Tópico 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES.
Conceitos Básicos.
Definição 1. Sistema eu equações lineares Com n incógnitas é um sistema da forma:
onde e são números.
Definição 2. Uma solução para o sistema (I) é um conjunto de incógnitas em que cada equação deste sistema se torna uma identidade.
Definição 3. O sistema (I) é chamado articulação, se tiver pelo menos uma solução e não articulado, se não tiver soluções. Sistema conjunto chamado certo se ela tiver única decisão, E incerto de outra forma.
Definição 4. Equação da forma
chamado zero, e a equação é da forma
chamado incompatível. Obviamente, um sistema de equações contendo uma equação incompatível é inconsistente.
Definição 5. Dois sistemas de equações lineares são chamados equivalente, se toda solução de um sistema serve como solução para outro e, inversamente, toda solução do segundo sistema é solução do primeiro.
Representação matricial de um sistema de equações lineares.
Consideremos o sistema (I) (ver §1).
Vamos denotar:
Matriz de coeficiente para incógnitas
Matriz - coluna de termos livres
Matriz – coluna de incógnitas
.
Definição 1. A matriz é chamada matriz principal do sistema(I), e a matriz é a matriz estendida do sistema (I).
Pela definição de igualdade de matrizes, o sistema (I) corresponde à igualdade de matrizes:
.
Lado direito esta igualdade por definição do produto de matrizes ( ver definição 3 § 5 capítulo 1) pode ser fatorado:
, ou seja
Igualdade (2) chamado notação matricial do sistema (I).
Resolvendo um sistema de equações lineares usando o método de Cramer.
Deixe entrar o sistema (I) (ver §1) m=n, ou seja o número de equações é igual ao número de incógnitas, e a matriz principal do sistema é não singular, ou seja, . Então o sistema (I) de §1 tem uma solução única
onde Δ = det A chamado principal determinante do sistema(eu), Δ eué obtido a partir do determinante Δ substituindo eu a coluna para uma coluna de membros livres do sistema (I).
Exemplo: Resolva o sistema usando o método de Cramer:
.
Por fórmulas (3)
.
Calculamos os determinantes do sistema:
,
,
.
Para obter o determinante, substituímos a primeira coluna do determinante por uma coluna de termos livres; substituindo a 2ª coluna do determinante por uma coluna de termos livres, obtemos; de forma semelhante, substituindo a 3ª coluna do determinante por uma coluna de termos livres, obtemos . Solução do sistema:
Resolução de sistemas de equações lineares utilizando uma matriz inversa.
Deixe entrar o sistema (I) (ver §1) m=n e a matriz principal do sistema é não singular. Vamos escrever o sistema (I) na forma de matriz ( veja §2):
porque matriz A não singular, então tem uma matriz inversa ( veja Teorema 1 §6 do Capítulo 1). Vamos multiplicar os dois lados da igualdade (2) para a matriz, então
Por definição de matriz inversa. Da igualdade (3) Nós temos
Resolva o sistema usando a matriz inversa
.
Vamos denotar
No exemplo (§ 3) calculamos o determinante, portanto, a matriz A tem uma matriz inversa. Então com efeito (4) , ou seja
. (5)
Vamos encontrar a matriz ( veja §6 capítulo 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Método de Gauss.
Seja dado um sistema de equações lineares:
. (EU)
É necessário encontrar todas as soluções do sistema (I) ou certificar-se de que o sistema é inconsistente.
Definição 1.Chamemos a transformação elementar do sistema(I) qualquer uma das três ações:
1) riscar a equação zero;
2) somar a ambos os lados da equação as partes correspondentes de outra equação, multiplicada pelo número l;
3) trocar termos nas equações do sistema para que incógnitas com os mesmos números em todas as equações ocupem os mesmos lugares, ou seja, se, por exemplo, na 1ª equação alteramos o 2º e o 3º termos, então o mesmo deve ser feito em todas as equações do sistema.
O método de Gauss consiste no fato de o sistema (I) com a ajuda de transformações elementares ser reduzido a um sistema equivalente, cuja solução é encontrada diretamente ou sua insolubilidade é estabelecida.
Conforme descrito em §2, o sistema (I) é determinado exclusivamente por sua matriz estendida e qualquer transformação elementar do sistema (I) corresponde a uma transformação elementar da matriz estendida:
.
A transformação 1) corresponde a eliminar a linha zero da matriz, a transformação 2) equivale a adicionar outra linha à linha correspondente da matriz, multiplicada pelo número l, a transformação 3) equivale a reorganizar as colunas da matriz.
É fácil perceber que, pelo contrário, cada transformação elementar da matriz corresponde a uma transformação elementar do sistema (I). Pelo exposto, ao invés de operações com o sistema (I), trabalharemos com a matriz estendida deste sistema.
Na matriz, a 1ª coluna consiste em coeficientes para x 1, 2ª coluna - dos coeficientes para x 2 etc. Se as colunas forem reorganizadas, deve-se levar em consideração que esta condição foi violada. Por exemplo, se trocarmos a 1ª e a 2ª colunas, então agora a 1ª coluna conterá os coeficientes para x 2, e na 2ª coluna - os coeficientes para x 1.
Resolveremos o sistema (I) usando o método Gaussiano.
1. Risque todas as linhas zero na matriz, se houver (ou seja, risque todas as equações zero no sistema (I).
2. Vamos verificar se entre as linhas da matriz existe uma linha em que todos os elementos, exceto o último, são iguais a zero (vamos chamar essa linha de inconsistente). Obviamente, tal reta corresponde a uma equação inconsistente no sistema (I), portanto, o sistema (I) não tem soluções e é aqui que termina o processo.
3. Deixe a matriz não conter linhas inconsistentes (o sistema (I) não contém equações inconsistentes). Se um 11 =0, então encontramos na 1ª linha algum elemento (exceto o último) diferente de zero e reorganizamos as colunas para que na 1ª linha não haja zero no 1º lugar. Vamos agora assumir que (ou seja, trocaremos os termos correspondentes nas equações do sistema (I)).
4. Multiplique a 1ª linha por e some o resultado com a 2ª linha, depois multiplique a 1ª linha por e some o resultado com a 3ª linha, etc. Obviamente, este processo equivale a eliminar o desconhecido x 1 de todas as equações do sistema (I), exceto a 1ª. Na nova matriz obtemos zeros na 1ª coluna do elemento um 11:
.
5. Vamos riscar todas as linhas zero da matriz, se houver, e verificar se há uma linha inconsistente (se houver, então o sistema é inconsistente e a solução termina aí). Vamos verificar se haverá a 22 / =0, se sim, então encontramos na 2ª linha um elemento diferente de zero e reorganizamos as colunas para que . A seguir, multiplique os elementos da 2ª linha por 
e somar com os elementos correspondentes da 3ª linha, então - os elementos da 2ª linha e somar com os elementos correspondentes da 4ª linha, etc., até obtermos zeros sob um 22/
.
As ações tomadas equivalem a eliminar o desconhecido x 2 de todas as equações do sistema (I), exceto a 1ª e a 2ª. Como o número de linhas é finito, após um número finito de etapas, obtemos que ou o sistema é inconsistente ou terminamos com uma matriz de etapas ( veja definição 2 §7 capítulo 1) :
,
Vamos escrever o sistema de equações correspondente à matriz. Este sistema é equivalente ao sistema (I)
.
Da última equação expressamos; substitua na equação anterior, encontre, etc., até obtermos.
Nota 1. Assim, ao resolver o sistema (I) pelo método gaussiano, chegamos a um dos seguintes casos.
1. O sistema (I) é inconsistente.
2. O sistema (I) tem uma solução única se o número de linhas da matriz for igual ao número de incógnitas ().
3. O sistema (I) tem um número infinito de soluções se o número de linhas da matriz for menor que o número de incógnitas ().
Portanto, o seguinte teorema é válido.
Teorema. Um sistema de equações lineares é inconsistente, tem uma solução única ou tem um número infinito de soluções.
Exemplos. Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss ou prove sua inconsistência:
b) 
;
a) Vamos reescrever o sistema dado na forma:
.
Trocamos a 1ª e a 2ª equações do sistema original para simplificar os cálculos (em vez de frações, operaremos apenas com números inteiros usando este rearranjo).
Vamos criar uma matriz estendida:
.
Não há linhas nulas; não há linhas incompatíveis; Vamos excluir a 1ª incógnita de todas as equações do sistema, exceto a 1ª. Para isso, multiplique os elementos da 1ª linha da matriz por “-2” e some-os com os elementos correspondentes da 2ª linha, o que equivale a multiplicar a 1ª equação por “-2” e adicioná-la com a 2ª equação. Em seguida, multiplicamos os elementos da 1ª linha por “-3” e os adicionamos aos elementos correspondentes da terceira linha, ou seja, multiplique a 2ª equação do sistema dado por “-3” e adicione-a à 3ª equação. Nós temos
.
A matriz corresponde a um sistema de equações). - (ver definição 3§7 do Capítulo 1).
(às vezes esse método também é chamado de método matricial ou método de matriz inversa) requer familiarização preliminar com um conceito como a forma matricial de notação SLAE. O método da matriz inversa é projetado para resolver esses sistemas de equações algébricas, para o qual o determinante da matriz do sistema é diferente de zero. Naturalmente, isso pressupõe que a matriz do sistema é quadrada (o conceito de determinante existe apenas para matrizes quadradas). A essência do método da matriz inversa pode ser expressa em três pontos:
Qualquer SLAE pode ser escrito em forma de matriz como $A\cdot X=B$, onde $A$ é a matriz do sistema, $B$ é a matriz de termos livres, $X$ é a matriz de incógnitas. Deixe a matriz $A^(-1)$ existir. Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade $A\cdot X=B$ pela matriz $A^(-1)$ à esquerda:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Como $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - matriz de identidade), então a igualdade escrita acima se tornará:
$$E\cponto X=A^(-1)\cponto B.$$
Como $E\cdot X=X$, então:
$$X=A^(-1)\cponto B.$$
Exemplo nº 1
Resolva o SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ usando a matriz inversa.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Vamos encontrar a matriz inversa da matriz do sistema, ou seja, Vamos calcular $A^(-1)$. No exemplo nº 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Agora vamos substituir todas as três matrizes ($X$, $A^(-1)$, $B$) na igualdade $X=A^(-1)\cdot B$. Então realizamos a multiplicação de matrizes
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$
Então, obtivemos a igualdade $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( matriz)\direita)$. Desta igualdade temos: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Responder: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Exemplo nº 2
Resolva SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ usando o método da matriz inversa.
Vamos escrever a matriz do sistema $A$, a matriz de termos livres $B$ e a matriz de incógnitas $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Agora é a vez de encontrar a matriz inversa da matriz do sistema, ou seja, encontre $A^(-1)$. No exemplo nº 3 da página dedicada a encontrar matrizes inversas, matriz inversa já foi encontrado. Vamos usar o resultado final e escrever $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 e 37\fim(matriz)\direita). $$
Agora vamos substituir todas as três matrizes ($X$, $A^(-1)$, $B$) na igualdade $X=A^(-1)\cdot B$, e então realizar a multiplicação da matriz no lado direito desta igualdade.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
Então, obtivemos a igualdade $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \\9\end(array)\right)$. Desta igualdade temos: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Seja uma matriz quadrada de enésima ordem
Matriz A -1 é chamada matriz inversa em relação à matriz A, se A*A -1 = E, onde E é a matriz identidade de enésima ordem.
Matriz de identidade- uma matriz quadrada em que todos os elementos ao longo da diagonal principal, passando do canto superior esquerdo ao canto inferior direito, são uns e o resto são zeros, por exemplo:
matriz inversa pode existir apenas para matrizes quadradas aqueles. para aquelas matrizes em que o número de linhas e colunas coincide.
Teorema para a condição de existência de uma matriz inversa
Para que uma matriz tenha uma matriz inversa é necessário e suficiente que ela seja não singular.
A matriz A = (A1, A2,...A n) é chamada não degenerado, se os vetores da coluna forem linearmente independentes. O número de vetores coluna linearmente independentes de uma matriz é chamado de posto da matriz. Portanto, podemos dizer que para que exista uma matriz inversa é necessário e suficiente que o posto da matriz seja igual à sua dimensão, ou seja, r = n.
Para a matriz A, encontre a matriz inversa A -1
Solução: Escrevemos a matriz A e atribuímos à direita a matriz identidade E. Usando as transformações de Jordan, reduzimos a matriz A à matriz identidade E. Os cálculos são dados na Tabela 31.1.
Vamos verificar a exatidão dos cálculos multiplicando a matriz original A e a matriz inversa A -1.
Como resultado da multiplicação da matriz, a matriz identidade foi obtida. Portanto, os cálculos foram feitos corretamente.
Responder: 
As equações matriciais podem ser assim:
AX = B, HA = B, AXB = C,
onde A, B, C são as matrizes especificadas, X é a matriz desejada.
As equações matriciais são resolvidas multiplicando a equação por matrizes inversas.
Por exemplo, para encontrar a matriz da equação, você precisa multiplicar esta equação por à esquerda.
Portanto, para encontrar uma solução para a equação, você precisa encontrar a matriz inversa e multiplicá-la pela matriz do lado direito da equação.
Outras equações são resolvidas de forma semelhante.
Resolva a equação AX = B se 
Solução: Como a matriz inversa é igual a (ver exemplo 1)
Junto com outros, eles também são usados métodos matriciais . Esses métodos são baseados em álgebra linear e de matriz vetorial. Tais métodos são utilizados para fins de análise de fenômenos econômicos complexos e multidimensionais. Na maioria das vezes, esses métodos são utilizados quando é necessário fazer uma avaliação comparativa do funcionamento das organizações e de suas divisões estruturais.
No processo de aplicação de métodos de análise matricial, várias etapas podem ser distinguidas.
Na primeira fase está sendo formado um sistema de indicadores econômicos e com base nele é compilada uma matriz de dados iniciais, que é uma tabela na qual os números do sistema são mostrados em suas linhas individuais (eu = 1,2,....,n), e em colunas verticais - números de indicadores (j = 1,2,....,m).
Na segunda etapa Para cada coluna vertical, é identificado o maior valor do indicador disponível, que é considerado um.
Depois disso, todos os valores refletidos nesta coluna são divididos por valor mais alto e uma matriz de coeficientes padronizados é formada.
Na terceira fase todos os componentes da matriz são elevados ao quadrado. Se eles tiverem significados diferentes, então a cada indicador da matriz será atribuído um determinado coeficiente de peso k. O valor deste último é determinado pela opinião de especialistas.
No último, quarta etapa valores de classificação encontrados Rio são agrupados em ordem de aumento ou diminuição.
Os métodos matriciais descritos devem ser usados, por exemplo, quando análise comparativa vários projetos de investimento, bem como na avaliação de outros indicadores econômicos das organizações.
Vamos considerar sistema de equações algébricas lineares(SLAU) relativamente n desconhecido x 1 , x 2 , ..., x n :
Este sistema de forma “recolhida” pode ser escrito da seguinte forma:
S n eu=1 a eu j x j =b eu , eu=1,2, ..., n.
De acordo com a regra de multiplicação de matrizes, o sistema de equações lineares considerado pode ser escrito em forma matricial Machado=b, Onde
,
,.
Matriz A, cujas colunas são os coeficientes para as incógnitas correspondentes, e as linhas são os coeficientes para as incógnitas na equação correspondente é chamada matriz do sistema. Matriz de coluna b, cujos elementos são os lados direitos das equações do sistema, é chamada de matriz do lado direito ou simplesmente lado direito do sistema. Matriz de coluna x , cujos elementos são as incógnitas desconhecidas, é chamado solução de sistema.
Um sistema de equações algébricas lineares escritas na forma Machado=b, é equação matricial.
Se a matriz do sistema não degenerado, então tem uma matriz inversa e então a solução do sistema é Machado=bé dado pela fórmula:
x = UMA -1 b.
Exemplo Resolva o sistema 
método matricial.
Solução vamos encontrar a matriz inversa da matriz de coeficientes do sistema
Vamos calcular o determinante expandindo ao longo da primeira linha:
Porque o Δ ≠ 0 , Que A -1 existe.
A matriz inversa foi encontrada corretamente.
Vamos encontrar uma solução para o sistema 
Por isso, x 1 = 1,x 2 = 2,x 3 = 3 .
Exame: 
Sistema de equações lineares tem o formato:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Aqui a i j e b i (i = ; j = ) são dados, e x j são números reais desconhecidos. Utilizando o conceito de produto de matrizes, podemos reescrever o sistema (5.1) na forma:
onde A = (a i j) é uma matriz composta por coeficientes para as incógnitas do sistema (5.1), que é chamada matriz do sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T são vetores coluna compostos respectivamente por incógnitas x j e termos livres b i .
Coleção ordenada n números reais (c 1, c 2,..., c n) são chamados solução de sistema(5.1), se ao substituir esses números em vez das variáveis correspondentes x 1, x 2,..., x n, cada equação do sistema se transforma em uma identidade aritmética; em outras palavras, se existe um vetor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tal que AC B.
O sistema (5.1) é chamado articulação, ou solucionável, se tiver pelo menos uma solução. O sistema é chamado incompatível, ou insolúvel, se não tiver soluções.
,
formado pela atribuição de uma coluna de termos livres ao lado direito da matriz A é chamado matriz estendida do sistema.
A questão da compatibilidade do sistema (5.1) é resolvida pelo seguinte teorema.
Teorema de Kronecker-Capelli . Um sistema de equações lineares é consistente se e somente se as fileiras das matrizes A eA coincidem, ou seja, r(A) = r(A) = r.
Para o conjunto M de soluções do sistema (5.1) existem três possibilidades:
1) M = (neste caso o sistema é inconsistente);
2) M consiste em um elemento, ou seja, o sistema tem uma solução única (neste caso o sistema é chamado certo);
3) M consiste em mais de um elemento (então o sistema é chamado incerto). No terceiro caso, o sistema (5.1) possui um número infinito de soluções.
O sistema tem solução única somente se r(A) = n. Neste caso, o número de equações não é inferior ao número de incógnitas (mn); se m>n, então m-n equações são consequências dos outros. Se 0 Para resolver um sistema arbitrário de equações lineares, você precisa ser capaz de resolver sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas - os chamados Sistemas do tipo Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Os sistemas (5.3) são resolvidos de uma das seguintes maneiras: 1) método de Gauss, ou método de eliminação de incógnitas; 2) segundo fórmulas de Cramer; 3) método matricial. Exemplo 2.12. Explore o sistema de equações e resolva-o se for consistente: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Solução. Escrevemos a matriz estendida do sistema:
Vamos calcular a classificação da matriz principal do sistema. É óbvio que, por exemplo, o menor de segunda ordem no canto superior esquerdo = 7 0; os menores de terceira ordem que o contêm são iguais a zero: Consequentemente, a classificação da matriz principal do sistema é 2, ou seja, r(A) = 2. Para calcular a classificação da matriz estendida A, considere o menor limítrofe isso significa que a classificação da matriz estendida r(A) = 3. Como r(A) r(A), o sistema é inconsistente.
.
