Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides. O primeiro comentador dos Elementos, Proclo (século V d.C.), não conseguiu indicar onde e quando Euclides nasceu e morreu...
Alguns dados biográficos foram preservados nas páginas de um manuscrito árabe do século XII: “Euclides, filho de Naukrates, conhecido como Geometra, um cientista dos tempos antigos, grego de origem, sírio de residência, originário de Tiro”.
O rei Ptolomeu I atraiu cientistas e poetas ao Egito, criando para eles um templo de musas - Museion. Entre os cientistas convidados estava Euclides, que fundou em Alexandria - capital do Egito - escola de matemática e escreveu sua obra fundamental para seus alunos, unidos sob nome comum"Iniciado." Foi escrito por volta de 325 AC.
"Princípios" consiste em treze livros construídos de acordo com um único esquema lógico. Cada um dos treze livros começa com uma definição dos conceitos (ponto, linha, plano, figura, etc.) nele utilizados e, a seguir, com base em um pequeno número de disposições básicas (5 axiomas e 5 postulados), aceito sem provas, todo o sistema é construído em geometria.
Os livros I-IV abordavam geometria, cujo conteúdo remontava às obras da escola pitagórica. No Livro V a doutrina das proporções foi desenvolvida. Os livros VII-IX continham a doutrina dos números, representando o desenvolvimento das fontes primárias pitagóricas. Os Livros X-XII contêm definições de áreas em um plano e espaço (estereometria), a teoria da irracionalidade (especialmente no Livro X); O Livro XIII contém estudos de corpos regulares.
Os "Princípios" de Euclides são uma exposição da geometria que ainda hoje é conhecida sob o nome de geometria euclidiana. Ele descreve as propriedades métricas do espaço, que Ciência moderna chamado espaço euclidiano. Este espaço é vazio, ilimitado, isotrópico, possuindo três dimensões. Euclides deu certeza matemática à ideia atomística de espaço vazio no qual os átomos se movem. O objeto geométrico mais simples de Euclides é um ponto, que ele define como algo que não possui partes. Em outras palavras, um ponto é um átomo indivisível do espaço.
A doutrina das linhas paralelas e o famoso quinto postulado (“Se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas forma ângulos internos e de um lado menos que dois ângulos retos, então estendidas indefinidamente essas duas linhas retas se encontrarão no lado onde os ângulos estão menos de dois ângulos retos”) determinam as propriedades do espaço euclidiano e sua geometria, diferentes das geometrias não euclidianas.
Ao longo de quatro séculos, os Elementos foram publicados 2.500 vezes: em média, 6 a 7 edições foram publicadas anualmente. Até o século 20, o livro era considerado o principal livro didático de geometria não só para as escolas, mas também para as universidades.
Euclides possui obras matemáticas parcialmente preservadas e parcialmente reconstruídas. Foi ele quem introduziu o algoritmo para obter o máximo divisor comum de dois escolhidos arbitrariamente números naturais e um algoritmo chamado "contagem de Eratóstenes" - para encontrar números primos deste número.
Euclides lançou as bases da óptica geométrica, que delineou nas suas obras “Óptica” e “Catóptrica”. Em Euclides também encontramos a descrição de um monocórdio - um dispositivo de corda única para determinar a altura de uma corda e suas partes. A invenção do monocórdio teve importante para o desenvolvimento da música. Aos poucos, em vez de um barbante, dois ou três começaram a ser usados. Este foi o início da criação de instrumentos de teclado, primeiro o cravo, depois o piano.
É claro que todas as características do espaço euclidiano não foram descobertas imediatamente, mas como resultado de séculos de trabalho do pensamento científico, mas o ponto de partida deste trabalho foram os “Elementos” de Euclides. O conhecimento dos fundamentos da geometria euclidiana é hoje um elemento necessário da educação geral em todo o mundo.
Convidamos você a conhecer um grande matemático como Euclides. Biografia, resumo seu trabalho principal e alguns fatos interessantes sobre esse cientista são apresentados em nosso artigo. Euclides (anos de vida - 365-300 aC) - matemático que remonta à era helênica. Ele trabalhou em Alexandria sob Ptolomeu I Sóter. Existem duas versões principais de onde ele nasceu. Segundo o primeiro - em Atenas, segundo o segundo - em Tiro (Síria).
Não há muito disso na vida. Há uma mensagem pertencente a Pappus de Alexandria. Este homem foi um matemático que viveu na 2ª metade do século III dC. Ele observou que o cientista que nos interessava era gentil e gentil com todos aqueles que pudessem de alguma forma contribuir para o desenvolvimento de certas ciências matemáticas.
Há também uma lenda relatada por Arquimedes. Dela personagem principal- Euclides. Curta biografia para crianças costuma incluir esta lenda, pois é muito interessante e pode despertar o interesse deste matemático entre os jovens leitores. Diz que o rei Ptolomeu queria estudar geometria. No entanto, descobriu-se que isso não é fácil de fazer. Então o rei chamou o cientista Euclides e perguntou-lhe se havia alguma maneira fácil de compreender esta ciência. Mas Euclides respondeu que não havia um caminho real para a geometria. Então essa expressão, que se popularizou, chegou até nós em forma de lenda.
No início do século III aC. e. fundou o Museu de Alexandria e Euclides. Uma breve biografia e suas descobertas estão associadas a essas duas instituições, que também eram centros educacionais.
Este cientista passou pela Academia fundada por Platão (seu retrato é apresentado a seguir). Ele aprendeu a principal ideia filosófica deste pensador, que era a de que existe um mundo independente de ideias. É seguro dizer que Euclides, cuja biografia é escassa em detalhes, era um platônico em filosofia. Essa atitude fortaleceu o cientista na compreensão de que tudo o que foi criado e delineado por ele em seus “Princípios” tem existência eterna.
O pensador que nos interessa nasceu 205 anos depois de Pitágoras, 63 anos depois de Platão, 33 anos depois de Eudoxo e 19 anos depois de Aristóteles. Ele conheceu seus trabalhos filosóficos e matemáticos de forma independente ou por meio de intermediários.
Proclus Diadochus, filósofo neoplatônico (anos de vida - 412-485), autor de comentários aos "Elementos", expressou a ideia de que esta obra reflete a cosmologia de Platão e a "doutrina pitagórica ...". Em sua obra, Euclides delineou a teoria da seção áurea (livros 2, 6 e 13) e (livro 13). Sendo adepto do platonismo, o cientista entendeu que os seus “Princípios” contribuíram para a cosmologia de Platão e para as ideias desenvolvidas pelos seus antecessores sobre a harmonia numérica que caracteriza o universo.
Proclus Diadochos não foi o único que apreciou os sólidos platônicos e (anos de sua vida - 1571-1630) também se interessou por eles. Este astrônomo alemão observou que existem 2 tesouros na geometria - estes são proporção áurea(divisão de um segmento na razão média e extrema) e o teorema de Pitágoras. Ele comparou o valor do último deles com o ouro, e o primeiro com pedra preciosa. Johannes Kepler usou os sólidos platônicos para criar sua hipótese cosmológica.
O livro “Elementos” é a principal obra que Euclides criou. A biografia desse cientista, claro, é marcada por outras obras, que discutiremos ao final do artigo. Ressalta-se que trabalha com o título “Princípios”, em que todos os fatos mais importantes aritmética e geometria teóricas, foram compiladas por seus antecessores. Um deles é Hipócrates de Quios, um matemático que viveu no século V aC. e. Teúdio (2ª metade do século IV a.C.) e Leontes (século IV a.C.) também escreveram livros com este título. No entanto, com o advento dos "Princípios" euclidianos, todas essas obras foram forçadas a deixar de ser utilizadas. O livro de Euclides era básico auxílio didático em geometria há mais de 2 mil anos. O cientista, ao criar seu trabalho, utilizou muitas das conquistas de seus antecessores. Euclides processou as informações disponíveis e reuniu o material.
Em seu livro, o autor resumiu o desenvolvimento da matemática na Grécia Antiga e criou uma base sólida para futuras descobertas. Este é o significado da principal obra de Euclides para a filosofia mundial, a matemática e todas as ciências em geral. Seria errado acreditar que consiste em fortalecer o misticismo de Platão e Pitágoras no seu pseudouniverso.
Muitos cientistas apreciaram os Elementos de Euclides, incluindo Albert Einstein. Ele observou que este é um trabalho incrível que deu à mente humana a autoconfiança necessária para atividades futuras. Einstein disse que quem não admirou essa criação na juventude não nasceu para a pesquisa teórica.
Deve-se notar separadamente o significado do trabalho do cientista que nos interessa na brilhante demonstração em seus “Princípios”. Este método na matemática moderna é o mais sério daqueles usados para fundamentar teorias. Também encontra ampla aplicação em mecânica. Ótimo cientista Newton construiu os “Princípios da Filosofia Natural” no modelo da obra criada por Euclides.
O livro "Principia" expõe sistematicamente a geometria euclidiana. Seu sistema de coordenadas é baseado em conceitos como plano, linha reta, ponto, movimento. As relações nele utilizadas são as seguintes: “um ponto está localizado em uma linha situada em um plano” e “um ponto está localizado entre dois outros pontos”.
O sistema de disposições da geometria euclidiana, apresentado em uma apresentação moderna, costuma ser dividido em 5 grupos de axiomas: movimento, ordem, continuidade, combinação e paralelismo de Euclides.
Nos treze livros de “Princípios”, o cientista apresentou aritmética, estereometria, planimetria e relações segundo Eudoxo. Ressalta-se que a apresentação neste trabalho é estritamente dedutiva. Todo livro de Euclides começa com definições, e no primeiro deles são seguidas de axiomas e postulados. Em seguida vêm as sentenças, divididas em problemas (onde você precisa construir algo) e teoremas (onde você precisa provar algo).
A principal desvantagem é que a axiomática deste cientista não está completa. Faltam os axiomas do movimento, continuidade e ordem. Portanto, o cientista muitas vezes teve que confiar em seus olhos e recorrer à intuição. Os livros 14 e 15 são acréscimos posteriores à obra de autoria de Euclides. Há apenas uma breve biografia dele, por isso é impossível dizer com certeza se os primeiros 13 livros foram criados por uma pessoa ou são fruto do trabalho coletivo de uma escola liderada por um cientista.
O surgimento da geometria euclidiana está associado ao surgimento de representações visuais do mundo que nos rodeia (raios de luz, fios esticados como ilustração de linhas retas, etc.). Depois eles se aprofundaram, graças aos quais surgiu uma compreensão mais abstrata de uma ciência como a geometria. N.I. Lobachevsky (anos de vida - 1792-1856) - matemático russo que fez uma importante descoberta. Ele observou que existe uma geometria que difere da euclidiana. Isso mudou as ideias dos cientistas sobre o espaço. Descobriu-se que eles não são de forma alguma a priori. Por outras palavras, a geometria exposta nos Elementos de Euclides não pode ser considerada a única que descreve as propriedades do espaço que nos rodeia. O desenvolvimento das ciências naturais (principalmente astronomia e física) mostrou que descreve sua estrutura apenas com uma certa precisão. Além disso, não pode ser aplicado a todo o espaço como um todo. A geometria euclidiana é a primeira aproximação para compreender e descrever sua estrutura.
A propósito, o destino de Lobachevsky acabou por ser trágico. Ele não foi aceito em mundo científico por seus pensamentos corajosos. Porém, a luta deste cientista não foi em vão. O triunfo das ideias de Lobachevsky foi assegurado por Gauss, cuja correspondência foi publicada na década de 1860. Entre as cartas estavam as críticas entusiásticas do cientista sobre a geometria de Lobachevsky.
A biografia de Euclides como cientista é de grande interesse em nossa época. Ele fez descobertas importantes em matemática. Isto é confirmado pelo fato de que desde 1482 o livro “Princípios” já teve mais de quinhentas edições em diversas línguas do mundo. Porém, a biografia do matemático Euclides é marcada pela criação não apenas deste livro. Ele possui vários trabalhos sobre óptica, astronomia, lógica e música. Um deles é o livro “Dados”, que descreve as condições que permitem considerar uma ou outra imagem matemática máxima como “dados”. Outra obra de Euclides é um livro sobre óptica, que contém informações sobre perspectiva. O cientista que nos interessa também escreveu um ensaio sobre catóptrica (neste trabalho ele delineou a teoria das distorções que ocorrem nos espelhos). O livro de Euclides intitulado "Divisão de Figuras" também é conhecido. O trabalho sobre matemática “Infelizmente não sobreviveu.
Então, você conheceu um grande cientista como Euclides. Esperamos que você tenha achado útil sua breve biografia.
A informação mais confiável sobre a vida de Euclides é considerada a pouca que é dada nos Comentários de Proclo ao primeiro livro Começou Euclides. Observando que “aqueles que escreveram sobre a história da matemática” não trouxeram o desenvolvimento desta ciência para a época de Euclides, Proclo destaca que Euclides era mais velho que o círculo de Platão, mas mais jovem que Arquimedes e Eratóstenes e “viveu na época de Ptolomeu I Sóter”, “porque Arquimedes, que viveu sob Ptolomeu I, menciona Euclides e, em particular, diz que Ptolomeu lhe perguntou se havia uma maneira mais curta de estudar geometria do que Começos; e ele respondeu que não existe um caminho real para a geometria.”
Toques adicionais no retrato de Euclides podem ser obtidos em Pappus e Stobaeus. Pappus relata que Euclides era gentil e gentil com todos que pudessem contribuir, mesmo que no mínimo grau, para o desenvolvimento das ciências matemáticas, e Stobaeus relata outra anedota sobre Euclides. Tendo começado a estudar geometria e analisado o primeiro teorema, um jovem perguntou a Euclides: “Que benefício obterei com esta ciência?” Euclides chamou o escravo e disse: “Dê-lhe três óbolos, pois ele quer lucrar com os estudos”. A historicidade da história é questionável, uma vez que uma história semelhante é contada sobre Platão.
Alguns autores modernos interpretam a afirmação de Proclo - Euclides viveu na época de Ptolomeu I Sóter - como significando que Euclides viveu na corte de Ptolomeu e foi o fundador do Museu Alexandrino. Deve-se notar, no entanto, que esta ideia foi estabelecida na Europa no século XVII, enquanto os autores medievais identificavam Euclides com o aluno de Sócrates, o filósofo Euclides de Mégara.
Autores árabes acreditavam que Euclides morava em Damasco e lá publicava " Começos» Apolônia. Um manuscrito árabe anônimo do século 12 relata:
Euclides, filho de Náucrates, conhecido como "Geometra", cientista de antigamente, grego de origem, sírio de residência, originário de Tiro...
Em geral, a quantidade de dados sobre Euclides é tão escassa que existe uma versão (embora não muito difundida) que estamos falando sobre sobre o pseudônimo coletivo de um grupo de cientistas alexandrinos.
A principal obra de Euclides é chamada Começos. Livros com o mesmo título, que apresentavam de forma consistente todos os fatos básicos da geometria e da aritmética teórica, foram previamente compilados por Hipócrates de Quios, Leontes e Teúdio. No entanto Começos Euclides deixou de usar todas essas obras e permaneceu como o livro básico de geometria por mais de dois milênios. Ao criar seu livro didático, Euclides incluiu nele muito do que foi criado por seus antecessores, processando e reunindo esse material.
Começos consiste em treze livros. O primeiro e alguns outros livros são precedidos por uma lista de definições. O primeiro livro também é precedido por uma lista de postulados e axiomas. Como regra, os postulados especificam construções básicas (por exemplo, “é necessário que uma linha reta possa ser traçada através de quaisquer dois pontos”), e os axiomas definem regras gerais saída ao operar com quantidades (por exemplo, “se duas quantidades são iguais a uma terceira, elas são iguais entre si”).
No Livro I, são estudadas as propriedades de triângulos e paralelogramos; Este livro é coroado com o famoso teorema de Pitágoras para triângulos retângulos. O Livro II, que remonta aos pitagóricos, é dedicado à chamada “álgebra geométrica”. Os livros III e IV descrevem a geometria dos círculos, bem como dos polígonos inscritos e circunscritos; ao trabalhar nesses livros, Euclides poderia ter usado os escritos de Hipócrates de Quios. O Livro V apresenta teoria geral proporções, construída por Eudoxo de Cnido, e no Livro VI está anexada à teoria de figuras semelhantes. Os livros VII-IX são dedicados à teoria dos números e remontam aos pitagóricos; o autor do Livro VIII pode ter sido Arquitas de Tarento. Esses livros cobrem teoremas de proporção e progressões geométricas, é introduzido um método para encontrar o máximo divisor comum de dois números (agora conhecido como algoritmo euclidiano), até mesmo números perfeitos são construídos e o infinito do conjunto de números primos é provado. No livro X, que é a parte mais volumosa e complexa Começou, constrói-se uma classificação de irracionalidades; é possível que seu autor seja Teeteto de Atenas. O Livro XI contém os fundamentos da estereometria. No livro XII, pelo método da exaustão, são comprovados teoremas sobre as proporções das áreas dos círculos, bem como os volumes das pirâmides e cones; O autor deste livro é geralmente reconhecido como Eudoxo de Cnido. Por fim, o Livro XIII é dedicado à construção de cinco poliedros regulares; acredita-se que algumas das construções foram desenvolvidas por Teeteto de Atenas.
Nos manuscritos que chegaram até nós, mais dois livros foram acrescentados a esses treze livros. O Livro XIV pertence aos Hipscles Alexandrinos (c. 200 a.C.), e o Livro XV foi criado durante a vida de Isidoro de Mileto, construtor do templo de São Pedro. Sofia em Constantinopla (início do século VI dC).
Começos fornecer uma base geral para tratados geométricos subsequentes de Arquimedes, Apolônio e outros autores antigos; as proposições neles comprovadas são consideradas geralmente conhecidas. Comentários para Vamos começar na antiguidade eram Garça, Porfírio, Papo, Proclo, Simplício. Um comentário de Proclo sobre o Livro I foi preservado, bem como um comentário de Pappus sobre o Livro X (em tradução árabe). Dos autores antigos, a tradição do comentário passa para os árabes e depois para a Europa Medieval.
Na criação e desenvolvimento da ciência moderna Começos também desempenhou um importante papel ideológico. Eles permaneceram um modelo de tratado matemático, apresentando estrita e sistematicamente as principais disposições de uma determinada ciência matemática.
Das outras obras de Euclides, sobreviveram as seguintes:
Por breves descrições conhecido:
Euclides também é creditado com:
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A partir daquele dia, durante toda a viagem dos Rostovs, em todos os descansos e pernoites, Natasha não deixou o ferido Bolkonsky, e o médico teve que admitir que não esperava da menina tanta firmeza nem tanta habilidade no cuidado para os feridos.
Por mais terrível que parecesse à condessa a ideia de que o príncipe Andrei poderia (muito provavelmente, segundo o médico) morrer durante a viagem nos braços de sua filha, ela não resistiu a Natasha. Embora, como resultado da reaproximação agora estabelecida entre o ferido Príncipe Andrei e Natasha, tenha lhe ocorrido que em caso de recuperação a relação anterior dos noivos seria retomada, ninguém, muito menos Natasha e Príncipe Andrei, falou sobre isso: a questão pendente e não resolvida da vida ou da morte não apenas sobre Bolkonsky, mas sobre a Rússia, ofuscou todas as outras suposições.
Pierre acordou tarde no dia 3 de setembro. Sua cabeça doía, o vestido com que dormia sem se despir pesava em seu corpo e em sua alma havia uma vaga consciência de algo vergonhoso cometido no dia anterior; Esta foi uma conversa vergonhosa ontem com o Capitão Rambal.
O relógio marcava onze horas, mas parecia especialmente nublado lá fora. Pierre levantou-se, esfregou os olhos e, ao ver a pistola com coronha recortada, que Gerasim havia colocado de volta sobre a mesa, Pierre lembrou-se de onde estava e o que o esperava naquele mesmo dia.
“Cheguei tarde demais? - pensou Pierre. “Não, ele provavelmente entrará em Moscou não antes do meio-dia.” Pierre não se permitiu pensar no que o esperava, mas tinha pressa em agir o mais rápido possível.
Depois de ajeitar o vestido, Pierre pegou a pistola nas mãos e já estava prestes a sair. Mas então, pela primeira vez, ocorreu-lhe o pensamento de como, sem estar em suas mãos, ele poderia carregar aquela arma pela rua. Mesmo sob um amplo cafetã era difícil esconder uma pistola grande. Não poderia ser colocado discretamente atrás de um cinto ou sob a axila. Além disso, a pistola estava descarregada e Pierre não teve tempo de carregá-la. “É tudo igual, é uma adaga”, disse Pierre para si mesmo, embora mais de uma vez, ao discutir o cumprimento de sua intenção, tenha decidido consigo mesmo que erro principal estudante em 1809 foi que ele queria matar Napoleão com uma adaga. Mas é como se o objetivo principal O objetivo de Pierre não era cumprir a tarefa pretendida, mas mostrar a si mesmo que não renunciou à sua intenção e estava fazendo de tudo para cumpri-la. Pierre pegou apressadamente a adaga romba e irregular em uma bainha verde, que havia comprado na Torre Sukharev. junto com a pistola e escondeu-a sob o colete.
Depois de amarrar o cafetã e baixar o chapéu, Pierre, tentando não fazer barulho e não encontrar o capitão, caminhou pelo corredor e saiu para a rua.
O fogo que ele olhou com tanta indiferença na noite anterior cresceu significativamente durante a noite. Moscou já está em chamas desde lados diferentes. Karetny Ryad, Zamoskvorechye, Gostiny Dvor, Povarskaya, barcaças no rio Moscou e o mercado de madeira perto da ponte Dorogomilovsky estavam em chamas ao mesmo tempo.
O caminho de Pierre passava pelas vielas até Povarskaya e de lá para o Arbat, até São Nicolau, a Aparição, com quem há muito havia determinado em sua imaginação o local onde seu feito deveria ser realizado. A maioria das casas tinha portões e venezianas trancados. As ruas e becos estavam desertos. O ar cheirava a queimado e fumaça. Ocasionalmente encontrávamos russos com rostos ansiosamente tímidos e franceses com um ar não-urbano e campestre, andando pelo meio das ruas. Ambos olharam surpresos para Pierre. Exceto alto e espessura, além da expressão estranha, sombriamente concentrada e sofrida em seu rosto e em toda a figura, os russos olhavam atentamente para Pierre porque não entendiam a que classe esse homem poderia pertencer. Os franceses o seguiram com os olhos surpresos, principalmente porque Pierre, enojado com todos os outros russos que olhavam para os franceses com medo ou curiosidade, não prestou atenção neles. No portão de uma casa, três franceses, que explicavam algo aos russos que não os entendiam, pararam Pierre, perguntando se ele sabia francês.
Pierre balançou a cabeça negativamente e seguiu em frente. Em outro beco, um sentinela parado ao lado de uma caixa verde gritou com ele, e somente ao repetido grito ameaçador e ao som de uma arma empunhada pelo sentinela em sua mão é que Pierre percebeu que precisava dar a volta para o outro lado do rua. Ele não ouviu e não viu nada ao seu redor. Ele, como algo terrível e estranho para ele, carregava sua intenção com pressa e horror, com medo - ensinado pela experiência da noite anterior - de de alguma forma perdê-la. Mas Pierre não estava destinado a transmitir seu humor intacto ao lugar para onde se dirigia. Além disso, mesmo que nada o tenha atrasado no caminho, sua intenção não poderia ter sido cumprida simplesmente porque Napoleão havia viajado há mais de quatro horas do subúrbio de Dorogomilovsky através do Arbat até o Kremlin e agora estava sentado no mais clima sombrio no gabinete do czar, no Palácio do Kremlin, e deu ordens detalhadas e detalhadas sobre as medidas que deveriam ser tomadas imediatamente para extinguir o incêndio, evitar saques e acalmar os moradores. Mas Pierre não sabia disso; Ele, completamente absorto no que estava por vir, sofreu, como sofrem as pessoas que teimosamente empreendem uma tarefa impossível - não pelas dificuldades, mas porque a tarefa é incomum para sua natureza; ele foi atormentado pelo medo de enfraquecer no momento decisivo e, como resultado, perder o respeito próprio.
Embora não tenha visto nem ouvido nada ao seu redor, ele conhecia instintivamente o caminho e não cometeu o erro de seguir pelas ruas laterais que o levavam a Povarskaya.
À medida que Pierre se aproximava de Povarskaya, a fumaça ficava cada vez mais forte e havia até calor vindo do fogo. Ocasionalmente, línguas de fogo subiam por trás dos telhados das casas. Tinha mais gente nas ruas e essas pessoas estavam mais ansiosas. Mas Pierre, embora sentisse que algo extraordinário estava acontecendo ao seu redor, não percebeu que estava se aproximando de um incêndio. Caminhando por um caminho que passava por um grande lugar não urbanizado, adjacente de um lado a Povarskaya, do outro aos jardins da casa do Príncipe Gruzinsky, Pierre de repente ouviu o grito desesperado de uma mulher ao lado dele. Ele parou, como se acordasse do sono, e levantou a cabeça.
Ao lado do caminho, na grama seca e empoeirada, amontoavam-se pertences domésticos: colchões de penas, samovar, ícones e baús. No chão, perto dos baús, estava sentada uma mulher idosa e magra, com longos dentes superiores salientes, vestida com capa e boné pretos. Esta mulher, balançando e dizendo alguma coisa, chorou muito. Duas meninas, de dez a doze anos, vestidas com vestidos curtos e capas sujas, olhavam para a mãe com uma expressão de perplexidade nos rostos pálidos e assustados. Um menino menor, de cerca de sete anos, vestindo terno e boné enorme de outra pessoa, chorava nos braços de uma babá idosa. Uma menina suja e descalça sentou-se sobre um baú e, depois de afrouxar a trança esbranquiçada, puxou para trás os cabelos chamuscados, cheirando-os. O marido, um homem baixo e curvado, de uniforme, com costeletas em forma de roda e têmporas lisas visíveis por baixo de um boné reto, com o rosto imóvel, afastou os peitos, colocou um em cima do outro e puxou para fora algumas roupas debaixo deles.
A mulher quase se jogou aos pés de Pierre ao vê-lo.
“Queridos pais, cristãos ortodoxos, salvem, ajudem, meus queridos!... alguém ajude”, disse ela entre soluços. - Uma menina!.. Uma filha!.. Deixaram minha filha mais nova!.. Ela queimou! Oh oh oh! É por isso que eu estimo você... Oh oh oh!
“Já chega, Marya Nikolaevna”, o marido dirigiu-se à esposa em voz baixa, obviamente apenas para se justificar diante de um estranho. - Minha irmã deve ter levado embora, senão onde mais eu estaria? - ele adicionou.
- Ídolo! O vilão! – a mulher gritou com raiva, parando de chorar de repente. “Você não tem coração, você não sente pena de sua ideia.” Outro o teria tirado do fogo. E este é um ídolo, não um homem, não um pai. “Você é um homem nobre”, a mulher rapidamente se virou para Pierre, soluçando. “Pegou fogo ali perto”, ele nos disse. A menina gritou: está queimando! Eles correram para coletar. Eles pularam com o que vestiam... Foi isso que capturaram... A bênção de Deus e uma cama de dote, caso contrário tudo estava perdido. Pegue as crianças, Katechka se foi. Oh meu Deus! Uau! – e novamente ela começou a soluçar. - Meu querido filho, queimou! queimado!
- Onde, onde ela ficou? - disse Pierre. Pela expressão em seu rosto animado, sua mulher percebeu que este homem poderia ajudá-la.
- Pai! Pai! – ela gritou, agarrando as pernas dele. “Benfeitor, pelo menos acalme meu coração... Aniska, vá, sua vil, veja-a partir”, gritou ela para a garota, abrindo a boca com raiva e com esse movimento mostrando ainda mais seus longos dentes.
“Mostre-me, mostre-me, eu vou... eu vou... eu farei isso”, disse Pierre apressadamente com uma voz sem fôlego.
A garota safada saiu de trás do baú, arrumou a trança e, suspirando, avançou pelo caminho com os pés descalços e rombos. Pierre pareceu reviver de repente após um forte desmaio. Ele ergueu a cabeça mais alto, seus olhos brilharam com um brilho de vida, e ele rapidamente seguiu a garota, ultrapassou-a e saiu para Povarskaya. A rua inteira estava coberta por uma nuvem de fumaça preta. Línguas de chamas explodiram aqui e ali desta nuvem. Uma grande multidão se aglomerou em frente ao fogo. Um general francês parou no meio da rua e disse algo às pessoas ao seu redor. Pierre, acompanhado pela moça, aproximou-se do local onde estava o general; mas os soldados franceses o detiveram.
“On ne passe pas, [eles não passam por aqui”,] uma voz gritou para ele.
- Aqui, tio! - disse a garota. - Passaremos pelos Nikulins ao longo do beco.
Pierre se virou e caminhou, ocasionalmente pulando para acompanhá-la. A menina atravessou a rua correndo, virou à esquerda em um beco e, depois de passar por três casas, virou à direita no portão.
“Bem aqui agora”, disse a garota, e, correndo pelo quintal, abriu o portão da cerca de tábuas e, parando, apontou para Pierre um pequeno anexo de madeira que ardia forte e intensamente. Um lado desabou, o outro estava queimando e as chamas brilhavam intensamente por baixo das aberturas das janelas e por baixo do telhado.
Quando Pierre entrou no portão, foi dominado pelo calor e parou involuntariamente.
– Qual, qual é a sua casa? - ele perguntou.
- Oh oh oh! - uivou a garota, apontando para o anexo. “Ele é o único, ela é a nossa Vatera.” Você queimou, meu tesouro, Katechka, minha amada jovem, oh, oh! - Aniska uivou ao ver o fogo, sentindo necessidade de expressar seus sentimentos.
Pierre inclinou-se para o anexo, mas o calor era tão forte que ele involuntariamente descreveu um arco ao redor do anexo e se viu ao lado de uma grande casa, que ainda queimava apenas de um lado do telhado e em torno da qual uma multidão de franceses fervilhava . Pierre a princípio não entendeu o que esses franceses estavam fazendo, carregando alguma coisa; mas, vendo à sua frente um francês que espancava um camponês com um cutelo rombudo, tirando-lhe o casaco de pele de raposa, Pierre compreendeu vagamente que aqui estavam roubando, mas não teve tempo para pensar nesse pensamento.
O som do crepitar e do rugido das paredes e tetos desmoronando, o assobio e assobio das chamas e os gritos animados das pessoas, a visão de nuvens vacilantes, ora carrancudas, negras e espessas, ora elevando-se, nuvens de fumaça brilhantes com brilhos e às vezes sólidas, feixes Uma chama dourada em forma de forma vermelha, às vezes escamosa, movendo-se ao longo das paredes, a sensação de calor e fumaça e a velocidade do movimento produziam em Pierre seu habitual efeito estimulante dos fogos. Este efeito foi especialmente forte em Pierre, porque Pierre de repente, ao ver o fogo, sentiu-se livre dos pensamentos que o oprimiam. Ele se sentia jovem, alegre, ágil e determinado. Ele correu ao redor do anexo pela lateral da casa e estava prestes a correr para a parte que ainda estava de pé, quando um grito de várias vozes foi ouvido acima de sua cabeça, seguido pelo estalo e tilintar de algo pesado que caiu próximo para ele.
Pierre olhou em volta e viu nas janelas da casa os franceses, que haviam jogado fora uma cômoda cheia de algum tipo de coisa de metal. Outros soldados franceses abaixo se aproximaram da caixa.
“Eh bien, qu"est ce qu"il veut celui la, [Este ainda precisa de alguma coisa", gritou um dos franceses para Pierre.
- Uma criança nesta casa. N"avez vous pas vu un enfant? [Uma criança nesta casa. Você viu a criança?] - disse Pierre.
– Tiens, qu"est ce qu"il chante celui la? Va te promener, [O que mais é essa interpretação? “Vá para o inferno”, ouviram-se vozes, e um dos soldados, aparentemente com medo de que Pierre colocasse na cabeça a ideia de tirar a prata e o bronze que estavam na caixa, avançou ameaçadoramente em sua direção.
- Uma criança? - gritou o francês de cima. - J"ai entendu piailler quelque escolheu au jardin. Peut etre c"est sou moutard au bonhomme. Faut etre humain, voyez vous... [Criança? Ouvi algo rangendo no jardim. Talvez seja o filho dele. Bem, é necessário de acordo com a humanidade. Todos nós pessoas…]
– Ou é isso? Ou você é? [Onde ele está? Onde ele está?] perguntou Pierre.
- Pará aqui! Pará aqui! [Aqui, aqui!] - gritou-lhe o francês da janela, apontando para o jardim que ficava atrás da casa. – Atendez, eu vou descer. [Espere, vou sair agora.]
E, de fato, um minuto depois, um francês, um sujeito de olhos pretos e uma espécie de mancha na bochecha, vestindo apenas uma camisa, pulou da janela do andar de baixo e, dando um tapinha no ombro de Pierre, correu com ele para o jardim.
“Depechez vous, vous autres”, gritou ele para seus camaradas, “comecem a faire chaud”. [Ei, você está mais animado, está começando a esquentar.]
Correndo por trás da casa por um caminho coberto de areia, o francês puxou a mão de Pierre e apontou-o na direção do círculo. Debaixo do banco estava menina de três anos em um vestido rosa.
– Voila votre moutard. “Ah, une petite, tant mieux”, disse o francês. - Au revoir, mon gros. Faut être humaine. Nous sommes tous mortels, voyez vous, [Aqui está seu filho. Ah, garota, tanto melhor. Adeus, gordo. Bem, é necessário de acordo com a humanidade. Todas as pessoas] - e o francês com uma mancha na bochecha correu de volta para seus camaradas.
Pierre, ofegante de alegria, correu até a garota e quis tomá-la nos braços. Mas, ao ver um estranho, a menina escrofulosa, de aparência desagradável, escrofulosa e com cara de mãe gritou e fugiu. Pierre, porém, agarrou-a e ergueu-a nos braços; ela gritou com uma voz desesperadamente zangada e com suas pequenas mãos começou a arrancar as mãos de Pierre dela e mordê-las com sua boca arrogante. Pierre foi dominado por um sentimento de horror e repulsa, semelhante a isso a sensação que ele sentiu ao tocar algum pequeno animal. Mas ele fez um esforço para não abandonar a criança e correu com ele de volta para casarão. Mas já não era possível voltar pelo mesmo caminho; a menina Aniska não estava mais lá, e Pierre, com um sentimento de pena e nojo, abraçando a garota chorosa e molhada com o máximo de ternura possível, correu pelo jardim em busca de outra saída.
Quando Pierre, depois de correr pelos pátios e vielas, voltou com seu fardo ao jardim de Gruzinsky, na esquina da Povarskaya, a princípio não reconheceu o lugar de onde havia ido buscar a criança: estava tão cheio de gente e pertences retirados das casas. Além das famílias russas com seus bens, fugindo do incêndio, havia também vários soldados franceses em trajes diversos. Pierre não prestou atenção neles. Ele tinha pressa em encontrar a família do oficial para entregar a filha à mãe e voltar a salvar outra pessoa. Pareceu a Pierre que ele tinha muito mais o que fazer e rapidamente. Inflamado pelo calor e correndo, Pierre naquele momento sentiu ainda mais forte do que antes aquele sentimento de juventude, renascimento e determinação que o dominava enquanto corria para salvar a criança. A garota agora ficou quieta e, segurando o cafetã de Pierre com as mãos, sentou-se em sua mão e, como um animal selvagem, olhou ao redor. Pierre ocasionalmente olhava para ela e sorria levemente. Pareceu-lhe ver algo comoventemente inocente e angelical naquele rosto assustado e dolorido.
Nem o funcionário nem sua esposa estavam em seus antigos lugares. Pierre caminhou rapidamente entre as pessoas, olhando para os diferentes rostos que cruzavam seu caminho. Involuntariamente notou uma família georgiana ou armênia, composta por um homem bonito, muito velho, de rosto oriental, vestido com um novo casaco de pele de carneiro e botas novas, uma velha do mesmo tipo e uma jovem. Essa jovem parecia a Pierre a perfeição da beleza oriental, com suas sobrancelhas negras e arqueadas e um rosto longo, extraordinariamente corado e bonito, sem qualquer expressão. Entre os pertences espalhados, no meio da multidão na praça, ela, com seu rico manto de cetim e um lenço roxo brilhante cobrindo a cabeça, parecia uma delicada planta de estufa jogada na neve. Ela sentou-se em uma trouxa um pouco atrás da velha e olhou imóvel para o chão com seus grandes olhos pretos alongados e cílios longos. Aparentemente, ela conhecia sua beleza e tinha medo por isso. Esse rosto impressionou Pierre e, em sua pressa, caminhando ao longo da cerca, ele olhou para ela várias vezes. Tendo chegado à cerca e ainda não encontrando os que precisava, Pierre parou, olhando em volta.
A figura de Pierre com uma criança nos braços era agora ainda mais notável do que antes, e vários homens e mulheres russos reuniram-se à sua volta.
– Ou perdeu alguém, querido? Você é um dos nobres ou o quê? De quem é o filho? - perguntaram a ele.
Pierre respondeu que a criança pertencia a uma mulher de capa preta, que estava sentada com as crianças neste lugar, e perguntou se alguém a conhecia e para onde ela havia ido.
“Devem ser os Anferov”, disse o velho diácono, voltando-se para a mulher com marcas de varíola. “Senhor, tenha piedade, Senhor, tenha piedade”, acrescentou ele em sua habitual voz de baixo.
Nome: Euclides (Euclides)
Anos de vida: aproximadamente 325 AC e. – 265 AC e.
Estado: Grécia antiga
Campo de atividade: Ciências, Matemática, Geometria
Todo mundo sabe que a ciência não foi inventada ontem - mesmo nos tempos antigos, mentes notáveis descobriram vários teoremas, teorias, criaram novos elementos. A matemática e a astronomia eram especialmente reverenciadas. Os egípcios também se destacaram nessas ciências.
Hoje em dia é impossível imaginar a matemática sem teorema, sem a famosa descoberta de Arquimedes na banheira. Houve outro grego que deu uma contribuição significativa à ciência em geral. Seu nome é Euclides.
Euclides (325 aC – 265 aC) foi um matemático grego. Ele é considerado o “pai da geometria”. Seu livro, Os Elementos, permaneceu um livro de matemática muito procurado e preciso até o final do século XIX e é um dos livros mais publicados no mundo. Mas o que pode ser dito sobre o próprio autor? Infelizmente, não muito. As informações sobre sua vida são extremamente escassas e muitas vezes implausíveis.
Euclides nasceu em meados do século IV a.C. e viveu em Alexandria, no território de; O auge de sua atividade criativa ocorreu durante seu reinado (323-283 aC), e seu nome Euclides significa “famoso, glorioso”. Em algumas fontes ele também é mencionado como Euclides de Alexandria.
É provável que Euclides tenha trabalhado com uma equipe de matemáticos em Alexandria e tenha se formado com a ajuda de seu trabalho matemático. Alguns historiadores acreditam que a obra de Euclides pode ter sido obra de vários autores, mas a maioria concorda que uma pessoa - Euclides - foi o autor principal.
É provável que Euclides tenha estudado na Academia de Atenas e a maior parte do seu conhecimento tenha vindo de lá. Foi lá que conheceu a matemática, nomeadamente uma parte dela - a geometria.
Os contemporâneos o descreveram como uma pessoa gentil e agradável de conversar. Por exemplo, o historiador Pappus escreve que Euclides foi
“.. o mais justo e benevolente para com todos que foram capazes de fazer avançar a matemática de alguma forma. Ele respondeu com cuidado para não ofender de forma alguma. E embora fosse um grande cientista, nunca se vangloriou.”
Não se sabe sobre a vida pessoal do matemático - ele dedicou quase todo o seu tempo à ciência.
Seu livro principal, Os Elementos (originalmente escrito em grego antigo), tornou-se a obra fundamental de importantes ensinamentos matemáticos. Está dividido em 13 livros separados.
A genialidade de Euclides foi pegar muitos elementos diferentes de ideias matemáticas e combiná-los em um formato lógico e coerente.
Lema Euclidiano, que afirma que uma propriedade fundamental dos números primos é que se um número primo divide o produto de dois números, ele deve dividir pelo menos um desses números.
Usando o Lema de Euclides, este teorema afirma que todo número inteiro maior que um é ele próprio um número primo ou um produto de números primos, e que existe uma certa ordem de números primos.
“Se dois números se multiplicarem um pelo outro para formar um certo número, e qualquer número que seja divisível pelo seu produto também será divisível por cada um dos números originais.”
Algoritmo euclidiano - método eficaz calcular o máximo divisor comum (MDC) de dois números, o maior número que os divide sem deixar resto.
Euclides descreveu um sistema de geometria preocupado com a forma, posição relativa e propriedades do espaço. Seu trabalho é conhecido como geometria euclidiana. Supõe-se que o espaço tenha uma dimensão igual a três.
Às vezes, sua obra “Elementos” é comparada à Bíblia - no sentido de que sua obra foi traduzida para vários idiomas e literalmente se tornou um livro de referência para muitos cientistas e matemáticos dos séculos subsequentes.
Além da geometria, Euclides explorou outros ramos da matemática. No entanto, vale a pena reconhecer que a contribuição de Euclides para a ciência é enorme – sem ele, a matemática provavelmente não teria sido capaz de se abrir tanto aos cientistas. Seu nome está intimamente ligado à geometria, ao estudo do espaço.
| Euclides | |
|---|---|
| Εὐκλείδης | |
| Estátua em homenagem a Euclides no Museu de História Natural da Universidade de Oxford. |
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| Data de nascimento | por volta de 325 a.C. e. |
| Local de nascimento |
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| Data da morte | antes de 265 aC e. |
| Um lugar de morte | Alexandria, helenístico Egito |
| Campo científico | matemática |
| Conhecido como | "Pai da Geometria" |
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Euclides ou Euclides(grego antigo Εὐκλείδης , da “boa fama”, época de florescimento - cerca de 300 AC. AC) - matemático grego antigo, autor do primeiro tratado teórico de matemática que chegou até nós. Informação biográfica as informações sobre Euclides são extremamente escassas. A única coisa que pode ser considerada confiável é que ele atividade científica fluiu em Alexandria no século III. AC e.
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A informação mais confiável sobre a vida de Euclides é considerada a pouca que é dada nos Comentários de Proclo ao primeiro livro Começou Euclides. Observando que “aqueles que escreveram sobre a história da matemática” não trouxeram o desenvolvimento desta ciência para a época de Euclides, Proclo destaca que Euclides era mais velho que o círculo de Platão, mas mais jovem que Arquimedes e Eratóstenes e “viveu na época de Ptolomeu I Sóter”, “porque Arquimedes, que viveu sob Ptolomeu I, menciona Euclides e, em particular, diz que Ptolomeu lhe perguntou se havia uma maneira mais curta de estudar geometria do que Começos; e ele respondeu que não existe um caminho real para a geometria.”
Toques adicionais no retrato de Euclides podem ser obtidos em Pappus e Stobaeus. Pappus relata que Euclides era gentil e gentil com todos que pudessem contribuir, mesmo que no mínimo grau, para o desenvolvimento das ciências matemáticas, e Stobaeus relata outra anedota sobre Euclides. Tendo começado a estudar geometria e analisado o primeiro teorema, um jovem perguntou a Euclides: “Que benefício obterei com esta ciência?” Euclides chamou o escravo e disse: “Dê-lhe três óbolos, pois ele quer lucrar com os estudos”. A historicidade da história é questionável, uma vez que uma história semelhante é contada sobre Platão.
Alguns autores modernos interpretam a afirmação de Proclo - Euclides viveu na época de Ptolomeu I Soter - no sentido de que Euclides viveu na corte de Ptolomeu e foi o fundador do Museu Alexandrino. Deve-se notar, no entanto, que esta ideia foi estabelecida na Europa no século XVII, enquanto os autores medievais identificavam Euclides com o aluno de Sócrates, o filósofo Euclides de Mégara.
Autores árabes acreditavam que Euclides morava em Damasco e lá publicava " Começos» Apolônia. Um manuscrito árabe anônimo do século 12 relata:
Euclides, filho de Náucrates, conhecido como "Geometra", cientista de antigamente, grego de origem, sírio de residência, originário de Tiro...
Em geral, a quantidade de dados sobre Euclides é tão escassa que existe uma versão (embora não muito difundida) de que se trata do pseudônimo coletivo de um grupo de cientistas alexandrinos.
A principal obra de Euclides é chamada Começos. Livros com o mesmo título, que expõem de forma consistente todos os fatos básicos da geometria e da aritmética teórica, foram previamente compilados por Hipócrates de Quios, Leontes e Feudius. No entanto Começos Euclides deixou de usar todas essas obras e permaneceu como o livro básico de geometria por mais de dois milênios. Ao criar seu livro didático, Euclides incluiu nele muito do que foi criado por seus antecessores, processando e reunindo esse material.
Começos consiste em treze livros. O primeiro e alguns outros livros são precedidos por uma lista de definições. O primeiro livro também é precedido por uma lista de postulados e axiomas. Via de regra, os postulados definem construções básicas (por exemplo, “é necessário que uma linha reta possa ser traçada através de quaisquer dois pontos”), e os axiomas - regras gerais de inferência ao operar com quantidades (por exemplo, “se duas quantidades são igual a um terço, eles são iguais entre vocês").
No Livro I, são estudadas as propriedades de triângulos e paralelogramos; Este livro é coroado com o famoso teorema de Pitágoras para triângulos retângulos. O Livro II, que remonta aos pitagóricos, é dedicado à chamada “álgebra geométrica”. Os livros III e IV descrevem a geometria dos círculos, bem como dos polígonos inscritos e circunscritos; ao trabalhar nesses livros, Euclides poderia ter usado os escritos de Hipócrates de Quios. No Livro V é introduzida a teoria geral das proporções, construída por Eudoxo de Cnido, e no Livro VI é aplicada à teoria das figuras semelhantes. Os livros VII-IX são dedicados à teoria dos números e remontam aos pitagóricos; o autor do Livro VIII pode ter sido Arquitas de Tarento. Esses livros discutem teoremas sobre proporções e progressões geométricas, introduzem um método para encontrar o máximo divisor comum de dois números (agora conhecido como algoritmo de Euclides), constroem números pares perfeitos e provam o infinito do conjunto de números primos. No livro X, que é a parte mais volumosa e complexa Começou, constrói-se uma classificação de irracionalidades; é possível que seu autor seja Teeteto de Atenas. O Livro XI contém os fundamentos da estereometria. No livro XII, pelo método da exaustão, são comprovados teoremas sobre as proporções das áreas dos círculos, bem como os volumes das pirâmides e cones; O autor deste livro é geralmente reconhecido como Eudoxo de Cnido. Por fim, o Livro XIII é dedicado à construção de cinco poliedros regulares; acredita-se que algumas das construções foram desenvolvidas por Teeteto de Atenas.
Nos manuscritos que chegaram até nós, mais dois livros foram acrescentados a esses treze livros. O Livro XIV pertence aos Hipscles Alexandrinos (c. 200 a.C.), e o Livro XV foi criado durante a vida de Isidoro de Mileto, construtor do templo de São Pedro. Sofia em Constantinopla (início do século VI dC).
Começos fornecer uma base geral para tratados geométricos subsequentes de Arquimedes, Apolônio e outros autores antigos; as proposições neles comprovadas são consideradas geralmente conhecidas. Comentários para Vamos começar na antiguidade eram Garça, Porfírio, Papo, Proclo, Simplício. Um comentário de Proclo sobre o Livro I foi preservado, bem como um comentário de Pappus sobre o Livro X (em tradução árabe). Dos autores antigos, a tradição do comentário passa para os árabes e depois para a Europa Medieval.
Na criação e desenvolvimento da ciência moderna Começos também desempenhou um importante papel ideológico. Eles permaneceram um modelo de tratado matemático, apresentando estrita e sistematicamente as principais disposições de uma determinada ciência matemática.
Das outras obras de Euclides, sobreviveram as seguintes:
A partir de breves descrições sabemos:
Euclides também é creditado com:
Já desde a época dos pitagóricos e de Platão, a aritmética, a música, a geometria e a astronomia (as chamadas ciências “matemáticas”; mais tarde chamadas de quadrivius por Boécio) eram consideradas um modelo de pensamento sistemático e uma etapa preliminar para o estudo da filosofia. . Não é por acaso que surgiu uma lenda segundo a qual a inscrição “Que ninguém que não conheça geometria entre aqui” foi colocada acima da entrada da Academia de Platão.
Os desenhos geométricos, nos quais ao traçar linhas auxiliares a verdade implícita se torna evidente, servem de ilustração para a doutrina da reminiscência desenvolvida por Platão em Menone e outros diálogos. As proposições da geometria são chamadas de teoremas porque para compreender a sua verdade é necessário perceber o desenho não com a simples visão sensorial, mas com os “olhos da mente”. Cada desenho de um teorema representa uma ideia: vemos esta figura à nossa frente e raciocinamos e tiramos conclusões para todas as figuras do mesmo tipo ao mesmo tempo.
Algum “platonismo” de Euclides também está associado ao fato de que em Timeu Platão considera a doutrina dos quatro elementos, que correspondem a quatro poliedros regulares (tetraedro - fogo, octaedro - ar, icosaedro - água, cubo - terra), enquanto o quinto poliedro, o dodecaedro, “chegou ao destino da figura de o universo." Devido a isso Começos pode ser considerado como um ensinamento sobre a construção de cinco poliedros regulares - os chamados “sólidos platônicos”, desenvolvido com todas as premissas e conexões necessárias, terminando com uma prova de que não existem outros sólidos regulares além destes cinco.
Para a doutrina aristotélica da evidência, desenvolvida em Segunda análise, Começos também fornecem material rico. Geometria em Começosé construído como um sistema de conhecimento inferencial no qual todas as proposições são deduzidas sequencialmente, uma após a outra, ao longo de uma cadeia baseada em um pequeno conjunto de afirmações iniciais aceitas sem prova. Segundo Aristóteles, tais afirmações iniciais devem existir, uma vez que a cadeia de inferência deve começar em algum lugar para não ser infinita. Além disso, Euclides tenta provar afirmações de natureza geral, o que também corresponde ao exemplo favorito de Aristóteles: “se é inerente a todo triângulo isósceles ter ângulos que somam dois ângulos retos, então isso é inerente a ele não porque seja isósceles, mas porque é um triângulo” (An. Post.85b12).
Euclides é creditado com dois tratados importantes sobre teoria musical antiga: a Introdução Harmônica (Harmônicos) e a Divisão do Cânone (
