Afinal, a matemática é uma ciência que possui um grande número de métodos de solução diferentes. Mas lembre-se: o resultado deve ser sempre o mesmo, independentemente do método de solução utilizado.
Durante a decisão sistemas lineares equações, erros ocorrem com mais frequência, como transferência incorreta de coeficientes para a forma de matriz. Existem sistemas em que faltam algumas incógnitas em uma das equações, então, ao transferir dados para uma matriz estendida, elas podem ser perdidas. Como resultado, ao resolver este sistema, o resultado pode não corresponder ao real.
Outro grande erro pode ser escrever incorretamente o resultado final. É necessário entender claramente que o primeiro coeficiente corresponderá à primeira incógnita do sistema, o segundo - à segunda, e assim por diante.
O método de Gauss descreve detalhadamente a solução de equações lineares. Graças a ele é fácil realizar as operações necessárias e encontrar o resultado correto. Além disso, é uma ferramenta universal para encontrar uma resposta confiável para equações de qualquer complexidade. Talvez seja por isso que é tão frequentemente usado na resolução de SLAEs.
Dois sistemas de equações lineares são chamados equivalentes se o conjunto de todas as suas soluções coincide.
As transformações elementares de um sistema de equações são:
- Excluindo equações triviais do sistema, ou seja, aqueles para os quais todos os coeficientes são iguais a zero;
- Multiplicar qualquer equação por um número diferente de zero;
- Adicionando a qualquer i-ésima equação qualquer j-ésima equação multiplicada por qualquer número.
Uma variável x i é chamada de livre se esta variável não for permitida, mas todo o sistema de equações for permitido.
Teorema. As transformações elementares transformam um sistema de equações em um sistema equivalente.
O significado do método gaussiano é transformar o sistema de equações original e obter um sistema equivalente resolvido ou equivalente inconsistente.
Portanto, o método gaussiano consiste nas seguintes etapas:
Como resultado, após alguns passos obteremos um sistema resolvido (possivelmente com variáveis livres) ou um sistema inconsistente. Os sistemas permitidos se enquadram em dois casos:
Isso é tudo! Sistema de equações lineares resolvido! Este é um algoritmo bastante simples e para dominá-lo você não precisa entrar em contato com um tutor de matemática superior. Vejamos um exemplo:
Tarefa. Resolva o sistema de equações:
Descrição das etapas:
A solução geral para um sistema simultâneo de equações lineares é novo sistema, equivalente ao original, em que todas as variáveis permitidas são expressas em termos de variáveis livres.
Quando você pode precisar decisão comum? Se você tiver que executar menos etapas do que k (k é quantas equações existem). No entanto, as razões pelas quais o processo termina em alguma etapa l< k , может быть две:
É importante compreender que o surgimento de uma equação inconsistente usando o método gaussiano é base suficiente para inconsistência. Ao mesmo tempo, notamos que, como resultado da l-ésima etapa, nenhuma equação trivial pode permanecer - todas elas são riscadas logo no processo.
Descrição das etapas:
Portanto, o sistema é inconsistente porque uma equação inconsistente foi descoberta.
Tarefa. Explore a compatibilidade e encontre uma solução geral para o sistema:
Descrição das etapas:
Assim, o sistema é consistente e indeterminado, pois existem duas variáveis permitidas (x 1 e x 2) e duas livres (x 3 e x 4).
Seja dado um sistema de equações algébricas lineares que precisa ser resolvido (encontre valores das incógnitas xi que transformem cada equação do sistema em uma igualdade).
Sabemos que um sistema de equações algébricas lineares pode:
1) Não tenha soluções (seja não articulado).
2) Tenha infinitas soluções.
3) Tenha uma solução única.
Como lembramos, a regra de Cramer e o método matricial não são adequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Método Gaussiano – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, qual Em todo caso nos levará à resposta! O próprio algoritmo do método funciona da mesma forma em todos os três casos. Se os métodos Cramer e matriciais exigem conhecimento de determinantes, então para aplicar o método Gauss é necessário apenas conhecimento de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para alunos do ensino fundamental.
Transformações de matriz aumentada ( esta é a matriz do sistema - uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, mais uma coluna de termos livres) sistemas de equações algébricas lineares no método de Gauss:
1) Com troki matrizes Pode reorganizar em alguns lugares.
2) se proporcionais apareceram (ou existem) na matriz (como caso especial– idênticas) linhas, então segue excluir da matriz todas essas linhas, exceto uma.
3) se uma linha zero aparecer na matriz durante as transformações, então ela também deve ser excluir.
4) uma linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero.
5) para uma linha da matriz você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero.
No método de Gauss, as transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações.
O método Gauss consiste em duas etapas:
Para fazer isso, execute as seguintes etapas:
1) Consideremos a primeira equação de um sistema de equações algébricas lineares e o coeficiente para x 1 é igual a K. O segundo, terceiro, etc. transformamos as equações da seguinte forma: dividimos cada equação (coeficientes das incógnitas, incluindo termos livres) pelo coeficiente da incógnita x 1 em cada equação e multiplicamos por K. Depois disso, subtraímos a primeira da segunda equação ( coeficientes de incógnitas e termos livres). Para x 1 na segunda equação obtemos o coeficiente 0. Da terceira equação transformada subtraímos a primeira equação até que todas as equações exceto a primeira, para a incógnita x 1, tenham um coeficiente 0.
2) Vamos passar para a próxima equação. Seja esta a segunda equação e o coeficiente para x 2 igual a M. Prosseguimos com todas as equações “inferiores” conforme descrito acima. Assim, “sob” a incógnita x 2 haverá zeros em todas as equações.
3) Passe para a próxima equação e assim por diante até que uma última incógnita e o termo livre transformado permaneçam.
Exemplo.
Vamos resolver o sistema de equações lineares pelo método de Gauss, como aconselham alguns autores:
Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada:
Olhamos para o “degrau” superior esquerdo. Deveríamos ter um lá. O problema é que não há unidades na primeira coluna, então reorganizar as linhas não resolverá nada. Nesses casos, a unidade deve ser organizada por meio de uma transformação elementar. Geralmente isso pode ser feito de várias maneiras. Vamos fazer isso:
1 passo
. À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por –1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por –1 e somamos a primeira e a segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo está “menos um”, o que nos cai muito bem. Quem quiser obter +1 pode realizar uma ação adicional: multiplicar a primeira linha por –1 (mudar seu sinal).
Passo 2 . A primeira linha, multiplicada por 5, foi adicionada à segunda linha. A primeira linha, multiplicada por 3, foi adicionada à terceira linha.
etapa 3 . A primeira linha foi multiplicada por –1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para o segundo lugar, para que no segundo “degrau” tivéssemos a unidade necessária.
Passo 4 . A terceira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por 2.
Etapa 5 . A terceira linha foi dividida por 3.
Um sinal que indica um erro nos cálculos (mais raramente, um erro de digitação) é um resultado final “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como (0 0 11 |23) abaixo e, portanto, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, então com um alto grau de probabilidade podemos dizer que um erro foi cometido durante o ensino elementar transformações.
Façamos o inverso; no desenho dos exemplos, o sistema em si muitas vezes não é reescrito, mas as equações são “tiradas diretamente da matriz dada”. O movimento inverso, lembro a vocês, funciona de baixo para cima. EM neste exemplo acabou sendo um presente:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, portanto x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Responder:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Vamos resolver o mesmo sistema usando o algoritmo proposto. Nós temos
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divida a segunda equação por 5 e a terceira por 3. Obtemos:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Multiplicando a segunda e terceira equações por 4, obtemos:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Subtraia a primeira equação da segunda e terceira equações, temos:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divida a terceira equação por 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multiplique a terceira equação por 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Subtraindo a segunda da terceira equação, obtemos uma matriz estendida “escalonada”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Assim, dado o erro acumulado durante os cálculos, obtemos x 3 = 0,96 ou aproximadamente 1.
x 2 = 3 e x 1 = –1.
Resolvendo desta forma, você nunca se confundirá nos cálculos e, apesar dos erros de cálculo, obterá o resultado.
Este método de resolução de um sistema de equações algébricas lineares é fácil de programar e não leva em consideração características específicas coeficientes para incógnitas, porque na prática (em cálculos económicos e técnicos) temos de lidar com coeficientes não inteiros.
Eu te desejo sucesso! Vejo você na aula! Tutor.
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Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss. Suponha que precisamos encontrar uma solução para o sistema de n equações lineares com n variáveis desconhecidas
cujo determinante da matriz principal é diferente de zero.
A essência do método Gauss consiste em eliminar sequencialmente variáveis desconhecidas: primeiro eliminando x 1 de todas as equações do sistema, a partir da segunda, é ainda excluído x 2 de todas as equações, começando pela terceira, e assim por diante, até que apenas a variável desconhecida permaneça na última equação x n. Este processo de transformação das equações do sistema para eliminação sequencial variáveis desconhecidas são chamadas método gaussiano direto. Depois de completar a progressão direta do método gaussiano, da última equação encontramos x n, usando este valor da penúltima equação calculamos xn-1, e assim por diante, a partir da primeira equação encontramos x 1. O processo de cálculo de variáveis desconhecidas ao passar da última equação do sistema para a primeira é chamado inverso do método gaussiano.
Descrevemos brevemente o algoritmo para eliminar variáveis desconhecidas.
Assumiremos isso, já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Elimine a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, à segunda equação do sistema adicionamos a primeira, multiplicada por , à terceira equação adicionamos a primeira, multiplicada por , e assim por diante, para enésimoà equação adicionamos o primeiro, multiplicado por . O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma 
onde e 
.
Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 através de outras variáveis desconhecidas na primeira equação do sistema e a expressão resultante foi substituída em todas as outras equações. Então a variável x 1 excluído de todas as equações, a partir da segunda.
A seguir, procedemos de forma semelhante, mas apenas com parte do sistema resultante, que está marcado na figura 
Para fazer isso, à terceira equação do sistema adicionamos a segunda, multiplicada por , à quarta equação adicionamos a segunda, multiplicada por , e assim por diante, para enésimoà equação adicionamos a segunda, multiplicada por . O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma 
onde e 
. Então a variável x 2 excluído de todas as equações a partir da terceira.
Em seguida, procedemos à eliminação do desconhecido x 3, neste caso agimos de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura 
Então continuamos a progressão direta do método gaussiano até que o sistema tome a forma 
A partir deste momento iniciamos o inverso do método gaussiano: calculamos x n da última equação como, usando o valor obtido x n nós achamos xn-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.
Exemplo.
Resolver sistema de equações lineares 
Método de Gauss.
A essência do método de Gauss é transformar (1) em um sistema com matriz triangular, a partir do qual os valores de todas as incógnitas são obtidos sequencialmente (ao contrário). Vamos considerar um dos esquemas computacionais. Este circuito é chamado de circuito de divisão única. Então, vamos dar uma olhada neste diagrama. Deixe 11 ≠0 (elemento líder) dividir a primeira equação por 11. Nós temos
(2)
Utilizando a equação (2), é fácil eliminar as incógnitas x 1 das demais equações do sistema (para isso basta subtrair a equação (2) de cada equação, previamente multiplicada pelo coeficiente correspondente para x 1) , ou seja, na primeira etapa obtemos
.
Em outras palavras, na etapa 1, cada elemento das linhas subsequentes, a partir da segunda, é igual à diferença entre o elemento original e o produto de sua “projeção” na primeira coluna e na primeira linha (transformada).
Em seguida, deixando a primeira equação sozinha, realizamos uma transformação semelhante nas demais equações do sistema obtidas na primeira etapa: selecionamos dentre elas a equação com o elemento líder e, com sua ajuda, excluímos x 2 do restante equações (etapa 2).
Após n etapas, em vez de (1), obtemos um sistema equivalente 
(3)
Assim, na primeira etapa obtemos um sistema triangular (3). Este estágio é chamado de golpe para frente.
Na segunda etapa (reversa), encontramos sequencialmente a partir de (3) os valores x n, x n -1, ..., x 1.
Vamos denotar a solução resultante como x 0 . Então a diferença ε=b-A x 0 chamado residual.
Se ε=0, então a solução encontrada x 0 está correta.
Os cálculos usando o método gaussiano são realizados em duas etapas:
Exemplo de solução usando o método Gaussiano
Vamos resolver o sistema: 
Para facilitar o cálculo, vamos trocar as linhas: 
Vamos multiplicar a 2ª linha por (2). Adicione a 3ª linha à 2ª 
Multiplique a 2ª linha por (-1). Adicione a 2ª linha à 1ª 
A partir da 1ª linha expressamos x 3:
A partir da 2ª linha expressamos x 2:
A partir da 3ª linha expressamos x 1: 
Um exemplo de solução usando o método Jordano-Gauss
Vamos resolver o mesmo SLAE usando o método Jordano-Gauss. 
Selecionaremos sequencialmente o elemento de resolução RE, que se encontra na diagonal principal da matriz.
O elemento de resolução é igual a (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemento de resolução (1), A e B - elementos da matriz formando um retângulo com os elementos STE e RE.
Vamos apresentar o cálculo de cada elemento em forma de tabela:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
