Prismas diferentes são diferentes uns dos outros. Ao mesmo tempo, eles têm muito em comum. Para encontrar a área da base de um prisma, você precisa descobrir de que tipo ele se parece.
Um prisma é qualquer poliedro cujos lados têm a forma de um paralelogramo. Além disso, qualquer poliedro pode estar em sua base - de um triângulo a um n-gon. Além disso, as bases do prisma são sempre iguais entre si. O que não se aplica às faces laterais - elas podem variar significativamente em tamanho.
Ao resolver problemas, não é apenas a área da base do prisma que é encontrada. Pode ser necessário conhecer a superfície lateral, ou seja, todas as faces que não são bases. A superfície cheia já será a união de todas as faces que compõem o prisma.
Às vezes, as alturas aparecem nas tarefas. É perpendicular às bases. A diagonal de um poliedro é um segmento que conecta em pares quaisquer dois vértices que não pertencem à mesma face.
Deve-se notar que a área da base de um prisma reto ou inclinado não depende do ângulo entre eles e as faces laterais. Se eles tiverem as mesmas figuras nas faces superior e inferior, suas áreas serão iguais.
Tem na base uma figura com três vértices, ou seja, um triângulo. Sabe-se que é diferente. Se então basta lembrar que sua área é determinada pela metade do produto das pernas.
A notação matemática fica assim: S = ½ av.
Para encontrar a área da base em visão geral, as fórmulas são úteis: Heron e aquela em que metade do lado é levado à altura desenhada para ele.
A primeira fórmula deve ser escrita assim: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Essa entrada contém um semiperímetro (p), ou seja, a soma de três lados dividido por dois.
Segundo: S = ½ n a * a.
Se você deseja conhecer a área da base de um prisma triangular, que é regular, o triângulo acaba sendo equilátero. Tem sua própria fórmula: S = ¼ a 2 * √3.
Sua base é qualquer um dos quadriláteros conhecidos. Pode ser um retângulo ou um quadrado, um paralelepípedo ou um losango. Em cada caso, para calcular a área da base do prisma, você precisará de sua própria fórmula.
Se a base for um retângulo, então sua área é determinada da seguinte forma: S = av, onde a, b são os lados do retângulo.
Quando nós estamos falando sobre um prisma quadrangular, a área da base de um prisma regular é calculada usando a fórmula para um quadrado. Porque é ele quem está na base. S \u003d a 2.
No caso de a base ser um paralelepípedo, será necessária a seguinte igualdade: S \u003d a * n a. Acontece que um lado de um paralelepípedo e um dos ângulos são dados. Então, para calcular a altura, você precisará usar uma fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Além disso, o ângulo A é adjacente ao lado "b" e a altura é na oposta a esse ângulo.
Se um losango estiver na base do prisma, será necessária a mesma fórmula para determinar sua área como para um paralelogramo (já que é um caso especial dele). Mas você também pode usar este: S = ½ d 1 d 2. Aqui d 1 e d 2 são duas diagonais do losango.
Este caso envolve dividir o polígono em triângulos, cujas áreas são mais fáceis de descobrir. Embora aconteça que as figuras possam estar com um número diferente de vértices.
Como a base do prisma é um pentágono regular, ele pode ser dividido em cinco triângulos equiláteros. Então a área da base do prisma é igual à área de um desses triângulos (a fórmula pode ser vista acima), multiplicada por cinco.
De acordo com o princípio descrito para um prisma pentagonal, é possível dividir o hexágono de base em 6 triângulos equiláteros. A fórmula para a área da base desse prisma é semelhante à anterior. Somente nele deve ser multiplicado por seis.
A fórmula ficará assim: S = 3/2 e 2 * √3.
Nº 1. Uma linha reta regular é fornecida. Sua diagonal é de 22 cm, a altura do poliedro é de 14 cm. Calcule a área da base do prisma e de toda a superfície.
Solução. A base de um prisma é um quadrado, mas seu lado não é conhecido. Você pode encontrar seu valor a partir da diagonal do quadrado (x), que está relacionada à diagonal do prisma (d) e sua altura (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por outro lado, este segmento "x" é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são iguais ao lado do quadrado. Ou seja, x 2 \u003d a 2 + a 2. Assim, verifica-se que um 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Substitua o número 22 em vez de d e substitua "n" por seu valor - 14, verifica-se que o lado do quadrado é de 12 cm. Agora é fácil descobrir a área da base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Para descobrir a área de toda a superfície, você precisa adicionar o dobro do valor da área da base e quadruplicar o lado. Este último é fácil de encontrar pela fórmula de um retângulo: multiplique a altura do poliedro pelo lado da base. Ou seja, 14 e 12, esse número será igual a 168 cm 2. A área total da superfície do prisma é de 960 cm 2 .
Responda. A área da base do prisma é de 144 cm2. Toda a superfície - 960 cm 2 .
Não. 2. Dana Na base encontra-se um triângulo com lado de 6 cm. Neste caso, a diagonal da face lateral é de 10 cm. Calcule as áreas: a base e a superfície lateral.
Solução. Como o prisma é regular, sua base é um triângulo equilátero. Portanto, sua área é igual a 6 ao quadrado vezes ¼ e a raiz quadrada de 3. Um cálculo simples leva ao resultado: 9√3 cm 2. Esta é a área de uma base do prisma.
Todas as faces laterais são iguais e são retângulos com lados de 6 e 10 cm. Para calcular suas áreas, basta multiplicar esses números. Em seguida, multiplique-os por três, porque o prisma tem exatamente tantas faces laterais. Em seguida, a área da superfície lateral é enrolada em 180 cm 2 .
Responda.Áreas: base - 9√3 cm 2, superfície lateral do prisma - 180 cm 2.
No século V aC, o antigo filósofo grego Zenão de Elea formulou suas famosas aporias, das quais a mais famosa é a aporia "Aquiles e a tartaruga". Aqui está como soa:Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo em que Aquiles percorre essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.
Esse raciocínio veio como um choque lógico para todos. gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam no momento, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.
Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo desacelera até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.
Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".
Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:
No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.
Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.
Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:
Uma flecha voadora é imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.
Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora repousa em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (naturalmente, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará). No que eu quero focar Atenção especial, é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.
Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.
Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.
Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.
Por mais que os matemáticos se escondam por trás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria dos conjuntos matemáticos aos próprios matemáticos.
Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos o valor total para ele e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele só receberá o restante das contas quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.
Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que não podem ser considerados elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático começará a recordar convulsivamente a física: em diferentes moedas há quantidade diferente sujeira, estrutura cristalina e arranjo atômico de cada moeda é único...
E agora eu tenho a pergunta mais interessante: onde está o limite além do qual elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.
Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos contar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.
Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".
A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.
Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.
Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.
1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.
2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.
3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.
4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.
A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.
Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Assim, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. A PARTIR DE um grande número 12345 Não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.
Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe daria resultados completamente diferentes.
Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.
O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-los, então não tem nada a ver com matemática.
O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.
Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?
Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.
Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,
Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:
Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não considero essa garota uma tola que não sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.
1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.
O site já revisou alguns tipos de tarefas de estereometria que estão incluídas em um único banco de tarefas para o exame de matemática.Por exemplo, tarefas sobre.
Um prisma é dito regular se seus lados laterais são perpendiculares às bases e um polígono regular está nas bases. Ou seja, um prisma regular é um prisma reto, que possui um polígono regular na base.
Um prisma hexagonal regular é um hexágono regular na base, as faces laterais são retângulos.
Neste artigo, para você, tarefas para resolver um prisma, que é baseado em um hexágono regular. Não há peculiaridades e dificuldades na solução. Qual é o ponto? Dado um prisma hexagonal regular, você precisa calcular a distância entre dois vértices ou encontrar ângulo predeterminado. As tarefas são realmente simples, no final a solução se resume a encontrar um elemento em um triângulo retângulo.
O teorema de Pitágoras e é usado. Necessário conhecimento das definições funções trigonométricas em um triângulo retângulo.
Certifique-se de olhar para as informações sobre o hexágono regular.Você também precisará da habilidade de extrair um grande número deles. Você pode resolver poliedros, eles também calcularam a distância entre vértices e ângulos.
Resumidamente: o que é um hexágono regular?
Sabemos que os lados de um hexágono regular são iguais. Além disso, os ângulos entre os lados também são iguais.
*Os lados opostos são paralelos.
informação adicional
O raio de um círculo circunscrito a um hexágono regular é igual ao seu lado. *Isso é confirmado de forma muito simples: se conectarmos os vértices opostos do hexágono, obtemos seis triângulos equiláteros iguais. Por que equilátero?
Para cada triângulo, o ângulo em seu vértice no centro é 60 0 (360:6=60). Como o triângulo tem dois lados com um vértice comum no centro são iguais (estes são os raios do círculo circunscrito), então cada ângulo na base de tal triângulo isósceles também é igual a 60 graus.
Ou seja, um hexágono regular, figurativamente falando, consiste em seis triângulos equiláteros iguais.
Que outro fato útil para resolver problemas deve ser observado? O ângulo do vértice de um hexágono (o ângulo entre seus lados adjacentes) é de 120 graus.
*Deliberadamente não tocou nas fórmulas de um N-gon regular. Consideraremos essas fórmulas em detalhes no futuro, elas simplesmente não são necessárias aqui.
Considere as tarefas:
272533. Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas as arestas são iguais a 48. Encontre a distância entre os pontos A e E 1 .
Considere um triângulo retângulo AA 1 E 1 . De acordo com o teorema de Pitágoras:
*O ângulo entre os lados de um hexágono regular é de 120 graus.
Seção AE 1 é a hipotenusa, AA 1 e A 1 E 1 pernas. Costela AA 1 nós sabemos. Perna A 1 E 1 podemos encontrar usando using .
Teorema: O quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma quadrados de seus outros dois lados sem dobrar o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
Consequentemente
De acordo com o teorema de Pitágoras:
Resposta: 96
*Observe que 48 não precisa ser elevado ao quadrado.
Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas as arestas são iguais a 35. Encontre a distância entre os pontos B e E.
Diz-se que todas as arestas são iguais a 35, ou seja, o lado do hexágono que está na base é 35. E também, como já mencionado, o raio do círculo descrito ao seu redor é igual ao mesmo número.
Nesse caminho,
Resposta: 70
273353. Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, todas as arestas são iguais a quarenta raízes de cinco. Encontre a distância entre os pontos B e E1.
Considere um triângulo retângulo BB 1 E 1 . De acordo com o teorema de Pitágoras:
Seção B 1 E 1 é igual a dois raios de um círculo circunscrito a um hexágono regular, e seu raio é igual ao lado do hexágono, isto é
Nesse caminho,
Resposta: 200
273683. Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas as arestas são iguais a 45. Encontre a tangente do ângulo AD 1 D.
Considere um triângulo retângulo ADD 1 no qual DE ANÚNCIOS igual ao diâmetro de um círculo circunscrito à base. Sabe-se que o raio de um círculo circunscrito a um hexágono regular é igual ao seu lado.
Nesse caminho,
Resposta: 2
Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas as arestas são iguais a 23. Encontre o ângulo DAB. Dê sua resposta em graus.
Considere um hexágono regular:
Nele, os ângulos entre os lados são de 120°. Significa,
O comprimento da aresta em si não importa, não afeta o valor do ângulo.
Resposta: 60
Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas as arestas são iguais a 10. Encontre o ângulo AC 1 C. Dê sua resposta em graus.
Considere um triângulo retângulo AC 1 C:
Vamos encontrar CA. Em um hexágono regular, os ângulos entre seus lados são de 120 graus, então pelo teorema do cosseno para um triânguloabc:
Nesse caminho,
Então o ângulo AC 1 C é igual a 60 graus.
Resposta: 60
274453. Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todas as arestas são iguais a 10. Encontre o ângulo AC 1 C. Dê sua resposta em graus.
Determinar os volumes de corpos geométricos é uma das tarefas importantes da geometria espacial. Este artigo discute a questão do que é um prisma de base hexagonal e também fornece uma fórmula para o volume de um prisma hexagonal.
Do ponto de vista da geometria, um prisma é uma figura no espaço, que é formada por dois polígonos idênticos localizados em planos paralelos. Assim como vários paralelogramos que esses polígonos conectam em uma única figura.
NO espaço tridimensional um prisma de forma arbitrária pode ser obtido tomando qualquer polígono e um segmento. Além disso, o último plano do polígono não pertencerá. Então, colocando este segmento de cada vértice do polígono, pode-se obter uma transferência paralela deste último para outro plano. A figura assim formada será um prisma.
Para ter uma representação visual da classe de figuras em consideração, apresentamos um desenho de um prisma quadrangular.
Muitas pessoas conhecem esta figura sob o nome de um paralelepípedo. Pode-se ver que dois polígonos idênticos do prisma são quadrados. Eles são chamados de bases da figura. Os outros quatro lados são retângulos, ou seja, são caso especial paralelogramos.
Antes de dar a fórmula, como é determinado o volume de um prisma regular hexagonal, é necessário entender claramente de que figura estamos falando. tem base hexagonal. Ou seja, um polígono plano com seis lados, o mesmo número de ângulos. Os lados da figura são os mesmos de qualquer prisma, em caso Geral são paralelogramos. Observamos imediatamente que a base hexagonal pode ser representada tanto por hexágonos regulares quanto irregulares.
A distância entre as bases de uma figura é a sua altura. No que segue, vamos denotá-lo pela letra h. Geometricamente, a altura h é um segmento perpendicular a ambas as bases. Se esta perpendicular:
A figura neste caso é chamada de linha reta. Em qualquer outro caso, o prisma será oblíquo ou oblíquo. A diferença entre esses tipos de prisma hexagonal pode ser vista de relance.
Um prisma hexagonal reto é uma figura que tem hexágonos regulares na base. No entanto, é direto. Vamos dar uma olhada em suas propriedades.
Para entender como calcular o volume de um prisma hexagonal regular (a fórmula é fornecida abaixo no artigo), você também precisa descobrir em quais elementos a figura consiste e quais propriedades ela possui. Para facilitar a análise da figura, vamos mostrá-la na figura.
Seus principais elementos são faces, arestas e vértices. O número desses elementos obedece ao teorema de Euler. Se denotarmos P - o número de arestas, B - o número de vértices e G - faces, podemos escrever a igualdade:
Vamos verificar. O número de faces da figura considerada é 8. Duas delas são hexágonos regulares. Seis faces são retângulos, como pode ser visto na figura. O número de vértices é 12. De fato, 6 vértices pertencem a uma base e 6 a outra. De acordo com a fórmula, o número de arestas deve ser 18, o que é justo. 12 arestas estão nas bases e 6 formam os lados dos retângulos paralelos entre si.
Voltando à obtenção da fórmula para o volume de um prisma hexagonal regular, deve-se focar em uma propriedade importante desta figura: os retângulos que formam a superfície lateral são iguais entre si e perpendiculares às duas bases. Isso leva a duas consequências importantes:
Pode-se adivinhar intuitivamente que essa área da base da figura aparecerá na fórmula do volume de um prisma hexagonal regular. Portanto, neste parágrafo do artigo, encontraremos essa área. Um hexágono regular dividido em 6 triângulos idênticos cujos vértices se cruzam em seu centro geométrico é mostrado abaixo:
Cada um desses triângulos é equilátero. Não é muito difícil provar isso. Como todo o círculo tem 360º, os ângulos dos triângulos próximos ao centro geométrico do hexágono são 360º /6=60º. As distâncias do centro geométrico aos vértices do hexágono são as mesmas.
O último significa que todos os 6 triângulos serão isósceles. Como um dos ângulos dos triângulos isósceles é igual a 60 o , então os outros dois ângulos também são iguais a 60 o . ((180 o -60 o) / 2) - triângulos equiláteros.
Denote o comprimento do lado do hexágono pela letra a. Então a área de um triângulo será igual a:
S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .
A fórmula é derivada da expressão padrão para a área de um triângulo. Então a área S 6 para o hexágono será:
S 6 \u003d 6 * S 1 \u003d 6 * √3 / 4 * a 2 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2.
Para escrever a fórmula para o volume da figura em questão, as informações acima devem ser levadas em consideração. Para um prisma arbitrário, o volume do espaço limitado por suas faces é calculado da seguinte forma:
Ou seja, V é igual ao produto da área da base S o pela altura h. Como sabemos que a altura h é igual ao comprimento da aresta lateral b para um prisma hexagonal regular e a área da base corresponde a S 6, então a fórmula para o volume de um prisma hexagonal regular terá a forma:
V 6 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2 * b.
Dado um prisma regular hexagonal. Sabe-se que ele está inscrito em um cilindro de raio de 10 cm e a altura do prisma é o dobro do lado de sua base. Encontre o volume da figura.
Para encontrar o valor necessário, você precisa saber o comprimento da nervura lateral e lateral. Ao considerar um hexágono regular, foi demonstrado que sua centro geométrico localizado no meio do círculo circunscrito ao seu redor. O raio deste último é igual à distância do centro a qualquer um dos vértices. Ou seja, é igual ao comprimento do lado do hexágono. Essas considerações levam aos seguintes resultados:
a = r = 10 cm;
b = h = 2*a = 20 cm.
Substituindo esses dados na fórmula do volume de um prisma hexagonal regular, obtemos a resposta: V 6 ≈5196 cm 3 ou cerca de 5,2 litros.
Prisma hexagonal regular- um prisma, em cujas bases existem dois hexágonos regulares, e todas as faces laterais são estritamente perpendiculares a essas bases.
As bases do prisma são hexágonos regulares com lados uma. De acordo com as propriedades de um hexágono regular, a área das bases de um prisma é
Deste jeito
Sa Principal= 3 3 √ 2 ⋅ uma2
A área da superfície total do prisma é a soma das áreas das faces laterais do prisma e as áreas de suas bases. Cada uma das faces laterais do prisma é um retângulo com lados uma e h. Portanto, pelas propriedades do retângulo
S
lado .= a ⋅ hUm prisma tem seis lados e duas bases, então sua área total de superfície é
Scheio .= 6 ⋅ Slado .+ 2 ⋅ Sa Principal= 6 ⋅ a ⋅ h + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ uma2
O volume de um prisma é calculado como o produto da área de sua base e sua altura. A altura de um prisma regular é qualquer uma de suas arestas laterais, por exemplo, a aresta UMA UMA1 . Na base de um prisma hexagonal regular está um hexágono regular cuja área é conhecida por nós. Nós temos
Vprismas= Sa Principal⋅A UMA1 = 3 3 √ 2 ⋅ uma2 ⋅ h
Consideramos o hexágono regular ABCDEF, que se encontra na base do prisma.
Desenhe os segmentos AD, BE e CF. Seja o ponto O a interseção desses segmentos.
De acordo com as propriedades de um hexágono regular, os triângulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA são triângulos regulares. Daí segue que
A O = O D = E O = O B = C O = O F = a
Desenhamos o segmento AE intersectando o segmento CF no ponto M. O triângulo AEO é isósceles, nele A O = O E = a , ∠ E O A = 120 ∘ . De acordo com as propriedades de um triângulo isósceles.
A E = a ⋅ 2 (1 − cos E O A )− − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ um
Da mesma forma, concluímos que A C = C E = 3 √ ⋅ um, F M = M O = 1 2 ⋅ um.
A E UMA1
E UMA1 = UMA UMA2 1 + A E2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 3 ⋅ uma2 − − − − − − − − √
Se um h = a, Então E UMA1 = 2 ⋅ a
F B1
= A C1
= B D1
=C E1
= D F1
=
h2
+
3
⋅
uma2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
Em um triângulo SER B1 :
Assim, verifica-se que o triângulo SER B1 retangular. De acordo com as propriedades de um triângulo retângulo
E B1 = B B2 1 +B E2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ uma2 − − − − − − − − √
Se um h = a, Então
E B1 = 5 √ ⋅ um
Após raciocínio semelhante, obtemos que F C1
= A D1
= B E1
=C F1
= D UMA1
=
h2
+
4
⋅
uma2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
.
Nós achamos O F1
Em um triângulo F O F1 :
Assim, verifica-se que o triângulo F O F1 retangular. De acordo com as propriedades de um triângulo retângulo
O F1 = F F2 1 +O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + uma2 − − − − − − √
Se um h = a, Então
