O método de Cramer é usado para resolver sistemas de linearidade equações algébricas (SLAU).
Fórmulas usando o exemplo de um sistema de duas equações com duas variáveis.
Dado: Resolva o sistema usando o método de Cramer
Em relação às variáveis X E no.
Solução:
Vamos encontrar o determinante da matriz, composto pelos coeficientes do sistema Cálculo dos determinantes. : 
Vamos aplicar as fórmulas de Cramer e encontrar os valores das variáveis: 
E 
.
Exemplo 1:
Resolva o sistema de equações:
em relação às variáveis X E no.
Solução:
Vamos substituir a primeira coluna deste determinante por uma coluna de coeficientes do lado direito do sistema e encontrar o seu valor: 
Vamos fazer algo semelhante, substituindo a segunda coluna no primeiro determinante: 
Aplicável Fórmulas de Cramer e encontre os valores das variáveis:
E .
Responder: 
Comente: Este método pode resolver sistemas de dimensões superiores.
Comente: Se acontecer que , mas não pode ser dividido por zero, então dizem que o sistema não tem uma solução única. Neste caso, o sistema tem infinitas soluções ou não tem nenhuma solução.
Exemplo 2(número infinito de soluções):
Resolva o sistema de equações:
em relação às variáveis X E no.
Solução:
Vamos encontrar o determinante da matriz, composta pelos coeficientes do sistema: 
Resolução de sistemas pelo método de substituição. 
A primeira das equações do sistema é uma igualdade verdadeira para quaisquer valores das variáveis (porque 4 é sempre igual a 4). Isso significa que resta apenas uma equação. Esta é uma equação para a relação entre variáveis.
Descobrimos que a solução do sistema é qualquer par de valores de variáveis relacionadas entre si pela igualdade .
Decisão comum será escrito assim: 
Soluções particulares podem ser determinadas escolhendo um valor arbitrário de y e calculando x a partir desta igualdade de conexão. 
etc.
Existem infinitas soluções desse tipo.
Responder: decisão comum
Soluções privadas:
Exemplo 3(sem soluções, o sistema é incompatível):
Resolva o sistema de equações:
Solução:
Vamos encontrar o determinante da matriz, composta pelos coeficientes do sistema: 
As fórmulas de Cramer não podem ser usadas. Vamos resolver este sistema usando o método de substituição 
A segunda equação do sistema é uma igualdade que não é verdadeira para nenhum valor das variáveis (claro, já que -15 não é igual a 2). Se uma das equações do sistema não for verdadeira para nenhum valor das variáveis, então todo o sistema não terá soluções.
Responder: sem soluções
Com o mesmo número de equações que o número de incógnitas com o determinante principal da matriz, que não é igual a zero, os coeficientes do sistema (para tais equações existe uma solução e existe apenas uma).
Teorema de Cramer.
Quando o determinante de uma matriz sistema quadrado diferente de zero, o que significa que o sistema é consistente e tem uma solução e pode ser encontrado por Fórmulas de Cramer:
onde Δ - determinante da matriz do sistema,
Δ eué o determinante da matriz do sistema, na qual em vez de eu A enésima coluna contém a coluna dos lados direitos.
Quando o determinante de um sistema é zero, significa que o sistema pode tornar-se cooperativo ou incompatível.
Este método é geralmente usado para pequenos sistemas com cálculos extensos e se for necessário determinar uma das incógnitas. A complexidade do método é que muitos determinantes precisam ser calculados.
Existe um sistema de equações:
Um sistema de 3 equações pode ser resolvido usando o método de Cramer, discutido acima para um sistema de 2 equações.
Compomos um determinante a partir dos coeficientes das incógnitas:
Será determinante do sistema. Quando D≠0, o que significa que o sistema é consistente. Agora vamos criar 3 determinantes adicionais:
,
,
Resolvemos o sistema por Fórmulas de Cramer:
Exemplo 1.
Dado sistema:
Vamos resolver usando o método de Cramer.
Primeiro você precisa calcular o determinante da matriz do sistema:
Porque Δ≠0, o que significa que pelo teorema de Cramer o sistema é consistente e tem uma solução. Calculamos determinantes adicionais. O determinante Δ 1 é obtido a partir do determinante Δ substituindo sua primeira coluna por uma coluna de coeficientes livres. Nós temos:
Da mesma forma, obtemos o determinante de Δ 2 a partir do determinante da matriz do sistema, substituindo a segunda coluna por uma coluna de coeficientes livres:
O método de Cramer ou a chamada regra de Cramer é um método de busca de quantidades desconhecidas em sistemas de equações. Só pode ser utilizado se o número de valores procurados for equivalente ao número de equações algébricas do sistema, ou seja, a matriz principal formada a partir do sistema deve ser quadrada e não conter zero linhas, e também se seu determinante deve não seja zero.
Teorema 1
Teorema de Cramer Se o determinante principal $D$ da matriz principal, compilado com base nos coeficientes das equações, não for igual a zero, então o sistema de equações é consistente e tem uma solução única. A solução para tal sistema é calculada através das chamadas fórmulas de Cramer para resolver sistemas equações lineares: $x_i = \frac(D_i)(D)$
A essência do método de Cramer é a seguinte:
Para calcular o determinante de uma matriz com dimensão maior que 2 por 2, você pode usar vários métodos:
Figura 1. Regra do triângulo para cálculo do determinante pelo método de Cramer
Vamos aplicar o método de Cramer para um sistema de 2 equações e duas quantidades necessárias:
$\begin(casos) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(casos)$
Vamos exibi-lo de forma expandida por conveniência:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Vamos encontrar o determinante da matriz principal, também chamado de determinante principal do sistema:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Se o determinante principal não for igual a zero, então para resolver o slough usando o método de Cramer é necessário calcular mais alguns determinantes a partir de duas matrizes com as colunas da matriz principal substituídas por uma linha de termos livres:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Agora vamos encontrar as incógnitas $x_1$ e $x_2$:
$x_1 = \frac(D_1)(D)$
$x_2 = \frac(D_2)(D)$
Exemplo 1
Método de Cramer para resolução de SLAEs com matriz principal de 3ª ordem (3 x 3) e três obrigatórias.
Resolva o sistema de equações:
$\begin(casos) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(casos)$
Vamos calcular o determinante principal da matriz usando a regra declarada acima no ponto número 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cponto 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
E agora três outros determinantes:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ ponto 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – $ 296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $ 108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $ 60
Vamos encontrar as quantidades necessárias:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac(15)(16)$
Considere um sistema de 3 equações com três incógnitas
Usando determinantes de 3ª ordem, a solução para tal sistema pode ser escrita da mesma forma que para um sistema de duas equações, ou seja,
(2.4)
se 0. Aqui
Está lá Regra de Cramer resolvendo um sistema de três equações lineares em três incógnitas.
Exemplo 2.3. Resolva um sistema de equações lineares usando a regra de Cramer:
Solução . Encontrando o determinante da matriz principal do sistema
Como 0, então para encontrar uma solução para o sistema podemos aplicar a regra de Cramer, mas primeiro calculamos mais três determinantes:
Exame:
Portanto, a solução foi encontrada corretamente.
As regras de Cramer obtidas para sistemas lineares de 2ª e 3ª ordem sugerem que as mesmas regras podem ser formuladas para sistemas lineares de qualquer ordem. Realmente acontece
Teorema de Cramer. Sistema quadrático de equações lineares com determinante diferente de zero da matriz principal do sistema (0) tem uma e apenas uma solução e esta solução é calculada usando as fórmulas
(2.5)
Onde – determinante da matriz principal, eu – determinante da matriz, obtido do principal, substituindoeuª coluna coluna de membros gratuitos.
Observe que se =0, então a regra de Cramer não se aplica. Isso significa que o sistema não tem nenhuma solução ou tem infinitas soluções.
Tendo formulado o teorema de Cramer, surge naturalmente a questão de calcular determinantes de ordens superiores.
Menor adicional M eu j elemento a eu jé um determinante obtido de um dado excluindo eu a linha e jª coluna. Complemento algébrico A eu j elemento a eu j o menor deste elemento tomado com o sinal (–1) é chamado eu + j, ou seja A eu j = (–1) eu + j M eu j .
Por exemplo, vamos encontrar os menores e os complementos algébricos dos elementos a 23 e a 31 eliminatórias
Nós temos
Usando o conceito de complemento algébrico podemos formular teorema da expansão determinanten-ésima ordem por linha ou coluna.
Teorema 2.1. Determinante de matrizAé igual à soma dos produtos de todos os elementos de uma determinada linha (ou coluna) pelos seus complementos algébricos:
(2.6)
Este teorema está na base de um dos principais métodos de cálculo de determinantes, os chamados. método de redução de pedidos. Como resultado da expansão do determinante nª ordem em qualquer linha ou coluna, obtemos n determinantes ( n–1)ª ordem. Para ter menos determinantes desse tipo, é aconselhável selecionar a linha ou coluna que contém mais zeros. Na prática, a fórmula de expansão do determinante é geralmente escrita como:
aqueles. as adições algébricas são escritas explicitamente em termos de menores.
Exemplos 2.4. Calcule os determinantes classificando-os primeiro em alguma linha ou coluna. Normalmente, nesses casos, selecione a coluna ou linha que contém mais zeros. A linha ou coluna selecionada será indicada por uma seta.
Expandindo o determinante sobre qualquer linha ou coluna, obtemos n determinantes ( n–1)ª ordem. Então cada um desses determinantes ( n–1)ª ordem também pode ser decomposta em uma soma de determinantes ( n–2)ª ordem. Continuando este processo, pode-se chegar aos determinantes de 1ª ordem, ou seja, aos elementos da matriz cujo determinante é calculado. Assim, para calcular determinantes de 2ª ordem, será necessário calcular a soma de dois termos, para determinantes de 3ª ordem - a soma de 6 termos, para determinantes de 4ª ordem - 24 termos. O número de termos aumentará acentuadamente à medida que a ordem do determinante aumentar. Isto significa que calcular determinantes de ordens muito elevadas torna-se uma tarefa bastante trabalhosa, além das capacidades até mesmo de um computador. No entanto, os determinantes podem ser calculados de outra forma, utilizando as propriedades dos determinantes.
Propriedade 1 . O determinante não mudará se as linhas e colunas nele forem trocadas, ou seja, ao transpor uma matriz:
.
Esta propriedade indica a igualdade das linhas e colunas do determinante. Em outras palavras, qualquer afirmação sobre as colunas de um determinante também é verdadeira para suas linhas e vice-versa.
Propriedade 2 . O determinante muda de sinal quando duas linhas (colunas) são trocadas.
Consequência . Se o determinante tiver duas linhas (colunas) idênticas, então é igual a zero.
Propriedade 3 . O fator comum de todos os elementos em qualquer linha (coluna) pode ser retirado do sinal determinante.
Por exemplo,
Consequência . Se todos os elementos de uma determinada linha (coluna) de um determinante são iguais a zero, então o próprio determinante é igual a zero.
Propriedade 4 . O determinante não mudará se os elementos de uma linha (coluna) forem somados aos elementos de outra linha (coluna), multiplicados por qualquer número.
Por exemplo,
Propriedade 5 . O determinante do produto das matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes:
Na primeira parte, examinamos algum material teórico, o método de substituição, bem como o método de adição termo a termo de equações de sistemas. Recomendo a todos que acessaram o site por esta página que leiam a primeira parte. Talvez alguns visitantes considerem o material muito simples, mas no processo de resolução de sistemas de equações lineares, fiz vários comentários e conclusões muito importantes a respeito da solução de problemas matemáticos em geral.
Agora analisaremos a regra de Cramer, bem como resolveremos um sistema de equações lineares usando matriz inversa(método matricial). Todos os materiais são apresentados de forma simples, detalhada e clara, quase todos os leitores poderão aprender como resolver sistemas usando os métodos acima.
Primeiro, examinaremos mais de perto a regra de Cramer para um sistema de duas equações lineares em duas incógnitas. Para que? - Afinal o sistema mais simples pode ser resolvido usando o método escolar, o método de adição período a período!
O fato é que, ainda que às vezes, tal tarefa ocorre - resolver um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas usando as fórmulas de Cramer. Em segundo lugar, um exemplo mais simples irá ajudá-lo a entender como usar a regra de Cramer para obter mais caso complexo– sistemas de três equações com três incógnitas.
Além disso, existem sistemas de equações lineares com duas variáveis, que é aconselhável resolver utilizando a regra de Cramer!
Considere o sistema de equações
Na primeira etapa calculamos o determinante, ele é chamado principal determinante do sistema.
Método de Gauss.
Se , então o sistema tem única decisão, e para encontrar as raízes devemos calcular mais dois determinantes:
E
Na prática, os qualificadores acima também podem ser denotados por uma letra latina.
Encontramos as raízes da equação usando as fórmulas:
,
Exemplo 7
Resolva um sistema de equações lineares 
Solução: Vemos que os coeficientes da equação são bastante grandes, no lado direito estão decimais com uma vírgula. A vírgula é um convidado bastante raro em tarefas práticas de matemática; tirei esse sistema de um problema econométrico.
Como resolver tal sistema? Você pode tentar expressar uma variável em termos de outra, mas neste caso você provavelmente acabará com frações extravagantes terríveis que são extremamente inconvenientes de trabalhar, e o design da solução parecerá simplesmente terrível. Você pode multiplicar a segunda equação por 6 e subtrair termo por termo, mas as mesmas frações surgirão aqui também.
O que fazer? Nesses casos, as fórmulas de Cramer vêm em socorro.
;
;
Responder: ,
Ambas as raízes têm caudas infinitas e são encontradas aproximadamente, o que é bastante aceitável (e até comum) para problemas de econometria.
Comentários não são necessários aqui, pois a tarefa é resolvida por meio de fórmulas prontas, porém, há uma ressalva. Quando usar este método, obrigatório Um fragmento do design da tarefa é o seguinte fragmento: “Isso significa que o sistema tem uma solução única”. Caso contrário, o revisor poderá puni-lo por desrespeito ao teorema de Cramer.
Não seria supérfluo verificar, o que pode ser feito convenientemente em uma calculadora: substituímos valores aproximados no lado esquerdo de cada equação do sistema. Como resultado, com um pequeno erro, você deverá obter números que estão no lado direito.
Exemplo 8
Apresente a resposta em frações impróprias ordinárias. Faça uma verificação.
Este é um exemplo para você resolver sozinho (um exemplo do desenho final e a resposta no final da lição).
Vamos considerar a regra de Cramer para um sistema de três equações com três incógnitas: 
Encontramos o principal determinante do sistema: 
Se , então o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente (não tem soluções). Nesse caso, a regra de Cramer não vai ajudar, é preciso usar o método de Gauss.
Se , então o sistema tem solução única e para encontrar as raízes devemos calcular mais três determinantes: 
, 
, 
E finalmente, a resposta é calculada usando as fórmulas: 
Como você pode ver, o caso “três por três” não é fundamentalmente diferente do caso “dois por dois”, a coluna de termos livres “caminha” sequencialmente da esquerda para a direita ao longo das colunas do determinante principal.
Exemplo 9
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Solução: Vamos resolver o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
, o que significa que o sistema tem uma solução única.
Responder: 
.
Na verdade, aqui novamente não há nada de especial a comentar, pois a solução segue fórmulas prontas. Mas há alguns comentários.
Acontece que como resultado dos cálculos são obtidas frações irredutíveis “ruins”, por exemplo: .
Eu recomendo o seguinte algoritmo de “tratamento”. Se você não tiver um computador em mãos, faça o seguinte:
1) Pode haver um erro nos cálculos. Assim que você encontrar uma fração “ruim”, você precisa verificar imediatamente A condição foi reescrita corretamente?. Se a condição for reescrita sem erros, será necessário recalcular os determinantes usando a expansão em outra linha (coluna).
2) Se nenhum erro for identificado como resultado da verificação, provavelmente houve um erro de digitação nas condições da tarefa. Neste caso, trabalhe a tarefa com calma e CUIDADOSAMENTE até o fim e depois certifique-se de verificar e elaboramos em folha limpa após a decisão. Claro que verificar uma resposta fracionária é uma tarefa desagradável, mas será um argumento desarmante para o professor, que gosta muito de dar menos para qualquer besteira como . Como lidar com frações é descrito em detalhes na resposta do Exemplo 8.
Se você tiver um computador em mãos, use um programa automatizado para verificação, que pode ser baixado gratuitamente logo no início da aula. Aliás, é mais vantajoso usar o programa imediatamente (antes mesmo de iniciar a solução), você verá imediatamente a etapa intermediária onde cometeu um erro! A mesma calculadora calcula automaticamente a solução do sistema método matricial.
Segunda observação. De vez em quando existem sistemas em cujas equações faltam algumas variáveis, por exemplo: 
Aqui na primeira equação não há variável, na segunda não há variável. Nesses casos, é muito importante anotar correta e CUIDADOSAMENTE o principal determinante: 
– zeros são colocados no lugar das variáveis faltantes.
Aliás, é racional abrir determinantes com zeros de acordo com a linha (coluna) em que o zero está localizado, pois há visivelmente menos cálculos.
Exemplo 10
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Este é um exemplo de solução independente (uma amostra do desenho final e uma resposta no final da lição).
Para o caso de um sistema de 4 equações com 4 incógnitas, as fórmulas de Cramer são escritas de acordo com princípios semelhantes. Você pode ver um exemplo ao vivo na lição Propriedades dos Determinantes. Reduzindo a ordem do determinante - cinco determinantes de 4ª ordem são bastante solucionáveis. Embora a tarefa já lembre muito o sapato de um professor no peito de um aluno sortudo.
O método da matriz inversa é essencialmente caso especial equação matricial(Veja o exemplo nº 3 da lição especificada).
Para estudar esta seção, você deve ser capaz de expandir determinantes, encontrar o inverso de uma matriz e realizar a multiplicação de matrizes. Links relevantes serão fornecidos à medida que as explicações avançam.
Exemplo 11
Resolva o sistema usando o método matricial 
Solução: Vamos escrever o sistema em forma matricial:
, Onde 
Por favor, observe o sistema de equações e matrizes. Acho que todos entendem o princípio pelo qual escrevemos elementos em matrizes. O único comentário: se faltassem algumas variáveis nas equações, então os zeros teriam que ser colocados nos locais correspondentes da matriz.
Encontramos a matriz inversa usando a fórmula:
, onde está a matriz transposta adições algébricas elementos da matriz correspondentes.
Primeiro, vamos dar uma olhada no determinante:
Aqui o determinante é expandido na primeira linha.
Atenção! Se, então a matriz inversa não existe e é impossível resolver o sistema usando o método matricial. Neste caso, o sistema é resolvido pelo método de eliminação de incógnitas (método de Gauss).
Agora precisamos calcular 9 menores e escrevê-los na matriz de menores 
Referência:É útil conhecer o significado dos subscritos duplos na álgebra linear. O primeiro dígito é o número da linha em que o elemento está localizado. O segundo dígito é o número da coluna na qual o elemento está localizado: 
Ou seja, um subscrito duplo indica que o elemento está na primeira linha, terceira coluna e, por exemplo, o elemento está na 3ª linha, 2ª coluna
