Uma coisa da qual você pode ter cem por cento de certeza é que, quando perguntado por que igual ao quadrado hipotenusa, qualquer adulto responderá com ousadia: “A soma dos quadrados das pernas”. Este teorema está firmemente enraizado na mente de toda pessoa instruída, mas basta pedir a alguém que o prove e podem surgir dificuldades. Então vamos lembrar e considerar jeitos diferentes prova do teorema de Pitágoras.
O teorema de Pitágoras é familiar a quase todos, mas por alguma razão a biografia da pessoa que o trouxe ao mundo não é tão popular. Isso pode ser corrigido. Portanto, antes de explorar as diferentes maneiras de provar o teorema de Pitágoras, é necessário conhecer brevemente sua personalidade.
Pitágoras - filósofo, matemático, pensador originário de Hoje é muito difícil distinguir sua biografia das lendas que se desenvolveram em memória deste grande homem. Mas, como decorre das obras de seus seguidores, Pitágoras de Samos nasceu na ilha de Samos. Seu pai era um cortador de pedras comum, mas sua mãe vinha de uma família nobre.
A julgar pela lenda, o nascimento de Pitágoras foi previsto por uma mulher chamada Pítia, que deu nome ao menino. Segundo sua previsão, o menino nascido deveria trazer muitos benefícios e benefícios para a humanidade. E foi exatamente isso que ele fez.
Em sua juventude, Pitágoras mudou-se para o Egito para conhecer lá sábios egípcios famosos. Depois de conhecê-los, ele foi autorizado a estudar, onde aprendeu todas as grandes conquistas da filosofia, matemática e medicina egípcia.
Foi provavelmente no Egito que Pitágoras se inspirou na majestade e beleza das pirâmides e criou a sua grande teoria. Isto pode chocar os leitores, mas os historiadores modernos acreditam que Pitágoras não provou a sua teoria. Mas ele apenas transmitiu seu conhecimento aos seus seguidores, que posteriormente realizaram todos os cálculos matemáticos necessários.
Seja como for, hoje não se conhece um método para provar esse teorema, mas vários ao mesmo tempo. Hoje só podemos adivinhar como exatamente os antigos gregos realizavam seus cálculos, então aqui veremos diferentes maneiras de provar o teorema de Pitágoras.
Antes de iniciar qualquer cálculo, você precisa descobrir qual teoria deseja provar. O teorema de Pitágoras é assim: “Em um triângulo em que um dos ângulos é 90°, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
Há um total de 15 maneiras diferentes de provar o teorema de Pitágoras. Isto é suficiente grande número, então vamos prestar atenção aos mais populares deles.
Primeiro, vamos definir o que nos foi dado. Esses dados também se aplicarão a outros métodos de prova do teorema de Pitágoras, por isso vale a pena lembrar imediatamente todas as notações disponíveis.
Suponha que tenhamos um triângulo retângulo com catetos a, b e uma hipotenusa igual a c. O primeiro método de prova baseia-se no fato de que é necessário desenhar um quadrado a partir de um triângulo retângulo.
Para fazer isso, você precisa adicionar um segmento igual à perna b à perna de comprimento a e vice-versa. Isso deve resultar em dois lados iguais do quadrado. Resta traçar duas linhas paralelas e o quadrado está pronto.
Dentro da figura resultante, é necessário desenhar outro quadrado com lado igual à hipotenusa do triângulo original. Para fazer isso, a partir dos vértices ас e св você precisa desenhar dois segmentos paralelos iguais a с. Assim, obtemos três lados do quadrado, um dos quais é a hipotenusa do triângulo retângulo original. Resta desenhar o quarto segmento.
Com base na figura resultante, podemos concluir que a área do quadrado externo é (a + b) 2. Se você olhar dentro da figura, verá que além do quadrado interno, existem quatro triângulos retângulos. A área de cada um é 0,5av.
Portanto, a área é igual a: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Portanto (a+c) 2 =2ab+c 2
E, portanto, c 2 =a 2 +b 2
O teorema foi provado.
Esta fórmula para provar o teorema de Pitágoras foi derivada com base em uma afirmação da seção de geometria sobre triângulos semelhantes. Afirma que o cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional à sua hipotenusa e ao segmento da hipotenusa que emana do vértice do ângulo de 90°.
Os dados iniciais permanecem os mesmos, então vamos começar imediatamente com a prova. Vamos desenhar um segmento CD perpendicular ao lado AB. Com base na afirmação acima, os lados dos triângulos são iguais:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Para responder à questão de como provar o teorema de Pitágoras, a prova deve ser completada pela quadratura de ambas as desigualdades.
AC 2 = AB * AD e CB 2 = AB * DV
Agora precisamos somar as desigualdades resultantes.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), onde AD + DV = AB
Acontece que:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
E portanto:
AC 2 + CB 2 = AB 2
A prova do teorema de Pitágoras e vários métodos para resolvê-lo requerem uma abordagem versátil para este problema. No entanto, esta opção é uma das mais simples.
As descrições dos diferentes métodos de prova do teorema de Pitágoras podem não significar nada até que você comece a praticar por conta própria. Muitas técnicas envolvem não apenas cálculos matemáticos, mas também a construção de novas figuras a partir do triângulo original.
EM nesse casoÉ necessário completar outro triângulo retângulo VSD do lado BC. Assim, agora existem dois triângulos com uma perna comum BC.
Sabendo que as áreas de figuras semelhantes têm a mesma razão que os quadrados das suas semelhantes dimensões lineares, Que:
S avs * c 2 - S avd * em 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(de 2 - a 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
de 2 - a 2 =a 2
c 2 =uma 2 +b 2
Como entre os vários métodos de prova do teorema de Pitágoras para a 8ª série, esta opção dificilmente é adequada, você pode usar o seguinte método.
Segundo os historiadores, este método foi usado pela primeira vez para provar o teorema em Grécia antiga. É o mais simples, pois não requer absolutamente nenhum cálculo. Se você desenhar a imagem corretamente, a prova da afirmação de que a 2 + b 2 = c 2 ficará claramente visível.
Condições para este método será um pouco diferente do anterior. Para provar o teorema, suponha que o triângulo retângulo ABC seja isósceles.
Tomamos a hipotenusa AC como lado do quadrado e desenhamos seus três lados. Além disso, é necessário traçar duas linhas diagonais no quadrado resultante. Para que dentro dele você obtenha quatro triângulos isósceles.
Você também precisa desenhar um quadrado nas pernas AB e CB e desenhar uma linha reta diagonal em cada uma delas. Desenhamos a primeira linha do vértice A, a segunda do vértice C.
Agora você precisa observar atentamente o desenho resultante. Como na hipotenusa AC existem quatro triângulos iguais ao original e nos lados dois, isso indica a veracidade deste teorema.
Aliás, graças a esse método de prova do teorema de Pitágoras, nasceu a famosa frase: “As calças pitagóricas são iguais em todas as direções”.
James Garfield é o vigésimo presidente dos Estados Unidos da América. Além de deixar sua marca na história como governante dos Estados Unidos, ele também foi um autodidata talentoso.
No início da carreira, foi professor comum de escola pública, mas logo se tornou diretor de uma das instituições de ensino superior. O desejo de autodesenvolvimento permitiu-lhe propor uma nova teoria para provar o teorema de Pitágoras. O teorema e um exemplo de sua solução são os seguintes.
Primeiro você precisa desenhar dois triângulos retângulos em um pedaço de papel para que a perna de um deles seja uma continuação do segundo. Os vértices desses triângulos precisam ser conectados para formar um trapézio.
Como você sabe, a área de um trapézio é igual ao produto da metade da soma de suas bases pela sua altura.
S=uma+b/2 * (uma+b)
Se considerarmos o trapézio resultante como uma figura composta por três triângulos, então sua área pode ser encontrada da seguinte forma:
S=av/2 *2 + s 2/2
Agora precisamos equalizar as duas expressões originais
2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2
c 2 =uma 2 +b 2
Mais de um volume poderia ser escrito sobre o teorema de Pitágoras e métodos para prová-lo. auxílio didático. Mas há algum ponto nisso quando esse conhecimento não pode ser aplicado na prática?
Infelizmente, na modernidade programas escolares Este teorema deve ser usado apenas em problemas geométricos. Os graduados em breve deixarão a escola sem saber como podem aplicar seus conhecimentos e habilidades na prática.
Na verdade, use o teorema de Pitágoras em seu Vida cotidiana todo mundo pode. E não só em atividade profissional, mas também nas tarefas domésticas comuns. Consideremos vários casos em que o teorema de Pitágoras e os métodos para prová-lo podem ser extremamente necessários.
Parece que estrelas e triângulos no papel podem ser conectados. Na verdade, a astronomia é campo científico, que faz uso extensivo do teorema de Pitágoras.
Por exemplo, considere o movimento de um feixe de luz no espaço. Sabe-se que a luz se move em ambas as direções na mesma velocidade. Vamos chamar a trajetória de AB ao longo da qual o raio de luz se move eu. E vamos chamar metade do tempo que a luz leva para ir do ponto A ao ponto B t. E a velocidade do feixe - c. Acontece que: c*t=l
Se você olhar para esse mesmo raio de outro plano, por exemplo, de um transatlântico espacial que se move com velocidade v, então, ao observar corpos dessa forma, sua velocidade mudará. Neste caso, mesmo os elementos estacionários começarão a se mover com velocidade v na direção oposta.
Digamos que o transatlântico esteja navegando para a direita. Então os pontos A e B, entre os quais o feixe passa, começarão a se mover para a esquerda. Além disso, quando o feixe se move do ponto A para o ponto B, o ponto A tem tempo de se mover e, conseqüentemente, a luz já chegará a um novo ponto C. Para encontrar metade da distância pela qual o ponto A se moveu, você precisa multiplicar a velocidade do revestimento pela metade do tempo de deslocamento da viga (t ").
E para descobrir a distância que um raio de luz pode viajar durante esse período, você precisa marcar metade do caminho com uma nova letra s e obter a seguinte expressão:
Se imaginarmos que os pontos de luz C e B, assim como o revestimento do espaço, são os vértices de um triângulo isósceles, então o segmento do ponto A ao revestimento o dividirá em dois triângulos retângulos. Portanto, graças ao teorema de Pitágoras, você pode encontrar a distância que um raio de luz poderia percorrer.
Este exemplo, é claro, não é o mais bem-sucedido, pois poucos podem ter a sorte de experimentá-lo na prática. Portanto, vamos considerar aplicações mais mundanas deste teorema.
A vida moderna não pode mais ser imaginada sem a existência dos smartphones. Mas qual seria a utilidade deles se não conseguissem conectar assinantes por meio de comunicações móveis?!
A qualidade das comunicações móveis depende diretamente da altura em que a antena da operadora móvel está localizada. Para calcular a que distância de uma torre móvel um telefone pode receber um sinal, você pode aplicar o teorema de Pitágoras.
Digamos que você precise encontrar a altura aproximada de uma torre estacionária para que ela possa distribuir um sinal em um raio de 200 quilômetros.
AB (altura da torre) = x;
BC (raio de transmissão do sinal) = 200 km;
SO (raio globo) = 6.380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Aplicando o teorema de Pitágoras, descobrimos que altura mínima a torre deverá ter 2,3 quilômetros de extensão.
Curiosamente, o teorema de Pitágoras pode ser útil até em questões cotidianas, como determinar a altura de um guarda-roupa, por exemplo. À primeira vista, não há necessidade de usar cálculos tão complexos, porque você pode simplesmente fazer medições usando uma fita métrica. Mas muitas pessoas se perguntam por que surgem certos problemas durante o processo de montagem se todas as medições foram feitas com mais precisão.
O fato é que o guarda-roupa é montado na posição horizontal e só então levantado e instalado contra a parede. Portanto, durante o processo de levantamento da estrutura, a lateral do gabinete deve mover-se livremente tanto ao longo da altura quanto na diagonal do ambiente.
Suponhamos que existe um guarda-roupa com 800 mm de profundidade. Distância do chão ao teto - 2600 mm. Um fabricante de móveis experiente dirá que a altura do armário deve ser 126 mm menor que a altura da sala. Mas por que exatamente 126 mm? Vejamos um exemplo.
Com as dimensões ideais do gabinete, vamos verificar o funcionamento do teorema de Pitágoras:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - cabe tudo.
Digamos que a altura do gabinete não seja 2.474 mm, mas 2.505 mm. Então:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Portanto, este gabinete não é adequado para instalação nesta sala. Desde ao criá-lo em posição vertical podem ocorrer danos ao seu corpo.
Talvez, tendo considerado diferentes formas de provar o teorema de Pitágoras por diferentes cientistas, possamos concluir que ele é mais do que verdadeiro. Agora você pode utilizar as informações recebidas no seu dia a dia e ter total certeza de que todos os cálculos serão não apenas úteis, mas também corretos.
O teorema de Pitágoras é a afirmação mais importante da geometria. O teorema é formulado da seguinte forma: a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre seus catetos.
A descoberta desta afirmação é geralmente atribuída ao antigo filósofo e matemático grego Pitágoras (século VI aC). Mas um estudo de tabuinhas cuneiformes babilônicas e de antigos manuscritos chineses (cópias de manuscritos ainda mais antigos) mostrou que esta afirmação era conhecida muito antes de Pitágoras, talvez um milênio antes dele. O mérito de Pitágoras foi ter descoberto a prova deste teorema.
É provável que o fato declarado no teorema de Pitágoras tenha sido estabelecido pela primeira vez para triângulos retângulos isósceles. Basta olhar para o mosaico de triângulos pretos e claros mostrado na Fig. 1, para verificar a validade do teorema para um triângulo: um quadrado construído sobre a hipotenusa contém 4 triângulos, e um quadrado contendo 2 triângulos é construído em cada lado. Para prova caso Geral V Índia Antiga foram colocados de duas maneiras: em um quadrado com um lado, representaram quatro triângulos retângulos com catetos de comprimentos e (Fig. 2, a e 2, b), após os quais escreveram uma palavra “Olha!” E de fato, olhando para esses desenhos, vemos que à esquerda há uma figura livre de triângulos, composta por dois quadrados com lados e, portanto, sua área é igual a , e à direita há um quadrado com lado - sua área é igual a . Isso significa que isso constitui a afirmação do teorema de Pitágoras.
Porém, durante dois mil anos, não foi esta prova visual que foi utilizada, mas sim uma prova mais complexa inventada por Euclides, que se encontra em seu famoso livro “Elementos” (ver Euclides e seus “Elementos”), Euclides baixou a altura do topo ângulo certo na hipotenusa e provou que sua continuação divide o quadrado construído sobre a hipotenusa em dois retângulos, cujas áreas são iguais às áreas dos quadrados correspondentes construídos nos catetos (Fig. 3). O desenho usado para provar esse teorema é jocosamente chamado de “calças pitagóricas”. Por muito tempo foi considerado um dos símbolos da ciência matemática.
Hoje, são conhecidas várias dezenas de provas diferentes do teorema de Pitágoras. Alguns deles baseiam-se na partição de quadrados, em que um quadrado construído sobre a hipotenusa é composto por partes incluídas nas divisórias de quadrados construídos sobre os catetos; outros - no complemento de números iguais; a terceira - no fato de que a altura abaixada do vértice de um ângulo reto até a hipotenusa divide um triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes a ele.
O teorema de Pitágoras é a base da maioria dos cálculos geométricos. Mesmo na Antiga Babilônia, era usado para calcular o comprimento da altura de um triângulo isósceles a partir dos comprimentos da base e do lado, a seta de um segmento a partir do diâmetro do círculo e do comprimento da corda, e estabelecer as relações entre os elementos de alguns polígonos regulares. Utilizando o teorema de Pitágoras, provamos sua generalização, que nos permite calcular o comprimento do lado oposto a um ângulo agudo ou obtuso:
Desta generalização segue-se que a presença de um ângulo reto não é apenas suficiente, mas também uma condição necessária para que a igualdade seja satisfeita. Da fórmula (1) segue a relação 
entre os comprimentos das diagonais e dos lados de um paralelogramo, com a ajuda do qual é fácil encontrar o comprimento da mediana de um triângulo a partir dos comprimentos de seus lados.
Com base no teorema de Pitágoras, é derivada uma fórmula que expressa a área de qualquer triângulo através dos comprimentos de seus lados (ver fórmula de Heron). É claro que o teorema de Pitágoras também foi usado para resolver vários problemas práticos.
Em vez de quadrados, você pode construir figuras semelhantes (triângulos equiláteros, semicírculos, etc.) nos lados de um triângulo retângulo. Nesse caso, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos. Outra generalização está associada à transição do plano para o espaço. É formulado da seguinte forma: o quadrado do comprimento diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à soma dos quadrados de suas dimensões (comprimento, largura e altura). Um teorema semelhante é verdadeiro em casos multidimensionais e até mesmo de dimensão infinita.
O teorema de Pitágoras existe apenas na geometria euclidiana. Isso não ocorre nem na geometria de Lobachevsky nem em outras geometrias não euclidianas. Não existe análogo do teorema de Pitágoras na esfera. Dois meridianos formando um ângulo de 90° e o equador delimitam em uma esfera um triângulo esférico equilátero, cujos três ângulos são retos. Para ele, não como num avião.
Usando o teorema de Pitágoras, calcule a distância entre os pontos e plano coordenado de acordo com a fórmula
.
Após a descoberta do teorema de Pitágoras, surgiu a questão de como encontrar todos os trigêmeos de números naturais que podem ser lados de triângulos retângulos (ver o último teorema de Fermat). Eles foram descobertos pelos pitagóricos, mas alguns métodos gerais para encontrar esses trigêmeos de números já eram conhecidos pelos babilônios. Um dos comprimidos cuneiformes contém 15 trigêmeos. Entre eles há trigêmeos que consistem em números tão grandes que não há como encontrá-los por seleção.
Fossa hipocrática
As luas hipocráticas são figuras delimitadas pelos arcos de dois círculos e, além disso, tais que utilizando os raios e o comprimento da corda comum desses círculos, usando um compasso e uma régua, pode-se construir quadrados de tamanho igual a eles.
Da generalização do teorema de Pitágoras para semicírculos, segue-se que a soma das áreas dos pedaços rosa mostrados na figura à esquerda é igual à área do triângulo azul. Portanto, se você pegar um triângulo retângulo isósceles, obterá dois buracos, a área de cada um deles será igual à metade da área do triângulo. Tentando resolver o problema da quadratura de um círculo (ver Problemas clássicos da antiguidade), o antigo matemático grego Hipócrates (século V aC) encontrou vários outros buracos, cujas áreas são expressas em termos de áreas de figuras retilíneas.
Uma lista completa de lúnulas hipomarginais foi obtida apenas nos séculos XIX e XX. graças ao uso de métodos da teoria de Galois.
teorema de Pitágoras: Soma das áreas dos quadrados apoiados nas pernas ( a E b), igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa ( c).
Formulação geométrica:
O teorema foi originalmente formulado da seguinte forma:
Formulação algébrica:
Ou seja, denotando o comprimento da hipotenusa do triângulo por c, e os comprimentos das pernas através a E b :
a 2 + b 2 = c 2Ambas as formulações do teorema são equivalentes, mas a segunda formulação é mais elementar; não requer o conceito de área. Ou seja, a segunda afirmação pode ser verificada sem saber nada sobre a área e medindo apenas os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras inverso:
Sobre este momento 367 provas deste teorema foram registradas na literatura científica. Provavelmente, o teorema de Pitágoras é o único teorema com um número tão impressionante de provas. Tal diversidade só pode ser explicada pelo significado fundamental do teorema para a geometria.
Claro, conceitualmente todos eles podem ser divididos em um pequeno número de classes. As mais famosas delas: provas pelo método da área, provas axiomáticas e exóticas (por exemplo, usando equações diferenciais).
A seguinte prova da formulação algébrica é a mais simples das provas, construída diretamente a partir dos axiomas. Em particular, não utiliza o conceito de área de uma figura.
Deixar abc existe um triângulo retângulo com um ângulo reto C. Vamos desenhar a altura de C e denotamos sua base por H. Triângulo ACH semelhante a um triângulo abc em dois cantos. Da mesma forma, triângulo CBH semelhante abc. Ao introduzir a notação
Nós temos
O que é equivalente
Somando, obtemos
As demonstrações abaixo, apesar de sua aparente simplicidade, não são nada simples. Todos eles usam propriedades de área, cuja prova é mais complexa do que a prova do próprio teorema de Pitágoras.
Q.E.D.
Prova elegante usando permutação
Um exemplo de uma dessas provas é mostrado no desenho à direita, onde um quadrado construído sobre a hipotenusa é reorganizado em dois quadrados construídos sobre os catetos.
Desenho para a prova de Euclides
Ilustração para a prova de Euclides
A ideia da prova de Euclides é a seguinte: vamos tentar provar que metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das metades das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos, e depois as áreas de os quadrados grandes e dois pequenos são iguais.
Vejamos o desenho à esquerda. Nele construímos quadrados nos lados de um triângulo retângulo e desenhamos um raio s do vértice do ângulo reto C perpendicular à hipotenusa AB, ele corta o quadrado ABIK, construído sobre a hipotenusa, em dois retângulos - BHJI e HAKJ, respectivamente. Acontece que as áreas desses retângulos são exatamente iguais às áreas dos quadrados construídos nas pernas correspondentes.
Vamos tentar provar que a área do quadrado DECA é igual à área do retângulo AHJK. Para isso usaremos uma observação auxiliar: A área de um triângulo com a mesma altura e base que o retângulo dado é igual à metade da área do retângulo dado. Isso é consequência da definição da área de um triângulo como metade do produto da base pela altura. Desta observação segue-se que a área do triângulo ACK é igual à área do triângulo AHK (não mostrado na figura), que por sua vez é igual à metade da área do retângulo AHJK.
Vamos agora provar que a área do triângulo ACK também é igual à metade da área do quadrado DECA. A única coisa que precisa ser feita para isso é provar a igualdade dos triângulos ACK e BDA (já que a área do triângulo BDA é igual à metade da área do quadrado de acordo com a propriedade acima). A igualdade é óbvia, os triângulos são iguais em ambos os lados e o ângulo entre eles. Ou seja - AB=AK,AD=AC - a igualdade dos ângulos CAK e BAD é fácil de provar pelo método do movimento: giramos o triângulo CAK 90° no sentido anti-horário, então é óbvio que os lados correspondentes dos dois triângulos em questão coincidirá (devido ao fato de o ângulo no vértice do quadrado ser 90°).
O raciocínio para a igualdade das áreas do quadrado BCFG e do retângulo BHJI é completamente semelhante.
Assim, provamos que a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa é composta pelas áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. A ideia por trás desta prova é ilustrada ainda mais pela animação acima.
Prova de Leonardo da Vinci
Os principais elementos da prova são simetria e movimento.
Vamos considerar o desenho, como pode ser visto pela simetria, um segmento CEU corta o quadrado ABHJ. em duas partes idênticas (já que triângulos ABC E J.HEU igual na construção). Usando uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário, vemos a igualdade das figuras sombreadas CAJ.EU E GDAB . Agora está claro que a área da figura que sombreamos é igual à soma da metade das áreas dos quadrados construídos nas pernas e da área do triângulo original. Por outro lado, é igual à metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa, mais a área do triângulo original. A última etapa da prova fica a cargo do leitor.
A seguinte prova usando equações diferenciais é frequentemente atribuída ao famoso matemático inglês Hardy, que viveu na primeira metade do século XX.
Olhando o desenho mostrado na figura e observando a mudança de lado a, podemos escrever a seguinte relação para incrementos laterais infinitesimais Com E a(usando semelhança de triângulo):
Prova pelo método infinitesimal
Usando o método de separação de variáveis, encontramos
Uma expressão mais geral para a mudança na hipotenusa no caso de incrementos em ambos os lados
Integrando esta equação e usando as condições iniciais, obtemos
c 2 = a 2 + b 2 + constante.Assim chegamos à resposta desejada
c 2 = a 2 + b 2 .Como é fácil perceber, a dependência quadrática na fórmula final aparece devido à proporcionalidade linear entre os lados do triângulo e os incrementos, enquanto a soma está associada a contribuições independentes do incremento das diferentes pernas.
Uma prova mais simples pode ser obtida se assumirmos que uma das pernas não sofre um incremento (neste caso, a perna b). Então para a constante de integração obtemos
Chu-pei 500–200 AC. À esquerda está a inscrição: a soma dos quadrados dos comprimentos da altura e da base é o quadrado do comprimento da hipotenusa.
O antigo livro chinês Chu-pei fala de um triângulo pitagórico com lados 3, 4 e 5: O mesmo livro oferece um desenho que coincide com um dos desenhos da geometria hindu de Bashara.
Cantor (o maior historiador alemão da matemática) acredita que a igualdade 3² + 4² = 5² já era conhecida pelos egípcios por volta de 2300 AC. e., durante a época do rei Amenemhat I (de acordo com o papiro 6619 do Museu de Berlim). Segundo Cantor, os harpedonaptes, ou "puxadores de corda", construíam ângulos retos usando triângulos retângulos com lados de 3, 4 e 5.
É muito fácil reproduzir o seu método de construção. Vamos pegar uma corda de 12 m de comprimento e amarrar nela uma tira colorida a uma distância de 3 m. de uma extremidade e 4 metros da outra. O ângulo reto será delimitado entre lados de 3 e 4 metros de comprimento. Poderíamos objetar aos Harpedonaptianos que seu método de construção se torna supérfluo se usarmos, por exemplo, um esquadro de madeira, que é usado por todos os carpinteiros. Na verdade, são conhecidos desenhos egípcios nos quais tal ferramenta é encontrada, por exemplo, desenhos que representam uma oficina de carpintaria.
Um pouco mais se sabe sobre o teorema de Pitágoras entre os babilônios. Em um texto que data da época de Hamurabi, ou seja, de 2.000 aC. e., é fornecido um cálculo aproximado da hipotenusa de um triângulo retângulo. Disto podemos concluir que na Mesopotâmia eram capazes de realizar cálculos com triângulos retângulos, pelo menos em alguns casos. Baseando-se, por um lado, no nível atual de conhecimento sobre a matemática egípcia e babilônica, e por outro, num estudo crítico das fontes gregas, Van der Waerden (matemático holandês) chegou à seguinte conclusão:
Fundação Wikimedia. 2010.
teorema de Pitágoras
Quando você começou a aprender sobre raízes quadradas e como resolver equações irracionais (igualdades envolvendo uma incógnita sob o sinal de raiz), provavelmente você as experimentou pela primeira vez. uso pratico. Capacidade de extrair Raiz quadrada a partir de números também é necessária para resolver problemas usando o teorema de Pitágoras. Este teorema relaciona os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.
Deixe os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo (aqueles dois lados que se encontram em ângulos retos) serem designados pelas letras e, e o comprimento da hipotenusa (o lado mais longo do triângulo localizado oposto ao ângulo reto) será designado por a carta. Então os comprimentos correspondentes estão relacionados pela seguinte relação:
Esta equação permite encontrar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo quando o comprimento dos outros dois lados é conhecido. Além disso, permite determinar se o triângulo em questão é um triângulo retângulo, desde que os comprimentos dos três lados sejam conhecidos antecipadamente.
Para consolidar o material, resolveremos os seguintes problemas utilizando o teorema de Pitágoras.
Então, dado:
Vamos à solução:
a) Substituir os dados na equação acima dá os seguintes resultados:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 ou b = -64
Como o comprimento do lado de um triângulo não pode ser expresso como um número negativo, a segunda opção é automaticamente rejeitada.
Responda à primeira foto: b = 64.
b) O comprimento da perna do segundo triângulo é encontrado da mesma maneira:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 ou b = -35
Tal como no caso anterior, uma decisão negativa é descartada.
Responda à segunda foto: b = 35
Nos é dado:
Vamos resolver o problema:
a) É necessário verificar se a soma dos quadrados dos comprimentos dos lados mais curtos de um determinado triângulo é igual ao quadrado do comprimento do maior:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Portanto, o primeiro triângulo não é um triângulo retângulo.
b) A mesma operação é realizada:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Portanto, o segundo triângulo é um triângulo retângulo.
Primeiro, vamos encontrar o comprimento do maior segmento formado por pontos com coordenadas (-2, -3) e (5, -2). Para fazer isso, usamos a fórmula bem conhecida para encontrar a distância entre pontos em sistema retangular coordenadas:
Da mesma forma, encontramos o comprimento do segmento delimitado entre pontos com coordenadas (-2, -3) e (2, 1):
Finalmente, determinamos o comprimento do segmento entre pontos com coordenadas (2, 1) e (5, -2):
Como a igualdade é válida:
então o triângulo correspondente é retângulo.
Assim, podemos formular a resposta ao problema: como a soma dos quadrados dos lados de menor comprimento é igual ao quadrado do lado de maior comprimento, os pontos são os vértices de um triângulo retângulo.
A base (localizada estritamente na horizontal), o batente (localizado estritamente na vertical) e o cabo (esticado na diagonal) formam um triângulo retângulo, respectivamente, para encontrar o comprimento do cabo o teorema de Pitágoras pode ser usado:
Assim, o comprimento do cabo será de aproximadamente 3,6 metros.
Dado: a distância do ponto R ao ponto P (a perna do triângulo) é 24, do ponto R ao ponto Q (hipotenusa) é 26.
Então, vamos ajudar a Vita a resolver o problema. Como os lados do triângulo mostrado na figura formam um triângulo retângulo, você pode usar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do terceiro lado:
Então, a largura da lagoa é de 10 metros.
Sergei Valerievich
Da mesma forma, o triângulo CBH é semelhante ao ABC. Ao introduzir a notação 
1. Coloque quatro triângulos retângulos iguais conforme mostrado na figura. 
A ideia da prova de Euclides é a seguinte: vamos tentar provar que metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das metades das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos, e depois as áreas de os quadrados grandes e dois pequenos são iguais. Vejamos o desenho à esquerda. Nele construímos quadrados nos lados de um triângulo retângulo e desenhamos um raio s do vértice do ângulo reto C perpendicular à hipotenusa AB, ele corta o quadrado ABIK, construído sobre a hipotenusa, em dois retângulos - BHJI e HAKJ, respectivamente. Acontece que as áreas desses retângulos são exatamente iguais às áreas dos quadrados construídos nas pernas correspondentes. Vamos tentar provar que a área do quadrado DECA é igual à área do retângulo AHJK. Para isso usaremos uma observação auxiliar: A área de um triângulo com a mesma altura e base que o retângulo dado é igual à metade da área do retângulo dado. Isso é consequência da definição da área de um triângulo como metade do produto da base pela altura. Desta observação segue-se que a área do triângulo ACK é igual à área do triângulo AHK (não mostrado na figura), que por sua vez é igual à metade da área do retângulo AHJK. Vamos agora provar que a área do triângulo ACK também é igual à metade da área do quadrado DECA. A única coisa que precisa ser feita para isso é provar a igualdade dos triângulos ACK e BDA (já que a área do triângulo BDA é igual à metade da área do quadrado de acordo com a propriedade acima). A igualdade é óbvia, os triângulos são iguais em ambos os lados e o ângulo entre eles. Ou seja - AB=AK,AD=AC - a igualdade dos ângulos CAK e BAD é fácil de provar pelo método do movimento: giramos o triângulo CAK 90° no sentido anti-horário, então é óbvio que os lados correspondentes dos dois triângulos em questão coincidirá (devido ao fato de o ângulo no vértice do quadrado ser 90°). O raciocínio para a igualdade das áreas do quadrado BCFG e do retângulo BHJI é completamente semelhante. Assim, provamos que a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa é composta pelas áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. 
Consideremos o desenho, como pode ser visto pela simetria, o segmento CI corta o quadrado ABHJ em duas partes idênticas (já que os triângulos ABC e JHI são iguais em construção). Usando uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário, vemos a igualdade das figuras sombreadas CAJI e GDAB. Agora está claro que a área da figura que sombreamos é igual à soma da metade das áreas dos quadrados construídos nas pernas e da área do triângulo original. Por outro lado, é igual à metade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa, mais a área do triângulo original. A última etapa da prova fica a cargo do leitor.
